Đang tải... (xem toàn văn)
Chương V Phương trình Vi phân • Phương trình Vi phân cấp 1 75 • Phương trình Vi phân cấp 2 Phương trình vi phân cấp1 Pt vi phân cấp một là một hệ thức f(x, y, y) = 0 hay y’= f(x, y) hay Hàm số y = ϕ(.
Chương V: Phương trình Vi phân • Phương trình Vi phân cấp • Phương trình Vi phân cấp 75 Phương trình vi phân cấp1 Pt vi phân cấp một hệ thức f(x, y, y') = y) hay hay y’= f(x, dy = f (x, y) (*) dx Hàm số y = ϕ(x, C) thỏa pt (*) với C đgl nghiệm tổng quát pt cho.Từ nghiệm tổng quát cho C = C0 suy y = ϕ(x, C0 ) đgl nghiệm riêng pt cho Nếu nghiệm tổng quát cho dạng hàm ẩn ϕ(x,y,C) = đgl tích phân tổng qt pt Cịn có nghiệm ϕ(x,y,C0) = đgl tích phân riêng 76 Các dạng phương trình vi phân cấp •Pt có biến phân ly •Pt tuyến tính cấp Pt ttính Pt ttính khơng 77 Phương trình có biến phân ly Dạng : f(x)dx = g(y)dy Cách giải: ∫ f(x)dx = ∫ g(x)dx Dạng : f1(x)g1(y)dx + f2(x)g2(y)dy = Cách giải : + Nếu g1(y)f2(x)≠ Chia vế pt (2) cho g1(y)f2(x), đưa dạng + Nếu g1(y)f2(x) = ⇒ g1(y) = hay f2(x) = ⇒ y = a or x = b nghiệm riêng pt cho Vd1 T 90 dy x a) = (y + 1) dx x + x ⇒ dy = (y + 1)dx x +1 dy xdx 1 2 = ⇒ arctgy = ln(x + 1) + C ⇒ y = tg ln(x + 1) + C y +1 x +1 2 78 b) Giải y’ = 3x2 (1) với đk ban đầu y x =1 =1 dy (1) ⇔ = 3x ⇒ dy = 3x dx ⇒ y = x + C ntquát dx Thay x = 1, y = ta có C = Vậy nriêng (1) y = x3 Vd T 90 + a) (1 + x)ydx + (1 - y)xdy = (1) 1+ x y −1 1 xy ≠ : (1) ⇔ dx = dy ⇔ ( + 1)dx = (1 − )dy x y x y 1 ⇒ ∫ ( + 1)dx = ∫ (1 − )dy ⇒ (ln x + x) = y − ln y + C x y ⇒ ln xy + x − y = C tích phân tquát (1) + xy = ⇒ x = v y = nriêng pt cho (1) 79 Vd T 90 c) xdx + (y+1)dy = thỏa (1)y(0) = x −(y + 1) (1) ⇔ xdx = −(y + 1)dy ⇒ = +C 2 ⇒ x + (y + 1) = 2C Vì y(0) = ⇒C = 2 tích phân tquát (1) tích phân riêng ⇒ x + ( y + 1)là =1 (1) 80 Phương trình tuyến tính cấp Dạng TQ: y' + p(x)y = q(x) (1), với p(x), q(x) hàm liên tục q(x) = 0: (1) đgl pt tuyến tính q(x) ≠ 0: (1) đgl pt tuyến tính khơng Cách giải: Bước : Giải y' + p(x)y = (2) + Nếu y ≠ ⇒NTQ (2) dy (2) ⇒ = −p(x)dx ⇒ ln y = − ∫ p(x)dx + ln C y ∫ y = Ce − p(x )dx + Ta có y = nghiệm riêng (2) ứng với C = 81 Pt y' + p(x)y = q(x) (1) y = Ce ∫ Cho C biến thiên, C = C(x) − p(x )dx Bước : Từ NTQ Tìm C(x) cho y thỏa (1) − ∫ p(x)dx dy − ∫ p(x)dx dC =e − Cp(x)e dx dx (1) ⇔ e ∫ − p(x)dx − ∫ p(x)dx − ∫ p(x)dx dC − Cp(x)e + Cp(x)e = q(x) dx p(x)dx ∫ ∫ p(x)dx dC = q(x)e dx ⇒ C = ∫ q(x)e dx + λ B : NTQ (1) y=e ∫ − p(x)dx p(x )dx ∫ ∫ q(x)e dx + λ 82 Có Vd trang 92 y '− y = x x p(x) = − x q(x) = x NTQ ∫ y=e − p( x )dx y=e =e ln x −2 − dx x ∫ p(x )dx ∫ ∫ q(x)e dx + λ ∫ ∫ x e −2 dx x dx + λ −2 ln x ∫x e dx + λ x = x ( ∫ x dx + λ ) = x ( + λ ) x 83 Phương trình vi phân cấp Pt vi phân cấp hai hệ thức f(x, y, y’, y”) = hay y”= f(x, y, y’)(*) VD: x2y" – xy' – 3y = Hàm số y = ϕ(x, C1,C2) thỏa pt (*) với C1,C2 đgl NTQ pt(*).Từ NTQ cho , C1 = C10 C2 = C20 y = ϕ ( x, C10 , C20đgl ) nghiệm riêng pt cho Nếu nghiệm tổng quát cho dạng hàm ẩn φ ( x, y, C1 , C2 ) =thì đgl tích phân tổng qt pt Cịn có nghiệm φ ( x, y, C10 , C20 ) = 0đgl TP riêng 84 ...Phương trình vi phân cấp1 Pt vi phân cấp một hệ thức f(x, y, y'') = y) hay hay y’= f(x, dy = f (x, y) (*) dx Hàm số y = ϕ(x, C)... Cịn có nghiệm ϕ(x,y,C0) = đgl tích phân riêng 76 Các dạng phương trình vi phân cấp •Pt có biến phân ly •Pt tuyến tính cấp Pt ttính Pt ttính khơng 77 Phương trình có biến phân ly Dạng : f(x)dx =... −2 ln x ∫x e dx + λ x = x ( ∫ x dx + λ ) = x ( + λ ) x 83 Phương trình vi phân cấp Pt vi phân cấp hai hệ thức f(x, y, y’, y”) = hay y”= f(x, y, y’)(*) VD: x2y" – xy'' – 3y = Hàm số y