Mục tiêu biên soạn nhằm tạo ra một tài liệu học tập môn “ Toán 2” ngắn gọn, đầy đủ nội dung trong đề cương chi tiết môn học, đồng thời cung cấp hệ thống bài tập áp dụng phù hợp với chương trình toán Tiểu học hiện nay để rèn cho người học kỹ năng vận dụng các kiến thức đó vào việc giải các bài toán ở Tiểu học, từ đó hiểu được sự vận dụng các kiến thức đang học vào Toán Tiểu học. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 1 tài liệu dưới đây.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN TÀI LIỆU GIẢNG DẠY TOÁN HỌC Phân loại: Tài liệu hướng dẫn học tập Chủ biên: Ths.Đoàn Thị Diễm Ly Thành viên: Ths.Ngô Lê Hồng Phúc Ths.Nguyễn Vũ Vân Trang Bình Dương, /2018 LỜI MỞ ĐẦU Toán học là một môn học bắt buộc cho sinh viên hệ thường xuyên, liên thông, chính quy chuyên ngành giáo dục tiểu học của trường ĐH Thủ Dầu Một Đây là mợt những mơn học có nhiều kiến thức trừu tượng so với trình độ của sinh viên trường Đa số, các giáo trình sinh viên sử dụng để học tập môn học này từ các quyển giáo trình với các kiến thức trình bày chuyên sâu và xuất lâu Do vậy, nhu cầu biên soạn tài liệu hướng dẫn học tập môn Toán để phù hợp với trình độ và sử dụng cho sinh viên trường là cần thiết Mục tiêu biên soạn nhằm tạo một tài liệu học tập môn “ Toán 2” ngắn gọn, đầy đủ nội dung đề cương chi tiết môn học, đồng thời cung cấp hệ thống bài tập áp dụng phù hợp với chương trình toán Tiểu học hiện để rèn cho người học kỹ vận dụng các kiến thức vào việc giải các bài toán Tiểu học, từ hiểu được vận dụng các kiến thức học vào Toán Tiểu học Tài liệu được chia làm chương, gồm những nội dung: Cấu trúc đại số (phần lý thuyết tham khảo, tổng hợp từ [1], [2], [6]); tập hợp số tự nhiên (phần lý thuyết tham khảo từ [1], [3], [4], [5]); tập hợp số hữu tỉ dương , tập hợp số hữu tỉ , tập hợp số thực (phần lý thuyết tham khảo từ [1], [2], [4]) Nội dung tài liệu giới thiệu một số kiến thức cấu trúc đại số, xây dựng tập số tự nhiên từ số tập hợp, xây dựng tập hợp số hữu tỷ theo sơ đồ , xây dựng tập hợp số thực dựa khái niệm số thập phân và vận dụng các kiến thức các tập hợp số vào dạy học các tập hợp số Tiểu học Bên cạnh có trình bày lại lý thuyết, các định lí quan trọng được chứng minh (và một số định lí yêu cầu HS tự tham khảo chứng minh), hệ thống ví dụ giải chi tiết và hệ thống bài tập có hướng dẫn giải đáp số Nhóm tác giả mong muốn sinh viên có thể vận dụng các kiến thức học giải phần chứng minh lại dễ dàng tham khảo các quyển giáo trình được trích dẫn, giải các bài tập Mặc dù cố gắng biên soạn quyển tài liệu này, chắc chắn cịn nhiều thiếu sót Rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của đợc giả để tài liệu được hoàn thiện Bình Dương, tháng năm 2018 Nhóm tác giả MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Chương : CẤU TRÚC ĐẠI SỐ §1 PHÉP TỐN HAI NGÔI 1.1 Nhắc lại khái niệm ánh xạ 1.2 Phép toán hai 10 1.3 Các phần tử đặc biệt 11 § NỬA NHÓM VÀ NHÓM 13 2.1 Nửa nhóm 13 2.2 Nhóm 13 2.3 Nhóm 15 2.4 Đờng cấu nhóm 17 §3 VÀNH VÀ TRƯỜNG 20 3.1.Vành 20 3.2.Trường 26 BÀI TẬP 29 CHƯƠNG : TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN 34 §1 BẢN SỚ CỦA TẬP HỢP 34 1.1 Tập hợp tương đương 34 1.2 Bản số 35 §2 TẬP SỐ TỰ NHIÊN 36 2.1 Tập hợp các số tự nhiên 36 2.2 Phép cộng và phép nhân các số tự nhiên 37 2.3 Quan hệ thứ tự tập 37 §3 LÝ THUYẾT CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN 39 3.1 Phép chia hết và phép chia có dư 39 3.2 Ước chung lớn 40 3.3 Bội chung nhỏ 42 3.4 Số nguyên tố và hợp số 43 §4 HỆ GHI SỚ 45 4.1 Hệ ghi số g phân 45 4.2 Các dấu hiệu chia hết 50 §5 NỘI DUNG VÀ CƠ SỞ TỐN HỌC CỦA VIỆC DẠY HỌC MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ SỐ TỰ NHIÊN Ở TIỂU HỌC 51 5.1 Nội dung dạy học số tự nhiên Tiểu học 51 5.2 Cơ sở toán học của việc dạy học một số vấn đề số tự nhiên Tiểu học 52 BÀI TẬP 53 CHƯƠNG 3: TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM , TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ , TẬP HỢP SỐ THỰC 60 §1.XÂY DỰNG CÁC SỚ HỮU TỈ KHƠNG ÂM CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP HỢP SỚ HỮU TỈ 60 1.1 Xây dựng các số hữu tỉ không âm 60 1.2 Các phép toán tập hợp các số hữu tỉ không âm 62 §2 QUAN HỆ THỨ TỰ VÀ MỚI QUAN HỆ CỦA TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM TRONG TOÁN TIỂU HỌC 65 2.1 Quan hệ thứ tự tập hợp các số hữu tỉ không âm 65 2.2 Tập hợp số hữu tỉ không âm và phân số chương trình môn Toán Tiểu học 65 §3 TẬP HỢP SỚ THẬP PHÂN KHƠNG ÂM 69 3.1 Phân số thập phân 69 3.2 Số thập phân không âm 69 3.3 Dạng thu gọn của phân số thập phân 70 3.4 Các phép toán số thập phân 70 3.5 Quan hệ thứ tự tập số thập phân 71 3.6 Số thập phân vô hạn tuần hoàn 72 §4 SỚ THẬP PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN TIỂU HỌC 73 4.1 Hình thành khái niệm số thập phân 73 4.2 So sánh số thập phân 73 4.3 Các phép toán số thập phân 74 4.4 Giới thiệu các quy tắc tính nhẩm 74 4.5 Giải toán số thập phân 74 §5 TẬP HỢP SỚ HỮU TỈ VÀ TẬP HỢP SỐ THỰC 76 5.1 Tập hợp số hữu tỉ 76 5.2 Tập hợp số thực 77 BÀI TẬP 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 83 Chương : CẤU TRÚC ĐẠI SỚ §1 PHÉP TỐN HAI NGƠI 1.1.Nhắc lại khái niệm ánh xạ 1.1.1.Ánh xạ Định nghĩa 1.1 Một ánh xạ f từ tập hợp X đến tập hợp Y là một quy tắc cho phần tử x thuộc X tương ứng với một phần tử xác định y thuộc Y, kí hiệu y = f(x) Ta viết: f : X Y hay x f ( x) f X Y x f ( x) X gọi là tập nguồn hay miền xác định và Y gọi là tập đích hay miền giá trị của ánh xạ f Vậy f : X Y (1) x X , y Y : y f ( x) là ánh xạ x f ( x) x1 , x2 X , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) (2) Lưu ý Mỗi phần tử x của X có mợt và một phần tử f(x) phần tử y của Y chưa chắc có xX thỏa y=f(x) Ví dụ 1.1 Giả sử X ={1, 2, 3, 4} và Y = {x, y, z, t} Cho các tương ứng từ X đến Y lược đồ hình bên dưới X Y X Y ▪1 °x ▪1 °x ▪2 °y ▪2 °y ▪3 °z ▪3 °z ▪4 °t ▪4 °t ▪ B ▪ a) ▪ c b) ▪ c X Y ▪a °x ▪b °y ▪c °z ▪d °t ▪ c) ▪ c Hình ▪ ▪ ▪ e e Trong đó, hình 1a), phần tử của X khơng có phần tử tương ứng Y, edo tương ứng này không thỏa điều kiện (1) của định nghĩa ánh xạ; Hình 1b), phần tử của X ứng với hai phần tử x, t của Y nên tương ứng ▪ cnày không thỏa điều kiện (2) của định nghĩa ánh ▪ c ▪ c xạ; Tương ứng hình 1c) là ánh xạ vì phần tử thuộc X xác định một và một phần tử thuộc Y Ví dụ 1.2 Mợt người có quy ước giữa màu sắc trang phục làm với các ngày tuần sau: Hai xanh Ba vàng Tư xanh Năm trắng Sáu xanh Bảy đỏ Rõ ràng tương ứng xác định một ánh xạ từ tập A={hai, ba, tư, năm, sáu, bảy} đến tập hợp B={xanh, vàng, trắng, đỏ} Ví dụ 1.3 Với X Y Tương ứng f: , x x2 là ánh xạ từ đến vì x xác định một và một y thỏa y = x+2 1.1.2 Mợt sớ ánh xạ đặc biệt • Ánh xạ hằng: là ánh xạ từ X vào Y cho mọi phần tử x thuộc X cho ảnh một phần tử y0 thuộc Y Tức là, với y0 Y cho trước ta có ánh xạ hằng: f : X Y x y0 • Ánh xạ đờng nhất: là ánh xạ f từ X vào chính X cho với mọi phần tử x X, ta có f(x) = x, kí hiệu 1X hay idX Cụ thể, ta có: id X : X X x x • Ánh xạ nhúng: là ánh xạ f từ tập A X vào X cho f(x)= x với mọi x A 1.1.3 Ảnh và tạo ảnh Định nghĩa 1.2 Cho f : X Y là một ánh xạ, x X tùy ý, A là tập X và B là tập của Y Khi đó, ta định nghĩa: a) f(x) là ảnh của x qua ánh xạ f hay giá trị của ánh xạ f điểm x; x được gọi là nghịch ảnh hay tạo ảnh của y với y là giá trị của ánh xạ f điểm x b) Tập của Y gồm tất các ảnh của mọi phần tử thuộc A gọi là ảnh của A qua ánh xạ f, ký hiệu là f(A) Vậy f ( A) f (a) | a A c) Tập của X gồm tất các tạo ảnh của mọi phần tử thuộc B gọi là tạo ảnh toàn phần B qua ánh xạ f, ký hiệu là f 1 ( B) Vậy : f 1 ( B) x X | f ( x) B Nếu B là tập có mợt phần tử {b}, thì ta viết f 1 (b) thay cho f 1 ({b}) và f 1 (b) x X | f ( x) b Ví dụ 1.4 Cho A = {-1, 0, 1}; B = {-1, - 2}; C = {3} và ánh xạ f: x 3x Khi f(A) = {-1, , 5}; f(B) = {-1, - 4}; f(C) = {11} 1 4 1 và f 1 ( A) -1, - ,- ; f 1 ( B) 1, ; f 1 (C ) f 1 (3) 3 3 3 1.1.4 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh Định nghĩa 1.3 Ánh xạ f : X Y được gọi là đơn ánh với mọi y thuộc Y tồn nhiều một x thuộc X cho y= f(x) Từ định nghĩa ta suy ra: Ánh xạ f : X Y là đơn ánh và x1 , x2 X , x1 x2 thì f ( x1 ) f ( x2 ), hay Ánh xạ f : X Y là đơn ánh và x1 , x2 X , f ( x1 ) f ( x2 ) thì x1 x2 Lưu ý Nếu ánh xạ f được cho dưới dạng y=f(x) thì ta có thể chứng minh f là đơn ánh cách xét phương trình y=f(x), x xem là ẩn và y là tham số Nếu phương trình này có khơng quá mợt nghiệm x X với mọi y Y thì f là một đơn ánh Ví dụ 1.5 Ánh xạ đồng id X : X X x x là một đơn ánh Ánh xạ f: x3 x là một đơn ánh, vì x1 , x2 , x1 x2 thì x13 x23 Ánh xạ f : \ 0 x x là một đơn ánh, vì với x1 , x2 \ {0}, x1 x2 thì 1 x1 x2 Ánh xạ f: x x2 khơng phải là đơn ánh vì –2 và có mợt ảnh là 4, nói cách khác, tờn x1 , x2 , x1 x2 mà f ( x1 ) f ( x2 ) Định nghĩa 1.4 Ánh xạ f : X Y được gọi là toàn ánh f ( X ) Y , tức là, với mọi y thuộc Y tồn ít một x thuộc X cho y = f(x) Lưu ý Nếu phương trình y=f(x) ln có nghiệm x X với mọi y Y thì f là một toàn ánh Ví dụ 1.6 Ánh xạ đồng idX là một toàn ánh Ánh xạ f: x3 x là một toàn ánh, vì phương trình x3 y ln có nghiệm x y với mọi y Ánh xạ f : \ 0 x x là toàn ánh, vì phương trình y, y x có nghiệm và y Định nghĩa 1.5 Ánh xạ f : X Y được gọi là song ánh f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh, tức là, với mọi y Y tồn phần tử x X cho y=f(x) Vậy f là một song ánh và f là tương ứng một-một giữa hai tập hợp Lưu ý Nếu phương trình y = f(x) có nghiệm x X với mọi y Y thì f là một song ánh Ví dụ 1.7 Ánh xạ đồng idX là mợt song ánh vì là vừa là đơn ánh vừa toàn ánh Cho A ={1, 2, 3} và B = {x, y, z} là hai tập hợp Khi đó, giữa A và B tờn song ánh A B x y z Tương tự, ánh xạ f: x x3 cũng là mợt song ánh • Minh họa bằng lược đờ Venn ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ Đơn ánh ▪ c không toàn ánh ▪ Song ánh Toàn ánh không đơn ▪ c ánh ▪ c 1.1.5 Tích ánh xạ ▪ c Định nghĩa 1.6 Cho hai ánh xạ f : X Y và g : Y Z Khi đó, ánh xạ X Z x ▪ c go ( f ( x)) c gf được gọi là tích của ánh xạ f và ánh xạ g, kí hiệu g f ▪hay Ví dụ 1.8 Cho các ánh xạ f : ,x x, g : ,x 2x 1 Khi đó, ánh xạ tích g f và f g được xác định bởi: g f ( x) g ( f ( x)) g (2 x) x 1, và f g ( x) f ( g ( x)) f (2 x 1) x 1 x Nhận xét a) Phép tích ánh xạ khơng có tính giao hoán, nghĩa là g f f g b) Nếu f : X Y là mợt ánh xạ bất kì thì ta ln có f id X idY f f Định lí 1.1 Giả sử f : X Y , g : Y Z là các ánh xạ Khi i) Nếu f, g là đơn ánh thì ánh xạ tích g f là một đơn ánh ii) iii) Nếu f, g là hai toàn ánh thì ánh xạ tích g f là một toàn ánh Nếu f, g là hai song ánh thì ánh xạ tích g f là một song ánh Chứng minh Giả sử g f : X Z là ánh xạ tích của hai ánh xạ f và g i) Với mọi x1 , x2 X , giả sử x1 x2 Do f là đơn ánh, ta suy f ( x1 ) f ( x2 ) Mặt khác, g là đơn ánh nên g ( f ( x1 )) g ( f ( x2 )) hay g f ( x1 ) g f ( x2 ) Vậy g f là đơn ánh ii) Vì g là toàn ánh, nên với mọi z Z , tồn y Y cho g(y) = z Mặt khác, f cũng là toàn ánh, nên với mọi y Y , có x X cho y = f(x) Suy ra, với mọi z Z, tồn x X cho g f (x) = g(f(x)) = g(y) = z Vậy g f là toàn ánh iii) Suy từ i) và ii).■ 1.1.6 Ánh xạ ngược Định nghĩa 1.7 Cho f : X Y và g : Y Z là hai ánh xạ thỏa g f id X và f g idY Khi đó, g được gọi là ánh xạ ngược của f, kí hiệu g = f -1 Nhận xét • Từ định nghĩa, ta suy f cũng là ánh xạ ngược của g • Khơng phải bất kì ánh xạ nào cũng có ánh xạ ngược Định lí sau cho điều kiện tồn ánh xạ ngược Định lí 1.2 Ánh xạ f : X Y có mợt ánh xạ ngược và f là song ánh Chứng minh Bạn đọc tham khảo chứng minh [2] Nhận xét Nếu f : X Y , x được xác định y f ( x) có ánh xạ ngược là f 1 : Y X thì ánh xạ f 1 f 1 ( y) x , với f(x) = y Ví dụ 1.9 Ta có tương ứng sau là song ánh: f: x x3 Ta có f ( x) x y x y Do f có ánh xạ ngược là: f 1 : y y Dễ dàng kiểm tra được f f 1 id và f 1 f id §4 HỆ GHI SỚ Việc ghi số tự nhiên có mợt ý nghĩa to lớn nghiên cứu tính chất của tập hợp số và đặc biệt việc thực hành tính toán các số Cách ghi số hiện (hệ thập phân) người Ấn Độ phát minh từ kỉ VIII và IX, sau được truyền sang Ả Rập và phổ biến Châu Âu từ kỉ XII Cách ghi số này nhanh chóng được tất các dân tợc thừa nhận vì tính ưu việt của so với cách ghi số trước Ngày nay, mợt học sinh tiểu học cũng có thể tính toán thành thạo (cộng, trừ, nhân, chia) các số lớn, việc mà trước những nhà chuyên môn mới thực hiện được Bên cạnh hệ ghi số thập phân, người ta sử dụng nhiều hệ ghi số khác : hệ bát phân, hệ thập lục phân, hệ nhị phân (vật lý, điện tử, máy tính), hệ nhị thập phân, hệ ngũ phân (người Maya) … 4.1 Hệ ghi số g phân 4.1.1 Mở đầu Định lý 4.1 Giả sử g là một số tự nhiên lớn Khi đó, số tự nhiên a biểu diễn diễn một cách dưới dạng a cn g n cn 1.g n 1 c1.g c0 với n 0, ci g 1, i 0,1, 2, , n và cn Chứng minh : Tham khảo [1] trang 87, 88 Định nghĩa 4.1 Giả sử a là số tự nhiên khác 0, g là số tự nhiên lớn nếu: a cn g n cn 1.g n 1 c1.g c0 với ci g 1, i 0,1, 2, , n và cn thì ta viết: a cncn 1 c1c0 g và nói là biểu diễn số tự nhiên a hệ g phân 4.1.2 Biểu diễn số tự nhiên hệ g phân Ví dụ 4.1 Biển diễn số 2521 hệ phân (lục phân) 2521 12 420 01 00 70 10 11 Vậy c0 1, c1 0, c2 4, c3 5, c4 và 2521 154016 16 10 4.1.3 Đổi số Về nguyên tắc, để đổi một số ghi hệ g – phân , sang hệ g – phân ta thực hiện liên tiếp phép chia số và các thương của các phép chia cho g (như ví dụ trên) Tuy nhiên trường hợp này tất các phép tính phải thực hiện hệ g – phân Việc đổi một số được ghi hệ g – phân sang hệ g – phân thường được 45 thực hiện cách : đổi từ hệ g – phân sang hệ thập phân, rồi từ hệ thập phân qua hệ g – phân + Việc đổi một số hệ thập phân sang hệ g – phân trình bày + Việc đổi một số từ hệ g – phân sang hệ thập phân cũng đơn giản Ví dụ 4.2 Viết số 154016 hệ thập phân Theo định nghĩa ta có: 154016 1.64 5.63 4.62 0.61 1.60 1.1296 5.216 4.36 1296 1080 144 2521 Ví dụ 4.3 Đổi số 17417 hệ thất phân sang hệ tứ phân ta có : 17417 1.73 7.7 4.71 1.7 1.343 7.49 4.7 343 343 28 715 Đổi 715 sang hệ tứ phân ta được : 715 31 178 35 18 44 04 11 4 715 230234 Cuối ta được : 17417 230234 4.1.4 So sánh số hệ g phân Bổ đề 4.1 Nếu hệ g phân số tự nhiên a được viết là a cncn 1 c1c0 g thì ta có a g n 1 Cho hai số tự nhiên hệ g phân (giả sử a b ): a an an1 a1a0 g ; b bmbm1 b1b0 g Có hai trường hợp xảy ra: a) Nếu n m , chẳng hạn n m Khi ta khẳng định a b Thật vậy, n m thì n m 1, theo bổ đề ta có : b g m1 g n c0 g n a (chú ý c0 ) Vậy ta có : hai số ghi hệ g phân, số nào có nhiều chữ số lớn b) Nếu m n , nghĩa là a và b có số chữ số 46 Vì a b nên chắc chắn tồn số i (0 i n) cho ci bi Giả sử k là số lớn mà ci bi , chẳng hạn ck bk , nghĩa là : cn bn , cn1 bn1 , , ck 1 bk 1 , ck bk nên ck bk , ta có: a cn g n ck g k ck 1.g k 1 c0 cn g n ck 1.g k 1 ck g k bn g n bk 1.g k 1 (bk 1).g k Theo bổ đề: g k bk 1.g k 1 b0 Vì ta có: a bn g n bk g k g k bn g n bk g k bk 1.g k 1 b0 Nghĩa là : a b Vậy ta có: Nếu hai số ghi hệ g phân có số chữ số thì số có chữ số đầu tiên từ trái sang phải lớn lớn 4.1.5 Thực hành phép tính hệ g phân Để thực hiện phép cộng và phép nhân hệ g phân, ta lập bảng cộng và bảng nhân các chữ số của hệ g phân, sở thực hiện phép tính với các số có nhiều chữ số cách sử dụng quy tắc nhớ Cụ thể, ta trình bày vấn đề hệ phân (bát phân) Bảng cộng hệ bát phân: + 08 18 28 38 48 58 68 78 08 08 18 28 38 48 58 68 78 18 18 28 38 48 58 68 78 108 28 28 38 48 58 68 78 108 118 38 38 48 58 68 78 108 118 128 48 48 58 68 78 108 118 128 138 58 58 68 78 108 118 128 138 148 68 68 78 108 118 128 138 148 158 78 78 108 118 128 138 148 158 168 47 Bảng nhân hệ bát phân: X 08 18 28 38 48 58 68 78 08 08 08 08 08 08 08 08 08 18 08 18 28 38 48 58 68 78 28 08 28 48 68 108 128 148 168 38 08 38 68 118 148 178 228 258 48 08 48 108 128 208 248 308 348 58 08 58 128 148 248 318 368 438 68 08 68 148 168 308 368 448 528 78 08 78 168 258 348 438 528 618 Chú ý: Khi lập bảng cộng và bảng nhân ta thực hiện phép tính hệ thập phân rồi đổi kết hệ bát phân Ví dụ 4.4 Tính 540728 32468 Giải: 54072 32468 573408 Giải thích các bước thực hiện: Dựa vào bảng cợng hệ bát phân, ta có: + 28 68 108 viết nhớ 18 + 78 48 138 cộng 18 nhớ 148 viết nhớ 18 + 08 28 28 cộng 18 nhớ 38 viết + 48 38 78 viết + 58 08 58 viết Cách khác: Chuyển các số sang hệ thập phân thực hiện phép tính nhân hệ thập phân rồi chuyển kết sang hệ bát phân 540728 32468 22586 1702 24288 573408 48 Ví dụ 4.5 Tính 32468 758 Giải 32468 758 204768 272128 _ 3126168 Giải thích các bước thực hiện: Dựa vào bảng nhân hệ bát phân * Nhân với 32468 + 58 68 368 viết nhớ 38 + 58 48 248 cộng 38 nhớ, 278 viết nhớ 28 + 58 28 128 cộng 28 nhớ, 148 viết nhớ 18 + 58 38 178 cộng 18 nhớ, 208 viết 20 * Nhân với 32468 + 78 68 528 viết nhớ 58 + 78 48 348 cộng 58 nhớ, 412 viết nhớ 48 + 78 28 168 cộng 48 nhớ, 228 viết nhớ 28 + 78 38 258 cộng 28 nhớ, 278 viết 27 * Thực hiện phép cộng theo cột : Dựa vào bảng cộng hệ bát phân + 68 08 68 viết + 78 28 118 viết 1, nhớ 18 + 48 18 58 cộng 18 nhớ, 68 viết + 08 28 28 viết + 28 78 118 viết nhớ 18 + 08 28 28 cộng 18 nhớ, 38 viết Cách khác: Chuyển các số sang hệ thập phân, thực hiện phép tính nhân hệ thập phân rồi chuyển kết sang hệ bát phân 49 32468 758 = 1702 61 103822 3126168 4.1.6 Hệ nhị phân Hệ nhị phân – được xem là một chuỗi có những số và và thường gắn liền với những máy tính Nhưng lại vậy? Tại máy tính không dùng hệ thập phân thay vì chuyển tât sang hệ nhị phân? Một máy tính kỹ thuật số hiện đại hoạt động dựa nguyên lý bao gồm hai trạng thái “bật” và “tắt” tương ứng với trạng thái hiện diện hay vắng mặt của dòng điện Trạng thái “bật” được gán cho số trạng thái “tắt” được gán cho số Do hệ nhị phân là hệ đếm hoàn toàn dựa hai chữ số và Bảng cộng hệ nhị phân + 02 12 02 02 02 12 12 102 Bảng nhân hệ nhị phân 02 12 02 02 02 12 02 12 4.2 Các dấu hiệu chia hết Để đơn giản ta giới hạn việc trình bày hệ thập phân 4.2.1 Dấu hiệu chia hết cho và Định lý 4.2 Một số chia hết cho (hoặc 5) và chữ số hàng đơn vị của chia hết cho (hoặc 5) Cụ thể: a) Một số chia hết cho và có chữ số hàng đơn vị là 0, 2, 4, 6, b) Một số chia hết cho và chữ số hàng đơn vị của là Chứng minh: Tham khảo [1] trang 94 4.2.2 Dấu hiệu chia hết cho và 25 Định lý 4.3 Một số chia hết cho (hoặc 25) và số tạo hai chữ số cuối của chia hết cho (hoặc 25) Chứng minh: Tham khảo [1] trang 94 4.2.3 Dấu hiệu chia hết cho và 50 Định lý 4.4 Một số chia hết cho (hoặc 9) và tổng các chữ số của chia hết cho (hoặc 9) Chứng minh: Tham khảo [1] trang 94, 95 4.2.4 Dấu hiệu chia hết cho 11 Định lý 4.5 Một số chia hết cho 11 và tổng các chữ số hàng chẵn trừ tổng các chữ số hàng lẻ là một bội của 11 Chứng minh: Tham khảo [1] trang 95 §5 NỘI DUNG VÀ CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA VIỆC DẠY HỌC MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ SỐ TỰ NHIÊN Ở TIỂU HỌC 5.1 Nội dung dạy học số tự nhiên Tiểu học Số học là mạch kiến thức bản, cốt lõi của chương trình môn toán Tiểu học Mạch số học được tạo thành từ phần: số học các số tự nhiên, số học các phân số, số học các số thập phân và một số các yếu tố đại số; số học các số tự nhiên giữ vai trò trung tâm được trình bày theo phương pháp đồng tâm từ lớp đến lớp Phần số học các số tự nhiên bao gồm các nội dung: hình thành khái niệm số tự nhiên, so sánh các số tự nhiên, các phép tính số tự nhiên và giải toán số tự nhiên 5.1.1 Hình thành khái niệm về sớ tự nhiên Sách giáo khoa lần lượt giới thiệu cho học sinh: + 10 chữ số + Số có hai và nhiều chữ số + Hàng và lớp của một số tự nhiên có nhiều chữ số + Số chẵn, số lẻ, số tròn chục, số tròn trăm, … + Số tự nhiên liên tiếp, dãy số tự nhiên + Tia số, … 5.1.2 So sánh số tự nhiên Sau hình thành cho học sinh khái niệm “lớn hơn” và “bé hơn”, sách giáo khoa giới thiệu các quy tắc so sánh các số tự nhiên có nhiều chữ số và thực hành so sánh các số tự nhiên 5.1.3 Các phép tính về số tự nhiên Thông qua các vòng số: phạm vi 10, 100, 000, 10 000, 100 000 và các số có nhiều chữ số, sách giáo khoa giới thiệu lần lượt cho học sinh phép tính: cộng, trừ, nhân, chia các số tự nhiên Đối với phép tính, lần lượt cung cấp cho học sinh: + Hình thành ý nghĩa của phép toán 51 + Phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) bảng + Quy tắc thực hành phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) ngoài bảng (với các số có nhiều chữ số) + Tính chất của phép tính (giao hoán, kết hợp, phân phối, tính chất của số 0, số 1, …) + Kỹ tính nhẩm + Các dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 3, 5.1.4 Giải tốn về sớ tự nhiên Hoạt đợng giải toán có vị trí quan trọng dạy – học toán nói chung, dạy – học số tự nhiên Tiểu học nói riêng Thơng qua day – học giải toán số tự nhiên, từng bước học sinh được phát triển tư duy, rèn luyện phương pháp và kỹ suy luận logic, khơi gợi và tâp dượt khả quan sát, đoán, tìm tòi Các bài toán thường gặp số tự nhiên Tiểu học có thể phân thành dạng: + Các bài toán cấu tạo số tự nhiên + Các bài toán rèn luyện kỹ thực hành so sánh các số tự nhiên + Các bài toán nhằm rèn luyện kỹ thực hành phép tính số tự nhiên + Vận dụng kỹ thực hành tính toán số tự nhiên để giải toán có lời văn và toán có nợi dung hình học, … 5.2 Cơ sở tốn học của việc dạy học mợt sớ vấn đề về số tự nhiên Tiểu học - Dùng số tập hợp, ngôn ngữ của Tiểu học, sách giáo khoa Toán hình thành cho học sinh 10 chữ số (từ đến 9) - Bằng phương pháp suy luận tương tự, sách giáo khoa giới thiệu cho học sinh các số có hai chữ số và nhiều chữ số - Dùng số tập hợp, ngôn ngữ của Tiểu học, sách giáo khoa Toán hình thành cho học sinh khái niệm “lơn hơn”, “bé hơn” và quan hệ so sánh các số phạm vi 10 - Bằng phương pháp quy nạp (không hoàn toàn), sách giáo khoa giới thiệu cho học sinh quy tắc so sánh các số tự nhiên có nhiều chữ số - Các quy tắc thực hành phép tính và các tính chất của phép tính các số tự nhiên được giới thiệu cho học sinh phương pháp quy nạp Trong các nội dung trước, ta sử dụng công cụ số của tập hợp để chứng minh các tính chất và quy tắc nêu Tuy nhiên Tiểu học, học sinh chưa được trang bị những kiến thức của toán học cao cấp, nên ta phải chọn cách tiếp cận sách giáo khoa trình bày 52 BÀI TẬP 2.1 Cho A 1, 2,3, 4 , B a, b, c, d Hãy hai song ánh từ A đến B Có song ánh từ A đến B ? Hướng dẫn giải: Có tất 4! 24 song ánh từ A đến B Chẳng hạn: f : A B a b c d g:AB b a c d 2.2 Cho ba tập hợp A, B và C Chứng minh: a) A B B A b) ( A B) C A ( B C ) Hướng dẫn giải: a) Ánh xạ f : A B B A là một song ánh ( a, b) (b, a) b) Ánh xạ f : ( A B) C A ( B C) là một song ánh ((a, b), c) (a, (b, c)) 2.3 Cho hai tập hợp A và B với B Chứng minh A A B Hướng dẫn giải: Vì B nên b B , cố định phần tử b Ta có ánh xạ f : A A B là một đơn ánh và vì A A B a ( a, b) 2.4 Chứng minh tập A 1, 2,3, 4 là một tập hợp hữu hạn Hướng dẫn giải: Tập A có 15 tập thực và các tập này không tương đương với A 2.5 Chứng minh tập số nguyên là mợt tập vơ hạn Hướng dẫn giải: Ta có ánh xạ f : n Tức là là một song ánh và f ( ) 2n n là 2n Vậy một tập thực của 2.6 Cho hai số tự nhiên a và b Chứng minh: a) a b và a b b) ab và a b c) ab và a b là một tập vô hạn 53 Hướng dẫn giải: a) Nếu a b thì a b Ngược lại a b , giả sử a A , b B và A B , A và B là hai tập hữu hạn Khi a b A B suy A B A B hay a b b) Nếu a b ta có ab Ngược lại ta lập luận tương tự câu a) a A , b B , ab A B A B A B hay a b c) Nếu a b thì ta có ab Ngược lại, ab , giả sử a A , b B ,1 ab A B A B A và B Tức là a b 2.7 Chứng minh với mọi số tự nhiên a, b, c, d ta có: a) a a b b) Nếu b thì a ab c) Nếu a b và c d thì a c b d và ac bd d) Nếu a b và c d thì a c b d và ac bd Hướng dẫn giải: a) Hiển nhiên a a b a, b b) Nếu b thì b suy ab a.1 a c) Giả sử a b và c d a c b c và b c b d Do tính chất bắc cầu của quan hệ " " nên suy a c b d d) Giả sử a b và c d Khi u , v cho u 0, v 0, a u b và c v d Từ suy (a c) u b c và (b c) v b d (a c) (u v) b d Vì u v nên a c b d 2.8 Cho a, b, c là ba số tự nhiên và giả thiết thêm phép trừ các biểu thức dưới thực hiện được Chứng minh: a) (a b) c a (b c) (a c) b b) a (b c) (a b) c (a c) b c) a (b c) (a b) c (a c) b d) (a c) (b c) a b e) (a c) (b c) a b Hướng dẫn giải: 54 a) (b c) c b c (a c) a a [(b c) c] a b [a (b c)] c a b a (b c) (a b) c [c (a c)] b a b c [(a c)+b] a b ( a c ) b ( a b) c b) [a (b c)] (b c) a c) [a (b c)] (b c) a {[a (b c)] c} b a [a (b c)] c a b a (b c) (a b) c {[a (b c)]+b} c a {[a (b c)] b} a c a (b c) (a c) b Tương tự: a (b c) (a c) b d) Áp dụng câu b) ta có: (a c) (b c) a [c (c b)] a [(c c) b] a b e) Áp dụng câu c) ta có: (a c) (b c) [(a c) c] b [a (c c)] b a b 2.9 Cho a, b, c, d là những số tự nhiên và a b; c d Chứng minh rằng: a b c d và a d b c Hướng dẫn giải: Nếu a d b c thì (a d ) b c (a b) d c a b c d Ngược lại a b c d thì (a d ) c b (a c) d b a c b d 2.10 Chứng minh tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho và chia hết cho Hướng dẫn giải: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a 1, a Đặt m a(a 1)(a 2) xét ba trường hợp: * Nếu a thì m * Nếu a 3q thì a (3q 3) m * Nếu a 3q thì a (3q 3) m Trong ba số tự nhiên liên tiếp có ít mợt số chẵn, tích của chúng chia hết cho 2, tức là m Vì và là hai số nguyên tố nên m 2.11 Chứng minh 11 số tự nhiên bất kì có hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 10 Hướng dẫn giải: Giả sử a1 , a2 , , a11 là 11 số tự nhiên bất kì Chia cho 10 ta được 10qi ri với ri 9, i 1, 2, ,11 Có 11 số ri nhận giá trị từ đến nên có ít hai số Chẳng hạn: rk rl Khi đó: ak al 10(qk ql ) 10 2.12 Trong định lý phép chia có dư: a bq r , r b a) Cho a 420, b 205 Hãy tìm q và r 55 a) Cho a 335, q 11 Hãy tìm b và r c) Cho a = 137, r = 39 Hãy tìm b và q Đáp số: a) q = 2, r = 10 b) b = 30, r = c) b = 49, q = 2.13 Chứng minh hai số chẵn liên tiếp có mợt và một số chia hết cho Hướng dẫn giải: Tương tự 2.10 2.14 Chứng minh tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Hướng dẫn giải: Áp dụng kết bài 2.14 và tính chất 2.15 Cho hai số tự nhiên a và b Chứng minh: a) Tích ab là số lẻ và a và b là hai số lẻ b) Tích ab là số chẵn và ít một hai số a và b là số chẵn c) Tổng a + b là số chẵn và hai lẻ chẵn d) Tổng a + b là số lẻ và một số chẵn và số lẻ Hướng dẫn giải: a) Giả sử a 2k 1, b 2l Khi là ab (2k 1)(2l 1) 2(kl k l ) mợt số lẻ Nếu có ít một hai số a b là số chẵn, ví dụ a chẵn a 2k suy ab 2kb là số chẵn b) Hiển nhiên c), d) Tương tự câu a) 2.16 Chứng minh với mọi số tự nhiên n ta có: a) n2 n chia hết cho b) n3 n chia hết cho c) n5 n chia hết cho Hướng dẫn giải: a) Nếu n thì n2 n Nếu n thì n2 n n(n 1) la tích của hai số tự nhiên liên tiếp, có mợt số chẵn tích của chúng chia hết cho b), c) Tương tự câu a) 2.17 Cho hai số tự nhiên a và b Hãy tìm BCNN (a, b) với : a) a = 124; b = 36 b) a = 41; b = 75 c) a = 336; b = 120 Đáp số: a) BCNN (124, 36) 1116 56 b) BCNN (41, 75) 3075 c) BCNN (336, 120) 1680 2.19 Cho n là một số tự nhiên, chứng minh: a) UCLN (3n 1, 2n 1) b) UCLN (21n 4, 14n 3) Hướng dẫn giải: Sử dụng thuật toán Euclide 2.19 Cho n là một số tự nhiên lớn Tìm : a) BCNN (3n 1, 2n 1) b) BCNN (21n 4, 14n 3) Hướng dẫn giải: Sử dụng tính chất a.b BCNN (a, b) UCLN (a, b) 2.20 Cho hai số tự nhiên a và b Hãy tìm ước chung lớn d của a và b Tìm u và v cho au bv d Với : a) a = 18, b = 21 b) a = 124, b = 42 Đáp số: a) u = 1, v = -1 b) u = -1, v = 2.21 Hãy tìm ước chung lớn của hai số tự nhiên liên tiếp Đáp số: UCLN (a, a 1) 2.22 Hãy tìm bội chung nhỏ của hai số tự nhiên liên tiếp Đáp số: BCNN (a, a 1) a(a 1) 2.23 Cho p là một số nguyên tố lớn Chứng minh rằng: p chia hết cho Hướng dẫn giải: p ( p 1)( p 1) áp dụng bài 2.10, giả thiết p lớn và tính chất số nguyên tố 2.24 Cho p và q là hai số nguyên tố lớn Chứng minh rằng: p q chia hết cho Hướng dẫn giải: p q ( p 1) (q 1) ( p 1)( p 1) (q 1)(q 1) áp dụng bài 2.23 2.25 Cho a và b là hai số tự nhiên Hãy viết a và b dưới dạng phân tích tiêu chuẩn và tìm ướch cung lớn của a và b với : a) a = 300, b = 210 b) a = 310, b = 2100 57 c) a = 3465, b = 875 Hướng dẫn giải: a) a 22.3.52 , b 2.3.5.7, UCLN ( a, b) 30 b) a 2.5.31, b 22.3.52.7, UCLN (a, b) 10 c) a 32.5.7.11, b 53.7, UCLN (a, b) 35 2.26 Hãy biểu diễn số 2019 các hệ g phân sau: a) Nhị phân b) Ngũ phân c) Thất phân d) Bát phân Đáp số: a)111111000112 b) 310345 c) 56137 d ) 37438 2.27 Hãy biểu diễn các số sau hệ thập phân: a ) 1001100112 b) 402316 c) 614307 d ) 765148 Đáp số: a) 307 b) 5275 2.28 Trong hệ ghi số nào thì: c) 14966 d) 32076 a) Số 63 được viết là 77 g b) Số 32 được viết là 44 g c) Số được viết là 1000 g Đáp số: a) g = b) g = c) g = 2.29 Xác định số g để các cách viết sau là đúng: a ) 13g 23g 41g b) 24 g 32 g 100 g c) 425 g 342 g 63g d ) 111g 22 g 3102 g Đáp số: a) g = b) g = c) d) g = 2.30 a) Biểu diễn số 12032104 hệ lục phân b) Biểu diễn số 456237 hệ ngũ phân Đáp số: a) 453006 b) 3330105 2.31 Thực hiện các phép tính sau: 58 a ) 305416 423156 b) 101011002 110112 c) 6502317 534617 d ) 101012 10112 e) 234015 425 f ) 204578 658 g ) 12304 2134 h) 10346 : 226 Đáp số : a) 1133006 e) 22033425 b) 100100012 f) 15572738 d)111001112 c) 5634407 g ) 10013104 h) 256 2.32 Tìm các số x, y < 10 và: a ) 23x 32 y b) 21x 15 y Đáp số: a) x 4, y b) x 2, y 2.33 Đổi các số sau sang hệ thập lục phân: a ) 50718 b) 11101102 c) 453026 d ) 21045 Đáp số: a) BC116 b) 7616 c) 18E 616 d) 11716 59 ... dụ 1. 4 Cho A = { -1 , 0, 1} ; B = { -1 , - 2}; C = {3} và ánh xạ f: x 3x Khi f(A) = { -1 , , 5}; f(B) = { -1 , - 4}; f(C) = {11 } 1? ?? 4 ? ?1 và f ? ?1 ( A) -1 , - ,- ; f ? ?1 ( B) ? ?1, ... 18 28 38 48 58 68 78 08 08 18 28 38 48 58 68 78 18 18 28 38 48 58 68 78 10 8 28 28 38 48 58 68 78 10 8 11 8 38 38 48 58 68 78 10 8 11 8 12 8 48 48 58 68 78 10 8 11 8 12 8 13 8 58 58 68 78 10 8 11 8 12 8 13 8... 10 8 11 8 12 8 13 8 14 8 68 68 78 10 8 11 8 12 8 13 8 14 8 15 8 78 78 10 8 11 8 12 8 13 8 14 8 15 8 16 8 47 Bảng nhân hệ bát phân: X 08 18 28 38 48 58 68 78 08 08 08 08 08 08 08 08 08 18 08 18 28 38 48 58 68