Bài giảng Toán cao cấp C1: Chương 3 - Phan Trung Hiếu (2018)

Nếu hàm sản xuất Q = Q ( L ), trong đó L là lượng lao động thì hàm sản phẩm hiện vật biên là Q’(L). Sản phẩm hiện vật biên là xấp xỉ của lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi tăng thêm m[r]

15/10/2018

LOG O

Chương 3:

Đạo hàm vi phân hàm biến

GV Phan Trung Hiếu

§1 Đạo hàm vi phân hàm biến §2 Đạo hàm vi phân cấp cao

§3 Ứng dụng tốn học §4 Ứng dụng kinh tế

2

§1 Đạo hàm vi phân hàm biến

3 I Đạo hàm cấp một:

Định nghĩa 1.1.Cho hàm sốf(x) xác định trên khoảng mở chứa x0. Đạo hàm (cấp một) của hàm sốf(x) tạix0, ký hiệu , được tính bởi

0

0

0

( ) ( )

( ) lim

x x

f x f x

f x

x x





 



0

( ) ( )

y x  f x

nếu giới hạn tồn hữu hạn.

Chú ý 1.2.Nếu tồn thìf(x) được gọi làkhả vitạix0.

0 ( ) f x

4 Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm hàm số

2

ln(1 )

khi ( )

0

x

x

f x x

x

 

 

 

 



tạix00

Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái)

0

0

0

( ) ( ) ( ) lim

x x

f x f x f x

x x 

 



 



Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải)

0

0

0

( ) ( ) ( ) lim

x x

f x f x f x

x x 

 



 



5 Định lý 1.5:

0 0

( ) ( ) ( )

f x L f x   f x  L Ví dụ 1.2: Xét khả vi hàm số

1 , 1,

( )

(1 )(2 ),

 

  

  



x x

f x

x x x

tạix01

6 Định lý 1.6:

f(x) có đạo hàm x0  f(x) liên tục x0. Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số

2

( )

( )

khi

  

 

 

x

e x x x

f x

m x

15/10/2018

7

Định nghĩa 1.7 (Đạo hàm khoảng, đoạn): Cho hàm số f(x) xác định [a,b]

-Hàm f(x) gọi có đạo hàm (a,b) f(x) có đạo hàm điểm xthuộc (a,b)

-Hàm f(x) gọi có đạo hàm [a,b] f(x) có đạo hàm (a,b) có điểm xthuộc (a,b)

II Các công thức quy tắc tính đạo hàm:

8

2.1 Các cơng thức tính đạo hàm: Xem Bảng

2 ( )

( )

( )

k u k u

u v u v

u v u v u v

u u v u v

v v

    

  

         

     2.3 Đạo hàm hàm số hợp:

Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)] Khi

 

( ) ( ) ( )

   

y x u x y u x

2.2 Quy tắc tính đạo hàm: Với , ta có uu x( ),vv x( )

9

Ví dụ 1.4: Tính đạo hàm hàm số sau a) yarctan x

b)y(arcsin )x

c)yexarctanexln 1e2x

d)y(x21)x3

Ví dụ 1.5: Nếu , F x( )f g x ( ) f( 2) 8, ( 2) 4,

  

f f(5)3,g(5) 2, g(5)6 Tìm F(5)

III Vi phân cấp một:

10 Vi phân(cấp một) hàm sốf(x)

( ) ( ) df x f x dx

dy y dx

hay

Ví dụ 1.6 Tìm vi phân hàm số yex2.

Định lý 2.3.Nếuu,vlà hàm khả vi thì

1) (d u v )du dv 2) ( )d k u k du 3) ( )d u v vdu udv

2

4)d u vdu udv

v v

  

    

Ví dụ 1.7 Tính

) ( x)

a d x e

3

) ( x) b d x e

3

) xx c d

e

 

 

15/10/2018

I Đạo hàm cấp cao:

13

Định nghĩa 2.1.Giả sửy=f(x) có đạo hàm cấp một thì đạo hàmcấp haicủa hàm sốy=f(x) là

Tương tự, ta có đạo hàm cấp ncủa f(x) là y

 

( ) ( )

y f x  f x 

( ) ( ) ( 1)

( ) ( )

n n n

y  f x  f  x 

Ví dụ 2.1 Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp ba, cấp bốn, cấp ncủa hàm số yekx, kconst.

14

Định lý 2.2 (Công thức Leibniz).Giả sử u và v có đạo hàm đến cấp n Khi đó

( ) ( ) ( )

0 ( )

n

n k k n k

n k

u v C u v 





Ví dụ 2.3 Tính hàm số 2

. x yx e (20) y

Ví dụ 2.2 Cho hàm số Chứng minh

sin 

y x x

2( sin ) 0.

   

xy y x xy

II Vi phân cấp cao:

15

Định nghĩa 2.3.Giả sửy=f(x) có đạo hàm đến cấpnthìvi phân cấp ncủa hàm sốy=f(x) là

  ( )

n n n n

d yd d  y  y dx

Ví dụ 2.4 Cho Tính 3 (2 3)

 

y x dy d y d y, , .

16

§3 Ứng dụng tốn học

I Quy tắc L’Hospital khử dạng vô định:

17

Định lý 3.1.Giả sử hàm f g khả vi trong lân cận x0(hoặc trừ x0) Nếu

i) hay

và tồn tại

thì

0

lim ( ) lim ( ) 0

xx f x xx g x 

0

lim ( ) lim ( )

xx f x xx g x  

0 ( ) lim

( )

x x

f x g x



 

0

( ) ( )

lim lim

( ) ( )

x x x x

f x f x

g x g x

 

 



18

Chú ý 3.2.

Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc L’Hospital dùng để khử dạng vơ định

 Ta áp dụng quy tắc L’Hospital nhiều lần.

0

15/10/2018

19

Ví dụ 3.1 Tính giới hạn sau

2

3

2

5

) lim

2 x

x x

a

x x x



    

2

2

)lim

9 x

x b

x 

   

3

sin ) lim





x

x x

c

x

2

) lim



  x x

x x

d e

2

ln ) lim



x

x e

x ) lim sin ln0 



x

f x x

0

1 1

)lim

t an2 sin



 



 

 

x

g

x x x

cot

) lim (1 s in4 )

 

x x

h x

II Xấp xỉ tuyến tính vi phân:

20 ( ) ( ) ( )(  )

f x f a f a x a

Phép xấp xỉ (*) gọi xấp xỉ tuyến tính hoặc xấp xỉ tiếp tuyến

củaftại a

Hàm tuyến tính L x( ) f a( )f a x( )( a) gọi tuyến tính hóacủa ftại a

3,98

Ví dụ 3.2: Tính gần giá trị

21 Đặt Từ (*), ta có   x x a

(   ) ( ) ( )

f a x f a f a x

(   ) ( ) ( )

f a x f a f a x

( )   y f a x

y lượng tăng giảm y khi x tăng giảm lượng x

22

Ví dụ 3.3:Để chuẩn bị cho việc lát gạch nhà hình vng, thầy Hiếu đo chiều dài cạnh kết 100m Giả sử, phép đo thầy có độ xác phạm vi mm(sai số cho phép)

a) Ước tính sai số diện tích nhà theo sai số cho phép nói So sánh kết với sai số thực b) Nếu viên gạch có diện tích 1m2 và hộp

gồm 12 viên gạch có giá 24$ thầy Hiếu nên dự trù chi phí tăng thêm để đảm bảo lót đủ gạch cho nhà?

6 

§4 Ứng dụng kinh tế

I Trung bình hàm:

Xét hai đại lượng kinh tế xvà ycó quan hệ hàm với y= f(x) Tỉ số

được gọi trung bình y.

( )  f x

Ay x

Ví dụ 4.1: Xét hàm tổng doanh thu R= P.Q

Khi doanh thu trung bình.ARP Q P Q

Ví dụ 4.2: Xét hàm tổng chi phí C = C(Q)

15/10/2018

II Tốc độ biến thiên:

25

Xét hai đại lượng kinh tế xvà ycó quan hệ hàm với y= f(x)

Nếu x biến thiên từ x1 đến x2 độ thay đổi xlà

và độ thay đổi tương ứng ylà

Tỉ số

được gọi tốc độ thay đổi trung bình y tương ứng với x.

2

 x x x

2

( ) ( )  y f x f x

2

2

( ) ( ) 



 

f x f x

y

x x x

26

Tốc độ thay đổi (tức thời) y tương ứng với x tại x = x1 là

2

2

1

2

( ) ( )

lim lim ( )

  

 



 

 

x x x

f x f x

y

f x

x x x

Ví dụ 4.3: Cho D(t) nợ quốc gia Mỹ thời điểmt. Bảng biểu thị giá trị xấp xỉ hàm cách cung cấp số ước tính vào cuối năm, đơn vị tính tỷ USD, từ năm 1980 đến năm 2005

27

a) Tìm mức tăng trưởng trung bình nợ quốc gia

(i) từ năm 1985 đến 1990 (ii) từ năm 1990 đến 1995 b) Ước tính mức tăng trưởng tức thời nợ quốc gia vào năm 1990 cách lấy trung bình hai tốc độ biến thiên trung bình Đơn vị tính gì? Giải thích ý nghĩa kết

II Ý nghĩa kinh tế đạo hàm:

28

Cho hàm số y= f(x) xác định Dvới x, ylà biến số kinh tế (xlà biến đầu vào, ylà biến đầu ra) Gọi x0D

Gọi làlượng thay đổicủaytại mứcx=x0khi biếnx tăng thêm1 đơn vị từx0lênx0+ Khi đó, gọi

làgiá trị cận biên (Marginal value) haybiên tế

biếnytại mứcx0

y

Trong kinh tế, ta thường quan tâm đếnsự biến thiên của y mức khi x tăng lên đơn vị

từ lên .

0



x x

0

x x01

y 4.1 Biên tế (Giá trị cận biên-Marginal value):

0

( 1) ( )  y f x  f x

29

0

0

( ) ( ) ( ) lim



  

 x x

f x f x

f x

x x

Từ định nghĩa

ta đặt , ta có  x xx0  y f x( )f x( 0)

0

( ) lim

 

  

 x

y f x

x

0

( )    y f x x

Khi Nghĩa là, xấp xỉ giá trị cận biêncủa y tại mứcx0.

1

 x  y f x( )0 f x( )0

30 0

x D

Hàm số gọi làhàm biên tế(hàm cận

biên)của biếny.

( )

Myf x

Giá trị gọi làbiên tế(giá trị cận

biên)của hàm sốf(x) điểmx0

0

( ) ( ) My x f x

15/10/2018

31

4.2 Ý nghĩa biên tế: cho biết xấp xỉ lượng thay đổi giá trị biến ykhi biếnx tăng thêm1 đơn vị, từx0 lênx0+ Cụ thể, ta có

0

( ) My x

0

( )

My x  có nghĩa x tăng1 đơn vị, từ x0 lên

0

( ) My x đơn vị

0

( )

My x  có nghĩa x tăng1 đơn vị, từ x0 lên

0

( ) My x

 đơn vị khoảng

khoảng

x0 + ysẽ tăng

x0 + ysẽ giảm

32

Khi xét hàm kinh tế cụ thể, biên tế có tên gọi tương ứng:

Nếu hàm tổng chi phíC=C(Q), đóQlà mức sản lượng hàmchi phí biênlàC’(Q) Chi phí biên chi phí xấp xỉ đơn vị sản phẩm tăng thêm

Nếu hàm tổng doanh thu R=R(Q), Q mức sản lượng hàm doanh thu biên R’(Q)

Doanh thu biên xấp xỉ lượng doanh thu gia tăng bán thêm đơn vị sản phẩm

Nếu hàm tổng doanh thu R= R(L), L lượng lao động hàmsản phẩm doanh thu biênlà

R’(L).Sản phẩm doanh thu biên xấp xỉ lượng doanh thu gia tăng thuê thêm đơn vị lao động

33

Nếu hàm sản xuấtQ=Q(L), đóLlà lượng lao động hàmsản phẩm vật biên Q’(L).Sản phẩm vật biên xấp xỉ lượng sản phẩm vật gia tăng tăng thêm đơn vị lao động Nếu hàm tiêu dùngC=C(Y), đóYlà mức thu nhập hàmxu hướng tiêu dùng biên làC’(Y).Xu hướng tiêu dùng biên xấp xỉ lượng tiêu dùng thu nhập tăng thêm đơn vị Hơn nữa, hàm xu hướng tiết kiệm biên làS’(Y) = - C’(Y).Xu hướng tiết kiệm biên xấp xỉ lượng tiết kiệm thu nhập tăng thêm đơn vị

34

Ví dụ 4.4:Giả sử chi phí trung bình ACđể sản suất đơn vị sản phẩm

2

0, 0001 0, 02 500 , ( 0)

    

AC Q Q Q Q

a)Tìm hàm chi phí biên

b)Tìm chi phí biên mức sản lượngQ= 50 đơn vị giải thích ý nghĩa kết nhận

c)Hãy ước tính chi phí để sản xuất sản phẩm thứ 51 So sánh ước tính với chi phí thực d)Nếu sản lượng tăng thêm 1/3 đơn vị sản phẩm từ

Q= 50 chi phí thay đổi đơn vị tiền?

Ví dụ 4.5:Cho hàm tiêu dùng theo thu nhập Ynhư

dưới

Hãy xác định xu hướng tiêu dùng biên xu hướng tiết kiệm biên khiY= 100

3 5(2 3)

10

 



Y C

Y

Ví dụ 4.6: Giả sử hàm sản xuất Q (khối lượng sản

phẩm) doanh nghiệp cho

trong đóL >0 số cơng nhân

Hãy ước tính sản phẩm vật biên thêm công nhân doanh nghiệp có 100 cơng nhân

( ) ,

 

Q Q L L

Ví dụ 4.7:Nhu cầu tiêu thụDcủa loại sản phẩm phụ thuộc vào giáPcủa sản phẩm Giả sử rằng, giá

Pphụ thuộc vào thời giant Cho biết nhu cầu tiêu thụ sản phẩm giảm 5000pounds giá tăng 1$

pound, giá mỗipoundsản phẩm tăng 0,05$ tuần Hỏi lượng cầu giảm bao nhiêupoundsmỗi tuần? Ví dụ 4.8:GọiClà hàm chi phí,Qlà mức sản lượng vàPlà giá bán Biết rằngP.Q= 100 chi phí biên

Q= 200 0,01 (đơn vị tiền)

Tính dC khiQ= 200

15/10/2018

37

4.3 Độ thay đổi tuyệt đối độ thay đổi tương đối: Xét hàm sốy=f(x).Khi biến số tăng từx0đếnxthì ta có

-Độ thay đổi (tăng, giảm) tuyệt đốicủa biếnxtạix0là

0  x xx

Độ thay đổi tuyệt đối biếnxphụ thuộc vào đơn vị chọn để đo biếnx.

-Độ thay đổi tương đốicủa biếnxtạix0là

0

100%

 

x x

Độ thay đổi tương đối biếnxkhông phụ thuộc vào đơn vị chọn để đo biếnx.

38

Ví dụ 4.9: Một hộ có giá cũ 200 triệu đồng Nếu tăng giá lên 201 triệu đồng độ tăng tuyệt đối bao nhiêu? Độ tăng tương đối là bao nhiêu?

Ví dụ 4.10: Một điện thoại Samsung có giá cũ triệu đồng Nếu tăng giá lên triệu đồng độ tăng tuyệt đối bao nhiêu? Độ tăng tương đối bao nhiêu?

39 4.4 Độ co dãn:

-Để đo mức độ phản ứng biếnykhi biếnxthay đổi, người ta đưa vào khái niệm hệ số co dãn

-Độ co dãn đại lượngytheo đại lượngxlà tỉ số độ thay đổi tương đối củayvà độ thay đổi tương đối

x,ký hiệu yx Ta có

%

%





 

  



 

yx

y

y y y x

x

x x y

x

Từ đó, vớixkhá bé, ta có

0

lim ( )

  

  

  



 

yx x

y x x

y x

x y y

40

Ví dụ 4.11:Một nhà kinh tế học ước lượng rằng giá thuốc tăng 10% gây sụt giảm nhu cầu thuốc người trung niên 12%.

a)Tìm độ co dãn nhu cầu thuốc theo giá thuốc lá.

b)Nếu phủ muốn giảm nhu cầu thuốc lá đến 20% phủ cần tăng giá thuốc lên bao nhiêu phần trăm?

41

Hệ số co dãn biếnytheo biếnxtạix0là

0

0

0 ( ) ( )

( ) yx x y x  x

y x

4.6 Ý nghĩa hệ số co dãn: cho biết xấp xỉ độ thay đổi tương đối biến ytại x = x0 khi biến x

tăng tương đối lên 1%(từ x0 lên x0+1%x0=1,01x0) Cụ thể, ta có

0

( )

yx x



0

( ) 

 yx x  có nghĩa làcó nghĩa x= x0, khix tăng1% thìysẽtăngyx( )%.x0

có nghĩa làcó nghĩa x= x0, khix tăng1% thìysẽgiảmyx( )%.x0

0

( ) 

 yx x 

4.5 Hệ số co dãn:

42

Dựa vào hệ số co dãn, người ta đưa khái niệm sau: Nếu hàmfđược gọi làco dãntạix0(hàm

số có phản ứng nhanh với thay đổi biến số) Khi đó, điểm (x0;y0) gọi làđiểm co dãn

Nếu hàmfđược gọi làđẳng co dãntạix0

Khi đó, điểm (x0; y0) gọi điểm đẳng co dãn

(điểm co dãn đơn vị)

Nếu hàmfđược gọi làkhơng co dãntại

x0(hàm số có phản ứng chậm với thay đổi biến

số) Khi đó, điểm (x0;y0) gọi làđiểm không co

dãn.

( ) yx x 

0

( ) yx x 

0