Bài giảng Toán cao cấp A1 – Chương 1: Ma trận – Định thức

Bài giảng Toán cao cấp A1 – Chương 1: Ma trận – Định thức cung cấp những kiến thức, các định nghĩa; các phép toán trên ma trận; phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận (Gauss – Jordan); ma trận bậc thang; dạng tam giác.

TỐN CAO CẤP B1 (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH) PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Số tiết: 45 ➢ Chương Ma trận – Định thức §1 Ma trận §2 Định thức ………………………………………………… §1 MA TRẬN (Matrix) 1.1 Các định nghĩa a) Định nghĩa ma trận • Ma trận A cấp m n hệ thống gồm m n số aij (i 1, m; j 1, n ) thành bảng gồm m dòng n cột: ➢ Chương Ma trận – Định thức A a11 a12 a21 a22 am am a1n a2n amn • Các số aij gọi phần tử A dòng thứ i cột thứ j • Cặp số (m, n ) gọi kích thước A • Khi m 1, ta gọi: A (a11 a12 a1n ) ma trận dịng • Khi n • Khi m ➢ Chương Ma trận – Định thức 1, ta gọi A a11 ma trận cột am n 1, ta gọi: A (a11 ) ma trận gồm phần tử • Ma trận O (0ij )m n có tất phần tử gọi ma trận không • Tập hợp ma trận A ký hiệu M m,n ( ) , gọn ta viết A  (aij )mn ➢ Chương Ma trận – Định thức • Ma trận vng ▪ Khi m n , ta gọi A ma trận vuông cấp n Ký hiệu A (aij )n ▪ Đường chéo chứa phần tử a11, a22, , ann gọi đường chéo A (aij )n , đường chéo lại gọi đường chéo phụ 6 ➢ Chương Ma trận – Định thức • Các ma trận vng đặc biệt ▪ Ma trận vng có tất phần tử nằm ngồi đường chéo gọi ma trận chéo (diagonal matrix) Ký hiệu: diag(a11, a22, , ann ) ▪ Ma trận chéo cấp n gồm tất phần tử đường chéo gọi I ma trận đơn vị cấp n (Identity matrix) Ký hiệu là: I n 0 0 0 0 0 ➢ Chương Ma trận – Định thức ▪ Ma trận ma trận vuông cấp n có tất phần tử nằm phía (trên) đường chéo gọi ma trận tam giác (dưới) A 0 B ▪ Ma trận vuông cấp n có tất cặp phần tử đối xứng qua đường chéo (aij a ji ) gọi ma trận đối xứng 0 1 4 1 ➢ Chương Ma trận – Định thức b) Ma trận Hai ma trận A (aij ) B (bij ) gọi nhau, ký hiệu A B , chúng kích thước aij bij , i, j x y B z t VD Cho A Ta có: A B x 0; y 1; z u 2; u 2; t ➢ Chương Ma trận – Định thức 1.2 Các phép toán ma trận a) Phép cộng trừ hai ma trận Cho hai ma trận A (aij )m n B A B (aij (bij )m n , ta có: bij )m n VD 2 1 1 3 ; Nhận xét Phép cộng ma trận có tính giao hốn kết hợp ➢ Chương Ma trận – Định thức b) Phép nhân vô hướng Cho ma trận A (aij )m A VD 3 1 n , ta có: ( aij )m n 4 ; 12 2 Chú ý • Phép nhân vơ hướng có tính phân phối phép cộng ma trận A gọi ma trận đối A • Ma trận 1.A ➢ Chương Ma trận – Định thức x VD 18 Phương trình là: A x 1; B x x x 0 x 0 x 1; C x Giải Chuyển vị định thức, ta được: x x Phương trình x x (x 1)(x có nghiệm x 1; D x 4) A ➢ Chương Ma trận – Định thức 2.4 Ứng dụng định thức tìm ma trận nghịch đảo a) Định lý Ma trận vuông A khả nghịch khi: det A VD 19 Giá trị tham số m để ma trận A m m m T m m 1 m2 khả nghịch là: m A m ; m B m ; C m 0; D m ➢ Chương Ma trận – Định thức Giải Ta có: det A m m m m m 1 m Vậy A khả nghịch det A m (m m m 1)2 B ➢ Chương Ma trận – Định thức –1 b) Thuật tốn tìm A • Bước Tính detA Nếu det A kết luận A khơng khả nghịch Ngược lại, ta làm tiếp bước • Bước Lập ma trận Aij n i j , Aij ( 1) det M ij Suy ma trận phụ hợp (adjunct matrix) A là: adjA Aij T n • Bước Ma trận nghịch đảo A là: 1 A adjA det A ➢ Chương Ma trận – Định thức VD 20 Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của: A 1 Giải Ta có: det A VD 21 Cho ma trận A Giải Ta có: det A A khơng khả nghịch 1 Tìm A 1 A khả nghịch ➢ Chương Ma trận – Định thức A11 1 A31 1, A12 2 A21 1 adjA 1 1 4, A22 1, A32 1 1, A13 2, A23 1 1 1 A 1 1, A33 1 1 1 2 1, 0, 1 1 ➢ Chương Ma trận – Định thức 2.5 Hạng ma trận a) Định thức cấp k Cho ma trận A Định thức ma trận aij m n cấp k A gọi định thức cấp k A Định lý Nếu ma trận A có tất định thức cấp k định thức cấp k b) Hạng ma trận (rank of matrix) Cấp cao định thức khác ma trận A gọi hạng ma trận A Ký hiệu r (A) ➢ Chương Ma trận – Định thức Chú ý • Nếu A aij m n khác r (A) min{m, n} • Nếu A ma trận khơng ta quy ước r (A) c) Thuật tốn tìm hạng ma trận • Bước Đưa ma trận cần tìm hạng bậc thang • Bước Số dịng khác ma trận bậc thang hạng ma trận cho • Đặc biệt Nếu A ma vng cấp n thì: r (A) n det A ➢ Chương Ma trận – Định thức VD 22 Điều kiện tham số m để ma trận m A có hạng là: 1 A m 1; B m 1; C m 1; D m Giải Ta có: r (A) det A m 1 D ➢ Chương Ma trận – Định thức VD 23 Cho A Tìm r (A) d2 d3 Giải Biến đổi A d3 d3 d2 0 d2 2d1 d3 3d1 0 0 1 r (A) 7 ➢ Chương Ma trận – Định thức VD 24 Cho A Giải Biến đổi: 1 A 0 0 Vậy r (A) 0 1 1 0 Tìm r (A) 0 1 0 ➢ Chương Ma trận – Định thức Chú ý Ta hốn vị cột ma trận đưa bậc thang VD 25 Giá trị tham số m để ma trận m 1 A m có r (A) là: 2m m A m Giải A 1 ; B m c1 c3 1; C m m m 2 2m m ; D m 1 ➢ Chương Ma trận – Định thức A •m 1: A •m A 2: 0 0 Vậy, ta chọn A d3 d3 d1 3 0 3 m m 2 0 m r (A) 0 0 2 r (A) ➢ Chương Ma trận – Định thức VD 26 Tùy theo giá trị m , tìm hạng ma trận: 1 m 1 1 A m 1 2 1 Giải Biến đổi: A c1 c5 c2 c4 1 1 1 1 1 2 m m 1 ➢ Chương Ma trận – Định thức d2 d3 d4 d3 d4 •m •m d2 d1 d3 d1 d4 d1 d3 d2 d4 d3 0 0 2 0 2 m 1 m 2 2 m m 1 m m m 1 : r (A) : r (A)……………………………………………………………… ... 42 1 ➢ Chương Ma trận – Định thức Nhận xét Phép nhân ma trận khơng có tính giao hoán ➢ Chương Ma trận – Định thức ▪ Lũy thừa ma trận Cho ma trận vuông A M n ( ) • Lũy thừa ma trận A định nghĩa... 1, p ( 12) ➢ Chương Ma trận – Định thức VD Thực phép nhân Giải 1 0 1 1 ➢ Chương Ma trận – Định thức 1 VD Tính 1 Giải 3 1 1 3 ➢ Chương Ma trận – Định thức Tính chất Cho ma trận A, B,C M m,n...➢ Chương Ma trận – Định thức §1 Ma trận §2 Định thức ………………………………………………… §1 MA TRẬN (Matrix) 1.1 Các định nghĩa a) Định nghĩa ma trận • Ma trận A cấp m n hệ thống gồm m n