Đang tải... (xem toàn văn)
§1. Đạo hàm của hàm một biến §2.. Ý nghĩa của biên tế: cho biết xấp xỉ lượng thay đổi giá trị của biến y khi biến x tăng thêm 1 đơn vị. b) Tìm chi phí biên tế tại mức sản lượng đơn [r]
(1)06/10/2017
LOG O
Chương 2:
Đạo hàm vi phân hàm biến
GV Phan Trung Hiếu
§1 Đạo hàm hàm biến §2 Hàm khả vi, vi phân hàm số §3 Đạo hàm vi phân cấp cao
2
§1 Đạo hàm hàm biến
3
I Đạo hàm cấp một:
Định nghĩa 1.1.Cho hàm sốf(x) xác định trên khoảng mở chứa x0. Đạo hàm (cấp một) của hàm sốf(x) tạix0, ký hiệu , được tính bởi
0
0
0
( ) ( ) ( ) limx x f x f x
f x
x x
0
( ) ( ) y x f x
nếu giới hạn tồn hữu hạn.
Chú ý 1.2.Nếu tồn thìf(x) được gọi làkhả vitạix0.
0
( ) f x
4 Trong định nghĩa trên, đặt
0:
x x x
Số gia biến sốtại x0.
0
( ) ( )
y f x f x
: Số gia hàm sốtại x0.
0
( ) ( )
f x x f x
Khi đó
0
0 0 0
0
0
( ) ( )
( ) lim lim
( ) ( )
lim
x x
h
y f x x f x
f x x x
f x h f x
h
5
Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm hàm số
ln(1 ) khi 0 ( )
0
x x f x x
x
tạix00
Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái)
0
0
( ) ( )
( ) limx x f x f x f x
x x
Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải)
0
0 ( ) ( ) ( ) limx x f x f x
f x
x x
6
Định lý 1.5
0 0
( ) ( ) ( )
f x L f x f x L
Định lý 1.6.
f(x) có đạo hàm x0 f(x) liên tục x0.
Ví dụ 1.2: Xét tồn đạo hàm hàm số ( )
f x x
(2)06/10/2017
7
Ví dụ 1.4: Tìm a, bđể hàm số
2
3
( )
khi
x x
f x
ax b x
có đạo hàm
Ví dụ 1.3: Tìmm để hàm số
2
( )
( )
khi
x
e x x x f x
m x
khả vi x00
0
x
II Các cơng thức quy tắc tính đạo hàm:
8
2.1 Các cơng thức tính đạo hàm: Xem Bảng
2 ( )
( )
( )
k u k u
u v u v
u v u v u v
u u v u v
v v
2.3 Đạo hàm hàm số hợp: Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)] Khi
( ) u x
y x y u
2.2 Quy tắc tính đạo hàm: Với , ta có u u x v v x ( ), ( )
9
Ví dụ 1.5: Tính đạo hàm hàm số sau
a) yarctan x b)y(arcsin )x
c)
1
x
y x
d)y e xarctanexln 1e2x
e) 2
( 1)
x
y x
f) y (1 ) 2x x2 33x3
III Ý nghĩa kinh tế đạo hàm:
10
3.1 Biên tế (Giá trị cận biên-Marginal):
Cho hàm số y= f(x) xác định Dvới x, ylà biến số kinh tế, gọi x D0
Hàm số gọi làhàm biên tế(hàm cận biên) biếnMy f xy.( )
Giá trị gọi làbiên tế(giá trị cận biên) hàm sốf(x) điểmx0
0
( ) ( )
My x f x
11
3.2 Ý nghĩa biên tế: cho biết xấp xỉ lượng thay đổi giá trị biến ykhi biếnxtăng thêm đơn vị Cụ thể, ta có
0 ( )
My x
0
( )
My x có nghĩa x tăng1 đơn vị ysẽ tăng
0
( )
My x đơn vị
( )
My x có nghĩa x tăng1 đơn vị ysẽ giảm
0
( )
My x
đơn vị
Ví dụ 1.6:Cho hàm tổng chi phí
0,1 0,3 100
C Q Q
a) Tìm hàm chi phí biên tế
b) Tìm chi phí biên tế mức sản lượng đơn vị giải thích ý nghĩa kết nhận được.Q120
12
3.3 Độ thay đổi tuyệt đối độ thay đổi tương đối: Xét hàm sốy=f(x).Khi biến số tăng từx0đếnxthì ta có -Độ thay đổi tuyệt đốicủa biếnxtạix0là
0
x x x
Độ thay đổi tuyệt đối biếnxphụ thuộc vào đơn vị chọn để đo biếnx
-Độ thay đổi tương đốicủa biếnxtạix0là
x x
(3)06/10/2017
13
3.4 Hệ số co dãn:hệ số co dãn biếnytheo biếnxtại
x0là
0
0
0
( ) ( ) ( )
yx x y x y xx
3.5 Ý nghĩa hệ số co dãn: cho biết xấp xỉ độ thay đổi tương đối biến ykhi biến xtăng
tương đối lên 1%tại x0 Cụ thể, ta có
( ) yx x
0
( )
yx x có nghĩa có nghĩa x= x0, khix tăng1% thìysẽtăngyx( )%.x0
có nghĩa có nghĩa x= x0, khix tăng1% thìysẽgiảmyx( )%.x0
0
( )
yx x
14
Dựa vào hệ số co dãn, người ta đưa khái niệm sau:
Nếu hàmfđược gọi làco dãntạix0(hàm
số có phản ứng nhanh với thay đổi biến số) Khi đó, điểm (x0;y0) gọi làđiểm co dãn
Nếu hàmfđược gọi làđẳng co dãntạix0
Khi đó, điểm (x0;y0) gọi điểm đẳng co dãn
(điểm co dãn đơn vị)
Nếu hàmfđược gọi làkhơng co dãntại
x0(hàm số có phản ứng chậm với thay đổi biến
số) Khi đó, điểm (x0;y0) gọi điểm khơng co
dãn
0
( ) yx x
0
( ) yx x
0
( ) yx x
15
Ví dụ 1.7:Cho hàm cầu Tính hệ số co
dãn cầu theo giá mức giáP= 100;P= 200 giải thích ý nghĩa kết nhận
600
Q P
16
§2 Vi phân hàm số
I Vi phân cấp một:
17
Vi phân(cấp một) hàm sốf(x)
( ) ( )
df x f x dx
dy y dx hay
Ví dụ 2.1 Tìm vi phân hàm số
.
x y e
18
Định lý 2.3.Nếuu,vlà hàm khả vi thì
1) (d u v ) du dv.
2) ( )d k u k du . 3) ( )d u v vdu udv .
2
4)d u vdu udv.
v v
Ví dụ 2.2 Tính
3
) ( x)
a d x e
3
) ( x)
b d x e
) xx
c d e
(4)06/10/2017
III Ứng dụng vi phân:
19
Dùng vi phân, ta tính gần giá trị hàm số Ta có giá trị hàm số tạixgầnx0là
Để áp dụng công thức ta cần dạng hàmf(x), điểmx0và số gia đủ nhỏ
0 0
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x x f x f x x o x
f x f x x
x
Ví dụ 2.3 Tính gần giá trị của
32,0001.
20
§3 Đạo hàm vi phân cấp cao
I Đạo hàm cấp cao:
21
Định nghĩa 1.1. Giả sửy=f(x) có đạo hàm cấp một thì đạo hàmcấp haicủa hàm sốy=f(x) là
Tương tự, ta có đạo hàm cấp ncủa f(x) là y
( ) ( ) y f x f x
( )n ( )n ( ) ( 1)n ( )
y f x f x
Ví dụ 3.1 Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp ba, cấp bốn, cấpncủa hàm sốy e k const kx, .
22
Định lý 1.2 (Công thức Leibniz).Giả sử u và v có đạo hàm đến cấp n Khi đó
( ) ( ) ( )
0
( )n n k k n k n
k
u v C u v
Ví dụ 3.4 Tính của hàm số
2 2x.
y x e
(20)
y
Ví dụ 3.2 Cho hàm số Chứng minh xy2(ysin )x xyy x x sin 0.
Ví dụ 3.3 Cho hàm số Chứng minh
2
2
y x x
3 1 0.
y y
II Vi phân cấp cao:
23
Định nghĩa 2.1.Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến cấpnthìvi phân cấp ncủa hàm sốy=f(x) là
1 ( )
n n n n
d y d d y y dx Ví dụ 3.5 Cho Tínhy(2 3) x d y3 .
III Quy tắc L’Hospital:
24
Định lý 3.1.Giả sử hàm f g khả vi trong lân cận x0(hoặc trừ x0) Nếu
i) hay
và tồn tại
thì
0
lim ( ) lim ( ) 0
x x f x x x g x
0
lim ( ) lim ( )
x x f x x x g x
0 ( ) lim
( )
x x
f x g x
0
( ) ( )
lim lim
( ) ( )
x x x x
f x f x
g x g x
(5)06/10/2017
25 Chú ý 1.2.
Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc L’Hospital dùng để khử dạng vơ định
Ta áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần.
0
0 hoặc .
IV Áp dụng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn:
26
Dạng 0
0
Ví dụ 3.6 Tính giới hạn sau
0 sin )limx x
c x
2 2
5 )limx x x 2
a x x x )lim02 2 x
x b
x
1 )limx ex
d x
0
sin )limx x x e
x
2
0
ln(cos ) )lim
arctan
x
x f
x x
27
Dạng Ví dụ 3.7 Tính giới hạn sau
2
3
) limx x 1x
a x b) limxexx23x
2 ln ) limx x
c x ) limx 1
x d
x
28
Dạng0. Ta đưa dạng 00hoặc
1
1 (0 ) g f
f f g g
Ví dụ 3.8 Tính giới hạn sau
0 ) lim ln
x
a x x
2
) lim 2 tan x
b x x
Chú ý:
29
Dạng
Ta đưa dạng
0
1 1
f f g
f f g g g
f g g f
Chú ý:
30
Ví dụ 3.9 Tính giới hạn sau
2 ) lim ( x )
x
b e x
1
)lim
ln
x
a
x x
0
1 1
)lim
tan2 sin x
c
x x x
(6)06/10/2017
31
Dạng0 , ,10 0
Giới hạn có dạng ,
( ) lim ( )g x
x x f x f x( ) 0
trong lân cận x0.
Xem lại phương pháp giải Chương
Ví dụ 3.10 Tính giới hạn sau
0 ) lim x
x
a x
tan
1 ) lim x
x
b x
V Một số toán kinh tế:
32 5.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất:
Giả sử, doanh nghiệp sản xuất loại sản phẩm Gọi
P: đơn giá
QD=QD(P): hàm cầu
Q=Q(P): hàm sản lượng
C = C(Q): hàm tổng chi phí
R=P.Q: doanh thu
: lợi nhuận (trước thuế) R C
33
Ta thiết lập toán tối ưu kinh tế mà thực chất tìm GTLN, GTNN hàm số biến số Chẳng hạn:
-Tìm mức Phoặc Qđể doanh thu Rđạt tối đa lập hàm R(P) R(Q)
-Tìm mức Qđể chi phí Cđạt tối thiểu lập hàm C(Q)
-Tìm mức Qđể lợi nhuận đạt tối đa
lập hàm
Chú ý 5.1:
Doanh nghiệp muốn tiêu thụ hết sản phẩm Q Q PD( )
( ).Q
34
Ví dụ 3.11:Một doanh nghiệp sản xuất loại sản phẩm điều kiện cạnh tranh hoàn hảo Giá đơn vị sản phẩm thị trường làP= 130 đơn vị tiền Tổng chi phí để doanh nghiệp sản xuất raQđơn vị sản
phẩm (Q> 1) đơn vị tiền
Tìm mức sản lượngQđể doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa
3
1 10 20
3
C Q Q Q
Ví dụ 3.12:Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm Hàm cầuQDcủa sản phẩm làQD=
300-P,vớiPlà giá bán đơn vị sản phẩm Hàm chi phí sản xuất doanh nghiệp
Tìm mức sản lượngQđể doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa
3 19 333 10.
C Q Q Q
35 5.2 Bài toán thuế doanh thu:
Giả sử, doanh nghiệp sản xuất loại sản phẩm Gọi
t: mức thuế doanh thu đơn vị sản phẩm
T=t.Q: tổng số thuế doanh thu : lợi nhuận sau thuế
Hãy tìm mức thuếttrên đơn vị sản phẩm để tổng số thuế thu từ doanh nghiệp lớn
t R C T
Phương pháp:
Bước 1:Viết hàm lợi nhuận sau thuế
Bước 2:Tìm mức sản lượngQ(t) để đạt GTLN
Bước 3:Viết hàmT=t.Q(t),t> Sau đó, tìm mức thuếtđểTđạt GTLN
( ),
t Q Q
t
36
Ví dụ 3.13:Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm Hàm cầuQDcủa sản phẩm làQD=
800-P,vớiPlà giá bán đơn vị sản phẩm Hàm chi phí sản xuất doanh nghiệp
Các nhà làm thuế áp mức thuế doanh thuttrên đơn vị sản phẩm để tổng số thuế thu từ doanh nghiệp lớn nhất?
2 200 100.
C Q Q
(7)06/10/2017
37 5.3 Bài toán thuế nhập khẩu:
Giả sử, doanh nghiệp độc quyền nhập mặt hàng Gọi
QS=S(P): hàmcungcủa mặt hàng thị trườngnội địa
QD=D(P): hàmcầucủa mặt hàng thị trườngnội địa
P0:giá bán đơn vị hàng thị trườngnội địa Q: lượng hàng doanh nghiệp nhập từ thị trườngquốc tế
số tiền cho đơn vị hàng mà doanh nghiệp để mua thị trường quốc tế = giá bán thị trường
quốc tế + chi phí nhập (chưa tính thuế)
t: mức thuế nhập đơn vị sản phẩm
:
P
0
P t P
38
P: giá bán đơn vị hàng doanh nghiệp thị trườngnội địasau nhập hàng
Hãy tìm mức thuế nhập khẩuttrên đơn vị hàng để tổng số thuế nhập thu từ doanh nghiệp lớn (giả thiết lượng hàng nhập doanh nghiệp không ảnh hưởng đến giá bán thị trường quốc tế)
0
P t P P
Phương pháp:
Bước (Tìm P0):Trước nhập khẩu, nhà sản xuất thị trường nội địa muốn tiêu thụ hết hàng
S D
Q Q
39 Lợi nhuận sau thuế doanh nghiệp
t R C T
P Q P Q t Q
Bước 3:Tìm mức sản lượngQ(t) để đạt GTLN
Bước 4:Viết hàmT=t.Q(t),t> Sau đó, tìm mức thuế
tđểTđạt GTLN
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
S D D S
Q Q P Q P Q Q P Q P P P Q
( )
tQ
Bước (Viết hàm lợi nhuận sau thuế ):
Sau nhập hàng, thị trường nội địa có lượng cung
Q+QS(P) Khi đó:
( )
t P
t
Bước 5:Kiểm tra phù hợp kiểm tra điều kiện
P t P P
40
Ví dụ 3.14:Một doanh nghiệp độc quyền nhập mặt hàng Với mức giá P thị trường nội địa, nhu cầu mặt hàng làQD= 4200-Pđơn vị
nhà sản xuất cung cấp QS= -200+Pđơn vị.Để
mua mặt hàng thị trường quốc tế doanh nghiệp số tiền 1600 đơn vị tiền cho đơn vị hàng (chưa tính thuế) Hãy xác định mức thuế nhập khẩutthu đơn vị hàng để tổng số thuế nhập thu từ doanh nghiệp lớn ?
41 5.4 Bài toán thuế xuất khẩu:
Giả sử, doanh nghiệp độc quyền xuất mặt hàng Gọi
QS=S(P): hàmcungcủa mặt hàng thị trườngnội địa
QD=D(P): hàmcầucủa mặt hàng thị trườngnội địa
P0: giá bán đơn vị hàng thị trườngnội địa Q: lượng hàng doanh nghiệp thu mua từ thị trườngnội địa
số tiền cho đơn vị hàng mà doanh nghiệp thu bán mặt hàng thị trường quốc tế (giá bán đơn vị hàng thị trường quốc tế doanh nghiệp trừ chi phí xuất (chưa trừ thuế))
t: mức thuế xuất đơn vị sản phẩm
:
P
0 P t P
42
P: giá mua đơn vị hàng từ thị trườngnội địa để xuất
Hãy tìm mức thuế xuất t đơn vị sản phẩm để tổng số thuế xuất thu từ doanh nghiệp lớn (giả thiết lượng hàng xuất doanh nghiệp không ảnh hưởng đến giá bán thị trường quốc tế)
0
P P P t
Phương pháp: