Đang tải... (xem toàn văn)
Biến ngẫu nhiên liên tục: Là BNN mà các giá trị có thể nhận được của nó có thể lấp kín cả một khoảng trên trục số (không thể liệt kê các giá trị của nó).. Ví dụ 7:.[r]
(1)9/30/2019
LOG O
Chương 2: BIẾN NGẪU NHIÊN
Giảng viên: Phan Trung Hiếu
2
Biến ngẫu nhiên đại lượng thay đổi với xác suất lấy giá trị thay đổi tùy theo kết
quả phép thử.
I Định nghĩa:
Ký hiệu:
X, Y, Z, : Biến ngẫu nhiên
x, y, z, : Giá trị biến ngẫu nhiên. Ví dụ 1: Tung xúc xắc Gọi X số chấm xuất mặt xúc xắc
X =
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
3
II Biến ngẫu nhiên rời rạc: Là BNN mà giá trị nhận hữu hạn vơ hạn đếm (có thể liệt kê giá trị nó).
Ví dụ 2:
Gieo 10 hạt đậu Gọi X số hạt nảy mầm X =
Kiểm tra sản phẩm Gọi X số phế phẩm có sản phẩmX =
{0, 1, 2, , 10}
{0, 1, 2, 3}
4
Tung đồng xu đến xuất mặt sấp ngưng Gọi X số lần tungX =
2.1 Bảng phân phối xác suất: Ký hiệu:
Xxi:BNN X nhận giá trị xi P(X ) :
i i
p x Xác suất để X nhận giá trị xi Giả sử Xx x1, 2, ,xn (x1x2 xn) Bảng phân phối xác suất X:
{1, 2, 3, 4, }
X P
Tính chất:
0 pi 1, i1, 2, , n
1 n 1.
p p p
1 2
1
P(X ) P (X ) (X ) (X )
P(X ) P(X ) P(X )
i i
i
x x x x
x x x
P( ) P( )
i
i a x b
a X b X x
P( ) P( )
i
i a x b
a X b X x
P( ) P( )
i
i a x b
a X b X x
P( ) P( )
i
i a x b
a X b X x
Ví dụ 3: Số lượng ôtô nhãn hiệu A bán ngày có bảng phân phối xác suất
Số lượng
(chiếc)
P 0,18 0,39 0,24 0,14 0,04 0,01 Tính xác suất:
a) Bán
(2)9/30/2019
7
Ví dụ 4: Một hộp có bixanhvà biđỏ Lấy ngẫu nhiên bi Gọi X số bixanhtrong bi lấy
a) Lập bảng phân phối xác suất X. b) Tính
c) Tính
Giải X: số bi xanh bi lấy
X =
P(0X2), P(0X2), P(0X2) P(X1), P(X1)
a)
{0, 1, 2}
8 P(X0)
Bảng phân phối xác suất X:
X
P 2/15 8/15 1/3
2
2
1
2 15
C C
2 10
1 .
15
C C
C
2 10 1.
3
C C P(X1)
P(X2)
9
Ví dụ 5: Trong ngày hội thi, công nhân dự thi sản xuất sản phẩm Mỗi sản phẩm loại A thưởng 10 ngàn đồng, sản phẩm không loại A bị phạt ngàn đồng Giả sử cơng nhân tham gia dự thi có khả sản xuất sản phẩm loại A lần 30% Lập bảng phân phối xác suất số tiền mà công nhân thu
10
2.2 Hàm mật độ (xác suất): Cho bảng phân phối xác suất X:
Khi đó, hàm mật độ X: khi ( )
0 khi ,
i i
i
p x x
f x
x x i
X P
11
Tính chất:
( ) 0, .
f x x
1
( ) ( ) ( n) 1.
f x f x f x
P(X xi) f x( ).i
Ví dụ 6: Cho bảng phân phối xác suất
X
P 2/15 8/15 1/3
Tìm hàm mật độ X
12
Giải
( )
f x
X
P 2/15 8/15 1/3
khi 15
8
khi 15
1
khi
0 0,1,
x x x
x
2
khi
15 x
8
khi
15 x
1
khi
3 x
(3)9/30/2019
13
III Biến ngẫu nhiên liên tục: Là BNN mà giá trị nhận lấp kín khoảng trục số (khơng thể liệt kê giá trị nó)
Ví dụ 7:
Nhiệt độ ngày TP.HCM Thời gian chờ xe buýt trạm Lượng mưa năm TP.HCM
14
Nhận xét:
Khi X BNN liên tục X lấy vơ số giá trị nên ta lập bảng phân phối xác suất cho
Thay cho việc liệt kê giá trị X, ta ra đoạn [a;b] mà X nhận giá trị đoạn đó.
Thay cho xác suất, ta đưa khái niệm sau:
15
Hàm mật độ (xác suất):
f(x) hàm mật độ BNN liên tục X nó
thỏa điều kiện sau:
( ) 0,
( ) 1
f x x
f x dx
16
Định lý:
P( X ) ( )
b
a
a b f x dx
Hệ quả: Nếu X BNN liên tụcthì ta có
P(X ) P( X ) ( )
a a
a a a f x dx
P(a X b) P(a X b)
P(a X b)
P(a X b)
Ví dụ 8: Cho X BNN có hàm mật độ là
2, [1, 2]
( )
0, [1, 2]
k x f x x
x
a) Tìm k. b) Tính c) Tính
3
P X
2
3
P X
2
d) Tính P X
Giải a) Ta có:
( ) f x dx
1
( ) f x dx
2
1
( ) f x dx
2
( ) f x dx
2
k x
2
0
2
0 k dx
x
2
1
1 k
x
1
1
2
k
k
(4)9/30/2019
19 Vì f(x) hàm mật độ nên
( ) 0,
( )
f x x
f x dx
2 0, 1,2
1
k x x k
0 k k
2 k
20
IV Hàm phân phối (tích lũy): 4.1 Định nghĩa:
Hàm phân phối BNN X, ký hiệu F(x), hàm xác định sau
( ) P(X ) .
F x x x
21
X rời rạc X liên tục
1
1
1 2
1
0 ,
, ,
( )
,
1 ,
k k k
n
x x
p x x x
p p x x x
F x
p p p x x x
x x
có hàm mật độ
f(x) thì
( ) ( )
x
F x f t dt
22
4.2 Tính chất:
0F x( )1, x
lim ( ) 0; lim ( )
xF x xF x
F hàm tăng, tức x1x2F x( )1 F x( 2)
4.3 Ứng dụng hàm phân phối: Dùng để tính:
P X
P( X )
b
a b
( )
( ) - ( )
F b
F b F a
F(x) liên tục bên trái, nghĩa là lim ( ) ( )
o
o xxF x F x
23
Dùng để tìm hàm mật độ f(x) X liên tục:
( )
f x F x( )
Ví dụ 9: Cho X BNN có bảng PPXS sau
X
P 2/15 8/15 1/3 Tìm hàm phân phối
24
Giải
0
2
khi
15
2 10
khi
15 15 15
1
( )
2 F
x x
x
x x
X
P 2/15 8/15 1/3 x
0 x 0
15 0 x1 10
151515 1x2 x 2
(5)9/30/2019
25
Ví dụ 10: Tuổi thọ X (giờ) thiết bị có hàm mật độ xác suất
a) Tìm hàm phân phối.
b)Thiết bị gọi loại A tuổi thọ kéo dài 400 Tính tỉ lệ thiết bị loại A
c) Tính tỉ lệ thiết bị có tuổi thọ từ 90 đến 200
2
0 100 ( ) 100
khi 100
x f x
x x
26
Giải a) Ta có
( ) ( )
x
F x f t dt
Khi 100 :
x F x ( )
Khi 100 :
x
( ) F x
100
0
x x
0
x
dt
100
0dt
2 100
100
x
dt t
2 100
t
100
100 100 100
1
t x
t
t x x
Vậy
0 100
( ) 100
1 100
x F x
x x
27
b)
P(X400)1 P(X 400)
1 F(400)
100
1 0, 25 25%
400
c)
P(90X200) F(200)F(90) 100
1 0, 50%
200
V Các tham số đặc trưng:
28
5.1 Mode (Giá trị tin nhất): Mod(X) giá trị X mà xác suất lớn
X rời rạc X liên tục
có hàm mật độ f(x) thì
Mod(X)xiP(Xxi) max
Chú ý: Mod(X) nhận nhiều giá trị khác
Mod(X)xif x( ) maxi
Ví dụ 11: Ba xạ thủ độc lập bắn vào mục tiêu Mỗi xạ thủ bắn viên đạn Gọi X số viên trúng Ta có bảng phân phối xác suất X sau
X
P 0,024 0,188 0,452 0,336 Tìm số viên trúng tin
Giải
Mod(X)
Vì max 0,024; 0,188, 0,452, 0,336
tại x 2nên
0,452
2
Ví dụ 12: Cho X BNN có hàm mật độ
Tìm Mod(X)
Giải
3
(2 ) [0, 2]
( )
0 [0, 2]
x x x
f x
x
Với x [0,2]
3
( ) (2 )
4
f x x x
3
( ) (1 )
2
f x x
(6)9/30/2019
31
3
( ) (1 )
2
f x x x
[0,2]
3
(1) , (0) (2) max ( ) (1)
4 x
f f f f x f
Mà f x( )0, x [0,2].Vậy:
Mod(X) 1.
32
5.2 Median (Trung vị): điểm chia đôi phân phối xác suất biến ngẫu nhiên
Chú ý: Med(X) nhận nhiều giá trị khác
X rời rạc X liên tục
1
1
Med(X) ( ) ( )
2
i i i
x F x F x
Med(X) ( ) 0,
i x i
x f x dx
33
Ví dụ 13: Cho X BNN có bảng PPXS sau
X -1
P 0,25 0,15 0,3 0,3 Tìm Med(X)
Giải
0
2
khi 15
2 10
khi 15 15 15
1
( )
2 F
x x
x
x x
0 x 1
0, 25 1 x0 1x2 x 2 0, 0 x1 0,
34 Ta có:
(1) 0, 0,5
(1) 0,5 (2) (2) 0, 0,5
F
F F
F
Med(X)
35
5.3 Kì vọng (Expectation):
X rời rạc X liên tục
có hàm mật độ f(x) thì
1 2
1
E(X) n n
n i i i
x p x p x p
x p
E(X) xf x dx( )
E(X)X
36 Tính chất:
E( )k k, k const:
E( Xa bYc)aE(X)bE(Y)c a b c const; , , :
E(XY)E(X).E(Y)nếu X Y độc lập
Nếu
1
( ) E(Y)
( ) ( )
n i i i
x p
x f x dx
Y(X)
nếu X rời rạc.
(7)9/30/2019
37 Ý nghĩa kì vọng:
- E(X) giá trị trung bình (theo xác suất) mà X nhận được, phản ánh giá trị trung tâm phân phối xác suất X
-Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh cần chọn phương án cho suất hay lợi nhuận cao, người ta chọn phương án cho năng
suất kì vọng hay lợi nhuận kì vọng cao.
38
Ví dụ 14: Một hộp đựng 10 cầu giống nhưng
khác trọng lượng: nặng 1kg, nặng 2kg, nặng 3kg Lấy ngẫu nhiên từ hộp Tìm trọng lượng trung bình cầu
Giải
Gọi X(kg) trọng lượng cầu lấy
X 1, 2,
5
P(X 1) 0,5
10
2
P(X 2) 0,
10
3
P(X 3) 0,
10
X
P 0,5 0,2 0,3
E(X) 1.0,5 2.0, 3.0,3 1,8 (kg)
39
Ví dụ 15: (Trị chơi đề) Trong 100 số đề có số
thắng, 99 số thua Thắng 70 lần tiền đặt cọc Thua tiền đặt cọc Người chơi chọn số đề Có nên chơi trị nhiều lần khơng ?
40
Ví dụ 16: Gọi X(năm) tuổi thọ thiết bị với hàm mật độ
2
2
khi [1, 2] ( )
0 [1, 2]
x
f x x
x
a) Tính tuổi thọ trung bình thiết bị. b) Tìm kì vọng của
Y X
X
Giải a)
2
2 1
2
E(X) xf x dx( ) dx ln | |x ln
x
b)
2
5
2
2 2
E(Y) x f x dx( ) x dx
x x x
1, 3863
(năm)
5.4 Phương sai (Variance):
X rời rạc X liên tục
có hàm mật độ f(x) thì
2 2
1 2
E(X ) n n
n i i i
x p x p x p x p
2
E(X ) x f x dx( )
Var(X)X
2
2