1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 11 1.1 GIẢN YẾU VỀ SỐ THỰC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.1 Tiên đề về sup, inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.2 Tính chất Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.3 Đẳng thức và bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . 13 1.1.4 Đường thẳng thực nới rộng . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2 BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1 Khái niệm hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.2 Một số tính chất của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.3 Hàm số ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.4 Hàm số hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.5 Hàm số sơ cấp cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.6 Hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3 DÃY SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2 Dãy số hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.3 Dãy đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 1.3.4 Dãy con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4 GIỚI HẠN HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.1 Khái niệm giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.2 Tính chất giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.4.3 Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . 37 1.4.4 Giới hạn một phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.4.5 Hai giới hạn quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.5 HÀM SỐ LIÊN TỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.5.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.5.2 Liên tục một phía. Phân loại điểm gián đoạn . . . . . . 41 1.5.3 Hàm liên tục trên một đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.6 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SƠ CẤP . . . . . . . . . 45 1.6.1 Hàm lũy thừa, căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.6.2 Hàm mũ và hàm logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.6.3 Hàm lượng giác, lượng giác ngược . . . . . . . . . . . . 47 1.7 VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.7.1 Hàm tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.7.2 Vô cùng bé (VCB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.7.3 Vô cùng lớn (VCL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 57 2.1 ĐẠO HÀM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.1.1 Khái niệm đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.1.2 Ý nghĩa của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.1.3 Điều kiện cần để có đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.1.4 Các quy tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.1.5 Đạo hàm của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.1.6 Đạo hàm của hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.1.7 Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản . . . . . . . . . . . . . 62 2.1.8 Đạo hàm một phía, đạo hàm vô cùng . . . . . . . . . . 64 2.2 VI PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.2.1 Khả vi, vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.2.2 Điều kiện cần và đủ để hàm khả vi tại một điểm . . . 66 2.2.3 Tính chất vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.2.4 Vi phân của hàm hợp, tính bất biến của dạng vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2.5 Tính gần đúng bằng vi phân . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.3 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.3.1 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.3.2 Công thức Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.3.3 Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.4 CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH . . . . . . . . . . . . . 71 2.4.1 Khái niệm cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.4.2 Định lý Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4.3 Định lý Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4.4 Định lý Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.4.5 Định lý Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.5 QUY TẮC L’HOSPITAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.5.1 Khử dạng vô định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.5.2 Khử dạng vô định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.5.3 Khử dạng các dạng vô định khác . . . . . . . . . . . . . 78 2.6 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . 82 2.6.1 Sự biến thiên của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.6.2 Điều kiện của cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.6.3 Điều kiện cần của cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.6.4 Lồi, lõm, điểm uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.6.5 Đường thẳng tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3 TÍCH PHÂN 97 3.1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.1.1 Nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.1.2 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.1.3 Phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . 99 3.1.4 Tích phân hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.1.5 Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.1.6 Tích phân một số hàm vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.2.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.2.2 Công thức Newton Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.2.3 Phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . 125 3.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.3.1 Tích phân suy rộng loại một . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.3.2 Tích phân suy rộng loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . 137 3.4 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH . . . . . . . . . . . . . . 145 3.4.1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 3.4.2 Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 3.4.3 Tính độ dài cung phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 3.4.4 Tính diện tích mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 159 4.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.1.1 Không gian R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.1.2 Dãy điểm, giới hạn dãy điểm . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.2 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM 2 BIẾN . . . . . . . . . . 161 4.2.1 Khái niệm hàm hai biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.2.2 Giới hạn của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.2.3 Khái niệm hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4.2.4 Tính chất của hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.3 ĐẠO HÀM RIÊNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.3.1 Đạo hàm riêng cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.3.2 Đạo hàm riêng cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.4 VI PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.4.1 Khái niệm vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.4.2 Các điều kiện khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.4.3 Tính chất của vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 4.4.4 Dùng vi phân tính gần đúng . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.4.5 Vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.5 CỰC TRỊ TỰ DO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4.5.1 Khái niệm cực trị tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4.5.2 Điều kiện cần của cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4.5.3 Điều kiện đủ của cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 4.6 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 4.6.1 Khái niệm cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . 174 4.6.2 Phương pháp khử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.6.3 Phương pháp nhân tử Lagrange . . . . . . . . . . . . . 175 4.7 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT . . . . . . . . . . 177 5 CHUỖI SỐ 181 5.1 CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.1.1 Các khái niệm về chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.1.2 Điều kiện cần để chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.1.3 Tính chất của chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.2 CHUỖI SỐ DƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5.2.1 Định nghĩa và điều kiện hội tụ . . . . . . . . . . . . . . 186 5.2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.3 CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 5.3.1 Chuỗi đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 5.3.2 Hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 201 6.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.1.1 Đại cương về phương trình vi phân cấp một . . . . . . 201 6.1.2 Phương trình khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 6.1.3 Phương trình tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6.1.4 Phương trình đẳng cấp cấp một . . . . . . . . . . . . . 208 6.1.5 Phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . 213 6.1.6 Phương trình tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . . . . 218 6.1.7 Phương trình Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 6.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 . . . . . . . . . . . . . . . 223 6.2.1 Đại cương về phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . 223 6.2.2 Phương trình khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 6.2.3 Phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 6.2.4 Phương trình tuyến tính có hệ số hằng . . . . . . . . . . 234
Bài giảng TOÁNCAOCẤPC1 Lê Văn Lai Ngày 13 tháng 10 năm 2012 Mục lục GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1.1 GIẢN YẾU VỀ SỐ THỰC 11 1.1.1 Tiên đề sup, inf 11 11 1.1.2 Tính chất Archimède 13 1.1.3 Đẳng thức bất đẳng thức thường dùng 13 1.1.4 Đường thẳng thực nới rộng 14 1.2 15 BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ 1.2.1 Khái niệm hàm số 1.2.2 Một số tính chất hàm số 15 16 1.2.3 Hàm số ngược 17 1.2.4 Hàm số hợp 17 1.2.5 Hàm số sơ cấp 18 1.2.6 Hàm số sơ cấp 22 1.3 DÃY SỐ 22 1.3.1 Các khái niệm 22 1.3.2 Dãy số hội tụ 23 1.3.3 Dãy đơn điệu 29 MỤCLỤC 1.3.4 Dãy 1.4 GIỚI HẠN HÀM SỐ 1.4.1 Khái niệm giới hạn hàm số 31 33 33 1.4.2 Tính chất giới hạn hàm số 35 1.4.3 Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số 37 1.4.4 Giới hạn phía 37 1.4.5 Hai giới hạn quan trọng 1.5 HÀM SỐ LIÊN TỤC 38 40 1.5.1 Định nghĩa tính chất 40 1.5.2 Liên tục phía Phân loại điểm gián đoạn 41 1.5.3 Hàm liên tục đoạn 1.6 43 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SƠ CẤP 45 1.6.1 Hàm lũy thừa, thức 45 1.6.2 Hàm mũ hàm logarit 46 1.6.3 Hàm lượng giác, lượng giác ngược 47 1.7 VÔ CÙNG BÉ, VÔ CÙNG LỚN 48 1.7.1 Hàm tương đương 48 1.7.2 Vô bé (VCB) 49 1.7.3 Vô lớn (VCL) ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 2.1 ĐẠO HÀM 52 57 2.1.1 Khái niệm đạo hàm 57 2.1.2 Ý nghĩa đạo hàm 58 57 MỤCLỤC 2.1.3 Điều kiện cần để có đạo hàm 59 2.1.4 Các quy tắc tính đạo hàm 60 2.1.5 Đạo hàm hàm hợp 61 2.1.6 Đạo hàm hàm ngược 62 2.1.7 Đạo hàm hàm sơ cấp 62 2.1.8 Đạo hàm phía, đạo hàm vơ 64 2.2 66 VI PHÂN 2.2.1 Khả vi, vi phân 66 2.2.2 Điều kiện cần đủ để hàm khả vi điểm 66 2.2.3 Tính chất vi phân 67 2.2.4 Vi phân hàm hợp, tính bất biến dạng vi phân cấp 2.2.5 Tính gần vi phân 2.3 68 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO 69 2.3.1 Đạo hàm cấp cao 69 2.3.2 Công thức Leibnitz 70 2.3.3 Vi phân cấp cao 70 2.4 CÁC ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 2.4.1 Khái niệm cực trị 71 2.4.2 Định lý Fermat 72 2.4.3 Định lý Rolle 72 2.4.4 Định lý Cauchy 73 2.4.5 Định lý Lagrange 74 71 68 MỤCLỤC 2.5 QUY TẮC L’HOSPITAL 74 2.5.1 Khử dạng vô định 74 2.5.2 Khử dạng vô định 2.5.3 2.6 2.6.1 78 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG y = f(x) 82 Sự biến thiên hàm số 82 2.6.2 Điều kiện cực trị 84 2.6.3 Điều kiện cần cực trị 84 2.6.4 Lồi, lõm, điểm uốn 86 2.6.5 Đường thẳng tiệm cận 88 TÍCH PHÂN 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Nguyên hàm 97 97 97 Tích phân bất định 97 Phương pháp tính tích phân bất định 3.1.4 Tích phân hàm hữu tỷ 105 3.1.5 Tích phân hàm lượng giác 109 3.1.6 Tích phân số hàm vô tỷ 113 3.2 3.3 Khử dạng dạng vô định khác 76 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 117 3.2.1 Định nghĩa tính chất 3.2.2 Cơng thức Newton - Leibnitz 123 3.2.3 Phương pháp tính tích phân xác định 125 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 117 128 99 MỤCLỤC 3.3.1 3.3.2 3.4 Tích phân suy rộng loại 129 Tích phân suy rộng loại hai 137 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 145 3.4.1 Tính diện tích hình phẳng 145 3.4.2 Tính thể tích vật thể 3.4.3 Tính độ dài cung phẳng 149 3.4.4 Tính diện tích mặt tròn xoay 150 145 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM HAI BIẾN 159 4.1 4.2 4.3 4.4 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 159 4.1.1 Không gian R2 4.1.2 Dãy điểm, giới hạn dãy điểm 160 159 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM BIẾN 161 4.2.1 Khái niệm hàm hai biến 161 4.2.2 Giới hạn hàm nhiều biến 161 4.2.3 Khái niệm hàm liên tục 163 4.2.4 Tính chất hàm liên tục 164 ĐẠO HÀM RIÊNG 165 4.3.1 Đạo hàm riêng cấp 165 4.3.2 Đạo hàm riêng cấp cao 166 VI PHÂN 168 4.4.1 Khái niệm vi phân 168 4.4.2 Các điều kiện khả vi 168 4.4.3 Tính chất vi phân 170 MỤCLỤC 4.4.4 4.4.5 4.5 4.6 4.7 5.2 5.3 Dùng vi phân tính gần 171 Vi phân cấp hai 171 CỰC TRỊ TỰ DO 172 4.5.1 Khái niệm cực trị tự 172 4.5.2 Điều kiện cần cực trị 172 4.5.3 Điều kiện đủ cực trị 173 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN 174 4.6.1 Khái niệm cực trị có điều kiện 174 4.6.2 Phương pháp khử 4.6.3 Phương pháp nhân tử Lagrange 175 175 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CHUỖI SỐ 5.1 177 181 CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ 181 5.1.1 Các khái niệm chuỗi số 181 5.1.2 Điều kiện cần để chuỗi hội tụ 183 5.1.3 Tính chất chuỗi hội tụ 184 CHUỖI SỐ DƯƠNG 186 5.2.1 Định nghĩa điều kiện hội tụ 186 5.2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ 187 CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ 193 5.3.1 Chuỗi đan dấu 193 5.3.2 Hội tụ tuyệt đối 194 MỤCLỤC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 201 6.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 201 6.2 6.1.1 Đại cương phương trình vi phân cấp 201 6.1.2 Phương trình khuyết 202 6.1.3 Phương trình tách biến 204 6.1.4 Phương trình đẳng cấp cấp 6.1.5 Phương trình vi phân toàn phần 213 6.1.6 Phương trình tuyến tính cấp 218 6.1.7 Phương trình Bernoulli 221 208 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 223 6.2.1 Đại cương phương trình vi phân cấp hai 223 6.2.2 Phương trình khuyết 224 6.2.3 Phương trình tuyến tính 226 6.2.4 Phương trình tuyến tính có hệ số 234 10 MỤCLỤC Chương1.GIỚIHẠNVÀLIÊNTỤCCỦAHÀMSỐ 10 Chương1 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 1.1 GIẢN YẾU VỀ SỐ THỰC Tập hợp gồm số hữu tỷ vô tỷ gọi tập số thực, ký hiệu R 1.1.1 Tiên đề sup, inf Định nghĩa 1.1.1 Cho A tập khác rỗng R α R • α chặn A α x với x A Khi A có chặn trên, ta nói A bị chặn đó, phần tử nhỏ tập tất chặn trên, có, ký hiệu sup A • α gọi phần tử lớn A α A α x với x A Phần tử lớn A, có, ký hiệu max A • α gọi chặn A α x với x A Khi A có chặn dưới, ta nói A bị chặn đó, phần tử lớn tập tất dưới, có, ký hiệu inf A • α gọi phần tử nhỏ A α A α x với x A Phần tử nhỏ A, có, ký hiệu A Mệnh đề 1.1.1 Cho A tập khác rỗng R α R Ta có α = sup A 11 (a) x A : x α, (b) ǫ 0, x A : α ǫ x Chương6.PHƯƠNGTRÌNHVIPHÂN 324 Giải Nghiệm tổng quát phương trình tương ứng yg = C1ex + C2e2x Hàm y = C1(x)ex + C2(x)e2x nghiệm phương trình cho C1, C2 thỏa hệ C1ex + C2e2x = 0, C1ex + C22e2x = x Giải hệ ta C1 = xe x, C2 = xe 2x Suy C1 = (x + 1)e x, C2 = ( x2 14)e 2x Nghiệm tổng quát phương trình y = C1ex + C2e2x + x + Trong số trường hợp vế phải (6.45), hàm f(x), có dạng đặc biệt nghiệm riêng tìm mà khơng cần phải tính tích phân ta thấy phương pháp biến thiên số Ta xét trường hợp sau: Trường hợp f(x) = eαxPn(x) với α số thực Pn(x) đa thức bậc n Ta xét khả sau: Nếu α không nghiệm phương trình đặc trưng (6.43) ta tìm nghiệm riêng (6.45) dạng yp = eαxQn(x), 6.2.PHƯƠNGTRÌNHVIPHÂNCẤP2 325 Qn(x) đa thức bậc n, có n + hệ số cần tìm Đạo hàm cấp cấp yp yp = αeαxQn(x) + eαxQn(x), yp = α2eαxQn(x) + 2αeαxQn(x) + eαxQn(x) Thay chúng vào (6.45) ta Qn(x) + (a + 2α)Qn(x) + (α2 + aα + b)Qn(x) = Pn(x) (6.46) Vì α2 + aα + b nên vế trái (6.46) đa thức bậc n bậc với đa thức vế phải, Pn(x) Đồng hệ số ta thu n + phương trình bậc vối n + ẩn số, hệ số Qn(x) Giải hệ, ta tìm Qn(x) thu nghiệm riêng (6.45) Nếu α nghiệm đơn phương trình đặc trưng (6.43) α2 + aα + b = a + 2α Khi vế trái (6.46) đa thức bậc n Ta nâng bậc lên đơn vị mà không làm tăng số hệ số cách thay Qn(x) xQn(x) Khi ấy, ta tìm nghiệm riêng có dạng yp = eαxxQn(x) Nếu α nghiệm kép phương trình đặc trưng (6.43) α2 + aα + b = a + 2α = Vế trái (6.46) đa thức bậc n Ta nâng bậc lên hai đơn vị mà khơng làm tăng số hệ số cách thay Qn(x) x2Qn(x) Nghiệm riêng tìm có dạng yp = eαxx2Qn(x) Ví dụ 6.2.10 Tìm nghiệm riêng phương trình y + 3y 4y = x Chương6.PHƯƠNGTRÌNHVIPHÂN 326 Giải Vế phải f(x) = x có dạng eαxPn(x) với α = 0, n = Vì α = khơng nghiệm phương trình đặc trưng k2 + 3k = nên ta tìm nghiệm riêng phương trình cho có dạng yp = Ax + B Thay yp vào phương trình trên, ta thu 4Ax + 3A 4B = x = 1, A= , B= Đồng hệ số 4A 3A 4B = Vậy yp = x 16 Ví dụ 6.2.11 Tìm nghiệm riêng phương trình y y = ex(x + 1) Giải Vế phải phương trình cho có dạng eαxPn(x) với α = 1, n = Vì α = nghiệm đơn phương trình đặc trưng k2 k = nên ta tìm nghiệm riêng phương trình cho có dạng yp = xex(Ax + B) = ex(Ax2 + Bx) Ta có yp = ex(Ax2 + Bx) + ex(2Ax + B), yp = ex(Ax2 + Bx) + 2ex(2Ax + B) + ex2A Thế vào phương trình cho, ta 2Ax + B + 2A = x + Đồng hệ số 6.2.PHƯƠNGTRÌNHVIPHÂNCẤP2 2A 327 = 1, B + 2A = A= , B = Vậy 2ex yp =x Ví dụ 6.2.12 Tìm nghiệm riêng phương trình 6y + 9y = e3xx y Giải Vế phải phương trình cho có dạng eαxPn(x) với α = 3, n = Vì α = nghiệm kép phương trình đặc trưng k2 6k+ 9k = nên ta tìm nghiệm riêng phương trình cho có dạng yp = x2e3x(Ax + B) = e3x(Ax3 + Bx2) Ta có yp = 3e3x(Ax3 + Bx2) + e3x(3Ax2 + 2Bx), yp = 9e3x(Ax3 + Bx2) + 6e3x(3Ax2 + 2Bx) + e3x(6Ax + 2B) Thế vào phương trình cho, ta (6A 10B)x + 2B = x Đồng hệ số 6A 10B = 1, A = , 2B = B = Vậy 3e3x yp =x Trường hợp f(x) = Pm(x) cos βx + Pn(x) sin βx với Pm(x), Pn(x) hai đa thức bậc m, n β số thực khác không Người ta chứng minh rằng: Chương6.PHƯƠNGTRÌNHVIPHÂN 328 Nếu iβ khơng nghiệm phương trình đặc trưng (6.43) nghiệm riêng (6.45) có dạng yp = Ql(x) cos βx + Rl(x) sin βx, Ql(x), Rl(x) hai đa thức bậc l = max(m, n) Nếu iβ nghiệm phương trình đặc trưng (6.43) nghiệm riêng (6.45) có dạng yp = x[Ql(x) cos βx + Rl(x) sin βx], Ql(x), Rl(x) hai đa thức bậc l = max(m, n) Ví dụ 6.2.13 Tìm nghiệm riêng phương trình y + y = x sin x Giải Vế phải phương trình có dạng Pm(x) cos βx + Pn(x) sin βx với m = 0, n = β = Vì iβ nghiệm phương trình đặc trưng k2 + = nên ta tìm nghiệm riêng có dạng yp = x[(Ax + B) cos x + (Cx + D) sin x] Tính yp, yp thay vào phương trình cho ta 4Cx cos x 4Ax sin x + 2(A + D) cos x + 2(C B) sin x = x sin x Đồng hệ số 4A = 1, 4C = 0, 2(A + D) = 0, 2(C B) = 0, A= , B = 0, C = 0, D= Vậy yp = (sin x x Ví dụ 6.2.14 Tìm nghiệm riêng phương trình cos x) 6.2.PHƯƠNGTRÌNHVIPHÂNCẤP2 y 329 y = cos 2x Giải Vế phải phương trình có dạng Pm(x) cos βx + Pn(x) sin βx với m = 0, n = β = Vì iβ = i2 khơng nghiệm phương trình đặc trưng k2 k = nên ta tìm nghiệm riêng có dạng yp = A cos 2x + B sin2x] Ta có yp = 2A sin2x + 2Bcos 2x, yp = 4A cos2x 4B sin2x Thay vào phương trình cho ta ( 4A 2B) cos 2x + (2A 4B) sin2x = cos 2x Đồng hệ số 4A 2B = 1, A = , 2A 4B = B = Vậy cos2x sin2x 10 10 Trường hợp f(x) = eαx[Pm(x) cos βx + Pn(x) sin βx] với Pm(x), Pn(x) hai đa yp = thức bậc m, n α, β hai số thực khác không Đặt y = eαxz Ta có y = αeαxz + eαxz , y = α2eαxz + 2αeαxz + eαxz Thay vào phương trình (6.45), ta z + (a + 2α)z + (α2 + aα + b)z = Pm(x) cos βx + Pn(x) sin βx, Chương6.PHƯƠNGTRÌNHVIPHÂN 330 dạng phương trình xét trường hợp Ví dụ 6.2.15 Tìm nghiệm riêng phương trình y + y = ex cos2x Giải Vế phải phương trình, ex cos 2x, có dạng eαx[Pm(x) cos βx + Pn(x) sin βx] với m = n = 0, α = β = Đặt y = exz Thay vào phương trình ta z + 3z + 2z = cos2x Nghiệm riêng phương trình tìm dạng zp = A cos 2x + B sin2x Kết tìm zp = cos 2x + sin2x 20 20 Suy nghiệm riêng phương trình cho yp = ex( cos 2x + 20 sin2x) 20 BÀI TẬP Phương trình vi phân cấp Bài 6.1 Giải phương trình có biến phân ly: (1 + x)ydx + (1 x2(1 y)xdy = 0; y)y + y2(1 + x) = 0; y cos 2y y + sin(x + y) = sin(x siny = 0; y); 6.2.PHƯƠNGTRÌNHVIPHÂNCẤP2 331 cos y sin y ; cos x sin x + y = y = cos(x y = x + 2xy + + y ; 2 y ); 1y= + x y Bài 6.2 Tìm nghiệm riêng phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu: + y2dx + y + x2dy = 0, y(0) = 1; x (1 + e2x)y2dy = exdx, y(0) = 0; sin xdy y lnydx = 0, y(0) = 1; (x2 + 1)y = y2 + 4, y(1) = Bài 6.3 Giải phương trình đẳng cấp cấp một: (y x)dx + (y + x)dy = 0; 2x(x 1)y + (2x y + 2xy = xe x2; 1)y + = 0; 2y y = (x + 1)3, y(0) = 0; x + (1 + x2)y + xy = 1, y(0) = 0; xdy ydx = x(1 + x2)y (1 + x2)y 2ydx + (y2 xy x2 + y2dx; ( x2 1)y + 2x = 0; 2xy = (1 + x2)2; 6x)dy = 0; y = x2 arctan x; xyy + x2 2y2 = 0; (3x2 + y2)y + (y2 x2)xy = 0; x y + y= x+y = x ln x, y(e) = ; 10 (x3 + x)y + 3x2y = x2 + x ln x Bài 6.5 Chứng minh phương trình ; y x+y+3 y+22 Bài 6.4 Giải phương trình tuyến tính cấp một: y y e x( x2 + ) y (2x2 + 3)y = Chương6.PHƯƠNGTRÌNHVIPHÂN 332 có nghiệm tam thức bậc hai Giải phương trình x Bài 6.6 Chứng minh hàm số y = x et2dt nghiệm phương trình xy y = x e Tìm nghiệm riêng phương trình thỏa mãn điều kiện y(1) = x2 Bài 6.7 Giải phương trình Bernoulli: xy2 + x2(x + 1)yy + 3x = 0; y + xy = x3y3; x (y ln x 2)ydx = xdy; y+y=e2 y, y(0) = Bài 6.8 Giải phương trình vi phân tồn phần: (x + y + 1)dx + (x 2(3xy2 + 2x3)dx + 3(2x2y + y2)dy = 0; y2 + 3)dy = 0; 0; x 2x + y 0; 3x2(1 + y)dx ln 0; y y sin y x2 cos x1 x cos x x y2 Phương trình vi phân cấp hai Bài 6.9 Giải phương trình tuyến tính: x2(ln x 1)y xy + y = 0, biết nghiệm riêng y1(x) = xα, α R 6.2.PHƯƠNGTRÌNHVIPHÂNCẤP2 333 (2x + 1)y + (4x 2)y 8y = 0, biết nghiệm riêng y1(x) = eαx, α R (x2 1)y 6y = 0, biết nghiệm riêng y1(x) đa thức bậc ba (2x x2)y + (x2 2)y + 2(1 x)y = 0, y(1) = 0, y (1) = biết nghiệm riêng y1(x) = ex (2x x2)y + 2(x 1)y 2y = 2, biết hai nghiệm riêng y1(x) = 1, y2 = x Bài 6.10 Giải phương trình tuyến tính hệ số hằng: ex y y = ex + 1; y + y = tg x; y 3y = 6x; y y + 4y = 2sin2x; 13 y + 9y = 6e3x; 2y + 3y = e x cos x; 10 y + 2y + y = 4e x; 9y + 20y = x2e4x; 12 y + 2y + 5y = 2xe x cos 2x; 14 y + y = x2 cos2 x; 16 y + y = cos3 x 11 y 3y = e3x 15 y 18x; x + 1; 1 + e2x ; y + 5y + 6y = 7y + 6y = sin x; y y + 2y + y = 3e x y + 4y 5y = 2ex; Bài 6.11 Giải phương trình phép đổi biến tương ứng: x2y + xy 4y = x2 ln x, x = et; y (x2 + 1)y + 2xy + t y = e2x cos ex, t = ex; x24+y = (x22+x1)2 , x = tg t, Chương6.PHƯƠNGTRÌNHVIPHÂN 334 ĐÁP SỐ - HƯỚNG DẪN Bài 6.1 x+y ln xy + x y = C; y + ln x xy y x = ln tg + 2cos y + C; y 2sin x + ln tg x x x = C; y tg yx+ C Bài 6.2 cotg = C; ; x; x y 2x C x+ ; = 1 + x2 + x tg = C ln y; Bài 6.3 )2 + ( + y2 = + 1; y3 = π 3arctan ex + 2(x 1) + 4x y= 2+ 2x x = 0; 6.2.PHƯƠNGTRÌNHVIPHÂNCẤP2 x2 + 2xy + y2 = C; x2 6y = C; x2 + y2 = Cx2; y = Cx(x2 + y2); 2xy + 2x y2 y+ y2 = x2(Cx2 + 1); 335 e 2arctan xy+23 = C(y + 2) Bài 6.4 ln x y= x2 x x2 x C + , x 0 x x x+ x2 ; ) arcsin(2x x , x2 x x x2 + x2 C y =+ C ; y = e x; x x y = (1 + x2)(x + C); 2x = y62 + C; x; ; x2 + y = x2 arctan x x2 ln(1 + x2) + Cx; x2 Bài 6.5 y x3 x; Chương6.PHƯƠNGTRÌNHVIPHÂN 336 x2 + x Bài 6.6 y = x et2dt + Cx Bài 6.7 x Cex2) = 1; x y=ex Bài 6.8 ; y2(x2 + + x 1; 1 x2 + x + xy + 3y y4 + 3x2y2 + y3 = C; y y + ln y3 = C; y y = C; yx ln x + y + x+y y cos + x = C; x x x x3(1 + ln y ) y sin y2 = C; y Bài 6.9 y = C1x + C2 ln x; ; ; y = x2 ex 1; y = C1(x Bài 6.10 1) + C2(x2 x + 1) + = C; 6.2.PHƯƠNGTRÌNHVIPHÂNCẤP2 ex y = C1ex + C2e x + y = C1xe x + C2e x + ex ex ex ln x + + e 2 337 ln ex + ; e x(x + 1) ; 15 + sin x ; cos x y = C1 cos x + C2 sin x cos x ln y = C1e 3x + C2e 2x + e 3x(arctan ex ex) + 1e 2x ln(1 + e2x); x; x ; y = C1 + C2 y = ex[C1 cos e3x + x2; 2x + C2 sin 10 y = C1e x + C2xe x + 2x2e x; 2x ]+ (5cos x 41 4sin x)e x; x; x; 12 y = C1e 5x + C2ex 1xex; ; x; x; Chương6.PHƯƠNGTRÌNHVIPHÂN 338 x Bài 6.11 y = C1x2 + C2x + y = C1ex + C2 y = C1 x2 (16ln2 x 4ln x + 1); 64 cos ex; x2 2x + x2 + C 11 x2 arctan x ... phân hàm hợp, tính bất biến dạng vi phân cấp 2.2.5 Tính gần vi phân 2.3 68 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO 69 2.3.1 Đạo hàm cấp cao 69 2.3.2 Công... 164 ĐẠO HÀM RIÊNG 165 4.3.1 Đạo hàm riêng cấp 165 4.3.2 Đạo hàm riêng cấp cao 166 VI PHÂN 168 4.4.1... 194 MỤCLỤC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 201 6.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 201 6.2 6.1.1 Đại cương phương trình vi phân cấp 201 6.1.2 Phương trình khuyết 202