Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 3 - Võ Duy Minh

Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 3 Tích phân, cung cấp cho người học những kiến thức như: Nguyên hàm và tích phân bất định; Tích phân xác định; Tích phân suy rộng. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chương III: TÍCH PHÂN • Ngun hàm tích phân bất định • Tích phân xác định • Tích phân suy rộng Nguyên hàm tích phân bất định Cho hàm số f(x) xác định (a; b) Hàm số F(x) đgl nguyên hàm f(x) (a; b) F'(x) = f(x) Nếu F(x)_ nguyên hàm hàm f(x) (a; b) F(x) + C nguyên hàm hàm f(x) [F(x) + C]' = F'(x) = f(x) Tập hợp tất nguyên hàm hàm f(x) (a; b) gọi tích phân bất định hàm f(x) (a; b), KH ; f(x) : hàm số dấu tích phân, f(x)dx : biểu thức f(x)dx ∫ dấu tích phân ∫ f(x)dx = F(x) + C ⇔ F '(x) = f(x) Tích phân số hàm sơ cấp ( ∫ f(x)dx ) / = f(x) ∫ [ Af(x) + Bg(x)] dx = A ∫ f(x)dx + B∫ g(x)dx ∫ 0dx = C ∫ 1dx = ∫ dx = x + C dx ∫ x = ln x + C n +1 ∫ x dx = n + x + C n x a ∫ a dx = ln a + C x Tích phân số hàm sơ cấp ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx = − cos x + C dx ∫ (1 + tg x)dx = ∫ cos2 x = tgx + C dx ∫ (1 + cot g x)dx = ∫ sin2 x = − cot gx + C dx ∫ + x2 = arctgx + C = −arccotgx + C dx x ∫ a2 + x2 = a arctg a + C Tích phân số hàm sơ cấp dx x−a ∫ x2 − a2 = 2a ln x + a + C dx a+x ∫ a2 − x2 = 2a ln a − x + C ∫ dx − x2 ∫ = arcsin x + C = − arccosx + C dx x = arcsin + C a a2 − x ∫ dx x2 ± a = ln x + x ± a + C Phương pháp tính tích phân PP đổi biến Nếu hàm số x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục có hàm ngược t = ϕ-1(x) −1   f(x)dx = f ϕ (t) ϕ '(t)dt = F(t) + C = F ϕ (x) + C ∫ ∫ [ ]   VD I=∫ dx 1+ x Đặt t = ⇒ x x= t2 ⇒ dx = 2tdt tdt   I = 2∫ = 2∫ 1 − dt 1+ t  1+ t  = 2(t − ln(1 + t)) + C =  x − ln(1 + x ) + C Phương pháp tính tích phân PP đổi biến dx I=∫ sin x VD Cách Đặt t = 2t s inx = 1+ t x ⇒ x = 2arctgt ⇒ dx = tg 2dt + t2 dt x I = ∫ = ln t + C = ln tg + C t Cách dx sin xdx d(cos x) 1 + cos x I=∫ C =∫ =∫ = ln 2 sin x sin x − cos x − cos x PP tích phân phần udv = uv − vdu ∫ ∫ (1)Tính tích phân dạng I = ∫ P(x)e dx; J = ∫ P(x)sin axdx; K = ∫ P(x)cosaxdx ax Đặt u = P(x) với P(x) đa thức (2) Tính L = kx ; α ≠ −1, đặt u = ln ∫ x ln xdx α k (3) Tính M = ∫ P(x)(arcsin x) dx; N = ∫ P(x)(arctgx) dx n n Đặt u = arcsinx hay u = arctgx PP tích phân phần udv = uv − vdu ∫ ∫ Tính tích phân sau: I = ∫ xe dx K = ∫ x arctgxdx J = ∫ x e dx 2x 2x ln x L = ∫ dx x Tích phân phân thức đơn giản ln x − a + C n = dx  ∫ (x − a)n =   (1 − n)(x − a)n −1 + C n >  −4 dx (x − 1) −1 −3 VD ∫ = ∫ (x − 1) d(x − 1) = +C= +C −4 (x − 1) 4(x − 1) xdx d(x − 1) VD ∫ = ∫ = ln x − + C x −1 x −1 dx x ∫ a2 + x2 = a arctg a + C dx x −a ∫ x − a = 2a ln x + a 10 Ví dụ tích phân suy rộng(Loại I) I= +∞ ∫ dx  1 =− = lim  −  + = x →+∞ x x1  x +∞ dx π  π +∞ J= ∫ = arctgx −∞ = lim arctgx − lim arctgx = −  −  = π x→+∞ x →−∞  2 + x −∞ +∞ xdx 1 +∞ K= ∫ = ln(1 + x ) = lim ln(1 + x ) = +∞ x →+∞ 2 + x +∞ Vậy I, J hội tụ K phân kỳ 36 Các tiêu chuẩn hội tụ choTPSR (Loại I) a Trường hợp hàm không âm • Tiêu chuẩn so sánh Giả sử hai hàm f(x), g(x) hai hàm số khả tích khoảng hữu hạn [a; b], (a ≤ b) ≤ f(x) ≤ g(x) với x ∈ [a; +∞) Khi : +∞ Nếu ∫ g(x)dxhội tụ ta nói a Nếu +∞ +∞ hội tụ f (x)dx ∫ a phân kỳ ta nói f (x)dx ∫ a +∞ phân kỳ ∫ g(x)dx a 37 Các tiêu chuẩn hội tụ choTPSR (Loại I) a Trường hợp hàm khơng âm • Tiêu chuẩn so sánh Cho f g hai hàm số dương khả tích [a; +∞) f(x) =k Nếu lim x →+∞ g(x) +∞ +∞ ∫ g(x)dxhội tụ ⇒ hội tụ ∫ f (x)dx a a Nếu k = từ Nếu < k < +∞ +∞ +∞ a a g(x)dx ∫ +∞ Nếu k = +∞ từ ∫ g(x)dxpkỳ ⇒ a có t.chất f (x)dx ∫ +∞ pkỳ f (x)dx ∫ a 38 VD: Xét hội tụ +∞ ∫ • α = 1: dx +∞ = ln x = lim ln x = +∞ x →+∞ x I= •α 1: I=− = α−1 (α − 1)x α −1 +∞ ∫ I hội tụ  α > (hộ i tụ ) dx  = α −1 α x +∞ α ≤ (phaâ n kyø ) 39 VD: Xét hội tụ I= +∞ − x2 ∫xe dx ta so sánh g(x) = x x f(x) = x 4e −và f(x) x k = lim = lim x2 = ⋯ = x →+∞ g(x) x →+∞ e Ta có Vậy I hội tụ 40 Các tiêu chuẩn hội tụ choTPSR (Loại I) b Trường hợp hàm có dấu tùy ý +∞ Nếu ∫ f(x) dx hội tụ ta nói a +∞ hội tụ ∫ f(x)dx a gọi hội tụ tuyệt đối Xét hội tụ I= f(x) = (x + 1)e − x sin x +∞ −x (x + 1)e sin xdx ∫ f(x) = (x + 1)e− x sin x ≤ (x + 1)e− x = h(x) Ta so sánh với hàm g(x) = x h(x) x (x + 1) k = lim = lim =0 x x →+∞ g(x) x →+∞ e I hội tụ tuyệt đối 41 Tích phân suy rộng(loại II) – Hàm f(x) không bị chặn [a;b] Hàm f(x) khả tích đoạn [a; b−ε] (0 < ε < b−a) không bị chặn [b−ε; b] Ta định nghĩa b I = ∫ f(x)dx = lim a ε→ b −ε ∫ f(x)dx a Tích phân hội tụ giới hạn vế phải hữu hạn, ngược lại gọi phân kỳ 42 Tích phân suy rộng(loại II) – Hàm f(x) khơng bị chặn [a;b] Hàm f(x) bị chặn khả tích đoạn [a+ε; b] không bị chặn [a; a+ε] Ta định nghĩa b I = ∫ f(x)dx = lim a ε→ b ∫ f(x)dx a +ε Tích phân hội tụ giới hạn vế phải hữu hạn, ngược lại gọi phân kỳ 43 Tích phân suy rộng loại II – Hàm f(x) không bị chặn [a;b] Giả sử f(x) không bị chặn c, a < c < b Khi ta định nghĩa b c b a a c I = ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx Tích phân vế phải hội tụ hai tích phân vế trái hội tụ 44 VD TPSR loại II ∫ ∫ dx 1− x = lim ε→ 1−ε ∫ dx π = lim arcsin(1 − ε) = − x ε→0 dx = = x ∫ ln xdx = = −1 0 ∫ −1 dx π = = − x2 45 Các tiêu chuẩn hội tụ choTPSR (Loại II) a Trường hợp hàm khơng âm • Tiêu chuẩn so sánh Giả sử hai hàm f(x), g(x) hai hàm số không âm,liên tục (a; b] với a điểm bất thường cho ≤ f(x) ≤ g(x) với x ∈ [a; c) ; (a< c < b), Khi : b Nếu ∫ g(x)dxhội tụ ta nói a Nếu b b hội tụ f (x)dx ∫ a phân kỳ ta nói f (x)dx ∫ a b phân kỳ ∫ g(x)dx a 46 Các tiêu chuẩn hội tụ choTPSR (Loại II) • Tiêu chuẩn so sánh Cho f g hai hàm số dương, khả tích (a; b] với a điểm bất thường f(x) Nếu lim+ =k x →a g(x) b b Nếu k = từ ∫ g(x)dxhội tụ ⇒ hội tụ ∫ f (x)dx a a b Nếu < k < +∞ g(x)dx ∫ a b Nếu k = +∞ từ b có t.chất f (x)dx ∫ a b ∫ g(x)dxpkỳ ⇒ pkỳ f (x)dx ∫ a a 47 VD: Xét hội tụ • α = 1: dx I=∫ = ln x = − lim ln x = +∞ x→0+ x dx I=∫ α x I phân kỳ •α > 1: I = − 1 1 =− + lim = +∞ α−1 α−1 x → + (α − 1)x α −1 (α − 1)x • α < : I = x −α dx = x1−α = 1 − lim x1−α  = ∫0  1− α 1− α − α  x→0+ ∞ α ≥ (phâ n kỳ ) dx  ∫0 xα =  α < (hội tụ ) 1 − α I hội tụ 48 x I=∫ dx sin x VD: Xét hội tụ ta so sánh Ta có xvà f(x) = sin x g(x) = x f(x) k = lim =1 x → + g(x) Vậy I hội tụ 49 Các tiêu chuẩn hội tụ choTPSR (Loại II) b Trường hợp hàm có dấu tùy ý b Nếu ∫ f(x)dxhội tụ ∫ f(x) dx hội tụ ta nói a a gọi hội tụ tuyệt đối Xét hội tụ I= +∞ ∫x Xét I1 Ta so sánh hàm f(x) =1 x → g(x) k = lim sin x x b dx sin x I=∫ dx + x x +∞ ∫ sin x dx = I1 + I x x g(x) = >0 x sin x f(x) = x x I1 hội tụ Xét I2 Ta so sánh hàm I2 hội tụ tuyệt đối f(x) = sin x x x ≤ x 3/ = h(x) I hội tụ tuyệt đối 50 ... J=∫ =∫ dx −3x + 4x − =∫ dx 1  ? ?3  x − x +  3? ??  =∫ 2  d x −  3? ??    1 ? ?3  x −  −     2  d x −  3? ??  x − (2 / 3) = arcsin +C= arcsin(3x − 2) + C 1/ 3 1  2  3? ?? −  x... cong thành n hình thang cong nhỏ với đáy ∆xi = xi - xi-1 Với ∆xi đủ nhỏ ta xem giá trị f đoạn [xi-1 , xi ] giá trị f điểm ξi thuộc [xi-1 ,xi ] 20 Bài tốn diện tích hình thang cong Diện tích hình... dx = 6t5dt I=∫ dx Đặt x = t x(1 + x ) ? ?3 t6 + t4 + t t5 + t3 + 1  I=∫ 6t dt = dt = t + dt = t + 6arctgt + C  2  ∫ ∫ t (1 + t ) (1 + t ) (1 + t )   33 I= x + 6arctg x + C 15 Tích phân hàm