Tài liệu hướng dẫn học tập Toán học 2: Phần 2 - Trường ĐH Thủ Dầu Một

Tài liệu hướng dẫn học tập Toán học 2 được chia làm 3 chương, gồm những nội dung: Cấu trúc đại số; tập hợp số tự nhiên; tập hợp số hữu tỉ dương Q, tập hợp số hữu tỉ, tập hợp số thực. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 2 tài liệu dưới đây.

CHƯƠNG 3: TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM  , TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ , TẬP HỢP SỐ THỰC §1.XÂY DỰNG CÁC SỚ HỮU TỈ KHƠNG ÂM CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP HỢP SỚ HỮU TỈ 1.1 Xây dựng số hữu tỉ không âm Trong toán học và cuộc sống hàng ngày ta thường gặp các bài toán: – Tìm thương của phép chia: 3:2 Thông qua một bài toán thực tế, chẳng hạn:“Bạn Lan làm được cái bánh lan nướng và đem chia cho bạn thân Hỏi bạn được cái bánh” – Dùng đơn vị là mét để biểu diễn các số đo: 1m, 2dm, 5cm 25cm – Dùng đơn vị là kilôgam để biểu diễn số đo: 14kg, 5g 1245g Trong phạm vi tập các số tự nhiên, các bài toán khơng có lời giải Do đòi hỏi, nhu cầu của thực tiễn toán học, đời sống lao động và sản xuất, thường xuyên phải tìm lời giải cho các bài toán Vì vậy, đặt cho nhiệm vụ phải mở rộng tập hợp số tự nhiên thêm những số mới, để tập hợp số mới nhận được này, tìm được lời giải của các bài toán thuộc các dạng nêu Khi tính toán, thường xuyên vận dụng các tính chất của các phép toán phân số, số thập phân Chẳng hạn: – Tính chất giao hoán – Tính chất kết hợp – Tính chất của số – Tính chất của số Những tính chất, quy tắc thực hành tính toán học sinh thường tiếp nhận hình thức thừa nhận, áp đặt mà không chứng minh được một cách chặt chẽ Giáo viên thường minh hoạ tính đắn của chúng thông qua một số ví dụ cụ thể Chẳng hạn, thông qua bài toán: Tính rồi so sánh kết (xem [1], trang 65) a B c 2,4 3,8 1,2 6,5 2,7 0,8 8,2 1,8 14,7 (a + b) x c axc+bxc Từ bài toán này, giáo viên rút cho học sinh quy tắc: Muốn nhân tổng với số, 60 ta có thể nhân số hạng tổng với số đó rồi cộng kết quả lại Bằng cách này, học sinh phải tiếp thu một cách thụ động, không nắm được sở lí luận của những quy tắc đó.Tuy nhiên, với giáo sinh, những người giảng dạy phổ thông sau này, việc nắm được sở lí luận của những vấn đề nêu là điều thiết thực và bổ ích Vì hai lí nêu trên, cần mở rộng tập số tự nhiên thêm những số mới để tập hợp số mới này (mà dưới ta gọi là tập các số hữu tỉ không âm), các phép chia số tự nhiên (cho một số tự nhiên khác 0) thực hiện được, số đo của các phép đo đại lượng biểu diễn được, các quy tắc thực hành tính toán với phân số và số thập phân được chứng minh chặt chẽ Ta sử dụng kí hiệu (hoặc khác 0) Như biết phân số * ) để tập số tự nhiên (hoặc tập số tự nhiên 2  tạo thành một lớp  ; ; ;  gồm các phân số 3  với Ý tưởng được thể hiện ngôn ngữ của toán học hiện đại sau: Mỗi cặp sắp thứ tự (a; b), a  , b  (hay để cho gọn, ta gọi là phân số) * ta gọi là một phân số không âm Tập tất các phân số kí hiệu là P Khi phân số được kí hiệu là a P   , a  ,b  b * a và b    a b Trên tập P, xác định quan hệ hai s sau:   P, a c s  ad  bc b d Dễ dàng kiểm tra được s có tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu nên s là một quan hệ tương đương xác định tập các phân số P Do đó, ta có thể phân chia tập P theo quan hệ tương đương e và nhận được tập thương P/e Ta gọi tập thương P/s là tập các số hữu tỉ không âm và kí hiệu là phần tử của tập Vậy với r  a    Mỗi ta gọi là một số hữu tỉ không âm , r được xác định một lớp các phân số tương đương với phân số c c a a , b a hay r  C     / s  Khi đó, mợt phân số tḥc C   là mợt đại diện của số hữu  b  d d b  b tỉ r a a thay cho C   Khi đó, nói đến phân số đại diện của một b b a số hữu tỉ, ta thường hiểu là phân số tối giản C   b Để thuận lợi hơn, ta kí hiệu 61 1.2 Các phép tốn tập hợp sớ hữu tỉ không âm 2.1 Phép cộng và phép nhân Ví dụ 1.1 Cho hai phân số và Theo chương trình Toán Tiểu học biết: 5.7  4.9 71    9.7 63 5.4 20   9.7 63 Như phần ta biết, C   và C   là tập hợp các phân số với và 7 9 Chọn một số các phân số lớp đó, ta được đại diện của số hữu tỉ Ngược lại, có mợt phân số đại diện của một số hữu tỉ thì số hữu tỉ cũng hoàn toàn được xác định phân số đại diện này Từ phân tích trên, ta tìm ý tưởng cộng hai số hữu tỷ, sau: 5 5 4  71  C C   C  9 7  63  Tương tự, ta tìm hiệu, tích, thương của hai số hữu tỉ này Một cách tổng quát, ta đến định nghĩa dưới đây: Định nghĩa 1.1 Cho hai số hữu tỉ u và v có phân số đại diện là c a và d b a) Tổng của hai số hữu tỷ được ký hiệu là w = u+v, số hữu tỷ w có phân số đại diện là a c a.d  b.c  a.d  b.c , hay C    C    C   bd b d   bd  Quy tắc cho tương ứng cặp số hữu tỉ u và v với một số hữu tỉ w nói gọi là phép cộng các số hữu tỉ khơng âm, u và v gọi là các số hạng, w gọi là tổng b) Tích của hai số hữu tỷ được ký hiệu là r = u+v, số hữu tỷ r có phân số đại diện là ac a  c   ac  , hay C   C    C   bd b d   bd  * Quy tắc cho tương ứng cặp số hữu tỉ u và v với một số hữu tỉ r nói gọi là phép nhân, các số hữu tỉ khơng âm, u và v gọi là các thừa số, r gọi là tích Từ các kết trên, ta rút tính chất: Tính chất 1.1: Tổng của hai số hữu tỉ không phụ thuộc vào việc lựa chọn phân số đại diện của chúng Tính chất 1.2: Tích của hai số hữu tỉ không phụ thuộc vào việc lựa chọn phân số đại diện của 62 chúng Định lí 1.1: Tính chất của phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm Phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm thoả mãn các tính chất sau: a) Tính giao hoán: r + s = s + r và rs = sr với mọi r , s   b) Tính kết hợp:(r + s) + t = r + (s + t) và (rs)t = r(st) với mọi r , s   c) Phần tử trung hòa: Tồn một số hữu tỉ và một số hữu tỉ cho r + = r và r = r Ta gọi là phần tử trung hoà của phép cộng và là phần tử đơn vị của phép nhân d) Luật giản ước: Nếu r + t = s + t thì r = s với mọi t   và rt = st thì r = s với mọi t   , t 0 e) Tính chất phân phối: r(s + t) = rs + rt với mọi r , s, t   f) Phần tử nghịch đảo: Với mọi số hữu tỉ r tồn một số hữu tỉ r 1 cho r.r 1 = Ta gọi r 1 là phần tử nghịch đảo của r g) Tích của hai số hữu tỉ và ít mợt hai số Chứng minh định lý a b c , với a,b,c,d là các số tự nhiên Theo tính chất d a.d  b.c c.b  a.d giao hoán tập hợp số tự nhiên, ta có:  bd db a.d  b.c Mặt khác, theo định nghĩa phép cộng số hữu tỉ thì đại diện cho số hữu tỉ r+s và bd c.b  a.d đại diện cho số hữu tỉ s+r db a) Giả sử r , s   Ta đặt r  , s  Từ suy r + s = s + r ■ b) Sinh viên tự chứng minh tương tự các tính chất lại của định lý (Tham khảo trang 123-125, [1]) 1.2.2 Phép trừ Định nghĩa 1.2 Cho hai số hữu tỉ u và v có phân số đại diện lần lượt là c a và d b a) Hiệu của hai số hữu tỷ được ký hiệu là h = u-v, số hữu tỷ w có phân số đại diện là a.d  b.c a c  a.d  b.c  , hay C    C    C   , với a.d  b.c là một số tự nhiên bd b d   bd  63 Quy tắc cho tương ứng với cặp số hữu tỉ u và v với một số hữu tỉ h nói ta gọi là phép trừ các số hữu tỉ khơng âm Trong u là số bị trừ, v là số trừ và h là hiệu số và , đó: 8.7  4.9 20 4.9  8.7 không thực hiện được tập    ,   7 9.7 9.7 63 Ví dụ 1.2 Cho hai phân số  Định lí 1.2: Phép trừ các số hữu tỉ không âm thoả mãn các tính chất sau: a) r – s = u và u + s = r b) r(s –t) = rs – rt mợt hai vế có nghĩa (Chứng minh tương tự định lí 2.1) 1.2.3 Phép chia Định nghĩa 2.3: Cho r và s là hai số hữu tỉ khơng âm, s  Ta gọi thương của số hữu tỉ r chia cho s là số hữu tỉ q, kí hiệu r : s = q, thoả mãn điều kiện q.s = r * Quy tắc cho tương ứng cặp số hữu tỉ r và s với số hữu tỉ q nói ta gọi là phép chia các số hữu tỉ không âm, r là số bị chia, s là số chia và q là thương số Nhận xét: Giả sử r , s   , s  Theo định lí 2.1, tồn số nghịch đảo s 1 của s Đặt q = r s 1 , ta có qs = (r s 1 )s = r( s 1 s) = r.1 = r Như vậy, phép chia cho một số hữu tỉ khác thực hiện được Áp dụng luật giản ước của phép nhân ta suy thương là Ví dụ: Tìm r chia s biết r  , s  –1 Ta có s có phân số đại diện là 7 Vậy r : s   9 Nhận xét: Từ các kết ta thấy i Phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm thực hiện được ii Phép trừ các số hữu tỉ không âm bao giờ cũng thực hiện được iii Phép chia cho một số hữu tỉ khác thực hiện được 64 §2 QUAN HỆ THỨ TỰ VÀ MỚI QUAN HỆ CỦA TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM  TRONG TOÁN TIỂU HỌC 2.1.Quan hệ thứ tự tập hợp số hữu tỉ không âm Cho r và s là hai số hữu tỉ khơng âm có phân số đại diện là c a và tương ứng Ta d b nói r nhỏ s, kí hiệu là r  s ad  bc Tương tự cho các phép so sánh lại Như vậy, việc so sánh các số hữu tỉ được đưa so sánh các số tự nhiên (thông qua các phân số đại diện của chúng) Việc so sánh này không phụ thuộc vào việc chọn phân số đại diện ban đầu Từ định nghĩa ta dễ dàng quan hệ “≤” có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu.( SV tự chứng minh) Giả sử r và s là hai số hữu tỉ không âm có phân số đại diện là c a và tương ứng d b Từ tính toàn phần của tập hợp số tự nhiên, ta suy xảy một và một ba quan hệ ad < bc ad = bc ad > bc Điều chứng tỏ xảy một ba khả r < s r = s r > s Từ các kết đây, ta suy tập  với quan hệ “≤” là tập sắp thứ tự toàn phần Định lí 2.1: Quan hệ thứ tự tập số hữu tỉ không âm thoả mãn: a) Tính đơn điệu: Nếu ta cộng nhân hai vế của một bất đẳng thức với một số hữu tỉ không âm thì bất đẳng thức không đổi chiều Hay ta có r  s thì r  t  s  t và rt  st với r , s, t   b) Tính trù mật: Xen giữa hai số hữu tỉ khác tồn vô số các số hữu tỉ khác chúng c) Tiên đề Acsimet: Mọi số hữu tỉ bị chặn một số tự nhiên Hay với mọi số hữu tỉ r, tồn số tự nhiên a cho r < a Chứng minh : tham khảo trang 130, [1] 2.2.Tập hợp số hữu tỉ không âm và phân sớ chương trình mơn Tốn Tiểu học Chương trình Toán Tiểu học được hình thành từ mạch kiến thức : + Số học + Đại lượng và các phép đo đại lượng + Một số yếu tố hình học + Một số yếu tố thống kê 65 + Giải toán có lời văn Trong đó, mạch số học là nội dung cốt lõi của chương trình Mạch số học bao gồm bốn nội dung lớn: số tự nhiên, phân số, số thập phân và một số yếu tố đại số Như vậy, số học phân số là một bốn nội dung cốt lõi của số học mơn Toán Tiểu học, được xem cầu nối giữa kiến thức toán học nhà trường và ứng dụng của đời sống, lao động sản xuất và khoa học kĩ thuật Phân số được trình bày hai lớp cuối của bậc Tiểu học với các nội dung: + Hình thành khái niệm phân số + So sánh các phân số + Bốn phép toán phân số: gồm hình thành ý nghĩa phép toán, giới thiệu tính chất và quy tắc thực hành bốn phép tính, rèn kĩ thực hành tính toán phân số + Giải toán phân số 2.2.1.Hình thành phân sớ Thơng qua thao tác chia một cam thành phần nhau, lấy ba phần, hình thành cho học sinh khái niệm phân số a , mẫu số b ( là số tự nhiên khác 0) b số phần đơn vị được lấy và tử số a (là một số tự nhiên) số phần được lấy Bằng đường này, hình thành khái niệm của những phân số nhỏ Do sách giáo khoa bổ sung thêm bài toán: “Chia đều quả cam cho người Tìm phần cam người” Qua hình thành cho học sinh khái niệm: phân số a được hiểu là thương b của phép chia số tự nhiên a cho b và học sinh nhận được điều kiện tồn của phân số b khác Cuối học sinh rút nhận xét: – Mỗi số tự nhiên a có thể viết thành mợt phân số (mà thân khơng phải là phân số) có mẫu số – Phân số có tử số nhỏ mẫu số thì nhỏ – Phân số có tử số lớn mẫu số thì lớn 2.2.2 So sánh phân số Khi so sánh phân số ta hướng tới hai tình huống: – Tình thứ nhất: kết luận chúng Ở Tiểu học gọi là rút gọn phân số – Tình thứ hai: kết luận phân số này lớn nhỏ phân số Ở Tiểu học gọi là so sánh phân số Để đến kết luận tình thứ nhất, học sinh vận dụng quy tắc: * Nếu ta nhân tử và mẫu số của một phân số với một số tự nhiên khác thì được một phân số phân số cho 66 * Nếu ta chia tử và mẫu số của một phân số cho một số tự nhiên khác thì được một phân số phân số cho Để đến kết luận tình thứ hai, học sinh vận dụng quy tắc: * Trong hai phân số có mẫu số, phân số nào có tử số lớn lớn (1) * Muốn so sánh hai phân số không mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi vận dụng quy tắc (1) 2.2.3 Các phép tốn về phân sớ Khi dạy bốn phép toán phân số, sách giáo khoa Toán sử dụng cách lựa chọn thống nhất: từ một bài toán thực tế, hình thành cho học sinh ý nghĩa phép toán Qua phân tích các thao tác đối với bài toán nêu trên, rút cho học sinh quy tắc thực hành phép tính Chẳng hạn, xuất phát từ bài toán: “Có băng giấy màu, bạn Nam lấy giấy, bạn Tùng lấy băng Hỏi cả hai bạn lấy phần băng giấy?” Sách giáo khoa dẫn dắt học sinh đến ý nghĩa của phép cộng phân số Từ phân tích lời giải bài toán, rút cho học sinh quy tắc: “Muốn cộng hai phân số có mẫu số, ta cộng hai tử số với và giữ nguyên mẫu số Vì tập số tự nhiên, học sinh được học các tính chất và quy tắc thực hành phép tính (giao hoán, cộng một tổng với một số, nhân một số với một tổng, ) một cách hệ thống, tập phân số, sách giáo khoa dành cho học sinh tự rút những tính chất này thông qua những ví dụ cụ thể Chẳng hạn: – Khi nhân một tích hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân phân số thứ với tích của hai phân số cịn lại – Khi nhân mợt tổng hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân từng phân số của tổng với phân số thứ ba rồi cợng kết lại 2.2.4 Giải tốn về phân sớ Các bài toán phân số có thể phân thành dạng bản: – Các bài toán cấu tạo phân số (tìm một phân số biết mối quan hệ giữa tử số và mẫu số của phân số đó) – Các bài toán so sánh phân số (bao gồm rút gọn phân số và sắp xếp các phân số theo thứ tự cho trước) – Các bài toán rèn kĩ thực hành bốn phép tính phân số (tính giá trị biểu thức cách hợp lí nhất, tìm thành phần chưa biết của phép tính, ) – Giải toán có văn phân số (bao gờm các bài toán có lời văn với các số liệu cho đề bài là phân số) Sau đây, ta đề cập tới một số bài toán: 67 Dạng 1: Các bài toán cấu tạo phân sớ Khi giải các bài toán có dạng này, ta có thể đưa dạng toán có văn điển hình (tìm hai số biết tổng và tỉ, hiệu và tỉ, tổng và hiệu) dùng phương pháp thử chọn Ngoài ra, có thể bổ sung thêm mợt số tính chất sau: Tính chất 2.1: Khi cợng thêm vào tử và mẫu của một phân số với một số tự nhiên thì hiệu giữa tử và mẫu của phân số khơng thay đổi Tính chất 2.2: Khi bớt tử và mẫu của một phân số với một số tự nhiên thì hiệu giữa tử và mẫu của phân số khơng thay đổi Tính chất 2.3: Khi thêm vào (hoặc bớt đi) tử số, đồng thời bớt (hoặc thêm vào) mẫu số của một phân số một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số khơng thay đổi Ví dụ 2.1 Tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn 315 Tử số lớn mẫu số đơn vị Tìm phân số Giải: Ta có bảng phân tích số 315 thành tích của các cặp số sau 315 15 315 105 63 45 35 21 Các phân số lớn có tích của tử và mẫu 315 là: 315 105 63 45 35 21 , , , , , 15 Bằng phương pháp thử chọn theo yêu cầu tử số lớn mẫu số đơn vị, ta nhận được 21 phân số cần tìm là 15 Ví dụ 2.2 Tổng của tử số và mẫu số của một phân số 156 Sau rút gọn ta được phân số Tìm phân số Giải: Theo đề bài ta có sơ đờ: Tử số Mẫu số 156 Tổng số phần 5+7 = 12 ( phần) Tử số của phân số cần tìm là 156 :12x = 65 68 Mẫu số của phân số cần tìm là 156 – 65 = 91 65 Vậy phân số cần tìm là 91 Dạng 2: Các bài toán so sánh phân số Khi giải các bài toán dạng này, ta thường vận dụng các quy tắc rút gọn phân số và các quy tắc so sánh phân số trình bày phần Ngoài ra, ta có thể bổ sung mợt số phương pháp khác Chẳng hạn: Tính chất 2.4: (quy tắc so sánh hai phân số có tử số) Trong hai phân số có tử số, phân số nào có mẫu số lớn nhỏ Tính chất 2.5: (quy tắc so sánh bắc cầu) Nếu a e c e a c  và  thì  b f d f b d §3 TẬP HỢP SỚ THẬP PHÂN KHƠNG ÂM 3.1 Phân số thập phân Các phân số 7 , , , có mẫu là các lũy thừa của 10 với số mũ là một số tự 10 100 1000 nhiên Các phân số dạng này hay gặp phép đo các đại lượng Để tiện lợi tính toán, đo đạc và sử dụng thì người ta đưa một cách biểu diễn riêng cho các phân số loại này Định nghĩa 3.1: Cho a được gọi là phân số thập phân, b dạng lũy thừa số 10 b với số mũ tự nhiên  b n , n  Ví dụ 3.1: Phân số Phân số nói  55 47 , , , 10 100 1000 2 là phân số thập phân là phân số thập phân Ta  25 25 100 là phân số được biểu diễn dưới dạng phân số thập phân 25 3.2 Số thập phân không âm Số hữu tỉ r gọi là số thập phân không âm, có mợt đại diện là phân số thập phân (hay nói cách khác, phân số đại diện của biểu diễn được dưới dạng thập phân) Tập tất các số thập phân không âm ta kí hiệu là 10 a biểu diễn được dưới dạng phân số thập phân và b mẫu số b của khơng có ước ngun tố nào khác và Định lí 3.1 Phân số tối giản 69 Ví dụ 3.2: các phân số ,  125 40 10 vì 125  53 , 40  23.5 3.3 Dạng thu gọn của phân số thập phân Như biết: số thập phân có một cách biểu diễn là phân số thập phân Cách biểu diễn này có nhược điểm là cờng kềnh, khơng tiện lợi thực hành tính toán Vì vậy, ta thường biểu diễn các số thập phân dưới dạng thu gọn: 351  3,51 ( đọc 100 là ba đơn vị nguyên và năm mươi mốt phần trăm ba phẩy năm mươi mốt.Vậy dạng thu gọn của số thập phân là dạng viết khơng có mẫu số của phân số thập phân theo quy tắc: – Bỏ mẫu số đồng thời dùng dấu phẩy phân chia các chữ số của tử số thành hai nhóm: nhóm thứ đứng bên phải dấu phẩy, có số chữ số số chữ số mẫu số; nhóm thứ hai gờm các chữ số lại của tử số, đứng bên trái dấu phẩy – Nếu số chữ số của tử số ít hay số chữ số mẫu số thì ta viết thêm những chữ số vào trước tử số trước dùng dấu phẩy phân chia – Số đứng bên trái dấu phẩy gọi là phần nguyên, nhóm các chữ số đứng bên phải dấu phẩy gọi là phần thập phân của số thập phân Chẳng hạn, số thập phân 35,0048 có phần nguyên là số 35, phần thập phân là nhóm các chữ số 0048 Như vậy, số thập phân có hai cách biểu diễn: dạng phân số và dạng thu gọn 3.4 Các phép tốn sớ thập phân Mỗi số thập phân là một số hữu tỉ Vì vậy, xây dựng các phép toán số thập phân cách ta đưa phép toán tương ứng với số hữu tỉ Chẳng hạn: Ví dụ 3.3 Cho a  1,88; b  1,5 Tính tổng a+b a  b  1,88  1,5  188 150 338    3,38 Vậy a  b  3,38 100 100 100 Nhận xét: Xây dựng phép cộng các số thập phân theo quy trình có ưu điểm là đảm bảo tính hệ thống và chặt chẽ phương diện lí thuyết, có nhược điểm là cờng kềnh và dài dịng thực hành tính toán Vì vậy, thực hành phép cộng các số thập phân ta thường áp dụng quy tắc dưới Quy tắc 3.1 Muốn cộng một số thập phân với một số thập phân làm sau: 1) Làm cho số chữ số phần thập phân của chúng (bằng cách viết thêm chữ số vào hàng thiếu) 2) Viết số nọ dưới số cho các dấu phẩy thẳng cột 70 3) Cộng cộng hai số tự nhiên 4) Đặt dấu phẩy tổng thẳng cột với dấu phẩy của các số hạng Cũng tương tự ta có quy tắc thực hành phép trừ Quy tắc 3.2 Muốn trừ một số thập phân với một số thập phân ta làm sau: 1) Làm cho số chữ số phần thập phân của chúng (bằng cách viết thêm chữ số vào hàng thiếu); 2) Viết số trừ dưới số bị trừ cho các dấu phẩy thẳng cột; 3) Trừ trừ hai số tự nhiên; 4) Đặt dấu phẩy hiệu thẳng cột với dấu phẩy của số bị trừ và số trừ Quy tắc 3.3 Quy tắc thực hành phép nhân Muốn nhân một số thập phân với một số thập phân ta làm sau: 1) Nhân nhân hai số tự nhiên; 2) Ta đếm xem phần thập phân của hai thừa số có chữ số rời dùng dấu phẩy tách tích nhiêu chữ số kể từ phải sang trái Quy tắc 3.4 Quy tắc thực hành phép chia Muốn chia một số thập phân cho một số thập phân ta làm sau: 1) Bỏ dấu phẩy số chia đồng thời dời dấu phẩy số bị chia từ trái qua phải số chữ số số chữ số phần thập phân của số chia (trường hợp số chữ số phần thập phân của số chia nhiều số bị chia thì ta viết thêm chữ số vào hàng thiếu); 2) Chia chia hai số tự nhiên, chia hết chữ số phần nguyên của số bị chia, đặt dấu phẩy thương rồi tiếp tục chia 3) Khi chia hết các chữ số phần thập phân của số bị chia, dư, ta viết thêm chữ số vào bên phải số dư rồi tiếp tục chia 3.5 Quan hệ thứ tự tập số thập phân Mỗi số thập phân là một số hữu tỉ không âm Vì vậy, xây dựng quan hệ thứ tự tập số 10 ta đưa so sánh các số hữu tỉ không âm Chẳng hạn: Ví dụ 3.4 Cho a  1,88; b  1,5 So sánh a và b a 188 15 150 188 150 ;b      a  b 100 10 100 100 100 Tương tự đối với phép cộng, xây dựng quan hệ thứ tự tập số thập phân theo cách có ưu điểm phương diện lí thuyết có nhược điểm thực hành so sánh Vì vậy, so sánh các số thập phân người ta thường vận dụng một hai quy tắc sau: Quy tắc 3.5: Muốn so sánh một số thập phân với một số thập phân ta làm sau: 1) Làm cho số chữ số phần thập phân của chúng (bằng cách viết thêm chữ 71 số vào hàng thiếu) 2) Bỏ dấu phẩy, ta nhận được hai số tự nhiên 3) So sánh hai số tự nhiên vừa nhận được, số nào lớn thì số thập phân ứng với lớn Nếu hai số tự nhiên thì hai số thập phân cũng Quy tắc 3.6 Muốn so sánh hai số thập phân ta làm sau: 1) So sánh phần nguyên với phần nguyên, số nào có phần nguyên lớn lớn hơn; 2) Nếu phần nguyên của chúng thì ta so sánh chữ số phần mười, số nào có chữ số phần mười lớn lớn hơn; 3) Nếu phần mười của chúng thì ta so sánh chữ số phần trăm và tiếp tục gặp hàng lớn hơn; 4) Nếu phần nguyên và các chữ số phần thập phân của chúng thì hai số 3.6 Số thập phân vô hạn tuần hoàn Trong mục này, số hữu tỉ có thể biểu diễn mợt số thập phân theo nghĩa rộng Trước hết ta bắt đầu bài toán cụ thể Ví dụ 3.4.Tìm các số thập phân là xấp xỉ của số hữu tỉ 13 11 thì ta được số 1,18 100 - Nếu sai số không vượt quá thì ta được số 1,181 1000 - Nếu sai số không vượt quá - Nếu sai số không vượt quá thì ta được số 1,1818 10000 Cứ tiếp tục quá trình ta được kết quả: không bao giờ được một số thập phân “xấp xỉ” mà lại a  Ta viết: a  13 11 13  1,181818  1,(18) 11 và gọi 1,(18) là số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn với chu kì 18 (số viết dấu ngoặc để chu kì của số thập phân đó) 285 Ta nhận được kết sau: 22 - Nếu sai số không vượt quá thì ta được số 12,954 1000 Ta tiếp tục xét số hữu tỉ b  72 - Nếu sai số không vượt quá 106 thì ta được số 12,95454 Ta nhận được số thập phân vô hạn tuần hoàn, chu kì (là 54) không bắt đầu từ chữ số thập phân thứ (bằng 9) mà bắt đầu từ chữ số thập phân thứ hai Những số ta gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp Trong trường hợp này ta viết: b 285  12,9  54  22 Một cách tổng quát, giả sử số hữu tỉ a là số thập phân b Ta thực hiện liên tiếp phép chia a cho b (bằng cách thêm chữ số vào bên phải số dư sau phép chia và lại tiếp tục chia) Ta thấy sau một số bước (tối đa là b bước) ta gặp lại số dư r nào mà ta gặp bước trước Khi quá trình lặp lại Các thương bộ phận lặp lại một cách t̀n hoàn Số thập phân nhận được có vơ số chữ số phần thập phân, có mợt nhóm chữ số phần thập phân lặp lặp lại mợt cách t̀n hoàn Nhóm chữ số lặp lại được gọi là chu kì của số thập phân vơ hạn t̀n hoàn §4 SỚ THẬP PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN TIỂU HỌC 4.1 Hình thành khái niệm sớ thập phân Thông qua thao tác cụ thể, khái niệm “số thập phân” được hình thành cho học sinh thông qua hai đường: – Số thập phân là cách viết khơng có mẫu số của phân số thập phân – Số thập phân là cách viết thu gọn thay cho cách biểu diễn số đo của các phép đo đại lượng đơn vị đo phức hợp Thông qua các ví dụ số thập phân, sách giáo khoa rút cho học sinh nhận xét: số thập phân có hai phần, phần ngun là mợt số đứng bên trái dấu phẩy, phần thập phân là mợt nhóm các chữ số đứng bên phải dấu phẩy Phần nguyên và phần thập phân được phân cách dấu phẩy Chẳng hạn 12,048 (12 là phần nguyên, 048 là phần thập phân) và đọc là mười hai phẩy không bốn tám 4.2 So sánh số thập phân Tương tự đối với phân số, so sánh hai số thập phân ta hướng tới hai tình huống: – Rút kết luận số này lớn (hoặc bé hơn) số – Rút kết luận hai số cách sử dụng quy tắc Muốn so sánh hai số thập phân ta có thể làm sau: – So sánh các phần nguyên của hai số so sánh hai số tự nhiên, số thập phân 73 nào có phần nguyên lớn thì lớn hơn; – Nếu phần nguyên của hai số thì so sánh phần thập phân, lần lượt từ hàng phần mười, hàng phần trăm, hàng phần nghìn, đến mợt hàng nào mà số thập phân nào có hàng tương ứng lớn thì lớn hơn; – Nếu phần nguyên và phần thập phân của hai số thì hai số Đờng thời sách giáo khoa cũng giới thiệu quy tắc: – Nếu viết thêm (hoặc xóa đi) chữ số bên phải phần thập phân của một số thập phân thì được mợt số thập phân 4.3 Các phép tốn về sớ thập phân Khi dạy bốn phép tính số thập phân, sách giáo khoa Toán sử dụng cách trình bày thống nhất: từ một bài toán thực tế, hình thành cho học sinh ý nghĩa phép toán Qua phân tích các thao tác đối với bài toán nêu trên, rút cho học sinh quy tắc thực hành phép tính Chẳng hạn, xuất phát từ bài toán: “May áo hết 1,54m vải, may quần hết 1,72m vải Hỏi may áo và quần hết mét vải?” Sách giáo khoa dẫn dắt học sinh đến với ý nghĩa của phép cộng số thập phân Từ phân tích lời giải của bài toán rút cho học sinh quy tắc (xem quy tắc 3.1, 3.2, 3.3, 3.4) Tương tự đối với phân số, các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối, của bốn phép tính số thập phân, sách giáo khoa dành cho học sinh tự rút thông qua những bài tập cụ thể 4.4 Giới thiệu quy tắc tính nhẩm – Nhân một số thập phân với 10, 100, 1000, – Chia một số thập phân cho 10, 100, 1000 4.5 Giải toán về số thập phân Các bài toán số thập phân Tiểu học có thể phân thành dạng bản: – Các bài toán cấu tạo số thập phân (tìm một số thập phân cho biết mợt số điều kiện số đó) – Các bài toán so sánh số thập phân – Các bài toán rèn kĩ thực hành bốn phép tính số thập phân (tính giá trị biểu thức cách hợp lí tìm thành phần chưa biết của phép tính ) – Điền chữ số thay cho các chữ phép tính số thập phân – Toán tỉ số phần trăm 74 Dạng 1: Các bài toán cấu tạo số thập phân Khi giải các bài toán dạng này, ta có thể dùng phương pháp liệt kê, phương pháp thử chọn, phương pháp tìm hai số biết hiệu và tỉ tổng và tỉ số của chúng Ngoài ra, có thể bổ sung thêm một số tính chất sau: Tính chất 4.1: Khi rời dấu phẩy của một số thập phân từ trái sang phải mợt, hai, ba, hàng thì số tăng gấp 10, 100, 1000, lần Ví dụ 4.1 Khi bỏ qn dấu phẩy của mợt số thập phân có mợt chữ số phần thập phân thì số tăng thêm 888,3 đơn vị Tìm số thập phân Giải: Khi bỏ quên dấu phẩy của một số thập phân có mợt chữ số phần thập phân thì số tăng gấp 10 lần Hiệu số phần nhau: 10-1=9 (phần) Số thập phân là: 888,3 :9 = 98,7 Ví dụ 4.2 Các chữ số phần mười, phần trăm và phần nghìn của số thập phân có ba chữ số phần thập phân theo thứ tự là ba số chẵn liên tiếp Tích các chữ số phần thập phân phần nguyên của số Các chữ số phần nguyên và phần thập phân khác Tìm số thập phân Giải: Phần thập phân của số thập phân có thể là: 024; 246; 468; 420; 642; 864 Phần thập phân 024 246 468 420 642 864 Phần nguyên 48 192 48 192 Số thập phân 0,024 48,246 192,468 0,420 48,642 192,864 Kết luận Loại Loại Chọn Loại Loại Chọn Vậy số thập phân cần tìm là 192,468 và 192,864 Dạng 2: Các bài toán so sánh số thập phân Ví dụ 4.3 Viết tất các số thập phân có chữ số (gờm phần ngun và phần thập phân) mà các chữ số của chúng Sau đó: a) Sắp xếp các số theo thứ tự từ bé đến lớn b) Từ lớn đến bé Giải : Các số thiết lập được là: 9,999; 99,99; 999,9 a) Xếp các số theo thứ tự từ bé đến lớn 9,999; 99,99; 999,9 b) Xếp theo thứ tự từ lớn đến bé 999,9; 99,99; 9,999 Dạng 3: Các bài toán rèn kĩ thực hành bớn phép tính số thập phân 75 Khi giải các bài toán dạng này, ta thường vận dụng các quy tắc thực hành bốn phép tính, các tính chất của bốn phép tính, quy tắc tìm thành phần chưa biết của phép tính và các quy tắc nhân, chia nhẩm, Ngoài các quy tắc nhân, chia nhẩm với 10; 100; 1000; ta có thể bổ sung thêm: – Quy tắc nhân (hoặc chia) một số với 0,5 – Quy tắc nhân (hoặc chia) một số với 0,25 Dạng 4: Các bài toán điền sớ vào phép tính Các bài toán dạng này thường gặp hai loại: – Vận dụng quy tắc thực hành bốn phép tính để giải – Dùng phân tích cấu tạo số để giải Dạng 5: Toán tỉ số phần trăm Các bài toán dạng này ta thường gặp loại sau: – Cho hai số a và b Tỉm tỉ số phần trăm của a và b – Cho b và tỉ số phần trăm của a và b Tìm a – Cho a và tỉ số phần trăm của a và b Tìm b – Một số nội dung phối hợp Ví dụ 4.4 Lãi suất tiết kiệm là 0,65% một tháng Cô Thuỷ gửi tiết kiệm 12 000 000 đồng Hỏi sau mợt tháng có tất tiền lãi và tiền gửi? Giải: Số tiền lãi Thuỷ có sau một tháng là: 12 000 000 : 100 x 0,65 = 78 000(đ) Số tiền gửi và tiền lãi Thuỷ có là 12 000 000 + 78 000 = 12 078 000(đ) Đáp số: 12 078 000 đồng §5 TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ VÀ TẬP HỢP SỐ THỰC 5.1 Tập số hữu tỉ 5.1.1 Sự cần thiết phải xây dựng tập số hữu tỉ Trong các chủ đề trước, mở rộng tập số tự nhiên hữu tỉ không âm  Nếu dừng lại tập số hữu tỉ không âm: để được tập số – Nhiều phép trừ không thực hiện được – Biểu diễn số đo của hai phép đo đại lượng ngược chiều gặp khó khăn, chẳng o o hạn, độ cao và chiều sâu, lỗ và lãi, nhiệt độ C và dưới C, Do nhu cầu phát triển của toán học và các ngành khoa học kĩ thuật khác, người ta 76 mở rộng tập số hữu tỉ không âm  thêm những số mới để khắc phục hạn chế nêu 5.1.2 Xây dựng tập số hữu tỉ Trên tích Đê-các   ta định nghĩa quan hệ hai sau: Với (r; s) và (r'; s')    , ta định nghĩa (r; s) ~ (r'; s') r + s' = r' + s Từ định nghĩa ta dễ dàng suy "~" là một quan hệ tương đương xác định tập   Áp dụng định lí tập thương, ta có thể phân chia tập   theo quan hệ tương đương "~" và nhận được tập thương Ta gọi tập thương tập     / ~ / ~ là tập số hữu tỉ và kí hiệu là Mỗi phần tử của ta gọi là mợt số hữu tỉ 5.1.3 Các phép tốn tập số hữu tỉ Từ định nghĩa ta dễ dàng suy tập với hai phép toán cộng và nhân nói là mợt trường Ta gọi là trường số hữu tỉ Trên tập hợp số hữu tỉ, các phép toán cộng, trừ, nhân, chia cũng tương tự tập hợp  5.1.4 Quan hệ thứ tự tập số hữu tỉ ( Tương tự 5.1.5 Số thập phân (trong   ) ) Mỗi số thập phân không âm r cũng là một số hữu tỉ, ta có r  Từ ta mở rộng khái niệm số thập phân tập số hữu tỉ sau: số thập phân r được gọi là số hữu tỉ r  10 - r  10 Tập tất các số thập phân ta kí hiệu là 10 5.2 Tập số thực 5.2.1 Sự cần thiết phải xây dựng tập số thực Cho đến nay, mở rộng các tập hợp số theo sơ đồ sau    Nếu dừng lại tập số hữu tỉ thì: nhiều phép khai không thực hiện được, nhiều phương trình không tìm được nghiệm hữu tỉ, số đo của nhiều phép đo đại lượng không biểu diễn được Vì những lí đây, ta phải mở rộng tập số hữu tỉ thêm những số mới để đáp ứng yêu cầu phát triển của toán học và các ngành khoa học khác 5.2.2 Xây dựng tập sớ thực Có nhiều cách xây dựng tập số thực, dưới ta trình bày cách xây dựng tương đối đơn giản: mở rộng tập số thập phân để được tập số thực Trong các tiểu chủ đề trước, xét hai loại số thập phân: số thập phân (có 77 hữu hạn chữ số phần thập phân) và số thập phân vô hạn tuần hoàn Ngoài hai loại số thập phân nói trên, ta cịn gặp mợt loại “số thập phân” thứ ba: là những số thập phân có vơ số chữ số phần thập phân, các chữ số phần thập phân không lặp lặp lại theo bất kì một quy luật nào Mỗi số thập phân ta gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn Mỗi số thập phân vô hạn không tuần hoàn ta gọi là một số vô tỉ Tập tất các số vô tỉ ta kí hiệu là I Tập tất các số hữu tỉ và các số vô tỉ tạo thành tập số thực, kí hiệu là Như vậy:   I , với I là tập hợp số vô tỉ Ví dụ 5.1 0,712; –4,008; 13,9 là các số thập phân 3,9545454 = 3,9(54) –2,(18) là các số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,4142135 –2,6457513 là các số thập phân vô hạn không tuần hoàn (hay cịn gọi là các số vơ tỉ) Mỗi số 0,72; –4,008; 13,9; 3,9(54); –2,(18); 0,4142135…; –2,6457513… là một số thực 5.2.3 Các phép tốn tập sớ thực Theo định nghĩa số thực, số thực x có dạng : x  a, x1 x2 x3 xk a là mợt số ngun và xk  0,1, 2,3,  Giả sử x và y là hai số thực, đó: x  a, x1 x2 x3 xk và y  b, y1 y2 y3 yk a) Tổng gần cấp k của x và y là số: A  x  y  a, x1 x2 x3 xk  b, y1 y2 y3 yk b) Hiệu gần cấp k của x và y là số: B  x  y  a, x1 x2 x3 xk  b, y1 y2 y3 yk c) Tích gần cấp k của x và y là số: C  x y  a, x1 x2 x3 xk b, y1 y2 y3 yk d) Thương gần cấp k của x và y là số: D  x : y  a, x1 x2 x3 xk : b, y1 y2 y3 yk Ví dụ 5.2 Cho x = 0,9545454 và y = –7,2 Tìm tổng, hiệu, tích và thương gần cấp của x và y Ta có : x  y  0,954  7, 200  6, 246 x  y  0,954  7, 200  8,154 x y  0,954  7, 200   6,8688  6,869 x : y  0,954 :  7, 200   0,1325  0,133 78 BÀI TẬP 3.1.Xác định tập hợp các phân số xác định số hữu tỉ a)r  b)r  c) r  d )r  Lưu ý: SV tự làm 3.2.Cho hai số hữu tỷ lần lượt có phân số đại diện là 10 13 và Tính tổng, hiệu, tích, 90 39 thương của chúng Lưu ý: SV tự làm 3.3.Thực hiện các phép tính sau một cách nhanh 1 1 1  + + + + 32 16 64 5 5 5 b)      18 54 162 486 2 2 2 c)       12 24 48 96 192 63 910 Đáp số: a b 64 243 a) c 127 96 3.4.Điền số thích hợp vào chỗ chấm a)  13    C  C     35   35   11     C     16   16   11    C  C     21   21  b) C  c) Lưu ý: SV tự làm 3.5.Tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn 200, chia tử và mẫu cho ta được phân số tối giản Tìm phân số (Đáp sớ: ) 40 3.6.Khi nhân tử và mẫu của một phân số tối giản với ta được một phân số có tổng của tử và mẫu 12 Tìm phân số tối giản (Đáp sớ: ) 3.7.Khi nhân tử và mẫu của một phân số tối giản với ta được mợt phân số có tích của tử và mẫu 100 Tìm phân số tối giản (Đáp sớ: ) 3.8.Tìm mợt phân số phân số Biết tổng của tử số và mẫu số 180 79 80 ) 100 3.9.Tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn 210 Tổng của tử số và mẫu số 15 29 Tìm phân số (Đáp sớ: ) 14 3.10 So sánh hai phân số sau: (Đáp số: 439 429 238 361 và ; c) và 441 451 357 295 439 429 361 238 Đáp số: a) < ; b) < ; c) > 441 451 357 295 a) và ; b) 3.11.Một ki-ốt bán vải, buổi sáng bán được vải, buổi chiều bán được vải Phần vải bán buổi chiều nhiều phần vải bán buổi sáng là m Hỏi buổi bán được mét vải Đáp số: Buổi sáng 16m, buổi chiều 21m 3.12.Một tiệm buôn sau bán lần thứ được vải, lần thứ hai được vải, thì lại 13 m Hỏi vải lúc đầu dài mét Đáp số: 35m 3.13.Tổng độ dài vải trắng và vải xanh là 55 m Biết độ dài vải trắng độ dài vải xanh Hỏi dài mét Đáp số: vải trắng 22m, vải xanh 33m 3.14 Tổng số học sinh của lớp 4A và lớp 4B là 88 học sinh Biết lớp 4A thì số học sinh của số học sinh của lớp 4B Hỏi lớp nào có nhiều học sinh hơn, và nhiều Đáp số: 4A 40 học sinh, 4B 48 học sinh 3.15.Hãy tìm mợt phân số có tổng của tử số và mẫu số 66 và phân số sau rút 24 gọn thì được phân số (Đáp số: ) 42 3.16.Hỏi phải cộng thêm vào tử số và mẫu số của phân số được một phân số mới sau rút gọn được phân số một số tự nhiên nào để 23 (Đáp số: 33) 80 3.17.Tìm một số tự nhiên x cho lấy tử số và mẫu số của phân thức x thì được một phân số mới 31 trừ số 59 (Đáp số: 24) 41 Tìm số tự nhiên x cho trừ x vào tử số và trừ x mẫu số thì 89 được phân số mới có giá trị (Đáp sớ: 5) 3.18 Cho phân số 23 Tìm số tự nhiên x cho cộng x vào tử số và trừ x mẫu thì 82 được phân số mới có giá trị (Đáp sớ: 7) 3.19.Cho phân số 3.20.Lan mang 45 trứng bán Lần thứ bán được được số trứng Lần thứ hai bán số trứng lại sau lần thứ Hỏi số trứng lại ? (Đáp số: 18) 3.21.Biểu diễn số hữu tỉ sau dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn: 30 40 17 229 ; ; ; 11 572 99 Lưu ý: SV tự làm 3.22.Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng số hữu tỉ không âm: a) 0,(7) b) 10,(09) c) 5,(243) d) 1,4(72) e) 23,00(54) f) 2,11(6) Lưu ý: SV tự làm 3.23.Cho bốn chữ số 0, 1, 2, Hãy viết các số thập phân lớn 12, cho chữ số cho xuất hiện cách viết mợt lần Sau xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn Đáp số: 12,03 < 12,30 < 13,01 < 13,10 < 20,13 < 20,31 < 21,03 < 21,30 < 23,01 < 23,10 < 31,02 < 31,20 < 32,01 < 32,10 3.24.Cho năm chữ số 0, 4, 5, 6, Hãy viết các số thập phân nhỏ 50, cho chữ số cho xuất hiện cách viết mợt lần.Sau xếp chúng theo thứ tự từ lớn đến bé Hướng dẫn: tương tự 3.23 3.25.Khi lùi dấu phẩy của một số thập phân từ phải qua trái mợt hàng thì số giảm 11,07 đơn vị Tìm số thập phân Đáp số: 1,23 (Tương tự ví dụ 4.1) 3.26.Khi bỏ qn dấu phẩy của mợt số thập phân có hai chữ số phần thập phân thì số tăng lên 537,57 đơn vị Tìm số thập phân Đáp số: 5,43 (Tương tự ví dụ 4.1) 3.27.Phần nguyên của mợt số thập phân là số có hai chữ số có tổng các chữ số Bớt 81 phần nguyên ta được số có hai chữ số giống Đọc các chữ số của số thập phân theo thứ tự ngược lại (từ phải sang trái) thì số khơng thay đổi Tìm số thập phân Đáp số: 45,54 3.28.Điền chữ số thích hợp thay cho * vào biểu thức: 0,06 < 0,0*9 < 0,071 Lưu ý: SV tự làm 3.29.Tìm x biết rằng: a)14, 25  ( x  4,15)  1, 25  5,35 b)2  1,58 :  x  0,   1,9 Đáp sớ: a.3,5 b.16,2 3.30.Có mợt bình đựng 80g nước muối loại 8% muối Phải đổ thêm vào bình gam nước để được mợt bình nước muối chứa 5% muối? Đáp số: 48g 3.31.Tính giá trị biểu thức một cách hợp lí: 250.1,8  25.12,8  292.2,5     97  225 Lưu ý: SV tự làm 3.33.Cho mợt số thập phân, dời dấu phẩy của số sang bên trái hai chữ số ta được số thứ hai Lấy số ban đầu trừ số thứ mới ta được hiệu 261,657 Hãy tìm số thập phân ban đầu Đáp số: 264,3g (Tương tự ví dụ 4.1) 3.34.Trong một phép trừ, biết tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu là 65,4 Số trừ lớn hiệu là 4,3 Tìm số bị trừ, số trừ của phép trừ đó? Đáp sớ: SBT là 32,7, số trừ là 18,5 3.35.Khi thực hiện phép trừ một số tự nhiên cho một số thập phân mà phần thập phân có mợt chữ số, bạn Bình chép thiếu dấu phẩy nên tiến hành trừ hai số tự nhiên và tìm được kết là 164 Em viết phép trừ ban đầu, biết hiệu của phép trừ là 328,7 Đáp số: 347 - 18,3 = 328,7 (Tương tự ví dụ 4.1) 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1].Trần Diên Hiển(chủ biên) – Bùi Huy Hiền(2003), Giáo trình tập hợp số, NXB Giáo dục [2].Trần Diên Hiển – Nguyễn Tiến Tài – Nguyễn Văn Ngọc(2003), Giáo trình Lí thuyết số, NXBĐHSP [3].Trần Diên Hiển – Nguyễn Văn Ngọc(2003) Giáo trình Tốn cao cấp NXB ĐHSP [4].Trần Diên Hiển – Nguyễn Xuân Liêm(1996), Cơ sở lí thuyết tập hợp và lơgíc tốn, NXB Giáo dục [5].Đỗ Đình Hoan và tập thể tác giả (2003), Toán 1, 2, 3, 4, 5, NXB Giáo dục [6] Hoàng Xuân Sính (1996), Đại số đại cương, NXB Giáo dục 83 ... thập phân có thể là: 024 ; 24 6; 468; 420 ; 6 42; 864 Phần thập phân 024 24 6 468 420 6 42 864 Phần nguyên 48 1 92 48 1 92 Số thập phân 0, 024 48 ,24 6 1 92, 468 0, 420 48,6 42 1 92, 864 Kết luận Loại Loại... chúng theo thứ tự từ bé đến lớn Đáp số: 12, 03 < 12, 30 < 13,01 < 13,10 < 20 ,13 < 20 ,31 < 21 ,03 < 21 ,30 < 23 ,01 < 23 ,10 < 31, 02 < 31 ,20 < 32, 01 < 32, 10 3 .24 .Cho năm chữ số 0, 4, 5, 6, Hãy viết... tính sau một cách nhanh 1 1 1  + + + + 32 16 64 5 5 5 b)      18 54 1 62 486 2 2 2 c)       12 24 48 96 1 92 63 910 Đáp số: a b 64 24 3 a) c 127 96 3.4.Điền số thích hợp vào chỗ chấm