Bài giảng Toán cao cấp - Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

Bài giảng Toán cao cấp - Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục giúp người học hiểu được khái niệm hàm số, giới hạn, sự liên tục; giải được các bài tập về hàm số, giới hạn, tính liên tục; áp dụng phần mềm toán để tính toán với hàm số, giới hạn.

Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Thời lượng Mục tiêu Bạn nên học làm tập hai tuần, tuần khoảng đến đồng hồ  Hiểu khái niệm hàm số, giới hạn, liên tục  Giải tập hàm số, giới hạn, tính liên tục  Áp dụng phần mềm tốn để tính tốn với hàm số, giới hạn Nội dung Trên sở kiến thức chương trình phổ thơng, mục đích ơn tập, hệ thống hóa nâng cao kiến thức hàm số biến số: Giới hạn, tính liên tục hàm số Hướng dẫn học  Đây học nhằm ôn tập hệ thống hóa lại kiến thức tốn học học chương trình phổ thơng nên bạn cần đọc kỹ lại lý thuyết hàm số, giới hạn  Sau đọc kỹ lý thuyết bạn cần làm tập nhiều tốt để củng cố nâng cao kiến thức MAT101_Bài 1_v2.3013101225 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục 1.1 Hàm số biến số 1.1.1 Định nghĩa hàm số biến số Cho X tập hợp khác rỗng  Ta gọi ánh xạ f :X   x  y  f x hàm số biến số tập hợp X , x biến số độc lập, y đại lượng phụ thuộc hay hàm số x Tập hợp X gọi miền xác định hàm số f Tập hợp f (X)  {y  , y  f (x) : x  X} gọi miền giá trị f Nếu hàm số biến số cho dạng biểu thức: y  f (x) mà khơng nói thêm ta hiểu miền xác định hàm số tập hợp giá trị thực biến số x làm cho biểu thức có nghĩa Ví dụ 1: Biểu thức y   x xác định :  x   x   1  x  Do miền xác định hàm số y   x  1,1 Dễ dàng thấy miền giá trị hàm y [0,1] Miền xác định hàm số gồm nhiều tập rời nhau, tập lại có quy tắc riêng để xác định giá trị hàm số Hàm số xác định nhiều công thức khác tùy thuộc vào giá trị biến Ví dụ 2:  x  x  f (x)   1  2x x  Hàm f (x) hàm số xác định  Nếu x không âm giá trị hàm số tính theo công thức: f (x)  x  Nếu x âm, giá trị hàm số tính bởi: f (x)   2x 1.1.2 Đồ thị hàm số Giả sử hàm số y = f(x) có miền xác định X   Ứng với giá trị x  X ta có giá trị y  f (x ) hàm số Trong hệ trục tọa độ Đề-các vng góc, xét điểm M  (x , y ) Khi x thay đổi “quét” hết tập xác định X M thay đổi theo vạch nên đường cong mặt phẳng tọa độ Oxy Đường cong gọi đồ thị hàm số y = f(x) Như vậy, đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp điểm mặt phẳng có tọa độ M  x; y  , y = f(x), x thuộc miền xác định X MAT101_Bài 1_v2.3013101225 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục CHÚ Ý: Đồ thị hàm số tập hợp điểm rời rạc, gồm số cung liền Ví dụ 3:  x  Đồ thị hàm số y   x 3  2 x   x  biểu diễn sau: x  Hình 1.1 Việc vẽ phác họa đồ thị hàm số f với miền xác định khoảng số thực thường xác định theo trình tự sau: y Lấy số x1 , x , , x n từ miền xác định hàm số (càng nhiều điểm điểm gần tốt)  Tính giá trị tương ứng hàm số y1  f (x1 ), , y n  f (x n )   Xác định điểm M1  (x1 , y1 ), , M n  (x n , y n )  Nối điểm xác định nói ta có hình ảnh phác họa đồ thị hàm số Cách vẽ không hồn tồn xác mà cho hình dáng đồ thị hàm số x Đồ thị hàm số dùng để minh họa Hình 1.2 đặc trưng bản, phụ thuộc giá trị hàm số biến số Nhìn vào đồ thị dễ dàng quan sát xu hướng thay đổi giá trị hàm số biến độc lập thay đổi 1.1.3 Hàm số đơn điệu Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn 1.1.3.1 Hàm số đơn điệu Hàm số f (x) xác định khoảng (a, b)  Được gọi đơn điệu tăng khoảng (a, b) với x1 , x  (a, b), x1  x kéo theo: f (x1 )  f (x ) MAT101_Bài 1_v2.3013101225 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục (Nếu điều kiện bỏ dấu đẳng thức, tức là: x1 , x  (a, b), x1  x  f (x1 )  f (x ) ta nói hàm f tăng ngặt (hay đồng biến) (a, b) )  Được gọi đơn điệu giảm khoảng (a, b) với x1 , x  (a, b), x1  x kéo theo: f (x1 )  f (x ) (Nếu điều kiện bỏ dấu đẳng thức: x1 , x  (a, b), x1  x  f (x1 )  f (x ) ta nói hàm f giảm ngặt (hay nghịch biến) (a, b) ) Hàm số f gọi đơn điệu (a, b) đơn điệu tăng đơn điệu giảm khoảng Đồ thị hàm số tăng đường “đi lên”, ngược lại đồ thị hàm số giảm đường “đi xuống” nhìn từ trái sang phải Hình 1.3 1.1.3.2 Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số f xác định tập hợp D đối xứng  x  D   x  D  , chẳng hạn khoảng (l, l) , đoạn  a, a  , tập (b, a)  (a, b)(0  a  b) ,…  Được gọi hàm chẵn nếu: f (x)  f ( x) với x  D Nói cách đơn giản x đổi dấu y không thay đổi  Được gọi hàm lẻ nếu: f (x)  f ( x) với x  D Nói cách đơn giản x đổi dấu y đổi dấu Ví dụ 4: Các hàm số f (x)  x , g(x)  cos x hàm chẵn  vì:  f ( x)  ( x)  x  f (x)  x   g( x)  cos( x)  cos x  g(x)  MAT101_Bài 1_v2.3013101225 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục hàm số h(x)  x , k(x)  sin x hàm lẻ  vì:   x   k(  x)  sin(  x)   sin x  k(x)  h(  x)  ( x)3  ( x)3   h(x) Đồ thị hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng, đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng (hình 1.4) Hàm chẵn: Hàm lẻ: 1.1.3.3 Hàm số tuần hoàn Định nghĩa: Hàm số f gọi tuần hoàn miền xác định D (thông thường xét D   ) tồn số thực p  cho: x  D x  p  D f (x  p)  f (x) MAT101_Bài 1_v2.3013101225 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục Số p gọi chu kỳ hàm f Nếu số p nói trên, tồn số dương nhỏ – ký hiệu T – T gọi chu kỳ f Ví dụ 5: Các hàm sin x, cos x tuần hồn với chu kỳ 2 vì: sin(x  2)  sin x, cos(x  2)  cos x x   Các hàm tgx,cotgx tuần hoàn với chu kỳ  vì: tg  x     tgx,x    k;cotg(x  )  cotgx,x  k Hơn chu kỳ nói chu kỳ Thật vậy, chẳng hạn xem xét hàm y  sin x , giả sử tồn số dương T  2 để: sin  x  T   s inx x   Khi với x  ta phải có: sin T  sin   T  k (k  ) mà T  2 nên T   Khi với x      sin      sin   , hay  1 2  2 Về mặt hình học, đồ thị hàm tuần hoàn họ đường lặp lặp lại khoảng có độ dài chu kỳ Do để vẽ đồ thị hàm tuần hoàn, ta cần vẽ đồ thị chu kỳ T , sau thực liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ song song với trục hoành có độ dài T Hình 1.5: Đồ thị hàm số y = tgx 1.1.4 Hàm số hợp Giả sử ta có hai hàm số y  f (u) biểu diễn phụ thuộc y theo u u  (x) biểu diễn phục thuộc u theo x Thêm vào đó, x thay đổi miền X , giá trị hàm số u  (x) thuộc vào miền xác định hàm y  f (u) Khi giá trị biến x cho tương ứng với giá trị biến y theo quy tắc: MAT101_Bài 1_v2.3013101225 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục  x   u   y , hay y  f ((x)) f Hàm số g biến x thành y theo quy tắc gọi (hàm số) hợp hai hàm f  Ký hiệu: g  f ((x)) (Nhớ cách ký hiệu trên, hàm đứng sau lại có tác động trước đến biến x ) Ví dụ 6: Hàm số y  sin x hàm hợp hai hàm y  u u  sin x Cách nói sau chấp nhận: “Hàm số g(x)  sin x hàm hợp hai hàm f (x)  x (x)  sin x ” 1.1.5 Hàm số ngược Xét hàm số y  f (x) có miền xác định X , miền giá trị Y  f (X) Nếu với y  Y tồn x  X để f (x )  y (hay phương trình f (x)  y có nghiệm X ) quy tắc biến số y  Y thành nghiệm phương trình f (x)  y hàm số từ Y đến X gọi hàm ngược hàm f , ký hiệu f 1 f 1 (y)  x  f (x)  y Khi đó, dễ dàng thấy f hàm ngược f 1 Ví dụ 7: Hàm số y  x (    ) có hàm ngược hàm số x  y (    ) vì:  y  x3  x  y Hàm số y  a x  a  0, a  1 (   * ) có hàm ngược hàm số x  log a y  ( *+   ) vì: y  a x  x  log a x  Các hàm lượng giác quen thuộc có hàm ngược với cách ký hiệu: o      Hàm số y  sin x    ,   [  1,1]  có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược  2  là:     x  arcsin y  [  1,1]    ,    2  o Hàm số y  cos x 0,   [  1,1] có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược là: x  arccos y [  1,1]   0,  o MAT101_Bài 1_v2.3013101225      Hàm số y  tgx    ,     có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược là:  2   Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục      x  arctgy      ,    2   o   0,      có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược là: x  arccotgy     0.       0,    Hàm số y cotgx CHÚ Ý :  Do thường ký hiệu x để biến độc lập y để biến phụ thuộc nên biểu diễn hàm ngược thay x  f 1 (y) có viết y  f 1 (x) Chẳng hạn y  log a x hàm ngược hàm: y  a x  Đồ thị hai hàm ngược không thay đổi đổi vai trị x,y cho đối xứng qua đường phân giác thứ Thật vậy, gọi (C) (C’) đồ thị hai hàm f (x) f 1 (x) theo định nghĩa: M  (x, y)  (C)  M '  (y, x)  (C ') Hình 1.6: Hàm mũ, hàm logarit 1.1.6 Các hàm số sơ cấp 1.1.6.1 Các hàm số sơ cấp  Hàm lũy thừa y  x  (   ) Miền xác định (MXĐ) hàm phụ thuộc vào số  o Nếu   , MXĐ  o Nếu  nguyên âm MXĐ  \{0} o o  Nếu   , p  * MXĐ   p p chẵn  p lẻ Nếu  vô tỷ, MXĐ quy ước   Hình 1.7: Đồ thị hàm số y  x Hàm mũ: f (x)  a x (0  a  1) MXĐ:  , MGT: * ; Hàm số đồng biến a  nghịch biến  a   Hàm số lôgarit: f (x)  log a x (  a  ) o MXĐ: * , MGT:  ; Hàm số đồng biến a  nghịch biến  a 1  Hàm lượng giác MAT101_Bài 1_v2.3013101225 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục o y  sin x : Có MXĐ  , MGT [  1,1] ; cho tương ứng số thực x với tung độ điểm biểu diễn cung x radian đường tròn lượng giác Hàm sin hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 2 o y  cos x : Có MXĐ  , MGT [  1,1] ; cho tương ứng số thực x với hoành độ điểm biểu diễn cung x radian đường tròn lượng giác Hàm cos hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ 2 o y  tgx : Có MXĐ     \ (2k+1) , k    ,   MGT  ; cho tương ứng Hình 1.8: Quy tắc xác định hàm lượng giác số thực x với tung độ giao điểm tia OM ( M điểm biểu diễn cung x radian đường tròn lượng giác) với trục tan đường thẳng có phương trình: x  Hàm tgx hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ  o y  cotgx: Có MXĐ  \ k, k   , MGT  ; cho tương ứng số thực x với hoành độ giao điểm tia OM ( M điểm biểu diễn cung x radian đường tròn lượng giác) với trục cotg đường thẳng có phương trình y  Hàm cotgx hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ  Hình 1.9: Đồ thị hàm số lượng giác MAT101_Bài 1_v2.3013101225 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục  Hàm lượng giác ngược o    y  arcsin x : Có MXĐ [  1,1] , MGT   ,  hàm ngược hàm sin  2 Hàm y  arcsin x hàm lẻ, đồng biến o y  arccos x : Có MXĐ [  1,1] , MGT  0,  hàm ngược hàm cos o Hàm y  arccos x hàm nghịch biến o o    y  arctgx : Có MXĐ  , MGT   ,  hàm ngược hàm tg  2 Hàm y  arctgx hàm lẻ, đồng biến    y  arccotgx : Có MXĐ  , MGT   ,  hàm ngược hàm cotgx  2 Hàm y  arccotgx hàm lẻ, nghịch biến Hình 1.10: Đồ thị hàm lượng giác ngược 1.1.6.2 Định nghĩa Hàm số sơ cấp hàm số thành lập từ hàm số sơ cấp hàm với số hữu hạn phép toán số học (cộng, trừ, nhân chia) phép toán lấy hàm hợp Ví dụ 8: Các hàm số sau hàm sơ cấp:  10 Hàm bậc nhất: y  ax  b MAT101_Bài 1_v2.3013101225 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục  Hàm bậc hai: y  ax  bx  c  Hàm lôgarit: log a x  x   Hàm lượng giác: y   Hàm phân thức hũu tỷ: y     sin x  arctg(2x  3) 1 x2 x 1 x2 1.2 Dãy số giới hạn dãy số 1.2.1 Khái niệm 1.2.1.1 Dãy số Ta gọi dãy số tập hợp số (gọi số hạng) viết theo thứ tự, hay đánh số số tự nhiên Để cho dãy số, người ta dùng cách thức liệt kê, công thức tổng quát công thức truy hồi  Liệt kê: Viết tất số hạng theo thứ tự (nếu không viết hết dùng dấu “…” để biểu thị dãy cịn tiếp tục)  Công thức tổng quát: Chỉ rõ cách xác định số hạng cần biết thứ tự số hạng dãy  Cơng thức truy hồi: Chỉ rõ cách xác định số hạng biết số hạng liền trước dãy  Liệt kê có ý nghĩa mơ tả thích hợp với dãy hữu hạn, xem cách biểu diễn quy nạp khơng hồn tồn Cịn hai cách đảm bảo tìm số hạng với thứ tự dãy Ví dụ 9: Dãy Fibonacci cách biểu diễn nêu  Liệt kê: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …  Công thức tổng quát: Số hạng thứ n là: n  1   1            n Công thức truy hồi: Hai số hạng đề 1, tiếp đó, số hạng sau tính tổng hai số hạng liền trước Công thức tổng quát dãy số cách biểu diễn tốt để định nghĩa dãy số Nhờ nó, dãy số định nghĩa cách đơn giản mà chặt chẽ Định nghĩa: Dãy số ánh xạ (hàm số) có miền xác định  (hoặc tập số tự nhiên liên tiếp  ) lấy giá trị tập số thực  Ta thường ký hiệu dãy số x n n 1 hay gọn x n   MAT101_Bài 1_v2.3013101225 11 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục Ví dụ 10:   1   1 (A)    1, , , , ,  n   n n 1  (B) (1)  n 1 (C) n   1, 4,9, , n ,  n   n 1  1,1, 1, , (1) n ,   n  n  1  (D)  ,     , , , ,   n n  n 1   1.2.1.2 Dãy tăng, dãy giảm, dãy bị chặn Dãy x n  gọi  Dãy tăng x n  x n 1 n    Dãy giảm x n  x n 1 n    Dãy đơn điệu dãy tăng dãy giảm  Bị chặn tồn số M cho x n  M, n    Bị chặn tồn số m cho x n  m, n    Bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn Trong ví dụ 10 1.2.2  Dãy (A) dãy số giảm, bị chặn bị chặn  Dãy (B) không đơn điệu, bị chặn 1 bị chặn  Dãy (C) dãy tăng, bị chặn không bị chặn nên không bị chặn  Dãy (D) dãy tăng, bị chặn bị chặn Giới hạn dãy số  1   1 Xét dãy số  x n  n    , , , n ,  Khoảng cách x n là: n 1  2   xn   2n Ta thấy: Cho trước số   bé tùy ý tìm số N cho n > N khoảng cách x n bé số  Chẳng hạn, cho trước khoảng   0, 05 cần n  x n    0, 05 256 Ta nói dãy x n  dần tới n tiến tới vơ Định nghĩa: Dãy x n  có giới hạn a hữu hạn n tiến tới vô với số   cho trước (bé tùy ý), tồn số tự nhiên n cho với n  n x n  a   12 MAT101_Bài 1_v2.3013101225 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục Ta viết: lim x n  a hay x n  a n   n  Dãy x n  gọi dãy hội tụ tồn số a để lim x n  a Trong trường hợp n  ngược lại, ta nói dãy phân kỳ Trong định nghĩa trên, số n phụ thuộc vào  nên ta viết n  n () Ví dụ 11:  n  n lim Thật vậy, ta có: xn   n 1  Với   cần chọn n     n  n có  xn   1   n  Định nghĩa: Dãy x n  nói có giới hạn  n tiến tới vơ với số M  cho trước (lớn tùy ý), tồn số tự nhiên n cho với n  n x n  M ; ta viết lim x n   dãy phân kỳ n  Trên phát biểu định nghĩa giới hạn vô nói chung, ta phát biểu chi tiết giới hạn ,  1.2.3 Tiêu chuẩn tồn giới hạn 1.2.3.1 Tính giới hạn Định lý: Nếu dãy có giới hạn (hữu hạn)  Dãy dãy bị chặn  Giới hạn 1.2.3.2 Nguyên lý giới hạn kẹp Nếu có ba dãy số x n  ,  y n  , z n  thỏa mãn:  x n  yn  zn  lim x n  lim z n  a ( a hữu hạn,   )  y n  có giới hạn n  n  lim y n  a n  1.2.3.3 Định lý Weierstrass Dãy số tăng bị chặn (hoặc giảm bị chặn dưới) hội tụ MAT101_Bài 1_v2.3013101225 13 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục 1.2.4 Các định lý giới hạn dãy số Cho x n  ,  y n  dãy có giới hạn hữu hạn Dùng định nghĩa chứng minh kết sau: lim(x n  y n )  lim x n  lim y n n  n  n  lim(x n y n )  lim x n lim y n n  n  n  xn x n lim  n  (khi lim y n  0) n  y n  lim y n n lim n  Chú ý x n  ,  y n  có giới hạn vơ cực nhìn chung khơng sử dụng kết nói Các dạng vơ định thường gặp  , ,   , 0. Khi ta  phải dùng phép biến đổi để khử dạng vơ định Ví dụ 12: 1  n2  n   n n   lim   : nlim   n 2n   2 n (  ) : lim n          3n  n  n  3n   n  lim   lim   n  n     n  3n   n   1  1  n n    1.3 Giới hạn liên tục hàm số 1.3.1 Định nghĩa 1.3.1.1 Định nghĩa (giới hạn hàm số) Giả sử hàm số f (x) xác định lân cận điểm x (có thể trừ x ) Ta nói hàm số f (x) có giới hạn A x dần tới x nếu: Với số   cho trước, tồn số   cho khi: x  x   f (x)  A   Kí hiệu là: lim f (x)  A hay f (x)  A x  a x x0 Một cách tương đương ta định nghĩa f  x  có giới hạn A x  x với x n   x ta có f  x n   A 1.3.1.2 Định nghĩa (giới hạn phía) Trong định nghĩa nêu trên, xét q trình x  x khơng phân biệt x  x hay x  x Khi xem xét giới hạn, nhiều ta phải xét riêng hai q trình với kí hiệu sau: 14 MAT101_Bài 1_v2.3013101225 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục  Quá trình x tiến đến x phía bên phải, tức x  x với điều kiện x  x , kí hiệu là: x  x  đơn giản x  x   Q trình x tiến đến x phía bên trái, tức x  x với điều kiện x  x , kí hiệu là: x  x  đơn giản x  x   Giới hạn hàm số f (x) x  x  x  x  gọi tương ứng giới hạn bên phải giới hạn bên trái hàm số điểm x  Giới hạn bên phải: lim f (x)   Giới hạn bên trái: lim f (x)  x x0  x x0  lim x  x ,x  x lim x  x ,x  x f (x) f (x) Từ định nghĩa ta suy ra: Định lý: Điều kiện cần đủ để lim f (x)  L là: lim f (x)  lim f (x)  L x x0 1.3.2 x x0  x x0  Tính chất 1.3.2.1 Tính chất hàm có giới hạn Giới hạn hàm số có số tính chất tương tự giới hạn dãy số Định lý: Nếu hàm số f (x) có giới hạn x  a giới hạn Định lý: Nếu hàm số f (x) có giới hạn hữu hạn x  a bị chặn miền X  x   :  x  a   , với  số dương đủ nhỏ Định lý: Nếu lim f (x)  L L  b (L  b) thì, với  số dương đủ nhỏ ta có x a f (x)  b (f (x)  b) x  x   :  x  a   Định lý: Nếu f (x)  g(x)  f (x)  g(x)  với x  x   :  x  a   hai hàm số f (x), g(x) có giới hạn hữu hạn x  a lim f (x)  lim g(x) x a x a 1.3.2.2 Các quy tắc tính giới hạn Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số ngôn ngữ dãy số quy tắc tương ứng giới hạn dãy số ta dễ dàng chứng minh quy tắc sau đây: Định lý: Nếu x  a hàm số f (x) g(x) có giới hạn số thực L1 L thì:  lim  f (x)  g(x)   L1  L  lim  kf (x)   kL1 MAT101_Bài 1_v2.3013101225 x a x a 15 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục  lim  f (x)g(x)   L1L  lim x a f (x) L1 L   x a g(x) L2 Định lý: Giả sử (x) f (u) thỏa mãn điều kiện:  lim (x)  b lim f (u)  f  b   L  tồn số   cho x  (a  ;a  ) x  a ta ln có: u  (x)  b x a u b thì: lim f  (x)   L x a Định lý: Nếu hàm số sơ cấp f (x) xác định khoảng chứa điểm x  a lim f (x)  f (a) x a Định lý: Nếu tồn số   cho u(x)  f (x)  v(x) với x  x   :  x  a   lim u(x)  lim v(x)  b lim f (x)  b x a x a x a Định lý: Giả sử hàm số f (x) g(x) có giới hạn hữu hạn x  a : lim f (x)  b  0, lim g(x)   Khi đó: lim  f (x) g( x ) x a x a x a  b Ví dụ 13: 3x 2x  3x  2x   x 5 lim   lim     , lim x  x  x  x 1 x 5  x 1  Định lý: Nếu lim f (x)  g(x) hàm số bị chặn lim f (x).g(x)  x a x a Ví dụ: lim x sin x 0 1.3.3 1  lim x  sin hàm bị chặn x  x x Vô lớn, vô bé 1.3.3.1 Khái niệm  Đại lượng f(x) gọi vô bé (viết tắt VCB) x  a lim f (x)  x a Ở đây, a hữu hạn hay vơ Từ định nghĩa giới hạn hàm số, ta suy nếu: f (x)  A x  a f (x)  A  (x) Trong (x) VCB x  a  Đại lượng F(x) gọi vô lớn (viết tắt VCL) x  a lim F(x)   x a 16 MAT101_Bài 1_v2.3013101225 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục  Có thể dễ dàng thấy f(x) VCB khác không x  a ngược lại F(x) VCL khác khơng x  a VCL f (x) VCB F(x) x  a Chú thích:  Một hàm khác không dù nhỏ không VCB x  a  Một hàm lớn VCL x  a 1.3.3.2 Tính chất  Nếu f1 (x), f (x) hai VCB x  a f1 (x)  f (x), f1 (x).f (x) VCB x  a  Nếu f1 (x), f (x) dấu hai VCL x  a f1 (x)  f (x) VCL x  a Tích hai VCL x  a VCL x  a 1.3.3.3 So sánh vô bé  Bậc VCB Định nghĩa: Giả sử (x), (x) hai VCB x  a o Nếu lim (x)  ; ta nói (x) VCB bậc cao (x) (x) o Nếu lim (x)   ; ta nói (x) VCB bậc thấp (x) (x) o Nếu lim o Nếu lim x a x a (x)  A ( 0,  ) ; ta nói (x) (x) hai VCB bậc x  a (x) x a (x) không tồn tại, ta nói khơng thể so sánh hai VCB (x) (x) (x) Ví dụ 14:  cos x 2x VCB x  x x sin  lim sin x lim 0  x x x 2 nên  cos x VCB bậc cao 2x  cos x  lim Vì: lim x 0 x 0 2x sin Ví dụ 15: x.sin 2x VCB x  x 1 sin x  lim x  lim sin x 0 2x 2 x 0 x x sin Vì: lim x 0 MAT101_Bài 1_v2.3013101225 17 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục Nhưng không tồn lim sin x 0 1 nên x sin 2x hai VCB x  không x x so sánh với  VCB tương đương Định nghĩa: Hai VCB   x    x  khác x  a gọi tương đương với lim x a (x) 1 (x) Kí hiệu: (x) ~   x  Nhận xét: 2VCB tương đương trường hợp đặc biệt VCB bậc Định lý: Nếu (x) (x) hai VCB x  a , (x) ~ 1 (x), (x) ~ 1 (x) x  a thì: lim x a (x)  (x)  lim x a  (x) 1 (x) Thật vậy, (x) ~ 1 (x), (x) ~ 1 (x) ; ta có: lim x a (x) (x)  1; lim  x  a 1 (x) 1 (x) 1.3.3.4 Các vô bé tương đương thường gặp Nếu (x)  x  a : sin (x) ~ (x),  arcsin (x) ~ (x), 1.3.4 tg(x)~(x), arctg (x) ~ (x) Hàm số liên tục 1.3.4.1 Định nghĩa f hàm số xác định khoảng (a, b), x điểm thuộc (a, b) Ta nói hàm số f liên tục x nếu: limf(x) f(x0) (1.1) xx0 Nếu hàm số f khơng liên tục x , ta nói gián đoạn x Nếu đặt: x  x  x, y  f (x)  f (x ) đẳng thức (1.1) viết là: lim  f (x)  f (x )  hay lim y  x x0 x  Chú thích: Ta nói f liên tục x  (a, b) nếu: lim f (x)  f ( lim x) x x0 x x0 Ví dụ 16: Hàm số y  x liên tục x   Thật vậy, ta có: y  x , y  y  (x  x) , y  (x  x)  x  2x x  ( x) ; lim y  2x lim x  lim x lim x  x  x  x 0 x  Tương tự vậy, chứng minh hàm số sơ cấp liên tục điểm thuộc miền xác định 18 MAT101_Bài 1_v2.3013101225 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục Định nghĩa: f(x) gọi là: liên tục khoảng (a, b) liên tục điểm khoảng liên tục đoạn  a, b  , liên tục điểm khoảng (a, b) , đồng thời liên tục phải a (tức lim f (x)  f (a) ) liên tục trái b (tức là: lim f (x)  f (b) ) x a  x b 0 1.3.4.2 Các phép toán hàm liên tục Từ định lý giới hạn tổng, tích, thương từ định nghĩa hàm số liên tục điểm, dễ dàng suy ra: Định lý: Nếu f g hai hàm số liên tục x thì:  f (x)  g(x) liên tục x  f (x).g(x) liên tục x  f (x) liên tục x g(x )  g(x) Định lý: Nếu hàm số u  (x) liên tục x , hàm số y  f (u) liên tục u  (x ) hàm số hợp y  (f  )(x)  f  (x) liên tục x Chứng minh: Ta có lim (x)  (x )  u  liên tục x x x0 Hàm số: y  f (u) liên tục u Do đó: lim f (u)  f (u ) u u 1.3.4.3 Tính chất hàm số liên tục Các định lý sau (không chứng minh) nêu lên tính chất hàm số liên tục Định lý: Nếu hàm số f (x) liên tục đoạn  a; b  bị chặn đoạn đó, tức tồn hai số m M cho m  f (x)  M x   a; b  Định lý: Nếu hàm số f (x) liên tục đoạn  a; b  đạt giá trị nhỏ m giá trị lớn M đoạn ấy, tức tồn hai điểm x1 , x cho: f (x )  m  f (x) x   a, b  ; f (x )  M  f (x) x   a, b  Định lý (về giá trị trung gian): Nếu hàm số f (x) liên tục đoạn  a; b  ; m M giá trị nhỏ lớn đoạn với số  nằm m M tồn    a, b  cho: f ( )   Hệ quả: Nếu f(x) liên tục  a, b  , f(a)f(b) < khoảng (a, b) tồn điểm  cho: f     MAT101_Bài 1_v2.3013101225 19 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Trong nghiên cứu ba vấn đề là:  Những vấn đề hàm số biến số  Dãy số giới hạn dãy số  Giới hạn hàm số Phần hệ thống hóa lại khái niệm hàm số biến số, số tính chất hàm số tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hồn Tiếp theo, học viên tìm hiểu khái niệm dãy số giới hạn dãy số, định lý áp dụng để tính giới hạn dãy số Phần cuối trình bày giới hạn hàm số, hàm số liên tục khái niệm vô lớn, vô bé 20 MAT101_Bài 1_v2.3013101225 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục CÂU HỎI ÔN TẬP Định nghĩa hàm số đơn điệu, chẵn, lẻ, tuần hoàn Định nghĩa hàm số ngược hàm số y = f(x) Tìm hàm số ngược hàm số lượng giác Định nghĩa phân loại hàm số sơ cấp Định nghĩa giới hạn dãy số Định nghĩa giới hạn hàm số, giới hạn phía, giới hạn vơ hạn Phát biểu hai tiêu chuẩn tồn giới hạn Định nghĩa VCB, VCL, VCB tương đương Hàm số liên tục: Định nghĩa, tính chất hàm số liên tục đoạn MAT101_Bài 1_v2.3013101225 21 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục BÀI TẬP Chứng minh hàm số xác định khoảng đối xứng viết dạng tổng hàm số chẵn hàm số lẻ Viết hàm số sau dạng hàm số hợp a y  (3x  7x  1)3 c y  tg b y  ln tg x x d y  arcsin x 1 x Xét tính tuần hồn tìm chu kỳ hàm số sau: a f (x)  A cos x  Bsin x 1 b f (x)  sin x  sin 2x  sin 3x c f (x)  sin x d f (x)  tgx Chứng minh rằng: a arcsin x+ arccos x=  b arc tgx+ arc cotgx =  Sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số, chứng minh dãy số x n  3n  có giới hạn 5n  Tìm giới hạn phía hàm số sau: 2x  a f (x)   3x  b f (x)  x 1 x  x 1  cos x x  x Chứng minh hàm số f (x)  x  2x  liên tục điểm x 22 MAT101_Bài 1_v2.3013101225 ... minh hàm số sơ cấp liên tục điểm thuộc miền xác định 18 MAT101 _Bài 1_v2.3013101225 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục Định nghĩa: f(x) gọi là: liên tục khoảng (a, b) liên tục điểm khoảng liên tục. .. tồn giới hạn Định nghĩa VCB, VCL, VCB tương đương Hàm số liên tục: Định nghĩa, tính chất hàm số liên tục đoạn MAT101 _Bài 1_v2.3013101225 21 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục BÀI TẬP Chứng minh hàm. .. số Phần cuối trình bày giới hạn hàm số, hàm số liên tục khái niệm vô lớn, vô bé 20 MAT101 _Bài 1_v2.3013101225 Bài 1: Hàm số, giới hạn liên tục CÂU HỎI ÔN TẬP Định nghĩa hàm số đơn điệu, chẵn,