Ôn Tập Toán cao cấp 1- Bài 1 ppt

1 v1.0 BÀI 1 HÀM SỐ -GIỚI HẠN - LIÊN TỤC Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn 2 v1.0 LÍ THUYẾT 1. Hàm số mộtbiếnsố: Định nghĩa, đồ thị,tínhđơn điệu, tính chẵnlẻ,…, hàm số hợpvàhàmngược. 2. Dãy số:Kháiniệmdãysố,dãyđơn điệu, dãy bị chặn, các tiêu chuẩn tồntạigiớihạn, các định lí về giớihạn. 3. Giớihạn: Khái niệm, các tính chấtcủagiớihạnhàmsố,VCB,VCL,các phương pháp tính giớihạn. 4. Sự liên tụccủahàms ố:Hàmsố liên tụcvàcáctínhchất. 3 v1.0 VÍ DỤ 1 Cho các hàm số và Xác định hàm số hợpcủagvàf,hàmhợpcủafvàg. Hướng dẫn: •Mộthàmsốđượcxácđịnh khi biếttậpxácđịnh và công thứccủa hàm sốđó. •Kháiniệmhàmsố hợp: “Cho thỏamãn •Hàmhợpcủavà: f: ,f(x) 2x g: ,g(x) 1 x :X ,x u (x)  f:U ,u y f(u) :,()(())hX x hx f x  f (x) U, x X   4 v1.0 VÍ DỤ 1 (tiếp theo) Lờigiải: Hàm số hợpcủagvàflà: và hàm số hợp của f và g là: Nhận xét: • •Sai lầm thường gặp: nhầm lẫn giữa “hàm hợp của f và g” với “hàm hợp của g và f”. h: , x h(x) h(x) g(f(x)) g(2x) 2x 1   k: , x k(x) k(x) f(g(x)) f(1 x) 2(1 x) 2x 2   f(g(x)) g(f(x)) 5 v1.0 Hàm hợpcủahaihàmsố f(u)=cosuvàu(x)=2xlàhàmsố nào sau đây? VÍ DỤ 2 a. h(x) = cos(2x) b. h(x) = 2cosx c. h(x) = cosx d. h(x) = 2cos(2x) 6 v1.0 Hàm hợpcủahaihàmsố f(u)=cosuvàu(x)=2xlàhàmsố nào sau đây?   f(u(x)) f(2x) cos(2x)   VÍ DỤ 2 (tiếp theo) a. h(x) = cos(2x) b. h(x) = 2cosx c. h(x) = cosx d. h(x) = 2cos(2x) a. h(x) = cos(2x)  x x x 7 v1.0 Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng: a. Dãy bị chặn trên. b. Dãy đơn điệu tăng. c. Dãy đơn điệu giảm. d. Dãy bị chặn. VÍ DỤ 3 Cho dãy số:     n 1;2;3, 4; ;n;  8 v1.0 VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem lại khái niệm về dãy đơn điệu và bị chặn Dãy gọi là: •Dãy tăng nếu x n < x n+1 •Dãy giảm nếu x n > x n+1 •Dãy đơn điệu nếu nó là dãy tăng hoặc dãy giảm •Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho x •Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho x n •Bị chặn nếu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Như vậy, dãy là bị chặn nếu có các số m và M sao cho   x n mx M, n n   n    n    M, n   m, n 9 v1.0 Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng: VÍ DỤ 3 (tiếp theo) a. Dãy bị chặn trên. b. Dãy đơn điệu tăng. c. Dãy đơn điệu giảm. d. Dãy bị chặn.  x x x n n xn    12 (x 1 x 2)   (1 2 3 4 )   Cho dãy số:     n 1;2;3, 4; ;n;  Nhận xét: Sai lầm thường gặp: •Cho rằng “dãy đơn điệu là dãy vừa đơn điệu tăng, vừa đơn điệu giảm”; •Cho rằng “dãy bị chặn là dãy bị chặn trên hoặc bị chặn dưới”. 10 v1.0 Cho dãy số: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng: a. Dãy đơn điệu. b. Dãy đơn điệutăng. c. Dãy đơn điệugiảm. d. Dãy bị chặn.        nn 1 1;1; 1;1; , 1 ,   VÍ DỤ 4 [...]...  1    1; 1; 1; 1; ,  1 n n  , Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng: a Dãy đơn điệu x b Dãy đơn điệu tăng x x 2  1  x 3  1 c Dãy đơn điệu giảm x x1  1  x 2  1 d Dãy bị chặn  1  x n  ( 1) n  1, n 11 v1.0 VÍ DỤ 5 Mệnh đề nào sai? a Dãy không hội tụ thì phân kỳ b Dãy không phân kỳ thì hội tụ c Tồn tại dãy số không hội tụ, cũng không phân kỳ d Không có dãy số nào không... 0 b 1 c 3 2 2 d 3 31 v1.0 VÍ DỤ 12 (tiếp theo) arctg  2x  Giới hạn lim bằng: x 0 3x a 0  b 1  3 2  c 2 d 3  arctg  2x  2x 2  lim  Khi x  0: arctg(2x)  2x  lim x 0 x 0 3x 3x 3 32 v1.0 VÍ DỤ 13 2n2  n  1 Giới hạn lim bằng: 2 n 3n  5 2 3 1 b 5 3 c 2 d Không tồn tại a 33 v1.0 VÍ DỤ 13 (tiếp theo) 2n2  n  1 Giới hạn lim bằng: 2 n 3n  5 2 3 1 b 5 3 c 2 d Không tồn tại a   1 1 ... 27 v1.0 VÍ DỤ 10 (tiếp theo) VCB nào sau đây có bậc thấp hơn VCB f(x)  x 2 khi x  0 ? a f1 ( x )  s in 2 x b f2 ( x )   e x x 1  c f3 ( x )  l n ( c o s x ) d f4 ( x )  tg x  3 2 5 sin2 x   sin x    x   x 2 x e x x2 ln(cosx)  ln [1 (1 cosx)]  1 cosx   2   tgx  2 x 1 3 2 2    x 5 5 x 3 x 5 2 2 28 v1.0 VÍ DỤ 11 sin 3x Giới hạn lim 2x bằng: x 0 e 1 a 0 b 1 c 3... c 3 2 d 2 3 29 v1.0 VÍ DỤ 11 (tiếp theo) sin 3x Giới hạn lim 2x bằng: x 0 e 1 a 0  b 1  3 2 2 d 3  c sin 3x 3x 3 Khi x  0 : sin 3x  3x; e2x  1  2x  lim 2x  lim  2 x 0 e x 0 2x 1  Hướng dẫn: Phương pháp thay tương đương Định lý: Nếu (x) và (x) là hai VCB khi x  a, (x)  1 (x), (x)  1 (x) khi x  a thì: lim x a  (x) (x)  lim 1 (x) x a 1 (x) 30 v1.0 VÍ DỤ 12 arctg  2x ... phân kỳ  d Không có dãy số nào không hội tụ, mà cũng không phân kỳ x Nhận xét: Sai lầm thường gặp: Hiểu sai khái niệm • Dãy hội tụ; • Dãy phân kì; => Đọc kĩ các khái niệm 14 v1.0 VÍ DỤ 6 Mệnh đề nào đúng? a Dãy bị chặn thì hội tụ b Dãy hội tụ thì bị chặn c Dãy phân kỳ thì không bị chặn d Dãy không hội tụ thì không bị chặn 15 v1.0 VÍ DỤ 6 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem lại mục 1. 2.3 (tr .13 ) 1. 2.3 Tiêu chuẩn... 2n  n  1 n n2  2 lim  lim 2 n n 5 3n  5 3 3 2 n 2 2   Nhận xét: Phương pháp giải dạng bài này là chia cả tử và mẫu cho nk bậc cao nhất của tử và mẫu rồi dùng giới hạn lim 1  0 n n 34 v1.0 VÍ DỤ 14 n2  3n  4 Giới hạn lim bằng: 2 n 2n  3 a 2 3 b 1 2 c 1 2 2 d 3 35 v1.0 VÍ DỤ 14 (tiếp theo) n2  3n  4 Giới hạn lim bằng: 2 n 2n  3 a 2 3  b 1 2  c 1 2  2 d 3  36 v1.0 ... cũng không phân kỳ 12 v1.0 VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Hướng dẫn: Bài 1, mục 1. 2.2: Dãy {xn} được gọi là dãy hội tụ nếu tồn tại số a để lim x n  a Trong x  trường hợp ngược lại, ta nói dãy phân kỳ Như vậy, một dãy số chỉ có thể là hội tụ hoặc phân kỳ 13 v1.0 VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Mệnh đề nào sai? a Dãy không hội tụ thì phân kỳ x b Dãy không phân kỳ thì hội tụ x c Tồn tại dãy số không hội tụ, cũng không phân...  1)  (e u  1)  u 25 v1.0 VÍ DỤ 9 (tiếp theo) x  x2  b f2 (x)   e  1    (arcsin x  x)  a f1 (x)  arcsin x  x2  e  1   x2    2 c f3 (x)  1  cos x  d f4 (x)  arc tg x x  2 x 2 x x x 1  cosx  2sin    2    2  2 2 2  arc tg x    x  2 2 x 26 v1.0 VÍ DỤ 10 VCB nào sau đây có bậc thấp hơn VCB f(x)  x 2 khi x  0 ? a f1 ( x )  s in 2 x b f2 ( x )  e x 1. .. giới hạn 1. 2.3 .1 Tính duy nhất của giới hạn Định lý: Nếu một dẫy có giới hạn (hữu hạn) thì: • Dãy đó là dãy bị chặn; • Giới hạn là duy nhất 16 v1.0 VÍ DỤ 6 (tiếp theo) Mệnh đề nào đúng? a Dãy bị chặn thì hội tụ x b Dãy hội tụ thì bị chặn  c Dãy phân kỳ thì không bị chặn x d Dãy không hội tụ thì không bị chặn x Chú ý: ( 1) n  vừa là dãy bị chặn, vừa là dãy phân kì nhưng không hội tụ 17 v1.0 VÍ DỤ... f(x)  x 2 khi x0 ? a f1 (x)  arcsin x  b f2 (x)  e x2 1  c f3 (x)  1  cos x  d f4 (x)  arc tg x  2 23 v1.0 VÍ DỤ 9 (Tiếp theo) Hướng dẫn: Xem phần “So sánh các vô cùng bé” (tr 17 ) và “các vô cùng bé tương đương thường gặp”(tr .18 ) Bậc của các VCB Định nghĩa: Giả sử (x), (x) là hai VCB khi x  a (x)  0 ; ta nói rằng là VCB bậc cao hơn x a (x) (x)   ; ta nói rằng là VCB bậc thấp hơn . chặn.  x x x 12 x1x1    23 x1x 1   n n 1x (1) 1, n   12 v1.0 Mệnh đề nào sai ? a. Dãy không hội tụ thì phân kỳ b. Dãy không phân kỳ thì hội tụ c. Tồn tại dãy số không hội tụ, cũng không. phân kỳ thì không bị chặn. d. Dãy không hội tụ thì không bị chặn. VÍ DỤ 6 16 v1.0 VÍ DỤ 6 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem lại mục 1. 2.3 (tr .13 ) 1. 2.3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 1. 2.3 .1. Tính duy nhất.  VÍ DỤ 4 11 v1.0 Cho dãy số: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng: a. Dãy đơn điệu. b. Dãy đơn điệutăng. c. Dãy đơn điệugiảm. d. Dãy bị chặn.        nn 1 1 ;1; 1; 1; , 1 , 