1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 11 1.1 GIẢN YẾU VỀ SỐ THỰC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.1 Tiên đề về sup, inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.2 Tính chất Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.3 Đẳng thức và bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . 13 1.1.4 Đường thẳng thực nới rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1 Khái niệm hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2 Một số tính chất của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.3 Hàm số ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.4 Hàm số hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.5 Hàm số sơ cấp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.6 Hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3 DÃY SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2 Dãy số hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.3 Dãy đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 1.3.4 Dãy con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4 GIỚI HẠN HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.1 Khái niệm giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.2 Tính chất giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.4.3 Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . 37 1.4.4 Giới hạn một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.4.5 Hai giới hạn quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.5 HÀM SỐ LIÊN TỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.5.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.5.2 Liên tục một phía. Phân loại điểm gián đoạn . . . . . . 41 1.5.3 Hàm liên tục trên một đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.6 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SƠ CẤP . . . . . . . . . 45 1.6.1 Hàm lũy thừa, căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.6.2 Hàm mũ và hàm logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.6.3 Hàm lượng giác, lượng giác ngược . . . . . . . . . . . . 47 1.7 VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.7.1 Hàm tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.7.2 Vô cùng bé (VCB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.7.3 Vô cùng lớn (VCL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 57 2.1 ĐẠO HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.1.1 Khái niệm đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.1.2 Ý nghĩa của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.1.3 Điều kiện cần để có đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.1.4 Các quy tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.1.5 Đạo hàm của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.1.6 Đạo hàm của hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.1.7 Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản . . . . . . . . . . . . . 62 2.1.8 Đạo hàm một phía, đạo hàm vô cùng . . . . . . . . . . 64 2.2 VI PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.2.1 Khả vi, vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.2.2 Điều kiện cần và đủ để hàm khả vi tại một điểm . . . 66 2.2.3 Tính chất vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.2.4 Vi phân của hàm hợp, tính bất biến của dạng vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2.5 Tính gần đúng bằng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.3.1 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.3.2 Công thức Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.3.3 Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.4 CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH . . . . . . . . . . . . . 71 2.4.1 Khái niệm cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.4.2 Định lý Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4.3 Định lý Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4.4 Định lý Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.4.5 Định lý Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.5 QUY TẮC L’HOSPITAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.5.1 Khử dạng vô định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.5.2 Khử dạng vô định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.5.3 Khử dạng các dạng vô định khác . . . . . . . . . . . . . 78 2.6 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . 82 2.6.1 Sự biến thiên của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.6.2 Điều kiện của cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.6.3 Điều kiện cần của cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.6.4 Lồi, lõm, điểm uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.6.5 Đường thẳng tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3 TÍCH PHÂN 97 3.1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.1.1 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.1.2 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.1.3 Phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . 99 3.1.4 Tích phân hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.1.5 Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.1.6 Tích phân một số hàm vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.2.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.2.2 Công thức Newton Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.2.3 Phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . 125 3.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.3.1 Tích phân suy rộng loại một . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.3.2 Tích phân suy rộng loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . 137 3.4 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH . . . . . . . . . . . . . . 145 3.4.1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 3.4.2 Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 3.4.3 Tính độ dài cung phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 3.4.4 Tính diện tích mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 159 4.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.1.1 Không gian R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.1.2 Dãy điểm, giới hạn dãy điểm . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.2 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM 2 BIẾN . . . . . . . . . . 161 4.2.1 Khái niệm hàm hai biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.2.2 Giới hạn của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.2.3 Khái niệm hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4.2.4 Tính chất của hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.3 ĐẠO HÀM RIÊNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.3.1 Đạo hàm riêng cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.3.2 Đạo hàm riêng cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.4 VI PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.4.1 Khái niệm vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.4.2 Các điều kiện khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.4.3 Tính chất của vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 4.4.4 Dùng vi phân tính gần đúng . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.4.5 Vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.5 CỰC TRỊ TỰ DO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4.5.1 Khái niệm cực trị tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4.5.2 Điều kiện cần của cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4.5.3 Điều kiện đủ của cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 4.6 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 4.6.1 Khái niệm cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . 174 4.6.2 Phương pháp khử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.6.3 Phương pháp nhân tử Lagrange . . . . . . . . . . . . . 175 4.7 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT . . . . . . . . . . 177 5 CHUỖI SỐ 181 5.1 CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.1.1 Các khái niệm về chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.1.2 Điều kiện cần để chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.1.3 Tính chất của chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.2 CHUỖI SỐ DƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5.2.1 Định nghĩa và điều kiện hội tụ . . . . . . . . . . . . . . 186 5.2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.3 CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 5.3.1 Chuỗi đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 5.3.2 Hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 201 6.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.1.1 Đại cương về phương trình vi phân cấp một . . . . . . 201 6.1.2 Phương trình khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.1.3 Phương trình tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6.1.4 Phương trình đẳng cấp cấp một . . . . . . . . . . . . . 208 6.1.5 Phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . 213 6.1.6 Phương trình tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . . . . 218 6.1.7 Phương trình Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 6.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 . . . . . . . . . . . . . . . 223 6.2.1 Đại cương về phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . 223 6.2.2 Phương trình khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 6.2.3 Phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 6.2.4 Phương trình tuyến tính có hệ số hằng . . . . . . . . . . 234
Bài giảng TOÁN CAO CẤP C1 Lê Văn Lai Ngày 13 tháng 10 năm 2012 Mục lục GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1.1 1.2 1.3 11 GIẢN YẾU VỀ SỐ THỰC 11 1.1.1 Tiên đề sup, inf 11 1.1.2 Tính chất Archimède 13 1.1.3 Đẳng thức bất đẳng thức thường dùng 13 1.1.4 Đường thẳng thực nới rộng 14 BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ 15 1.2.1 Khái niệm hàm số 15 1.2.2 Một số tính chất hàm số 16 1.2.3 Hàm số ngược 17 1.2.4 Hàm số hợp 17 1.2.5 Hàm số sơ cấp 18 1.2.6 Hàm số sơ cấp 22 DÃY SỐ 22 1.3.1 Các khái niệm 22 1.3.2 Dãy số hội tụ 23 1.3.3 Dãy đơn điệu 29 MỤC LỤC 1.3.4 1.4 1.5 1.6 1.7 Dãy 31 GIỚI HẠN HÀM SỐ 33 1.4.1 Khái niệm giới hạn hàm số 33 1.4.2 Tính chất giới hạn hàm số 35 1.4.3 Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số 37 1.4.4 Giới hạn phía 37 1.4.5 Hai giới hạn quan trọng 38 HÀM SỐ LIÊN TỤC 40 1.5.1 Định nghĩa tính chất 40 1.5.2 Liên tục phía Phân loại điểm gián đoạn 41 1.5.3 Hàm liên tục đoạn 43 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SƠ CẤP 45 1.6.1 Hàm lũy thừa, thức 45 1.6.2 Hàm mũ hàm logarit 46 1.6.3 Hàm lượng giác, lượng giác ngược 47 VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN 48 1.7.1 Hàm tương đương 48 1.7.2 Vô bé (VCB) 49 1.7.3 Vô lớn (VCL) 52 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.1 57 ĐẠO HÀM 57 2.1.1 Khái niệm đạo hàm 57 2.1.2 Ý nghĩa đạo hàm 58 MỤC LỤC 2.2 2.3 2.4 2.5 2.1.3 Điều kiện cần để có đạo hàm 59 2.1.4 Các quy tắc tính đạo hàm 60 2.1.5 Đạo hàm hàm hợp 61 2.1.6 Đạo hàm hàm ngược 62 2.1.7 Đạo hàm hàm sơ cấp 62 2.1.8 Đạo hàm phía, đạo hàm vô 64 VI PHÂN 66 2.2.1 Khả vi, vi phân 66 2.2.2 Điều kiện cần đủ để hàm khả vi điểm 2.2.3 Tính chất vi phân 67 2.2.4 Vi phân hàm hợp, tính bất biến dạng vi phân cấp 68 2.2.5 Tính gần vi phân 68 66 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO 69 2.3.1 Đạo hàm cấp cao 69 2.3.2 Công thức Leibnitz 70 2.3.3 Vi phân cấp cao 70 CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 71 2.4.1 Khái niệm cực trị 71 2.4.2 Định lý Fermat 72 2.4.3 Định lý Rolle 72 2.4.4 Định lý Cauchy 73 2.4.5 Định lý Lagrange 74 QUY TẮC L’HOSPITAL 74 MỤC LỤC 2.6 2.5.1 Khử dạng vô định 2.5.2 Khử dạng vô định 2.5.3 Khử dạng dạng vô định khác 78 3.2 3.3 74 76 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG y = f ( x ) 82 2.6.1 Sự biến thiên hàm số 82 2.6.2 Điều kiện cực trị 84 2.6.3 Điều kiện cần cực trị 84 2.6.4 Lồi, lõm, điểm uốn 86 2.6.5 Đường thẳng tiệm cận 88 TÍCH PHÂN 3.1 0 97 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 97 3.1.1 Nguyên hàm 97 3.1.2 Tích phân bất định 97 3.1.3 Phương pháp tính tích phân bất định 99 3.1.4 Tích phân hàm hữu tỷ 105 3.1.5 Tích phân hàm lượng giác 109 3.1.6 Tích phân số hàm vô tỷ 113 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 117 3.2.1 Định nghĩa tính chất 117 3.2.2 Công thức Newton - Leibnitz 123 3.2.3 Phương pháp tính tích phân xác định 125 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 128 3.3.1 Tích phân suy rộng loại 129 MỤC LỤC 3.3.2 3.4 Tích phân suy rộng loại hai 137 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 145 3.4.1 Tính diện tích hình phẳng 145 3.4.2 Tính thể tích vật thể 145 3.4.3 Tính độ dài cung phẳng 149 3.4.4 Tính diện tích mặt tròn xoay 150 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 4.1 4.2 4.3 4.4 159 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 159 4.1.1 Không gian R2 159 4.1.2 Dãy điểm, giới hạn dãy điểm 160 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM BIẾN 161 4.2.1 Khái niệm hàm hai biến 161 4.2.2 Giới hạn hàm nhiều biến 161 4.2.3 Khái niệm hàm liên tục 163 4.2.4 Tính chất hàm liên tục 164 ĐẠO HÀM RIÊNG 165 4.3.1 Đạo hàm riêng cấp 165 4.3.2 Đạo hàm riêng cấp cao 166 VI PHÂN 168 4.4.1 Khái niệm vi phân 168 4.4.2 Các điều kiện khả vi 168 4.4.3 Tính chất vi phân 170 4.4.4 Dùng vi phân tính gần 171 MỤC LỤC 4.4.5 4.5 4.6 4.7 CỰC TRỊ TỰ DO 172 4.5.1 Khái niệm cực trị tự 172 4.5.2 Điều kiện cần cực trị 172 4.5.3 Điều kiện đủ cực trị 173 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN 174 4.6.1 Khái niệm cực trị có điều kiện 174 4.6.2 Phương pháp khử 175 4.6.3 Phương pháp nhân tử Lagrange 175 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 177 CHUỖI SỐ 5.1 5.2 5.3 Vi phân cấp hai 171 181 CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ 181 5.1.1 Các khái niệm chuỗi số 181 5.1.2 Điều kiện cần để chuỗi hội tụ 183 5.1.3 Tính chất chuỗi hội tụ 184 CHUỖI SỐ DƯƠNG 186 5.2.1 Định nghĩa điều kiện hội tụ 186 5.2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ 187 CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ 193 5.3.1 Chuỗi đan dấu 193 5.3.2 Hội tụ tuyệt đối 194 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 201 MỤC LỤC 6.1 6.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 201 6.1.1 Đại cương phương trình vi phân cấp 201 6.1.2 Phương trình khuyết 202 6.1.3 Phương trình tách biến 204 6.1.4 Phương trình đẳng cấp cấp 208 6.1.5 Phương trình vi phân tồn phần 213 6.1.6 Phương trình tuyến tính cấp 218 6.1.7 Phương trình Bernoulli 221 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 223 6.2.1 Đại cương phương trình vi phân cấp hai 223 6.2.2 Phương trình khuyết 224 6.2.3 Phương trình tuyến tính 226 6.2.4 Phương trình tuyến tính có hệ số 234 10 MỤC LỤC 6.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 235 Phương trình (6.43) có hai nghiệm thực phân biệt k1 k2 Khi ấy, (6.42) có hai nghiệm riêng y1 = ek1 x , y2 = ek2 x độc lập tuyến tính (a; b) nên có nghiệm tổng quát y = C1 ek1 x + C2 ek2 x (6.44) Phương trình (6.43) có nghiệm kép thực k Khi ấy, (6.42) có nghiệm riêng y1 = ekx Ta tìm nghiệm riêng thứ hai theo cơng thức (6.37), ÷ ÷ e¡ px e2kx kx kx dx = e dx = ekx x, y2 = e e2kx e2kx đó, ta thay ¡ p = 2k Vậy nghiệm tổng quát (6.42) y = C1 ekx + C2 xekx Phương trình (6.43) có hai nghiệm phức liên hợp k1 = α + iβ, k2 = α ¡ iβ Hai nghiệm riêng (6.42) y¯1 = e(α+iβ)x = eαx eiβx = eαx (cos βx + i sin βx ) y¯2 = e(α¡iβ)x = eαx e¡iβx = eαx (cos βx ¡ i sin βx ) Suy y¯1 + y¯2 = eαx cos βx y¯1 ¡ y¯2 y2 = = eαx sin βx y1 = hai nghiệm riêng (6.42) Và dễ thấy hai nghiệm y1 , y2 độc lập tuyến tính Vậy nghiệm tổng quát (6.42) y = eαx (C1 cos βx + C2 sin βx ) Ví dụ 6.2.7 Giải phương trình y¾ + yẵ Ă 2y = 0; yắ Ă 4yẵ + 4y = 0; Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 236 yắ Ă 4yẵ + 13y = Gii Phương trình đặc trưng k2 + k ¡ = có hai nghiệm k1 = 1, k2 = ¡2 nên phương trình cho có nghiệm tổng qt y = C1 e x + C2 e¡2x Phương trình đặc trưng k2 ¡ 4k + = có nghiệm kép k = nên phương trình cho có nghiệm tổng quát y = C1 e2x + C2 xe2x Phương trình đặc trưng k2 ¡ 4k + 13 = có hai nghiệm phức liên hợp k1 = + 3i, k2 = ¡ 3i nên phương trình cho có nghiệm tổng quát y = e2x (C1 cos 3x + C2 sin 3x ) Phương trình khơng Xét phng trỡnh yắ + pyẵ + qy = f ( x ), x È (a; b), (6.45) đó, p, q số thực f ( x ) liên tục (a; b) Theo định lý 6.2.6, muốn tìm nghiệm tổng quát (6.45), ta tìm nghiệm tổng quát phương trình tương ứng nghiệm riêng Nghiệm riêng (6.45) tìm phương pháp biến thiên số Lagrange 6.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 237 Ví dụ 6.2.8 Tìm nghiệm tổng qt phương trình khơng nht yắ + yẵ Ă 2y = Ă4x Gii Bc 1: Tìm nghiệm tổng quát phương trình tng ng, yắ + yẵ Ă 2y = Phng trình đặc trưng k2 + k ¡ = có hai nghiệm k1 = 1, k2 = nên y g = C1 e x + C2 e¡2x ¡2 Bước 2: Có thể kiểm tra nghiệm riêng phương trình khơng y p = 2x + Bước 3: Vậy nghiệm tổng quát phương trình khơng cho y = C1 e x + C2 e¡2x + 2x + Ví dụ 6.2.9 Tìm nghiệm tổng qt phương trình y¾ ¡ 3y½ + 2y = x Giải Nghiệm tổng quát phương trình tương ứng y g = C1 e x + C2 e2x Hàm y = C1 ( x )e x + C2 ( x )e2x nghiệm phương trình cho C1 , C2 thỏa hệ C1½ e x + C2½ e2x = 0, C1½ e x + C2½ 2e2x = x Giải hệ ta C1½ = ¡ xe¡x , C2½ = xe¡2x Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 238 Suy C1 = ( x + 1)e¡x , C2 = (¡ x2 ¡ 14 )e¡2x Nghiệm tổng quát phương trình y = C1 e x + C2 e2x + x + Trong số trường hợp vế phải (6.45), hàm f ( x ), có dạng đặc biệt nghiệm riêng tìm mà khơng cần phải tính tích phân ta thấy phương pháp biến thiên số Ta xét trường hợp sau: Ỉ Trường hợp f (x) = eαx Pn (x) với α số thực Pn (x) đa thức bậc n Ta xét khả sau: Nếu α khơng nghiệm phương trình đặc trưng (6.43) ta tìm nghiệm riêng (6.45) dạng y p = eαx Qn ( x ), Qn ( x ) đa thức bậc n, có n + hệ số cần tìm Đạo hàm cấp cấp y p y½p = αeαx Qn ( x ) + ex Qẵn ( x ), yắp = α2 eαx Qn ( x ) + 2αeαx Q½n ( x ) + eαx Q¾n ( x ) Thay chúng vào (6.45) ta Q¾n ( x ) + (a + 2α)Q½n ( x ) + (α2 + aα + b)Qn ( x ) = Pn ( x ) (6.46) Vì α2 + aα + b nên vế trái (6.46) đa thức bậc n bậc với đa thức vế phải, Pn ( x ) Đồng hệ số ta thu n + phương trình bậc vối n + ẩn số, hệ số Qn ( x ) Giải hệ, ta tìm Qn ( x ) thu nghiệm riêng (6.45) Nếu α nghiệm đơn phương trình đặc trưng (6.43) α2 + aα + b = a + 2α 6.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 239 Khi vế trái (6.46) đa thức bậc n ¡ Ta nâng bậc lên đơn vị mà không làm tăng số hệ số cách thay Qn ( x ) xQn ( x ) Khi ấy, ta tìm nghiệm riêng có dạng y p = eαx xQn ( x ) Nếu α nghiệm kép phương trình đặc trưng (6.43) α2 + aα + b = a + 2α = Vế trái (6.46) đa thức bậc n ¡ Ta nâng bậc lên hai đơn vị mà khơng làm tăng số hệ số cách thay Qn ( x ) x2 Qn ( x ) Nghiệm riêng tìm có dạng y p = eαx x2 Qn ( x ) Ví dụ 6.2.10 Tìm nghiệm riêng ca phng trỡnh yắ + 3yẵ Ă 4y = x Giải Vế phải f ( x ) = x có dạng eαx Pn ( x ) với α = 0, n = Vì α = khơng nghiệm phương trình đặc trưng k2 + 3k ¡ = nên ta tìm nghiệm riêng phương trình cho có dạng y p = Ax + B Thay y p vào phương trình trên, ta thu ¡4Ax + 3A ¡ 4B = x Đồng hệ số ¡4A 3A ¡ 4B = 1, = A = ¡ 14 , B = ¡ 16 Vậy yp = ¡ x ¡ 16 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 240 Ví dụ 6.2.11 Tìm nghiệm riêng phương trình y ¾ ¡ y ½ = e x ( x + ) Giải Vế phải phương trình cho có dạng eαx Pn ( x ) với α = 1, n = Vì α = nghiệm đơn phương trình đặc trưng k2 ¡ k = nên ta tìm nghiệm riêng phương trình cho có dạng y p = xe x ( Ax + B) = e x ( Ax2 + Bx ) Ta có y½p = e x ( Ax2 + Bx ) + e x (2Ax + B), y¾p = e x ( Ax2 + Bx ) + 2e x (2Ax + B) + e x 2A Thế vào phương trình cho, ta 2Ax + B + 2A = x + Đồng hệ số 2A = 1, B + 2A = A = 12 , B = Vậy yp = x x e Ví dụ 6.2.12 Tìm nghiệm riêng phương trình yắ Ă 6yẵ + 9y = e3x x Gii V phải phương trình cho có dạng eαx Pn ( x ) với α = 3, n = Vì α = nghiệm kép phương trình đặc trưng k2 ¡ 6k + 9k = nên ta tìm nghiệm riêng phương trình cho có dạng y p = x2 e3x ( Ax + B) = e3x ( Ax3 + Bx2 ) Ta có y½p = 3e3x ( Ax3 + Bx2 ) + e3x (3Ax2 + 2Bx ), y¾p = 9e3x ( Ax3 + Bx2 ) + 6e3x (3Ax2 + 2Bx ) + e3x (6Ax + 2B) 6.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 241 Thế vào phương trình cho, ta (6A ¡ 10B) x + 2B = x Đồng hệ số 6A ¡ 10B = 1, 2B = A = 16 , B = Vậy yp = 3x x e Ỉ Trường hợp f (x) = Pm (x) cos βx + Pn (x) sin βx với Pm (x), Pn (x) hai đa thức bậc m, n β số thực khác không Người ta chứng minh rằng: Nếu ¨iβ khơng nghiệm phương trình đặc trưng (6.43) nghiệm riêng (6.45) có dạng y p = Ql ( x ) cos βx + Rl ( x ) sin βx, Ql ( x ), Rl ( x ) hai đa thức bậc l = max(m, n) Nu ăi l nghim ca phng trình đặc trưng (6.43) nghiệm riêng (6.45) có dạng y p = x [ Ql ( x ) cos βx + Rl ( x ) sin βx ], Ql ( x ), Rl ( x ) hai đa thức bậc l = max(m, n) Ví dụ 6.2.13 Tìm nghiệm riêng phương trình y¾ + y = x sin x Giải Vế phải phương trình có dạng Pm ( x ) cos βx + Pn ( x ) sin βx với m = 0, n = v = Vỡ ăi nghiệm phương trình đặc trưng k2 + = nên ta tìm nghiệm riêng có dạng y p = x [( Ax + B) cos x + (Cx + D ) sin x ] Chương PHNG TRèNH VI PHN 242 Tớnh yẵp , yắp ri thay vào phương trình cho ta 4Cx cos x ¡ 4Ax sin x + 2( A + D ) cos x + 2(C ¡ B) sin x = x sin x Đồng hệ số ° ³ ³ ³ ² ³ ³ ³ ± ¡4A = 1, 4C = 0, 2( A + D ) = 0, 2(C ¡ B) = 0, Vậy yp = ° A = ¡ 14 , B = 0, C = 0, D = 41 ³ ³ ³ ² ³ ³ ³ ± x (sin x ¡ cos x ) Ví dụ 6.2.14 Tìm nghiệm riêng phương trình y¾ ¡ y½ = cos 2x Giải Vế phải phương trình có dạng Pm ( x ) cos βx + Pn ( x ) sin βx với m = 0, n = v = Vỡ ăi = ¨i2 khơng nghiệm phương trình đặc trưng k2 ¡ k = nên ta tìm nghiệm riêng có dạng y p = A cos 2x + B sin 2x ] Ta có y½p = ¡2A sin 2x + 2B cos 2x, y¾p = ¡4A cos 2x ¡ 4B sin 2x Thay vào phương trình cho ta (¡4A ¡ 2B) cos 2x + (2A ¡ 4B) sin 2x = cos 2x Đồng hệ số ¡4A ¡ 2B 2A ¡ 4B = 1, = A = ¡ 10 , B = ¡ 10 Vậy yp = ¡ cos 2x ¡ sin 2x 10 10 6.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 243 Ỉ Trường hợp f (x) = eαx [Pm (x) cos βx + Pn (x) sin βx] với Pm (x), Pn (x) hai đa thức bậc m, n α, β hai số thực khác khơng Đặt y = eαx z Ta có y½ = ex z + ex zẵ , yắ = ex z + 2ex zẵ + ex zắ Thay vo phng trỡnh (6.45), ta c zắ + (a + 2)zẵ + (α2 + aα + b)z = Pm ( x ) cos βx + Pn ( x ) sin βx, dạng phương trình xét trường hợp Ví dụ 6.2.15 Tìm nghiệm riêng phương trình y¾ + y½ = e x cos 2x Giải Vế phải phương trình, e x cos 2x, có dạng eαx [ Pm ( x ) cos βx + Pn ( x ) sin βx ] với m = n = 0, α = β = Đặt y = e x z Thay vào phương trình ta zắ + 3zẵ + 2z = cos 2x Nghim riờng phương trình tìm dạng z p = A cos 2x + B sin 2x Kết tìm zp = ¡ cos 2x + sin 2x 20 20 Suy nghiệm riêng phương trình cho y p = e x (¡ cos 2x + sin 2x ) 20 20 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 244 BÀI TẬP Phương trình vi phân cấp Bài 6.1 Giải phương trình có biến phân ly: (1 + x )ydx + (1 ¡ y) xdy = 0; y½ cos 2y ¡ sin y = 0; cos y ¡ sin y ¡ y½ = ; cos x ¡ sin x + y½ = x2 + 2xy + + y2 ; x2 (1 ¡ y)y½ + y2 (1 + x ) = 0; y½ + sin( x + y) = sin( x ¡ y); y½ = cos( x ¡ y); y½ = x¡y + Bài 6.2 Tìm nghiệm riêng phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu: + y2 dx + y + x2 dy = 0, y(0) = 1; x (1 + e2x )y2 dy = e x dx, y(0) = 0; sin xdy ¡ y ln ydx = 0, y(0) = 1; ( x2 + 1)y½ = y2 + 4, y(1) = Bài 6.3 Giải phương trình đẳng cấp cấp một: (y ¡ x )dx + (y + x )dy = 0; xyy½ + x2 ¡ 2y2 = 0; y½ = x¡y+1 ; x+y+3 xdy ¡ ydx = x2 + y2 dx; (3x2 + y2 )y + (y2 ¡ x2 ) xy½ = 0; y½ = y+2 x+y¡1 Bài 6.4 Giải phương trình tuyến tính cấp một: 2x ( x ¡ 1)y½ + (2x ¡ 1)y + = 0; y½ + 2xy = xe¡x ; 2y y½ ¡ = ( x + 1)3 , y(0) = 0; x+1 (1 + x2 )y½ + xy = 1, y(0) = 0; y½ ¡ y e2 = x ln x, y(e) = ; x ln x 2 x (1 + x2 )y½ ¡ ( x2 ¡ 1)y + 2x = 0; (1 + x2 )y½ ¡ 2xy = (1 + x2 )2 ; 2ydx + (y2 ¡ 6x )dy = 0; xy½ ¡ y = x2 arctan x; 10 ( x3 + x )y½ + 3x2 y = x2 + 6.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 245 Bài 6.5 Chứng minh phương trình x ( x2 + 1)y½ ¡ (2x2 + 3)y = có nghiệm tam thức bậc hai Giải phương trình ÷ Bài 6.6 Chứng minh hàm số y = x x et dt nghiệm phương trình xy½ ¡ y = x2 e x Tìm nghiệm riêng phương trình thỏa mãn điều kiện y(1) = Bài 6.7 Giải phương trình Bernoulli: xy2 + x2 ( x + 1)yy½ + 3x ¡ = 0; (y ln x ¡ 2)ydx = xdy; y½ + xy = x3 y3 ; x y½ + y = e y, y(0) = Bài 6.8 Giải phương trình vi phân toàn phần: ( x + y + 1)dx + ( x ¡ y2 + 3)dy = 0; 2(3xy2 + 2x3 )dx + 3(2x2 y + y2 )dy = 0; x2 y2 dx + dy = 0; ¡ ¡ ( x ¡ y )2 x y ( x ¡ y )2 2x + y x dx + dy = 0; ( x + y) ( x + y )2 x3 dy = 0; 3x2 (1 + ln y)dx ¡ 2y ¡ y y x x y y x sin ¡ cos + dx + cos ¡ sin + y y x x x x y y y dy = Phương trình vi phân cấp hai Bài 6.9 Giải phương trình tuyến tính: x2 (ln x Ă 1)yắ Ă xyẵ + y = 0, biết nghiệm riêng y1 ( x ) = x α , α È R (2x + 1)yắ + (4x Ă 2)yẵ Ă 8y = 0, bit nghiệm riêng y1 ( x ) = eαx , α È R Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 246 ( x2 ¡ 1)y¾ ¡ 6y = 0, biết nghiệm riêng y1 ( x ) đa thức bậc ba (2x ¡ x2 )y¾ + ( x2 ¡ 2)y½ + 2(1 ¡ x )y = 0, y(1) = 0, y½ (1) = biết nghiệm riêng y1 ( x ) = e x (2x Ă x2 )yắ + 2( x Ă 1)yẵ Ă 2y = ¡2, biết hai nghiệm riêng y1 ( x ) = 1, y2 = x Bài 6.10 Giải phương trình tuyến tính hệ số hằng: y¾ ¡ y = ex ; ex + y¾ + 2y½ + y = 3e¡x x + 1; yắ + y = tg x; yắ + 5yẵ + 6y = yắ Ă 7yẵ + 6y = sin x; y¾ + 9y = 6e3x ; yắ Ă 3yẵ = Ă 6x; yắ + 4y = sin 2x; yắ Ă 9yẵ + 20y = x2 e4x ; 11 yắ + 2yẵ + 5y = 2xeĂx cos 2x; 13 yắ Ă 3yẵ = e3x ¡ 18x; 15 10 12 14 16 ; + e2x yắ Ă 2yẵ + 3y = eĂx cos x; yắ + 2yẵ + y = 4eĂx ; yắ + 4yẵ Ă 5y = 2e x ; yắ + y = x2 cos2 x; y¾ + y = cos3 x Bài 6.11 Giải phương trình phép i bin tng ng: x2 yắ + xyẵ Ă 4y = x2 ln x, x = et ; yắ Ă yẵ = e2x cos e x , t = e x ; ( x2 + 1)y¾ + 2xy½ + 2x 4y = , x = tg t, ¡ π2 +1 ( x + )2 x2 t π ĐÁP SỐ - HƯỚNG DẪN Bài 6.1 ln xy + x ¡ y = C; x = ln §tg § § y §§ § + cos y + C; x § § x+y §y§ + ln § § = C; xy x § y §§ § sin x + ln §tg § = C; x 6.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP ¡ tg x y = C + tg 2 y= ¡ x; x+C tg x ; x¡y ; x + cotg ( x ¡ y)2 + 2x = C 247 Bài 6.2 + x2 + tg + y2 = + 1; y3 ¡ arctan e x + 3π = 0; 2( x2 ¡ 1) + 4x y= ¡ x2 + 2x x = C ln y; Bài 6.3 ¡ x2 + 2xy + y2 = C; y+ y2 = x2 (Cx2 + 1); y = Cx ( x2 + y2 ); x2 ¡ y2 ¡ 2xy + 2x ¡ 6y = C; e¡2 arctan x¡3 = C(y + 2) x2 + y2 = Cx2 ; y +2 Bài 6.4 ° ³ ² y= ³ ± C x2 x C x2 x ¡ ¡ ¡ + § § ln§x ¡ 12 + ¡ § § x2 x§ ¡ ¡ , x2 x arcsin(2x 1) ¡ x2 x , x x x 1 + x2 +C ; x x y= y = (1 + x2 )( x + C); 2x = y62 + C; 10 x2 ln(1 + x2 ) + Cx; x2 + ln x + C ( x + )3 y = x2 arctan x ¡ y= Bài 6.5 y = 2x2 ¡ + C x3 x2 + ; x2 + C ); x2 y = (1 + x )2 +x ; y = e¡ x ( ln( x + x2 + 1) ; x2 + x2 y= ln x; y= Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 248 ÷ Bài 6.6 y = x x et dt + Cx Bài 6.7 y2 = y +C x 1+x x 1 ln x + + Cx2 ¡ x22 ; y2 ( x2 + + Ce x ) = 1; = 1; y = e¡ x ex +1 2 Bài 6.8 x + x + xy + 3y ¡ y3 = C; § § y §y§ + ln § § ¡ y = C; y¡x x x3 (1 + ln y ) ¡ y2 = C; y4 + 3x2 y2 + y3 = C; ln x + y + y = C; x+y y y sin ¡ cos + x ¡ = C; x x y Bài 6.9 y = C1 x + C2 ln x; y = C1 e¡2x + C2 y = C1 ( x3 ¡ x ) + C2 ¡ y = x ¡ e x ¡1 ; + e2x y = C1 ( x ¡ 1) + C2 ( x2 ¡ x + 1) + Bài 6.10 x ; + § § §x + 1§ 3 § § ; x + ( x ¡ x ) ln § x ¡ 1§ x2 + ex e¡ x ex ex ¡ ln x + ln x ; e +1 e +1 y = C1 xe¡x + C2 e¡x + e¡x ( x + 1) ; 15 § § § + sin x § § §; y = C1 cos x + C2 sin x ¡ cos x ln § cos x § y = C1 e¡3x + C2 e¡2x + e¡3x (arctan e x ¡ e x ) + e¡2x ln(1 + e2x ); y = C1 e x + C2 e¡x + 6.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 10 11 12 13 14 15 16 cos x + sin x; 74 74 y = C1 cos 3x + C2 sin 3x + e3x ; 3x e + x2 ; y = C1 + C2 y = e x [C1 cos 2x + C2 sin 2x ] + (5 cos x ¡ sin x )e¡x ; 41 y = C1 cos 2x + C2 sin 2x ¡ x cos 2x; ¡ x ¡ x ¡x y = C1 e + C2 xe + 2x e ; y = C1 e4x + C2 e5x ¡ x ( x2 + 3x + 6)e4x ; y = C1 e¡5x + C2 e x ¡ xe x ; y = e¡x (C1 cos 2x + C2 sin 2x ) + e¡x [2x cos 2x + (4x2 ¡ 1) sin 2x ]; 16 13 y = C1 cos x + C2 sin x + x ¡ ¡ cos 2x + x sin 2x; x ¡ 17 y = C1 e3x + C2 + e3x (3x ¡ 1) + 3x2 + 2x; 3 y = C1 cos x + C2 sin x + cos x ¡ cos3 x + x sin x 8 y = C1 e x + C2 e6x + Bài 6.11 249 x2 (16 ln2 x ¡ ln x + 1); 64 y = C1 e x + C2 ¡ cos e x ; y = C1 x2 + C2 x¡2 + ¡ x2 2x y = C1 + C2 1+x + x2 1 ¡ x2 ¡ + x2 arctan x ... tính bất biến dạng vi phân cấp 68 2.2.5 Tính gần vi phân 68 66 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO 69 2.3.1 Đạo hàm cấp cao ... 164 ĐẠO HÀM RIÊNG 165 4.3.1 Đạo hàm riêng cấp 165 4.3.2 Đạo hàm riêng cấp cao 166 VI PHÂN 168 4.4.1... 194 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 201 MỤC LỤC 6.1 6.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 201 6.1.1 Đại cương phương trình vi phân cấp 201 6.1.2 Phương trình khuyết 202 6.1.3