Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 2 - Nguyễn Văn Tiến

Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 2: Phép tính vi phân hàm 1 biến cung cấp cho người học các kiến thức: Đạo hàm tại 1 điểm, đạo hàm phải - trái, hàm số đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm 2, đạo hàm của hàm ngược,... Mời các bạn cùng tham khảo.

03/04/2017 Đạo hàm điểm CHƯƠNG • Định nghĩa: Đạo hàm hàm f điểm a, ký hiệu f’(a) là: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN f ' a   lim f x   f a  x a x a (nếu giới hạn tồn hữu hạn) • Chú ý: đặt h=x-a, ta có: f ' a   lim f a  h   f a  h h 0 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp Ví dụ Đạo hàm phải – trái • Tìm đạo hàm hàm: f x   x  8x  a=2 theo định nghĩa Ta xét giới hạn sau: 2  h  lim f 2  h   f 2  h h0  2  h    h h0 Vậy: lim Nguyễn Văn Tiến • Đạo hàm trái f(x) a là:   f ' a   lim x a f x   f a  x a  lim h0 f a  h   f a  h • Đạo hàm phải f(x) a là:  lim h0 h  4h  4 h   f ' a   lim x a f x   f a  x a  lim h 0 f a  h   f a  h f ' 2    Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Định lý Ví dụ • Định lý: Hàm số f(x) có đạo hàm điểm a có đạo hàm trái; đạo hàm phải a hai đạo hàm     f ' a   L  f ' a   f ' a   L • Định lý: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm a hàm số liên tục a Chiều ngược lại khơng f ' a   L  lim f x   f a  x a Bài giảng Tốn cao cấp • Cho hàm số:  e 1/x f x        ,x  ,x  Tìm f ' 0  ; f ' 0  Ta có:   f '   lim   f 0  h   f 0  h0 f '   lim h0 h f 0  h   f 0  h e 1/h  u  lim u  u   e h e 1/h   lim   h0 h  lim h0 Vậy không tồn đạo hàm hàm số Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 03/04/2017 Hàm số đạo hàm • Với a cố định ta có: f ' a   lim Hàm số đạo hàm f a  h   f a  • Hàm số đạo hàm hàm y=f(x) • Ký hiệu: h f '; y '; h0 • Thay a x ta có: f ' x   lim f x  h   f x  h • Với giá trị khác x ta tính f’(x) giới hạn tồn hữu hạn Như giá trị f’(x) phụ thuộc vào biến độc lập x nên xem f’ hàm theo x gọi đạo hàm hàm f h0 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến • Tập xác định hàm f’ tập giá trị x cho f’(x) tồn Nó nhỏ TXĐ hàm số f(x) Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ • Tìm đạo hàm hàm: f x   • Ta có: • Tìm hàm số đạo hàm hàm y=x2 • Ta có: lim f x  h   f x  h0 h x  h   lim  x2 h h0 f ' x   lim  2x • Giới hạn tồn hữu hạn với x thuộc TXĐ • Vậy đạo hàm hàm số: y '  2x Nguyễn Văn Tiến • Vậy: f ' x   i u  v  '  u ' v ' ii ku  '  k u ' iii u v  '  u ' v  u v '  u  u ' v  u v ' iv     v  v2 v  lim h0 x x h  x  h x  TX D : 0;    Nguyễn Văn Tiến Qui tắc tính đạo hàm • Cho u, v hai hàm theo x Khi đạo hàm theo x hàm sau là: v h Bài giảng Tốn cao cấp Qui tắc tính đạo hàm u   u f x  h   f x  h0 x • Chú ý: tập xác định hàm f(x) là: [0; ) Bài giảng Tốn cao cấp • Đạo hàm dạng:uv df dy d ; ; f x  dx dx dx • Đạo hàm hàm hợp: y  f0 g x   y x  fg g x • Ví dụ: Hàm y  ln cos x  hàm hợp hàm: f x   ln x ; g x   cos x  Vậy:   v ' ln u  v u '    u   y x  fg g x   sin x    tan x cos x • Cách tính: lấy logarit Nêpe hai vế hàm số: y  uv Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến 03/04/2017 Cơng thức tính đạo hàm    .x 1.C   x  Đạo hàm hàm hợp  1    e  ln x   x e x    e x e u u u ' ln u   u ' u sin u   u ' cos u  sin x   cos x   cos u   u ' sin u tan u   u ' cos u cos x    sin x  tan x   cos x 1  cot x   sin x cot u   Bài giảng Toán cao cấp 1 u ' s in u Nguyễn Văn Tiến Cơng thức tính đạo hàm f x   ln a 1 x 1 12 arccos x    11.arcsin u    12.arccos u   1x2  13 arctan x    x2 1  14 arc cot x    x2  13.arctan u   14.arc cot u   Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Ta có: 1 x  ln 1  cos x      sin x  1 sin x   y '  1  1    cos x    cos x   x2 Hàm số cho tham số • Hàm số y=f(x) thỏa điều kiện:   x  x t    y  y t     x sin x  • Vậy:  2x cos x       3x s in x  x si n x   x 1 x2 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Cơng thức đạo hàm tham số • Cho hàm y=f(x) dạng tham số: dy • Khi hàm số cho gọi hàm cho phương trình tham số ln x • Ví dụ: Cho hàm y  x   x  et   t Đặt: x  e ta có dạng tham số sau:  t  y  t   e   Nguyễn Văn Tiến y ln x  ln sin x  y' 2x cos x    y 3x sin x 1 x2  y' Nguyễn Văn Tiến ln y  ln  x  y  Bài giảng Toán cao cấp a 11 arcsin x   • Tìm f’(x) biết: f x   • Ta có: ex  cos x Bài giảng Tốn cao cấp    10.log u   x Ví dụ • Tìm f’(x) biết: Đạo hàm hàm hợp  a u     a ln a  10 log x   x ln a a x dy / dt   x  x t    y  y t     y   t • Khi đó: y x  dx dx / dt x t • Ví dụ: y    x  et  ln x    t  x y  t   e   Bài giảng Toán cao cấp   x   et   t  1t  y t    et   1t t 1t  ln x  y x  e t  2t  e e x2 Nguyễn Văn Tiến 03/04/2017 Đạo hàm hàm ngược • Hàm số y  f x  có hàm ngược là: x  f  y  • Khi đó: x y  y x y x  • Ví dụ 2: Hàm y=arcsinx có hàm ngược x=siny y x  x y • Ví dụ 1: Hàm y=arctanx có hàm ngược x=tany y x  Đạo hàm hàm ngược 1    x y cos y  sin y   do    y     2  • Ví dụ 3: Hàm y=arccosx có hàm ngược x=cosy 1   x y  tan y  x2 y x  1   x y  sin y do Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 1 x2 0y  1  cos y   Bài giảng Toán cao cấp 1 1 x2 Nguyễn Văn Tiến Hàm ẩn Đạo hàm hàm ẩn • Hàm y=f(x) với x(a;b) hàm ẩn cho phương trình F(x,y)=0 thay y=f(x) vào ta đẳng thức • Nghĩa là: F(x, f(x))=0 với x(a;b) • Cho phương trình: F(x;y)=0 • Để tính: y’x • B1 Lấy đạo hàm hai vế phương trình theo x Chú ý y hàm theo x • B2 Giải phương trình tìm y’ • B3 Để tính y’(a) ta thay x=a vào phương trình Ví dụ: Cho phương trình: F x , y   x  y  • Ví dụ: Phương trình: xác định hai hàm ẩn:  x , x   1;1   y    x , x   1;1   y1  x  ln y  x 2e y  Tính đạo hàm y theo x Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Đạo hàm hàm ẩn Đạo hàm hàm ẩn • B1 Lấy đạo hàm theo x x  3x  • B3 Tính y’(0) y  ln y  x e   x x  ln y  x 2e y  0 y'  2x e y  e y y ' x  y   x   ln y   y   y 0  * • Ta có:    3x y  2xy e   y ' 1  x ye   3x y  2xy e   y' x ye  1 y y y 2 Bài giảng Toán cao cấp y' y  y ' 2xy e y  x 2ye y y '  y Nguyễn Văn Tiến 3x y  2xy e  x ye  1 y • B2 Giải tìm y’ *  3x Nguyễn Văn Tiến y • Thay x=0 y(0)=1 vào ta có: y ' 0   Bài giảng Toán cao cấp 3.0  2.0 e   0.1 e  1 1 Nguyễn Văn Tiến 03/04/2017 Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp cao • Cho f hàm khả vi Đạo hàm (nếu có) f’ gọi đạo hàm cấp hàm số f(x) • Ký hiệu: • Đạo hàm cấp n hàm f đạo hàm đạo hàm cấp (n-1) d  df  d f  f    f      dx  dx  dx • Đạo hàm cấp hàm f đạo hàm đạo hàm cấp d  d f  d f  f    f       dx  dx  dx Bài giảng Toán cao cấp f n  n 1 n 1 f  d n f    dx n n 1 • Ví dụ: Cho hàm: f x   x e x Tìm đạo hàm cấp n hàm số Giải:   f  x   x  e x  x e x  e x  x e x  x  1e x   Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm cấp cao Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Đạo hàm cấp cao thường gặp • Ta có:     n  i ) x  a       1   n  1x  a    n    n    1 n ! ii )   n 1  x  a  x  a  n  f  x   x  1e x   e x  x  1e x  x  e x   • Tương tự: f 4  x   x  e n    iii ) e ax f  x   x  e x ; x  a n e ax n  iv ) ln x  f n  x   x  n e Bài giảng Toán cao cấp n 1   1 x Nguyễn Văn Tiến n Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Chú ý Ví dụ n    n  i ) ax  b       1   n  1ax  b  a n   n  n 1 n  1 ! iv ) ln ax  b    1 a n n ax  b   n   v ) sin ax  b   a n sin ax  b  n     n   n  vi ) cos ax  b   a cos ax  b  n          n  1 ! xn    v ) sin ax   a sin ax  n     n   n  vi ) cos ax   a cos ax  n    n  • Tổng qt: Bài giảng Tốn cao cấp  d      dxd dx  f Nguyễn Văn Tiến • Tính đạo hàm cấp n của: a ) f x   Bài giảng Toán cao cấp 1 x 1  x  b )g x   x  3x  Nguyễn Văn Tiến 03/04/2017 Đạo hàm cấp cao hàm ẩn Đạo hàm cấp cao tham số 48x y    y • Biết: x  y  16 CM: • Đạo hàm vế theo x: x  y y '   y '   • Do đó: • Ta biết:   y' x  x t   y x  t  y  y t  x 't    x y3  x  3x xy ' y  3x 2y  3x 3y y ' y         y  y6 y4 • Theo công thức đạo hàm hàm hợp: y   x • Thay y’ vào:  x  3x x  y   3x x  y   y  48 x y     y4 y7 y7 • Do đó:   Bài giảng Tốn cao cấp t y x t  y x  x t  y x x t  y x  x x t y x  x t  cos t ; • Dễ thấy:  f g   f .g  g .f  f g    f .g  g .f   x t   sin t y t  2t y x  ; cos t cos t  2t  sin t  cos t  2t sin t y x   cos t cos t  Bài giảng Toán cao cấp n   f g  f f 2 2  3  g  f .g  f g   g f 3  g   f 2  2  g  f .g 3 g 4  f • Tính đạo hàm:   f x   x  sin x Bài giảng Toán cao cấp k n k  n k  f g Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến VI PHÂN 3  g  4f n C Gần giống khai triển nhị thức Newton Nguyễn Văn Tiến 4   k 0 Ví dụ  f g     f g   f .g  f g   f g  • Mở rộng: • Vậy: 3  Nguyễn Văn Tiến Công thức Leibnitz   x  sin t   y  t2    y t  2t ; Bài giảng Toán cao cấp Ví dụ • Ta có: x   t Nguyễn Văn Tiến • Tìm y’’ biết: y t x t  y  x t f 10  • Vi phân điểm • Vi phân khoảng • Ứng dụng vi phân tính gần x   ??? Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 03/04/2017 Vi phân điểm Vi phân điểm • Định nghĩa Hàm số f(x) gọi khả vi x0 nếu: f x  h   f x   A.h  h  • Cho hàm f khả vi x0 Khi A.h gọi vi phân hàm số f(x) x0 Ký hiệu: df x   A h A: hằn g số hữu hạn df x   A  x hay   h   h  : VCBù bậc cao h  lim    h  h  Người ta ký hiệu h  x Định lý: Hàm y= f(x) khả vi x0 tồn f’(x0) • Định nghĩa Hàm số f(x) gọi khả vi x0 nếu: f x   x   f x   A. x   x  Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Vi phân điểm  i ) d C   • Hai cơng thức có dạng giống • Vậy vi phân cấp có tính bất biến iv )d  fg   gdf  fdg f  gdf  fdg v )d     g  g2 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng vi phân Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng vi phân tính gần f x   x   f x  • Cho hàm f(x) khả vi lân cận x0 Ta có: f x   x   f x   f ' x . x f f ' x   x f x  x0 • Hay công thức: f x   f x   f ' x  x  x  x x  x  f  f ' x . x Bài giảng Toán cao cấp df  f  x  dx  f  u  u ' x  dx  f ' u  du iii )d  f  g   df  dg  f u x  • Vi phân: ii ) d  f   df y  f u x  hay df x   f ' x   x f x   x  Nguyễn Văn Tiến • Cho hàm hợp: df x   f ' x  h • Tính chất: Bài giảng Tốn cao cấp Vi phân hàm hợp • Vi phân hàm số f(x) x0 hay Ta chứng minh được: A  f ' x   x  Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 03/04/2017 Ví dụ Ví dụ • Cho hàm số: f x   x  a) Tính vi phân cấp hàm số x0=1 b) Tính gần đúng: 4, 03 Giải: f  x   df 1  x3 1  df x   dx  x 3 • Cho hàm số: f x   x  a) Tính vi phân cấp hàm số x0=1 b) Tính gần đúng: 4, 03 Giải: f x   f 1  dx 4, 03  f 1, 03   f 1  1 dx  x  1 4 Bài giảng Toán cao cấp Vi phân cấp cao    dx d  f ' x   dx f  x dx  f  x  dx d f x   d df   d f ' x dx • Tương tự vi phân cấp n vi phân vi phân cấp (n1)  Bài giảng Toán cao cấp n  x  dx 4, 03  2, 00748599 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Vi phân cấp cao hàm hợp • Vi phân cấp 1: df x   f  x dx • Là hàm theo x Nếu hàm số có vi phân vi phân gọi vi phân cấp hàm f(x) • Vậy:  0, 03 1, 03  1    2, 0075 Nếu tính máy tính: Nguyễn Văn Tiến d n f x   d d n 1 f  f x  1 n Nguyễn Văn Tiến • Cho hàm hợp: f(g(x)) • Vi phân cấp 2: d 2f       d f ' u  du  f ' u  d d u   f  u du  f  u d 2u d f x  f  x dx Bài giảng Toán cao cấp CÁC ĐỊNH LÝ HÀM KHẢ VI • Định lý giá trị trung bình (tham khảo) • Cơng thức Taylor • Qui tắc L’ Hospitale   d df   d f ' u du Nguyễn Văn Tiến Định lý Fermat • Cho hàm số y=f(x) xác định lân cận x0 • Nếu f(x) đạt cực đại x0 có đạo hàm x0 thì: f ' x   Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 03/04/2017 Định lý Rolle Định lý Lagrange • Nếu hàm f(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b) f(a)=f(b) thị tồn điểm c thuộc (a,b) cho f’(c)=0 • Đặc biệt f(a)=f(b)=0 định lý Rolle có nghĩa hai nghiệm hàm số có nghiệm đạo hàm • Nếu f(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b) tồn c thuộc (a,b) cho: Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến f b   f a  b a  f ' c  Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Định lý Cauchy Cơng thức Taylor • Nếu f(x), g(x) liên tục [a,b], khả vi (a,b) g(x) khác (a,b) tồn c thuộc (a,b) cho: • Khai triển hàm số phức tạp thành dạng đơn giản • Khai triển hàm phức tạp thành hàm đa thức • Ví dụ: khai triển Taylor x=0 f b   f a  g b   g a   f ' c  g ' c  n 1 n 1 x x2 x5     1  x 2n 2n  x2 x3 xn ex   x      xn 2! 3! n!   arctan x  x    Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Công thức Taylor   Bài giảng Toán cao cấp f ' x  1! n  f x  n! x  x   • Dạng Lagrange: Rn  f " x  x  x    f c  x  x     n  1 ! 2! n 1 n n 1 c  x  x   n  1 ! f n 1 • Dạng Peano: (thường dùng hơn) n 1 x  x Nguyễn Văn Tiến Phần dư công thức Taylor Cho hàm số f(x): • Liên tục [a,b] • Có đạo hàm đến cấp n+1 (a,b) • Xét x0(a,b) Khi [a,b] ta có: f x   f x   Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến lim x  Rn x  x  n 0 Rn  x  x  n Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 03/04/2017 Công thức Maclaurin Công thức L’Hospital Cho hàm số f(x): • Liên tục [a,b] • Có đạo hàm đến cấp n+1 (a,b) • Xét x0=0 (a,b) Khi [a,b] ta có: • Áp dùng tìm giới hạn dạng: ;   Định lý: Cho giới hạn : lim x a f x   f 0   Neáu lim f ' 0  1! x f " 0  2! x   f n  x a 0  x n n!    xn lim x a Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến f  x  g  x  f x  g x  f x  g x   L lim  lim x a x a f  x  g  x   ;  có dạn g f x  g x  L L Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng hàm liên tục Ứng dụng hàm liên tục • Định lý Weierstrass • Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ [a;b], tức tồn x1, x2 ∈ ; cho: • Định lý giá trị trung gian • Giả sử hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] f(a)≠f(b) Khi lấy giá trị c nằm f(a) f(b) tồn x0 ∈ ( ; )sao • f ( x1 )  max f ( x ) x[ a ,b ] f  x0   c f ( x2 )  f ( x ) x[ a , b ] Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ứng dụng hàm liên tục Ứng dụng hàm liên tục • Hệ Định lý giá trị trung gian • Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] f(a).f(b)