Bài giảng toán cao cấp 1 chương 2 hoàng văn thắng

Chương 2: MA TRẬN – ĐỊNH THỨC Bài Các khái niệm ma trận I Các khái niệm ma trận Khái niệm ma trận Đẳng thức ma trận Ma trận không ma trận đối II Các dạng ma trận Ma trận vuông Ma trận tam giác Ma trận đường chéo ma trận đơn vị III Các phép biến đổi ma trận Các phép biến đổi sơ cấp Phép chuyển vị ma trận I Các khái niệm ma trận 1) Ma trận gì? A= −4 , = 1 −3 −1 (A B ví dụ ma trận.) Tại phải có ma trận? Đối với hệ: + = − =5 Dễ dạng nhận thấy nghiệm: = 3, = Đối với hệ kích thước lớn hơn, chẳng hạn: + = − − − = + + 10 = 1 − = − Ma trận giúp bạn… Định nghĩa: Ma trận bảng số xếp theo dòng cột Một ma trận có m dòng, n cột gọi ma trận cấp × Dạng tổng quát là:  a11 a12 a a 21 22  A     a m1 a m2  a1n   a 2n      a mn  mn Dấu ngoặc đơn  a11 a12 a a 22 21 A    a m1 a m2  a1n   a 2n       a mn  mn Dấu ngoặc vuông Có thể Ký hiệu dạng thu gọn: = × Trong phần tử nằm dòng i, cột j ma trận A Ví dụ 1: Cho ma trận: = ⟶ = 5, −2 −3 −1 −4 −1 = −2, × = −1 = Ví dụ 2: Lập ma trận × nếu i + j chẵn a = nếu i + j lẻ Giải: a a =? =? = 2 a =? a =? 2 2 cho biết: Đẳng thức ma trận Định nghĩa: Hai ma trận gọi chúng có cấp phần tử vị trí tương ứng đôi Tức là, A = a × ,B = b × a = b Thì: A = B ⟺ ∀i = 1,2, … , m; j = 1,2, … , n Ví dụ: Cho Khi đó, = = ⟺ , =1 =2 =3 =4 =5 =6 = − = − • Ta có: = , − − − = − = , − − = − • Vậy r(A) = − − = ≠ − 30 Ví dụ 3: Tùy theo m tìm r(A), với: − = − − − Giải: • Xét: = = =− ≠ • Có định thức cấp bao quanh D là: , , , 31 − − = − − − • = − = ≠ • Có định thức cấp bao quanh = =? 32 − = − − − = + Có hai trường hợp xảy ra: • = ⟺ + ⟹ • ≠ ⟺ ⟺ =− ⟺ ≠− = + ⟹ = ≠ = 33 Phương pháp biến đổi Như biết phép biến đổi sơ cấp hệ véc tơ dòng hệ véc tơ cột ma trận không làm thay đổi hạng hệ véc tơ Do chúng không làm thay đổi hạng ma trận 34 Phương pháp biến đổi ế đổ ấ ê ệ é ò ặ ộ B ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ Khác = ( ≤ , ⟹ ≠ ∀ = , , … , ) = = ………… 35………… Ví dụ 1: Tìm r(A) phương pháp biến đổi, với − = − − − Giải: Để tìm hạng ma trận? Khi dùng phương pháp quanh? định Khi thức bao dùng phương pháp biến đổi ?? Định lý 1: Nếu A B hai ma trận cấp × + ≤ + ( ) Định lý 2: Lời: ?? ≤ ≤ ∀ , mà AB có nghĩa Ví dụ: Cho hai ma trận: − = − , = − Có tồn ma trận X thỏa mãn: = ? Giải • Dễ thấy: r(A) = 2, r(B) = • Giả sử, tồn X thỏa mãn: AX = B ⟹ = = ≤ = (vô lý) • Vậy ∄ thỏa mãn: AX = B Khảo sát hệ véc tơ thông qua tìm hạng ma trận Cho hệ véc tơ n chiều: , ,…, Hãy khảo sát hệ véc tơ trên, tức là:  Tìm hạng hệ véc tơ  Xét PTTT & ĐLTT  Tìm sở hệ véc tơ Các bước thực hiện: Bước 1: Lập ma trận A có dòng tương ứng véc tơ trên: = ⋯ ⟶ ⟶ ⋯ ⟶ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ Xếp véc tơ thành dòng Bước 2: Tìm r(A) = r, từ đó: • , ,…, = • Nhận biết PTTT & ĐLTT  Nếu r = m ⟶ Hệ véc tơ ĐLTT  Nếu r < m ⟶ Hệ véc tơ PTTT • Tìm sở hệ véc tơ:  Từ r(A) = r, chọn định thức sở A (khác 0, cấp r) … … =  Cơ sở , , ≠ ,…, ,…, Chú ý: Ở bước ta xếp véc tơ thành cột để A Khi đó, bước 2, kết luận sở hệ véc tơ ta phải chọn véc tơ có số cột với định thức sở D Ví dụ: Tìm hạng sở hệ véc tơ sau: = = = = , − , , , , , , − , Giải  Xếp véc tơ thành cột để ma trận A: 10 [...]... trận sau: 1 = 4 1 2 −3 1 1 2 Đs: A = 3 −4 3 −4 5 2 0 1 4 −3 5 2 Nhận xét: ′ = ⟶ × 1 1 0 1 ∀, =5 ⟶ ′ × =5 § 2 CÁC PHÉP TOÁN ĐỐI VỚI MA TRẬN I Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số 1 Định nghĩa phép toán 2 Các tính chất cơ bản II Phép nhân ma trận với ma trận 1 Định nghĩa phép toán 2 Các tính chất cơ bản I Phép cộng ma trận và nhân ma trận với số Định nghĩa 1: Cho hai ma trận cùng cấp × : =... vectơ: Cụ thể: Quy tắc cộng: ”Cộng hai ma trận cùng cấp ta cộng các phần tử ở vị trí tương ứng với nhau.” Quy tắc nhân véc tơ với số: ”Nhân một ma trận với số ta nhân số các phần tử của ma trận đó.” với tất cả Ví dụ: Cho hai ma trận 2 A= 4 −3 1 , 2 0 1 1 = 0 2 −3 −4 Hãy lập: A + B, 2A, 3B, 2A + 3B Giải: 2 + ( 1) (−3) + 1 A+B= 4+0 2+ 2 1 2 = 4 4 2 −4 1 + (−3) 0 + (−4) Các tính chất cơ bản của phép cộng... trận sau:  4 0  4 0      A   5 2    A   5 2   7 4  7 4     II Các dạng ma trận 1 Ma trận vuông Định nghĩa: Ma trận vuông là ma trận có số dòng bằng số cột Một ma trận có số dòng và số cột đều bằng n được gọi là ma trận vuông cấp n Ma trận vuông cấp n có dạng tổng quát:  a 11 a 12 a a 22 21 A     a n1 a n 2  a1n    a 2n      a nn  Đường chéo chính Chú ý:... các phần tử trên đường chéo chính là vết của ma trận đó: ế ( ) = + + ⋯+ 2 Ma trận tam giác: Định nghĩa: Ma trận tam giác là ma trận vuông có các phần tử nằm về một phía của đường chéo chính bằng 0 Có hai loại ma trận tam giác: a 11 a 12  a1n    a 22  a 2n        a mn    a 11  a  a 22 21        a m1 a m2  a mn  Ma trận tam giác dưới Ma trận tam giác trên 3 Ma trận đường chéo... chính bằng 0 Ma trận đường chéo cấp n có dạng:  a 11    a 22        a  nn   7 0 0  A   0 4 0    0 0 9   Định nghĩa: Ma trận đơn vị là ma trận vuông có tất cả các phần tử trong đường chéo chính bằng 1, nằm ngoài đường chéo chính bằng 0 1 0  0 1 0 0  0 1  0    E3   0 1 0  E  En   0 0 1         0 0  1 1 Các phép biến đổi sơ cấp Định nghĩa: Các phép biến... Với A, B, C là các ma trận cùng cấp × ; là các số bất kỳ, ta có: 1 Giao hoán: 2 Kết hợp: + + = + + = +( + ) 3 Cộng với ma trận 0: A + 0 = 0 + A = A 4 Cộng với ma trận đối: A + (–A) = 0 5 Nhân với 1: 1. A = A .1 =A 6 Phân phối: 7 Phân phối: + + = + = + 8 Kết hợp với phép nhân: = ( ) Chú ý: Ta có phép trừ hai ma trận: A – B = A + (–B) Như vậy, Nếu A và B là hai ma trận cùng cấp × : Thì: − = = × − , × = ×... hai ma trận cùng cấp ta trừ các phần tử của ma trận đứng trước cho các phần tử tương ứng của ma trận đứng sau” Nhận xét: − − = − = − Chú ý: “Từ các tính chất trên ta suy ra thực hiện biến đổi một biểu thức ma trận (hay đẳng thức ma trận) có thể thực hiện như biến đổi một biểu thức(hay đẳng thức đại số) Tức là, có thể: nhân phân phối, chuyển vế đổi dấu,… ” Ví dụ: (Bài 2 – Trang 11 2- SGTr) Cho hai ma... ma trận cùng cấp × : = × , = × Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp × Ký hiệu là A + B và được xác định như sau: + = + Định nghĩa2: Cho ma trận × = × và số thực Tích của trận A và số thực trận cấp × là một ma Ký hiệu là và được xác định như sau: = × Nhận xét: + Phép cộng ma trận chỉ áp dụng cho các ma trận cùng cấp + Việc thực hiện phép cộng hai ma trận và nhân ma trận với số được thực... đổi sơ cấp Định nghĩa: Các phép biến đổi sau đây đối với một ma trận được gọi là các phép biến đổi sơ cấp Phép 1: Đổi chỗ hai dòng (cột) của ma trận cho nhau ≠ 0 Phép 2: Nhân một dòng (cột) với số Phép 3: Biến đổi một dòng(cột) bằng cách cộng vào nó tích của một dòng(cột) khác với một số k tùy chọn 2 Phép chuyển vị ma trận Cho ma trận = × Bằng cách xoay các dòng của A thành các cột tương ứng ta được...3 Ma trận không và ma trận đối Định nghĩa 1: Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử bằng không Ký hiệu: 0 × 0 m n 0 0  0 0 0  0           0 0  0  mn Định nghĩa 2: Ma trận đối của một ma trận A là ma trận cùng cấp mà mỗi phần tử của nó là số đối của các phần tử tương ứng của ma trận A Ký hiệu: ma trận đối của A ...  a11x1 a x  21    a m1x1   a 12 x a 22 x   a m2 x       a1n x n a 2n x n      a mn x n   b1 b2   bm Ta có: Ma trận hệ số  a 11 a 12 a a 22 21 A     a m1 a m2 Cột... Cho hai ma trận  a 11 a 12 a a 22 21  A     a m1 a m2  a1n   b 11 b 12    a 2n b 21 b 22   B        a mn mn  b n1 b n số cột A số dòng B  b1p    b 2p      b np... c 12  9    8 c 21    10  27 c 22  27  12   13  3   10  Hãy lập ma trận BA (A, B Ví dụ 1) B3 2 A 2 3  BA 33  24 11    BA  33 14    24    Nhận xét: Phép nhân ma