Bài giảng Toán cao cấp 1 - Chương 1: Toán cho tài chính cung cấp cho người học các kiến thức: Dãy số, chuỗi số, giá trị hiện tại ròng và tỷ lệ hoàn vốn nội bộ; niên kim, các khoản cho vay và thế chấp; số chỉ số và năm cơ sở,... Mời các bạn cùng tham khảo.
02/04/2017 Nội dung CHƯƠNG TỐN CHO TÀI CHÍNH kekiemk55.ftu2@gmail.com hoquangduy19041998@gmail.com Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến • • • • • • • • • • • • • Lãi suất 1.1 Dãy số, chuỗi số 1.2 Lãi đơn, Lãi gộp 1.3 Khấu hao 1.4 Giá trị ròng tỷ lệ hồn vốn nội 1.5 Niên kim, khoản cho vay chấp 1.6 Mối liên hệ lãi suất giá trái phiếu Số số 1.7 Số số năm sở 1.8 Ghép dãy số số 1.9 Số số hỗn hợp 1.10 Các số thông dụng CPI, RPI 1.11 Excel Bài giảng Toán cao cấp Dãy số Nguyễn Văn Tiến Dãy số • Dãy số: hàm số xác định tập số tự nhiên khác u : N* R • Cho dãy số: n 1 2n • Ta có: n u n u1 • Ta thường ký hiệu dãy số (un) • un gọi số hạng thứ n dãy u n 11 2; u2 1; u3 ; 2.1 • Hỏi: u100 ? u999 ? u9999999 ? • Khi n lớn giá trị dãy số bao nhiêu? Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Dãy số • 10 giá trị đầu dãy: n 10 un 0.8 0.714285714 0.666666667 0.636363636 0.615384615 0.6 0.588235294 0.578947368 Bài giảng Toán cao cấp • Các giá trị tiếp theo: 100 101 un 0.507537688 0.507462687 9999 10000 0.500075011 0.500075004 10000000 100000000 1000000000 0.500000075 0.500000008 0.500000001 Nguyễn Văn Tiến Dãy số n 10^ Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến • Nhận xét: u n n 1 2n • Giá trị dãy ngày gần với số 0.5 • Khi n lớn chênh lệch dãy số 0.5 nhỏ (tại số hạng thứ tỷ chênh lệch 109) • Độ chênh lệch nhỏ tăng n lên nhỏ tùy ý miễn n đủ lớn • Vậy ta nói giới hạn dãy số 0.5 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 02/04/2017 Định nghĩa giới hạn dãy số • Dãy số (un) có giới hạn a nếu: • Chênh lệch (un) a nhỏ tùy ý n đủ lớn Ví dụ • Chứng minh: lim 0, n : n n un a nhỏ tùy ý n đủ lớn n 1 0, 2n Chênh lệch • Ký hiệu: n lim un a hay un a n hay n • Bước Lấy >0 • Bước Lập hiệu: un a • Bước Tìm điều kiện n để: (nếu có) lim un a un a Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Ví dụ Ví dụ • Bước Chọn n0, viết lại dạng định nghĩa kết luận • Giải • Với >0 Ta có: n 1 un a 2n 2 2n 1 3 1 2n n 2 4 • Chọn 3 1 n 2 • Ta có: 3 1 0, n0 : n n un 2 Vậy theo định nghĩa: lim un n Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp Ví dụ lim 10 Nguyễn Văn Tiến Hệ • Chứng minh giới hạn sau định nghĩa: n Nguyễn Văn Tiến • Số a không giới hạn dãy (un) nếu: 0, n0 : n1 n0 un a n 1 n 1 • Tồn >0 cho với n0 tồn n1>n0 để chênh lệch un1 a lớn • Nói cách khác ln tồn khoảng cách dãy (un) a Độ chênh lệch (un) a nhỏ tùy ý Bài giảng Toán cao cấp 11 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 12 Nguyễn Văn Tiến 02/04/2017 Giới hạn vô cực dãy số • Ta nói dãy (un) tiến đến + khi: Giới hạn vơ cực dãy số • Ta nói dãy (un) tiến đến - khi: A 0, n0 : n n0 un A A 0, n : n n un A • (un) lớn số dương tùy ý n đủ lớn • Ký hiệu: lim un • (un) nhỏ số âm tùy ý n đủ lớn • Ký hiệu: lim un n n 13 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 14 Bài giảng Tốn cao cấp Tính chất Tính chất • Giới hạn dãy số có • Cho lim un ; lim tồn hữu hạn Khi đó: n n n n lim un lim zn a n 15 Nguyễn Văn Tiến zn n lim v a n n 16 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ n n • Tìm giới hạn dãy số: sin n a)un n 1 • Ta có: un a b)vn 5n nn sin n n2 n2 0 • Vậy: lim un lim un n Bài giảng Toán cao cấp n Minh họa un n • Nếu: n Bài giảng Tốn cao cấp n un zn n n d ) lim un lim un n lim un n , lim un f ) lim un lim un n u lim un c) lim n n , lim v n v n nlim vn n n lim vn n • Định lý giới hạn kẹp: Cho ba dãy số thỏa: n b) lim un lim un lim vn n e) lim un n a ) lim un lim un lim vn n Nguyễn Văn Tiến 17 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp n 18 Nguyễn Văn Tiến 02/04/2017 Cấp số nhân Cấp số nhân • Cấp số nhân dãy số thỏa mãn điều kiện: • • Ta có: xn x1q n1 xn 1 xn q, n 1, 2,3 • với q khơng đổi • q gọi cơng bội cấp số nhân • |q| năm 1,5 2,0 2,5 Bài giảng Toán cao cấp 84 Nguyễn Văn Tiến Nguyễn Văn Tiến Ở số quốc gia Ở Việt Nam Nguyễn Văn Tiến 14 02/04/2017 Khấu hao theo số dư giảm dần có điều chỉnh Ví dụ • Ví dụ Cơng ty A mua thiết bị sản xuất linh kiện điện tử với nguyên giá 50 triệu đồng Thời gian trích khấu hao tài sản cố định xác định theo quy định Phụ lục (ban hành kèm theo Thơng tư số /2013/TT-BTC) năm • Xác định mức khấu hao hàng năm sau: • - Tỷ lệ khấu hao hàng năm tài sản cố định theo phương pháp khấu hao đường thẳng 20% • - Tỷ lệ khấu hao nhanh theo phương pháp số dư giảm dần 20% x (hệ số điều chỉnh) = 40% • - Mức trích khấu hao hàng năm tài sản cố định xác định cụ thể theo bảng đây: 85 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Ví dụ Năm Giá trị lại Cách tính số khấu thứ TSCĐ hao TSCĐ hàng năm 50.000.000 30.000.000 18.000.000 10.800.000 10.800.000 50.000.000 x 40% 30.000.000 x 40% 18.000.000 x 40% 10.800.000 : 10.800.000 : Mức khấu hao hàng năm 20.000.000 12.000.000 7.200.000 5.400.000 5.400.000 Mức khấu Khấu hao luỹ hao hàng kế cuối năm tháng 1.666.666 20.000.000 1.000.000 32.000.000 600.000 39.200.000 450.000 44.600.000 450.000 50.000.000 87 Nguyễn Văn Tiến • + Mức khấu hao tài sản cố định từ năm thứ đến hết năm thứ tính giá trị lại tài sản cố định nhân với tỷ lệ khấu hao nhanh (40%) • + Từ năm thứ trở đi, mức khấu hao hàng năm giá trị lại tài sản cố định (đầu năm thứ 4) chia cho số năm sử dụng lại tài sản cố định (10.800.000 : = 5.400.000) • Vì năm thứ 4: mức khấu hao theo phương pháp số dư giảm dần (10.800.000 x 40%= 4.320.000) thấp mức khấu hao tính bình quân giá trị lại số năm sử dụng lại tài sản cố định (10.800.000 : = 5.400.000) Bài giảng Toán cao cấp Phương pháp MACRS MKH năm i= Tỉ lệ khấu hao năm i * nguyên giá tài sản 89 88 Nguyễn Văn Tiến Phương pháp MACRS Là phương pháp khấu hao nhanh, tài sản chia làm nhóm theo đời sống tỉ lệ khấu hao năm nhóm tính sẵn, lập thành bảng để sử dụng Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Chú ý • Chú ý: hai năm cuối khấu hao theo phương pháp đường thẳng Bài giảng Toán cao cấp 86 Nguyễn Văn Tiến Năm Bài giảng Toán cao cấp Nhóm TSCĐ có thời gian khấu hao năm năm năm 33,33% 20.00% 14.29% 44,45% 32.00% 24.49% 14,81% 19.20% 17.49% 7,41% 11.52% 12.49% 11.52% 8.93% 5.76% 8.92% 8.93% 4.46% Nguyễn Văn Tiến 15 02/04/2017 Khấu hao theo số lượng, khối lượng sản phẩm Phương pháp MACRS • (Ví dụ) Mức khấu hao TSCĐ A, tài sản tính khấu hao theo phương pháp MACRS3 năm : Năm Tỷ lệ khấu hao (%) 33,33 % 44,45 14,81 7,41 Bài giảng Toán cao cấp Mức khấu hao 33,33 % * 50 = 16,665 44,45 % * 50 = 22,225 14,81 % * 50 = 7,405 7,41 % * 50 = 3,705 91 Nguyễn Văn Tiến Khấu hao theo số lượng, khối lượng sản phẩm • - Căn vào hồ sơ kinh tế - kỹ thuật tài sản cố định, doanh nghiệp xác định tổng số lượng, khối lượng sản phẩm sản xuất theo công suất thiết kế tài sản cố định, gọi tắt sản lượng theo cơng suất thiết kế • - Căn tình hình thực tế sản xuất, doanh nghiệp xác định số lượng, khối lượng sản phẩm thực tế sản xuất hàng tháng, hàng năm tài sản cố định Khái niệm Là phương pháp khấu hao mà mức khấu hao hàng tháng, hàng năm thay đổi phụ thuộc vào lượng sản phẩm thực tế mà TSCĐ tạo Cơng thức • Mức KH tháng = Lượng SP tạo tháng * Mức trích KH bình qn tính cho đơn vị SP • Mức khấu hao năm = Mức khấu hao tháng * 12 Trong : Mức trích khấu hao bình qn cho đơn vị sản phẩm = Nguyên giá TSCĐ / sản lượng theo cơng suất thiết kế Bài giảng Tốn cao cấp 93 Nguyễn Văn Tiến Khấu hao theo số lượng, khối lượng sản phẩm • Trích khấu hao theo năm: Mức trích khấu hao Số lượng sản năm tài = phẩm sản xuất sản cố định năm Mức trích khấu hao bình qn tính cho đơn vị sản phẩm Bài giảng Toán cao cấp = 95 Mức trích khấu hao bình qn X tính cho đơn vị sản phẩm Nguyên giá tài sản cố định Sản lượng theo công suất thiết kế Nguyễn Văn Tiến Nguyễn Văn Tiến Khấu hao theo số lượng, khối lượng sản phẩm • Trích khấu hao theo tháng: Mức trích khấu hao Số lượng sản tháng tài = phẩm sản xuất sản cố định tháng Mức trích khấu hao bình qn tính cho đơn vị sản phẩm Bài giảng Toán cao cấp 92 Bài giảng Tốn cao cấp = X Mức trích khấu hao bình qn tính cho đơn vị sản phẩm Nguyên giá tài sản cố định Sản lượng theo công suất thiết kế 94 Nguyễn Văn Tiến Khấu hao theo số lượng, khối lượng sản phẩm • Ví dụ: Công ty A mua máy ủi đất (mới 100%) với nguyên giá 450 triệu đồng Công suất thiết kế máy ủi 30m3/giờ Sản lượng theo công suất thiết kế máy ủi 2.400.000 m3 Khối lượng sản phẩm đạt năm thứ máy ủi là: Tháng Tháng Tháng Tháng Tháng Tháng Tháng Khối lượng sản phẩm hoàn thành (m3) 14.000 15.000 18.000 16.000 15.000 14.000 Bài giảng Toán cao cấp Tháng Tháng Tháng Tháng Tháng 10 Tháng 11 Tháng 12 96 Khối lượng sản phẩm hoàn thành (m3) 15.000 14.000 16.000 16.000 18.000 18.000 Nguyễn Văn Tiến 16 02/04/2017 Khấu hao theo số lượng, khối lượng sản phẩm • Mức trích khấu hao theo phương pháp khấu hao theo số lượng, khối lượng sản phẩm tài sản cố định xác định sau: • - Mức trích khấu hao bình qn tính cho m3 đất ủi = 450 triệu đồng: 2.400.000 m3 = 187,5 đ/m3 • - Mức trích khấu hao máy ủi tính theo bảng sau: Bài giảng Toán cao cấp 97 Nguyễn Văn Tiến • Giá trị ròng tỷ lệ hoàn vốn nội (NPV IRR) 99 Tháng 10 11 12 Sản lượng thực tế tháng (m3) 14.000 15.000 18.000 16.000 15.000 14.000 15.000 14.000 16.000 16.000 18.000 18.000 Tổng cộng năm Bài giảng Toán cao cấp Mức trích khấu hao tháng (đồng) 14.000 x 187,5 = 2.625.000 15.000 x 187,5 = 2.812.500 18.000 x 187,5 = 3.375.000 16.000 x 187,5 = 3.000.000 15.000 x 187,5 = 2.812.500 14.000 x 187,5 = 2.625.000 15.000 x 187,5 = 2.812.500 14.000 x 187,5 = 2.625.000 16.000 x 187,5 = 3.000.000 16.000 x 187,5 = 3.000.000 18.000 x 187,5 = 3.375.000 18.000 x 187,5 = 3.375.000 35.437.500 98 Nguyễn Văn Tiến Giá trị giá trị tương lai tiền Phần 1.6 NPV IRR Bài giảng Toán cao cấp Khấu hao theo số lượng, khối lượng sản phẩm Nguyễn Văn Tiến Giá trị tương lai tiền tệ 1.Giá trị tương lai khoản tiền đơn 2.Giá trị tương lai dòng tiền 2.1 Giá trị tương lai dòng tiền • Giá trị tương lai tiền tệ giá trị thời điểm định tương lai khoản đầu tư với mức lãi suất cho trước • Giá trị tiền tệ giá trị tính đổi thời điểm dòng tiền tệ tương lai Bài giảng Tốn cao cấp 100 Nguyễn Văn Tiến Giá trị tương lai khoản tiền đơn • Giá trị tương lai khoản tiền đơn (khoản tiền nhất): giá trị số tiền thời điểm cộng với số tiền lãi mà sinh khoảng thời gian từ thời điểm tương lai 2.2 Giá trị tương lai dòng tiền khơng i Bài giảng Tốn cao cấp 101 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 102 Nguyễn Văn Tiến 17 02/04/2017 Giá trị tương lai khoản tiền đơn • Tính theo lãi đơn Giá trị khoản tiền đơn • Tính theo lãi đơn PV FV PV 1 i.n • Tính theo lãi kép • Tính theo lãi kép FV PV 1 i 103 Bài giảng Toán cao cấp FV 1 i.n n PV Nguyễn Văn Tiến FV 1 i n 104 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ • Giả sử người cha mở tài khoản tiết kiệm triệu VNĐ cho trai ông ta vào ngày đứa trẻ chào đời, để 18 năm sau cậu bé có tiền vào đại học Lãi suất hàng năm 6% Vậy số tiền mà người trai nhận vào đại học bao nhiêu? (tính theo lãi kép) • Đ/S: • Một người muốn để dành tiền cho tuổi già cách gửi tiết kiệm vào ngân hàng, lãi suất ngân hàng 13%/năm Người phải gửi vào ngân hàng tiền thời điểm tại, để 20 năm sau nhận số tiền 20 triệu VNĐ? (tính theo lãi kép) n 18 FV PV 1 i 5.000.000 1 6% 14.271.695 105 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến NGUYÊN TẮC 72 Bài giảng Toán cao cấp 72/6 = 12 khoảng 2028 thu nhập bình quân đầu người Việt Nam đạt 4.430 đô-la (từ mức 2.215 đô-la nay) 107 Bài giảng Toán cao cấp FV 1 i n 20.000.000 1 0,13 106 20 1.736.000 Nguyễn Văn Tiến Giá trị tương lai dòng tiền Nếu lấy số 72 chia cho tốc độ tăng trưởng, kết ước lượng gần với số năm cần thiết để số ban đầu tăng gấp đôi 72 chia cho năm để tăng gấp đôi số tiền bạn với lãi suất năm 8% PV Nguyễn Văn Tiến • Giá trị tương lai dòng tiền sau n năm tổng giá trị tương lai khoản tiền xảy thời điểm khác n năm Bài giảng Toán cao cấp 108 Nguyễn Văn Tiến 18 02/04/2017 Dòng tiền (chuỗi tiền tệ) • Dòng tiền tệ (gọi tắt dòng tiền) chuỗi khoản tiền (thu nhập chi trả) xảy qua số thời kỳ định • Phân loại: • - Dòng tiền • - Dòng tiền khơng Bài giảng Tốn cao cấp 109 Nguyễn Văn Tiến Dòng tiền khơng Dòng tiền khơng dòng tiền bao gồm khoản tiền không phát sinh qua số thời kỳ định 111 • Khái niệm Dòng tiền dòng tiền bao gồm khoản tiền phân bố đặn theo thời gian loại dòng tiền : • Dòng tiền thông thường (ordinary annuity) – xảy vào cuối kỳ • Dòng tiền đầu kỳ (annuity due) – xảy vào đầu kỳ • Dòng tiền vĩnh cửu (perpetuity) – xảy cuối kỳ không chấm dứt 110 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Giá trị tương lai dòng tiền Dòng tiền khơng (mixed cash flows) Bài giảng Tốn cao cấp Dòng tiền Nguyễn Văn Tiến Giá trị dòng tiền • Giá trị dòng tiền tổng giá trị khoản tiền cấu thành • PVA( Present Value of Annuity): Giá trị dòng tiền thơng thường • PVAD : Giá trị dòng tiền đầu kỳ • CF (Cash Flow) : Dòng tiền cấu thành • i : lãi suất yêu cầu • n: kỳ hạn ( thường năm) • Giá trị tương lai dòng tiền sau n năm tổng giá trị tương lai khoản tiền xảy thời điểm khác n năm • FVA( Future Value of Annuity) : Giá trị tương lai dòng tiền thơng thường • FVAD : Giá trị tương lai dòng tiền đầu kỳ • CF (Cash Flow) : Dòng tiền (các khoản tiền cấu thành) • i : lãi suất yêu cầu • n: kỳ hạn (thường năm) 112 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Giá trị tương lai dòng tiền • Trường hợp cuối kỳ CF 1 i CF 1 i CF 1 i n3 n 2 CF 1 i n 1 n 1 i FVA CF i Bài giảng Toán cao cấp 113 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 114 Nguyễn Văn Tiến 19 02/04/2017 Ví dụ Giá trị tương lai dòng tiền • Một người muốn có số tiền học phí 35.000 USD cho trai du học vào năm sau phải gửi tiết kiệm hàng năm khoản cố định bao nhiêu? Biết lãi suất tiền gửi 6%/năm • Trường hợp đầu kỳ CF 1 i CF 1 i CF 1 i n 2 n 1 CF 1 i FVAD FVA 1 i CF 115 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 1 i n 1 i 1 i 116 Bài giảng Toán cao cấp n Nguyễn Văn Tiến Giá trị dòng tiền Ví dụ • Một người định dành tiền để mua mở nhà hàng sau năm Hiện tài khoản người có 30.000USD người định vòng năm vào cuối năm tiết kiệm gửi vào tài khoản số tiền 30.000USD Nếu lãi suất tiết kiệm 7%/năm sau năm người mở nhà hàng với số tiền tối đa bao nhiêu? a Trường hợp cuối kỳ 1 PVA CF 1 i i n PVAD PVA 1 i b Trường hợp đầu kỳ c Trường hợp dòng tiền vơ hạn: n 1 i 1 i 30.000 1,07 11, 07 FVAD CF i 0,07 117 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến PVA Bài giảng Toán cao cấp 118 Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ • Tính giá trị thiết bị sản xuất bán trả góp với lãi suất 12%/năm thời gian năm, năm trả 50 triệu VNĐ Biết việc trả tiền tiến hành vào đầu năm CF i • Giải PVAD PVA 1 i n 1 i 1 i i 1,125 50 1,12 201,867 0,12 CF 119 Nguyễn Văn Tiến • Một trái phiếu vơ hạn trả lãi cuối năm triệu VNĐ, biết lãi suất bình quân 8%/năm Hãy xác định giá trái phiếu ? Bài giảng Toán cao cấp • Đ/S: 12,5 tr 120 Nguyễn Văn Tiến 20 02/04/2017 Giá trị tương lai chuỗi tiền tệ • Công ty Nam Phong dự định mở rộng phân xưởng sản xuất bánh kẹo Công ty dự kiến đầu tư liên tục năm vào cuối năm khoản tiền sau: 50 triệu VNĐ, 40 triệu VNĐ, 25 triệu VNĐ, 10 triệu VNĐ 10 triệu VNĐ Lãi suất 10%/năm Vậy tổng giá trị đầu tư cơng ty tính theo thời giá năm thứ ? Tổng quát n FVA CFt 1 i n t t 0 FVA : giá trị tương lai dòng tiền cuối kỳ CFt: giá trị dòng tiền cuối kỳ t 121 Bài giảng Toán cao cấp Giá trị tương lai dòng tiền khơng Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Tốn cao cấp n • Hiện tại, người gửi vào ngân hàng số tiền 10 triệu đồng, đầu năm thứ tính từ người gửi vào ngân hàng tiếp số tiền 20 triệu đồng Cuối năm thứ tính từ năm thứ 3, người lại tiếp tục gửi vào ngân hàng số tiền 25 triệu đồng Nếu lãi suất 10%/năm hỏi sau bao lâu, tài khoản người có số tiền 200 triệu đồng? t PV CFt 1 i t 0 PV : giá trị dòng tiền CFt: giá trị dòng tiền cuối kỳ t 123 Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài tập Giá trị chuỗi tiền tệ Tổng quát 122 Nguyễn Văn Tiến Giá trị ròng 124 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Định nghĩa NPV • Net Present Value • NPV hiệu số giá trị khoản tiền thu tương lai chi phí chi phí triển khai dự án NPV B (1 i ) n C Bài giảng Toán cao cấp 125 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 126 Nguyễn Văn Tiến 21 02/04/2017 Định nghĩa NPV Ví dụ • Giá trị ròng tổng giá trị riêng lẻ sau chiết khấu, theo nghĩa n t NPV CI t COt 1 i t 0 • • • • CI: cash in (luồng tiền thu về) CO: cash out (luồng tiền chi) n: số năm hoạt động dự án t: năm bắt đầu thực dự án coi năm gốc 127 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Thu nhập hàng năm ($) Giá trị ròng NPV ($) Dự án A Dự án B Dự án A Dự án B -1.000 -1.000 -1.000 -1.000 700 666,667 500 453,515 600 2.000 518,303 1.727,675 Tổng 800 1000 638,485 727,675 Năm • Chọn dự án có NPV>0 cao • Mức lãi suất tính bao nhiêu? 128 Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến Tỷ suất hoàn vốn nội Tỷ lệ hồn vốn nội • IRR – Internal rate of return (tỷ suất hồn vốn IRR có phương pháp thử sai sau: • - Tìm mức chiết khấu cho NPV nhỏ dương; • - Tìm mức chiết khấu lớn cho NPV nhỏ âm • - Sử dụng nội suy tuyến tính hai giá trị để tìm mức chiết khấu cho NPV=0 nội bộ): mức lãi suất mà dự án đạt đảm bảo cho tổng khoản thu dự án cân với khoản chi lãi suất chiết khấu làm cho NPV = n CI 1 i t t n CO t0 t 1 i t t0 129 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 130 Bài giảng Toán cao cấp Tỷ lệ hoàn vốn nội Tỷ lệ hồn vốn nội • Hãy tính IRR cho dự án sau: • Ta có: Thời gian Dòng tiền -80 40 30 20 • Hãy tính NPV với mức 5% 10% Thời gian Tổng dòng tiền -80 -80 -80 40 38,095 36,364 30 27,211 24,793 20 17,277 15,026 4,114 3,415 6,697 -0,402 NPV Bài giảng Toán cao cấp 131 Nguyễn Văn Tiến Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 132 PV (5%) PV (10%) Nguyễn Văn Tiến 22 02/04/2017 Tỷ suất hoàn vốn nội Tỷ suất hồn vốn nội • Theo phương pháp nội suy ta có: IRR R1 R2 R1 • Phương pháp nội suy NPV1 NPV1 NPV2 IRR 5% 10% 5% R2 6,697 9,7% 6, 697 0, 402 • Kết tính tốn theo Excel: 10% 133 R1 NPV2 IRR R1 R2 R1 Bài giảng Toán cao cấp IRR NPV1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ NPV1 NPV1 NPV2 Bài giảng Toán cao cấp 134 Nguyễn Văn Tiến Tỷ suất hồn vốn nội • Điều kiện chọn dự án: chọn IRR cao • Hãy xác định IRR dự án sau: IRR Rmin • Rmin lãi suất vay phải vay vốn đầu tư Thời gian 11% Dòng tiền -100 50 50 20 • Sử dụng hàm IRR Excel • Cú pháp: IRR(values, guess) Bài giảng Toán cao cấp 135 Nguyễn Văn Tiến • Nếu IRR lớn lãi suất chiết khấu (chi phí hội) dự án đáng giá • Tỉ lệ hồn vốn nội cao khả thực thi dự án cao IRR sử dụng để đo lường, xếp dự án có triển vọng theo thứ tự, từ dễ dàng việc cân nhắc nên thực dự án • Nói cách khác, IRR tốc độ tăng trưởng mà dự án tạo Nếu giả định tất yếu tố khác dự án dự án có tỉ suất hồn vốn nội cao dự án ưu tiên thực Bài giảng Toán cao cấp 136 Nguyễn Văn Tiến BÀI TẬP NPV BÀI TẬP NPV Công ty bạn mua máy photocopy giá 6000USD sử dụng năm Luồng tiền công ty thu năm sau, lãi suất chiết khấu 10%: • Bạn dự định đầu tư xây dựng trang trại mà chịu lỗ 55 triệu VND vào cuối năm thứ nhất, sau thu lại 95 triệu VND, 140 triệu VND, 185 triệu VND vào cuối năm thứ thứ thứ 4, phải trả chi phí ban đầu 250 triệu VND, với tỷ lệ lãi suất 12% năm Hãy đánh giá việc đầu tư Hãy tính NPV? Tính giá trị ròng dự án mà bạn bỏ vốn ban đầu 200 triệu VND năm bạn thu 20 triệu VND, năm bạn chi 50 triệu VND Đến năm bạn thu 100 triệu VND năm 170 triệu VND Với lãi suất 10% • Bạn đánh giá hai dự án sau: Bài giảng Toán cao cấp 137 Nguyễn Văn Tiến • Dự án 1: bạn bỏ 200 triệu VND để nhận 250 triệu VND vào năm sau • Dự án 2: bạn bỏ 400 triệu VND để nhận 500 triệu vào năm sau Bài giảng Toán cao cấp 138 Nguyễn Văn Tiến 23 02/04/2017 BÀI TẬP Bài tập 1,2 • Bạn có ngơi nhà định giá tỷ Bạn muốn cho thuê dài hạn bạn cho thuê năm với mức lãi yêu cầu bạn 18%/năm Với chi phí quản lý bạn bỏ triệu/năm Một người thuê nhà $1000/năm, thuê năm (trả vào cuối năm) Nhưng người cho thuê đòi lấy trước lần Vậy giá thương lượng nên bao nhiêu, biết lãi suất bình quân thị trường 18%/năm Bạn cho thuê nhà với giá 6000$ /năm, toán vào 01/01 hàng năm thời hạn năm Toàn tiền cho thuê ký gửi vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm, trả lãi kép hàng năm Sau năm số tiền bạn có gốc lãi bao nhiêu? Bài giảng Toán cao cấp 139 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 140 Nguyễn Văn Tiến Bài tập 3,4 Bài tập 5,6 Cơng ty A có khoản nợ 500 triệu phải trả sau năm Hiện công ty A muốn trả nợ hàng tháng với khoản tiền Nếu lãi suất 2%/tháng số tiền trả tháng bao nhiêu? • Ngày 15/01/2012 bạn gửi vào tài khoản tiết kiệm hưởng lãi 14%/năm số tiền 500 ngàn VND Tương tự, vào 15/01 năm 2013, 2014, 2015, 2016 2017 bạn gửi vào tài khoản 500 ngàn VND Hỏi vào 15/01/2019 bạn có tiền tài khoản? • Bạn mua laptop với hình thức trả góp Theo đó, bạn trả cho người bán triệu VND tháng vòng năm, lúc mua Hỏi giá laptop bao nhiêu, với lãi suất trả góp lúc 2%/tháng? Bạn dự định sửa nhà, ước tính 38 triệu Mỗi tháng bạn tích cóp 2tr mang gửi vào ngân hàng với lãi suất 1%/tháng Biết đủ số tiền 38 tr để sửa nhà? (Bắt đầu gửi vào tháng tới) Bài giảng Toán cao cấp 141 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp Bài tập 7,8 143 Nguyễn Văn Tiến Bài tập • Bạn mua chung cư với mục đích cho thuê dài hạn Bạn kỳ vọng thu 120 triệu VNDmột năm Vậy bạn sẵn sàng chi trả để mua mức lãi suất yêu cầu bạn 18%/năm • Trong kế hoạch năm tới A, A gửi tiết kiệm triệu VND vào ngày 02/01 hàng năm vào tài khoản hưởng lãi 14%/năm Hỏi cuối năm thứ A có tiền tài khoản? Bài giảng Toán cao cấp 142 Nguyễn Văn Tiến • Giả sử, 01/01/2017, bạn gửi vào ngân hàng 50 triệu VND với lãi suất 11% (lãi nhập gốc năm lần) • a Vào 01/01/2019 bạn có tiền tài khoản? • b Giả sử bạn gửi thành lần 10 triệu VND vào ngày 01/01 năm 2017, 2018, 2019, 2020 2021 Bạn có tiền tài khoản vào thời điểm 01/01/2021? (lãi suất không đổi, không rút tiền suốt thời gian trên) • c Để có 100 triệu VND vào 01/01/2023 bạn phải gửi lần tiền thời điểm câu b? Bài giảng Toán cao cấp 144 Nguyễn Văn Tiến 24 02/04/2017 Trái phiếu Trái phiếu • Trái phiếu (bond) cơng cụ nợ dài hạn phủ cơng ty phát hành nhằm huy động vốn dài hạn • Một số loại trái phiếu: • Trái phiếu phủ (government bond) • Trái phiếu kho bạc (treasury bond) • Trái phiếu cơng ty (corporate bond) Bài giảng Tốn cao cấp 145 Nguyễn Văn Tiến • Mệnh giá trái phiếu (face or value): số tiền ghi trái phiếu • Lãi suất trái phiếu (coupon rate): lãi suất mà trái phiếu hưởng • Ngày đáo hạn : Là ngày trái phiếu hết hạn, đến kỳ tốn • Lãi suất huy động (kD) – suất coupon : Là lãi suất mà cơng ty phát hành trái phiếu hứa tốn cho trái chủ • Giá trái phiếu (Vb): giá nhà đầu tư mua trái phiếu • Lãi suất thị trường (kDM): mức lãi mà thị trường đòi hỏi khoản vay cụ thể Bài giảng Toán cao cấp Trái phiếu 147 Nguyễn Văn Tiến • Quyết định giá trị lý thuyết trái phiếu cách xác cơng Giá trị trái phiếu xác định cách xác định giá trị toàn thu nhập nhận thời hạn hiệu lực trái phiếu • Nguyên tắc: Giá trị trái phiếu xác định giá trị toàn thu nhập mà trái phiếu mang lại 149 • Trái phiếu vĩnh cửu (perpetual bond): trái phiếu có lãi định kỳ khơng đáo hạn • Trái phiếu không hưởng lãi (non-coupon bond): bán thấp so với mệnh giá, gọi trái phiếu chiết khấu Khi đáo hạn, trái chủ hoàn trả lại số tiền mệnh giá • Trái phiếu thơng thường (trái phiếu có lãi trả hàng kỳ): Là loại trái phiếu mà trái chủ trả lợi tức hàng kì ấn định trước trả gốc (bằng mệnh giá) đáo hạn Bài giảng Toán cao cấp 148 Nguyễn Văn Tiến Định giá trái phiếu khơng có thời hạn Định giá trái phiếu Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Trái phiếu • Trái phiếu kho bạc phát hành kho bạc để tài trợ cho thiếu hụt ngân sách phủ • Trái phiếu thị phát hành quyền địa phương nhằm mục đích huy động vốn tài trợ cho ngân sách quyền địa phương Bài giảng Toán cao cấp 146 Nguyễn Văn Tiến • Giá trị loại trái phiếu xác định giá trị dòng tiền vơ hạn mà trái phiếu mang lại I • Gọi: • V: giá trái phiếu kd • I: mức lãi cố định hưởng • kd: tỷ suất lợi nhuận theo yêu cầu nhà đầu tư V Bài giảng Toán cao cấp 150 Nguyễn Văn Tiến 25 02/04/2017 Ví dụ Ví dụ Giả sử bạn mua trái phiếu hưởng lãi 50 $ Chính phủ Anh phát hành trái phiếu vơ hạn có mệnh giá năm khoảng thời gian vơ hạn Bạn đòi hỏi tỷ suất lợi 1.000 bảng Anh Lãi suất huy động 12%/năm Nếu lãi suất nhuận đầu tư 12% theo yêu cầu nhà đầu tư 10%/năm giá trái phiếu Hiện giá trái phiếu là: bán thị trường ? V I 50 416, 67 $ V kd 12% I 1000.12% 1.200 kd 10% Chú ý: Lãi I = Mệnh giá x lãi suất 151 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp ĐG trái phiếu có kỳ hạn, hưởng lãi hàng kỳ 152 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Bạn cần giá trái phiếu mệnh giá triệu I: lãi cố định hưởng từ trái phiếu V: giá trái phiếu đồng, hưởng lãi suất 10% thời hạn năm i: lãi suất trái phiếu nhà đầu tư đòi hỏi tỷ suất lợi nhuận kd: tỷ suất lợi nhuận yêu cầu nhà đầu tư 12%/năm Ta có: M: mệnh giá trái phiếu I 1.000.000 10$ 100.000 N: số năm đáo hạn I I I I M n 1 n n i i i i i V Bài giảng Toán cao cấp 153 100.000 100.000 100.000 1.000.000 9 0,12 1 0,12 1 0,12 1 0,12 V Nguyễn Văn Tiến V 893.800(VND) Bài giảng Tốn cao cấp Ví dụ 154 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Giá 893,8 ngàn đồng giá trị lý thuyết trái phiếu (tức giá trị ta có áp dụng mơ hình định giá) • Nếu thị trường giá trái phiếu cao mức Một doanh nghiệp cổ phần phát hành trái phiếu có mệnh giá 1.000.000 đồng, thời hạn năm lãi suất huy động 12%/năm, năm trả lãi lần trái phiếu phát hành cách năm nên thời hạn lại trái phiếu ta nên bán trái phiếu • Nếu thị trường giá trái phiếu thấp mức ta nên mua trái phiếu Giả sử có nhiều người định giá định bạn kết trái phiếu lên năm Xác định giá bán trái phiếu thị trường, lãi suất theo thị trường 10% D/S: V 1.049.728 giá Khi ta lại bán kiếm lợi nhuận kỳ vọng Bài giảng Toán cao cấp 155 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 156 Nguyễn Văn Tiến 26 02/04/2017 Định giá trái phiếu chiết khấu • Trái phiếu khơng hưởng lãi định kỳ • Được bán thấp mệnh giá V • • • • Ngân hàng BIDV phát hành trái phiếu khơng trả lãi có thời hạn 10 năm mệnh giá triệu đồng Nếu tỷ suất lợi nhuận đòi hỏi nhà đầu tư 12% giá bán trái phiếu là: M 1 kd n V Trong đó: M: mệnh giá kd: tỷ suất lợi nhuận yêu cầu nhà đầu tư V: giá trái phiếu 157 Bài giảng Toán cao cấp Ví dụ 1.000.000 10 1 0,12 321.973 (VND) Nhà đầu tư bỏ khoảng 322 ngàn đồng không hưởng lãi 10 năm Nhưng bù lại đáo hạn (10 năm sau) nhà đầu tư thu triệu đồng Nguyễn Văn Tiến ĐG trái phiếu trả lãi nhiều lần năm Thông thường trái phiếu trả lãi hàng năm lần Nhưng có trái phiếu trả lãi theo định kỳ nửa năm lần (tức năm trả lãi hai lần), trường hợp khác Ta có cơng thức sau 158 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến ĐG trái phiếu trả lãi nhiều lần năm • Trường hợp năm trả lãi hai lần ta có: i M 2n 2n I /2 M M V t 2n t 2n kd k d kd k d t 1 t 1 1 1 1 1 2 2 2 2 i M M m V t n m kd kd t 1 m m n.m Bài giảng Toán cao cấp 159 Nguyễn Văn Tiến 160 Bài giảng Tốn cao cấp Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Ví dụ Hãy định giá trái phiếu có mệnh giá 1000$, lãi suất Trái phiếu công ty U.S.B Corporation phát hành huy động vốn 8%/năm, toán lãi nửa năm mệnh giá triệu đồng, kỳ hạn 12 năm, trả lãi theo định lần Trái phiếu đáo hạn năm Giả sử lãi suất thị kỳ nửa năm với lãi suất 10% nhà đầu tư mong có tỷ trường thời điểm phát hành trái phiếu 10% suất lợi nhuận 14% mua trái phiếu Giá bán loại Đáp số: khoảng 911 ($) trái phiếu Đáp số: khoảng 770,450 ngàn đồng Bài giảng Toán cao cấp 161 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 162 Nguyễn Văn Tiến 27 02/04/2017 Định giá trái phiếu Trái phiếu – Định giá Lưu ý : Chúng ta định giá trái phiếu thời điểm mà định giá thời điểm thời gian hoạt động trái phiếu V0 ? Ví dụ: Một trái phiếu có mệnh giá triệu đồng, đáo hạn sau năm lãnh lãi định kỳ lần/năm Lãi suất huy động vốn 10%/năm Lãi suất thị trường thời điểm phát hành trái phiếu 10% Sau năm phát hành, lãi suất thị trường vốn biến động mạnh, giảm 8% giữ ngun khơng đổi kỳ đáo hạn Hãy tính giá trái phiếu thời điểm lãi suất thị trường biến động (t=2) thời điểm t = 0? 163 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến • Đáp án: V2 ? V2 1,056 V0 1, 0462 164 Bài giảng Tốn cao cấp Ví dụ Nguyễn Văn Tiến Ví dụ Một trái phiếu có mệnh giá 1.500.000đ, lãi suất huy động • Ta có sơ đồ sau: 12%/năm, đáo hạn 12 năm Trái phiếu lưu hành năm Hiện nay, lãi suất thị trường 7%/năm Tuy nhiên theo dự 1.852,72 1.690,98 1.739,56 báo chuyên gia, lãi suất thị trường sau năm có biến động lớn, tăng lên 12%/năm thay đổi trì năm ổn định mức 8%/năm cho năm 180 Tính giá trái phiếu năm tại? Bài giảng Toán cao cấp 165 Nguyễn Văn Tiến Phân tích biến động giá trái phiếu 166 Nguyễn Văn Tiến Phân tích biến động giá trái phiếu • Khi lãi suất thị trường lãi suất trái phiếu giá trái • Giá trái phiếu phụ thuộc biến sau: phiếu mệnh giá – I: lãi cố định hưởng từ trái phiếu – kd: tỷ suất lợi nhuận yêu cầu nhà đầu tư • Khi lãi suất thị trường thấp lãi suất trái phiếu giá – M: mệnh giá trái phiếu trái phiếu cao mệnh giá – n: số năm đáo hạn • Khi lãi suất thị trường cao lãi suất trái phiếu giá • Nhận xét: • I M khơng đổi sau trái phiếu phát hành • kd n thường xuyên thay đổi theo thời gian thị trường Bài giảng Toán cao cấp Bài giảng Toán cao cấp 1 1, 5 0 1, 1, trái phiếu thấp mệnh giá • Lãi suất tăng giá trái phiếu giảm ngược lại • Giá trái phiếu tiến dần đến mệnh giá thời gian tiến dần đến ngày đáo hạn 167 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 168 Nguyễn Văn Tiến 28 ... CF 1 i CF 1 i CF 1 i n 2 n 1 CF 1 i FVAD FVA 1 i CF 11 5 Bài giảng Toán cao cấp Nguyễn Văn Tiến 1 i n 1 i 1 i 11 6 Bài giảng Toán cao cấp n Nguyễn Văn Tiến. .. 4563 Bài giảng Toán cao cấp 65 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp 66 Nguyễn Văn Tiến 11 02/04/2 017 So sánh lãi đơn lãi kép Lãi suất bình quân lãi kép Ta có: n1 n 1 n2 n nk n i i n n1 1 1. .. Nguyễn Văn Tiến 17 Nguyễn Văn Tiến Bài giảng Toán cao cấp n 18 Nguyễn Văn Tiến 02/04/2 017 Cấp số nhân Cấp số nhân • Cấp số nhân dãy số thỏa mãn điều kiện: • • Ta có: xn x1q n 1 xn 1