Một hàm số f xác định trên một tập hợp là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số với một số thực y xác định duy nhất. D : tập xác định (TXĐ) của hàm số f.[r]
(1)14/09/2018
LOG O
TOÁN CAO CẤP C1
GV Phan Trung Hiếu
45 tiết
2
Kiểm tra, đánh giá kết quả: -Điểm chuyên cần (hệ số 0.1):
Dự lớp đầy đủ: 10 điểm
Vắng ngày trễ ngày: trừ điểm
Chỉ vắng ngày có phép -Bài kiểm tra kì (hệ số 0.3):
Tự luận, không sử dụng tài liệu. -Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6):
Tự luận, không sử dụng tài liệu.
Điểm cộng, trừ tập:
3
-Điểm cộng vào kiểm kỳ: 1 lần xung phong lên bảng làm 1 câu:+0,5 điểm (nếu làm sai khơng trừ điểm).
Chỉ cộng tối đa điểm.
Điểm cộng, trừ tập:
4
-Điểm trừ vào kiểm kỳ:
Khi SV +2 điểm mà tự ý lên làm bài: -0,5 điểm/lần
Khi khơng có SV xung phong lên làm GV gọi SV lên làm theo danh sách thứ tự từ xuống:
-Nếu SV làm +0,5 điểm/lần, -Nếu làm sai khơng biết làm -0,5 điểm/lần
Trang web mơn học:
5
https://sites.google.com/site/sgupth
SV download tài liệu, xem điểm cộng, trừ hàng tuần, điểm trình trang web sau:
6
Nội dung:
Chương 1: Hàm số biến số. Chương 2: Hàm số liên tục.
Chương 3: Đạo hàm vi phân hàm
một biến.
Chương 4: Tích phân. Chương 5: Hàm nhiều biến. Chương 6: Phương trình vi phân.
(2)14/09/2018
7
Tài liệu học tập:
[1] Bài giảng lớp
[2] Lê Văn Hốt, Tốn cao cấp (Phần 2: Giải tích), Trường ĐH Kinh tế Tp HCM, NXB Giáo dục
7
Dụng cụ hỗ trợ học tập:
Máy tính FX 500MS, FX 570MS, FX 570ES, FX 570ES Plus.
8
LOG O
Chương 1:
Hàm số biến số GV Phan Trung Hiếu
§1 Các khái niệm hàm số biến số §2 Giới hạn hàm số
§3 Phương pháp tính giới hạn hàm số
10
§1 Các khái niệm về hàm số biến số
I Biến số:
Biến sốlà ký hiệu mà ta gán cho số thuộc tập số cho trước
Tập hợp Xđược gọi miền biến thiên (MBT) số thực gọi mộtgiá trịcủa biến số
Các biến số thường ký hiệu chữ cái: x,y,z, …
X (X)
0
x X
Các biến số kinh tế:
Ký hiệu
Ý nghĩa
Tiếng Anh
Ký hiệu
Ý
nghĩa Tiếng Anh
(pi)
Lợi
nhuận Profit P
Đơn
giá Price
C Chi phí Cost Q Sảnlượng Quantity D Cầu Demand QD Lượngcầu Quantity Demanded R Doanhthu Revenue QS Lượngcung Quantity Supplied
S Cung Supply T Thuế Tax
(3)14/09/2018
II Hàm số:
13
2.1 Định nghĩa:
Một hàm số fxác định tập hợp quy tắc đặt tương ứng số với số thựcyxác định
D:tập xác định(TXĐ) hàm sốf. x:biến độc lập(biến số)
y:biến phụ thuộc(hàm) f(x):giá trị hàm số f x.
:
( )
f D
x y f x
D
x D
( ) { ( ), }:
f D y y f x x D Tập giá trị(TGT) hàm số f.
14
( , ( )) :
G x f x x D Đồ thị của hàm số f.
Chú ý:Hình chiếu đồ thị lên trục hồnh TXĐ, hình chiếu đồ thị lên trục tung TGT
15
Ví dụ 2.1: Đồ thị cho thấy mức tiêu thụ điện ngày vào tháng San Francisco (P được tính MW, t được tính giờ, bắt đầu vào lúc nửa đêm)
a)Mức tiêu thụ điện vào lúc 6h sáng 6h tối bao nhiêu?
b) Hãy cho biết tập xác định tập giá trị hàm số P(t)
c) Mức tiêu thụ điện thấp nhất? Cao nhất? Thời gian có hợp lý khơng?
16
1.2 Các phương pháp biểu diễn hàm số:
Biểu diễn hàm số biểu thức:
Ví dụ 2.2:Tổng chi phí sản xuấtxđơn vị sản phẩm cho bởi
Tìm chi phí sản xuất 100 đơn vị sản phẩm.
( ) 100 500
C x x x
17
Sản lượng Q
(kg) 1000 1100 1200 1300 1400
Lợi nhuận
(triệu đồng) 25 27 28 31 27
a) Tìm lợi nhuận sản lượng 1100kg
b) Tìm sản lượng cho lợi nhuận 27 triệu đồng
Biểu diễn hàm số dạng bảng số liệu: Ví dụ 2.3:Một doanh nghiệp muốn biết lợi nhuận có quan hệ với sản lượng nên lập bảng theo dõi có kết sau
18 Hàm số xác định khúc:
(4)14/09/2018
19
Ví dụ 2.4: Một hãng cho thuê xe ô tô với giá 3ngàn/kmnếu quãng đường chạy xe không 100 km Nếu quãng đường chạy xe vượt q 100kmthì ngồi số tiền phải trả cho 100 km đầu phải trả thêm 1,5ngàn/km Gọixlà sốkmxe thuê chạy C(x) chi phí thuê xe
a) Viết hàm sốC(x)
b) Tính chi phí thuê xe xe thuê chạy 50km
c) Tính chi phí thuê xe xe thuê chạy 150km
d) Vẽ đồ thị hàm sốC(x)
III Các hàm số bản:
20 Hàm lũy thừa: yx (). Hàm mũ: yax (0a1).
Hàm logarit:ylogax(0a1).
Hàm lượng giác:
sin , cos , tan , cot
y x y x y x y x
Hàm lượng giác ngược:
arcsin , arccos , arctan , arccot
y x y x y x y x
Hàm hằng:yC.
3.1 Các hàm số sơ cấp bản:
21
Chú ý:
sin(arcsin )x x ( 1 x 1).
arcsin(sin )x x x
cos(arccos )x x ( 1 x1).
arccos(cos )x x (0x)
tan(arctan )x x (x).
arctan(tan )x x x
cot(arc cot )x x (x).
arc cot(cot )x x (0x)
22
3.2 Các hàm số sơ cấp:là hàm số tạo
thành số hữu hạn phép toán cộng, trừ, nhân, chia hàm số sơ cấp
Ví dụ 3.1: Trong kinh tế học, ta thường gặp dạng hàm số sơ cấp sau
1
1 0.
n n
n n
ya x a x a Hàm đa thức (hàm nguyên):
Hàm phân thức (hàm hữu tỷ): ( )
( ) P x y
Q x P(x) Q(x) đa thức
3.3 Hàm hợp: Giả sử y=f(u) hàm số của biến số u, đồng thờiu=g(x) hàm số biến sốx. Khi đó,y=f(u)=f(g(x)) làhàm số hợp của biến số x thông qua biến số trung gian u. Ký hiệu
(f g x)( ) f g x( )
Ví dụ 3.2: Cho hàm số
Tìm và
2
( ) , ( ) 3.
f x x g x x
f g g f.
3.4 Hàm ngược:Cho hàm sốy=f(x) có TXĐ làX
và TGT làY.Nếu với giá trị chỉtồn duy nhấtmột giá trị cho , nghĩa pt có nghiệm tậpX từ hệ thứcy = f(x) ta xác định hệ thức tính đượcxtheoy, ký hiệu
0
y Y
0
x X f x( )0 y0
0
( ) f x y
1( ).
x f y
Khi hàm số gọi làhàm
ngượccủa hàm số
1( ),
x f y y Y ( ), y f x xX
Ví dụ 3.3:
a) Hàm số có hàm ngược b) Hàm số khơng có hàm ngược
2
yx x y
2
(5)14/09/2018
25
Ví dụ 3.4: Lượng cầuD của mặt hàng phụ thuộc vào giáPtrên đơn vị sản phẩm cho
NếuD= 10 thìPbằng bao nhiêu?
1
3
30 D
P
26
3.5 Một số hàm số biến số kinh tế:
Hàm sản xuất:Q f L( ), Q: sản lượng, L: lao động
Hàm doanh thu:RR Q( )
Hàm chi phí:CC Q( )
Hàm lợi nhuận:( ).Q Hàm cung:QsS P( )
Hàm cầu:QDD P( )
27
§2 Giới hạn hàm số
I Định nghĩa giới hạn hàm số:
28
Ví dụ 1.1: Xét hàm số giá trị
củax gần Bảng đây, cho thấy giá trị hàmf(x) xtiến dần không
2
( ) 2
f x x x
29
Định nghĩa 2.1.Cho hàm sốf(x) xác định tập Dvà Ta nói hàm sốf(x) có giới hạn làLkhi ký hiệu
Với điều kiện ta làm cho giá trị củaf(x) gầnL,và giữ chúng nằm gần đó, cách lấyxđủ gần khơng
Ngồi ra, ta cịn ký hiệu
đọc làf(x) tiến dần vềLkhixtiến dần
x D x0D.
0
xx
0
lim ( )
xx f x L
( )
f x L xx0
x x0
0 x
30 Ví dụ 1.2:Dự đốn giá trị
2
1 ) lim
1
x
x a
x
4
) lim
x
(6)14/09/2018
31
Định nghĩa 2.2 (Giới hạn phía):
▪Nếuf(x) có giới hạn làLkhi và thì ta nóif(x) có giới hạn bên phảitại x0 Ký hiệu
▪Nếuf(x) có giới hạn làLkhi và thì ta nói f(x) có giới hạn bên trái tại x0 Ký hiệu
0
xx xx0
0
lim ( ) .
xx f x L
xx xx0
0
lim ( ) .
x x
f x L
Định lý 2.3: Giới hạn hàm số (nếu có) nhất
32 Chú ý:
0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( ) .
x x x x x x
f x L f x f x L
và và
0 0.
xx xx
0
xx xx xx0.
0
xx xx xx0.
0
0
1
2
1
lim ( )
lim ( ) lim ( )
x x
x x x x
f x L
f x L f x
L L
không tồn tại.
33
Định nghĩa 2.4 (Giới hạn vô cùng):
▪Nếuf(x) tăng mà khơng bị chặn khi thì
▪Nếuf(x) giảm mà khơng bị chặn khi thì
0
xx
0
lim ( )
x x f x
0
xx
0
lim ( )
x x f x Ví dụ 1.3:
2 lim x x 34
Định nghĩa 2.5 (Giới hạn vô cùng):
▪Nếu f(x) có giới hạn làLkhix tăng khơng bị chặn với giá trị dương thì
▪Nếuf(x) có giới hạn làLkhixgiảm không bị chặn với giá trị âm thì
lim ( )
x f x L
lim ( )
x f x
lim ( )
x f x
lim ( )
x f x L Ví dụ 1.4:
▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn khi x tăng không bị chặn với giá trị dương thì
▪Nếu f(x) giảm mà không bị chặn khix giảm không bị chặn với giá trị âm thì
lim ( )
x f x
lim ( )
x f x Ví dụ 1.5:
nlẻ: lim n x x lim n x x
▪Nếuf(x) giảm mà không bị chặn khix tăng không bị chặn với giá trị dương thì
▪Nếu f(x) tăng mà không bị chặn khi x giảm không bị chặn với giá trị âm thì
lim ( )
x f x
lim ( )
x f x Ví dụ 1.6:
(7)14/09/2018
II Giới hạn hàm số sơ cấp bản:
37
2.1 Giới hạn điểm thuộc TXĐ:
Giới hạn hàm số sơ cấp điểm thuộc TXĐ tính theo cơng thức
x
0
0 lim ( ) ( )
x x f x f x
Ví dụ 2.1: Tính giới hạn sau
1
) lim( 2)
x
a x x
0 sin ) lim
cos x x b x ) lim
x c x 38 Ví dụ 2.2: Cho
2
1 1,
( )
2,
x x f x x Tìm 1
lim ( ), lim ( ), lim ( ).
x x f x x f x f x
Ví dụ 2.3: Tìmmđể hàm số sau có giới hạn khi x2
2
2
1
( )
2
x mx x
f x
x x x
V Một số kết giới hạn cần nhớ:
39
Xem Bảng 1.
2.2 Một số kết giới hạn hàm sơ cấp
cơ bản: III Một số định lý giới hạn hàm số:
40
0
lim ( )
xxkk k ĐL 3.1:
ĐL 3.2: Giả sử
Khi đó: 0
lim ( ) , lim ( )
xx f x A xx g x B
0
) lim ( ) ( )
x x
ii f x g x A B
0
) lim ( ) ( )
x x
iii f x g x A B
0
( )
) lim ( 0) ( )
x x
f x A
iv B
g x B
0
) lim ( ) lim ( ) ( )
x x x x
i k f x k f x k
( )
) lim ( )g x B (0 1)
x x
v f x A A
41
Nếu
thì
0
) lim ( ) 0 lim ( ) 0.
x x x x
i f x f x
) ii 0 0 ( ) ( ) ( ), ( , ),
lim ( ) lim ( )
x x x x
g x f x h x x x x g x h x L
lim ( ) .
xx f x L
ĐL 3.3:
42 Ví dụ 3.3: Cho hàm sốf(x) thỏa
2
4x 9 f x( )x 4x7,x0 Tìm
4 lim ( )
x f x
Ví dụ 3.2: Cho tìm
0 ( ) lim 1, x f x
x lim ( ).x0 f x
Ví dụ 3.4: Tính
1
lim( 1)sin
x x x
Ví dụ 3.1: Cho tìm
4
( )
lim 1, x f x