Bài giảng Toán cao cấp - Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục - Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm Tp. Hồ Chí Minh

Do đó để vẽ đồ thị của hàm tuần hoàn, ta chỉ cần vẽ đồ thị trong một chu kỳ cơ bản T , sau đó thực hiện liên tiếp các phép tịnh tiến theo các vectơ song song với trục hoành và có độ d[r]

Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục

Nội dung

Trên sở kiến thức chương trình phổ thơng, mục đích ơn tập, hệ thống hóa nâng cao kiến thức hàm số biến số: Giới hạn, tính liên tục hàm số

Hướng dẫn học

 Đây học nhằm ơn tập hệ thống hóa lại kiến thức tốn học học chương trình phổ thơng nên bạn cần đọc kỹ lại lý thuyết hàm số, giới hạn

 Sau đọc kỹ lý thuyết bạn cần làm tập nhiều tốt để củng cố nâng cao kiến thức

BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Thời lượng Mục tiêu

Bạn nên học làm tập hai tuần, tuần khoảng đến đồng hồ

 Hiểu khái niệm hàm số, giới hạn, liên tục

 Giải tập hàm số, giới hạn, tính liên tục

Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục

1.1. Hàm số biến số

1.1.1. Định nghĩa hàm số biến số

Cho X tập hợp khác rỗng  Ta gọi ánh xạ   f : X

x y f x

 

 

là hàm số biến số tập hợp X , x biến số độc lập, y đại lượng phụ thuộc hay hàm sốcủa x

Tập hợp X gọi miền xác định hàm số f

Tập hợp f (X) {y , y f (x) : x X}  gọi miền giá trị f

Nếu hàm số biến số cho dạng biểu thức: y f (x) mà khơng nói thêm ta hiểu miền xác định hàm số tập hợp giá trị thực biến số x làm cho biểu thức có nghĩa

Ví dụ 1:

Biểu thức y 1 x 2 xác định :

1 x  0 x 1    1 x Do miền xác định hàm số y 1 x 2 1,1

Dễ dàng thấy miền giá trị hàm y [0,1]

Miền xác định hàm số gồm nhiều tập rời nhau, tập lại có quy tắc riêng để xác định giá trị hàm số Hàm số xác định nhiều công thức khác tùy thuộc vào giá trị biến

Ví dụ 2:

2

x x

f (x)

1 2x x

  

   



Hàm f (x) hàm số xác định  Nếu x khơng âm giá trị hàm số tính theo cơng thức: f (x) x 21 Nếu x âm, giá trị hàm số tính bởi:

f (x) 2x. 

1.1.2. Đồ thị hàm số

Giả sử hàm số y = f(x) có miền xác định X Ứng với giá trị x0Xta có

giá trị y0f (x )0 hàm số Trong hệ trục tọa độ Đề-các vng góc, xét điểm

0 0

M (x , y ) Khi x thay đổi “quét” hết tập xác định X 0 M thay đổi 0 theo vạch nên đường cong mặt phẳng tọa độOxy Đường cong gọi đồ thị hàm số y = f(x)

Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục

Ví dụ 3:

Đồ thị hàm số

2

x x

y x x

3

khi x



 



  



 



biểu diễn sau:

Hình 1.1

Việc vẽ phác họa đồ thị hàm số f với miền xác định khoảng số thực thường xác định theo trình tự sau:

Lấy số x , x , , x từ miền xác định 1 2 n hàm số (càng nhiều điểm điểm gần tốt)

 Tính giá trị tương ứng hàm số

1 n n

y f (x ), , y f (x )

 Xác định điểm

 M1(x , y ), , M1 1 n (x , y )n n

 Nối điểm xác định nói ta có hình ảnh phác họa đồ thị hàm số Cách vẽ khơng hồn tồn xác mà cho hình dáng đồ thị hàm số Đồ thị hàm số dùng để minh họa đặc trưng bản, phụ thuộc giá

trị hàm số biến số Nhìn vào đồ thị dễ dàng quan sát xu hướng thay đổi giá trị hàm số biến độc lập thay đổi

1.1.3. Hàm số đơn điệu Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn 1.1.3.1. Hàm số đơn điệu

Hàm số f (x) xác định khoảng (a, b)

 Được gọi đơn điệu tăng khoảng (a, b) với x , x1 2(a, b), x1x2

kéo theo: f (x ) f (x )1  2

CHÚ Ý:

Đồ thị hàm số tập hợp điểm rời rạc, gồm số cung liền

Hình 1.2

y

Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục (Nếu điều kiện bỏ dấu đẳng thức, tức là:

1 2

x , x (a, b), x x f (x ) f (x )

    

thì ta nói hàm f tăng ngặt (hay đồng biến) (a, b) )

 Được gọi đơn điệu giảm khoảng (a, b) với x , x1 2(a, b), x1x2 kéo theo: f (x ) f (x )1  2

(Nếu điều kiện bỏ dấu đẳng thức:

1 2

x , x (a, b), x x f (x ) f (x )

    

thì ta nói hàm f giảm ngặt (hay nghịch biến) (a, b))

Hàm số f gọi đơn điệu (a, b) đơn điệu tăng đơn điệu giảm khoảng

Đồ thị hàm số tăng đường “đi lên”, ngược lại đồ thị hàm số giảm đường “đi xuống” nhìn từ trái sang phải

Hình 1.3

1.1.3.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Hàm số f xác định tập hợp D đối xứng x D   x D, chẳng hạn khoảng ( l,l) , đoạn a,a, tập ( b, a) (a, b)(0 a b)     ,…

 Được gọi hàm chẵn nếu: f (x) f ( x)  với x D Nói cách đơn giản x đổi dấu y khơng thay đổi

 Được gọi hàm lẻ nếu: f (x)  f ( x) với x D Nói cách đơn giản x đổi dấu y đổi dấu

Ví dụ 4:

Các hàm số f (x) x , g(x) cos x  hàm chẵn  vì: 2

f ( x) ( x) x f (x)

x g( x) cos( x) cos x g(x)



      



Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục hàm số h(x) x , k(x) sin x  hàm lẻ  vì:

3

h( x) ( x) ( x) h(x)

x k( x) sin( x) sin x k(x)



        



        

Đồ thị hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng, đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng (hình 1.4)

Hàm chẵn:

Hàm lẻ:

1.1.3.3. Hàm số tuần hoàn

Định nghĩa:

Hàm số f gọi tuần hoàn miền xác định D (thông thường xét D) tồn số thực p 0 cho:

x D x p D f (x p) f (x)

     

Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục Số p gọi chu kỳ hàm f

Nếu số p nói trên, tồn số dương nhỏ – ký hiệu T – T gọi chu kỳ f

Ví dụ 5:

Các hàm sin x,cos x tuần hồn với chu kỳ 2 vì:

sin(x ) sin x,cos(x ) cos x x        Các hàm tgx,cotgx tuần hồn với chu kỳ  vì:

 

tg x tgx, x k ;cotg(x ) cotgx, x k

2



            

Hơn chu kỳ nói chu kỳ Thật vậy, chẳng hạn xem xét hàm y sin x , giả sử tồn số dương T 2  để:

 

sin x T s inx x  Khi với x 0 ta phải có:

sin T sin 0     T k (k ) mà T 2  nên T 

Khi với x



 sin sin

2

 

     

   

   , hay 1 1

Về mặt hình học, đồ thị hàm tuần hoàn họ đường lặp lặp lại khoảng có độ dài chu kỳ Do để vẽ đồ thị hàm tuần hoàn, ta cần vẽ đồ thị chu kỳ T , sau thực liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ song song với trục hồnh có độ dài T

Hình 1.5: Đồ thị hàm số y = tgx

1.1.4. Hàm số hợp

Giả sử ta có hai hàm số

y f (u) biểu diễn phụ thuộc y theo u u (x) biểu diễn phục thuộc u theo x

Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục

f

x u y, hay y f ( (x)) 

Hàm số g biến x thành y theo quy tắc gọi (hàm số) hợp hai hàm f  Ký hiệu: g f ( (x))  (Nhớ cách ký hiệu trên, hàm đứng sau lại có tác động trước đến biến x)

Ví dụ 6:

Hàm số y sin x hàm hợp hai hàm y u 5 u sin x

Cách nói sau chấp nhận:

“Hàm số g(x) sin x hàm hợp hai hàm f (x) x 5 (x) sin x  ”

1.1.5. Hàm số ngược

Xét hàm số y f (x) có miền xác định X, miền giá trị Y f (X) Nếu với y0Y tồn x0X để f (x ) y0  0(hay phương trình f (x) y có nghiệm

nhất X) quy tắc biến số y Y thành nghiệm phương trình f (x) y hàm số từ Y đến X gọi hàm ngược hàm f, ký hiệu f1

1

f (y) x  f (x) y. Khi đó, dễ dàng thấy f hàm ngược f1 Ví dụ 7:

 Hàm số y x 3 () có hàm ngược hàm số x3 y() vì:

3 3

y x  x y

 Hàm số y a x a 0, a 1  (

*





  ) có hàm ngược hàm số x log y a

( + * 

 ) vì:

x

a

y a  x log x

 Các hàm lượng giác quen thuộc có hàm ngược với cách ký hiệu:

o Hàm số y sin x , [ 1,1]

2

   

  

  có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược

đó là:

x arcsin y [ 1,1] ,

2

      

  

 

o Hàm số y cos x  0,  [ 1,1] có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược là:

x arccos y [ 1,1]  0, 

o Hàm số y tgx ,

2

  

 

  

Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục

x arctgy ,

2

    

    

 

 

o Hàm số y cotgx  0,  có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược là:  

 

x arccotgy  0.  0, 

1.1.6. Các hàm số sơ cấp

1.1.6.1. Các hàm số sơ cấp

 Hàm lũy thừa y x (   )

Miền xác định (MXĐ) hàm phụ thuộc vào số 

o Nếu  0, MXĐ 

o Nếu  nguyên âm MXĐ \{0} o Nếu 1, p *

p

   MXĐ 

p chẵn  p lẻ

o Nếu  vô tỷ, MXĐ quy ước 

 Hàm mũ: f (x) a (0 a 1) x  

MXĐ: , MGT: *



 ; Hàm số đồng biến a 1 nghịch biến a 1 

 Hàm số lôgarit: f (x) log x a ( a 1  )

o MXĐ: *, MGT:; Hàm số đồng biến a 1 nghịch biến a 1 

 Hàm lượng giác

Hình 1.7: Đồ thị hàm số y x3 CHÚ Ý :

 Do thường ký hiệu x để biến độc lập y để biến phụ thuộc nên biểu diễn hàm ngược thay xf (y)1 có viết y f (x) 1

Chẳng hạn y log x a hàm ngược hàm: x

y a

 Đồ thị hai hàm ngược không

thay đổi đổi vai trò x,y cho đối xứng qua đường phân giác thứ

Thật vậy, gọi (C) (C’) đồ thị hai hàm f (x) f (x)1 thì theo

định nghĩa:

M (x, y) (C)  M ' (y, x) (C') 

Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục o y sin x : Có MXĐ , MGT [ 1,1] ; cho tương ứng số thực x với

tung độ điểm biểu diễn cung x radian đường tròn lượng giác Hàm sin hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ

cơ 2

o y cos x : Có MXĐ , MGT [ 1,1] ; cho tương ứng số thực x với hoành độ điểm biểu diễn cung x radian đường tròn lượng giác Hàm cos hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ 2 o y tgx : Có MXĐ

\ (2k+1) , k



  

 

 

  ,

MGT ; cho tương ứng số thực x với tung độ giao

điểm tia OM ( M điểm biểu diễn cung x radian đường trịn lượng giác) với trục tan đường thẳng có phương trình: x 1

Hàm tgx hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 

o y  cotgx: Có MXĐ \ k , k  , MGT ; cho tương ứng số thực x với hoành độ giao điểm tia OM ( M điểm biểu diễn cung x radian đường tròn lượng giác) với trục cotg đường thẳng có phương trìnhy 1 Hàm cotgx hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 

Hình 1.8: Quy tắc xác định hàm lượng giác

Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục

 Hàm lượng giác ngược

o y arcsin x : Có MXĐ [ 1,1] , MGT , 2

 

 

 

  hàm ngược hàm sin

Hàm y arcsin x hàm lẻ, đồng biến

o y arccos x : Có MXĐ [ 1,1] , MGT  0, hàm ngược hàm cos o Hàm y arccos x hàm nghịch biến

o y arctgx : Có MXĐ , MGT , 2

 

 

 

  hàm ngược hàm tg

Hàm y arctgx hàm lẻ, đồng biến o y arccotgx : Có MXĐ , MGT ,

2

 

 

 

  hàm ngược hàm cotgx

Hàm y arccotgx hàm lẻ, nghịch biến

Hình 1.10: Đồ thị hàm lượng giác ngược

1.1.6.2. Định nghĩa

Hàm số sơ cấp hàm số thành lập từ hàm số sơ cấp hàm với số hữu hạn phép toán số học (cộng, trừ, nhân chia) phép toán lấy hàm hợp

Ví dụ 8:

Các hàm số sau hàm sơ cấp: