Toán cao cấp 1-Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục potx

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 1 Nội dung Trên cơ sở các kiến thức của chương trình phổ thông, mục đích của bài này là ôn tập, hệ thống hóa và nâng cao các kiến thức về hàm số một biến số: Giới hạn, tính liên tục của hàm số. Hướng dẫn học • Đây là bài học nhằm ôn tập và hệ thống hóa lại các kiến thức toán học đã học trong chương trình phổ thông nên bạn cần đọc kỹ lại các lý thuyết về hàm số, giới hạn. • Sau khi đọc kỹ lý thuyết bạn cần làm bài tập càng nhiều càng tốt để củng cố và nâng cao kiến thức. BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Thời lượng Mục tiêu Bạn nên học và làm bài tập của bài này trong hai tuần, mỗi tuần khoảng 3 đến 4 giờ đồng hồ. • Hiểu được khái niệm hàm số, giới hạn, sự liên tục • Giải được các bài tập về hàm số, giới hạn, tính liên tục • Áp dụng phần mềm toán để tính toán với hàm số, giới hạn Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 2 1.1. Hàm số một biến số 1.1.1. Định nghĩa hàm số một biến số Cho X là tập hợp khác rỗng của R . Ta gọi ánh xạ () f:X xyfx → =6 R là hàm số một biến số trên tập hợp X , trong đó x là biến số độc lập, y là đại lượng phụ thuộc hay hàm số của x . Tập hợp X gọi là miền xác định của hàm số f. Tập hợp f(X) {y ,y f(x):x X} = ∈= ∈\ gọi là miền giá trị của f Nếu hàm số một biến số cho trong dạng biểu thức: yf(x) = mà không nói gì thêm thì ta hiểu miền xác định của hàm số là tập hợp những giá trị thực của biến số x làm cho biểu thức có nghĩa. Ví dụ 1: Biểu thức 2 y1x=− xác định khi : 2 1x 0 x 1 1x1. − ≥⇔ ≤⇔−≤≤ Do đó miền xác định của hàm số 2 y1x = − là [ ] 1,1− . Dễ dàng thấy rằng miền giá trị của hàm y là [0,1]. Miền xác định của một hàm số có thể gồm nhiều tập con rời nhau, trên mỗi tập con đó lại có một quy tắc riêng để xác định giá trị của hàm số. Hàm số có thể được xác định bởi nhiều công thức khác nhau tùy thuộc vào giá trị của biến. Ví dụ 2: 2 x 1 khi x 0 f(x) 1 2x khi x 0 ⎧ + ≥ = ⎨ − < ⎩ Hàm f(x) là một hàm số xác định trên R . Nếu x không âm thì giá trị của hàm số được tính theo công thức: 2 f(x) x 1 = + . Nếu x âm, giá trị của hàm số được tính bởi: f(x) 1 2x. = − 1.1.2. Đồ thị của hàm số Giả sử hàm số y = f(x) có miền xác định là X ⊂ R . Ứng với mỗi giá trị 0 xX∈ ta có giá trị 00 yf(x)= của hàm số. Trong hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc, xét điểm 000 M(x,y)= . Khi 0 x thay đổi và “quét” hết tập xác định X thì 0 M cũng thay đổi theo và vạch nên một đường cong trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Đường cong này được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x). Như vậy, đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp những điểm trong mặt phẳng có tọa độ () Mx;y, ở đó y = f(x), x thuộc miền xác định X. Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 3 Ví dụ 3: Đồ thị của hàm số 2 x khi x 0 y x khi 0 x 1 3 khi x 1 2 ⎧ ⎪ ≤ ⎪ =<≤ ⎨ ⎪ ⎪ > ⎩ được biểu diễn như sau: Hình 1.1 Việc vẽ phác họa đồ thị của hàm số f với miền xác định là một khoảng số thực thường được xác định theo trình tự như sau: Lấy các số 12 n x , x , ,x từ miền xác định của hàm số (càng nhiều điểm và các điểm càng gần nhau càng tốt). • Tính các giá trị tương ứng của hàm số 11n n y f (x ), , y f (x )== • Xác định các điểm • 111 n nn M (x , y ), ,M (x , y )== • Nối các điểm đã xác định nói trên ta có hình ảnh phác họa của đồ thị hàm số. Cách vẽ như trên không hoàn toàn chính xác mà chỉ cho hình dáng của đồ thị hàm số. Đồ thị của hàm số được dùng để minh họa các đặc trưng cơ bản, sự phụ thuộc của giá trị của hàm số và biến số. Nhìn vào đồ thị có thể dễ dàng quan sát xu hướng thay đổi của giá trị hàm số khi bi ến độc lập thay đổi. 1.1.3. Hàm số đơn điệu. Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn 1.1.3.1. Hàm số đơn điệu Hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b) • Được gọi là đơn điệu tăng trong khoảng (a,b) nếu với mọi 12 1 2 x,x (a,b),x x∈< kéo theo: 12 f(x ) f(x )≤ . CHÚ Ý: Đồ thị của hàm số có thể là tập hợp các điểm rời rạc, cũng có thể gồm một số cung liền Hình 1.2 Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 4 (Nếu điều kiện trên vẫn đúng khi bỏ dấu đẳng thức, tức là: 12 1 2 1 2 x ,x (a,b),x x f(x ) f(x )∀∈ <⇒ < thì ta nói hàm f tăng ngặt (hay đồng biến) trên (a,b) ). • Được gọi là đơn điệu giảm trong khoảng (a,b) nếu với mọi 12 1 2 x,x (a,b),x x∈< kéo theo: 12 f(x ) f(x )≥ . (Nếu điều kiện trên vẫn đúng khi bỏ dấu đẳng thức: 12 1 2 1 2 x ,x (a,b),x x f(x ) f(x )∀∈ <⇒ > thì ta nói hàm f giảm ngặt (hay nghịch biến) trên (a,b)). Hàm số f được gọi là đơn điệu trên (a,b) nếu nó chỉ đơn điệu tăng hoặc chỉ đơn điệu giảm trong khoảng này. Đồ thị của hàm số tăng là một đường “đi lên”, ngược lại đồ thị hàm số giảm là đường “đi xuống” nếu nhìn từ trái sang phải. Hình 1.3 1.1.3.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số f xác định trên một tập hợp D đối xứng ( ) xD xD∈⇔−∈ , chẳng hạn khoảng (l,l)− , đoạn [ ] a,a− , tập (b,a) (a,b)(0 a b)−−∪ << ,… • Được gọi là hàm chẵn nếu: f(x) f( x) = − với mọi xD ∈ . Nói một cách đơn giản khi x đổi dấu thì yvẫn không thay đổi. • Được gọi là hàm lẻ nếu: f(x) f( x) = −− với mọi x D ∈ . Nói một cách đơn giản khi x đổi dấu thì ycũng đổi dấu. Ví dụ 4: Các hàm số 2 f(x) x , g(x) cosx== là các hàm chẵn trên R vì: 22 f( x) ( x) x f(x) x g( x) cos( x) cosx g(x) ⎫ −=− = = ∀ ∈ ⎬ −= −= = ⎭ R Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 5 còn hàm số 3 h(x) x ,k(x) sin x== là các hàm lẻ trên R vì: 33 h( x) ( x) ( x) h(x) x k( x) sin( x) sinx k(x) ⎫ −=− =− =− ∀ ∈ ⎬ −= −=− =− ⎭ R Đồ thị của hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng, còn đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng (hình 1.4) Hàm chẵn: Hàm lẻ: 1.1.3.3. Hàm số tuần hoàn Định nghĩa: Hàm số fđược gọi là tuần hoàn trên miền xác định D (thông thường xét D ≡ R ) nếu tồn tại số thực p 0 ≠ sao cho: x D thì x p D và f(x p) f (x).∀∈ ± ∈ + = Số p gọi là chu kỳ của hàm f . Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 6 Nếu trong các số p nói trên, tồn tại một số dương nhỏ nhất – ký hiệu bởi T – thì T được gọi là chu kỳ cơ bản của f . Ví dụ 5: Các hàm sin x,cos x đều tuần hoàn với chu kỳ 2 π vì: sin(x 2 ) sin x,cos(x 2 ) cosx x + π= +π= ∀∈R Các hàm tgx,cotgx đều tuần hoàn với chu kỳ π vì: () tg x tgx, x k ;cotg(x ) cotg, x k 2 π + π= ∀ ≠ +π +π= ∀≠π Hơn nữa các chu kỳ nói trên đều là các chu kỳ cơ bản. Thật vậy, chẳng hạn xem xét hàm ysinx= , giả sử tồn tại số dương T2 < π để: ( ) sin x T sinx x . + =∀∈\ Khi đó với x0 = ta phải có: sin T sin 0 0 T k (k ) = =⇒ =π ∈Z mà T2<π nên T =π. Khi đó với x 2 π = thì sin sin 22 ππ ⎛⎞⎛⎞ +π = ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ , hay 1 1 = − . Về mặt hình học, đồ thị của hàm tuần hoàn là một họ đường lặp đi lặp lại trong từng khoảng có độ dài bằng chu kỳ. Do đó để vẽ đồ thị của hàm tuần hoàn, ta chỉ cần vẽ đồ thị trong một chu kỳ cơ bản T , sau đó thực hiện liên tiếp các phép tịnh tiến theo các vectơ song song với trục hoành và có độ dài bằng T. Hình 1.5: Đồ thị hàm số y = tgx 1.1.4. Hàm số hợp Giả sử ta có hai hàm số yf(u)= biểu diễn sự phụ thuộc của y theo u u(x)=ϕ biểu diễn sự phục thuộc của u theo x . Thêm vào đó, khi x thay đổi trong miền X , các giá trị của hàm số u(x)=ϕ luôn thuộc vào miền xác định của hàm yf(u) = . Khi đó mỗi giá trị của biến x được cho tương ứng với duy nhất một giá trị của biến y theo quy tắc: f xuy ϕ ⎯ ⎯→⎯⎯→ , hay y f ( (x)) = ϕ . Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 7 Hàm số g biến x thành y theo quy tắc trên gọi là (hàm số) hợp của hai hàm f và ϕ . Ký hiệu: g f ( (x))=ϕ . (Nhớ rằng trong cách ký hiệu trên, hàm nào đứng sau lại có tác động trước đến biến x ). Ví dụ 6: Hàm số 5 ysinx= là hàm hợp của hai hàm 5 yu = và usinx = . Cách nói sau cũng được chấp nhận: “Hàm số 5 g(x) sin x= là hàm hợp của hai hàm 5 f(x) x = và (x) sin x ϕ = ”. 1.1.5. Hàm số ngược Xét hàm số yf(x) = có miền xác định X , miền giá trị Yf(X) = . Nếu với mỗi 0 yY ∈ tồn tại duy nhất 0 xX∈ để 00 f(x ) y = (hay phương trình 0 f(x) y= có nghiệm duy nhất trong X ) thì quy tắc biến mỗi số yY ∈ thành nghiệm duy nhất của phương trình f(x) y= là một hàm số đi từ Y đến X gọi là hàm ngược của hàm f , ký hiệu 1 f − 1 f(y) x f(x) y. − = ⇔= Khi đó, dễ dàng thấy rằng f là hàm ngược của 1 f − . Ví dụ 7: • Hàm số 3 yx = ( →RR) có hàm ngược là hàm số 3 xy= ( →RR) vì: 3 3 yx x y=⇔= • Hàm số x ya= () a0,a1>≠( * + →RR ) có hàm ngược là hàm số a xlogy= ( + * →RR) vì: x a y a x log x.=⇔= • Các hàm lượng giác quen thuộc đều có hàm ngược với cùng một cách ký hiệu: o Hàm số ysinx= , [ 1,1] 22 ⎛ππ ⎞ ⎡⎤ −→− ⎜⎟ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎝⎠  có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là: xarcsiny= [1,1] , . 22 ⎛ππ⎞ ⎡ ⎤ −→− ⎜⎟ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝⎠  o Hàm số ycosx= [ ] () 0, [ 1,1]π→− có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là: xarccosy= [ ] ( ) [1,1] 0, − →π. o Hàm số ytgx= , 22 ⎛ππ ⎞ ⎛⎞ −→ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ R có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là: xarctgy , . 22 ⎛ππ⎞ ⎛⎞ =→− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ \ Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 8 o Hàm số y =cotgx () () 0, π→R có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là: ( ) ( ) xarccotgy 0.=→π\ ( ) ( ) 0,→πR 1.1.6. Các hàm số sơ cấp 1.1.6.1. Các hàm số sơ cấp cơ bản • Hàm lũy thừa y x ( ) α =α∈R Miền xác định (MXĐ) của hàm phụ thuộc vào số α . o Nếu 0α≥ , MXĐ là R . o Nếu α nguyên âm. MXĐ là \{0}R . o Nếu * 1 ,p p α= ∈R thì MXĐ là + R nếu p chẵn và R nếu p lẻ. o Nếu α vô tỷ, MXĐ được quy ước là + R . • Hàm mũ: x f(x) a (0 a 1)=<≠ MXĐ: R , MGT: * + R ; Hàm số đồng biến nếu a1> và nghịch biến nếu 0a1<<. • Hàm số lôgarit: a f(x) log x= (0a1 < ≠ ) o MXĐ: * + R , MGT:R ; Hàm số đồng biến nếu a1> và nghịch biến nếu 0a1<<. • Hàm lượng giác o ysinx= : Có MXĐ là R , MGT [ 1,1] − ; cho tương ứng mỗi số thực x với tung độ điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác. Hàm sin là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản 2 π . Hình 1.7: Đồ thị hàm số = 3 y x CHÚ Ý : • Do thường ký hiệu x để chỉ biến độc lập và y để chỉ biến phụ thuộc nên khi biểu diễn hàm ngược thay vì 1 xf(y) − = có viết 1 yf(x) − = . Chẳng hạn a ylogx= là hàm ngược của hàm: x ya = • Đồ thị của hai hàm ngược nhau không thay đổi như khi đổi vai trò x,y cho nhau thì nó đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. Thật vậy, gọi (C) và (C’) lần lượt là đ ồ thị của hai hàm f(x) và 1 f(x) − thì theo định nghĩa: M (x, y) (C) M' (y,x) (C')=∈⇔=∈ Hình 1.6: Hàm mũ, hàm logarit Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 9 o ycosx= : Có MXĐ là R , MGT [1,1]− ; cho tương ứng mỗi số thực x với hoành độ điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác. Hàm cos là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản 2 π . o ytgx= : Có MXĐ là \ (2k+1) , k 2 π ⎧⎫ ∈ ⎨⎬ ⎩⎭ RZ, MGT R ; cho tương ứng mỗi số thực x với tung độ của giao điểm tia OM (M là điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác) với trục tan là đường thẳng có phương trình: x1= . Hàm tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản π . o y = cotgx: Có MXĐ là { } \k,kπ∈RZ, MGT R ; cho tương ứng mỗi số thực x với hoành độ của giao điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác) với trục cotg là đường thẳng có phương trình y 1 = . Hàm cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản π . Hình 1.8: Quy tắc xác định các hàm lượng giác Hình 1.9: Đồ thị các hàm số lượng giác Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 10 • Hàm lượng giác ngược o yarcsinx= : Có MXĐ là [ 1,1] − , MGT , 22 π π ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ là hàm ngược của hàm sin. Hàm y arcsin x= là hàm lẻ, đồng biến. o yarccosx= : Có MXĐ là [ 1,1] − , MGT [ ] 0, π là hàm ngược của hàm cos. o Hàm y arccos x= là hàm nghịch biến. o yarctgx= : Có MXĐ là R , MGT , 22 π π ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ là hàm ngược của hàm tg. Hàm y arctgx= là hàm lẻ, đồng biến. o yarccotgx= : Có MXĐ là R , MGT , 22 π π ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ là hàm ngược của hàm cotgx. Hàm y arccotgx= là hàm lẻ, nghịch biến. Hình 1.10: Đồ thị các hàm lượng giác ngược 1.1.6.2. Định nghĩa Hàm số sơ cấp là một hàm số được thành lập từ các hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hằng cùng với một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân chia) và các phép toán lấy hàm hợp. Ví dụ 8: Các hàm số sau đều là các hàm sơ cấp: • Hàm bậc nhất: y ax b=+. [...]... số và giới hạn của dãy số, các định lý áp dụng để tính giới hạn của dãy số Phần cuối cùng trình bày về giới hạn hàm số, hàm số liên tục và các khái niệm vô cùng lớn, vô cùng bé 20 Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục CÂU HỎI ÔN TẬP 1 Định nghĩa hàm số đơn điệu, chẵn, lẻ, tuần hoàn 2 Định nghĩa hàm số ngược của hàm số y = f(x) Tìm hàm số ngược của các hàm số lượng giác 3 Định nghĩa và phân loại các hàm. .. nghĩa và phân loại các hàm số sơ cấp 4 Định nghĩa giới hạn của dãy số 5 Định nghĩa giới hạn của hàm số, giới hạn một phía, giới hạn vô hạn 6 Phát biểu hai tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 7 Định nghĩa VCB, VCL, VCB tương đương 8 Hàm số liên tục: Định nghĩa, tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn 21 Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục BÀI TẬP 1 Chứng minh rằng bất kỳ một hàm số nào xác định trong một khoảng... Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Định nghĩa: f(x) được gọi là: liên tục trong khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó liên tục trên đoạn [ a, b ] , nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng (a, b) , đồng thời liên tục phải tại a (tức là lim f (x) = f (a) ) và liên tục trái tại b (tức là: lim f (x) = f (b) ) x →a + 0 x →b −0 1.3.4.2 Các phép toán về hàm liên tục Từ các định lý về giới. .. giới hạn của tổng, tích, thương và từ định nghĩa của hàm số liên tục tại một điểm, có thể dễ dàng suy ra: Định lý: Nếu f và g là hai hàm số liên tục tại x 0 thì: • f (x) + g(x) liên tục tại x 0 • f (x).g(x) liên tục tại x 0 • f (x) liên tục tại x 0 nếu g(x 0 ) ≠ 0 g(x) Định lý: Nếu hàm số u = ϕ(x) liên tục tại x 0 , hàm số y = f (u) liên tục tại u 0 = ϕ(x 0 ) thì hàm số hợp y = (f ϕ)(x) = f [ ϕ(x) ] liên. .. f(x) liên tục trên [ a, b ] , f(a)f(b) < 0 thì trong khoảng (a, b) tồn tại điểm ξ sao cho: f ( ξ ) = 0 19 Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Trong bài này chúng ta nghiên cứu ba vấn đề là: • Những vấn đề cơ bản về hàm số một biến số • Dãy số và giới hạn của dãy số • Giới hạn của hàm số Phần đầu tiên hệ thống hóa lại các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số, một số tính chất của hàm. .. 0 < x − a < δ} và cả hai hàm số f (x), g(x) có giới hạn hữu hạn khi x → a thì lim f (x) ≥ lim g(x) x →a x →a 1.3.2.2 Các quy tắc tính giới hạn Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số bằng ngôn ngữ dãy số và các quy tắc tương ứng về giới hạn của dãy số ta dễ dàng chứng minh được các quy tắc sau đây: Định lý: Nếu khi x → a các hàm số f (x) và g(x) lần lượt có giới hạn là các số thực L1 và L 2 thì: • lim... lim x n = lim z n = a ( a có thể hữu hạn, +∞ hoặc −∞ ) thì { y n } có giới hạn và n →∞ n →∞ lim y n = a n →∞ 1.2.3.3 Định lý Weierstrass Dãy số tăng và bị chặn trên (hoặc giảm và bị chặn dưới) thì hội tụ 13 Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 1.2.4 Các định lý về giới hạn của dãy số Cho {x n } , { y n } là các dãy có giới hạn hữu hạn Dùng định nghĩa có thể chứng minh các kết quả sau: lim(x n ± y n... Tính chất 1.3.2.1 Tính chất các hàm có giới hạn Giới hạn của hàm số cũng có một số tính chất tương tự như giới hạn của dãy số Định lý: Nếu hàm số f (x) có giới hạn khi x → a thì giới hạn đó là duy nhất Định lý: Nếu hàm số f (x) có giới hạn hữu hạn khi x → a thì nó bị chặn trong miền X = {x ∈ R : 0 < x − a < δ} , với δ là một số dương đủ nhỏ Định lý: Nếu lim f (x) = L và L > b (L < b) thì, với δ là một...Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục • Hàm bậc hai: y = ax 2 + bx + c • Hàm lôgarit: log a x + x 2 + 1 • Hàm lượng giác: y = • Hàm phân thức hũu tỷ: y = ) ( 1 + sin x + arctg(2x + 3) 1− x2 x 1− x2 1.2 Dãy số và giới hạn của dãy số 1.2.1 Khái niệm 1.2.1.1 Dãy số Ta gọi dãy số là một tập hợp các số (gọi là các số hạng) được viết theo một thứ tự, hay được đánh số bằng các số tự nhiên Để cho một dãy số,. .. liên tục tại x 0 Chứng minh: Ta có lim ϕ(x) = ϕ(x 0 ) = u 0 vì ϕ liên tục tại x 0 x →x0 Hàm số: y = f (u) liên tục tại u 0 Do đó: lim f (u) = f (u 0 ) u →u0 1.3.4.3 Tính chất của hàm số liên tục Các định lý sau đây (không chứng minh) nêu lên những tính chất cơ bản của hàm số liên tục Định lý: Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ a; b ] thì nó bị chặn trên đoạn đó, tức là tồn tại hai số m và M sao . giới hạn, tính liên tục • Áp dụng phần mềm toán để tính toán với hàm số, giới hạn Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục 2 1.1. Hàm số một biến số 1.1.1. Định nghĩa hàm số một biến số Cho. các lý thuyết về hàm số, giới hạn. • Sau khi đọc kỹ lý thuyết bạn cần làm bài tập càng nhiều càng tốt để củng cố và nâng cao kiến thức. BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Thời lượng. các hàm có giới hạn Giới hạn của hàm số cũng có một số tính chất tương tự như giới hạn của dãy số Định lý: Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi xa→ thì giới hạn đó là duy nhất. Định lý: Nếu hàm