Chương 3 – Lý thuyết chuỗi Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1

Chương 3 – Lý thuyết chuỗi Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 140 Chương 3 LÝ THUYẾT CHUỖI Sự phát triển của công nghệ kỹ thuật số đòi hỏi cần thiết kế và giải quyết các hệ dữ liệu mẫu với thờ.

Chương – Lý thuyết chuỗi   Chương LÝ THUYẾT CHUỖI         Sự phát triển của cơng nghệ kỹ thuật số địi hỏi cần thiết kế và giải quyết các hệ  dữ liệu mẫu với thời gian rời rạc. Và việc khảo sát các dãy rời rạc này khó khăn hơn  rất nhiều so với khảo sát các hàm giải tích. Một trong những cơng cụ đắc lực để giải  quyết  các  bài  tốn  nói  ở  trên  là  sử  dụng  phép  biến  đổi  Z,  phép  biến  đổi  Fourier,…Những  công  cụ  này  đã  được  các  nhà  tốn  học,  nhà  vật  lí  học  nghiên  cứu,  xây  dựng  thành  hệ  thống  lý  thuyết  và  ứng  dụng  từ  thế  kỉ  XVIII.  Cuối  thế  kỉ  XVIII,  trong một nghiên cứu về phương trình mơ tả sự truyền nhiệt của vật thể, nhà tốn học,  vật  lí  học  người  Pháp  Joseph  Fourier  (1768-1830)    đã  có  một  nghiên  cứu  kì  lạ  rằng  “mọi” hàm số đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của chuỗi vơ hạn các hàm lượng  giác (sau này gọi là khai triển hàm số thành chuỗi Fourier). Các nghiên cứu liên quan  đến chuỗi Fourier khơng những có ứng dụng trong nhiệt học mà sau này cịn được ứng  dụng vào lĩnh vực viễn thơng: phân tích phổ, phân tích truyền dẫn tín hiệu, ghép kênh  vơ tuyến, ghép kênh quang,…. Để có thể tìm hiểu được lĩnh vực thú vị đó, trước hết  chúng ta cần có những kiến thức cơ bản nhất về “chuỗi” mà ta sẽ đề cập trong chương  3 dưới đây.        Ở chương 3 này chúng ta sẽ tìm hiểu các khái niệm và một số tính chất cơ bản nhất  về chuỗi số, chuỗi lũy thừa, chuỗi Taylor và chuỗi Fourier. Muốn đi xa hơn nữa đến  các bài tốn ứng dụng chúng ta cần một q trình để tìm hiểu nhiều thêm các kiến thức  liên quan về chuỗi: tính hội tụ, đạo hàm, tích phân, dạng phức của chuỗi, phép biến đổi  Z, phép biến đổi Fourier,… Và các bạn có thể đọc thêm phần này ở tài liệu tham khảo  [10] và tài liệu tham khảo [13]    A Lý thuyết ví dụ minh họa 3.1 Các khái niệm 3.1.1 Chuỗi số Định nghĩa Cho dãy số thực { }  Biểu thức Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 140   Chương – Lý thuyết chuỗi   + + ⋯+ +⋯= được gọi là một chuỗi số hay ngắn gọn là chuỗi. Số hạng  u  được gọi là số hạng tổng quát thứ    = + + ⋯+ = được gọi là tổng riêng phần thứ  của chuỗi.   Nếu  lim S n   tồn tại hữu hạn thì ta nói chuỗi n u n hội tụ S  lim S n gọi n  n 1 tổng chuỗi và ta viết  =  Nếu  lim S n  không tồn tại hoặc  lim S n    ta nói chuỗi n n u n phân kỳ.  n 1 Ví dụ 1. Xét sự hội tụ của các chuỗi sau                                     c)  a.q n , a    n n 0     n 1 n  n  1 a)                          b)    n 1 Giải a) Ta có  1    . Do đó  n  n  1 n n  Sn   1 1 1     1 2 n n 1 n 1     n 1 n  n  1 ⟹ lim S n   Vậy chuỗi hội tụ và   n  b) Ta có S n    Vậy chuỗi   n 1 1 1 1     n  n     n n n n n  phân kỳ.  n  c)  Chuỗi  n a.q , a   cịn gọi là chuỗi cấp số nhân. Ta có  n0 = (1 + + ⋯+ )= Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 ( − 1) −1 =1 ≠1   141   Chương – Lý thuyết chuỗi   + Khi  q   thì   lim S n  lim n.a            n  n  n a (1   1 )  0  khi  n  2k a(1  q n )  lim  + Khi  q  1  thì   lim Sn  lim   n n  n  1 q a    khi  n  2k  Vậy trong trường hợp này  lim Sn  không tồn tại.                                            n  a (1  q n ) a  + Khi  q   thì do  lim q   nên  lim S n  lim   n n  n 1 q 1 q n a (1  q n )     n  1 q n + Khi  q   thì thì do  lim q    nên  lim S n  lim n  n Suy ra dãy  S n  hội tụ khi  q  , phân kì khi  q     Vậy   a.q n , a   hội tụ khi | | < 1, phân kì khi  q   Chuỗi  a.q n , a   cịn  n0 n0 được gọi là chuỗi hình học    Định lý (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ) Nếu chuỗi u n hội tụ lim un  n n 1 Như ta suy ra: lim un  lim un không tồn chuỗi phân kỳ n  Ví dụ 2.  Xét  chuỗi  n 2n   3n    Ta  có  u n  n 1 2n     khi  → +∞.  Do  đó,  chuỗi  3n  phân kỳ.  Định lý Cho chuỗi   un ,  v n 1 hội tụ Khi đó, với n , ∈ ℝ chuỗi n 1    au  bvn  hội tụ tổng n n 1    au  n   bvn   a un  bvn n 1 n 1 n 1 Hệ  1. Nếu    u hội tụ và  v  phân kỳ thì chuỗi    u n n 1 n n 1 n    phân kỳ.   n 1 Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 142   Chương – Lý thuyết chuỗi    2. Nếu    un  phân kỳ và  vn  phân kỳ thì khơng có kết luận cho chuỗi   un     n 1 n 1 n 1  , Tuy nhiên nếu cộng thêm điều kiện  ≥ 0, ∀  thì chuỗi   u n   phân kỳ.  n 1 Định lý Tính chất hội tụ chuỗi không đổi ta bỏ môt số hữu hạn số hạng chuỗi  Ví dụ 3. Chuỗi   un và chuỗi  un  (với  k  1) thì cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.  n 1 nk  u hội tụ Định lý (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy) Chuỗi n n 1   0, N  : n  N , p    un1  un    un p   3.1.2 Chuỗi không âm    un  với u ≥ 0, ∀n được gọi là chuỗi không âm. Chuỗi  un   Định nghĩa Chuỗi  n 1 n 1 với  u > 0, ∀  được gọi là chuỗi số dương.   u  khơng âm thì dãy tổng riêng  {S Nhận xét. Nếu chuỗi  n } là dãy khơng giảm nên  n 1 nó hội tụ (chuỗi hội tụ) khi và chỉ khi {S } bị chặn trên.  Các tiêu chuẩn xét hội tụ chuỗi không âm a Tiêu chuẩn so sánh Định lý Cho hai chuỗi số   un , v n 1 n thỏa điều kiện kể từ số n0 trở mà n 1 n  n0  un  Khi đó, chuỗi   vn hội tụ chuỗi u hội tụ, n 1  n n 1  u n phân kỳ n 1 v n phân kỳ n 1  Định lý Cho hai chuỗi số dương  u ,  v  Giả sử n n 1  i) Nếu < < +∞ n n 1  un ,  vn hội tụ phân kỳ n 1 n 1  ii) Nếu = Nếu un  k  Khi đó, n v n lim   v hội tụ u hội tụ, u n n n 1 n 1 n 1  n phân kỳ v n n 1 phân kỳ Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 143   Chương – Lý thuyết chuỗi   iii) Nếu = +∞ Nếu     un hội tụ vn hội tụ, vn phân kỳ u n 1 n 1 n 1 n n 1 phân kỳ Ví dụ 3. Xét sự hội tụ của các chuỗi sau   2n a)   n    n 1  n       b)  ln n   n n 1  Giải n n  2n 2 2     Mà ở ví dụ 1 ta đã biết      hội tụ nên chuỗi đã cho  a) Ta có   n n 5 n 1   hội tụ.   b) Xét chuỗi   n 1  ta có  n ln n lim n  lim ln n     n n n  Mà ở ví dụ 1 ta đã biết chuỗi   n 1  1  phân kỳ nên chuỗi    phân kỳ.   n n n 1 b Tiêu chuẩn tích phân Định lý Nếu f  x  hàm liên tục, không tăng, không âm  k ;   ,  k      f (n) hội tụ tích phân suy rộng  Khi đó, chuỗi n 1 f ( x)dx hội tụ k Ví dụ 4. Xét sự hội tụ của các chuỗi sau    a)      n 1 n        b)   n ln n   n Giải a) Ta có:   1  Nếu  < 0 thì  lim     nên chuỗi    phân kỳ.   n n n 1 n  1  Nếu  = 0 thì    ⟹  lim S n  lim n    nên chuỗi     phân kỳ.  n  n  n n 1 n Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 144   Chương – Lý thuyết chuỗi   > 0,  đặt  f  x    Nếu  ,  f  x  là  hàm  liên  tục,  giảm,  không  âm  trên  x  [1; +∞).Mặt  khác  ta  đã  biết   x dx   hội  tụ  khi  và  chỉ  khi  > 1  nên  chuỗi    n  hội tụ khi  > 1 và phân kỳ khi 0 < ≤ 1.  n 1  Tóm lại,   n  hội tụ nếu  > 1, phân kỳ nếu  ≤ 1.   n 1  , đây là hàm liên tục, không âm trên  x ln x lnx  [2; +∞). Nhưng  ( ) chỉ giảm khi  >  do   f ( x)    chỉ khi  >  Như   x ln x  b) Phân tích bài tốn: Xét hàm số   f ( x)   vậy thay vì xét sự hội tụ của chuỗi  1  thì ta xét  sự hội tụ của chuỗi      n  n ln n n 3 n ln n (theo định lý 3).  Chúng ta trình bày lại bài tốn như sau:   , đây là hàm liên tục, khơng âm trên  [3; +∞). Ta cũng có  x ln x lnx  ( )  là  hàm  giảm  giảm  trên  [3; +∞)  vì   f ( x)      với  mọi    ≥ 3.  Mặt   x ln x  Xét hàm số   f ( x)   khác  theo  chương  2  ta  đã  biết     phân kỳ. Vậy chuỗi   1 dx     là  phân  kỳ.  Suy  ra  chuỗi   x ln x n 3 n ln n  n ln n  phân kỳ.  n 2 c Tiêu chuẩn D’Alembert  Định lý Cho chuỗi số dương u n un1  k Khi đó: n u n Giả sử lim n 1  i) < u n hội tụ n phân kỳ n 1  ii) > u n 1 Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 145   Chương – Lý thuyết chuỗi   ii) = chưa kết luận hội tụ Tuy nhiên kể từ số tự nhiên N trở cho n  N mà thỏa điều kiện un1  Khi chuỗi phân un kỳ Ví dụ 5. Xét sự hội tụ của các chuỗi sau    2n n 1                 b)      n n n 1  n 1  a) 3n      n 1 n!     c)  3n n!  n   n 1 n        d)  Giải a) Bài tập này dễ thấy có thể dùng tiêu chuẩn so sánh. Nhưng ở đây ta sẽ áp dụng tiêu  chuẩn D’Alembert để xét. Ta có:  un1 n  u n lim   2n 1 1  n  n 7  2 n 1   lim n  lim n 1  lim    1  n  n   n  n n 7 2 2n Vậy   n  hội tụ.  n 1   b) Ta có chuỗi hội tụ vì    n2 n 1 u n2 lim n 1  lim  lim  1  n u n  n  n n  n n c) Ta có chuỗi hội tụ vì  un 1 n u n lim 3n 1  n  1!  lim  lim   1  n n n n 1 n! d) Ta có chuỗi đã cho phân kỳ vì  3n1  n  1! u lim n 1  lim n u n n  n  1 n 1 3n n! nn  lim  n  1 n Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 n nn  n  1 n 1  n   lim     n  n  1 146   Chương – Lý thuyết chuỗi    lim n  1  1   n  n   1  e d Tiêu chuẩn thức Cauchy  Định lý Cho chuỗi số dương u Giả sử n n 1 lim n un  k Khi đó, n  i) < u hội tụ n n 1  ii) > u phân kỳ n n 1 iii) = chưa kết luận hội tụ Tuy nhiên kể từ số tự nhiên N trở cho n  N mà thỏa điều kiện n un  Khi chuỗi phân kỳ Ví dụ 6. Xét sự hội tụ của các chuỗi sau   n  n2   a)       n3  n 1   n n    n2   1  n 1  n    b)        c)           d)         n n   n 1 n 1  n 1  n    n n 1   Giải a) Ta có chuỗi hội tụ vì  n2    1  n n3 lim n un  lim n b) Ta có  n2  lim un  lim  1  n n n n Ta chưa kết luận được chuỗi hội tụ hay phân kỳ. Nhưng do  n2   1 n  do đó chuỗi  n2 phân kỳ.  c) Ta có chuỗi phân kỳ vì  1  lim n un  lim 1       n n  n  d) Ta có   Tài liệu hướng dẫn học tập Tốn cao cấp A1 147   Chương – Lý thuyết chuỗi    n 1  lim n un  lim   n n  n      Vì  lim 1   n  n2 n2 n 1     lim 1   n   n2  n 3      3 n 1 n  e 3    3  n  1  3   n n2  e  và  lim Vậy chuỗi đã cho phân kỳ.  3.1.3 Chuỗi đan dấu   Định nghĩa Chuỗi có dạng    1 n un ,  un  0 n  được gọi là chuỗi đan dấu.  n 1  Định lý 10 (Dấu hiệu Leibnitz) Cho chuỗi đan dấu   1 n un   Nếu un n dãy n 1 đơn điệu giảm lim un  chuỗi hội tụ n  Ví dụ 7. Xét sự hội tụ của chuỗi   1 n n 1 , với  k  là hằng số.   nk Giải  Khi  k   ta có  lim  1 n n    nên chuỗi phân kỳ.  nk n  Khi  k   ta có  lim  1 khơng tồn tại nên chuỗi phân kỳ.  n   Khi  k   khi đó    1 n 1 n 1 là chuỗi đan dấu, trong đó  un  k là dãy giảm  k n n  n và  lim un  lim k   nên    1 k  hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.  n n n n n 1  Như vậy chuỗi    1 n 1 n  hội tụ khi và chỉ khi  k    nk  Ví dụ 8. Xét sự hội tụ của chuỗi    1 n 1 n n 1    n  2n  Ta có:  2 n  n  n  n 1  là dãy giảm vì  f (un )  un   0 n    n  2n  n  n    Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 148   Chương – Lý thuyết chuỗi   n 1    n  n  n  Ta lại có lim un  lim n    1  Vậy chuỗi  n n 1  là hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.  n  2n  n 1 3.1.4 Chuỗi có dấu  Định nghĩa Chuỗi có dạng  u ,  u n n    được gọi là chuỗi có dấu n 1  Định lý 11 Cho chuỗi có dấu  u n   Khi đó, n 1  chuỗi  un hội tụ chuỗi n 1  u hội tụ tuyệt đối n 1   un phân kỳ ta nói chuỗi n 1  Ví dụ 9. Dựa vào ví dụ 7 và ví dụ 8 ta có chuỗi    1 n 1    1 n 1 n n 1 n n 1 n 1  là hội tụ tuyệt  n  2n    un   phân  kỳ  thì  chuỗi  un  chưa  chắc  đã  phân  kỳ, ví dụ  như   n 1 n n u bán hội tụ  là bán hội tụ.   n  Chú ý.  Nếu  chuỗi    1 n n 1  n 1  chuỗi khơng âm Nếu un hội tụ ta nói chuỗi un hội tụ chuỗi đối. Chuỗi   n n 1   Nếu chuỗi u n 1   1 n   hội  tụ  theo  tiêu  chuẩn  Leibnitz,  nhưng    1     lại  là  chuỗi  n n n1 n n 1  phân kỳ.  Tuy nhiên người ta đã chứng minh được rằng nếu u n  phân kỳ theo tiêu  n 1  chuẩn D’Alembert hay căn thức Cauchy  thì chuỗi  u n  sẽ phân kỳ.  n 1 Như vậy  tiêu chuẩn  chuẩn  D’Alembert  và  tiêu  chuẩn  căn  thức  Cauchy  khơng  những  dùng cho chuỗi số dương mà cịn có thể dùng cho cả chuỗi có dấu bất kì.   Ta phát biểu lại hai tiêu chuẩn này như sau:  Tiêu chuẩn thức Cauchy:  Cho chuỗi số u n 1 n Giả sử lim n  n un  k Khi đó, Tài liệu hướng dẫn học tập Tốn cao cấp A1 149   Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến    xy ,  khi   x, y    0,     f  x, y    x  y 0          , khi  x, y  0,      Giải.  Ta có  f  M   f  0,     f  x, y   Lại có, x ,lim y M   xy lim  x , y   0,0  x  y2  (bài tập 1.1.câu b.).  Vậy hàm số đã cho liên tục tại  M  0,    2.2 Xét tính liên tục của hàm số sau tại  M  0,  :   xy ,  khi   x, y    0,   f  x, y    x  y   0          , khi   x, y    0,   Giải.  Ta có  f  M     Tuy nhiên, lim f  x, y    x , y  M xy , giới hạn này không tồn tại (bài tập 1.2.câu a.).   x , y (0,0) x  y lim Vậy hàm số đã cho gián đoạn tại  M  0,    2.3 Xét tính liên tục của hàm số sau tại  M  0,  :   x2 y ,  khi   x, y    0,   f  x, y    x  y   1          , khi   x, y    0,   Giải.  Ta có  f  M     Tuy nhiên, lim f  x, y   x , y M   x2 y   (bài tập 1.1.câu d.).   x , y (0,0) x  y lim f  x, y   f  0,    Ta thấy  x , ylim (0,0)   Vậy hàm số đã cho không liên tục tại  M  0,    Bài Tính đạo hàm riêng vi phân tồn phần   Để tính được đạo hàm riêng (cấp 1, cấp 2 hoặc cấp cao hơn) ta cần nắm vững  các  cơng  thức  tính  đạo  hàm  các  hàmthơng  dụng,  các  quy  tắc  tính  đạo  hàm  và  cơng  thức tính đạo hàm hàm hợp. Và cần nhớ, khi ta tính đạo hàm riêng theo biến này thì tất  cả các biến khác có trong hàm số ta xem là hằng số. Các bạn sinh viên thường bị bối  rối và mắc sai lầm ở bước nhận dạng hàm hợp để chọn cơng thức đạo hàm chophù hợp  và chính xác, cộng với việc bị lẫn lộn giữa biến đang lấy đạo hàm và các biến khác có  trong hàm số. Vì vậy, các bạn cần làm nhiều ví dụ từ dễ đến khó để tránh sai lầm và  tính được thuần thục.  Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 202   Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến   Các  hàm  số  có  các  đạo  hàm  riêng  liên  tục  thì  có  f xy''  f yx''   (theo  Định lý Schwarz). Do vậy, đây cũng là một cơ sở để ta kiểm tra xem việc tính tốn các đạo  hàm riêng có đúng khơng.  Để tính được vi phân tồn phần của (cấp 1, cấp 2 hoặc cấp cao hơn)các hàm số  ta cần tính các đạo hàm riêng và thay vào các cơng thức vi phân tồn phần sau:  _ Cơng thức vi phân cấp 1:  df  f x' dx  f y' dy   _ Công thức vi phân cấp 2:  d f  f x'' dx  f xy'' dxdy  f y'' dy   2 _ Công thức vi phân cấp n: d n f  d  d n 1 f      3.1 Tính các đạo hàm riêng cấp 1 và vi phân tồn phần của các hàm số sau:  a z  x2  y2 ;  x2  y b z  sin  x  y  ;  c z  e x  cos x  x sin y  ;  d z  arctan x  y x y   Giải.  a z x'  dz  xy x  y2  4xy x  y2  2 ;  z 'y  4 x y x  y2     ydx  xdy    b z x'  x cos  x  y  ;  z x'  y cos  x  y    dz   xdx  ydy  cos  x  y    c zx'  e x  cos x  x sin y   e x  sin y  sin x  ;  z 'y  xe x cos y   dz  e x  cos x  sin x   x  1 sin ydx  x cos ydy    '  x  y   x  y  x y  x y  x  y 2 y y x  d z x'   ;    2 2 2 x  y x  y x  y  x  y     1 2  x y  x  y  x y     '  x  y   x  y  x y  x y  x  y  y 2x x   z 'y     2 2 2 x  y x  y  x  y   x  y 1 2  x y  x  y  x y   y x xdy  ydx   dz  dx  dy  x  y2 x  y2 x  y2   3.2 Tính các đạo hàm riêng và vi phân tồn phần cấp 2 của các hàm số sau:  a z  xe y  x y ;      b z  cos  xy    Giải a zx'  e y  xy ;  z 'y  xe y  x ;  zx''  y ;  zxy''  e y  x ;  z ''y  xe y ;  z ''yx  e y  x   2 Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 203   Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến   d z  ydx   e y  x  dxdy  xe y dy   ' '' '' b z x   y sin  xy  ;  zx2   y cos  xy  ;  zxy   sin  xy   xy cos  xy  ;  z 'y   x sin  xy  ;  z ''y   x cos  xy  ;  z ''yx   sin  xy   xy cos  xy    d z   y cos  xy  dx  sin  xy   xy cos  xy   dxdy  x cos  xy  dy     Bài 4.Tính gần giá trị biểu thức Để tính gần đúng giá trị biểu thức ta cần làm các bước sau:  Xác định hàm số tương ứng với biểu thức và các giá trị  x0 , y0 , x, y   Tính giá trị hàm sơ và các đạo hàm riêng cấp một của hàm số tại điểm  ( x0 , y0 ) rồi thay vào cơng thức vi phân tồn phần sau:  f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 )  f x' ( x0 , y0 ) x  f y' ( x0 , y0 ) y     Áp dụng vi phân để tính gần đúng giá trị của biểu thức sau:  A 2 1, 02    0, 05    Giải 2 2 Ta có  A  1, 02    0, 05   1  0, 02     0, 05    Xét hàm số  f  x, y   x2  y   Ta  thấy  1  0, 02     0, 05   f ( x0  x, y0  y )   với  x0  1,  y0  0, x  0, 02   và  y  0, 05   Mà   f ( x0  x, y0  y )  f ( x0 , y0 )  f x' ( x0 , y0 )x  f y' ( x0 , y0 )y                                 f 1,0   f x' 1,  0, 02  f y' 1,  0, 05 Với  f x'  2x 33  x2  y 2  ,  f y'  2y 33  x2  y2      Vậy  1  0, 02     0, 05   12  02   0, 02   0, 05  1, 013     Bài Tính đạo hàm hàm hợp Phương pháp: Để tính được đạo hàm các hàm số hợp ta có hai cách:  Cách 1: (Trực tiếp) Thay biểu thức của biến số trung gian vào cơng thức cho hàm số  rồi tính đạo hàm được u cầu.  Cách 2: (Gián tiếp) Tính các đạo hàm và đạo hàm riêng rồi thay vào các cơng thức của  đạo hàm hàm hợp:  dz z dx z dy 1. Trường hợp một biến độc lập:      dt x dt y dt Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 204   Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến   dz z z dy     dx x y dx z z x z y z z x z y    2. Trường hợp hai biến độc lập:          u x u y u v x v y v Nhận xét.  Nếu  bạn  sinh  viên  nào  thành thạo trong  việc tính  đạo  hàm  riêng  thì  dùng  cách 1 tính nhanh hơn và khơng cần nhớ cơng thức tính đạo hàm hàm hợp. Nhưng tính  theo cách 2 thì thơng thường các hàm thành phần sẽ đơn giản hơn nên sẽ dễ tính đạo  hàm. Hơn nữa, với một số hàm hợp khi tính theo cách 2 sẽ nhanh và ít sai sót hơn.   dz 5.1. Cho  z  xy , trong đó  x  cos t ,  y  sin t  Tính   dt y dz 5.2. Cho  z  arctan , trong đó   y   x  Tính   với  x  0, x    x dx 2 5.3 z  3x  y với  x  2s  7t ,  y  5st  Tính các đạo hàm của z theo s, t Giải.  5.1.Cách 1:  z  xy  cos t sin t   dz d   cos t sin t  dt dt        sin t sin t  cos t.2sin t cos t         2sin t cos2 t  sin t z z dx dy Cách 2: Ta có   y ,     sin t ,    xy,    cos t   x y dt dt Vậy   dz z dx z dy   dt x dt y dt       y   sin t   xy.cos t         sin t   sin t   2cos t sin t.cos t       2sin t cos2 t  sin t 5.2. Ta có  Vậy  z  x 1 dy 1  y  z ,       ,     y   x  y  y  x dx  x 1   1    x x dz z z dy 2 y  x  x      dx x y dx  x2  y   x 5.3 Ta có  z z x x y y  x   2s  7t  ,    y  10st,    2,    7,    5t,    5s   x y s t s t Vậy   z z x z y z z x z y    24s  84t  50st  và     84s  294t  50s 2t   s x s y s t x t y t Bài 6.Cực trị tự - Cực trị có điều kiện - GTLN & GTNN hàm hai biến     Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 205   Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến   Phương  pháp  giải  các  bài  tốn  này  đã  được  trình  bày  chi  tiết  kèm  các  ví  dụ  cụ  thể  trong phần 4.8 và 4.9.    Để giải các dạng tốn này các bạn sinh viên cần nhận ra đúng dạng và áp dụng  đúng các bước trong phương pháp đã trình bày.   Tuy nhiên, nhiều sinh viên dù đã nắm rõ phương pháp của từng dạng nhưng lại  khơng biết cách giải hệ phương trình, chúng ta cần để ý kĩ bước này vì nếu bước này  sai thì cả bài giải sai (dù các bước khác đúng). Sau đây, chúng ta xétthêm một số ví dụ  tham khảo nữa. Hi vọng rằng qua các ví dụ này các bạn sẽ hiểu rõ hơn và khơng cịn  sai sót ở bước giải hệ phương trình nữa.    6.1 Tìm cực trị của hàm số  f  x, y   x3  xy  x  y   Giải.  ● Tính các đạo hàm riêng:  f x'  x  y  10 x ;      f y'  xy  y  y  x  1 ;  f x''2  12 x  10 ;    f y''2   x  1 ;    f xy''  y    f x'  6 x  y  10 x  0   (1)    '  f y   y  x  1  0   (2) ● Xét hệ phương trình    y0    x  1 Phương trình (2)     x0 TH1: y   thay vào (1) ta có    5  x     y2 TH2: x  1  thay vào (1) ta có       y  2     Do đó, hàm số có 4 điểm dừng là  M1  0;0  ,  M   ;0  ,  M  1;2  M  1; 2    ● Đặt  A  f x''  12 x  10 ; B  f xy''  y ;  C  f y''   x  1   2   B  AC  y   x  1 x  5   ● Tại  M1  0;0  :    20  ,  A  10   nên hàm số đạt cực tiểu tại  M1  0;0   và  f  0,0     40     ● Tại  M   ;0  :       và  A  10   nên hàm số đạt cực đại tại  M   ;0    3       125 và  f   ;0       27 ● Tại  M  1;2  :    16   nên hàm số khôngđạt cực trị tại  M  1;2    ● Tại  M  1; 2  :    16   nên hàm số khôngđạt cực trị tại  M  1; 2    Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 206   Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến     6.2 Tìm cực trị của hàm số  z  x3 y   Giải Ta có  zx'  3x y ,  z 'y  3x3 y   Hàm số có các điểm dừng là   0, y0   (với  y0  tùy ý) và   x0 ,   (với  x0  tùy ý).  z x''  xy ,  z xy''  x y ,  z ''y  x y   Tại   0, y0   thì  A  B  C   nên     Do đó,   0, y0   là điểm nghi ngờ có cực trị.  Ta  thấy  trong  lân  cận  của   0, y0    có  những  điểm   x, y0    mà  z  x, y0    z  0, y0    và  cũng  có  những  điểm   x, y0    mà  z  x, y0    z  0, y0   Vì  vậy,   0, y0    không  là  điểm  cực trị của hàm số đã cho.  Tương tự,   x0 ,   cũng khơng là điểm cực trị của hàm số.  Vậy hàm số khơng có cực trị.  Chú ý. Đa số các bạn sinh viên khi giải bài này chỉ tìm ra một điểm dừng duy nhất là   0,0     6.3 Tìm cực trị của hàm số  f  x, y   xy với điều kiện ràng buộc:    x, y    x  1  y     Giải.    ● Lập hàm Lagrange: L  x, y,    f  x, y     x, y   xy    x  1  y     L'x  y  2  x  1  0             (1)  ● Giải hệ phương trình   L'y  x  2 y  0                     (2)    2   x, y    x  1  y   0  (3) x + Khi  y   thì từ (2) ta rút ra      Thay vào (1) ta được:  y  x  x  1   2y Thay vào (3) và giải ra được  x   hoặc  x    Nếu  x   thì  y   (loại).  Nếu  x   thì  y   3 3 3 3  Ta được hai điểm dừng là   ,   và   ,    ứng với   2  2 3  và      2 + Khi  y   phương trình (2) cho  x   Ta có điểm dừng là   0,0   ứng với       3 3 3 3 Vậy hàm số có 3 điểm dừng là  M  0,0  ,  M1  ,    và  M  ,     2 2  Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 207   Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến   Ta  thấy  hàm  số  f  x, y   xy   dương  tại  những  điểm  thuộc  nửa  trên  của  đường  tròn  C :  x  y    và âm tại những điểm thuộc nửa dưới của C. Hàm f liên tục trên tập  đóng và bị chặn C nên sẽ đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên C. Giá trị bé nhất  chỉ có thể đạt tại nửa đường trịn dưới và giá trị lớn nhất chỉ có thể đạt tại nửa đường  trịn trên. Vậy  M1  là điểm cực tiểu có điều kiện và  M  là điểm cực đại có điều kiện,  cịn  M  khơng là điểm cực trị có điều kiện vì ở lân cận của nó trên đường trịn  f   ở  nửa đường trịn trên và  f   ở nửa đường trịn dưới. Vì vậy, ta có:  f   3 3  và  f max    4 Chú ý. Khi gặp bài này các bạn sinh viên thường sai ở chỗ rút     x  mà không xét  2y  Hai trường hợp  y   và  y    C Bài tập đề nghị Bài 1. Tính các giới hạn sau (nếu có):  1.1 lim xy  y  x , y ( 1,2)  x  y  1  x2  y 1.2 1  cos y  ;   x , y (0,0) y2 lim ;  x2  y ;   x , y (0,0) x  y x3  y 1.5 lim ;   x , y (0,0) x  y x sin xy 1.7 lim ;   x , y (0,0) y 1.3 lim 1.4 x y ;   x , y  (  ,  ) x  y lim 1.6 x2  y2 ;   x , y (0,0) x  y 1.8 sin xy ;   x , y (0,0)   xy lim lim sin  x  y    x2  y2 Bài Xét tính liên tục của các hàm số sau tại  M  0,  :  1.9 lim  x , y  (0,0)  sin  xy  ,  khi xy   2.1 f  x, y    xy   1          , khi xy    x3 y ,  khi   x, y    0,0   2.2 f  x, y    x6  y   0          , khi   x, y    0,0     xy 3 ,  khi   x, y    0,   2.3 f  x, y    x  y 0          , khi  x, y  0,      Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 208   Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến    cos x  cos y ,  khi x  y   2.4 f  x, y    x  y   0          , khi x  y   Bài 3. Tính các đạo hàm riêng cấp 1 và vi phân tồn phần của các hàm số sau:  3 3.1 z  x  y  xy ;  y 3.4 z  x x ;    x  y ;  3.7 z  ln x  y x x2  y 3.2 z  ;  x  y2 3.3 z  e 3.5 yx y ;  3.6 z  x y  xy ;  3.8 z  arctan y ;  x sin ;  3.9 z  arcsin yx   x Bài 4. Chứng minh rằng  4.1. Hàm  z  ln( x  xy  y )  thỏa phương trình  x y x 4.2 Hàm  z  xy  xe  thỏa phương trình  x z z  y  ;  x y z z  y  xy  z   x y Bài 5. Tính các đạo hàm riêng và vi phân cấp 2 của các hàm số sau:  5.2 z  xy  y ;  5.1 z  ln( x  y ) ;  5.3 z  arctan x y    xy Bài Áp dụng vi phân để tính gần đúng giá trị của các biểu thức sau:  1,99 6.1 A  1, 04 2,03   6.2 B  1, 04   ln 1, 02    6.3 C  ln   1, 03  0, 98    Bài Tìm các đạo hàm của các hàm số hợp sau đây bằng hai cách (trực tiếp và gián  tiếp):   v2 , trong đó  u  cos x,  v  x  y   x 7.2 z  ln  x2  y  , trong đó  u  xy,  v    y 7.1 z  eu  7.3 f  x, y   ln  sin  x  2  , trong đó  x  3t ,  y  t    y  Bài 8. Tính đạo hàm của các hàm số ẩn  y  y  x  ,  z  z  x, y  cho bởi các phương trình  sau đây:  8.1 x3 y  y x  a ;           8.2 xe y  ye x  e xy  ;               8.3 x3  y  z  3xzy  ;  y x 8.4 ln x  y  a arctan  Tính  y ',  y ''   x y z 8.5 z   y  z  Chứng minh rằng:  x z x'  z 'y    Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 209   Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến   Bài 9. Giải các bài tốn thực tế sau bằng cách ứng dụng vi phân tồn phần để tính gần  đúng:  9.1. Một tấm thép có dạng hình chữ nhật với chiều rộng 1m và chiều dài 2m. Khi bị  ảnh hưởng bởi nhiệt độ, tấm thép này bị thay đổi (có thể dãn nở thêm, co lại): chiều rộng thay đổi 2mm, chiều dài thay đổi 3mm. Hãy ước lượng, phần diện tích  tăng hoặc giảm ấy?  9.2. Khi đo bán kính đáy và chiều cao của một khối gỗ dạng hình trụ,ta được bán kính  r  0,5m   và  chiều  cao  h  2m   Biết  sai  số  khi  đo  bán  kính  là  0, 2cm ;  sai  số  khi  đo  chiều cao là  0, 3cm ;  Hãy tính sai số tuyệt đối lớn nhất khi tính thể tích của khối gỗ  trên.  9.3. Khi đo các kích thước một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật ta được các  số liệu theo chiều rộng, chiều dài và chiều cao như sau: a  2m ,  b  3m và  c  5m  Biết  sai số mỗi lần đo có thể tới  0,1cm  Tính sai số tuyệt đối lớn nhất khi tính thể tích của  bể chứa nước trên.  Bài 10. Tìm cực trị của các hàm số sau:  10.1 f   x  x2  xy  y ; 10.2 f  ( x  1)  y ; 10.3 f  x  xy  y  x  y ;    10.4 f  x  xy  y  3x  y ;   10.5 f  x3 y (6  x  y ) , với  x  0, y  ; 10.6 f  4( x  y )  x  y ; 10.7 f  x  xy  y  x  y  ; 10.8 f  x  y  xe y ; 10.9 f  x3  y3  xy  27 ;    10.10 f  x3  y  3xy ;   10.11 f  x  y  x  xy  y Bài 11 Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số sau:  11.1 f  xy  với điều kiện  x  y  ;  11.2 f  x  y  với điều kiện  x  y  ;  x y 11.3 f  x  y  với điều kiện    ;  11.4 f  1 1   với điều kiện      x y x y Bài 12 Tính GTLN và GTNN của các hàm số trên miền D:  12.1 f ( x, y)  x  xy  y  x  y , miền D đóng giới hạn bởi hình tam giác có các  đỉnh:  O(0;0) ,  A(3;0) ,  B(0; 3)   12.2 f ( x, y)  x  y  x  y , miền đóng D giới hạn bởi các đường thẳng  x  ;  y  ; và  x  y    12.3 f ( x, y)   xy  x  y , miền D đóng giới hạn bởi các đường  y  x ,  y    Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 210   Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến   12.4 f ( x, y)  x  xy  x  x , D là miền đóng giới hạn bởi các đường thẳng  x  ;  x  ;  y   và  y    12.5 f ( x, y)  x  y  x y  , D là miền đóng giới hạn bởi các đường thẳng  x  ;  x  1 ;  y   và  y  1   12.6 f ( x, y )   x  y ,  D là miền trịn đóng  ( x  1)  ( y  1)    12.7 f ( x, y)  x  y , D là miền trịn đóng  x  y    12.8 f ( x, y)  x3  y  3xy , với  D  0  x  2,     y  2   12.9 f ( x, y)  x  y , với  D  ( x, y )   |  x  y         Đáp số tập chương 4  Bài 1.  1.1 5 ;  1.2 ; 1.6 Khơng có;  Bài 2.1. Liên tục; 1.3 Khơng có; 1.7. 0;   1.8. -3;  Bài a 1,08.  Bài 7.1 z  e    cos2 x  x  y 1.5. 0;   1.9. 1.  2.2 Không liên tục; Bài HD: Tính các đạo hàm riêng  ' x 1.4 0; 2.3 Liên tục; 2.4 Liên tục.  z z  và   rồi thay vào phương trình.  x y b 1,05.    c 0,005.   cos x sin x  x z '  ecos   ,  y  x  x2  y 2  4y   '  y  1 7.2 z  ,  z y    x y  y  1 ' x 7.3 df 6t  5t 3t  cot   dt  t  1 t  t 1 Bài 8. Tính đạo hàm của các hàm số ẩn  y  y  x  ,  z  z  x, y  cho bởi các phương trình  sau đây:  y  3x  y  x2  yz ' y  xz e y  ye x  ye xy ' z   ,    z   y '  8.1 y '  ;   8.2 ;  8.3 ;  x y xe y  e x  xe xy z  xy z  xy x  y2  x2  a  1 x  y   x  ay 8.4 y '     ,    y ''  ax  y  ax  y  y z 8.5. Tính  z x' ,  z 'y  rồi thay vào phương trình:  x z x'  z 'y    Bài 10 10.1 f max  13  tại  M (4; 2) ;  10.2 f   tại  M (1;0) ;  10.3 f  1  tại  M (1;0) ;  Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 211   Chương – Phép tính vi phân hàm nhiều biến   10.4 f  9  tại  M (0;3) ;  10.5 f max  108  tại  M (3;2) ;  10.6 f max   tại  M (2; 2) ;  10.7 f   tại  M ( 1;1) ;  10.8 Tại  M (1;0) f không đạt cực trị;  10.9 Tại  M (0;0) f không đạt cực trị;  tại  M (3;3) f đạt cực tiểu;  10.10 Tại  M (0;0)  f không đạt cực trị;  tại  M (1;1) fđạt cực tiểu;  10.11 Tại  M (1; 1)  và tại  M (1;1) f đạt cực tiểu; tại  M (0; 0)  có  s  rt   Hơn nữa  f (0;0)  ,  f ( x; x)  x ( x  2)   khi   x   và  f ( x;  x)  x   khi  x   Nên f không đạt cực trị tại  M (0; 0)   Bài 11 11.1 f max   tại  M (1 2;  1 2) ; 11.2 f max   tại  M (1;  2) ; 11.3 f  36 13  tại  M (18 13;  12 13) ; 11.4 f  1  tại  M ( 1; 1) ,  f max   tại  M (1;1) Bài 12 12.1 f max  f (0; 3)  f ( 3;0)  6;    f  f ( 1; 1)  1 12.2 f max  f (1;1)  ,   f  f (1 2;1 2)  12.3 f max  f (2; 4)  ,  f  f ( 2; 4)  9 12.4 f max  f (1;2)  17;   f  f (1;0)  3 12.5 f max  f (1;1)  7;    f  f (0;0)  12.6 f max  2  2 ;   f  2  2 12.7 f max  f (  2; 0)  ;  f  f (0; 2)  4 12.8 f max  f (2; 1)  13;    f  f (0; 1)  f (1;1)  1 12.9 f max  f ( 2; 2)  2;    f  f ( 2;  2)   Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 212     TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Viết Đơng, Bài tập Tốn cao cấp tập 1, NXB Giáo dục, 2002.  [2] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Bài tập Tốn cao cấp tập 2, NXB Giáo dục, 2007.  [3] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tốn cao cấp tập 2, NXB Giáo dục, 2007.  [4] Trần Ngọc Hội, Bài giảng Tốn cao cấp A1, Trường Đại học Cơng nghệ Sài Gịn (Lưu  hành nội bộ), 2009.  [5]  Trần  Văn  Thạch,  Bài giảng Toán cao cấp A1,  Trường  Đại  học  Thủ  Dầu  Một  (Lưu  hành nội bộ), 2013.  [6] Nguyễn Mạnh Quý – Nguyễn Xuân Liêm, Phép tính vi phân tích phân hàm số nhiều biến số, NXB ĐH Sư phạm, 2005.  [7] Nguyễn Mạnh Quý – Nguyễn Xuân Liêm, Bài tâpPhép tính vi phân tích phân hàm số nhiều biến số, NXB ĐH Sư phạm,2005.  [8] Đỗ Văn Nhơn, Giáo trình Tốn cao cấp A2, ĐH Cơng nghệ thơng tin, NXB ĐHQG  TPHCM, 2013.  [9] Vũ Gia Tê, Giải tích 1, Học viện cơng nghệ Bưu chính Viễn thơng, Hà Nội, 2007.  [10]  Trần  Đức  Long  –  Nguyễn  Đình  Sang  –  Hồng  Quốc  Tồn,  Giáo trình Giải tích (Chuỗi số, Chuỗi hàm), NXB ĐHQG Hà Nội, 2004.  [11] Nguyễn Hữu Khánh, Bài giảng vi tích phân A2, Trường Đại học Cần thơ (Lưu hành  nội bộ), 2003.  [12] Lê Trọng Tường – Nguyễn Thị Thanh Hương, Cơ học, NXB ĐH Sư phạm, 2004.  [13] Lê Bá Long, Bài giảng tốn kĩ thuật, Học viện cơng nghệ Bưu chính Viễn thơng, Hà  Nội, 2013.  [14]  George  B.  Thomas,  Jr.,  Thomas’Calculus early transcendentals,  Massachusetts  Institute of Technology, 2014.      Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 213     MỤC LỤC CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 1  A Lý thuyết ví dụ minh họa 1  1.1. Giới hạn của dãy số thực   1  1.1.1. Các định nghĩa   2  1.1.2. Các tiêu chuẩn về giới hạn của dãy số  . 5  1.2. Giới hạn của hàm số   7  1.2.1.Các định nghĩa   9  1.2.2. Một số tính chất   17  1.2.3. Vô cùng bé – Vô cùng lớn   21  1.3. Hàm số liên tục  . 25  1.3.1. Hàm số liên tục tạimột điểm   25  1.3.2.Hàm số liên tục trên một khoảng   26  1.4. Đạo hàm và vi phân  . 28  1.4.1. Đạo hàm   29  1.4.2. Vi phân   34  1.4.3. Đạo hàm và vi phân cấp cao   36  1.4.4. Ứng dụng của phép tính vi phân  37  B Bài tập có lời giải 40  Bài 1. Chứng minh sự hội tụ hay phân kỳ của dãy số.   40  Bài 2. Tìm giới hạn của hàm số   44  Bài 3. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm   63  Bài 4. Khảo sát sự liên tục của hàm số   65  Bài 5. Tính đạo hàm và vi phân cấp 1   66  Bài 6. Tính đạo hàm và vi phân cấp cao  . 70  Bài 7. Khai triển Taylor và khai triển Maclaurin   72  Bài 8. Bài tập ứng dụng   78  C Bài tập đề nghị 85  CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 93  A Lý thuyết ví dụ minh họa 93  2.1. Tích phân bất định   93  2.1.1. Khái niệm tích phân bất định   93  2.1.2. Các phương pháp tích phân  . 95  2.1.3. Tích phân các hàm hữu tỷ  . 97  2.1.4. Tích phân các hàm vơ tỉ   100  2.1.5. Tích phân các hàm lượng giác  . 101  2.2. Tích phân xác định   103  2.2.1. Định nghĩa tích phân xác định.   103  2.2.2. Tính chất.   103  2.2.3. Công thức Newton-Leibnitz.   104  2.2.4. Các phương pháp tính tích phân xác định   104  2.3. Ứng dụng hình học của tích phân xác định   104  Tài liệu hướng dẫn học tập Tốn cao cấp A1 214     2.3.1. Diện tích hình phẳng trong hệ tọa độ vng góc   104  2.3.2. Độ dài cung đường cong phẳng  . 106  2.3.3. Diện tích của mặt trịn xoay   106  2.3.4. Tính thể tích vật thể   107  2.4. Tích phân suy rộng   108  2.4.1. Tích phân suy rộng với cận ở vơ cực (loại 1)   108  2.4.2. Tích phân của hàm khơng bị chặn (loại 2)  . 111  2.4.3. Hội tụ tuyệt đối  . 113  B Bài tập có lời giải 114  Bài 1. Tính các tích phân bất định   114  Bài 2. Tính các tích phân xác định   118  Bài 3. Tính các tích phân suy rộng loại 1   120  Bài 4. Tính các tích phân suy rộng loại 2   123  Bài 5. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng   128  Bài 6. Bài tập ứng dụng   130  C Bài tập đề nghị 136  CHƯƠNG LÝ THUYẾT CHUỖI 140  A Lý thuyết ví dụ minh họa 140  3.1. Các khái niệm cơ bản   140  3.1.1. Chuỗi số  140  3.1.2. Chuỗi không âm   143  3.1.3. Chuỗi đan dấu  . 148  3.1.4. Chuỗi có dấu bất kỳ   149  3.2. Chuỗi hàm số   150  3.3. Chuỗi lũy thừa  . 151  3.4. Chuỗi Taylor  . 152  3.5. Chuỗi Fourier   154  B Bài tập có lời giải 158  Bài 1. Xét sự hội tụ của chuỗi số bằng định nghĩa   158  Bài 2. Xét sự hội tụ của chuỗi số bằng cách sử dụng các định lý   161  Bài 3. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm số   169  C Bài tập đề nghị 172  CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 176  A Lý thuyết ví dụ minh họa 176  4.1.Khái niệm hàm nhiều biến   176  4.1.1.Định nghĩa   176  4.1.2. Đồ thị của hàm số hai biến số  . 177  4.2. Giới hạn của hàm số hai biến số   179  4.3. Sự liên tục của hàm số hai biến số  . 181  4.4. Đạo hàm và vi phân của hàm số hai biến số   182  4.4.1. Đạo hàm riêng cấp một   182  Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 215     4.4.2. Đạo hàm riêng cấp cao   183  4.4.3. Vi phân toàn phần cấp một   184  4.4.4. Vi phân toàn phần cấp cao   186  4.5. Đạo hàm của hàm số hợp . 186  4.5.1. Trường hợp một biến độc lập   186  4.5.2. Trường hợp hai biến độc lập   187  4.6. Đạo hàm của hàm số ẩn  . 188  4.6.1. Hàm ẩn một biến   188  4.6.2. Hàm ẩn hai biến   188  4.7. Công thức Taylor của hàm số hai biến số.   188  4.8. Cực trị của hàm số hai biến số  . 189  4.8.1.Định nghĩa cực trị   189  4.8.2. Phân loại cực trị   190  4.8.3. Cực trị tự do   190  4.8.4. Cực trị có điều kiện  . 193  4.9. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hai biến số  . 195  B.Bài tập có lời giải 199  Bài 1. Giới hạn của hàm hai biến   199  Bài 2. Sự liên tục của hàm hai biến   201  Bài 3. Tính đạo hàm riêng và vi phân tồn phần   202  Bài 4.Tính gần đúng giá trị biểu thức   204  Bài 5. Tính đạo hàm các hàm hợp   204  C Bài tập đề nghị 208  TÀI LIỆU THAM KHẢO 213 Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 216   ... vào  chuỗi? ? hàm  thành  chuỗi? ?số, xét sự hội tụ của? ?chuỗi? ?số đó rồi kết luận miền hội tụ.   3. 1. Tìm miền hội tụ của? ?chuỗi:   Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 169   Chương – Lý thuyết chuỗi. .. dụ 13 a) Khai triển hàm  f ( x )   thành? ?chuỗi? ?lũy thừa của  x    x2 Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 1 53   Chương – Lý thuyết chuỗi   b) Khai triển hàm  f ( x)  sin x  thành? ?chuỗi? ?Maclaurin. ... những giá trị của   sao cho? ?chuỗi? ?hội tụ được gọi là miền hội tụ của? ?chuỗi? ?hàm số.  Tài liệu hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1 150   Chương – Lý thuyết chuỗi    Để  tìm  miền  hội  tụ  của  chuỗi? ? hàm  số