Bài giảng toán cao cấp chương 1 ths nguyễn phương

Chương 1: Giới hạn liên tục hàm số biến Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 11 tháng năm 2014 1 Khái niệm hàm số Khái niệm Một số tính chất hàm số Các hàm số sơ cấp Giới hạn dãy số Khái niệm Cấp số cộng Cấp số nhân Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số Định nghĩa Các định lí giới hạn Vô bé (VCB), vô lớn (VCL) Định nghĩa Ứng dụng vô bé để tính giới hạn Hàm số liên tục Khái niệm Tính chất Ứng dụng kinh tế Khái niệm hàm số Khái niệm Định nghĩa Cho tập D ⊂ R, D φ Hàm số f có miền xác định D quy tắc cho tương ứng số x ∈ D với số thực y Kí hiệu: f : D → R x −→ y = f(x) D gọi miền xác định hàm số f Ví dụ Cho hàm số f(x) = x3 + x2 Tìm f(1), f(−1), f(a), f(a − 1) Định nghĩa (Đồ thị hàm số) Đồ thị hàm số f có miền xác định D tập hợp {(x, y)|y = f(x), x ∈ D} Khái niệm hàm số Khái niệm Định nghĩa (Hàm khúc) Hàm số f gọi hàm khúc hàm số viết thành biểu thức khác miền xác định D Ví dụ Hàm    x2 f(x) =   2x + hàm khúc x > 1, x Khái niệm hàm số Khái niệm Ví dụ Một hãng cho thuê xe oto với giá ngàn/1km quãng đường chạy xe không 100km Nếu quãng đường chậy xe vượt 100km số tiền phải trả cho 100km đầu phải trả thêm 1,5 ngàn/km Gọi x số km xe thuê chạy f(x) phí thuê xe, ta có    x 100, 3x f(x) =   300 + 1, 5x x > 100 Ta thấy f(x) hàm khúc x = 50 f(x) = 3.50 = 150 (ngàn), x = 150 f(x) = 300 + 1, 5.150 = 525 (ngàn) Khái niệm hàm số Khái niệm Định nghĩa (Hàm ẩn) Giả sử y hàm theo biến x mà ta biết y x liên hệ với phương trình F(x, y) = Khi y gọi hàm ẩn biến x xác định phương trình F(x, y) = Ví dụ Cho y hàm số theo biến x xác định xy2 − 2xy + = y hàm ẩn theo biến x Khái niệm hàm số Một số tính chất hàm số Hàm số đơn điệu Cho hàm số f(x) xác định khoảng I, Hàm số f(x) goi tăng (giảm) I ∀x1 , x2 ∈ I cho x1 < x2 f(x1 ) < f(x2 ) (f(x1 ) > f(x2 )) Hàm số tăng giảm khoảng I gọi hàm số đơn điệu I Chú ý Hàm số f(x) gọi không tăng (giảm) khoảng I ∀x1 , x2 ∈ I cho x1 < x2 f(x1 ) f(x2 ) (f(x1 ) f(x2 )) Hàm số tăng (giảm) gọi hàm số đồng biến (nghịch biến) Hàm số chẳn (lẻ) Hàm số f(x) xác định tập đối xứng D Hàm số f(x) gọi hàm số chẳn f(−x) = f(x) Hàm số f(x) gọi hàm số lẻ f(−x) = −f(x) Khái niệm hàm số Một số tính chất hàm số Hàm số tuần hoàn Hàm số f(x) xác định tập hợp D gọi hàm tuần hoàn tồn T thỏa mãn ∀x ∈ D x + T ∈ D f(x + T) = f(x) (1) Số T dương nhỏ thỏa mãn đẳng thức (1) gọi chu kỳ hàm f(x) Hàm bị chặn Hàm số f(x) gọi bị chặn (dưới) tồn M(m) cho với x ∈ D f(x) M (f(x) m) Hàm số f(x) vừa bị chặn vừa bị chặn gọi bị chặn Hàm Hàm số f(x) gọi hàm tồn C cho f(x) = C, ∀x ∈ Ω Khái niệm hàm số Một số tính chất hàm số Hàm ngược Định nghĩa (Hàm ngược) Cho hàm số f(x) xác định miền D, I hàm đồng nhất, tức I(x) = x Nếu tồn hàm g(x) cho f ◦ g = I; g ◦ f = I g gọi hàm ngược f Kí hiệu: f −1 Như vậy, x = f −1 (y) ⇐⇒ y = f(x), ∀x ∈ D Ví dụ Tìm hàm ngược hàm f(x) = (x − 1)2 , x Giải Giả sử y = (x − 1)2 , x 1, ta có y Do đó, x−1= Vậy hàm ngược x = √ √ y hay x = y − √ y − Khái niệm hàm số Một số tính chất hàm số Các hàm số sơ cấp Định nghĩa (Hàm hợp) Cho hàm f(x) xác định miền D, u(x) xác định D cho f(D) ⊂ E Khi đó, hàm hợp hai hàm f u hàm Kí hiệu u ◦ f, với u ◦ f(x) = u(f(x)) Ví dụ Viết hàm h(x) = (3x + 1)5 dạng hàm hợp Giải Đặt f(x) = 3x + 1; g(x) = x5 Khi đó, g ◦ f(x) = g(f(x)) = g(3x + 1) = (3x + 1)5 10 Giới hạn hàm số Định nghĩa Định nghĩa Hàm số f(x) có giới hạn L x tiến tới x0 dãy (xn ), xn → x0 lim f(xn ) = L Kí hiệu: lim f(x) = L x→x0 Định nghĩa Hàm số f(x) có giới hạn L x dần tới x0 ∀ > 0, ∃δ > cho < |x − x0 | < δ |f(x) − L| < Định nghĩa (Giới hạn phía) Số L gọi giới hạn trái (giới hạn phải) hàm số f(x) điểm x0 > tồn số δ > cho với x mà < x0 − x < δ(0 < x − x0 < δ) |f(x) − L| < Kí hiệu: lim− = L (giới hạn trái) lim+ = L (giới hạn phải) x→x0 x→x0 17 Giới hạn hàm số Các định lí giới hạn Định lý Giới hạn lim f(x) = L tồn tồn lim− f(x), lim+ f(x) x→x0 x→x0 lim f(x) = lim+ f(x) = lim f(x) = L x→x0 x→x0 x→x0 Ví dụ Tìm giới hạn hàm số f(x) = |x| x → x Định lý Giới hạn hàm số có x→x0 Giới hạn hàm số Các định lí giới hạn Định lý Nếu giới hạn lim f(x) lim g(x) tồn tại, hữu hạn x→a x→a i) lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x); x→a x→a x→a ii) lim f(x)g(x) = lim f(x) lim g(x); x→a x→a x→a lim f(x) f(x) x→a = (nếu lim g(x) x→a g(x) x→a lim g(x) iii) lim 0) x→a Hệ Nếu giới hạn lim f(x) lim g(x) tồn tại, hữu hạn x→a x→a i) lim Cf(x) = C lim f(x); x→a x→a k ii) lim (f(x))k = lim f(x) x→a x→a 19 Giới hạn hàm số Các định lí giới hạn Ví dụ x3 + 3x2 − Tính giới hạn sau: lim ; x→∞ 2x3 + x − √ x−2 lim ; x→4 x2 − 5x + Định lý Giả sử hàm số f(u), u = u(x) thỏa mãn điều kiện: lim u(x) = b lim f(u) = L x→a u→b Tồn số δ > cho với x ∈ (a − δ, a + δ) x u(x) b Khi lim f (u(x)) = L x→a Định lý (Định lí kẹp) Cho hàm số f(x), g(x), h(x) f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) lân cận a; lim f(x) = lim g(x) = L x→a x→a Khi đó, lim h(x) = L x→a 20 a Giới hạn hàm số Các định lí giới hạn Mệnh đề sin x = 1; x x = e ii) lim + x→∞ x i) lim x→0 Ví dụ Tính giới hạn sau: sin(5x − 10) ; a) lim x→2 sin(2 − x) x + 2x b) lim ; x→∞ x + 1 c) lim (1 + sin 2x) x x→0 21 Vô bé (VCB), vô lớn (VCL) Định nghĩa Định nghĩa Cho hàm số α(x), Hàm số α(x) gọi vô bé (VCB) x → a lim α(x) = x→a Hàm số α(x) gọi vô lớn (VCL) x → a lim |α(x)| = ∞ x→a Tổng hai VCB VCB; Tích VCB với đại lượng bị chặn VCB; Tích hai VCL VCL; Tổng VCL đại lượng bị chặn VCL; Nếu α(x) VCB VCL, ngược lại, α(x) α(x) VCL VCB α(x) 22 Vô bé (VCB), vô lớn (VCL) Định nghĩa Định nghĩa Cho α(x), β(x) hai VCB x → a Xét giới hạn lim x→a α(x) = L β(x) i) Nếu L = 0, ta nói α(x) VCB cấp cao β(x) Kí hiêu: α(x) = 0(β(x)); ii) Nếu L = 1, ta nói α(x) β(x) hai VCB tương đương Kí hiệu: α(x) ∼ β(x); iii) Nếu L 0, L hữu hạn, ta nói α(x) β(x) hai VCB bậc Kí hiệu: α(x) = O(β(x)) 23 Vô bé (VCB), vô lớn (VCL) Ứng dụng vô bé để tính giới hạn Định lý Giả sử x → a, ta có cặp VCB tương đương α(x) ∼ α∗ (x); β(x) ∼ β∗ (x) α∗ (x) tồn lim ∗ x→a β (x) α(x) α∗ (x) = lim ∗ x→a β(x) x→a β (x) lim Chú ý Khi x → 0, ta sin x ∼ x; arcsin x ∼ x ex − ∼ x; có cặp VCB tương đương sau: tan x ∼ x arctan x ∼ x ln(1 + x) ∼ x ax − ∼ x ln a a (1 + x) ∼ + ax, (a 0) Hàm số liên tục Khái niệm Định nghĩa Hàm số y = f(x) liên tục x0 i) f(x) xác định điểm x0 ii) lim f(x) = f(x0 ) x→x0 Hàm số y = f(x) liên tục x0 có nghĩa là: Khi biến số x dần đến x0 giá trị hàm số x dần đến giá trị hàm số điểm x0 Định nghĩa Hàm số y = f(x) liên tục trái (liên tục phải) x0 i) f(x) xác định điểm x0 ii) lim− f(x) = f(x0 ) x→x0 lim f(x) = f(x0 ) x→x+ 25 Hàm số liên tục Khái niệm Định lý Nếu f(x) liên tục x0 f liên tục bên trái f liên tục bên phải x0 , tức lim− f(x) = lim+ f(x) = f(x0 ) x→x0 x→x0 Định lý Hàm số y = f(x) xác định khoảng (a, b) chứa x0 Các mệnh đề sau tương đương 1) f liên tục x0 2) ∀ > 0, ∃δ > cho < x − x0 < δ =⇒ |f(x) − f(x0 )| < 3) Mọi dãy {xn } ∈ (a, b) cho xn −→ x0 =⇒ f(xn ) −→ f(x0 ) 26 Hàm số liên tục Khái niệm Định nghĩa Hàm số y = f(x) không liên tục x0 ta nói hàm số y = f(x) gián đoạn x0 Khi đó, x0 gọi điểm gián đoạn f Tính chất Cho hai hàm số f(x), g(x) liên tục x0 Khi tổng, hiệu, tích, thương (mẫu khác không) hàm số liên tục x0 Định nghĩa Hàm số y = f(x) gọi liên tục khoảng (a; b) f(x) liên tục x ∈ (a, b) Hàm số y = f(x) gọi liên tục đoạn [a, b] f(x) liên tục khoảng (a, b), liên tục phải a liên tục trái b 27 Hàm số liên tục Khái niệm Ví dụ Xét tính liên tục hàm số f(x) = điểm x0 = x Giải Ta có = +∞, x Vậy x0 = điểm gián đoạn lim x→0+ lim x→0− = −∞, x Ví dụ      ax + Tìm a, b để hàm số sau liên tục f(x) =     sin x + b x ≤ x > Giải Ta có lim (sin x + b) = + b, x→π/2+ lim (ax + 1) = a x→π/2− π π π +1 Hàm số f liên tục lim f(x) = lim − f(x) ⇐⇒ + b = a x→π/2+ x→π/2 π π + ⇐⇒ b = a 2 Hàm số liên tục Khái niệm Ví dụ Tìm a, b để hàm số sau liên tục   (x − 1)3    ax√+ b f(x) =     x x ≤ < x < x ≥ Giải Ta có lim (x − 1)3 = −1, lim x→0− lim (ax + b) = b, x→0+ x→1+ √ x=1 lim (ax + b) = a + b x→1− f(0) = −1, f(1) = Hàm số f liên tục b a+b = −1 ⇐⇒ =1 29 b a = −1 =2 Hàm số liên tục Tính chất Định lý Hàm số liên tục đoạn [a, b] bị chặn đoạn [a, b], có nghĩa ∃m, M cho m ≤ f(x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] Hệ Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a, b] f(a) = m, f(b) = M ∀c ∈ [m, M] tồn x0 ∈ [a, b] cho f(x0 ) = c Ứng dụng kinh tế Người ta thường dùng chữ viết hoa từ tiếng Anh để kí hiệu biến kinh tế Q QS QD P C TC R TR π, Pr K L FC VC Quantity Quantity Supplied Quantity Demanded Price Cost Total Cost Revenue Total Revenue Profit Capital Labour Fix Cost Variable Cost Một số hàm sản xuất, kinh doanh: Hàm sản xuất : Q=f(K,L) Hàm doanh thu : TR = P.Q Hàm chi phí : TC=f(Q) Hàm lợi nhuận : π = TR - TC 31 Sản lượng Lượng cung Lượng cầu Giá Chi phí Tổng chi phí Doanh thu Tổng doanh thu Lợi nhuận Tư (vốn) Lao động, nhân công Định phí, Chi phí cố định Biến phí, Chi phí biến đổi [...]... dạng xn = x1 + (n − 1) d Tổng n số hạng đầu tiên là Sn = x1 + x2 + + xn = n (x1 + xn ) 2 Giới hạn của dãy số Cấp số nhân Định nghĩa (Cấp số nhân) Dãy (xn ) được gọi là một cấp số nhân với công bội q nếu thỏa xn = q.xn 1 Định lý Cho một dãy cấp số nhân (xn ), khi đó ta có các tính chất sau: Số hạng tổng quát có công thức xn = x1 qn 1 Tổng n số hạng đầu tiên Sn = x1 + x2 + + xn = x1 (1 − qn ) 1 q Giới... 2 2 Hàm số liên tục Khái niệm Ví dụ Tìm a, b để hàm số sau liên tục   (x − 1) 3    ax√+ b f(x) =     x nếu x ≤ 0 nếu 0 < x < 1 nếu x ≥ 1 Giải Ta có lim (x − 1) 3 = 1, lim x→0− lim (ax + b) = b, x→0+ x 1+ √ x =1 lim (ax + b) = a + b x 1 f(0) = 1, f (1) = 1 Hàm số f liên tục khi và chỉ khi b a+b = 1 ⇐⇒ =1 29 b a = 1 =2 Hàm số liên tục Tính chất Định lý Hàm số liên tục trên đoạn [a, b] thì bị... (thương) của f(x), g(x) là hàm f(x).g(x) , g(x) 0 g(x) 11 Khái niệm về hàm số Một số tính chất của hàm số Định nghĩa (Hàm sơ cấp) Hàm sơ cấp là hàm được tạo thành từ các hàm cơ bản bởi một số hữu hạn các phép toán và phép lấy hàm hợp Ví dụ Các hàm số y = ln(x2 − 1) , y = x2 log3 x 2x3 − 3 ;y = − 3x + 1 arccos (1 − 3x) x4 là các hàm số sơ cấp 12 Giới hạn của dãy số Khái niệm Định nghĩa Một hàm số x... tục của hàm số f(x) = 1 tại điểm x0 = 0 x Giải Ta có 1 = +∞, x Vậy x0 = 0 là điểm gián đoạn lim x→0+ lim x→0− 1 = −∞, x Ví dụ      ax + 1 Tìm a, b để hàm số sau liên tục f(x) =     sin x + b nếu x ≤ nếu x > Giải Ta có lim (sin x + b) = 1 + b, x→π/2+ lim (ax + 1) = a x→π/2− π 2 π 2 π +1 2 Hàm số f liên tục khi và chỉ khi lim f(x) = lim − f(x) ⇐⇒ 1 + b = a x→π/2+ x→π/2 π π + 1 ⇐⇒ b = a 2 2 Hàm... < xn +1 (xn > xn +1 ) Một dãy tăng hay giảm còn được gọi là dãy đơn điệu Dãy (xn ) được gọi là bị chặn trên (dưới) nếu tồn tại M > 0 sao cho xn M ( tồn tại m sao cho xn m), ∀n ∈ N∗ Một dãy được gọi là bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới 13 Giới hạn của dãy số Cấp số cộng Định nghĩa (Cấp số cộng) Dãy (xn ) được gọi là một cấp số cộng với công sai d nếu thỏa xn = xn 1 + d Định lý Cho một cấp. .. lim f(x) = lim g(x) = L x→a x→a Khi đó, lim h(x) = L x→a 20 a Giới hạn hàm số Các định lí về giới hạn Mệnh đề sin x = 1; x 1 x = e ii) lim 1 + x→∞ x i) lim x→0 Ví dụ Tính các giới hạn sau: sin(5x − 10 ) ; a) lim x→2 sin(2 − x) x + 3 2x b) lim ; x→∞ x + 1 1 c) lim (1 + sin 2x) x x→0 21 Vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL) Định nghĩa Định nghĩa Cho hàm số α(x), Hàm số α(x) được gọi là vô cùng bé (VCB)... VCL và một đại lượng bị chặn là một VCL; 1 Nếu α(x) 0 là một VCB thì là một VCL, ngược lại, nếu α(x) α(x) 1 là một VCL thì là một VCB α(x) 22 0 Vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL) Định nghĩa Định nghĩa Cho α(x), β(x) là hai VCB khi x → a Xét giới hạn lim x→a α(x) = L β(x) i) Nếu L = 0, ta nói α(x) là VCB cấp cao hơn β(x) Kí hiêu: α(x) = 0(β(x)); ii) Nếu L = 1, ta nói α(x) và β(x) là hai VCB tương đương... β(x) ∼ β∗ (x) α∗ (x) và nếu tồn tại lim ∗ thì x→a β (x) α(x) α∗ (x) = lim ∗ x→a β(x) x→a β (x) lim Chú ý Khi x → 0, ta sin x ∼ x; arcsin x ∼ x ex − 1 ∼ x; có các cặp VCB tương đương sau: tan x ∼ x arctan x ∼ x ln (1 + x) ∼ x ax − 1 ∼ x ln a a (1 + x) ∼ 1 + ax, (a 0) Hàm số liên tục Khái niệm Định nghĩa Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 nếu i) f(x) xác định tại điểm x0 ii) lim f(x) = f(x0 ) x→x0 Hàm số... chất của hàm số Định nghĩa (Hàm cơ bản) Hàm đa thức (an xn + an 1 xn 1 + + a0 ), hàm mũ (ax ), hàm lũy thừa (xa ), hàm lượng giác (sin; cos; tan), hàm logarit (loga b), hàm lượng giác ngược (arcsin; arccos; arctan) là những hàm có bản Các phép toán trên hàm số Định nghĩa Cho hai hàm số f(x), g(x) xác định trên miền Ω ⊂ R Ta có các phép toán sau: Tổng (hiệu) của f(x), g(x) là hàm f(x) + g(x)(f(x) −... lim g(x) iii) lim 0) x→a Hệ quả Nếu các giới hạn lim f(x) và lim g(x) tồn tại, hữu hạn thì x→a x→a i) lim Cf(x) = C lim f(x); x→a x→a k ii) lim (f(x))k = lim f(x) x→a x→a 19 Giới hạn hàm số Các định lí về giới hạn Ví dụ x3 + 3x2 − 1 Tính các giới hạn sau: lim ; x→∞ 2x3 + x − 5 √ x−2 lim ; x→4 x2 − 5x + 4 Định lý Giả sử các hàm số f(u), u = u(x) thỏa mãn các điều kiện: lim u(x) = b và lim f(u) = L x→a ... x ≥ Giải Ta có lim (x − 1) 3 = 1, lim x→0− lim (ax + b) = b, x→0+ x 1+ √ x =1 lim (ax + b) = a + b x 1 f(0) = 1, f (1) = Hàm số f liên tục b a+b = 1 ⇐⇒ =1 29 b a = 1 =2 Hàm số liên tục Tính... dạng xn = x1 + (n − 1) d Tổng n số hạng Sn = x1 + x2 + + xn = n (x1 + xn ) Giới hạn dãy số Cấp số nhân Định nghĩa (Cấp số nhân) Dãy (xn ) gọi cấp số nhân với công bội q thỏa xn = q.xn 1 Định lý... thêm 1, 5 ngàn/km Gọi x số km xe thuê chạy f(x) phí thuê xe, ta có    x 10 0, 3x f(x) =   300 + 1, 5x x > 10 0 Ta thấy f(x) hàm khúc x = 50 f(x) = 3.50 = 15 0 (ngàn), x = 15 0 f(x) = 300 + 1,