Bài giảng toán cao cấp c1

Chương : GIỚI HẠN – LIÊN TỤC 1.1 GIỚI HẠN : 1.1.1 Hàm số : Định nghĩa : Cho X ⊂ R, ánh xạ f : X Æ R gọi hàm số biến số thực f:XÆR x a y = f(x) • X : miền xác định • f(X) ⊂ Y : miền giá trị • x : biến số hay đối số • y = f(x) giá trị hàm số f x Ví dụ : • Cho hàm số : f: X Æ R x2 − x−2 Miền xác định : X = R \ {2 } • Cho hàm số f(x) = | x | Miền xác định : X = R Hàm số viết thành : ⎧ x x ≥ f(x) = ⎨ ⎩− x x < x ay= Đồ thị hàm số : Đồ thị hàm số f : X Æ R tập hợp : C = {M(x,f(x)) / x ∈ X } mặt phẳng Oxy 1.1.2 Giới hạn hàm số : Bổ sung : • Khoảng : (a,b) = {x ∈ R/ a < x < b} • Đoạn : [a,b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} • Nửa khoảng ( hay nửa đoạn ) • (a,b] = {x ∈ R / a < x ≤ b} • Lân cận : Cho xo ∈ R α > 0, khoảng ( xo- α , xo + α ) gọi lân cận xo (lân cận tâm xo, bán kính α ) Vậy x thuộc lân cận xo ⇔ xo - α < x < xo+ α ⇔ - α < x –xo < α ⇔ ⎟ x-xo ⎥ < α Trang 1 Định nghĩa : Cho hàm số f(x) xác định lân cận xo Số L gọi giới hạn hàm số f(x) x tiến đến xo với ε > cho trước nhỏ tuỳ ý, luôn tồn số δ >0 cho : 0< ⎥ x-xo⎟ < δ ⇒ ⎟ f(x) -L⎥ < ε Ký hiệu lim f ( x) = L x → x0 Ví dụ : Vd : Dùng định nghĩa để chứng minh lim(4 x + 3) = x →1 Vd : Hàm số f : X Æ R x2 − x−2 Tìm miền xác định f chứng minh lim f ( x) = x ay= x→2 Các tính chất giới hạn : • Nếu hàm số f(x) g(x) có giới hạn x Æ xo tổng, hiệu , tích, thương chúng có giới hạn x Æ xo : lim [ f(x) ± g(x) ] = lim f(x) ± lim g(x) x → xo x → xo x → xo lim [ f(x) g(x) ] = lim f(x) lim g(x) x → xo lim x → xo x → xo x → xo lim f ( x) f ( x) x → xo = g ( x) lim g ( x) ( lim g(x) ≠ 0) x → xo x → xo • Nếu f(x) ≤ g(x) với x thuộc lân cận x o lim f(x) ≤ lim g(x) x → xo x → xo • Nếu f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) với x thuộc lân cận xo lim f(x) = lim h(x) = L lim g(x) = L x → xo x → xo x → xo Công thức : Dùng định nghĩa tính chất , ta chứng minh số kết : sin x =1 x * lim C = C * lim x = x0 * lim sin x = * lim cosx = * lim (1 + x→ x0 x →0 x → xo x →0 * lim x →0 α →∞ α * lim x→ x0 )α = e 1.1.3 Mở rộng khái niệm giới hạn : Giới hạn bên : Bổ sung : Ký hiệu x Æ xo+ hiểu x Æ xo x > xo x Æ xo- hiểu x Æ xo x < xo Trang sin α ( x) = với lim α ( x) = x → xo α ( x) lim (1 + α ) α = e α →0 a.Định nghĩa : • Số L gọi giới hạn trái hàm số f(x) x tiến đến xo từ bên trái (x Æ xo- ) với ε >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn tồn δ > 0sao cho: 0< xo – x < δ ⇒ | f(x) – L | < ε Ký hiệu lim− f ( x) = L x→ x • o Số L gọi giới hạn phải hàm số f(x) x tiến đến xo từ bên phải (x Æ xo, x > xo) với ε >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn tồn δ > cho 0< x – xo < δ ⇒ | f(x) – L | < ε Ký hiệu lim+ f ( x) = L x→ x o b.Định Lý : lim f(x) tồn ⇔ lim− f ( x) = lim+ f ( x) x → xo x → x0 x → x0 x x Æ x Hàm số không xác định x = , ta thấy : x >0 ⎧1 f(x) = ⎨ ⎩−1 x 0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn tồn M > cho với x mà ⎢x⎥ > M ta có ⎢f(x) - L⎥ < ε Ký hiệu lim f ( x) = L x →∞ b.Ví du =0 x →∞ x Vd 1: Chứng minh lim Trang 2x + x + x →∞ x + x + Vd :Tìm lim Giới hạn vô cực : a.Định nghĩa : Hàm Số f(x) gọi tiến đến vô cực x tiến tới xo với M >0 tùy ý, tồn δ > cho với x mà ⎢x-xo⎥ M Ký hiệu : lim f ( x) = ∞ x →∞ =∞ x→2 x − 1.1.4 Vô bé, vô lớn – Khử dạng vô định : Vô bé – vô lớn : a Định nghĩa : • Hàm f(x) gọi vô bé (VCB) x Æ xo lim f(x)= b.Ví dụ : Chứng minh lim x→ xo • Hàm f(x) gọi vô lớn (VCL) x Æ xo lim f(x)= +∞ x→ xo VCB x > ∞ x f(x) = sin x la VCB x > VCL x Æ f(x) = x−2 Ví dụ : f(x) = b.Định Lý : f(x) VCB ⇔ VCL f ( x) g(x) VCL ⇔ VCB g ( x) • Một số kết VCB,VCL tương đương: sinx ~ x tgx ~x arcsinx ~ x arctgx ~ x 1-cosx ~ x2 ln(1+x) ~ x ex - ~ x (1 + x)α ~ 1+ α x α ±β ± γ ~ α ( α VCB bậc thấp ) A ± B ±C ~ A (A : VCL bậc cao ) ln(1 + tgx) VD : Tìm lim x → x + x + sin x 5x − x + VD : Tìm lim x →∞ x + x + Trang − cos x + tg x x →0 x sin x 2.Dạng vô định : VD : Tìm lim VD : lim x →1 xm −1 ( dạng ) n x −1 x VD : lim x → +∞ (dạng x+ x+ x V D : lim(1 − x)tg x →1 πx ∞ ) ∞ (dạng 0.∞) VD : lim ( ( x + 1)( x + 2) − x) (dạng ∞ - ∞ ) x →+∞ 1.2 Hàm số liên tục : 1.2.1 Định nghĩa : 1) Liên tục điểm : f(x) liên tục xo Ù lim f ( x) = f ( xo ) x → xo 2)Liên tục bên : • f(x) liên tục bên phải xo Ù lim+ f ( x) = f ( xo ) x → xo • f(x) liên tục bên trái xo Ù lim− f ( x) = f ( xo ) x → x0 3)Liên tục khoảng , đoạn : • f(x) liên tục khoảng (a,b) Ù f(x) liên tục x ∈ (a,b) • f(x) liên tục đoạn [a,b] ⇔ f(x) liên tục khoảng (a,b) f(x) liên tục bên phải a f(x) liên tục bên trái b VD : Xét tính liên tục : a) f(x) = x x x = ⎧ sin kx ⎪ b) f(x) = ⎨ x ⎪⎩ Khi x ≠ Khi x = Trang x = ⎧x ⎪ c) f(x) = ⎨ x ⎪⎩ Khi x ≠ x = Khi x = Khi x ≤ ⎧ x2 d) f(x) = ⎨ x = ⎩2 x + Khi x > 4) Điểm gián đoạn : Định nghĩa : xo gọi điểm gián đoạn hàm số f(x) f(x) không liên tục xo Ví Dụ : Tìm điểm gián đoạn : sin x a) f(x) = x x +1 x ⎧1 Khi x > ⎪ c) f(x) = ⎨ x ⎪⎩ x Khi x ≤ e) Ý nghĩa hình học : Nếu hàm số y=f(x) liên tục đoạn [a,b] đồ thị đường liền nối từ điềm A(a,f(a)) đến B(b,f(b)) b) f(x) = B O A 1.2.2 Định Lý : a) Nếu f(x) g(x) liên tục xo hàm f(x) ± g(x) , f(x).g(x), f ( x) (g(x)≠0) g ( x) liên tục xo b) Nếu f(x) liên tục xo g(y) liên tục yo= f(xo) hàm số hợp g[f(x)] liên tục xo Một số kết : a) Đa thức P(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+ao liên tục R Trang b) Hàm hữu tỉ f(x) = P( x) liên tục điểm nghiệm Q(x) Q ( x) c) Hàm số sơ cấp liên tục điểm xác định d) Các hàm số sơ cấp liên tục miền xác định Ghi : Tự nghiên cứu Hàm số sơ cấp Hàm sơ cấp VD : Xét tính liên tục hàm số sau R : ⎧ sin πx Khi x ≠2 ⎪ f(x) = ⎨ x − ⎪⎩ π Khi x =2 VD : Xác định a để hàm số f(x) sau liên tục R : ⎧ 2x + Khi x 1 ⎩x + x + a VD : Xét tính liên tục hàm số f(x) R : ⎧ πx Khi -1 Δ x = dx Trang dy ⇒ dy = y ' dx dx Vậy y’ = 2.2.2.Áp dụng vi phân để tính gần : Ta có Δ y = f ’(xo) Δ x + α Δ x ==> Δ y ≈ f ’(xo) Δ x Δ x bé hay f(xo + Δ x ) – f(xo) ≈ f ’(xo) Δ x f(xo + Δ x ) ≈ f(xo) + f ’(xo) Δ x Phương pháp gần giá trị hàm số cho : - Từ giá trị f( α ) cần tính rút dạng f(x) - Phân tích giá trị α thành xo + Δ x cho f(xo) tính Δ x nhỏ - Tính f(xo) f ’(xo) Ví Dụ : Tính gần : a) b) (1,0003)30 29 2.2.3.Vi phân cấp cao : 1.Định nghĩa : 2.Một số kết : 2.3 Một số ứng dụng vi phân hàm biến : 2.3.1 Qui tắc Lôpitan (L’hospital) : ⎡∞ Giả sử hàm số f(x), g(x) khả vi lân cận V(xo) xo, lim f ( x) = lim g ( x) = ⎢ x→ xo x → xo ⎣0 g’(x) ≠ với x ∈ V (xo) Khi : Nếu lim x → x0 f ( x) f '( x) = A lim =A x → xo g ( x ) g '( x) + sin x − cos x x →0 − sin x − cos x Ví Dụ : Tìm lim Ví Dụ : Tìm ln x x → +∞ x α lim Ví Dụ : Tìm lim x →1 x − x − ln x ( dạng ( dạng ) ∞ ) ∞ ( dạng ∞ - ∞ ) Trang ( dạng ∞ ) Ví Dụ : Tìm lim( x ln x) x→0 2.3.2 Khảo sát hàm số hệ toạ độ Descartes : Sơ đồ khảo sát hàm số : 1• Miền xác định 2• Đạo hàm : • Cấp : Tăng, giảm – Cực trị • Cấp : Lồi, lõm, điểm uốn 3• Giới hạn – Tiệm cận 4• Bảng biến thiên – Điểm đặc biệt 5• Vẽ đồ thị : Ví Dụ : Khảo sát vẽ đồ thị hàm số : y= x + 3x − 2( x + 1) Ghi : Cực đại (3 , 5/4) cực tiểu ( -1/3,-5/4) Ví Dụ : Khảo sát vẽ đồ thị hàm số : y = Ví Dụ : Khảo sát vẽ đồ thị hàm số : y = Trang 4 − x2 x ln x Chương : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 3.1 Tích phân bất định 3.1.1 Khái niệm nguyên hàm tích phân bất định : Nguyên hàm : a) Định nghĩa : F(x) nguyên hàm f(x) khoảng (a,b) ⇔ F(x) = f(x) , ∀x ∈ (a,b) b) Định Lý : Mọi hàm số f(x) liên tục (a,b) có nguyên hàm khoảng c) Định Lý : • Nếu F(x) nguyên hàm f(x) (a,b) F(x) + C ( C : số) nguyên hàm f(x) • Mọi nguyên hàm f(x) (a,b) có dạng F(x) + C Tích phân bất định : a) Định nghĩa : Dạng tổng quát nguyên hàm f(x) khoảng (a,b), kí hiệu ∫ f ( x)dx , gọi tích phân bất định hàm f(x) khoảng ∫ f ( x)dx = F(x) +C b) Tính chất : ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx (k : số ) • • Bảng tích phân : (1) ∫ odx = C (7) ∫ sin xdx = − cos x + C (2) ∫ 1dx = x + C (8) ∫ cos xdx = sin x + C (3) α ∫ x dx = (4) ∫ x α +1 +C α +1 dx = ln x + C x (5) ∫ a x dx = ax +C ln a (6) ∫ e x dx = e x + C (9) dx ∫ cos x dx (10) ∫ sin (11) ∫ (12) ∫1+ x Trang = tgx + C x = − cot gx + C dx 1− x2 dx = arcsin x + C = arctgx + C Ví Dụ : )dx − x 1+ x2 1 b) I = ∫ ( x + x + x )(1 + + )dx x x a) Tính I = ∫ (3 cos x + c) I = ∫ ( x + 1) dx 3.1.2 Các phương pháp tính tích phân : Phương pháp đổi biến số : ∫ f ( x)dx = ∫ g (u )du = G [u(x)] + C Ví Dụ : I = ∫ sin x cos xdx Ví Dụ : I = dx ∫ x ln x Ví Dụ : I = ∫ tgxdx Ví Dụ : I = ∫ Ví Dụ : I = ∫ dx a + x2 dx a2 − x2 Phương pháp tích phân phần : ∫ udv = uv - ∫ vdu Ví Dụ : I= ∫ xe dx Ví Dụ : I= ∫x Ví Dụ : I = ∫ e x sin xdx x ln xdx Ghi : ∫ P( x)e dx, ∫ P( x) sin axdx, ∫ P( x) cos axdx o ∫ P( x) ln xdx, ∫ P( x) arcsin xdx, ∫ P( x)arctgxdx : I = ∫ (2 x + 1) sin 3xdx , I = ∫ xarctgxdx n Ví Dụ ax Trang 3.1.3 Tích phân số hàm đặc biệt : Tích phân hàm hữu tỉ : P( x) f(x) = Q ( x) • • f(x) phân thức thật bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) Lúc ta đưa hàm hữu tỉ dạng đa thức cộng với phân thức thật cách chia đa thức dx • Ví Dụ : I = ∫ x − 4x + dx • Ví Dụ : I = ∫ x + 2x + dx • Ví Dụ : I = ∫ x − 4x + 3x + dx • Ví Dụ : I = ∫ x + 2x + Tích phân hàm lượng giác : a) Dạng ∫ R(cos x, sin x)dx R(u,v) biểu thức hữu tỉ theo cosx,sinx Phương pháp chung : Đặt t = tg x 2dt ⇒ dx = 1+ t2 2t 1− t2 2t , cosx = , tgx = 2 1+ t 1+ t 1− t2 dx Ví Dụ : I = ∫ sin x + Khi : sin x = b) Dạng ∫ cos ax cos bxdx, ∫ sin ax sin bxdx, ∫ cos ax sin bxdx Biến đổi tích thành tổng : Nhớ công thức : [cos(α + β ) + cos(α − β )] sin∝sin β = − [cos(α + β ) − cos(α − β )] sin∝cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )] cos∝cos β = Ví Dụ : I = ∫ sin x cos xdx, I = ∫ cos x cos xdx c) Dạng ∫ sin n xdx, ∫ cos n xdx Phương pháp : • n lẻ : Đặt t = cosx sin x • n chẵn : Dùng công thức hạ bậc Trang cos2x = + cos x − cos x , sin x = 2 : I = ∫ sin xdx Ví Dụ I = ∫ cos xdx Tích phân hàm vô tỉ : Dạng : ∫ R ( x, b) ∫ R( x, a − x )dx Đặt x = asint a + x )dx Đặt x = atgt ∫ R ( x, x − a )dx Đặt x = a) c) Ví Dụ : I = a2 − x2 dx x ∫ a cos t ∫ I= − x + x + 5dx 3.2 Tích phân xác định : 3.2.1 Khái niệm tích phân xác định : Định nghĩa : Giả sử hàm số f(x) xác định đoạn [a,b] • Chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ điểm : xo = a [...]... trình tuyến tính cấp 1 đối với u Ví Dụ : Giải phương trình vi phân : y’ + 1 ĐS : y = x 3 ln K x3 Trang 3 y = x2 y4 x (1) 4.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 : 4.2.1- Khái niệm : Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’) = 0 Nếu giải được phương trình đối với y’’, ta có dạng khác :y’’= f(x,y,y’) Nghiệm tổng quát : y = ϕ (x ,C1, C2) Nghiệm riêng :y = ϕ (x, C10 ,C 20 ) với C10 ,C 20 là các... F(x,y,y’,y’’,…,y(n) )= 0 trong đó x là biến số độc lập, y là hàm số theo x , y’,y’’,…,y(n) là các đạo hàm của y • Cấp của phương trình là cấp cao nhất của đạo hàm • Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số y=ϕ(x) thỏa mãn phương trình 4.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 : 4.1.1 Khái niệm: 1 Phương trình vi phân cấp 1 : Phương trình vi là phương trình có dạng F (x,y,y’) = 0 Nếu có thể giải ra đối với y’ thì có... riêng :y = ϕ (x, C10 ,C 20 ) với C10 ,C 20 là các giá trị xác định của C1, C2 Tích phân tổng quát : φ(x,y,C2,C2) = 0 4.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 : y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x) Ta xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng : y’’ + py’ + qy = f(x) (1) ( p,q hằng số) Bước 1 : Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất : y’’ + py’ + qy = 0 (2) Giải phương trình đặc trưng... khác nhau k1 và k2 Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là : y = C1 e k1 x +C2 e k1 x * ∆ = p2 -4q = 0 : Phương trình (3) có nghiệm kép thực k Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là : y = e kx (C1 +C2x) * ∆ = p2-4q y’ = u’x + u du du x = f (u) - u dx dx Nếu f... phương trình vi phân y’ = xy x − y2 2 Ví Dụ2 : Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y’ = với điều kiện ban đầu y (1) = π 2 4.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 : Trang 2 y y + sin x x 1 Định Nghĩa : Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng y’ + p(x).y = q(x) (1) trong đó p (x) và q (x) là những hàm liên tục 2 Cách giải : y’+ p(x)y = q(x) (1) Bước 1 : Giải phương trình... nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì ta tìm nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y =x2 eαx Qn(x) Ví Dụ 1: Giải phương trình y’’ +3y’ -4y = x ĐS : y = C1ex + C2e-4x - 1 3 x4 16 Ví Dụ 2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y’’ –y’ = ex (x+1) ĐS : y = (C1 + C2)e3x + x 3 3x e 6 2) f(x) = Pm (x) cos β x + Pn(x) sin β x : Nghiệm riêng của phương trình có dạng : • y = Ql(x) cos β x + Rl(x) sin β x nếu ± ... đạo hàm y • Cấp phương trình cấp cao đạo hàm • Nghiệm phương trình vi phân hàm số y=ϕ(x) thỏa mãn phương trình 4.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP : 4.1.1 Khái niệm: Phương trình vi phân cấp : Phương... tổng quát : y = ϕ (x ,C1, C2) Nghiệm riêng :y = ϕ (x, C10 ,C 20 ) với C10 ,C 20 giá trị xác định C1, C2 Tích phân tổng quát : φ(x,y,C2,C2) = 4.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp : y’’ + p(x)y’... tục điểm nghiệm Q(x) Q ( x) c) Hàm số sơ cấp liên tục điểm xác định d) Các hàm số sơ cấp liên tục miền xác định Ghi : Tự nghiên cứu Hàm số sơ cấp Hàm sơ cấp VD : Xét tính liên tục hàm số sau R