Chuong 3
PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN
3.1 Dao ham riéng
Ta ký hiệu RẺ là tập hop tat ca cdc cap s6 thuc (x;y), nghia la *= {Ocy): xy © R}
3.11 Hàm hai biến
Giả sử một công ty, chỉ sản xuất hai loại sản phẩm, sản xuất x đơn vị
sản phẩm loại thứ nhất với lợi nhuận là 4USID trên một đơn vị và y don vi
của sản phẩm loại thứ hai véi loi nhuan 1a 6USD trén mét don vị Thế thì,
tổng lợi nhuận của nó là một hàm sỐ theo hai biến x và y, va được cho bởi
FI{+,ự) = 4x + 60
Hàm số này biến cặp số (x; y) thành một số thực duy nhất là 4x + 6 Tổng quát, ta có
Định nghĩa 3.1 Hàm số ƒ theo hai biến độc lập x va y la m6t quy tắc làm tương ứng mỗi cặp số thực có thứ tự (z;1) với một và chỉ một số thực z
được ký hiệu là ƒ(x; y) Hàm số như vậy được ký hiệu là = ƒ(;0)
e x va y được gọi là hai biến độc lập
e z được gọi là biến phụ thuộc
Tập hợp tất cả các cặp số thuc (x;y) sao cho f GẦN cũng là số thực
được gọi là miền xác định của ƒ
Gọi D là miền xác định của ƒ Miễn giá trị của ƒ là
ƒ£(D) = {z:z = ƒ(x;vw).(x;) € D}
Trang 23.1 Dao ham riéng 105 Chu y 3.1 1 Trong một vài trường hợp, nêu A1 là điểm có toa dé (x; y)
thì ta có thể viết ƒ(Mf) thay cho ƒ(z; 0)
2 Khi cho hàm số z = ƒ(x; ) bằng công thức thì ta hiểu miễn xác định
của hàm số là tập hợp tất cả các điểm (x; ý) làm cho biểu thức ƒ(x; )
có nghĩa
Ví dụ 3.1 Xét hàm lợi nhuận II(x;) = 4x + 6y (USD) Tính I1(2;3) Giải Ta có
II(2;3) = 4.2 + 6.3 — 26 (USD)
Kết quả này có nghĩa là bằng cách sản xuất và bán 2 đơn vị sản phẩm
loại thứ nhất và 3 sản phẩm loại thứ hai, công ty sẽ thu được lợi nhuận là
26USD
Ví dụ 3.2 Một công ty sản xuất nhỏ sản xuất hai loại sản phẩm Nếu chỉ phí cố định là 500USID mỗi tuần và chỉ phí biến đổi là 70USD cho mỗi sản
phẩm loại thứ nhất, 80USD cho mỗi sản phẩm loại thứ hai thì hàm chỉ phí hàng tuần được tính bởi
C(Q1; Q2) = 500 + 70Q; + 80Q2,
vGi Q; va Q2 là số sản phẩm loại thứ nhất và số sản phẩm loại thứ hai được sản xuất trong mỗi tuần Tính C(20; 10)
Giải Ta có
C(20; 10) = 500 + 70.20 + 80.10 = 2700 (USD)
Kết quả này có nghĩa là, trong mỗi tuân, nêu sản xuất 20 đơn vị sản phẩm loại thứ nhất và 10 đơn vị sản phẩm loại thứ hai thì công ty sẽ tốn chỉ phí
la 2700USD
Ví dụ 3.3 Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm xác định được hai hàm giá - câu cho hai loại sản phẩm là
ì = 210 — 4€ + Qo, P2 = 300 + 1 — 122,
trong đó, Pị và P› tương ứng là giá của sản phẩm loại thứ nhất và giá của
sản phẩm loại thir hai, Q) ka Q2 tuong ung là cầu sản phẩm loại thứ nhất
va cau san phẩm loại thứ hai trong méi tuan
Trang 3106 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN b) Gia str ham chi phi mdi tuan là
C(Q1;Q2) = 700 + 70Q; + 100Q>2,
tìm hàm lợi nhuận hàng tuần II(Q1; Q2), va tinh 11(20; 10) Giai a) Hàm doanh thu mỗi tuần là R(Q3; Q2) = Q1.P1 + Q2.P2 = Q).{210 — 4Q) + Q2) + Q2.(300 + Q; — 12Q>2) = 210G: + 300Q; — 4Q? — 12Q2 + 2Q Q2, và R(20; 10) = 4800USD b) Ham lợi nhuận mỗi tuần là 11(Q1; Q2) = R(Q1; Q2) — C(Q1; Q2) v== 2101 + 300Q; — 4Q7 — 12Q2 + 2Ó1Q; — (700 + 70Q¡ + 100Q2) = 140Q; + 200Q2 — 4Q% — 12Q% + 201Q2 — 700 và I1(20; 10) = 1700USD
@ Ham sản xuat Cobb-Douglas
Sản lượng @ của một nhà máy thường được coi là một hàm số theo hai
biển: số đơn vị vốn đầu tư K va sé đơn vị lao động L Hàm số này có dạng O(K;L) = A.K*.LÌ~*,
trong do, A va ø là các hằng số dương, được biết đến với tên gọi là hàm san xuat Cobb-Douglas
Ví dụ 3.4 Sản lượng của một công ty sản xuất thép được cho bởi hàm
Q(K;L) = 10.K95.L°
Nếu công ty sử dụng 1000 đơn vị vỗn và 3000 đơn vị lao động thì có bao
nhiêu đơn vị thép sẽ được sản xuất?
Giải Số đơn vị thép sẽ được sản xuất là
Trang 43.1 Dao ham riéng 107
3.1.2 Đạo hàm riêng cấp một
Định nghĩa 3.2 Cho hàm z = f(x;y) xác định trên hình tròn có tâm là
diém (a;b) Cho y = b, thi f(x;b) = h(x) la ham một biến x Nếu (+) có dao ham tại 2 thì ta nói ƒ có đạo hàm riêng theo biến x tại điểm (2;b) và
h“(a) được gọi B đạo hàm riêng theo biến z của ƒ tại điểm (2;b), được ký hiệu là # (4; b), Š (a ;b), oF (a; b),z„(a; b) Vậy,
f(&;b) = 2 (a;b) = LF (a;b) = 2h(a;b) = W'(a)
Dao ham riêng của z = f(x;y) theo bién y tai diém (a;b) duoc dinh nghia tuong tự, và được ký hiệu là
ƒy(a;b) = ấy (2:0) = 3u (0:6) = Zv(4; b)
Chú ý 3.2
1 Khi tính đạo hàm riêng của một hàm số theo biến số này, ta xem biến
số còn lại là hằng và áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm một biến 2 Khi ƒ có đạo hàm riêng theo biễn x tai (a; b) thi of (a by = tim £62 435) — F(ab) dim, Ax Khi f cé dao ham riéng theo bién y tai (a; b) thi sợ (6 ;b)'= 1 /;b + Sy) — ƒ(;b)_ Aw->0 Ay Vi dụ 3.6 Cho z = f(x;y) = x° — 2x?y + 3x? + 6y + 2 Tinh z/, 2} Giai zi = 3x? — 4xy + 6x, zy = —2x* +6
Ví dụ 3.6 Cho z = f(x;y) =e” Tinh zi, z/,
Giải Áp dụng đạo hàm của hàm hợp, ta có
z¿ seh ty (x24 y) = et 2x /
x
t oxt+y? 2 29“ _ 2x2tự?
Trang 5108 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN
Vi du 3.7 Cho f(x;y) = x¥,x > 0 Tacé
Feary) = yx!) và fj(x;y) = xVInx Vi du 3.8 z = arctan Ý,x z 0 Ta có „_ _Œ, _ c# _ ed care Ae 1” eH va , : (hy } ey tay tự + Ví dụ 3.9 Cho ƒ(z; w) = sin(xy) + arctan 4 Ta cé ye Ụ Fig YEOMAN —~ ara aa MÔ 4 x fy = xcos(xy) + Pe Ví dụ 3.10 Cho hàm số =“z, nếu (x;v) # (0;0); ƒŒ;y) = Ự +e 0, néu (x;y) = (0;0)
Tinh các đạo hàm riêng cap mot cua f(x; y)
Trang 63.1 Dao ham riéng 109 Tóm lai, 3 2 yxy k nN flocy) = (2+2 ™ (x;) # (0:0); 0, néu (x;y) = (0;0) x3 — xy? fy) = tri néu (x;y) 4 (0;0); 2 néu (x;y) = (0;0) Ví dụ 3.11 Xét hàm lợi nhuận trong Ví dụ 3.3, 11(Q1; Q2) = 140Q; + 200Q2 — 4QF — 12Q3 + 2Q1Q2 — 700 Tim Tg, (15; 10), To, (40; 10) va giai thich cdc két qua này Giải Ta có TC, (Ơi; Q2) = 140 — 8Q) + 2Q2, T1@,(15; 10) = 140 — 8.15 + 2.10 = 40, H16, (40; 10) = 140 — 8.40 + 2.10 = — 160 Giải thích kết quả:
e Ở mức sản lượng 15 đơn vị sản phẩm loại thứ nhất và 10 đơn vị sản
phẩm loại thứ hai mỗi tuần, việc tăng mức sản lượng của sản phẩm
loại thứ nhất lên 1 đơn vị và cô định mức sản lượng của sản phẩm
loại thứ hai sẽ làm tăng lợi nhuận khoảng 40USI
e Ở mức sản lượng 40 đơn vị sản phẩm loại thứ nhất và 10 đơn vị sản
phẩm loại thứ hai mỗi tuần, việc tăng mức sản lượng của sản phẩm
loại thứ nhất lên 1 đơn vị và cố định mức sản lượng của sản phẩm
loại thứ hai sẽ làm giảm lợi nhuận khoang 160USD
Trang 7110 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN
Ví dụ 3.12 Sản lượng của một công ty sản xuất máy tính để bàn có hàm
sản lượng
Q(K; L) = 15.K°®.L°4,
Cơng ty hiện đang sử dụng 2500 đơn vị vốn và 4000 đơn vi lao động, hãy
tìm sản lượng cận biên theo lao động và sản lượng cận biên theo vốn Để
tăng sản lượng nhiều hơn, lãnh đạo công ty nên tăng lao động hay tăng von? Giải Ta có Ok(K;L) = 9.K~9.L 9⁄4, Ox(2500; 4000) — 9.2500—94.40000 = 10, 86 Q¡(K;L) = 6.K°°.L- 9%, Q% (2500; 4000) = 9.2500°°.4000~- 9° = 4,53
Ở mức sử dụng vốn và lao déng hién tai, néu cé dinh số đơn vị lao động
và tăng một đơn vị vốn thì sản lượng tăng lên gần 10,86 đơn vị; còn nếu cô định vốn và tăng một đơn vị lao động thì sản lượng tăng lên gần 4,53 đơn
vị Do đó, lãnh đạo công ty nên tăng vốn
3.1.3 Đạo hàm riêng cấp hai
Dinh nghia 3.3 Cho ham z = f(x;y) co hai dao ham riéng z, va z, Dao
Trang 83.2 Vi phan 111 Vi du 3.14 Cho OY khí 0;0 f(xy) = Yay ye EM (x;y) # (0;0); 0 , khi (x;y) = (0;0) So sánh ƒ/„(0;0) và fy, (0; 0) Giải Tại (x;) z (0;0), ta có 2 2 2 ty „XU 4xụ FAGY) = Waa tT YT + y2)2 và _ -#ˆ _ 4x2 — f(y) = 4 - 1V TT UP: Mặt khác tại (0;0), ta lại có
m (A10) - /(09) _ ta 0—0_—o_— go,
Aim, Ax = jim ag TOR # (0;0)
ve ayo i f(0;Ay) — ƒ(0;0) ; ¥y Ay — ; = 1 0-0 — = HH = ự ;
Suy ra
ma x0 Ay) — (0/0) =ây—0 _ _1_ grự(Q,
aim, Ay = jim, Ax Lo Sey (0; 0)
eo ° fil Axi0) — f(0;0) y x; — 1 ; _ ° Ax — 0 x= — — ay
arto CR CAN Ax = 1 = Fyx(050)-
vay, fi/.(0;0) # ful, (0;0)
Vi du 3.13 va Vi du 3.14 cho thay hai dao ham hén hop đấu “ có thể
bằng hoặc khác nhau Định lý sau cho ta một điều kiện đủ để Tự Tản
Định lý 3.1 Nếu ƒ(x;) có đạo hàm riêng đến cấp hai xác định 0à liên tục trên
mot hinh tron D thì
2 a2
Trang 9112 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN
3.2 Vi phan
3.2.1 Khái niệm vi phân
Cho ƒ(z; ) xác định trên hình tròn Ð có tâm là điểm (4; b) Nếu Ax, Aw đủ nhỏ thì (2 + Ax;b + Ay) € ID) Khi đó, ta đặt
Af(a;b) = f(a+ Ax;b+ Ay) — f(a;b)
Dinh nghia 3.4 Ham ƒ(x; ) được gọi là khả vi tại (4;b) nêu
Af(a;b) = A.Ax + B.Ay + ø.Ax + B.Ay, (3.1) trong do:
e AvaBla hang số, chi phu thuéc (a; b); e x — 0 và 6 — 0 khi Ax, Ay —> 0
Khi đó, biểu thức A.Ax + B.Aw được gọi là vi phân toàn phần của ƒ(+x; 1)
tại (a;b), và được ký hiệu là 3ƒ(a; b},
df(a;b) = A.Ax + BAy Dùng bắt đẳng thức Bunyakovsky, ta có |x.Ax + 8.-Ay| < Va2+ 82V(Ax? + A2 Suy ra Jx-Ax Ax? + Ay? + BAY! — (/x2 + Ø2 > Okhi Ax, Ay —> 0 Do đó,
&.Ax + B.Ay = 0(,/Ax? + Ay?) khi Ax, Ay —> 0 Vậy (3.6) có thể viết dưới dạng
Af(a;b) = A.Ax + B.Ay + 0(,/ Ax? + Ay?) (3.2)
Dinh ly sau day cho ta điều kiện đủ để hàm f(x;) khả vi tại điểm
Trang 103.3 Cực trị tự do 113
Định lý 3.2 Nếu ƒ(x;w) có các đạo hàm riêng ƒfy, f¿ xác định trong một hình tron mo tam (a; b) va lién tuc tai (a;b) thì ƒ(x;U) kha vi tai (a; b) va
df(a;b) = f,(a;b).Ax + fi (a; b).Ay (3.3) Vi du 3.15 Ham f(x;y) = xy? c6 fi = 3x?y* va fy = 2x°y xác định và
lién tuc tai moi diém nén f(x; y) kha vi tai moi diém
Trong (3.8) néu lan lugt cho f(x;y) = x, f(x;y) = y thì lần lượt ta có
Ax = dx, Ay = dy Nhu vay (3.8) tro thanh
df(a;b) = f,(a;b).dx + f,(a;b).dy (3.4)
Vi du 3.16 Cho f(x;y) = y* + sin(xy) Ta c6
df (x;y) = [3x7y? + ycos(xy)|dx + [2x3y + x cos(xy)]dy
3.2.2 Vi phân cấp hai
Định nghĩa 3.5 Vi phân đƒ(x; y) là ham hai biến x, y Vi phân nếu có của
df (x;y) duoc gọi là vi phân cấp hai của ƒ(x;1) va ky hiéu 1a df (x;y) Vay d* f (x;y) =d(df(x:y))
Bây giờ ta giả sử x,ự là hai biến độc lập, nghĩa là chúng không phụ thuộc vào biến nào khác Khi đó, do đx và ấy là các hằng số nên
a’ f(x:y) =d (df (x:y)) = d(frdx + fay)
= d(frdx) + d(fydy) = d( fz )dx + d(f, dy = | fadx + fray] dx + | yx AX + firdy| dy
= f›dx? + fyxdxdy + fy,dxdy + fipdy’ Néu fy, = fyx thì ta có 4° ƒ(x;) = fadx? + 2fxudxdw + frdy? (3.5) Ví dụ 3.17 Cho ƒ(x;) = xŸ + 2x2 + y* Ta cd ff = 3x* + 4x, i = 2x7 + 2y va fe Mw Wo
fia = 6x + 4y, fry = 4% fyx = 4%, fz = 2
Do đó, vi phân cấp hai cia f(x; y) la
Trang 11114 PHÉP TÍNH VI PHÂN HẦM HAI BIÊN 3.3 Cực trị tự do
3.3.1 Khái niệm cực trị tự do
Định nghĩa 3.6 Cho hàm số ƒ(x; ) có miễn xác định D Ta nói
e Điểm (a;b) là điểm cực đại của ƒ nêu có một hình tròn tâm là (a; b)
sao cho
ƒ(;w) < flab),
v6i moi (x;y) nam trong hinh tron nay va dau bang chi xảy ra khi
diém (x;y) tring diém (a; b) (Hinh 3.1.a)
e Diém (a; b) là điểm cực tiểu của f néu cé médt hinh tron tam 1a (a; b)
sao cho
f(xy) > ƒ(a;b),
với mọi (x;1) nằm trong hình tròn này và dẫu bằng chỉ xảy ra khi
điểm (x; ý) trùng điểm (a;b) (Hình 3.1.b)
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị của hàm số tại điểm cực đại và tại điểm cực tiểu được gọi là giá trị cực đại và
giá trị cực tiểu của hàm số, được gọi chung là giá trị cực trị của hàm số Ta ký hiệu /max(4; b) là giá trị cực đại của hàm ƒ tại điểm cực đại (a; b);
Trang 123.3 Cuc tri tu do 115
Ví dụ 3.19 Xét hàm z = x2 + Ÿ Ta có
z(x;y) > 0 = 2(0;0),V(x;y) € R?
Vậy, (0;0) là điểm cực tiểu của z và giá trị cực tiểu Zmin(0;0) = 0
Vi du 3.20 z = x? — y* Diém (0;0) không là điểm cực trị của hàm z
vì trong mọi hình tròn tâm (0;0) hàm z có cả giá trị âm và dương mà z(0;0) =0
3.3.2 Điều kiện cần của cực trị
Miễn xác định của một hàm hai biến bao gồm vô số điểm, do đó việc
tìm điểm cực trị của hàm số là rất phức tạp Kết quả sau đây giúp chúng “re * ~ 7a » on z * 2 2 y ` ta giới hạn lại những điểm năm trong miền xác định của ƒ có khả năng là điểm cực trị Định lý 3.3 Nếu ƒ(x; w) đạt cực trị oà có hai đạo hàm riêng tại (a;b) thì fi(azb) = 0 va fi(a;b) = 0
Chứng múnh Không mất tinh téng quat, ta gia str ham f(x; y) dat curc dai tai (a;b) va cé
hai đạo hàm riéng f; (4; b), f(a; 6) Vi f(x: y) dat cuc dai tai (a; b) nén ham g(x) = f(x: yo)
đạt cực đại tại xọ Do đó, theo định ly Fermat, ¢’(x9) = 0, nghia 1a f{(a;b) = 0 Tuong ty, ta cũng có ƒ(a;b) = 0 O Mệnh đề đảo của định lý này không đúng Thật vậy, xét hàm z = xˆ — 2 , y“ taco z,(0;0) = Ova z,(0;0) = 0 nhưng (0;0) không là điểm cực trị Định lý (3.3) khẳng định rằng hàm ƒ chỉ có thể đạt cực trị tại những
điểm mà tại đó hoặc là cả hai đạo hàm riêng cùng tồn tại và bằng không
hoặc là ít nhất một đạo hàm riêng không tdn tai
Dinh nghia 3.7
e Điểm mà tại đó hoặc là cả hai đạo hàm riêng cùng tổn tai va bang không hoặc là ít nhất một đạo hàm riêng không tổn tại được gọi là điểm tới hạn;
e Đặc biệt, điểm mà tại đó cả hai đạo hàm riêng cùng ton tai va bang
Trang 13116 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN
Ví dụ 3.21 Tìm tất cả các điểm tới hạn, nếu có, của hàm số z=x*+y*—x? —2xy—y’
Giải Do z có hai đạo hàm riêng tại mọi điểm nên điểm tới hạn, nếu có,
của z là điểm dừng Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ
zx„ = 4x — 2x — 2 = 0
y = 4” — 2w — 2x = 0
Giải hệ ta được ba điểm dừng: O(0;0), M:(1;1) và Ma(—1; —1)
3.3.3 Điều kiện đủ của cực trị
Định lý sau đây, bằng đạo hàm riêng cấp hai, giúp ta biết được một
điểm dừng có là điểm cực trị hay không
Dinh lý 3.4 Giả sử hàm z —= ƒ(x;) có điểm dừng là (a;b) uà có các dao ham
riêng cấp hai liên tục trong một hình tròn tâm (a;b) Dat
A = 2',(a;b),B = zy y (a; b) va C = zi, (a;b)
Khi do:
1 Nếu AC — B2 > 0 uà A < 0 thì (a; b) là điểm cực đại của z
2 Nếu AC — B2 > 0uà A > 0 thì (a;b) là điểm cực tiểu của z
3 Nếu AC — B2 < O thì (a;b) không là điểm cực trị của z
Trang 143.3 Cực trị tự do 117 Bước 2: Tính các đạo hàm riêng cấp hai Zo —= 2,Zx„ = 0, Zw2 = Suy ra A = 232(0;0) = 2, B = zy, (0;0) =0, C= Zya (0; 0) =2 Do AC — B*=2.2—-07 =4>0vAA=2>0 nên tại (0;0) là điểm cực tiểu của z, và giá trị cực tiểu là z(0;0) = 3 Vi du 3.23 Tim cực trị của hàm z—= x*+ ự° — x2 — 2xự — tˆ Giải Bước 1: Theo ví dụ 3.21, hàm z có ba điểm điểm dừng: A14(1;1), M2(—1; —1) va O(0;0)
Bước 2: Các đạo hàm riêng cấp hai:
z⁄a = 12x” — 2, zxy — —2, Z/¿ = 12y* — 2
e Tai M,(1;1) va M2(—1; —1), tac6 A = 10,B = —2,C = 10 và
AC - B2 = 10.10 — (—2)Ÿ >0, 4 = 10 >0
Vay, ham z đạt cực tiểu tại AM, M2 va z(M)) = z(M2) = —2
e Tại O(0;0), ta có A = —2,B = —2,C = —2 va B* — AC = 0
Ta khảo sát thêm bằng định nghĩa điểm cực trị Xét hình tròn tâm O(0;0) bán kính z > 0 tùy ý Trên đó luôn tôn tại hai điểm:
P(4;1), Q(4; — 4) voi n du lon va
z(P) = Z8 (qs —2) <0—z(O) < = = 2(Q)
Trang 15118 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN
3.3.4 Ung dung cuc tri tự do trong kinh tế
Trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo, nhà sản xuất bán sản phẩm với giá do thị trường quyết định
Ví dụ 3.24 (Bài toán cực đại hóa lợi nhuận trong thị trường cạnh tranh
hoàn hảo) Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm trong điều kiện
cạnh tranh hoàn hảo với giá bán lần lượt là = 450, › = 630 (đơn vị tiền), và chi phí sản xuất là
C(GØi; O2) = G7 + OiQ2 + Q2 + 210 + 360Q2 + 100
Trang 163.3 Cuc tri tu do 119
Trong thị trường độc quyền, nhà sản xuất bán sản phẩm với giá do họ
quyết định
Ví dụ 3.25 (Bài toán cực đại hóa lợi nhuận trong thị trường độc quyền)
Trang 17120 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN Tai (Q1; Q2) = (480; 600), thi A= TT2 (480; 600) = —2, 1 B = IT§ 9,(480;600) = —2, C = 114, (480; 600) = —4 Do AC — B2 = (—2)(—4) — (—2) = 4 > 0và A = —2 < 0 nên hàm
lợi nhuận II(Q1; O2) đạt cực đại tại (Q1; Q2) = (480; 600)
Ví dụ 3.26 (Bài toán cực đại hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất
độc quyền một mặt hàng và bán trên hai thị trường tách biệt) Một doanh
nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và bán trên hai thị trường
tách biệt Biết hàm cầu trên hai thị trường và hàm chỉ phí sản xuất là:
Qp, = 310 — Pị,Qp, = 350 — P;,C(Q) = Q2 + 30Q + 20
Hãy tìm lượng sản phẩm cung cập trên từng thị trường để doanh nghiệp
Trang 183.4 Cực trị có điều kiện 121 e Điểm dừng của hàm lợi nhuận là nghiệm của hệ Ip, = 280~4Q:-2Q2=0 _ [Qi=40 II, — 320 — 2Q: — 4Qz =0 Qa = 60 Các đạo hàm cấp hai của hàm lợi nhuận: I 0 = —4, 6,0, = —2, O2 = —4 Tại (Ơi; Q2) = (40; 60), thì A = H;(40;60) = —4, B = H12,o„(40;60) = —2, C = T2; (40;60) = —4 Do AC — B? = (—4)(—4) — (-2)* = 12 > Ova A = —4 < Onén hàm lợi nhuận II(©; Q2) đạt cực đại tại (Q1; Q2) = (40; 60) 3.4 Cực trị có điều kiện
3.4.1 Khái niệm cực trị có điều kiện
Định nghĩa 3.8 Cho điểm (2;b) thuộc đường cong có phương trình s(;) =0 (3.6) và hàm số ƒ(x; ) Ta nói tròn tâm (4; b) sao cho ƒ(x:w) < ƒ(4;b) e Ham f(x;y) dat cuc dai tại (z;b) thỏa điều kiện (3.6) nêu có hình (3.7) vdi moi (x; y) nam trong hinh tron nay thdéa g(x; y)} = 0 va dau bang
chi xay ra khi (x;y) = (a; b) (Hinh 3.2.a)
Hàm ƒ(x;y) đạt cực tiểu tại (4;b) thỏa điều kiện (3.6) nêu có hình tròn tâm (4; b) sao cho
ƒŒ;w) > ƒ(;b) (3.8)
với mọi (x; ) nằm trong hình tròn này thỏa ø(x; ý) = 0 và dầu bằng
Trang 19122 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN
Hinh 3.2
3.4.2 Phương pháp khử
Giả sử từ điều kiện (3.6) ta tính được duy nhất = (+), thay vào hàm f(x,y) ta duoc ƒ(x;1) = ƒ(x,w(x)) Sau đó, ta tìm cực trị của hàm một
bién A(x) = f(x,y(x)) dé suy ra cực trị cho hàm ƒ(x;y) thỏa điều kiện
#Œ;) = 0
Ví dụ 3.27 Tìm cực trị của hàm f(x; y) = x7 + ? với điều kiện x + y = 1 Giải Từ x + = 1 suy ra 1 — 1 — x, thay vao ham f(x; y) ta dugc
ƒ(x;w) = ƒf(x;1 ~ x) = x7 4+ (1 — x)? = 2x? — 2x41 Đặt (x) — 2x? — 2x + 1 Ta có
hl(x) = 4x -2=08x=5
Ma h(x) = 4 v6i moi x nénh (4) = 4 > 0 Do đó, x = š là điểm cực tiểu
cia h(x) Suy ra (3; 3) la diém cực tiểu của hàm ƒ(x;) thỏa x + = 1 và
gia tri cực tiểu là
1 1 1
§ (5:3) =
3.4.3 Phương pháp nhân tử Lagrange
Dinh lý 3.5 (điều kiện cân) Co điểm (a; b) thỏa (3.6).Giả thiết:
1 Hai hàm ƒ(x;U), S(+x; 9) có các đạo hàm riêng liên tục trên một hình tròn tâm (a; b)
Trang 203.4 Cực trị có điều kiện 123 Khi đó, nêu hàm ƒ(x:) đạt cực trị tại (a;b) thỏa điều kiện (3.6) thì tôn tại số À sao cho fila;b) +Agi(a;b) = 0 ie b) + Ag, (a; b) 0 (3.9)
Nhận xét 3.1 Khi giả thiết của Định lý 3.5 được thỏa mãn thì hàm f(x; y)
chỉ có thể đạt cực trị với điều kiện (3.6) tại những điểm (zx; ) thỏa hệ #zx(x;) +Àgx(:w) = 0 fj(x;w) +AÀgj(x;u) = 0 (3.10) s(%:) 0 Giả sử hệ (3.10) có nghiệm (4; b; A) Dat L(x;) = ƒ(%;) + Àg(;},
L(x;) được gọi là hàm Lagrange Dựa vào hàm Lagrange, định lý sau
đây cho ta một điều kiện đủ để kết luận điểm (4a; b) có là điểm cực trị hay
không
Định lý 3.6 (điều kiện đủ) Cho giả thiết ở định lý (3.5) thỏa mãn, ta giả thiết thêm rằng các hàm f(x;y),@(x:y) cé các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trong
tột hình tròn tâm Mlo(a;b) Xét
d?L(Mo) = Li2(Mo)dx* + 2L{,(Mo)dxdy + Li,(Mo)dy*,
uới dx, dy khéng déng thời bằng không uà thỏa mãn phương trình
8x(Mo)dx + gy(Mo)ẩw = 0 (3.11)
Ta có
~
1 Nếu đ2L(Ma) > O thi f(x; y) đạt cực tiểu thỏa điều kién (3.6) tai Mo
2 Néu d2L(Mo) < 0 thi f(x; y) đạt cực đại thỏa điều kién (3.6) tai Mo
Ví dụ 3.28 Tìm cực tri cua ham f(x;y) = x? + y? théa diéu kién x + y = 1
Giai
Bước 1: Lập hàm Lagrange Điều kiện xz + = 1 được viết lại dưới dạng
x+y-—1=0, va ham Lagrange
Trang 21124 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN Bước 2: Tìm điểm dừng có diéu kién cua ham f(x; y) bằng việc giải hệ Li(x;y) =2x+A =0 (1) Lucy) =2y+A =O (2) x+y-1 =0 (3) Từ (1) suy ra x = — $, từ (2) suy ra = — 3; thay x, y theo A vao (3), ta được À ( À —= 27V — 2) —1=0 = A=-—1
Với À = —1, ta được # = 3,y = }
Bước 3: Kiểm tra điểm dừng có là điểm cực trị bằng vi phân cấp hai của hàm Lagrange Ta có đ°L{(x;w) = 2.dx? + 2.dự? Tại điểm (3; }) , ứng với A = —1, thì 2, (1.1) _ 54,2 2 d u (55 = 2dx® + 2dy?
Do 42L (1;3) > 0 với mọi dx,dy khéng đồng thời bằng không nên
Trang 223.4 Cuc tri cé diéu kiện 125 ®ÀA=j—Sx=_—2,/=_—1 ®e À =T-j>x=2,y/=l Bước 3: Kiểm tra điểm dừng nào là điểm cực trị bằng vi phân cấp hai của ham Lagrange dˆL(x; ) = 2A.dx? + 2A.dựˆ e Tai điểm (—2; —1) ứng với À = š : Do d®L(—2; —1) = dx? + dụ? > 0
với mọi ảdx, dự không đồng thời bằng không nên ƒ(x; ) đạt cực
tiểu có điều kiện tại (—2; — 1), và ƒ(—2;—1) = —5 : Do Nie e Tai diém (2;1) tng véi A = — d7L(2;1) = —dx? — dy? <0
véi moi dx, dy khong déng thdi bang khéng nén f(x; y) đạt cực
đại cé diéu kién tai (2;1), va f(2;1) = 5
3.4.4 Ung dung cực trị có điều kiện trong kinh tế
Ví dụ 3.30 (Bài toán cực đại hóa lợi ích người tiêu dùng) Một người tiêu dùng định dùng số tiền B = 178 mua hai loại hàng có giá Pị = 4,P; = 6
với số lượng +, và có hàm lợi ích là LI(x, w) = (x + 2)(w + 1) Xác định số
lượng từng loại hàng để lợi ích của người tiêu dùng đạt cực đại
Giải Theo đề bài, ta có 4x + 6 = 178 Bài toán trở thành: tìm cực đại của
Trang 23126 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN
e Ta cé d*L(x;y) = 2dxdy Tai diém (15;22) ứng với À = —4, thi d*L(15;22) = 2dxdy Mat khac, lay vi phan hai vé phuong trinh (3),
ta được 4dx + 6dy = O hay dự = — $dx Suy ra
d?L(15;22) — 2dx (-34~) — 2 yy?
3 3
Do d?L(15;22) < O với mọi đx #4 0 nén ham loi ich U(x; y) dat cuc
đại tai (15; 22)
Tóm lại, lợi ích của người tiêu dùng sẽ đạt cực đại khi mua 15 đơn vị loại hàng có giá \ = 4, và mua 22 đơn vị loại hàng có giá P› = 6
Ví dụ 3.31 (Bài toán cực tiểu hóa chỉ phí sản xuất) Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm cần 2 loại nguyên liệu đầu vào với giá cô định = 10, P2 = 40, và x, tương ứng là lượng của 2 loại nguyên liệu đầu vào; hàm sản lượng là Q(x,) = 10xÐ2yĐ5, Xác định lượng nguyên liệu đầu vào +, y để doanh nghiệp đạt mức sản lượng Qo = 200 véi chi phi dau
vào thấp nhất
Giải Theo để bài, hàm chỉ phí đầu vào C(x;y) = 10x + 40y Mức sản
Trang 243.4 Cực trị có điều kiện 127
e Taco
d?L (x;y) = —A.0, 25(x 7 yP dx? — 2x y” Pdxdy + xy dy?)
— -A,0,25 (x-95⁄ ay? pty 4 e058 gy2 at x05 ps psdedy + sy dy? )
Tai diém (40; 10) ung vdi A = —40, thì 1 —0,5 4,2 102x4 + 2.10” “dụ ) 42L(40; 10) = 10 (4o 92 5ax? — Mặt khác, lẫy vi phân hai về phương trình (3), ta được 0,5x~95y95đx + 0,5x95y 95ä3ụ = 0 hay ydx + xdy = 0 Tại điểm (40; 10), từ đẳng này ta có dx = —4dy Suy ra d*L(40;10) = 10 (4o-9%s + 1õ + 210-95) dự? Do d?L(40;10) > 0 với mọi đự z 0 nên hàm chỉ phí dau vao C(x; y) đạt cực tiểu tại (40; 10)
Tóm lại, để doanh nghiệp đạt mức sản lượng 200 với chỉ phí đầu vào thấp
nhất thì cần 40 đơn vị nguyên liệu có giá ¡ = 10 và 10 đơn vị nguyên liệu
có.giá Ps = 40
Ví dụ 3.32 (Bài toán cực đại hóa sản lượng) Hàm sản xuất Cobb-I2ouglas của một sản phẩm mới được xác định bởi
O(x; y) — 16.x°? 5,
trong do, x la sé don vi lao déng va y 1a sé don vi vén can thiét dé san xuat Q(x;) đơn vị sản phẩm Mỗi đơn vị lao động có chỉ phí 50USD và mỗi đơn vị vốn là 100USD Nếu 500.000USD đã được lập ngân sách để sản xuất
sản phẩm này, thì phải sử dụng bao nhiêu đơn vị lao động và bao nhiêu
đơn vị vốn để cực đại hóa sản lượng? Số sản phẩm cực đại có thể sản xuất
Trang 25128 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN
Giải Theo dé bai ta cé 50.x + 100.y = 500000 Ta tìm cực đại của hàm sản lượng O(z;w) = 16.x9?Š,u9 với điều kiện 50.x + 100 — 500000 = 0 e Ham Lagrange L(x;y) = 16.x%5 y%75 + A(50.x + 100.y — 500000) e Giải hệ Lÿ = 4x~95,u95 + 50A =0 (1) Li = 12x%° y-925 + 100A =O (2) 50.x + 100.y — 500000 =0 (3) Tu (1) va (2), suy ra ax 975,y975 _— wt —0,25 —A dan dén y = 3x Thay y = 3 vao (3), ta duge 3 50.x + 100.5 x — 500000 = 0 <> x = 2500 Do đó, y = 3.2500 = 3750 Suy ra 4 A= — 55 2500-°".3750°7° z —0, 1084
Vậy, L(x; y) có 1 điểm dừng là (2500; 3750) ung voi A = —0, 1084
e Vi phân cấp hai của hàm Lagrange
42L(x;) = —3x—1759754x2 + 6x~075.~9254 x4 — 3x025,—1⁄2544/2
Mặt khác, lấy vi phân hai về phương trình (3), ta được đx = —2dy
Do đó,
d*L (x;y) — —6x~ 17505 dqụ2 _ 12x ~ 979 y—%25 dy? _ 3x05 1.2542 — (—6x~1⁄5y®%“ _ 12x~95.u—9 — 3x°9⁄2 u~1.25) 42
Tại (2500; 3750), do
3^L(2500; 3750) = —0,0083.đ/2 < 0
Trang 263.5 Bai tap 129
Tóm lai, dé san lượng đạt mức cực đại, trong điều kiện ngân sách là
500000USD, phải sử dụng 2500 đơn vị lao động và 3750 đơn vị vốn Sản
lượng cực đại có được là 54216 đơn vị
3.5 Bài tập
Trắc nghiệm tự luận
3.1 Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm xác định được hai hàm cầu
cho hai loai san pham 1a P; = 210 — 4Q) + Q2, P2 = 300+ Qy — 12Qz, với
P; la gia của sản phẩm loại thứ nhất, P2 la giá của sản phẩm loại thứ hai,
G! là cầu sản phẩm loại thứ nhất trong mỗi tuần, và O; là cầu sản phẩm
loại thứ hai trong mỗi tuần
1 Tìm hàm doanh thu mỗi tuần R(Q1; Q2), va tinh R(20; 10)
2 Giả sử hàm chỉ phí mỗi tuần la C(Q);Q2) = 1000 + 40Q, + 80Q2,
tìm hàm lợi nhuận hàng tuần IÍ(Q; ©a), và tính I1(20; 10)
3.2 Một công ty sản xuất hai loại máy tính mỗi tuần, Q) loại A và Qz loại
loại B Doanh thu và chi phí hàng tuần (bằng đô la) là
R(O¡; Q¿) = 80G) + 90Q¿ + 0,04Q1Q2 — 0,05QŸ — 0,053,
C(Qi; Q2) = 20000 + 8Qi + 6Q>2
Tìm TT (11200; 18002) và IT, (11200; 18002), va giải thích kết các kết quả
3.3 Một siêu thị bán hai thương hiệu cafe: thương hiệu 4 ở mức giá
(USD/pound) và thương hiệu B ở mức giá P› (USD/pound) Nhu câu
hàng ngày Q; va Q; (tính bằng pound) đối với các thương hiệu A và B,
tương ứng, được cho bởi
` QO, = 200 — 5P, + 4P2, Q2 = 300 + 2P, — 4P
Tim 3m và SB, và giải thích kết qua
3.4 Năng suất của một công ty sản xuất máy bay được xấp xỉ bởi hàm san
xuat Cobb-Douglas
Q(K;L) = 40.K°?,.L°7, 1 Tim Q; và Q}
2 Céng ty hién dang su dung 1.500 don vi lao déng va 4.500 don vi
vốn, hãy tìm sản lượng cận biên theo lao động và sản lượng cận biên
Trang 27130 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN 3 Để tăng sản lượng nhiều hơn, lãnh đạo công ty nên tăng lao động hay tăng vỗn? 3.5 Tìm cực trị của các hàm số 1 z=x 2+xy+y)— 3x — 6w; 2 z=x”+?—3xụ; 3 z=4(x —y)—x?~—y’; 4 z=x+y-— xe; 5 z=x?2+xy+y°+x—+1; 6 z= x — y? —3x + by; 7 2=2x*+y* — x? — 2y?; 8 z= 4xy—x*— y'
3.6 Tìm cực trị với điều kiện tương ứng của các hàm số
z = 6— 4x — 3v, với điều kiện xŸ + ˆ = l1;
z= x? + #ˆ, với điều kiện 3x + 2y = 6;
P
No oP
_ 1 1 wa gtk | 1 1
z=, + 1, voi dieu kién 5s + j az, a > O;
4 2 = xự, với điều kien 2+ $ = _ Z= xy, voi diéu kiện Ý- -++ S = 1;
— 2 2 at ae 3A —
5 2 = cos* x + cos y, với diéu kién x — y = — 4;
6 z = x2? + 12xy + 2/2, với điều kiện 4x2 + 2 = 25
3.7 Giả sử một công ty sản xuất giày có hàm lợi nhuận hàng năm (nghìn
USD) la
T1(Q1; Q2) = —66Q7 + 132Q1Q2 — 99Q3 + 132Q1 — 66Q2 — 19
trong đó, 1 là số (nghìn) đôi giày loại tiêu chuẩn sản xuất trong một năm,
O; là số (nghin) đôi giày loại chất lượng cao sản xuất trong một năm Công
ty phải sản xuất bao nhiêu đôi giày mỗi loại để có lợi nhuận cực đại? Tính giá trị lợi nhuận khi đó
3.8 Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm trong điều kiện cạnh
tranh hoàn hảo với giá bán lần lượt là P¡ = 15, Pạ = 15 (đơn vị tiền tệ), và chi phí sản xuất la C(Q1;Q2) = Q? + Q2 Hãy tìm các mức sản lượng Q\
và Q¿ để doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại
3.9 Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và bán trên
hai thị trường tách biệt Biết hàm cầu trên hai thị trường và hàm tổng.chỉ
phí sản xuất là Qp, = 350 — Py, Qp, = 300 — Po, va C(Q) = Q* + 60Q + 10
Hãy tìm lượng sản phẩm phân phối trên từng thị trường để doanh nghiệp
Trang 283.5 Bai tap 131
3.10 Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm có hàm cầu
về hai loại sản phẩm là Qp, = 60 — Pi) + 2P2,Qp, = 40+ 2P, — Po, vaham
chi phi sản xuất là C(Q1;Qs) = Q7 + Q2 + Q1Q¿ Hãy tìm các mức sản
lượng Ó\ và để doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại trong hai trường
hợp:
1 Không đóng thuế
2 Mức thuế phải đóng cho sản phẩm thứ nhất và sản phẩm thứ hai lần
lượt là 5 và10 đơn vị tiên tệ trên một đơn vị sản phẩm
3.11 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Cobb-Douglas cho một sản phẩm
được xác định bởi
Q(K;L) = 40.K3.L3,
trong đó, K là số đơn vị vốn và L là số đơn vị lao động cần thiết để sản
xuất O(K; L) đơn vị của sản phẩm Mỗi đơn vị vốn có giá là 15USD và mỗi
đơn lao động có giá là 20USD Hỏi doanh nghiệp phải sử dụng bao nhiêu
đơn vị lao động và bao nhiêu đơn vị vến để sản xuất 50 đơn vị sản phẩm
Trang 29132 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN 3.15 Tính vi phân cấp một của hàm sỐ z = x2 + 2x + sin(x3y5) A dz = [4x + 3x? cos(xy°)|dx + [2x + 5x3w* cos(x3y°)]dy B dz = [2x + 2xy + 3x2 cos(x3wP)]dx + [2x + 5x3? cos(x3w°®)]dụ C dz = [2x + 2y — 3x” cos(x3wŠ)]dx + [2x — 5x3 cos(x3y")]dụ D dz = (2x + 2y + 3x? cos(x3w°)]dx + [2x + 5x3? cos(x3”)]dy
3.16 Tính vi phân cấp hai của hàm số z = +xỞ + y* — 4xự
A đ2z = 6xdx* — 8dxdy + 2dy” B d*z = 6xdx* — 4dxdy + 2dy" C d*z = 6xdx? + 8dxdy + 2dy* D d*z = 6xdx* + 4dxdy + 2dy* 3.17 Tinh vi phan cap hai cua ham sé z = yinx 2, = —Ygy24 2 1a 27 = Yr 4 2 A d°z = xadx + xaxảy + x4 B.dˆz = xadx + ~axdự C d*z = 4x2 + 2 dxdy x x D d?z = d*z = —-d+? — 2 axdy x x Cực trị 3.18 Cho hàm số z = x? — 2x + ? Hãy chọn khẳng định đúng nhất
A z dat cu dai tai M(1;0) B z đạt cực tiéu tai M(1;0) C z có một cực đại và một cực tiểu D z không có cực trị
3.19 Cho ham s6 z = x4 — 8x? + y? + 5 Hay chọn khẳng định đúng nhất
A z đạt cực dai tai (0;0) B z đạt cực tiểu tại (—2;0) và (2;0) C.z chỉ có hai điểm dừng ` D z đạt cực đại tại (—2;0) và (2;0)
3.20 Cho hàm số z = x? — 2x + 5 Hãy chọn khẳng định đúng nhất
A z đạt cực đại tai (0;0) B z đạt cực tiểu tại (0;0)
Œ z có một cực đại và một cực tiểu D z có một điểm dừng
3.21 Cho hàm số z = +? — xự + 2 Hãy chọn khẳng định đúng nhất :
A z đạt cực đại tại (0; 0) B z đạt cực tiểu tai (0;0)
Trang 303.5 Bai tap 133
3.22 Cho ham sé z = x? + 3 — 12x — 3w Hãy chọn khẳng định đúng nhất
A z đạt cực đại tại (2; 1) B z đạt cực tiểu tại (2; —1)
C z có đúng 2 điểm dừng D z có 4 điểm dừng
3.23 Cho hàm số z = + — 1° — 4x + 32 Hãy chọn khẳng định đúng nhất
A z dat cuc dai tai (1;2) B z đạt cực tiểu tai (1; 2)
C z không có điểm dừng D z không có cực trị
3.24 Cho hàm số z = x® — y° — cos* x — 32 Hãy chọn khẳng định đúng nhất A z đạt cực đại tại (1;2) B z đạt cực tiểu tại (1;2) Œ z không có điểm dừng Ð.z có 1 cực trị 3.25 Cho hàm số z = xự2(1 — x — w), với x > 0,y > 0 Hãy chọn khẳng định đúng nhất A z đạt cực đại tại (š;z) B z đạt cực tiểu tại (45) C z có 2 điểm dừng D z có 1 điểm dừng 3.26 Cho hàm số z = 2x2 — 4x + sin — š, với x € R và —7t < ý < 7 Hãy chọn khẳng định đúng nhất os 7t : : 7t A z đạt cực đại tại (1; 2) B z dat cuc tiéu tai Œ 3) 2 : 7t + <2 ` :
Œ z đạt cực tiếu tại (1; -3 D z có 1 cực tiểu và 1 cực đại
3.27 Tìm cực trị của hàm z = ln(x2 — 2) với điều kiện x — — 2 = 0 Hãy chọn khẳng định đúng nhất A z đạt cực đại tại (1; —1) B z đạt cực tiểu tại (1; —1) Œ z có hai cực trị D z không có cực trị 3.28 Tìm cực trị của hàm z = In |1 + x^2y| với điều kiện x — — 3 = 0 Hay chọn khẳng định đúng nhất
A z đạt cực tiểu tại (0; —3), cực đại tại (2; —1)
B z đạt cực đại tại (0; —3) và tại (2; —1)
C z đạt cực đại tại (0; —3), cực tiểu tại (2; —1)
Trang 31134 PHEP TINH VI PHAN HAM HAI BIEN
3.29 Tìm cực trị của hàm z = xˆ(w — 1) — 3x +2 với điều kiện x — + 1 = 0 Hãy chọn khẳng định đúng nhất A z dat cực tiểu tại (1;2), cực đại tại (—1;0) B z đạt cực đại tại (1;2) và (—1;0) C z đạt cực đại tại (1;2), cực tiểu tại (—1;0) D z đạt cực tiểu tại (1;2) và (—1;0) 3.30 Tìm cực trị của ham z = 3x + 4y với điều kiện x? + y* = 1 Hay chon khẳng định đúng nhất : 4 A z dat cuc tiéu tai (3 s) , cực đại tại & -3) 5“ 5 ./34\ / 3 4 B z dat cuc dai tal (3:5) va (-Š;-š) - Gh) v - 3 4 aw 3 C z đạt cực đại tại (ễ: 5) , cuc tiéu tai & " (3 4 ` 3 4 D z đạt cực tiểu tại (35) va ( 5 3):
@ Bai toán trong kinh tế
Trang 323.5 Bài tập 135
3.33 Mức thuế phải đóng cho các sản phẩm lần lượt là 5 và 10 đơn vị tiền
tệ trên một đơn vị sản phẩm Lợi nhuận của doanh nghiệp có thể tính theo công thức A — Q3 + Q1Q2 + Q3 + 70G + 1002 B — 2Q? ~ 3Q1Q› — 3Q2 + 70Q: + 100Q2 C — 2Q? — 3Q1Oza — 2Q3 + 701 + 1000; D — Q?— 2Q¡Qa + 2Q3 + 70Q¡ + 100Q2
Các bài tập 3.34, 3.35 oà 3.36 có phần chung: Trong thị trường cạnh tranh
hoàn hảo, một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm uới giá bán trên thị trường lần lượt là Pị = 14, Py = 16 (don oị Hiền tệ trên một đơn vi sản phẩm) Biết trong
quá trình sản xuất doanh nghiệp bỏ ra tổng chỉ phí C = QT + Q1Q2 + Q3 + 100 3.34 Doanh thu của doanh nghiệp được tính theo công thức A 14Q; + 16Q2 B — QF — Q1Q2 — 2E3 + 14Q; + 16Q2 — 100 C — QF — Q1Q2 — QF + 14Q1 + 16Q2 — 100 D — QF — Q1Q2 — Q3 + 14Q) + 16Q2 3.35 Lợi nhuận của doanh nghiệp được tính theo công thức A QŸ — Q1Qz — Q2 + 14C! + 16Q2 — 100 B — Q?— QiQ2 — 2Q2 + 14Q¡ + 16Q; — 100 C — QF — Q1Q2 — Q3 + 14Qi + 16Q2 — 100 D — QỶ*~ QiQ2 ~— Q3 + 14Q1 + 16Q2
Trang 33Chương 4
TICH PHAN
4.1 Tích phân bấtđịnh 136
4.2 Tich phan xacdinh 0.624220062- 143 43 Tich phansuy réng -5-e+-e+e ce eee 155
44 Baitap .0 0.2.00 eee eee eee eee 166
4.1 Tich phan bat dinh
4.1.1 Nguyén ham
Định nghĩa 4.1 Cho hàm f(x) xdc dinh trén (a;b) Ham sé F(x) xdc dinh trên (4;b) được gọi là một nguyên hàm cua ham sé f(x) trén (a; b) néu
F’(x} °F (x), Vx © (a;b)
Chú ý 4.1 acd thé la —oo, va b cé thé la +-co Théng thirong, khi khéng
có sự nhằm lẫn, ta nói F(x) là nguyên hàm của ƒ(x) mà không nói rõ trên một khoảng cụ thể nào Ví dụ 4.1 3 3 / a ee oor"
1 Trén ( 00; +00), — la nguyén ham cua x* do (= 3 \ 3 — 1+1“
Trang 344.1 Tích phân bắt định 137
Định lý 4.1 Néu F(x) la nguyén ham cua ham f(x) trén (a;b) thi moi nguyén
ham cua f(x) trén (a;b) đều có dạng F(x) + C, uới C là hằng số
Ví dụ 4.2 Với mọi số thực C, ta có
3
1 = + C languyén ham cua x? trén (— 00; +00),
2 sinx + C là nguyên hàm của cos x trên (—co; +œo) 3 arcsin x + C là nguyên hàm của 1 trên (—1; 1)
w1—x2
4.1.2 Tích phân bất định
Định nghĩa 4.2 Cho F(x) là nguyên hàm của hàm ƒ(x) trên (2;b) Tập hợp tất cả các nguyên hàm của ƒ(x) trên (2;b) được gọi là tích phân bất định của f(x) trén (a;b), ky hiéu là f f(x)dx Vay
J œ)4x =F(x)+C,
với C là hằng số tùy ý
Trong ký hiệu tích phân bất định, thì ƒ được gọi là đâu tích phân, x là biến lâu tích phân, ƒ(x) là hàm lâu tích phân và ƒ(x)dx là biểu thức dưới dâu
tích phân
Ví dụ 4.3 Theo ví dụ 4.2, ta có
3
1 | Pax = = + C trên (—eo; +co) 2 J cos xảx = sin x + C trên (— œ; +co),
1
3 J —————>đ* —= arcsin RS x + C trén (—1; ( 1) )
Chú ý 4.2 Trong một vài trường hợp, ta sử dụng khái niệm nguyên hàm
trên [2;b] như sau: F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trén |z; bị
Trang 35138 TICH PHAN ” Bảng các tích phân bất định co ban Từ bảng các đạo hàm cơ bản ta suy ra các tích phân bắt định cơ bản a+] 1 f xtdx — = , —1 2 fF a ibl+e a+t+i 3 f eXdx =e +C 4 f a atdx = 5 5 | cosxdx = sinx + C 5 [sinxáy = coos te 1 1 7 f az dx = —cotx+C 8 f sax = tanx+C sin* x J cos* x 1 1 9 Í 1 xgdx = arctan x + C 10 | ra 1% = aresin x + C
W Tinh chat co ban
1 Nếu f(x) cé nguvén ham trên (2;ð) và k là một hằng số thực thì
J k.f (x)dx = k f f(x)ax
2 Néu f(x) va g(x) c6 nguyén ham trén (a; b) thi
[UG + a@lax = f fedax + [ goa
Trang 364.1 Tích phân bắt định 139 Ví dụ 4.5 Tính các tích phân bắt định sau: 1 J(vx+1)œ~ Vx +1)dx; 4 xX 2 zoe Giải 1 Ta có J(VX+1)~VX+1)4x = [(xvX+1)4x = Í(xÌ+1)4x — SxÍ+x+C 2 Ta có 4 1 | pe [ (7-14 hy) ae = FP = et arctan tc
@ Phuong phap đổi biến
Phương pháp đổi biến dựa vào định lý sau đây Định lý 4.2 Nếu | fax = F(x)+C thi ƒ FIe()]#'Œ)át = Fle@)] +, ơới @{(t) là hàm khả ơi Chứng minh (Fle()]Ý' = F'le0)]#'Œ) = fle0)]#'0) `
Phương pháp đổi biên thường được sử dụng ở hai dạng sau đây
Dạng 1: Phương pháp đổi biến đưới dẫu tích phân Cần tính tích phân
Trang 384.1 Tích phân bắt định 141 cọ Ta có 3 J 5x2V %3 + 4dx =5 Í x°Vx3 + 44x = 5 Í vx+aee ), Đặt u = x3 +4,suy radu = 3x7dx, # = x?dx Do do, [542vVx3+44x =5 [ vu = ; ƒ vu.du 5 1 5 uz = = fu 2d u = —_— 3 3 +C = Fos+aite id inh 1 Vi du 4.7 T | sees > 0 Giải Ta có 1 1 1 |e asl x\2 (š) +1 a(=) Dat u = =, suy ra dx = adu Vay 1 1 du 1 1 x ———i — = — = — — ‹ wee x -foa45 7 arctan + C 5 arctan — + C Ví dụ 4.8 Tính / V1 — x2dx,-1<x< 1 Tacé dx = costdt va
v1=x34x= [ V1 —sin? tcostat = f cos? tat = f 7S at
= sit ysin2t+C= sarcsinx + 5xV/1— x +C, do sin2t = 2sintcost = 2xV1 — x2
eos v 7t
Giai Dat x = sin t, — > <<
N/A
NB Phương pháp tích phân từng phan
Định lý 4.3 Cho các hầm H(x),0(x) khả ơi 0à 0(x)H (x) có ngHuên hàm trén
(a;b) Khi do, ham u(x)v'(x) cting cé nguyén ham trén (a;b) va
Trang 39
142 TICH PHAN
Chung minh Ta co
{u(x)o(x)]’ = u’(x)o(x) + u(x)0' (x), Vx € (a;b) suy ra
ul(x)o(x) = [u(x)v(x)]' — u(x)’ (x), Vx € (a;b)
nên u’(x)v(x) c6 nguyén guy ham trén (a;b) va
„!G6)ø(x)4x = / ([u(+)ø(x)]Ý — w(x)ơ'(x)) đx = u(x)0(x) — u00 ()áx
Vì „/(x)dx = du, 0 '(x)dx = do nên (4.2) có thể được viết ở đạng udv = uv — | vdu (4.3) / / Ví dụ 4.9 Tính J x? In xdx Giai Ta cé 3 3 3 2 _ 3⁄`\_ *⁄ -Ƒ5 fx Inxdx = f inxa (>) 3 inx 3 4 (in x) Vi du 4.10 Tinh / arcsin xdx Giải Ta có x arcsin xdx = xarcsin x — / xð(arcsin x) = xaresin x — / ————- dx / ) ss d(1 — x? = xaresin x + Í ( x) — xarcsinx + V1—x2+€ 2V1— xe
4.1.4 Ung dung tich phan bat dinh trong kinh té
Vi du 4.11 Chi phi can biên khi sản xuất Q đơn vị một mặt hàng là
C’'(Q) = 0,3Q? + 2Q
Trang 404.2 Tích phân xác định 143 Giải Hàm chỉ phí sản xuất C(Q) = C'(G)4Q = | (0,3? +2Q)dQ = 0,109 +? + K, trong đó, K là một số thực Do chi phí cô định là 2000 USD nên C(0) = 2000 <> 0, 3.07 + 2.0 + K — 2000 <©> K = 2000 Vậy, C(Q) = 0,1Q7 + Q? + 2000 Vi du 4.12 Tim ham doanh thu R(Q) khi doanh thu cận biên là R'(Q) = 0,4Q 4+ 400
và không có doanh thu ở mức sản lượng bằng không
Giải Hàm doanh thu R(Q) = J R'(Q)4Q = fo 40 + 400)dQ = 0,2Q? + 4000 + K, trong đó, K là một số thực Do không có doanh thu ở mức sản lượng bằng không nên ta có R(0)=0<©>K=Ơ Vậy, R(Q) = 0,207 + 4000 4.2 Tích phân xác định 4.2.1 Định nghĩa và tính chất
R Bài toán điện tích hình thang cong
Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [4; b] Miền phẳng
giới hạn bởi các đường x = a,x = b,y = Ovay = f(x) được gọi là hình thang cong (Hình 4.1) Hãy tính diện tích của hình thang cong này
Chia đoạn [øz; b] thành # đoạn nhỏ bởi các điểm chia:
— Xọ < X⁄\ < Xa < < Xk_ 1 < X¿ < < Xu 1 < Xu = BD
Dựng các đường thẳng x = x¿ (k = 1,2, ,# — 1), kết quả là hình thang cong được chia thành # hình thang cong nhỏ Ta gọi hình thang cong nhỏ