Bài giảng toán cao cấp chương 1 ths nguyễn phương

Chương 1:Giới hạn và liên tục của hàm số một biến Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục cơ bản Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0

Chương 1:

Giới hạn và liên tục của hàm số một biến

Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản

Trường Đại học Ngân hàng TPHCM

Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com

Email: nguyenphuong0122@gmail.com

Yahoo: nguyenphuong1504

Ngày 11 tháng 2 năm 2014

Ứng dụng vô cùng bé để tính giới hạn

5 Hàm số liên tục

Khái niệm

Tính chất

là một hàm từng khúc.

Ví dụ

Một hãng cho thuê xe oto với giá 3 ngàn/1km nếu quãng đường chạy xe khôngquá 100km Nếu quãng đường chậy xe vượt quá 100km thì ngoài số tiền phảitrả cho 100km đầu còn phải trả thêm 1,5 ngàn/km Gọi x là số km xe thuê đãchạy và f(x) là phí thuê xe, ta có

Hàm số đơn điệu

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng I,

Hàm số f(x) được goi là tăng (giảm) trong I nếu ∀x1, x2∈ I sao cho

f(−x) = −f(x)

Định nghĩa (Hàm cơ bản)

Hàm đa thức (anxn+ an−1xn−1+ + a0), hàm mũ (ax), hàm lũy thừa (xa),hàm lượng giác (sin; cos; tan), hàm logarit (logab), hàm lượng giác ngược(arcsin; arccos; arctan) là những hàm có bản

là các hàm số sơ cấp.

Định nghĩa

Một hàm số x : N∗

→ R, n 7−→ x(n) được gọi là một dãy số Ký hiêu: (xn)

Dãy (xn) được gọi là tăng (giảm) nếu xn< xn+1 (xn> xn+1)

Một dãy tăng hay giảm còn được gọi là dãy đơn điệu

Dãy (xn) được gọi là bị chặn trên (dưới) nếu tồn tại M> 0 sao cho

xn6 M ( tồn tại m sao cho xn> m), ∀n ∈ N∗

.Một dãy được gọi là bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới

Sn= x1+ x2+ + xn=n

2(x1+ xn)

Sn= x1+ x2+ + xn= x1

(1 − qn)

1 − q

Định nghĩa (Giới hạn dãy số)

Dãy (xn) hội tụ khi và chỉ khi tồn tại a ∈ R sao cho

∀ > 0, ∃N thỏa ∀n> N thì |xn− a|< 

Kí hiệu:

lim xn= a

Định nghĩa (Giới hạn một phía)

Số L được gọi là giới hạn trái (giới hạn phải) của hàm số f(x) tại điểm x0 nếumọi > 0 tồn tại số δ > 0 sao cho với mọi x mà 0 < x0− x< δ(0 < x − x0< δ)thì |f(x) − L|< 

= L (giới hạn phải)

Định lý

Giới hạn lim

x→x0f(x) = L tồn tại khi và chỉ khi tồn tại lim

x→x − 0

f(x), lim

x→x+0

f(x) vàlim

x→ag(x) (nếu limx→ag(x) , 0)

x→af(x)

k

Ví dụ

Tính các giới hạn sau: lim

x→∞

x3+ 3x2− 12x3+ x − 5; x→4lim

x→0(1 + sin 2x)1.

Định nghĩa

Cho hàm sốα(x),

Hàm sốα(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x → a nếu lim

x→aα(x) = 0.Hàm sốα(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x → a nếu lim

i) Nếu L = 0, ta nóiα(x) là VCB cấp cao hơn β(x) Kí hiêu: α(x) = 0(β(x));ii) Nếu L = 1, ta nóiα(x) và β(x) là hai VCB tương đương Kí hiệu:

α(x) ∼ β(x);

iii) Nếu L , 0, L hữu hạn, ta nói α(x) và β(x) là hai VCB cùng bậc Kí hiệu:α(x) = O(β(x))

(x)

β∗(x)

Chú ý

Khi x → 0, ta có các cặp VCB tương đương sau:

sin x ∼ x; tan x ∼ x arctan x ∼ x

arcsin x ∼ x ln(1 + x) ∼ x ax− 1 ∼ x ln a

ex− 1 ∼ x; (1 + x)a∼ 1 + ax, (a , 0)

f(x) = lim

x→x + 0

Định nghĩa

Hàm số y = f(x)không liên tục tại x0thì ta nói hàm số y = f(x)gián đoạn tại

x0 Khi đó, x0 được gọi làđiểm gián đoạncủa f

2Giải Ta có

lim

x→ π/2 +(sin x + b) = 1 + b, lim

x→ π/2 −(ax + 1) = aπ

2 + 1Hàm số f liên tục khi và chỉ khi

x→0 +(ax + b) = b, lim

x→1 −(ax + b) = a + bf(0) = −1, f(1) = 1

Hàm số f liên tục khi và chỉ khi

Định lý

Hàm số liên tục trên đoạn [a, b] thì bị chặn trên đoạn [a, b], có nghĩa là

∃m, M sao cho m ≤ f(x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b]

Hệ quả

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và f(a) = m, f(b) = M thì

∀c ∈ [m, M] tồn tại x0∈ [a, b] sao cho f(x0) = c

Người ta thường dùng các chữ cái viết hoa từ tiếng Anh để kí hiệu các biếnkinh tế.

Q Quantity Sản lượng

QS Quantity Supplied Lượng cung

QD Quantity Demanded Lượng cầu

TC Total Cost Tổng chi phí

R Revenue Doanh thu

TR Total Revenue Tổng doanh thu

π, Pr Profit Lợi nhuận

K Capital Tư bản (vốn)

L Labour Lao động, nhân công

FC Fix Cost Định phí, Chi phí cố định

VC Variable Cost Biến phí, Chi phí biến đổi

Một số hàm trong sản xuất, kinh doanh:

Hàm sản xuất : Q=f(K,L)

Hàm doanh thu : TR = P.Q

Hàm chi phí : TC=f(Q)

Hàm lợi nhuận :π = TR - TC