Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 4 Chuỗi, cung cấp cho người học những kiến thức như: Chuỗi số và Chuỗi hàm. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung bài giảng!
Chương IV: Chuỗi • Chuỗi số • Chuỗi hàm 51 Chuỗi số •Định nghĩa: +∞ u1 + u2 + … u n + … = ∑ un n =1 gọi chuỗi số +∞ u ∑ ký hiệu: n n=1 +∞ 1 1 •Ví dụ: + + + … + … = ∑ n n =1 n 52 •Định nghĩa tổng chuỗi n S n = u1 + u2 + … un = ∑ uk n =1 Nếu lim S n = S n →+∞ n→+∞ chuỗi đgl hội tụ có tổng S Ngược lại ta nói chuỗi phân kỳ khơng có tổng 53 Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ +∞ Nếu u1 + u2 + … u n + … = lim u n = n →+∞ hội tụ u ∑ n n =1 Tương đương Nếu lim u n ≠ chuỗi cho phân kỳ n →+∞ +∞ n +1 Ví dụ ∑ phân kỳ n =1 n − n +1 lim = ≠0 Vì n →+∞ 2n − 54 Ví dụ a) 1 1 un = ∑ = + + + + ∑ 1.2 2.3 n(n + 1) n =1 n =1 n(n + 1) +∞ +∞ 1 = − n(n + 1) n n + Vì nên 1 1 Sn = ∑ = + + + = 1− 1.2 2.3 n(n + 1) n +1 k =1 k(k + 1) n S = lim Sn = lim 1 − = n →+∞ n →+∞ n + 1 Vậy chuỗi cho hội tụ có tổng 55 Ví dụ +∞ b) ∑ aq n −1 vớ i a ≠ ( chuỗi số nhân) n =1 q 0hai chuỗi cho có tính chất 59 Ví dụ : Xét hội tụ chuỗi sau 2n ∑ n =1 3n − +∞ 2n ∑ n n =1 (n + 1).3 +∞ Phân kỳ ∑ n =1 n +∞ 2n 2 3n − lim = n →+∞ n Phân kỳ 2n (n + 1)3n Hội tụ lim =2 n →+∞ n +∞ ∑ n n =1 Hội tụ 60 Tiêu chuẩn Cauchy +∞ ∑ un k = lim n n →+ ∞ n =1 un +∞ Nếu ≤ k < 1thì ∑hộiu tụ n n =1 >1 Nếu kthì +∞ ∑ pkỳ un n =1 Nếu k = 1chưa thể kết luận 61 Ví dụ : Xét hội tụ chuỗi sau ∑ n n =1 n n +∞ n ∑ 2n + Hội tụ n =1 +∞ 3n ∑ 2n + n =1 +∞ n Hội tụ Hội tụ ∑ n n = (ln n) +∞ Pkỳ 62 +∞ ∑u n n =1 Tiêu chuẩn dAlembert u n +1 k = lim n →+ ∞ u n +∞ Nếu ≤ k < 1thì ∑hộiu tụ n n =1 >1 Nếu kthì +∞ ∑ pkỳ un n =1 Nếu k = 1chưa thể kết luận 63 Ví dụ : Xét hội tụ chuỗi sau ∑ n =1 n! n ∑ n =1 n + Hội tụ +∞ n ∑ n =1 n +∞ +∞ Pkỳ Hội tụ ∑ n =1 n(n + 1) +∞ Pkỳ 64 Tiêu chuẩn Tích phân +∞ ∑u n u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ … f(x) giảm: n =1 f (1) = u1 ; f (2) = u2 ;… f (n) = un ;… +∞ Nếu ∫ +∞ ∑ hội tụ f(x)dx n n =1 +∞ Nếu hội u tụ ∫ +∞ pkỳ f(x)dx u ∑pkỳ n n =1 65 Ví dụ : Xét hội tụ chuỗi sau +∞ ∫ dx ht α > = α x pk α ≤ 1 ∑ n =1 n +∞ ∑ n =1 n +∞ ∑ n =1 n Pkỳ +∞ Htụ 66 Chuỗi đan dấu +∞ Chuỗi u1 + u2 + … u n + … = ∑u n đgl n =1 chuỗi đan dấu số hạng dương âm chuỗi xen kẻ Ví dụ +∞ (−1) ∑ n n =1 n +1 1 (−1) = − + − + + n chuỗi đan dấu n +1 + 67 Tiêu chuẩn hội tụ Leibnitz cho chuỗi đan dấu +∞ ∑ (-1) n+1 u n = u1 - u +u - u4 + (u n > 0, ∀n) n=1 Nếu {un }giảm ( un+1 < uvàn ) lim un =chuỗi n →+∞ đan dấu hội tụ (−1) ∑ n n =1 +∞ n +1 Ví dụ 1 (−1) = − + − + + n 1 hội tụ un = giảm n n +1 lim = n →+∞ n + 68 Chuỗi lũy thừa +∞ ∑a x n n n = a0 + a1 x + a2 x + + an x + n=0 đgl chuỗi lũy thừa +∞ n n x x x x Ví dụ ∑ = + x + + + + + n n =0 n chuỗi đan dấu với an = n 69 Kết định lý Abel +∞ ∑a x n n n = a0 + a1 x + a2 x + + an x + n=0 Nếu x0 điểm hội tụ chuỗi ( ) điểm thuộc − x0 ; x0đều điểm hội tụ Nếu x0 điểm phkỳ chuỗi điểm thuộc ( −∞; − x ) , ( x điểm phân kỳ chuỗi ; +∞ ) 70 Kết định lý Abel Tồn r (0 ≤ r ≤ +∞sao ) cho chuỗi lũy thừa hội tụ khoảng khoảng Tại ( −rvà; rpkỳ ) ( −∞; − r ) , ( r; +∞ ) x = ± rchuỗi hội tụ hay phkỳ r bán kính hội tụ (-r , r) khoảng htụ 71 Cách tìm bán kính hội tụ +∞ ∑a x n n n = a0 + a1 x + a2 x + + an x + n=0 an+1 = ρthì bán kính hội tụ Nếu nlim →+ ∞ a n chuỗi r= ρ n a =ρ lim Nếu n →+ ∞ n bán kính hội tụ chuỗi r= ρ= r = ∞ ρ ρ = ∞ r = 72 Tìm miền hội tụ chuỗi x x x x + x + + + + + = ∑ n n=0 n lim n →+∞ an +1 an ⇒ r =1 n +∞ n 1 = lim : =1 n →+∞ n + n Và (−1,1) Là khoảng hội tụ 73 x x x x + x + + + + + = ∑ n n=0 n Tại x =1 n +∞ n ta có chuỗi 1 1Pkỳ + + + + + + = + ∑ n n =1 n +∞ Tại x = −1 ta có chuỗi 1 (−1) Htụ − + − + − = + ∑ n n =1 +∞ n 74 ... + + n chuỗi đan dấu n +1 + 67 Tiêu chuẩn hội tụ Leibnitz cho chuỗi đan dấu +∞ ∑ (-1 ) n+1 u n = u1 - u +u - u4 + (u n > 0, ∀n) n=1 Nếu {un }giảm ( un+1 < uvàn ) lim un =chuỗi n →+∞ đan dấu hội... chuỗi sau ∑ n =1 n! n ∑ n =1 n + Hội tụ +∞ n ∑ n =1 n +∞ +∞ Pkỳ Hội tụ ∑ n =1 n(n + 1) +∞ Pkỳ 64 Tiêu chuẩn Tích phân +∞ ∑u n u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ … f(x) giảm: n =1 f (1) = u1 ; f (2) = u2 ;… f (n)... lim u n ≠ chuỗi cho phân kỳ n →+∞ +∞ n +1 Ví dụ ∑ phân kỳ n =1 n − n +1 lim = ≠0 Vì n →+∞ 2n − 54 Ví dụ a) 1 1 un = ∑ = + + + + ∑ 1.2 2.3 n(n + 1) n =1 n =1 n(n + 1) +∞ +∞ 1 = − n(n + 1) n n