Giáo trình TOÁN CAO CẤP (KinhTế , Kỹ Thuật)

Nếu ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của một hệ phương trình tuyến tính ta được hệ mới tương đương với hệ đã cho.. Hệ phƣơng trình Cramer..[r]

Chương I

MA TRẬN - ĐỊNH THỨC HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.1 Ma trận

1 Khái niệm ma trận

Ma trận bảng chữ nhật gồm m n phần tử

được thành m dòng, n cột theo thứ tự định

   

 

   

 

mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

2

2 22

21

1 12

11

Người ta thường dùng chữ in hoa để đặt tên cho ma trận: A, B, C,

Ta nói aij phần tử nằm hàng i cột j ma trận Đôi ta viết tắt ma trận là: (aij)m n

( )

m n

M  tập hợp tất ma trận cấp m n

trên

Ví dụ. Với 2 3( )

A M 

  a111,a12 2,

Với

1

2 ( )

3

B M 

 

 

 

 

 

Ma trận cấp n n gọi ma trận vuông cấp n Các phần tử a iii( 1, , )n lập nên đường chéo

( )

n

M tập hợp tất ma trận vuông cấp n

Ma trận tam giác trên ma trận có tất phần tử phía đường chéo

11 12

22

0

0

n n

mn

a a a

a a

a

 

 

 

 

 

 

Ma trận tam giác dưới ma trận có tất phần tử phía đường chéo

11

21 22

1

0

m m mn

a

a a

a a a

 

 

 

 

 

 

Ma trận chéo ma trận vng có tất phần tử đường chéo

11

22

0

0

0 a

a

a

 

 

 

 

 

vừa ma trận tam giác vừa ma trận tam giác dưới

Ma trận đơn vị ma trận chéo có tất phần tử đường chéo 1, kí hiệu In

Ví dụ.

1 0

I   

 ,

1 0 0 I

 

 

  

 

 

Ma trận 0 ma trận có tất phần tử 0, kí hiệu 0m n hay

Ví dụ.

0 0

0 0 0

0 0



 

 

  

 

 

3 Phép toán ma trận a Sự

Cho hai ma trận A(aij)m n B( )bij m n

Ta nói AB aij bij,i j,

Ví dụ. Tìm x y z, , để 1

2 1 2

x y

x z y z

 

   



      

   

Giải

1

2 1

2

x y x

x y y

z z z

   

 

     

 

     

 

b Phép chuyển vị ma trận Cho A( )aij m n Ta gọi

t

A ma trận chuyển vị ma trận A ( ji)

t

n m

A  a  Cụ thể

11 12

21 22

1

n n

m m mn

a a a

a a a

A

a a a

 

 

 



 

 

 

11 21

12 22

1

m m t

n n mn

a a a

a a a

A

a a a

 

 

 



 

 

 

 Nếu t

A  A, tức aij a i jji( , 1, 2, , )n A

được gọi ma trận đối xứng

 Nếu t

A  A, tức aij  a i jji( , 1, 2, , )n A

được gọi ma trận phản đối xứng

Ví dụ.

1 A

 

 

  

 

 

t

A   

 

c Phép cộng

Cho hai ma trận A(aij)m n B( )bij m n

Tổng hai ma trận A B định nghĩa bởi:

ij ij

( )m n

 Cộng phần tử vị trí tương ứng

Ký hiệu: A B   A ( B) gọi hiệu A B

Ví dụ

1

2 5



     

 

     

     

1 2

2 3

  

     

 

      

     

d Phép nhân ma trận với số

Cho A( )aij m n kR Phép nhân k với A

định nghĩa k A k a( )ij m n (kaij)m n

Ma trận ( 1) A kí hiệu A gọi ma trận đối A

Ví dụ Nếu 3

A  



 

2

2

4

A  



 và

1

2

A   

     

 .

e Phép nhân hai ma trận

Cho hai ma trận A(aij)m k B( )bij k n

Tích hai ma trận A B định nghĩa bởi:

ij

( )m n

Như để tính C A B thì:

 Số cột A số dịng B

 Phần tử thứ (ij) A B dòng i A nhân với cột j B

Ví dụ

a Cho 1 2

A   

 

1 1 B

 

 

  

 

 

Tìm AB

Ta có:

1 1

3 2

1

1.1 ( 1).3 2.1 1.0 ( 1).( 2) 2.2 1.2 ( 1).1 2.0

2.1 0.3 3.1 2.0 0.( 2) 3.2 2.2 0.1 3.0

5

AB

 



   

    

   

 

         

 

         

 

 

  

 

b Nếu A  

 ,

1 B

 

 

  

 

 

3

4 17 26

1

3 15 24

BA   

 

   

   

c Nếu 0

A  

 ,

0

B  

  thì: 30

0 0 0

AB       

      0 0 0

BA       

     

Nhận xét

 Phép nhân ma trận khơng có tính giao hốn

 Nếu AB = không suy A = B =

Ví dụ. Tìm m, n, p trường hợp sau

a Am n B2 3 C4p b A2pB3 4 Cm n

Giải

a Am n B2 3 C4p

Áp dụng điều kiện nhân suy ra: n2

Theo quy tắc nhân: Am n B2 3 Am2B2 3 Cm3 C4p

Do đó: m4 p3 b A2pB3 4 Cm n

Áp dụng điều kiện nhân suy ra: p3 Theo quy tắc nhân: A B2 3 3 4 C2 4 Cm n

f Lũy thừa ma trận

Cho AMn( ) Ta gọi lũy thừa bậc k A ma trận thuộc Mn( ), ký hiệu k

A xác định

sau :

; ; ; ; k k

n

A I A  A A  AA A A  A

Như : k k

A  A A

Ví dụ. Cho A  

  Tính

2

A , A3 từ suy A100 Giải

Ta có 3

0 1

A  AA       

     

Suy ra:

0 1

A AAAA A       

     

Dự đoán:

0

n n

A   

 , với n nguyên dương Chứng minh cơng thức phương pháp quy nạp

Với n1 công thưc

Giả sử công thức vớink, nghĩa

1

0

k k

A   

 

1 3 3 3( 1)

0 1 1

k k k k k

A   A A            

       

Vậy công thức với n nguyên dương Do đó: 100 3.100 300

0 1

A     

   

Ví dụ. Cho ma trận

0

1

A   

 ,

1 1

B  



 ,

2 1

C  



 

Hãy tìm ma trận sau

a A33A b B At 3Bt

c A B C(  ) d (B C A )t

Giải a A33A

Ta có:

3 1

( )

1 2

A  AA A           

     

 

2

2 3

    

     

     

     

0

3

3

A   

Suy ra:

3 3

3 2

3

A  A               I



       

b B At 3Bt

Ta có:

1

t

B

 

 

  

 

 

, suy

1 1

0

2 1

1

5 3

t

B A

   



 

   

      

 

   

   

;

1 3

3

5 15

t

B

   

   

      

   

   

Do đó:

1 3 2

3

3 15 12

t t

B A B

 

     

     

           

      

     

c A B C(  ) Ta có:

1 5 10

1 1 0

B C          

 

     

Do đó:

  

Ta có:

1 5

1 1 2

B C         

  

     

Suy

3

( ) 2

0

t

B C

 

 

   

 

 

Do đó:

3 2

0

( ) 2

1

0 1

t

B C A

   



 

   

       

 

   

   

g Đa thức ma trận ChoAMn( )và

1

1

( ) m m

m m

f x a x a x   a xa

là đa thức bậc m i  Khi ta định

nghĩa

1

( ) m m m m n

f A a A a  A   a A a I ta gọi

( )

f A đa thức theo ma trận A Ví dụ. Cho

1

A  

  

2

( ) 2

f x  x  x

Tính f A( )

Giải. Ta có

3

A    



 ,

2

2

( ) 2

Suy :

7 27 33

( ) 2

3 1 11 16

f A            

  

       

1.2 Các phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận, ma trận dạng bậc thang

1 Phép biến đổi 1:Hốn vị dịng

            3    d1d2

            3 2

2 Phép biến đổi 2: Nhân dịng với số khác khơng             3 2 1

2dd

             3

Nhận xét Phép biến đổi thường sử dụng để đơn giản hay đổi dấu dòng

3 Phép biến đổi 3: Cộng dòng với dòng

khác nhân với số khác không

            3 2

2 ( 2) d  dd

             3 0

đương dòng với B, ký hiệu A B , nếu B có từ A

qua hữu hạn phép biến đổi sơ cấp dịng 4 Ma trận dạng bậc thang

Định nghĩa

Ma trận A gọi có dạng bậc thang thỏa mãn hai điều kiện:

 Các dịng khác khơng ln dịng khơng  Với hai dịng khác khơng, phần tử khác khơng dòng bên phải cột chứa phần tử khác khơng dịng

Ví dụ.

1 0 0 0 0 A



 

  

 



 

 

 

,

1

0

0

0 0

B

 

 

 



 

 

 

A ma trận bậc thang, B không ma trận bậc thang Định lý

Mọi ma trận khác khơng đưa dạng bậc thang sau số phép biến đổi sơ cấp dòng

a

1 A

 

 

  

 

 

b

1 12

2 5 20 B

 

 

 



  

 

 

c

4 4 8 6 C



 

  

 



  

   

 

d

3 5 3 7 D



 

  

 



  

  

 

Giải a

3

2

3

( 2) ( 4)

( 7)

1 3

4 6

7 12 0

d d d d d d

d d d

A      

  

     

     

       

       

     

b

2

3

4

2

1 5

2 12 0

2 5 15

1 20 15

d d d

d d d

d d d

B

     

   

   

   

 

    

   

   

4

1 15 0 0 0

d d d

d d

  

 

 

 



 

 

2 3

4

2

2

4 5

8 0

4 0

8 6 0 12

d d d

d d d

d d d

C

     

 

   

     

   

 

     

     

   

3 4

4 0 0 0 0 0 0

d d d

d d d

   



 

  

 



 

 

 

d

3 5

5 3 3

1 3

7

d d

D 

 

   

     

   

 

     

     

   

2

3 3

4 4

3

5 2

2

1 7

0 12 16 12 16

0 12 23 31 0

0 16 34 48 0 10 16

d d d d d d

d d d

d d d d d d

   

 

   

 

   

       

   

 

       

       

   

4

1

0 12 16

0

0 0

d  d d



 

   

 



   

  

 

1 Định nghĩa.

Cho A( )aij m n Khi số dịng khác không ma

trận dạng bậc thang A gọi hạng ma trận A, ký hiệu r(A)

2 Cách tìm hạng ma trận  Đưa ma trận dạng bậc thang  Hạng ma trận số dịng khác Ví dụ. Tìm hạng ma trận

a

1 2 10 3 10 13 A

 

 

  

 

 

b

1 12

2 5 20 B

 

 

 



  

 

 

c

1 2

2 2

3 4

5 5

 

 

 



 

 

 

C d

2 11

1

11 56

2

 

  

 



 

   

 

D

Giải a

2

3 3

2

1 1 1

2 10 0 4 0 4

3 10 13 0 4 0 0

d d d

d d d d d d

A

 

   

     

     

   

     

     

2

3 4

4

2

2

1 5

2 12 0 15

2 5 15 0

1 20 15 0 0

d d d

d d d d d d d d d d d

B

 

   

  

     

     

     

  

      

     

     

Vậy r(B) =

c

2

2 2 1 2

1 2 2 2

3 4 4 4

5 5 5 5

d d

   

   

  

   

   

   

2

2 3

4

3

1

3 3

1

2

1 2 2 2

0 3 1

0 2 1

0 5 5

d d d

d d d d d

d d d

d d

   

 

   

   

      

   

 

      

         

   

3 3

4

1 2 2 2

0 1 1 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

d d d d d

d d d

  

 

   

   

   

 

   

   

   

Vậy ( ) 3r C  d r D( )2

a

2 1 0 4 1 5 A

m

 

 

 



  

 

 

b

1

4 10

5 11 13 16

10 16 22 26

B

m

 

 

 



 

 

 

Giải

a

1

2 1 0

1 1 0

3 4 1 4 1

5 5 5

d d

A

m m



   

   

   

 

     

   

   

2 2

3

4

2

3

5

1 1 0 1 0

0 1 2 1 2

0 1 1 1 1

0 3 3

d d d d d d

d d d d d d

d d d d d d

m m

   

   

   

   

   

   

 

       

   

   

3 4

4

4

1 1 0 1 0

0 1 2 1 2

0 7 33 0 7 33

0 7 40 0 0

d d d d d d

d d d

m m

   

 

   

   

   

 

           

        

   

2 3 4

4 10

1 5

4 10 10

5 11 13 16

10 16 22 26 14 50

d d d d d d d d d

B

m m

     

   

       

   

 

       

       

   

3

4

4 22 ( 30)

1 5

0 10 10

0 0 0 0

0 0 30 0 0

d d d

d m d d d d d

m

 

    

   

           

   

 

   

    

   

Vậy ( ) 3,r B  m

1.4 Ma trận đảo 1 Định nghĩa

Ma trận A vuông cấp n gọi khả đảo tồn ma trận B vuông cấp n cho: A B B A I

Ma trận B gọi ma trận đảo ma trận A, ký hiệu A-1

Ví dụ. Cho

A  

  Khi

1

1

A    



 

2 Cách tìm ma trận đảo Lập ma trận mở rộng ( | )A I

Biến đổi ma trận ( | )A I dạng ( | )I B

 Nếu biến đổi dạng ( | )I B A ma trận khả đảo

 Nếu không biến đổi dạng ( | )I B (nghĩa ma trận bên trái có xuất dịng khơng) ma trận A khơng khả đảo

Ví dụ. Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau

a

2 1 A

 

 

  

 

 

b

0 1

1 1

1 1

1 1

B

 

 

 



 

 

 

Giải a

 

2

2 0 1 0

| 1 0 1 0

1 0 2 0

d d

d d

A I

 

    

   

    

   

   

2

3 21 3 42

1 0 1 0

0 1 1 1 1

0 0 1

d d d

d d d d d d

 

   

     

   

  

       

   

1

3 2 3

1 0 1 0

0 0 1

0 1 0 1

d d d

d d d d d

 

   

      

   

       

       

Vậy

1

1 A    

 

 

b

1

0 1 1 0 3 3 1 1

1 1 0 1 1 0

( | )

1 1 0 1 1 0

1 1 0 0 1 1 0 0

d d d d d

B I    

   

   

   

  

   

   

   

2 3 1

4

1 1

1 1

3 3

3 3

1 1

1

3 3

3

1

3 3

1 1

3 3

1 1 1 1

1 1 0 0

1 1 0 0

1 1 0 0 0

d d d d d d d d

d d d

   

  

 

 

 

     

 

 

  

  



 

 

       

   

1

2 1

3 3

1 1

3 3

1

3 3

1 1

3 3

1 0

0 0

0

0 0

d   d d d d

  

     

 

 

  



 

     

 

2 3 4

2 1

3 3

1 1

3 3

1

3 3

1 1

3 3

1 0

0 0

0

0 0

d d

d d

d d

     

  

  

 

  

 

  

Vậy

2 1

3 3

1 1

3 3

1

1

3 3

1 1

3 3

A



 

  

 



  

  

 

1.5 Định thức

1 Khái niệm định thức

Cho ma trận vuông cấp n, A( )aij n Xét phần tử aij

Nếu bỏ hàng i, cột j ma trận A ta ma trận vuông cấp n – A ứng với phần tử aij, kí hiệu

ij

M

Người ta gọi định thức ma trận vuông A số, ký hiệu detA A xác định sau:

 Nếu A ma trận vuông cấp 1, A(a11)

11

detAa

 Nếu A ma trận vuông cấp 2, 11 12

21 22

a a

A

a a

 

  

 

11 12

11 22 12 21 11 11 12 12

21 22

detA a a a a a a a M a M

a a

    

Ví dụ. Tính định thức a 12 10 22

2



b 2

os sin

sin cos c   

 Nếu A ma trận vuông cấp 3,

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

 

 

  

 

 

thì

11 12 13

21 22 23 11 11 12 12 13 12

31 32 33

det

a a a

A a a a a M a M a M

a a a

   

Ví dụ. Tính định thức ma trận

a

    

    

 

2 2

0

1

b

    

     

5 0

3

4

Giải

a

1

1 3

3 1

2 2 2

2 2

12 

  

 



     b

3

1 3

0 3 ( 2) 15

0 5 0

0



    

 Một cách tổng quát, A ma trận vuông cấp n

11 12

21 22

11 11 12 12 1

1

det ( 1)

n

n n

n n

n n nn

a a a

a a a

A a M a M a M

a a a



     

Để biễu diễn dấu thuận tiện đặt ij ( 1) ij

i j

A    M gọi

ij

A phần bù đại số phần tử aij Khi đó:

11 12

21 22

11 11 12 12 1

1

det

n n

n n

n n nn

a a a

a a a

A a A a A a A

a a a

    

2 Tính chất Cho ma trận A vng

Tính chất 1. Chuyển vị ma trận, định thức không đổi: t

A = A

Ví dụ. Ta tính

0

cách khai triển theo

cột cột có nhiều số nhất,

như

3

1

0 3 15

0

0



 

Tính chất 2. Hốn vị dòng (hay cột), định thức đổi dấu : '

A = - A Ứng dụng

 Ta khai triển định thức theo dịng hay cột

 Định thức có hai dịng hay hai cột

Ví dụ. Tính định thức ma trận:

1 0 3 0 A

 

 

 



 

 

 

 Cách 1.Khai triển theo dòng

1

1 0

4 3 4

0 0 0

Khai triển dòng định thức vế phải ta

1 2

4.(2) 3.3 4.2.( 2) 3.3.( 2)

3 4

A          

 Cách 2.Khai triển theo cột

1

0 3 0

4 3

0 3 0

A   

Khai triển cột định thức vế phải ta

4

4 3.2 4.( 1) 3.2.( 1)

3

A          

Tính chất 3. Nếu nhân dòng (hay cột) với số

  '

A =  A Ứng dụng

 Nếu phần tử dòng (hay cột) có thừa số chung, ta đưa thừa số chung ngồi dấu định thức

thành tổng dòng định thức tổng định thức có dòng tương ứng dòng thành phần

2

1

2

1 b a b an bn a a an b b bn

a     

Tính chất 5. Nếu thay dịng cộng với dịng khác nhân với số khơng đổi định thức khơng đổi

Ứng dụng Ta sử dụng phép biến đổi để biến dòng hay cột định thức có nhiều số nhất, sau khai triển định thức theo dịng hay cột

Tính chất 6. Ma trận tam giác, ma trận chéo có định thức tích phần tử đường chéo

Chú ý. Thường dùng tính chất sau để tính định

thức ma trận

i) Nếu di dj

A B B   A

ii) Nếu di: di

A B B  A

iii) Nếu di: di dj

A  B B  A

a

1 2 2 2 2 2 2 A

 

 

 



 

 

 

b

1 4 4 A

 

 

 



 

 

 

c

1 1 1 10 10 20 A

 

 

 



 

 

 

d

1 2

2 A



 

 

 



  

 

 

Giải

a

1 2 2 2 2 2 2 A

 

 

 



 

 

 

 Cộng dòng với dịng cịn lại (tính chất 5) ta

1 2 7 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2

A  

2 2 2

2 2 2 2 2 2

A  

 Trừ dòng 2, 3, với dịng để cột có nhiều phần tử

2 3 4

2

2

1 1 1 1

2 2 0

7 7.( 1)( 1)( 1)

2 2 0

2 2 0

d d d

d d d

d d d

A

     



       

 

b

1 4 4 A

 

 

 



 

 

1

2 3 4

2

4

1 10 10 10 10 1 1

2 4

10

3 4

4 4

1 1

1 1

0

10 10 10

0

3 4

0

10.( 4)( 4) 160

d d d d d

d d d

d d d

d d d

A

   

     

  

 



     

 

   

  

   

c

1 1 1 10 10 20 A

 

 

 



 

 

 

2 3 4

1 1 1 1

1

1 10

1 10 20 19

d d d

d d d

d d d

A

     

 

2

3

2

1 3

1

2

3 10

3 19 10

d d d

d d d

   

d

2 A

 

 



  

 

 

2

3

4

2

1 1 1

2 0 1

3 1

2 3

d d d

d d d

d d d

A

     



 

 

 

2 31

1 1

1

1 1 19

4

3 7

d d d

d d d

   

     



 

3 Ứng dụng định thức tìm ma trận đảo a Điều kiện khả đảo

Ma trận A khả đảo  A 0 b Công thức ma trận đảo

t

nn n

n

n n

A A

A

A A

A

A A

A

A A

      

      

2

2 22

21

1 12

11

1

Trong Aij phần bù đại số phần tử aij

a

1 1 1 A

 

 

  

 

 

b

0 1 B

 

 

  

 

 

Giải

a Ta có:

1

0 1 0,

A    A

11

1 1

A   ; 12 1

1

A    ; 13 1

1

A   

21

2

A     ; 22 1

1

A   ; 23

1

A   

31

2 1 1

A   ; 32 1

0

A     ; 33

0

A  

Do đó:

1 1

1

4 2

2

1 1 1

t A

 

   

   

      

    

   

b Ta có:

0

1 0,

B    B

11

0 1

B    ; 12 1

2

B    ; 13 1

2

B  

1 3

31

0

B   ; 32

1

B    ; 33

1

B   

Do đó:

1 1

1

3 2

5

1 1

t B

 

   

   

       

     

   

Áp dụng. Cho A ma trận khả đảo B ma trận có cấp thích hợp Tìm ma trận X cho:

a AX B

b XAB

Cách giải

a AX  B A1(AX)A B1 (A A X1 ) A B1

1 1

(A A X ) A B IX A B X A B

     

b AX  B (XA A) 1BA1 X AA( 1)BA1

1

XI BA X BA

   

Ví dụ. Tìm ma trận X trường hợp sau

a

1 X



   



   

b

3

1

0 1

0

2

X



 



 

   



   

   

 

Giải

a Phương trình có dạng AX  B X  A B1

Mà

1

A    



 

Do đó: 23

1 2

X  A B           



     

b Phương trình có dạng XA B X BA1

Mà

1 2

2

2

A

 

 

   

 

 

Do đó:

1

1 2

1 11

2

0 2

2

X BA

 



    

      

    

 

                   m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 2 1 2 22 21 1 12 11 (1)

Trong x x1, 2, ,xn ẩn, a bij, j

số gọi hệ phương trình tuyến tính (m phương trình, n ẩn)

Ma trận

11 12

21 22

1 n n

m m mn

a a a

a a a

A

a a a

            

gọi ma trận

hệ số

Ma trận

1

11 12

2

21 22

1 n n

m m mn m

b

a a a

b

a a a

A

a a a b

              

gọi ma

trận hệ số mở rộng

Cột m b b B b             

Chú ý rằng, hệ phương trình (1) cho dạng ma trận sau

1

2

n m

x b

x b

A

x b

                       

, với A ma trận hệ số

Nhận xét. Nếu ta thực phép biến đổi sơ cấp trên dịng hệ phương trình tuyến tính ta hệ tương đương với hệ cho

2 Nghiệm phƣơng trình tuyến tính

Một nghiệm hệ phương trình tuyến tính (1) số gồm n số ( , ,c c1 ,cn) cho thay vào

1

( ,x x , ,xn)các phương trình nghiệm

3 Điều kiện tồn nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính – Định lý Kronecker-Capelli

Cho hệ phương trình (1), ta có:

 r A( )r A( ) : Hệ phương trình vơ nghiệm  r A( )r A( )n : Hệ phương trình có nghiệm

 r A( )r A( ) r n: Hệ phương trình có vơ số nghiệm nghiệm phụ thuộc (n r ) tham số

có số phương trình số ẩn định thức ma trận hệ số khác không

b Cách giải hệ phƣơng trình Cramer Phƣơng pháp Cramer

Cho hệ phương trình Cramer:

      

 

 

 

 

 

 

n n nn n

n

n n

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

2 1

2

2 22 21

1

2 12 11

Hệ phương trình có nghiệm nhất: ( ,x x1 2, ,xn),

với :

; ( 1, , )

i i

A

x i n

A

 

Trong đó, Ai ma trận suy từ ma trận A cách thay cột i cột B

Ví dụ: Giải hệ phương trình

a

1

1

1

2

6

3

    

   



    



x x x

x x x

x x x

b

1

1

1

1

2

4

x x x

x x x x    

    

    

a Ta có:

2

1 1 23

3



   



A , hệ phương trình

có phương trình ẩn nên hệ Grammer

1

1

6 1 23

1

 

  

 

A ; 2

2 1

1 46

3



  

 

A ;

3

2

1 69

3 1

 

  

 A

Vậy nghiệm ( ,x x x1 2, 3)(1; 2;3)

b Ta có:

1 1

2

A    



, hệ phương trình có

3 phương trình ẩn nên hệ Grammer

1

1 1 1 0

A   ;

1 1 0

A   



;

1 1 4 0

A   

 Vậy nghiệm

1 ( , , ) ; ;

7 7

x x x   

 

Phƣơng pháp ma trận đảo

a

1

1

1

2

2 14

3 16

x x x

x x x

x x x

  



    

   



b

1

1

1

2 4

3

x x x

x x x

x x x

  



    

   

 Giải

a

1

1

1

2

2 14

3 16

x x x

x x x

x x x

  



    

   



Hệ có ba phương trình ba ẩn và

det( )

A     



nên hệ hệ Gramer

Với

14 13

1

10

2 1

A



 

 

    

 

 

Do

14 13

1

10 14

6

2 1

X A B



     

     

         

     

     

Vậy nghiệm hệ phương trình là:

1

( ,x x x, )(2,3, 2)

b

1

1

1

2 4

3

x x x

x x x

x x x

  



    

   



1 1

det( )

A    nên hệ hệ Gramer

Với

3

5

4

2

1

1

2

A

 

  

 

 

  

 

 

  

 

Do

3

4

5

4

2

2

1

1

2

X A B

 

  

   

 

   

 

       

 

   

     

  

 

Vậy nghiệm hệ phương trình là:

1

( ,x x x, )(2,3, 1)

5 Giải hệ phƣơng trình phƣơng pháp Gauss Từ định lý tồn nghiệm hệ phương trình tuyến tính, ta có phương pháp tổng quát sau để giải hệ phương trình gọi phương pháp Gauss

Bƣớc 1. Lập ma trận hệ số mở rộng A( | )A B

số nghiệm hệ phương trình Cụ thể sau:  Nếu ( )r A r A( )thì hệ vơ nghiệm

 Nếu ( )r A r A( )n hệ có nghiệm  Nếu ( )r A r A( ) r n hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc vào (n r ) tham số

Bƣớc 4. Tìm nghiệm (nếu có) hệ phương trình dựa vào dạng bậc thang ma trận hệ số mở rộng

Ví dụ. Giải hệ phương trình tuyến tính sau

a

1

1

1

3 11

2 3

2

x x x

x x x

x x x

  



    



     

b

1

1

1

1

4

2 3 11

4

x x x

x x x

x x x

x x x

  



    



   



   

 Giải

a

1

1

1

3 11

2 3

2

x x x

x x x

x x x

  



    



     

Biến đổi ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang

2

3

2

11 11

1 4

2 3 11 25

2 1 0 4

d d d

d d d

A  

 

     

   

       

     

Ta có r A( )r A( ) 3 n nên hệ phương trình có nghiệm

Hệ phương trình cho tương đương với:

1

2

3

3 11

11 25

1 4

x x x x

x x x

x x

   

 

      

 

     

 

Vậy nghiệm hệ phương trình là:

1

( ,x x x, )(1, 2, 1)

b

1

1

1

1

4

2 3 11

4

x x x

x x x

x x x

x x x

  



    



   



   



Biến đổi ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang

2

3

4

4

2

1 1 1

4 15

2 311 515

4 17 515

d d d

d d d

d d d

A

     

       

    

   

  

 

   

 

   

   

3

4

6

2

1 1

0 15

0 15 15

0 0

d d d

d d d

   

   

  

 



  

 

 

1

2

3

2

15

1 15 15

x x x x

x x x

x x

    

 

    

 

     

 

Vậy nghiệm hệ phương trình là:

1

( ,x x x, )(1, 2, 1)

Ví dụ. Giải hệ phương trình tuyến tính sau

a

1

1

1

1

10

2

2 3

3

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

   



    



    



    



b

1

1

1

1

1

2 2

2 3

3 4

   



    



    



    



x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

c

1

1

1

1

4

2

2 3

4

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

   



    



    



    



d

1

1

1

1

2 13

4 14

6 13

2

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

    



    



    



    

 Giải

a

1

1

1

1

10

2

2 3

3

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

   



    



    



    



2 3 4

3 3

4

2

1

2

1 1 10 1 1 10

1 1

2 3 13

3 1 0 4 30

1 1 10

0

0

0 10 46

d d d

d d d

d d d

d d

d d d

d d d d

A

     

   

  

   

      

   

  

  

   

         

   

 

   

 

 

 

 

    

 

4

4 3

1 1 10 0 0 23 1 1 10

0 0 0

d

d d d



 

 

   

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

Ta có r A( )r A( ) 4 n nên hệ phương trình có nghiệm

Hệ phương trình cho tương đương với:

1

2

3

4

10

4

x x x x x

x x x

x x

x x

    

 

     

 

   

 

   



b

1

1

2 2

2 3

3 4

    



    



    



x x x x

x x x x

x x x x

Biến đổi ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang:

2

3

4

3 4

2

1 1 1 1 1

1 2 1

2 3 1

3 4 1

1 1 1 1 0 0 0 0 0

d d d

d d d

d d d

d d d

d d d

A

     

   

   

   

   

  

   

   

   

 

 

 

 

 

 

 

Ta có, r A( )r A( )  2 n nên hệ phương trình có vơ số nghiệm phụ thuộc vào tham số

Hệ phương trình cho tương đương với:

1

1

3

2

4

1

; ( , )

x

x x x x x

R x

x x

x 

   

    

     

  

    

 

   Vậy nghiệm hệ là:

1

c

1

1

1

1

4

2

2 3

4

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

   



    



    



    



Biến đổi ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang

2

4 1

1 1

2 3 3 3

4 1 1

d d

A 

     

     

   

  

 

   

     

   

2 4 3

4

1 1 1

0 11 13 11 13

0 5 5

0 5 19 0 0 12

d d d

d d d

d d d

     

     

         

   

  

     

   

       

   

Ta có r A( )r A( ) nên hệ phương trình vơ nghiệm

d

1

1

1

1

2 13

4 14

6 13

2

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

    



    



    



    



Biến đổi ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang

2 3

2

2 13 13

4 1 14 d d d 0 11 40

d d d

A

   

         

      

   

  

3

3

3 4

1

9 13

2

0 1 0 1

0 11 40 0

0 22 0 14

d d

d d d

d d d d d d

  

   

     

   

  

 

   

     

   

3

4 4

1

2 13 13

0 1 0 1

0 0 0

0 0 0 0

d d d d d

d d

  



         

     

   

  

 

   

    

   

 Ta có, r A( )r A( )  3 n nên hệ phương trình có vơ số nghiệm phụ thuộc vào tham số

 Hệ phương trình cho tương đương với:

1

1

2

3

3

4

3

2 13

; ( )

2

x

x x x x

x x x

x x

x



 

   

    

 

     

 

    

 

   Vậy nghiệm hệ là:

1

3

( , , , ) ( , , 2, 2);

2

x x x x      

a

1

1

1

1

1 mx x x x mx x x x mx

              b

1

1

1

1

2

2

7 11

4 16

x x x x

x x x x

x x x x m

x x x x

                       c

1

1

1

1

2 3

1

3

5

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x m

                           d

1

1

1

1

2

2

3

5

x x x x

x x x x

x x x x

x x m

                     Giải a

1

1

1

1

1 mx x x x mx x x x mx

             

Biến đổi ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang:

1 2

3

3

2

2

1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1

0 1

0

d d d d d d md d

d d d

m m m

A m m m m

m m m m m

m

m m

m m m

                                                      

 Nếu

2 m m 0, ta có hai trường hợp:  m1

1 1 0 0 0 0

nghiệm phụ thuộc tham số

Suy ra, hệ phương trình cho tương đương với:

1

1

3

1

1 ; ( , )

x

x x x x R

x

 

  

    



     

  

 m 2

1 3 0 0

A

  

 

  

 

 

suy r A( ) 2 r A( )3 Hệ phương trình vô nghiệm

 Nếu

2 m m   0 m 1;m 2, ta có ( ) ( )

r A r A  n Hệ phương trình có nghiệm

b

1

1

1

1

2

2

7 11

4 16

x x x x

x x x x

x x x x m

x x x x m

   



    



    



     



Biến đổi ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang

1

2 1 1

1 2 1 1

1 11 11

4 16 16

d d

A

m m

m m



    

    

   

  

 

   

       

2

3 3

4

2

2

1 2

0 3 3

0 3

0 0 0 0

d d d

d d d d d d

d d d d d

m m

m m

 

   

  

     

         

   

  

    

   

     

   

3 3

1

0

0 14 21

0 0

d d d m

m m

 

  

    

 

    

 

  

 

 Nếu m7 ( )r A  3 r A( )4 hệ phương trình vơ nghiệm

 Nếu m7 ( )r A r A( )3 ma trận hệ số mở rộng phương trình:

1

0

0 14 0 0 0 A

  

    

 

   

 

 

 

Do hệ phương trình tương đương với

1

1

2

2

3

3

4

5

2

1

( )

7 14

3

x

x x x x

x

x x x

x

x x

x

   

  

   

  

       

  

    

  



c

1

1

1

3

5

x x x x x

x x x x x

x x x x m

      

     



     



Biến đổi ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang

1

2 1 3 1 1 1

1 1 1 1 3

3 1 1

5 5

d d

A

m m



       

       

   

  

 

   

       

   

2

3 3

4

2

1 1 1 1 1 1

0 3 1 1 0

0 2

0 7

d d d

d d d d d d

d d d

m m

 

   

 

       

       

   

  

 

   

       

   

3 4

4

2

5

1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0

0 0

0 12 0 0

d d d d d d

d d d

m m

   

 

       

         

   

  

   

     

   

 Nếu m9 ( )r A  3 r A( )4 hệ phương trình vơ nghiệm

 Nếu m9 ( )r A r A( )3 1 1 1

0 1 0

0 0 0 0 A

   

    

 

  

 

 

 

Do hệ phương trình tương đương với:

1

2

3

1

x x x x x

x x x x

    



    



  





1

2

3

4

5

8

( , )

6

x x x x x

 



  

 

  

  

   

      

Vậy nghiệm hệ phương trình với m9 là:

1

( ,x x x x, , )(8 ,  1,   , ,6 ); , 

d

1

1

1

1

2

2

3

5

x x x x

x x x x

x x x x

x x m

   



    



    



  



Biến đổi ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang

2

3

4

2

1 2 1 2

2 1 5

3 1 5

5 0 10 10

d d d

d d d

d d d

A

m m

     

       

      

   

  

  

   

     

   

3 3

4 2

1 2 1 2

0 5 5

0 0 0 0 0

0 0 0 0

d d d d d

d d d m

m

  

 

       

     

   

  



   

    

vô nghiệm

 Nếu m6 ( )r A r A( )2 1 2

0 5 0 0 0 0 0 A

   

  

 

  

 

 

 

Do hệ phương trình tương đương với:

1

1

3

2

4

3 3

2 5

( , )

5

x

x x x x x

x

x x x

x

 

 

  



  

 

      

  

     

 

  

Vậy nghiệm hệ phương trình với m6 là:

1

( ,x x x x, , )(33 3,553, , );   , 

1.7 Hệ phƣơng trình tuyến tính 1 Định nghĩa

      

 

 

 

 

 

 

0

0

0

2 1

2

22 21

1

12 11

n mn m

m

n n

n n

x a x

a x a

x a x

a x a

x a x

a x a

Dạng ma trận: AX =

2 Nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính nhất

a Nghiệm tầm thƣờng: Hệ phương trình tuyến tính ln ln có nghiệm (0, 0,…, 0) gọi nghiệm tầm thường

b Nghiệm không tầm thƣờng

 Nghiệm hệ phương trình có thành phần khác gọi nghiệm không tầm thường

 Hệ có nghiệm khơng tầm thường  r(A) < n ( số ẩn số )

 Nếu A ma trận vng thì: Hệ có nghiệm không tầm thường detA0

 Nghiệm khơng tầm thường cịn gọi nghiệm tổng quát, phụ thuộc số tham số Nếu tham số lấy giá trị cố định ta nghiệm riêng

3 Hệ nghiệm

tuyến tính

a

1

1

1

5

2

3

x x x x

x x x x

x x x x

   



     

    



b

1

1

1

2

4

3

x x x x

x x x x

x x x x

   



    



    

 c

1

1

1

1

2

2

2

4

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

   



    



     

    



d

1

1

1

1

3

2

2

2 2

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

    



     



     



     



Giải

a

1

1

1

5

2

3

x x x x

x x x x

x x x x

   



     

    



Biến đổi ma trận hệ số dạng bậc thang

2 3

1 1

1

3

d d d

d d d

A

   

   

   

   

    

     

   

3

1

0

0 0

d  d d

 

 

 

  

 

 

1

1

2

2

3

4

3

5

( , )

3

x

x x x x

x

x x x

x x

      



    



   

   

 

    

 

    

Vậy nghiệm tổng quát hệ phương trình:

1

3

( , , , ) ( , , , ), ,

2

3

( , , , 0) ( , , 0, )

2

3

( , ,1, 0) ( 1, 2, 0,1)

x x x x        

     

 

     

    

    

Do hệ nghiệm hệ phương trình là:

1

3

( , ,1,0); ( 1, 2,0,1)

u   u   

b

1

1

1

2

4

3

x x x x

x x x x

x x x x

   



    



    



2

3

2

3

3

1

8

1 6

3

1 1 1

0 1 1

0 0

d d d

d d d

d d

d d d

A

   

   

   

    

       

   

 

   

   

     

       

   

Suy r A( ) 3 Hệ pt có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số:

1

1

2

2

3

3

4

3

2

( , )

4

x

x x x x

x

x x

x

x x

x  

   

 

   

  

    

   

    

  



Vậy nghiệm tổng quát hệ phương trình:

1

( , , , ) (3 , , , ), (3,1, 4,1)

x x x x     



   

 

Do nghiệm hệ phương trình là: (3,1, 4,1)

u 

c

1

1

1

1

2

2

2

4

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

   



    



     

    

Biến đổi ma trận hệ số dạng bậc thang

1 2 1 2 1 2

2 0 0

1 0 0 0

4 0 0 0

A

  

     

        

     

  

       

       

     

Suy r A( ) 2 Hệ pt có vơ số nghiệm phụ thuộc hai tham số:

1

1

3

3

4

2

2

( , )

2 x

x x x x x

x

x x

x

 

  

    

    

  

    

 

  

Vậy nghiệm tổng quát hệ phương trình:

1

( , , , ) ( , , , ), , ( 2,1,0,0) (0,0,1, 2)

x x x x      

 

   

  

Do hệ nghiệm là:

1 ( 2;1;0;0)

u   u2 (0;0;1; 2)

d

1

1

1

1

3

2

2

2 2

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x x

    



     



     



     



3 1

1 1

1 5

2 2 2 2

1 1 1 1

0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

A

    

   

       

   

 

       

       

   

     

   

   

   

 

   

   

   

Suy r A( ) 2 Hệ pt có vô số nghiệm phụ thuộc ba tham số:

1

2

1

3

3

4

5

1

2

2

( , , )

x

x

x x x x x

x

x x

x x

  



   

 

     

   

     

    

   

 

     

1

1

( , , , , ) ( , , , , ), , ,

2

1

( 2,1,0,0,0) (1,0,0,1,0) ( ,0, ,0,1)

2

x x x x x          

  

      

     

Do hệ nghiệm là:

1 ( 2;1;0;0;0)

u   , u2 (1;0;0;1;0), 3 ( 1;0; 1;0;1)

2

u   

BÀI TẬP

1.1 Cho

1

1

3

 

 

  

 

 

A ;

0

3

2

 

 

  

 

 

B ;

2

1

4



 

 

  

  

 

C

a Tính (A+B)+C; A+(B+C) b Tính 3A – 2B; (3 )A t; (3A2 )B t

c Tính t

A B; (  )t A B C

1.2 Cho

3

2

4

 

 

  

 

 

A ;

3

2

4

 

 

  

 

 

A

a Tính (3  )t

A B ; A3B;

b Tính AB; BA; (2 )A Bt ; B At ; A24B; B2 2A

1.3 Cho ma trận

1

3

A



 

 

  

   

2 1

0

B

 

 

  

1.4 Cho ma trận

2

1

3

A

 

 

  

  

 

0 1

1

2

B

 

 

  

 

 

Tìm ma trận sau:

C= 3A + 4I - 5B , D = A2 , E = AI – B2 , F = AB – BA

1.5 Cho ma trận : 1

A  

 

1 1

B  

 

Tìm ma trận sau a n

A , n nguyên dương b 100

B

1.6 Cho ma trận

2

0

A   

 ,

2

0

1

B



 

 

  

 

 

, 1

0

C   

 

a Tính AB, ABC

b Tính (AB)3, Cn với n

a              1 0 0 b           12 4 c                  10 13 1 2 d

3 21

1

2 14

6 42 13

                e

1

1

4

2 4

                     f                 13 42 14 2 7

1.8 Tìm hạng ma trận

a               1 4 b                 13 42 14 2 7 c

0 10

4 18

10 18 40 17

1 17

            d

1

2

3

4

e                  10 f

1

2

5 1

7

                g

1

1

2

1

0 10 10

                h

1 0

0 1

1 1

4

3

                 i

1

2 1

0

1 11 14

            j

1

2 12

2 5

1 20

            

1.9 Biện luận theo tham số thực m hạng ma trận sau:

a

1

1 17 10

4 3

3 m

            b

1

4 10

5 11 13 16

10 16 22 26 m

            c

1

2 1 2

1 1

2 1 m

                d

2

1 1 0

3 4 1

5 5 m

1.10 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau:

a 

    

b 

       4

c 

     3

d 

  

 

 x x

x x cos sin sin cos e              1 f           1 g            1 h           0 1 a a a i

2

1

3

            k

1

0

1

          l

1

0

0

           m

3

1

2

          

1.11 Tìm ma trận X từ phương trình sau

c

2

X      



    d

1 1

2

X      



   

e

1

2

1

X

 

   

    

   

     

   

f

1 1

1

1 5

X

   

   

   

    

   

g

1 1

2

1 1 5

X



   

   

   

    

   

h

1 1

2 1 2

1 2

X



   

   

   

    

   

1.12 Tính định thức sau

a

1 3

b

1 1

1

1



c

3 1 1 1 1 1 1

d

1

2

3

4

e

1 1 1 1 1

f

1

2

3

4

 

 

 

g

1 4

2 3

3 2

4 1

h

1

1

2

3

1.14 Giải hệ phương trình phương pháp Gauss

a

1

1

1

2

5

3

x x x

x x x

x x x

              b

1

1

1

2

4

2

x x x

x x x

x x x

              c

1

1

1

1

2

2

3 2

4

                       

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

d

1

1

1

x 2x x x

x 2x x x

x 2x x 5x

                  e

1

1

1

1

2

3

2

2

                         

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

f

2

1

1

1

3 =

2

3 12

4 =5

                  

x x x

x x x

x x x

x x x

g

1

1

1

1

3

2

3

2

                   

x x x

x x x

x x x

x x x

h                            5 4 3 3 2 5 5 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i

1

1

1

1

2 13

6 13 14

2

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

                        j

1

1

1

1

2

3 13

3

12 2 10

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

1.15 Giải hệ phương trình tuyến tính a                4 2 3 x x x x x x x x x b               6 3 3 x x x x x x x x x c                 2 4 x x x x x x x x x x d

1

1

1

2

2

4

x x x x

x x x x

x x x x

                 e

1

1

1

1

2

2

2

0

x x x x

x x x x

x x x x

x x x

                      f

1

1

1

1

2

3

4

3 24 19

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

                      

1.16 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số m

a

1

1

2

7

x x x x m

x x x x m

x x x x m

                  

b

1

1

2

2 2

3 3

x x x x m

x x x x m

x x x x

                 

c

1

1

1

2

2

7 11

4 16

x x x x

x x x x

x x x x m

x x x x m

                        d

1

1

1

1

2

2

2 2

2

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x m