Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 0 - Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 0: Hàm số, giới hạn, liên tục cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa hàm một biến, đồ thị hàm số, hàm xác định từng khúc, hàm số tăng, giảm, hàm số ngược,... Mời các bạn cùng tham khảo.

03/04/2017 Định nghĩa hàm biến CHƯƠNG HÀM SỐ, GIỚI HẠN, LIÊN TỤC Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến • Cho D, E tập tập số thực R Hàm số f quy tắc cho tương ứng phần tử x tập D với phần tử f(x) tập E D: miền xác định (domain) E: miền giá trị (range) x: biến độc lập (independent variable) f(x): biến phụ thuộc (dependent variable) E f 1 f a  a Bài giảng Toán cao cấp Định nghĩa hàm biến • • • • f D Nguyễn Văn Tiến Đồ thị hàm số • Cho hàm số: f : D  E • Đồ thị hàm f tập hợp tất điểm (x,y) thỏa y=f(x) với xD • Ký hiệu đồ thị hàm f G(f) Ta có: G f   x, f x  x  D  • Biểu diễn tập G(f) lên mặt phẳng Oxy ta đường (cong thẳng), đường gọi đồ thị hàm số f Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Đồ thị hàm số • Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y y=2x+x2 range  mgt f 2  Nguyễn Văn Tiến y  f x  f 2  x domain  mxd Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 03/04/2017 Tiêu chuẩn đường thẳng đứng • Đường cong mặt phẳng Oxy đồ thị hàm f khơng có đường thẳng đứng cắt đường cong nhiều điểm • Chú ý: đường thẳng đứng Oxy có dạng: x=a Ví dụ  x a y x Đây đồ thị hàm biến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ y Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Hàm xác định khúc  • Được định nghĩa khác tập khác miền xác định Ví dụ 1: Hàm giá trị tuyệt đối  x f x   x     x   x Nguyễn Văn Tiến Hàm xác định khúc y  x y ,x   mxd  ??? Ví dụ 2: Đây khơng phải đồ thị hàm biến Bài giảng Toán cao cấp ,x   1  x , x  f x     mxd  ???   x ,x     Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Hàm xác định khúc yx y y  x2 f 0    1  x , x  f x      x ,x     f 1  f 2   f 0   0 Bài giảng Toán cao cấp  x f x      x   x ,x  ,x  Nguyễn Văn Tiến Đồ thị f(x) có màu đỏ Bài giảng Toán cao cấp 1 x y  1 x Nguyễn Văn Tiến 03/04/2017 Tính đối xứng Ví dụ • Hàm số chẵn: f hàm chẵn miền D nếu: x  D  x  D f x   f x  • Hàm số lẻ: f hàm lẻ miền D nếu: x  D  x  D f x   f x  • Hàm số sau chẵn, lẻ hay không chẵn không lẻ? a ) f x   x  x b ) g x    x c ) h x   x  x • Giải: d ) k x   3x f x   x   x   x  x   f x  • Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy trục đối xứng • Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O tâm đối xứng Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến • Vậy hàm f(x) hàm lẻ Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ b) Ta có: g x    x    x  g x  Vậy g hàm chẵn c) h x   x  x  D  ;    h x   x  x   x  x 2 h x   h x  d) Tập xác định: h x   h x  Vì:   D  ;  m  D  Nên hàm số cho có tập xác định không đối xứng Vậy hàm số không chẵn, không lẻ Vậy hàm h không chẵn, không lẻ Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Hàm số tăng, giảm Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ y • Hàm số f tăng khoảng I nếu: y  f x  x  x  f x   f x , x 1, x  I Hàm số cho tăng đoạn [a;b] giảm đoạn [c;d] • Hàm số f giảm khoảng I nếu: x  x  f x   f x  , x 1, x  I • Đồ thị hàm số tăng lên từ trái sang phải • Đồ thị hàm số giảm xuống từ trái sang phải Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến a0 b Bài giảng Toán cao cấp c d x Nguyễn Văn Tiến 03/04/2017 Hàm số ngược Ví dụ • Định nghĩa hàm 1-1: Hàm số f gọi hàm 1-1 khơng nhận giá trị lần trở lên Nghĩa là: • Hàm f hàm 1-1; hàm g không hàm 1-1 f x   f x ,  x  x • Tiêu chuẩn đường nằm ngang: Hàm f hàm 11 đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều điểm Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến x  x  x 13  x 23  f x   f x  • Theo định nghĩa f hàm 1-1 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến hàm x , x Bài giảng Toán cao cấp   0;    y số x Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Hàm số: g(x)=x2 có phải hàm 1-1? • Đáp số: Vì 1-1 g(1)=1=g(-1) nên hàm cho khơng hàm 1-1 Tuy nhiên xét riêng miền [0, +) hàm g hàm 1-1 Vì: x  x  x  x  g x   g x  g Nguyễn Văn Tiến • Ta thấy đường nằm ngang cắt đồ thị điểm Khơng có đường cắt nhiều điểm Vậy f hàm 1-1 Ví dụ f Bài giảng Toán cao cấp • Đồ thị f(x)=x3 f x   x Ví dụ • Hàm số sau có hàm 1-1? 15 Ví dụ • Ta có: 21 3 10  • Xét tồn trục số g khơng 1-1 • Xét miền [0; +) hàm g 1-1 Nguyễn Văn Tiến y Bài giảng Toán cao cấp x Nguyễn Văn Tiến 03/04/2017 Hàm số ngược Ví dụ Định nghĩa: • Cho f hàm 1-1, có miền xác định A miền giá trị B • Hàm ngược hàm f kí hiệu f -1, có miền xác định B, miền giá trị A • Được xác định theo hệ thức sau: f 1 y   x  f x   y , • Hàm số ngược hàm f 10 1 21 2 3 y  B Bài giảng Toán cao cấp f  10   Nguyễn Văn Tiến • Hàm ngược hàm: f x   x • Là: f 1 x   x 1/3  x • Vì: f y   f x 1/3  x 1/3 y  f 1 x   f y   x Nguyễn Văn Tiến     x Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tìm hàm ngược hàm: y  f x  Giải phương trình tìm x theo y (nếu được) Hốn đổi x y Ta có kết quả: • Giải: y  x3 2  x3  y 2  x  y 2 • Hốn đổi: x  f x   x  y  x 2  • Vậy hàm ngược: y  f 1 x  Bài giảng Toán cao cấp Bài giảng Tốn cao cấp Cách tìm hàm ngược yf f 1 Ví dụ • Miền xác định f -1 = miền giá trị f • Miền giá trị f -1 = miền xác định f • Ta thường ký hiệu y biến phụ thuộc x biến độc lập nên hàm số ngược thường viết dạng: 1 Bài giảng Toán cao cấp Chú ý Viết: 21 f 1  10 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp f 10 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp x 2 Nguyễn Văn Tiến 03/04/2017 Ví dụ Chú ý • Tìm hàm ngược của: g x   x 2, 0  x   • Từ định nghĩa ta có:  y  x , 0  x    x  y  x   y ii ) • Hốn đổi: Vậy hàm ngược: g 1 x   x 0  x   y x  x Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến  f  f x   x , i ) f 1 f x   x , • Chú ý: miền cho g hàm 1-1 nên có hàm ngược • Ta có: 1 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Các phép toán hàm số Đồ thị hàm ngược f-1 đối xứng với hàm f qua đường thẳng y=x (phân giác góc phần tư thứ nhất) • Cho hai hàm số f, g có miền xác định A, B Khi đó: • Tổng hiệu f g:  f  g x   f x   g x , Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến mxd : A  B • Tích f g:  f g x   f x .g x ; • Thương f g:  f  f x    x   g x   g  mxd : A  B   mxd : x  A  B g x   Bài giảng Toán cao cấp Hàm số hợp • Thỏa: x  B • Đồ thị hàm ngược f-1 đối xứng với hàm f qua đường thẳng y=x (phân giác góc phần tư thứ nhất) Đồ thị • Cho hai hàm: f :X  R x  A Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho g :Y  R g Y   X g x   x  3; f x   x • Ta có: • Khi tồn hàm hợp:  fog   h • Ta có: fog : X  Z    g f x   g  f x   g x   x fo g x   f g x   f x  3  x  3 o 2 3  h x    fog x   f g x  Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 03/04/2017 Ví dụ Giải • Ta có: • Cho hai hàm số:  f x   x  mxd : A   0;    f x   x ; g x    x • Xác định miền xác định hàm sau: a ) f  g; f  g; fg ; f g b) fog; go f ; fo f ; gog Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến  g x    x  mxd : B  ;2  • Vậy:  f  g x   x  2x mxd : A  B   0;2  f  g x   x  2x mxd : A  B   0;2 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Giải Giải • Vậy:  fg x    f    x    g  mxd : A  B   0;2 x 2x x 2x mxd : A  B \ x g x     0;2 \ 2   0;2    f g x   f g x   f   2x    mxd : ; 2  x  2x Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến g f x   g  f x   g    x  DK :    x   mxd : 0; 4 2  x      f f x   f  f x   f  0  x  4x x   mxd : 0;    Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Giải g g x   g g x   g   x  2 x  2x  2  2x  2  x    x   DK :    2  x       x   2  x      mxd : 2; 2 • Cho hàm số: F x   cos2 x  9 • Tìm hàm f, g, h cho: F  f0g 0h • Đặt: h x   x  9, • Khi đó: g x   cos x,   f x   x f0g 0h x   f0g h x   f0g x  9      f g x  9  f cos x  9  cos x  9  cos2 x  9  F x    Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 03/04/2017 Hàm tuyến tính CÁC LOẠI HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến • Ta nói y hàm tuyến tính x nếu: y  ax  b • Đồ thị hàm y đường thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b, hệ số góc a Bài giảng Tốn cao cấp Đa thức Hàm hữu tỷ • Hàm P gọi đa thức nếu: P x   an x  an 1x n n 1 • Dạng: f x     a2x  a1x  a n   Bài giảng Toán cao cấp f x   Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp   ; mxd : x  R x  3 Nguyễn Văn Tiến • Dạng: y  x ,   ,   0 • >0 : hàm số tăng • n0 để chênh lệch un1 a lớn  • Nói cách khác ln tồn khoảng cách dãy (un) a Độ chênh lệch (un) a nhỏ tùy ý Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 15 03/04/2017 Giới hạn vơ cực dãy số • Ta nói dãy (un) tiến đến + khi: Giới hạn vô cực dãy số • Ta nói dãy (un) tiến đến - khi: A  0, n0  : n  n0  un  A A  0, n  : n  n  un  A • (un) lớn số dương tùy ý n đủ lớn • Ký hiệu: lim un   • (un) nhỏ số âm tùy ý n đủ lớn • Ký hiệu: lim un   n  n  Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Tính chất Tính chất • Giới hạn dãy số có • Cho lim un ; lim tồn hữu hạn Khi đó: n  n  n  n    n  lim un  lim zn  a n  Nguyễn Văn Tiến n   zn lim v  a n  n Nguyễn Văn Tiến Ví dụ n  n  • Tìm giới hạn dãy số: sin n a)un  n 1 • Ta có:  un  a b)vn  5n nn sin n  n2  n2  0 • Vậy: lim un   lim un  n  Bài giảng Toán cao cấp Bài giảng Tốn cao cấp Minh họa  • Nếu: n  Bài giảng Tốn cao cấp un  n  un   zn n  n  d ) lim un  lim un  n  n  f ) lim un   lim un  n   u  lim un  c) lim  n   n , lim v   n   v   n  nlim vn  n n    lim un n  , lim un  • Định lý giới hạn kẹp: Cho ba dãy số thỏa: n  b) lim un   lim un  lim vn  n  lim vn n  n  a ) lim un    lim un   lim vn  n  e) lim un Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp n  Nguyễn Văn Tiến 16 03/04/2017 Công thức giới hạn 1) lim C  C n     2) lim n    n  0      0   0 Các dạng vô định  0 3) lim q n    n       ,q 1 ,q  n  a 5) lim 1    ea n   n   n  1 4) lim 1    e n   n   6) lim   a  0 n  ln n ln p n 8) lim     0 n  n n • Có dạng vơ định: ;  ;    ; 0 • Quy tắc cần nhớ: ln n  n   a n  n ! ,   0;a  1 7) lim n  1, p n  np 0 n  e n 9) lim Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến Tìm giới hạn dãy số Ví dụ • Biến đổi đại số (nhân liên hợp, đẳng thức …) • Chia tử mẫu cho biểu thức khác (thường chia cho n hay an…) • Dùng cơng thức giới hạn dãy số e • Dùng định lý kẹp Nguyễn Văn Tiến • Tìm giới hạn sau:  a ) lim n  n  n     1  b) lim      n  1.2 2.3 n n  1   2     n   c) lim   n  n3    n2  n  d ) lim   n  n  n  1  Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ • Tìm giới hạn sau: • Tìm giới hạn sau: 2n  3n n  2n  3n 2n 1  3n 1 b) lim n n   3n 5.2n  3.5n 1 c) lim n  100.2n  2.5n n 6  5n 1  d ) lim n 1 n  n  6    a ) lim 1  n    n  1 3n a ) lim Bài giảng Toán cao cấp 00 ; p Bài giảng Toán cao cấp Bài giảng Toán cao cấp 0.; 1 ; 3n 1  n    b) lim  n   n     Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 17 03/04/2017 Ví dụ Giới hạn hàm số • Tìm giới hạn sau: • Để có nhìn trực quan giới hạn hàm số ta xét ví dụ sau • Cho hàm số: n sin n n2  arctan n b) lim n  n sin2 n  cos3 n c) lim n  n n  sin n ! d ) lim n  n a ) lim n  f x   x  x  Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Giới hạn hàm số Giới hạn hàm số • Bảng giá trị hàm số x gần (nhưng khơng 2) x f(x) x f(x) • Ta có: 1.5 1.75 1.9 1.95 1.99 1.995 1.999 2.75 3.3125 3.71 3.8525 3.9701 3.985025 3.997001 2.5 2.2 2.1 2.05 2.01 2.005 2.001 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 5.75 4.64 4.31 4.1525 4.0301 4.015025 4.003001 Nguyễn Văn Tiến • Từ bảng giá trị đồ thị ta thấy Khi x dần (cả phía) giá trị f(x) dần Có nghĩa giá trị f(x) gần cách tùy ý ta chọn x đủ gần • Ta nói: Giới hạn hàm số f(x)=x2-x+4 x dần đến   lim x  x   x 2 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Định nghĩa Ví dụ   • Giới hạn hàm số f(x) x dần đến a L giá trị f(x) gần L cách tùy ý lấy giá trị x đủ gần a x không a lim f x   L • Ký hiệu: x a • Dạng tốn học: • CMR: lim f x   L  • B3 Khi x gần Từ bất phương trình giải: x a x 2 • B1 Lấy >0 tùy ý • B2 Lập hiệu: f x    x  x      0,   0, x  D :  x  a    f x   L   Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến lim x  x   x   ??? Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 18 03/04/2017 Ví dụ Ví dụ • B3 Vì x gần nên ta giả sử: x  1; 3   x   • Ta có: • B4 Viết lại theo định nghĩa:   0,   x  x   x  2x  1  x   :  x 2    x2 x       • Kết luận:   lim x  x   • Vậy: x 2   x 2    x2 x 2   x 2  Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Định nghĩa • Ta quan tâm đến giá trị hàm số f(x) x gần a xa Do ta khơng quan tâm việc hàm số có xác định a hay khơng • Chẳng hạn hàm f(x)=sinx/x khơng xác định Nhưng ta có: x 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.01 0.005 0.001 sin x lim 1 x 0 x Giới hạn bên trái (sinx)/x 0.841470985 0.958851077 0.973545856 0.985067356 0.993346654 0.998334166 0.999983333 0.999995833 0.999999833 Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến • Định nghĩa: Giới hạn hàm số f(x) x dần đến a từ bên trái L giá trị hàm số f(x) gần L cách tùy ý giá trị x đủ gần a x nhỏ a • Ký hiệu: lim f x  L x a  lim f x   L    0,   0, x  D :  a  x    f x   L   Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Giới hạn bên phải • Định nghĩa: Giới hạn hàm số f(x) x dần đến a từ bên phải L giá trị hàm số f(x) gần L cách tùy ý giá trị x đủ gần a x lớn a • Ký hiệu: lim f x  L y  f x  f x  x a  L  lim f x   L  x  x a  Giới hạn bên trái y Nguyễn Văn Tiến x a    0,   0, x  D :  x  a    f x   L   x a lim f x   L x a Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 19 03/04/2017 Giới hạn bên trái Định lý y • Hàm số f có giới hạn L x tiến tới a khi: • f có giới hạn trái giới hạn phải a • Hai giới hạn • Bằng L y  f x  f x  L x a x lim f x   L   f x   L  xlim a  lim f x   L    x a  lim f x   L    x a  x a Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp Luật tính giới hạn Luật tính giới hạn (tt) lim x  a lim x n  a n lim C  C x a x a x a lim x a • Cho giới hạn sau tồn hữu hạn: x a f x  g x   x a lim lim  f x  g x   lim f x  lim g x   x a  x a x a lim n x  n x a x a Nguyễn Văn Tiến n n n lim f x  x a a Với điều kiện biểu thức có nghĩa Nguyễn Văn Tiến • Tính:     a ) lim x  3x  x 2 lim f x   f a  x a • Nếu f x   g x ,  x  a tồn giới hạn: lim g x   L Bài giảng Toán cao cấp x a Ví dụ • Nếu f đa thức hay hàm hữu tỷ a nằm tập xác định f thì: b ) lim x  2x   3x • Giải: a ) lim x  3x   2  3.2   x 2 x a    2x    x   x 11    lim f x   lim g x   L x a  lim g x   0 x a Bài giảng Toán cao cấp Tính chất thì: x a lim g x  f x   lim  f x   g x   lim f x   lim g x   x a  x a x a Bài giảng Toán cao cấp lim f x  n lim  f x    lim f x   x a   x a  lim f x  ; lim g x  • Ta có: Nguyễn Văn Tiến b ) lim x a Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 20 03/04/2017 Ví dụ • Tính: lim x 2 • Ta có: Giới hạn vơ cực x2   ??? x 2 x  x    x  2,  x  x2   x 2 x 2 • Mà: lim x    • Vậy: lim x 2 x 2 x2   lim x    x 2 x 2 Bài giảng Toán cao cấp f x   • Xét: x2 • Khi x gần 0, f(x) lớn cách tùy ý f(x) khơng dần đến số • Ta nói: giới hạn hàm số x=0 khơng tồn viết: lim x 0 Nguyễn Văn Tiến x2  Bài giảng Tốn cao cấp Giới hạn vơ cực Nguyễn Văn Tiến Giới hạn vơ cực y • Cho hàm f xác định phía điểm a, trừ điểm a • Nếu giá trị f(x) lớn tùy ý x đủ gần a, xa Ta nói: x  a lim f x    x a x • Nếu giá trị f(x) nhỏ tùy ý x đủ gần a, xa lim f x    lim f x  a x a Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Định lý kẹp sin x lim 1 x0 x lim x 0 x 0 x a  1  x  lim x 0 lim g x   L x a lim x 0 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến lim 1  x x  e lim f x   lim h x   L • Thì:   Cơng thức giới hạn • Nếu f x   g x   h x  x gần a (có thể trừ điểm a) và: x a x   Nguyễn Văn Tiến 1 x ex  1 x Bài giảng Toán cao cấp  tan x 1 x x  1 lim 1    e x   x    cos x  x2 ln 1  x  8.lim 1 x 0 x lim x 0 Nguyễn Văn Tiến 21 03/04/2017 Công thức giới hạn arcsin x 1 x lim x0 11 lim arctan x   x  10 lim x 0 Ví dụ arctan x 1 x • Nhận dạng tính giới hạn sau x4  13 lim arcco t x   12 lim arctan x  x   14 lim arcco t x  x  x  Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến b lim       2x   a lim x    x 2 x 1 x      sin 2x c lim x  sin x ln x  a   ln a d lim x 0 x e x  e x   e lim   x0   x             Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ • Nhận dạng tính giới hạn: • Nhận dạng tính giới hạn:   .0 x  ln x  x e    c lim x   tan x    x  b lim x e x0       0.  Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 1   5   Bài giảng Tốn cao cấp Vơ bé Nguyễn Văn Tiến Tính chất • Định nghĩa: hàm số f(x) gọi vô bé (VCB) xa nếu: lim f x   Tổng hữu hạn VCB VCB Tích hai VCB VCB x a • Ví dụ: sinx VCB x 0 vì: lim sin x  x0 Bài giảng Toán cao cấp   5x  x 2 x b lim   x    5x      5x  2 x  c lim  x   x     1/x VCB x  vì: 1  a lim cos x x a lim x e 1/x  lim x  0 x Tích VCB hàm bị chặn VCB Thương hai VCB khơng VCB Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 22 03/04/2017 Định nghĩa Các VCB tương đương x0 • Cho f(x); g(x) hai VCB xa Giả sử: f x  lim k x a g x   Nếu k=0 f(x) VCB bậc cao g(x) Ký hiệu: f(x)=0(g(x)) Nếu k hữu hạn, khác ta nói f(x) g(x) hai VCB cấp Nếu k=1 f(x) g(x) hai VCB tương đương Ký hiệu: f(x) ~ g(x) Nếu k= ta nói f(x) VCB bậc thấp g(x) Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 1) sin x  x 2) tan x  x 3) arcsin x  x 4) arctan x  x 5) 1  cos x   x 2 7) e x   x 6) 1  x     x 9) ln x  1  x 10) loga 1  x     x a  lim x a Bài giảng Tốn cao cấp • Tính: VCB bậc thấp tử VCB bậc thấp mẫu • Ta có: Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến Nguyễn Văn Tiến I  lim J  lim x0 1 x 1 arctan x  1/5     x   1  x    x x     arctan x  x   • Vậy: x  x 1 I  lim  lim  x 0 arctan x x 0 x Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Tính: Ví dụ • Tính: ln 1  x tan x  • Ta có: e x  cos x  x 0 sin x e sin 5x  e x L  lim 2 x  ln  2x   • Vậy: M  lim x0 x  sin x K  lim    ln 1  x tan x   x tan x  x x   3  sin x  x    I  lim x0 ln 1  x tan x  x  sin x Bài giảng Toán cao cấp  x0 x x  lim  x  x x x Nguyễn Văn Tiến  1 sin e x 1  x 1  lim x ln a Ví dụ Tổn g hữu hạn VCB Tổn g hữu hạn VCB • Các VCB bậc cao bị ngắt bỏ • Giới hạn có dạng 0/0 • Các dạng khác ta biến đổi để xuất dạng 0/0 8)a x   x ln a • Đây VCB x 0 Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao lim  e N  lim x 0 Bài giảng Toán cao cấp x ln x  cos x  1  2x  sin x  Nguyễn Văn Tiến 23 03/04/2017 Vô lớn Định nghĩa • Định nghĩa: hàm số f(x) gọi vô lớn (VCL) xa nếu: lim f x    x a hay   • Cho f(x); g(x) hai VCL xa Giả sử: f x  lim k x a g x   Nếu k=  f(x) VCL bậc cao g(x) • Ví dụ: Nếu k hữu hạn, khác ta nói f(x) g(x) hai VCL cấp 1 i) ; ; cot x laø VCL x  x sin x   ii ) tan x laø VCL x   hay x  2 Bài giảng Tốn cao cấp Nếu k=1 f(x) g(x) hai VCL tương đương Ký hiệu: f(x) ~ g(x) Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp Tổn g hữu hạn VCL Tổn g hữu hạn VCL • Tính:I  xlim   VCL bậc cao tử VCL bậc cao mẫu • Ta có: lim x a  lim x a Ví dụ x   2x  x x2   x   x2   x2  x   x     x 4  x    • Các VCL bậc thấp bị ngắt bỏ • Giới hạn có dạng / • Vậy: I  lim x   2x  x x  Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ J  lim   ln e x  x x   x    lim x  Bài giảng Toán cao cấp   x x 1 x lim x   K  lim 3x  2x   x  x   x2    lim x   Bài giảng Toán cao cấp 3x  x 2 x  x Nguyễn Văn Tiến • Định lý: Xét q trình xa: • Nếu f(x) VCB thì: g x   x  2x  x  x x Liên hệ VCB VCL ln e x lim x2   x • Nếu f(x) VCL thì: g x   x 1  lim x   3x x2  f x  f x  VCL VCB Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 24 03/04/2017 Thay sai Chú ý thay hàm tương đương lim tan x  sin x x x  lim x0 x3 x3 f x   g x   f1 x   g x   f1 x    g x  lim tan x  sin x tan x  x  lim x0 x3 x3 f x   g x   f1 x   g x   f1 x    g x  lim tan x  sin x x  sin x  lim x 0 x3 x3 • Cho f(x)~f1(x) g(x)~g1(x) • Khi đó: x0 x0 x0 1   cos x    cos x  lim     lim  2  x0 x x   sin x  x  x  Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Liên tục • • • • • Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Hàm số liên tục điểm • Định nghĩa Hàm y=f(x) gọi liên tục x0 xác định điểm và: lim f x   f x  Liên tục điểm Liên tục trái Liên tục phải Điểm gián đoạn Liên tục khoảng x x • Định nghĩa Hàm số f(x) liên tục x0 khi:    0,    :  x  x    f x   f x    Nếu hàm không liên tục x0 ta nói hàm gián đoạn điểm Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Liên tục trái – Liên tục phải Điểm gián đoạn • Cho x0 điểm gián đoạn đồ thị hàm số Điểm gián đoạn loại 1: • Tồn hữu hạn: lim f x  ; lim f x  • Hàm số f(x) liên tục trái x0: lim f x   f x  x x x  x 0 x x lim f x   lim f x  ta noùi x điểm khử • Hàm số f(x) liên tục phải x0: x x x x0 x  x 0 x x0 lim f x   lim f x  ta nói x điểm nhaûy lim f x   f x  x x • Định lý: f(x) liên tục x0 f(x) liên tục trái phải x0 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Nguyễn Văn Tiến Điểm gián đoạn loại 2: không điểm gián đoạn loại - Một hai giới hạn không tồn - Hoặc tồn  Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 25 03/04/2017 Liên tục khoảng Tính chất hàm số liên tục • f liên tục (a;b) f liên tục điểm thuộc(a;b) • f liên tục [a;b) f liên tục điểm thuộc(a;b) liên tục phải a • f liên tục (a;b] f liên tục điểm thuộc(a;b) liên tục trái b • f liên tục [a;b] f liên tục điểm thuộc(a;b); liên tục phải a liên tục trái b Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Hàm sơ cấp y  x  y  a x y  loga x i  f x  ; f x   g x  ; f x  g x  liên tục x ii Nếu g x   0  a  1 0  a  1 y  sin x ; y  cos x ; y  tan x ; y  cot x y  arcsin x ; y  arccos x ; y  arctan x ; y  arc cot x • Hàm sơ cấp: hàm thu từ hàm sơ cấp cách sử dụng hữu hạn phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, khai phép hợp Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến i  f x  ; f x   g x  ; f x  g x  liên tục a ; b  f x  ii Neáu g x   liên tục a ; b  g x  iii f x  liên tục a ; b  Bài giảng Toán cao cấp n  10.2n  Định lý Hàm sơ cấp liên tục miền xác định Ví dụ: Tìm khoảng liên tục hàm số: x  3x  x 2 b ) g x   x  c) lim  2.5n 1 d ) lim n  32 n 1  5.6n  e) lim n   n n3  n n5  2n   g ) lim   n   2n   Bài giảng Toán cao cấp  n 1 (n  5)3  n(n  7)2 n  a ) ;   2;   b )  3;   a ) f x   c )h x   ln x  1  x  3x    ,x  d )k x     x 1   ,x     c )  1;   d ) D k   ;   Lien tuc : ;1  1;   Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến • Tìm giới hạn sau:  n3 b) lim   n   n   6.9n  7.4n 3 Nguyễn Văn Tiến Bài tập • Tìm giới hạn sau a) lim liên tục x • Cho f(x), g(x) hai hàm liên tục [a,b] Khi đó: Bài tập 5.22n  3.5n 1 f x  g x  Sự liên tục hàm sơ cấp • Hàm sơ cấp bản: y  C • Cho f(x) g(x) hàm liên tục x0 Khi đó: f ) lim n  n2  2n  n sin n  2x  x 2 a) lim x4 c) lim n 1 3n  e) lim x   x2   x2    Bài giảng Toán cao cấp cos x x d ) lim x2  x 3 x 3 x  x 1 k ) lim Nguyễn Văn Tiến x  x2  x  x 1 sin x  sin x g ) lim x  sin x  sin x b) lim x6  f ) lim x  x22 x6  x4  13 x2   x2    h) lim    x   sin x sin x sin x   l ) lim  cos x  x2 x 0 Nguyễn Văn Tiến 26 03/04/2017 Bài tập Bài tập a) Tính giới hạn phía lim f ( x), lim f ( x) biết f ( x)  x 1  x 1 Bàisintập 3_Giới hạn phía x sin x sin x x 1 b) Tính lim x0 x ; lim x0 x 1 , suy tồn lim x x0 c) Tìm giới hạn phía lim x0 x x sin x x x , lim x  0 sin x x x 1 a) lim ln(cosx ) e) lim x x x ln(cos x ) x2 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến x2  h) lim x  0 Bài giảng Toán cao cấp Bài tập (1 e3 x )(1 cos x ) x  sin x x arcsin x ( e12 x 1) tg x.ln(1 x ) Nguyễn Văn Tiến Bài tập • Xét tính liên tục hàm số sau x=0 • Xét tính liên tục hàm số sau TXĐ  x2   , x  a) f ( x)   x   m , x    x  , x  c ) f ( x)   mx  2, x   sin x , x   a) f ( x)   x m , x   ( x  3) ln(4 x  1) , x   b) f ( x )   e2 x   x  x  , x   Bài giảng Toán cao cấp x 0 arctan(2  x )  2sin( x  2) x3  sin x   xarc sin x  e7 x 1   d ) lim tan x ln(1 x ) x 0 f ) lim x 0 ln(1 x ) g ) lim (1 e x )(1 cos x ) x 0 2sin x  x3  ln(1 x ) x 0   b) lim  x  x2  x   x    b) lim x 0 ln(1 x ) c) lim d) Tính giới hạn sau   a) lim  x2  x   x2  x   x    • Sử dụng VCB tương đương tìm giới hạn Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp  x ln(2 x  1) , x   b) f ( x)   e x   x  a , x    x  x  , x  d ) f ( x)    3x  , x  Nguyễn Văn Tiến 27 ... 100 000 000 100 000 000 0 0. 500 000 075 0. 500 000 008 0. 500 000 001 n 10^ Nguyễn Văn Tiến Nguyễn Văn Tiến • Nhận xét: u n   n 1 2n  • Giá trị dãy ngày gần với số 0. 5 • Khi n lớn chênh lệch dãy số 0. 5... 0. 636363636 0. 615384615 0. 6 0. 588235294 0. 578947368 Bài giảng Toán cao cấp Dãy số • Các giá trị tiếp theo: 100 101 un 0. 507 537688 0. 507 462687 9999 100 00 0. 500 07 501 1 0. 500 07 500 4 100 000 00 100 000 000 ... Bài giảng Toán cao cấp 00 ; p Bài giảng Toán cao cấp Bài giảng Toán cao cấp 0. ; 1 ; 3n 1  n    b) lim  n   n     Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 17 03 /04 / 201 7