Đang tải... (xem toàn văn)
Nếu ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của một hệ phương trình tuyến tính ta được hệ mới tương đương với hệ đã cho.. Hệ phƣơng trình Cramer..[r]
(1)Chương I
MA TRẬN - ĐỊNH THỨC HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1 Ma trận
1 Khái niệm ma trận
Ma trận bảng chữ nhật gồm m n phần tử
được thành m dòng, n cột theo thứ tự định
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a
2
2 22
21
1 12
11
Người ta thường dùng chữ in hoa để đặt tên cho ma trận: A, B, C,
Ta nói aij phần tử nằm hàng i cột j ma trận Đôi ta viết tắt ma trận là: (aij)m n
( )
m n
M tập hợp tất ma trận cấp m n
trên
Ví dụ. Với 2 3( )
A M
a111,a12 2,
Với
1
2 ( )
3
B M
(2)Ma trận cấp n n gọi ma trận vuông cấp n Các phần tử a iii( 1, , )n lập nên đường chéo
( )
n
M tập hợp tất ma trận vuông cấp n
Ma trận tam giác trên ma trận có tất phần tử phía đường chéo
11 12
22
0
0
n n
mn
a a a
a a
a
Ma trận tam giác dưới ma trận có tất phần tử phía đường chéo
11
21 22
1
0
m m mn
a
a a
a a a
Ma trận chéo ma trận vng có tất phần tử đường chéo
11
22
0
0
0 a
a
a
(3)vừa ma trận tam giác vừa ma trận tam giác dưới
Ma trận đơn vị ma trận chéo có tất phần tử đường chéo 1, kí hiệu In
Ví dụ.
1 0
I
,
1 0 0 I
Ma trận 0 ma trận có tất phần tử 0, kí hiệu 0m n hay
Ví dụ.
0 0
0 0 0
0 0
3 Phép toán ma trận a Sự
Cho hai ma trận A(aij)m n B( )bij m n
Ta nói AB aij bij,i j,
Ví dụ. Tìm x y z, , để 1
2 1 2
x y
x z y z
Giải
(4)1
2 1
2
x y x
x y y
z z z
b Phép chuyển vị ma trận Cho A( )aij m n Ta gọi
t
A ma trận chuyển vị ma trận A ( ji)
t
n m
A a Cụ thể
11 12
21 22
1
n n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
11 21
12 22
1
m m t
n n mn
a a a
a a a
A
a a a
Nếu t
A A, tức aij a i jji( , 1, 2, , )n A
được gọi ma trận đối xứng
Nếu t
A A, tức aij a i jji( , 1, 2, , )n A
được gọi ma trận phản đối xứng
Ví dụ.
1 A
t
A
c Phép cộng
Cho hai ma trận A(aij)m n B( )bij m n
Tổng hai ma trận A B định nghĩa bởi:
ij ij
( )m n
(5) Cộng phần tử vị trí tương ứng
Ký hiệu: A B A ( B) gọi hiệu A B
Ví dụ
1
2 5
1 2
2 3
d Phép nhân ma trận với số
Cho A( )aij m n kR Phép nhân k với A
định nghĩa k A k a( )ij m n (kaij)m n
Ma trận ( 1) A kí hiệu A gọi ma trận đối A
Ví dụ Nếu 3
A
2
2
4
A
và
1
2
A
.
e Phép nhân hai ma trận
Cho hai ma trận A(aij)m k B( )bij k n
Tích hai ma trận A B định nghĩa bởi:
ij
( )m n
(6)Như để tính C A B thì:
Số cột A số dịng B
Phần tử thứ (ij) A B dòng i A nhân với cột j B
Ví dụ
a Cho 1 2
A
1 1 B
Tìm AB
Ta có:
1 1
3 2
1
1.1 ( 1).3 2.1 1.0 ( 1).( 2) 2.2 1.2 ( 1).1 2.0
2.1 0.3 3.1 2.0 0.( 2) 3.2 2.2 0.1 3.0
5
AB
b Nếu A
,
1 B
(7)3
4 17 26
1
3 15 24
BA
c Nếu 0
A
,
0
B
thì: 30
0 0 0
AB
0 0 0
BA
Nhận xét
Phép nhân ma trận khơng có tính giao hốn
Nếu AB = không suy A = B =
Ví dụ. Tìm m, n, p trường hợp sau
a Am n B2 3 C4p b A2pB3 4 Cm n
Giải
a Am n B2 3 C4p
Áp dụng điều kiện nhân suy ra: n2
Theo quy tắc nhân: Am n B2 3 Am2B2 3 Cm3 C4p
Do đó: m4 p3 b A2pB3 4 Cm n
Áp dụng điều kiện nhân suy ra: p3 Theo quy tắc nhân: A B2 3 3 4 C2 4 Cm n
(8)f Lũy thừa ma trận
Cho AMn( ) Ta gọi lũy thừa bậc k A ma trận thuộc Mn( ), ký hiệu k
A xác định
sau :
; ; ; ; k k
n
A I A A A AA A A A
Như : k k
A A A
Ví dụ. Cho A
Tính
2
A , A3 từ suy A100 Giải
Ta có 3
0 1
A AA
Suy ra:
0 1
A AAAA A
Dự đoán:
0
n n
A
, với n nguyên dương Chứng minh cơng thức phương pháp quy nạp
Với n1 công thưc
Giả sử công thức vớink, nghĩa
1
0
k k
A
(9)1 3 3 3( 1)
0 1 1
k k k k k
A A A
Vậy công thức với n nguyên dương Do đó: 100 3.100 300
0 1
A
Ví dụ. Cho ma trận
0
1
A
,
1 1
B
,
2 1
C
Hãy tìm ma trận sau
a A33A b B At 3Bt
c A B C( ) d (B C A )t
Giải a A33A
Ta có:
3 1
( )
1 2
A AA A
2
2 3
0
3
3
A
(10)Suy ra:
3 3
3 2
3
A A I
b B At 3Bt
Ta có:
1
t
B
, suy
1 1
0
2 1
1
5 3
t
B A
;
1 3
3
5 15
t
B
Do đó:
1 3 2
3
3 15 12
t t
B A B
c A B C( ) Ta có:
1 5 10
1 1 0
B C
Do đó:
(11)Ta có:
1 5
1 1 2
B C
Suy
3
( ) 2
0
t
B C
Do đó:
3 2
0
( ) 2
1
0 1
t
B C A
g Đa thức ma trận ChoAMn( )và
1
1
( ) m m
m m
f x a x a x a xa
là đa thức bậc m i Khi ta định
nghĩa
1
( ) m m m m n
f A a A a A a A a I ta gọi
( )
f A đa thức theo ma trận A Ví dụ. Cho
1
A
2
( ) 2
f x x x
Tính f A( )
Giải. Ta có
3
A
,
2
2
( ) 2
(12)Suy :
7 27 33
( ) 2
3 1 11 16
f A
1.2 Các phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận, ma trận dạng bậc thang
1 Phép biến đổi 1:Hốn vị dịng
3 d1d2
3 2
2 Phép biến đổi 2: Nhân dịng với số khác khơng 3 2 1
2dd
3
Nhận xét Phép biến đổi thường sử dụng để đơn giản hay đổi dấu dòng
3 Phép biến đổi 3: Cộng dòng với dòng
khác nhân với số khác không
3 2
2 ( 2) d dd
3 0
(13)đương dòng với B, ký hiệu A B , nếu B có từ A
qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp dịng 4 Ma trận dạng bậc thang
Định nghĩa
Ma trận A gọi có dạng bậc thang thỏa mãn hai điều kiện:
Các dịng khác khơng ln dịng khơng Với hai dịng khác khơng, phần tử khác khơng dòng bên phải cột chứa phần tử khác khơng dịng
Ví dụ.
1 0 0 0 0 A
,
1
0
0
0 0
B
A ma trận bậc thang, B không ma trận bậc thang Định lý
Mọi ma trận khác khơng đưa dạng bậc thang sau số phép biến đổi sơ cấp dòng
(14)a
1 A
b
1 12
2 5 20 B
c
4 4 8 6 C
d
3 5 3 7 D
Giải a
3
2
3
( 2) ( 4)
( 7)
1 3
4 6
7 12 0
d d d d d d
d d d
A
b
2
3
4
2
1 5
2 12 0
2 5 15
1 20 15
d d d
d d d
d d d
B
4
1 15 0 0 0
d d d
d d
(15)2 3
4
2
2
4 5
8 0
4 0
8 6 0 12
d d d
d d d
d d d
C
3 4
4 0 0 0 0 0 0
d d d
d d d
d
3 5
5 3 3
1 3
7
d d
D
2
3 3
4 4
3
5 2
2
1 7
0 12 16 12 16
0 12 23 31 0
0 16 34 48 0 10 16
d d d d d d
d d d
d d d d d d
4
1
0 12 16
0
0 0
d d d
(16)1 Định nghĩa.
Cho A( )aij m n Khi số dịng khác không ma
trận dạng bậc thang A gọi hạng ma trận A, ký hiệu r(A)
2 Cách tìm hạng ma trận Đưa ma trận dạng bậc thang Hạng ma trận số dịng khác Ví dụ. Tìm hạng ma trận
a
1 2 10 3 10 13 A
b
1 12
2 5 20 B
c
1 2
2 2
3 4
5 5
C d
2 11
1
11 56
2
D
Giải a
2
3 3
2
1 1 1
2 10 0 4 0 4
3 10 13 0 4 0 0
d d d
d d d d d d
A
(17)2
3 4
4
2
2
1 5
2 12 0 15
2 5 15 0
1 20 15 0 0
d d d
d d d d d d d d d d d
B
Vậy r(B) =
c
2
2 2 1 2
1 2 2 2
3 4 4 4
5 5 5 5
d d
2
2 3
4
3
1
3 3
1
2
1 2 2 2
0 3 1
0 2 1
0 5 5
d d d
d d d d d
d d d
d d
3 3
4
1 2 2 2
0 1 1 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
d d d d d
d d d
Vậy ( ) 3r C d r D( )2
(18)a
2 1 0 4 1 5 A
m
b
1
4 10
5 11 13 16
10 16 22 26
B
m
Giải
a
1
2 1 0
1 1 0
3 4 1 4 1
5 5 5
d d
A
m m
2 2
3
4
2
3
5
1 1 0 1 0
0 1 2 1 2
0 1 1 1 1
0 3 3
d d d d d d
d d d d d d
d d d d d d
m m
3 4
4
4
1 1 0 1 0
0 1 2 1 2
0 7 33 0 7 33
0 7 40 0 0
d d d d d d
d d d
m m
(19)2 3 4
4 10
1 5
4 10 10
5 11 13 16
10 16 22 26 14 50
d d d d d d d d d
B
m m
3
4
4 22 ( 30)
1 5
0 10 10
0 0 0 0
0 0 30 0 0
d d d
d m d d d d d
m
Vậy ( ) 3,r B m
1.4 Ma trận đảo 1 Định nghĩa
Ma trận A vuông cấp n gọi khả đảo tồn ma trận B vuông cấp n cho: A B B A I
Ma trận B gọi ma trận đảo ma trận A, ký hiệu A-1
Ví dụ. Cho
A
Khi
1
1
A
2 Cách tìm ma trận đảo Lập ma trận mở rộng ( | )A I
Biến đổi ma trận ( | )A I dạng ( | )I B
Nếu biến đổi dạng ( | )I B A ma trận khả đảo
(20) Nếu không biến đổi dạng ( | )I B (nghĩa ma trận bên trái có xuất dịng khơng) ma trận A khơng khả đảo
Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau
a
2 1 A
b
0 1
1 1
1 1
1 1
B
Giải a
2
2 0 1 0
| 1 0 1 0
1 0 2 0
d d
d d
A I
2
3 21 3 42
1 0 1 0
0 1 1 1 1
0 0 1
d d d
d d d d d d
1
3 2 3
1 0 1 0
0 0 1
0 1 0 1
d d d
d d d d d
(21)Vậy
1
1 A
b
1
0 1 1 0 3 3 1 1
1 1 0 1 1 0
( | )
1 1 0 1 1 0
1 1 0 0 1 1 0 0
d d d d d
B I
2 3 1
4
1 1
1 1
3 3
3 3
1 1
1
3 3
3
1
3 3
1 1
3 3
1 1 1 1
1 1 0 0
1 1 0 0
1 1 0 0 0
d d d d d d d d
d d d
1
2 1
3 3
1 1
3 3
1
3 3
1 1
3 3
1 0
0 0
0
0 0
d d d d d
2 3 4
2 1
3 3
1 1
3 3
1
3 3
1 1
3 3
1 0
0 0
0
0 0
d d
d d
d d
(22)Vậy
2 1
3 3
1 1
3 3
1
1
3 3
1 1
3 3
A
1.5 Định thức
1 Khái niệm định thức
Cho ma trận vuông cấp n, A( )aij n Xét phần tử aij
Nếu bỏ hàng i, cột j ma trận A ta ma trận vuông cấp n – A ứng với phần tử aij, kí hiệu
ij
M
Người ta gọi định thức ma trận vuông A số, ký hiệu detA A xác định sau:
Nếu A ma trận vuông cấp 1, A(a11)
11
detAa
Nếu A ma trận vuông cấp 2, 11 12
21 22
a a
A
a a
11 12
11 22 12 21 11 11 12 12
21 22
detA a a a a a a a M a M
a a
Ví dụ. Tính định thức a 12 10 22
2
(23)b 2
os sin
sin cos c
Nếu A ma trận vuông cấp 3,
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
thì
11 12 13
21 22 23 11 11 12 12 13 12
31 32 33
det
a a a
A a a a a M a M a M
a a a
Ví dụ. Tính định thức ma trận
a
2 2
0
1
b
5 0
3
4
Giải
a
1
1 3
3 1
2 2 2
2 2
12
b
3
1 3
0 3 ( 2) 15
0 5 0
0
(24) Một cách tổng quát, A ma trận vuông cấp n
11 12
21 22
11 11 12 12 1
1
det ( 1)
n
n n
n n
n n nn
a a a
a a a
A a M a M a M
a a a
Để biễu diễn dấu thuận tiện đặt ij ( 1) ij
i j
A M gọi
ij
A phần bù đại số phần tử aij Khi đó:
11 12
21 22
11 11 12 12 1
1
det
n n
n n
n n nn
a a a
a a a
A a A a A a A
a a a
2 Tính chất Cho ma trận A vng
Tính chất 1. Chuyển vị ma trận, định thức không đổi: t
A = A
(25)Ví dụ. Ta tính
0
cách khai triển theo
cột cột có nhiều số nhất,
như
3
1
0 3 15
0
0
Tính chất 2. Hốn vị dòng (hay cột), định thức đổi dấu : '
A = - A Ứng dụng
Ta khai triển định thức theo dịng hay cột
Định thức có hai dịng hay hai cột
Ví dụ. Tính định thức ma trận:
1 0 3 0 A
Cách 1.Khai triển theo dòng
1
1 0
4 3 4
0 0 0
(26)Khai triển dòng định thức vế phải ta
1 2
4.(2) 3.3 4.2.( 2) 3.3.( 2)
3 4
A
Cách 2.Khai triển theo cột
1
0 3 0
4 3
0 3 0
A
Khai triển cột định thức vế phải ta
4
4 3.2 4.( 1) 3.2.( 1)
3
A
Tính chất 3. Nếu nhân dòng (hay cột) với số
'
A = A Ứng dụng
Nếu phần tử dòng (hay cột) có thừa số chung, ta đưa thừa số chung ngồi dấu định thức
(27)thành tổng dòng định thức tổng định thức có dòng tương ứng dòng thành phần
2
1
2
1 b a b an bn a a an b b bn
a
Tính chất 5. Nếu thay dịng cộng với dịng khác nhân với số khơng đổi định thức khơng đổi
Ứng dụng Ta sử dụng phép biến đổi để biến dòng hay cột định thức có nhiều số nhất, sau khai triển định thức theo dịng hay cột
Tính chất 6. Ma trận tam giác, ma trận chéo có định thức tích phần tử đường chéo
Chú ý. Thường dùng tính chất sau để tính định
thức ma trận
i) Nếu di dj
A B B A
ii) Nếu di: di
A B B A
iii) Nếu di: di dj
A B B A
(28)a
1 2 2 2 2 2 2 A
b
1 4 4 A
c
1 1 1 10 10 20 A
d
1 2
2 A
Giải
a
1 2 2 2 2 2 2 A
Cộng dòng với dịng cịn lại (tính chất 5) ta
1 2 7 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A
(29)2 2 2
2 2 2 2 2 2
A
Trừ dòng 2, 3, với dịng để cột có nhiều phần tử
2 3 4
2
2
1 1 1 1
2 2 0
7 7.( 1)( 1)( 1)
2 2 0
2 2 0
d d d
d d d
d d d
A
b
1 4 4 A
(30)1
2 3 4
2
4
1 10 10 10 10 1 1
2 4
10
3 4
4 4
1 1
1 1
0
10 10 10
0
3 4
0
10.( 4)( 4) 160
d d d d d
d d d
d d d
d d d
A
c
1 1 1 10 10 20 A
2 3 4
1 1 1 1
1
1 10
1 10 20 19
d d d
d d d
d d d
A
2
3
2
1 3
1
2
3 10
3 19 10
d d d
d d d
(31)d
2 A
2
3
4
2
1 1 1
2 0 1
3 1
2 3
d d d
d d d
d d d
A
2 31
1 1
1
1 1 19
4
3 7
d d d
d d d
3 Ứng dụng định thức tìm ma trận đảo a Điều kiện khả đảo
Ma trận A khả đảo A 0 b Công thức ma trận đảo
t
nn n
n
n n
A A
A
A A
A
A A
A
A A
2
2 22
21
1 12
11
1
Trong Aij phần bù đại số phần tử aij
(32)a
1 1 1 A
b
0 1 B
Giải
a Ta có:
1
0 1 0,
A A
11
1 1
A ; 12 1
1
A ; 13 1
1
A
21
2
A ; 22 1
1
A ; 23
1
A
31
2 1 1
A ; 32 1
0
A ; 33
0
A
Do đó:
1 1
1
4 2
2
1 1 1
t A
b Ta có:
0
1 0,
B B
11
0 1
B ; 12 1
2
B ; 13 1
2
B
1 3
(33)31
0
B ; 32
1
B ; 33
1
B
Do đó:
1 1
1
3 2
5
1 1
t B
Áp dụng. Cho A ma trận khả đảo B ma trận có cấp thích hợp Tìm ma trận X cho:
a AX B
b XAB
Cách giải
a AX B A1(AX)A B1 (A A X1 ) A B1
1 1
(A A X ) A B IX A B X A B
b AX B (XA A) 1BA1 X AA( 1)BA1
1
XI BA X BA
Ví dụ. Tìm ma trận X trường hợp sau
a
1 X
(34)b
3
1
0 1
0
2
X
Giải
a Phương trình có dạng AX B X A B1
Mà
1
A
Do đó: 23
1 2
X A B
b Phương trình có dạng XA B X BA1
Mà
1 2
2
2
A
Do đó:
1
1 2
1 11
2
0 2
2
X BA
(35) m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 2 1 2 22 21 1 12 11 (1)
Trong x x1, 2, ,xn ẩn, a bij, j
số gọi hệ phương trình tuyến tính (m phương trình, n ẩn)
Ma trận
11 12
21 22
1 n n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
gọi ma trận
hệ số
Ma trận
1
11 12
2
21 22
1 n n
m m mn m
b
a a a
b
a a a
A
a a a b
gọi ma
trận hệ số mở rộng
Cột m b b B b
(36)Chú ý rằng, hệ phương trình (1) cho dạng ma trận sau
1
2
n m
x b
x b
A
x b
, với A ma trận hệ số
Nhận xét. Nếu ta thực phép biến đổi sơ cấp trên dịng hệ phương trình tuyến tính ta hệ tương đương với hệ cho
2 Nghiệm phƣơng trình tuyến tính
Một nghiệm hệ phương trình tuyến tính (1) số gồm n số ( , ,c c1 ,cn) cho thay vào
1
( ,x x , ,xn)các phương trình nghiệm
3 Điều kiện tồn nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính – Định lý Kronecker-Capelli
Cho hệ phương trình (1), ta có:
r A( )r A( ) : Hệ phương trình vơ nghiệm r A( )r A( )n : Hệ phương trình có nghiệm
r A( )r A( ) r n: Hệ phương trình có vơ số nghiệm nghiệm phụ thuộc (n r ) tham số
(37)có số phương trình số ẩn định thức ma trận hệ số khác không
b Cách giải hệ phƣơng trình Cramer Phƣơng pháp Cramer
Cho hệ phương trình Cramer:
n n nn n
n
n n
n n
b x a x
a x a
b x a x
a x a
b x a x
a x a
2 1
2
2 22 21
1
2 12 11
Hệ phương trình có nghiệm nhất: ( ,x x1 2, ,xn),
với :
; ( 1, , )
i i
A
x i n
A
Trong đó, Ai ma trận suy từ ma trận A cách thay cột i cột B
Ví dụ: Giải hệ phương trình
a
1
1
1
2
6
3
x x x
x x x
x x x
b
1
1
1
1
2
4
x x x
x x x x
(38)a Ta có:
2
1 1 23
3
A , hệ phương trình
có phương trình ẩn nên hệ Grammer
1
1
6 1 23
1
A ; 2
2 1
1 46
3
A ;
3
2
1 69
3 1
A
Vậy nghiệm ( ,x x x1 2, 3)(1; 2;3)
b Ta có:
1 1
2
A
, hệ phương trình có
3 phương trình ẩn nên hệ Grammer
1
1 1 1 0
A ;
1 1 0
A
;
1 1 4 0
A
Vậy nghiệm
1 ( , , ) ; ;
7 7
x x x
Phƣơng pháp ma trận đảo
(39)a
1
1
1
2
2 14
3 16
x x x
x x x
x x x
b
1
1
1
2 4
3
x x x
x x x
x x x
Giải
a
1
1
1
2
2 14
3 16
x x x
x x x
x x x
Hệ có ba phương trình ba ẩn và
det( )
A
nên hệ hệ Gramer
Với
14 13
1
10
2 1
A
Do
14 13
1
10 14
6
2 1
X A B
Vậy nghiệm hệ phương trình là:
1
( ,x x x, )(2,3, 2)
b
1
1
1
2 4
3
x x x
x x x
x x x
(40)1 1
det( )
A nên hệ hệ Gramer
Với
3
5
4
2
1
1
2
A
Do
3
4
5
4
2
2
1
1
2
X A B
Vậy nghiệm hệ phương trình là:
1
( ,x x x, )(2,3, 1)
5 Giải hệ phƣơng trình phƣơng pháp Gauss Từ định lý tồn nghiệm hệ phương trình tuyến tính, ta có phương pháp tổng quát sau để giải hệ phương trình gọi phương pháp Gauss
Bƣớc 1. Lập ma trận hệ số mở rộng A( | )A B
(41)số nghiệm hệ phương trình Cụ thể sau: Nếu ( )r A r A( )thì hệ vơ nghiệm
Nếu ( )r A r A( )n hệ có nghiệm Nếu ( )r A r A( ) r n hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc vào (n r ) tham số
Bƣớc 4. Tìm nghiệm (nếu có) hệ phương trình dựa vào dạng bậc thang ma trận hệ số mở rộng
Ví dụ. Giải hệ phương trình tuyến tính sau
a
1
1
1
3 11
2 3
2
x x x
x x x
x x x
b
1
1
1
1
4
2 3 11
4
x x x
x x x
x x x
x x x
Giải
a
1
1
1
3 11
2 3
2
x x x
x x x
x x x
Biến đổi ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang
2
3
2
11 11
1 4
2 3 11 25
2 1 0 4
d d d
d d d
A
(42)Ta có r A( )r A( ) 3 n nên hệ phương trình có nghiệm
Hệ phương trình cho tương đương với:
1
2
3
3 11
11 25
1 4
x x x x
x x x
x x
Vậy nghiệm hệ phương trình là:
1
( ,x x x, )(1, 2, 1)
b
1
1
1
1
4
2 3 11
4
x x x
x x x
x x x
x x x
Biến đổi ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang
2
3
4
4
2
1 1 1
4 15
2 311 515
4 17 515
d d d
d d d
d d d
A
3
4
6
2
1 1
0 15
0 15 15
0 0
d d d
d d d
(43)1
2
3
2
15
1 15 15
x x x x
x x x
x x
Vậy nghiệm hệ phương trình là:
1
( ,x x x, )(1, 2, 1)
Ví dụ. Giải hệ phương trình tuyến tính sau
a
1
1
1
1
10
2
2 3
3
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
b
1
1
1
1
1
2 2
2 3
3 4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
c
1
1
1
1
4
2
2 3
4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
d
1
1
1
1
2 13
4 14
6 13
2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
Giải
a
1
1
1
1
10
2
2 3
3
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
(44)2 3 4
3 3
4
2
1
2
1 1 10 1 1 10
1 1
2 3 13
3 1 0 4 30
1 1 10
0
0
0 10 46
d d d
d d d
d d d
d d
d d d
d d d d
A
4
4 3
1 1 10 0 0 23 1 1 10
0 0 0
d
d d d
Ta có r A( )r A( ) 4 n nên hệ phương trình có nghiệm
Hệ phương trình cho tương đương với:
1
2
3
4
10
4
x x x x x
x x x
x x
x x
(45)b
1
1
2 2
2 3
3 4
x x x x
x x x x
x x x x
Biến đổi ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang:
2
3
4
3 4
2
1 1 1 1 1
1 2 1
2 3 1
3 4 1
1 1 1 1 0 0 0 0 0
d d d
d d d
d d d
d d d
d d d
A
Ta có, r A( )r A( ) 2 n nên hệ phương trình có vơ số nghiệm phụ thuộc vào tham số
Hệ phương trình cho tương đương với:
1
1
3
2
4
1
; ( , )
x
x x x x x
R x
x x
x
Vậy nghiệm hệ là:
1
(46)c
1
1
1
1
4
2
2 3
4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
Biến đổi ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang
2
4 1
1 1
2 3 3 3
4 1 1
d d
A
2 4 3
4
1 1 1
0 11 13 11 13
0 5 5
0 5 19 0 0 12
d d d
d d d
d d d
Ta có r A( )r A( ) nên hệ phương trình vơ nghiệm
d
1
1
1
1
2 13
4 14
6 13
2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
Biến đổi ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang
2 3
2
2 13 13
4 1 14 d d d 0 11 40
d d d
A
(47)3
3
3 4
1
9 13
2
0 1 0 1
0 11 40 0
0 22 0 14
d d
d d d
d d d d d d
3
4 4
1
2 13 13
0 1 0 1
0 0 0
0 0 0 0
d d d d d
d d
Ta có, r A( )r A( ) 3 n nên hệ phương trình có vơ số nghiệm phụ thuộc vào tham số
Hệ phương trình cho tương đương với:
1
1
2
3
3
4
3
2 13
; ( )
2
x
x x x x
x x x
x x
x
Vậy nghiệm hệ là:
1
3
( , , , ) ( , , 2, 2);
2
x x x x
(48)a
1
1
1
1
1 mx x x x mx x x x mx
b
1
1
1
1
2
2
7 11
4 16
x x x x
x x x x
x x x x m
x x x x
c
1
1
1
1
2 3
1
3
5
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x m
d
1
1
1
1
2
2
3
5
x x x x
x x x x
x x x x
x x m
Giải a
1
1
1
1
1 mx x x x mx x x x mx
Biến đổi ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang:
1 2
3
3
2
2
1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1
0 1
0
d d d d d d md d
d d d
m m m
A m m m m
m m m m m
m
m m
m m m
Nếu
2 m m 0, ta có hai trường hợp: m1
1 1 0 0 0 0
(49)nghiệm phụ thuộc tham số
Suy ra, hệ phương trình cho tương đương với:
1
1
3
1
1 ; ( , )
x
x x x x R
x
m 2
1 3 0 0
A
suy r A( ) 2 r A( )3 Hệ phương trình vô nghiệm
Nếu
2 m m 0 m 1;m 2, ta có ( ) ( )
r A r A n Hệ phương trình có nghiệm
b
1
1
1
1
2
2
7 11
4 16
x x x x
x x x x
x x x x m
x x x x m
Biến đổi ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang
1
2 1 1
1 2 1 1
1 11 11
4 16 16
d d
A
m m
m m
(50)2
3 3
4
2
2
1 2
0 3 3
0 3
0 0 0 0
d d d
d d d d d d
d d d d d
m m
m m
3 3
1
0
0 14 21
0 0
d d d m
m m
Nếu m7 ( )r A 3 r A( )4 hệ phương trình vơ nghiệm
Nếu m7 ( )r A r A( )3 ma trận hệ số mở rộng phương trình:
1
0
0 14 0 0 0 A
Do hệ phương trình tương đương với
1
1
2
2
3
3
4
5
2
1
( )
7 14
3
x
x x x x
x
x x x
x
x x
x
(51)c
1
1
1
3
5
x x x x x
x x x x x
x x x x m
Biến đổi ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang
1
2 1 3 1 1 1
1 1 1 1 3
3 1 1
5 5
d d
A
m m
2
3 3
4
2
1 1 1 1 1 1
0 3 1 1 0
0 2
0 7
d d d
d d d d d d
d d d
m m
3 4
4
2
5
1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0
0 0
0 12 0 0
d d d d d d
d d d
m m
Nếu m9 ( )r A 3 r A( )4 hệ phương trình vơ nghiệm
Nếu m9 ( )r A r A( )3 1 1 1
0 1 0
0 0 0 0 A
(52)Do hệ phương trình tương đương với:
1
2
3
1
x x x x x
x x x x
1
2
3
4
5
8
( , )
6
x x x x x
Vậy nghiệm hệ phương trình với m9 là:
1
( ,x x x x, , )(8 , 1, , ,6 ); ,
d
1
1
1
1
2
2
3
5
x x x x
x x x x
x x x x
x x m
Biến đổi ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang
2
3
4
2
1 2 1 2
2 1 5
3 1 5
5 0 10 10
d d d
d d d
d d d
A
m m
3 3
4 2
1 2 1 2
0 5 5
0 0 0 0 0
0 0 0 0
d d d d d
d d d m
m
(53)vô nghiệm
Nếu m6 ( )r A r A( )2 1 2
0 5 0 0 0 0 0 A
Do hệ phương trình tương đương với:
1
1
3
2
4
3 3
2 5
( , )
5
x
x x x x x
x
x x x
x
Vậy nghiệm hệ phương trình với m6 là:
1
( ,x x x x, , )(33 3,553, , ); ,
1.7 Hệ phƣơng trình tuyến tính 1 Định nghĩa
(54)
0
0
0
2 1
2
22 21
1
12 11
n mn m
m
n n
n n
x a x
a x a
x a x
a x a
x a x
a x a
Dạng ma trận: AX =
2 Nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính nhất
a Nghiệm tầm thƣờng: Hệ phương trình tuyến tính ln ln có nghiệm (0, 0,…, 0) gọi nghiệm tầm thường
b Nghiệm không tầm thƣờng
Nghiệm hệ phương trình có thành phần khác gọi nghiệm không tầm thường
Hệ có nghiệm khơng tầm thường r(A) < n ( số ẩn số )
Nếu A ma trận vng thì: Hệ có nghiệm không tầm thường detA0
Nghiệm khơng tầm thường cịn gọi nghiệm tổng quát, phụ thuộc số tham số Nếu tham số lấy giá trị cố định ta nghiệm riêng
3 Hệ nghiệm
(55)tuyến tính
a
1
1
1
5
2
3
x x x x
x x x x
x x x x
b
1
1
1
2
4
3
x x x x
x x x x
x x x x
c
1
1
1
1
2
2
2
4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
d
1
1
1
1
3
2
2
2 2
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
Giải
a
1
1
1
5
2
3
x x x x
x x x x
x x x x
Biến đổi ma trận hệ số dạng bậc thang
2 3
1 1
1
3
d d d
d d d
A
3
1
0
0 0
d d d
(56)1
1
2
2
3
4
3
5
( , )
3
x
x x x x
x
x x x
x x
Vậy nghiệm tổng quát hệ phương trình:
1
3
( , , , ) ( , , , ), ,
2
3
( , , , 0) ( , , 0, )
2
3
( , ,1, 0) ( 1, 2, 0,1)
x x x x
Do hệ nghiệm hệ phương trình là:
1
3
( , ,1,0); ( 1, 2,0,1)
u u
b
1
1
1
2
4
3
x x x x
x x x x
x x x x
(57)2
3
2
3
3
1
8
1 6
3
1 1 1
0 1 1
0 0
d d d
d d d
d d
d d d
A
Suy r A( ) 3 Hệ pt có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số:
1
1
2
2
3
3
4
3
2
( , )
4
x
x x x x
x
x x
x
x x
x
Vậy nghiệm tổng quát hệ phương trình:
1
( , , , ) (3 , , , ), (3,1, 4,1)
x x x x
Do nghiệm hệ phương trình là: (3,1, 4,1)
u
c
1
1
1
1
2
2
2
4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
(58)Biến đổi ma trận hệ số dạng bậc thang
1 2 1 2 1 2
2 0 0
1 0 0 0
4 0 0 0
A
Suy r A( ) 2 Hệ pt có vơ số nghiệm phụ thuộc hai tham số:
1
1
3
3
4
2
2
( , )
2 x
x x x x x
x
x x
x
Vậy nghiệm tổng quát hệ phương trình:
1
( , , , ) ( , , , ), , ( 2,1,0,0) (0,0,1, 2)
x x x x
Do hệ nghiệm là:
1 ( 2;1;0;0)
u u2 (0;0;1; 2)
d
1
1
1
1
3
2
2
2 2
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
(59)3 1
1 1
1 5
2 2 2 2
1 1 1 1
0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
A
Suy r A( ) 2 Hệ pt có vô số nghiệm phụ thuộc ba tham số:
1
2
1
3
3
4
5
1
2
2
( , , )
x
x
x x x x x
x
x x
x x
(60)1
1
( , , , , ) ( , , , , ), , ,
2
1
( 2,1,0,0,0) (1,0,0,1,0) ( ,0, ,0,1)
2
x x x x x
Do hệ nghiệm là:
1 ( 2;1;0;0;0)
u , u2 (1;0;0;1;0), 3 ( 1;0; 1;0;1)
2
u
BÀI TẬP
1.1 Cho
1
1
3
A ;
0
3
2
B ;
2
1
4
C
a Tính (A+B)+C; A+(B+C) b Tính 3A – 2B; (3 )A t; (3A2 )B t
c Tính t
A B; ( )t A B C
1.2 Cho
3
2
4
A ;
3
2
4
A
a Tính (3 )t
A B ; A3B;
b Tính AB; BA; (2 )A Bt ; B At ; A24B; B2 2A
1.3 Cho ma trận
1
3
A
2 1
0
B
(61)1.4 Cho ma trận
2
1
3
A
0 1
1
2
B
Tìm ma trận sau:
C= 3A + 4I - 5B , D = A2 , E = AI – B2 , F = AB – BA
1.5 Cho ma trận : 1
A
1 1
B
Tìm ma trận sau a n
A , n nguyên dương b 100
B
1.6 Cho ma trận
2
0
A
,
2
0
1
B
, 1
0
C
a Tính AB, ABC
b Tính (AB)3, Cn với n
(62)a 1 0 0 b 12 4 c 10 13 1 2 d
3 21
1
2 14
6 42 13
e
1
1
4
2 4
f 13 42 14 2 7
1.8 Tìm hạng ma trận
a 1 4 b 13 42 14 2 7 c
0 10
4 18
10 18 40 17
1 17
d
1
2
3
4
(63)e 10 f
1
2
5 1
7
g
1
1
2
1
0 10 10
h
1 0
0 1
1 1
4
3
i
1
2 1
0
1 11 14
j
1
2 12
2 5
1 20
1.9 Biện luận theo tham số thực m hạng ma trận sau:
a
1
1 17 10
4 3
3 m
b
1
4 10
5 11 13 16
10 16 22 26 m
c
1
2 1 2
1 1
2 1 m
d
2
1 1 0
3 4 1
5 5 m
(64)1.10 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau:
a
b
4
c
3
d
x x
x x cos sin sin cos e 1 f 1 g 1 h 0 1 a a a i
2
1
3
k
1
0
1
l
1
0
0
m
3
1
2
1.11 Tìm ma trận X từ phương trình sau
(65)c
2
X
d
1 1
2
X
e
1
2
1
X
f
1 1
1
1 5
X
g
1 1
2
1 1 5
X
h
1 1
2 1 2
1 2
X
1.12 Tính định thức sau
a
1 3
b
1 1
1
1
(66)c
3 1 1 1 1 1 1
d
1
2
3
4
e
1 1 1 1 1
f
1
2
3
4
g
1 4
2 3
3 2
4 1
h
1
1
2
3
(67)1.14 Giải hệ phương trình phương pháp Gauss
a
1
1
1
2
5
3
x x x
x x x
x x x
b
1
1
1
2
4
2
x x x
x x x
x x x
c
1
1
1
1
2
2
3 2
4
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
d
1
1
1
x 2x x x
x 2x x x
x 2x x 5x
e
1
1
1
1
2
3
2
2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
f
2
1
1
1
3 =
2
3 12
4 =5
x x x
x x x
x x x
x x x
g
1
1
1
1
3
2
3
2
x x x
x x x
x x x
x x x
h 5 4 3 3 2 5 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i
1
1
1
1
2 13
6 13 14
2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
j
1
1
1
1
2
3 13
3
12 2 10
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
(68)1.15 Giải hệ phương trình tuyến tính a 4 2 3 x x x x x x x x x b 6 3 3 x x x x x x x x x c 2 4 x x x x x x x x x x d
1
1
1
2
2
4
x x x x
x x x x
x x x x
e
1
1
1
1
2
2
2
0
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
f
1
1
1
1
2
3
4
3 24 19
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
1.16 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số m
a
1
1
2
7
x x x x m
x x x x m
x x x x m
b
1
1
2
2 2
3 3
x x x x m
x x x x m
x x x x
c
1
1
1
2
2
7 11
4 16
x x x x
x x x x
x x x x m
x x x x m
d
1
1
1
1
2
2
2 2
2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x m