Bài giảng toán cao cấp chương 2 ths nguyễn phương

Chương 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 17 tháng năm 2014 1 Đạo hàm hàm số Định nghĩa Các công thức đạo hàm Đạo hàm cấp cao Vi phân hàm số Khái niệm Vi phân cấp cao ứng dụng vi phân vào tính gần Các định lý giá trị trung bình Ứng dụng đạo hàm Công thức Taylor Quy tắc L’Hospital Sự biến thiên hàm số Cực trị hàm số Ứng dụng kinh tế Giá trị biên tế (Marginal quantity) Độ co dãn (Elasticity) Tối ưu kinh tế Đạo hàm hàm số Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định lân cận (a, b), x0 ∈ (a, b).Kí hiệu: ∆x = x − x0 : số gia đối số (lượng thay đổi x từ x0 đến x) ∆y = ∆f(x0 ) = f(x) − f(x0 ) = f(x0 + ∆x) − f(x0 ): số gia hàm số f(x) (lượng thay đổi f(x) x thay đổi lượng ∆x) f(x0 + ∆x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) ∆y = = ⇒? ∆x ∆x x − x0 ∆y ⇒? ∆x→0 ∆x lim Đạo hàm hàm số Định nghĩa Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định lân cận (a, b), x0 ∈ (a, b) Nếu giới hạn lim ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) ∆y = lim = lim x→x0 ∆x ∆x→0 ∆x x − x0 tồn giới hạn gọi đạo hàm hàm số y = f(x) x0 Kí hiệu f (x0 ) hay y (x0 ) Ví dụ Tính đạo hàm x0 = hàm số y = f(x) = x2 + 3x Giải: f(x) − f(2) (x2 + 3x) − (22 + 3.2) = lim x→2 x→2 x−2 x−2 x + 3x − 10 = lim = lim (x + 5) = x→2 x→2 x−2 f (2) = lim Vậy f (2) = Đạo hàm hàm số Định nghĩa Định nghĩa Hàm f(x) gọi có đạo hàm bên phải x0 , kí hiệu f+ (x0 ), tồn giới hạn f+ (x0 ) = lim + ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) = lim+ ∆x x − x0 x→x0 Hàm f(x) gọi có đạo hàm bên trái x0 , kí hiệu f− (x0 ), tồn giới hạn f− (x0 ) = lim − ∆x→0 f(x0 + ∆x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) = lim− x→x0 ∆x x − x0 Đạo hàm hàm số Định nghĩa Định lý Hàm f(x) gọi có đạo hàm x0 f+ (x0 ) = f− (x0 ) Ví dụ Tính đạo hàm hàm số f(x) = x3 + 2|x| + x0 = Giải Ta có f(x) = x3 + 2x + x3 − 2x + x > x ≤ + (0) = lim+ f(x) − f(0) (x3 + 2x + 1) − = lim+ = lim+ (x2 + 2) = x→0 x→0 x−0 x f − (0) = lim+ f(x) − f(0) (x3 − 2x + 1) − = lim− = lim− (x2 − 2) = −2 x→0 x→0 x−0 x f x→0 x→0 Tại x0 = 0, đạo hàm trái đạo hàm phải không nên hàm số đạo hàm x0 = Đạo hàm hàm số Định nghĩa Ví dụ Cho hàm số  x+1  e −x−2    f(x) =  x+1    a x −1 x = −1 i) Tìm a để hàm số liên tục x0 = −1 ii) Tìm đạo hàm f (−1) ứng với a vừa tìm câu i) Giải i) Ta có lim + x→−1 ex+1 − x − ex+1 − x − = lim − =0 x→−1 x+1 x+1 f(−1) = a Để hàm số liên tục x0 = −1 ex+1 − x − = f(−1) ⇐⇒ a = x→−1 x+1 lim Đạo hàm hàm số Định nghĩa ii) Thay a =  x+1  −x−2 e    f(x) =  x+1    x −1 x = −1 Ta có, f(x) − f(−1) f (−1) = lim = lim x→−1 x→−1 x+1 ex+1 − x − = lim = x→−1 (x + 1) ex+1 − x − −0 x+1 x+1 Đạo hàm hàm số Các công thức đạo hàm Các công thức đạo hàm hàm sơ cấp 1) (k) = , k số 2) (xα ) = αxα−1 3) (ex ) = ex 4) (lnx) = x 5) (cosx) = −sinx 6) (sinx) = cosx 7) (tanx) = cos2 x sin2 x (arcsinx) = √ − x2 (arccosx) = − √ − x2 (arctanx) = + x2 (arccotgx) = − + x2 8) (cotgx) = − 9) 10) 11) 12) Tính chất 1) (ku) = ku 2) (u ± v) = u ± v 3) (uv) = u v + uv u v − uv u = với v 4) v v2 5) Cho hai hàm số y = f(u), u = u(x) tồn u (x), y (u), yx = fu (u).ux Đạo hàm hàm số Các công thức đạo hàm Các công thức đạo hàm hàm hợp 1) (uα ) = αuα−1 u 5) (sinu) = u cosu 6) (tanu) = u cos2 u 7) (cotgu) = − u sin u 2) (eu ) = eu u 3) (lnu) = u u 4) (cosu) = −u sinu Định lý Giả sử f hàm số đơn điệu f (x0 ) y0 = f(x0 ) (f −1 ) (y0 ) = f (x0 ) Khi đó, hàm ngược f −1 khả vi Các công thức đạo hàm hàm ngược 1 1) (arcsin x) = √ , x ±1 3) (arc tan x) = − x2 + x2 1 2) (arccos x) = − √ , x ±1 4) (arccotgx) = − + x2 − x2 10 Ứng dụng đạo hàm Quy tắc L’Hospital Ví dụ Tính giới hạn hàm số sau ex − e−x − sin x x→0 x − sin x lim Giải Ta có ex − e−x − sin x ex + e−x − cos x ex − e−x + sin x lim = lim = lim x→0 x→0 x→0 x − sin x − cos x sin x ex + e−x + cos x = lim =4 x→0 cos x Ví dụ Tính giới hạn hàm số sau lim x→0 x − sin x x3 Giải Ta có lim x − sin x = lim − cos x = lim 24 sin x = lim cos x = Ứng dụng đạo hàm Quy tắc L’Hospital Khử dạng vô định 0.∞ ∞ − ∞: dùng phép biến đổi đưa dạng ∞ ∞ Ví dụ Tính giới hạn lim+ xα ln x ; α > x→0 Ví dụ Tính giới hạn lim x→0 − cot2 x x2 Giải Ta có lim x→0 sin2 x − x2 cos2 x − cot x = lim x→0 x2 x2 sin2 x (sin x + x cos x) (sin x − x cos x) = lim x→0 x x3 sin x − x cos x = lim x→0 x3 cos x − cos x + x sin x sin x = lim = lim = x→0 x→0 3x 3x2 Ứng dụng đạo hàm Quy tắc L’Hospital Khử dạng vô định 00 ; 1∞ ; ∞0 Nếu lim f(x)g(x) có dạng 00 , 1∞ , ∞0 lim g(x) ln f(x) = k lim f(x)g(x) = ek x→a x→a x→a Đối với dạng 1∞ : Nếu lim f(x)g(x) có dạng 1∞ lim g(x) (f(x) − 1) = k x→a lim f(x)g(x) = ek x→a Ví dụ Tính giới hạn a) lim+ (sin x)x x→0 b) lim (2x − 1) x−1 x→1 c) lim+ (cot x) ln x x→0 x→a Ứng dụng đạo hàm Sự biến thiên hàm số Định lý (Điều kiện cần) Nếu hàm số f(x) không giảm (a; b) (không tăng (a; b)) f(x) khả vi f (x) ≥ (f (x) ≤ 0) Định lý (Điều kiện đủ) Cho hàm số f(x) khả vi khoảng (a; b) Nếu x ∈ (a; b) mà đạo hàm: f (x) > f(x) tăng (a; b) f (x) < f(x) giảm (a; b) f (x) = f(x) hàm (a; b) Ứng dụng đạo hàm Cực trị hàm số Định lý (Định lí Fermat - Điều kiện cần cực trị) Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a; b) Nếu f(x) đạt cực trị x0 ∈ (a; b) có đạo hàm x0 f (x0 ) = Định lý (Điều kiện đủ có cực trị theo đạo hàm bậc nhất) Giả sử x0 điểm tới hạn hàm số f(x) hàm số có đạo hàm khoảng (x0 − δ, x0 ), (x0 , x0 + δ) với δ > Khi đó: i) Nếu đạo hàm f (x) đổi dấu từ dương (+) sang âm (-) qua x0 f(x) đạt cực đại x0 ii) Nếu đạo hàm f (x) đổi dấu từ âm (-) sang dương (+) qua x0 f(x) đạt cực tiểu x0 iii) Nếu đạo hàm f (x) không đổi dấu qua x0 x0 không điểm cực trị f(x) Ứng dụng đạo hàm Cực trị hàm số Định lý (Điều kiện đủ có cực trị theo đạo hàm cấp cao) Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục đến cấp n(n ≥ 2) khoảng chứa x0 f (x0 ) = f (x0 ) = = f (n−1) (x0 ) = 0; f (n) (x0 ) Khi đó, i) Nếu n số chẵn x0 điểm cực đại f (n) (x0 ) < x0 điểm cực tiểu f (n) (x0 ) > ii) Nếu n số lẻ x0 không điểm cực trị x0 Trường hợp n = Điều kiện đủ có cực trị theo đạo hàm cấp 2: f (x0 ) = ⇒ x0 điểm cực đại f(x) f (x0 ) < f (x0 ) = ⇒ x0 điểm cực tiểu f(x) f (x0 ) > 29 Ứng dụng đạo hàm Cực trị hàm số Ví dụ Khảo sát biến thiên tìm cực trị hàm số: x2 − 2x + a) y = x2 + √ b) y = (x − 2) x Ví dụ Tìm GTLN GTNN hàm số: a) y = x3 − 3x2 + [−1; 4] b) y = x2 lnx [1; e] 30 Ứng dụng kinh tế Giá trị biên tế (Marginal quantity) Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) Giá trị biên tế y theo x x0 , kí hiệu Mx y(x0 ), lượng thay đổi tuyệt đối biến phụ thuộc y biến độc lập x thay đổi đơn vị ∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0 ) ≈ f (x0 )∆x ∆x nhỏ, ∆y lượng thay đổi tuyệt đối y, ∆x lượng thay đổi tuyệt đối x Khi ∆x nhỏ (∆x → 0), giá trị biên tế tính xấp xĩ đạo hàm y theo x, tức Mx y(x0 ) ≈ f (x0 ) 31 Ứng dụng kinh tế Giá trị biên tế (Marginal quantity) Sản lượng biên (Marginal quantity), kí hiệu MQ, đại lượng đo thay đổi sản lượng lao động hay vốn tăng thêm đơn vị √ Ví dụ: Hàm sản xuất doanh nghiệp Q = f(L) = L Tìm MQ L = 100 5 , MQ = (Q)L = √ ⇒ MQ(100) = √ = 0, 25 100 L Chi phí biên (Marginal cost), kí hiệu MC(Q), đại lượng đo thay đổi chi phí C Q tăng thêm đơn vị Ví dụ: Hàm chi phí sản xuất sản phẩm TC = 0, 0001Q3 − 0, 02Q2 + 5Q + 100 Tìm MC Q = 50 , MC = (TC)Q = 0, 0003Q − 0, 04Q + MC = 3, 75 32 Ứng dụng kinh tế Giá trị biên tế (Marginal quantity) Doanh thu biên (Marginal Revenue), kí hiệu MR, đại lượng đo thay đổi doanh thu sản lượng tăng thêm đơn vị Ví dụ: Một sản phẩm thị trường có hàm cầu Q = 1000 − 14P Tìm MR P = 30 P = 40 Hàm doanh thu: TR = PQ = P(1000 − 14P) = 1000P − 14P2 , MR = (TR)P = 1000 − 28P⇒ MR(30) = 160; MR(40) = −120 Hàm lợi nhuận: π = TR − TC = PQ − (FC + VC) Lợi nhuận biên đại lượng đo thay đổi lợi nhuận giá tăng thêm đơn vị hay sản lượng tăng thêm đơn vị Ví dụ: Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thông tin có sau: - Hàm cầu P = 600 − 2Q - Hàm chi phí TC = 0, 2Q2 + 28Q + 200 Tìm Mπ sản lượng Q = 150 Giải Ta có: TR = PQ = (600 − 2Q)Q = 600Q − 2Q2 Hàm lợi nhuận: π = TR − TC = −0, 2Q2 + 572Q − 200 Mπ = −0, 4Q + 572 ⇒ Mπ(150) = 512 Ứng dụng kinh tế Độ co dãn (Elasticity) Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) Hệ số co dãn y theo x kí hiệu εyx , εyx = ∆y/y ∆x/x đó, ∆y/y lượng thay đổi tương đối y, ∆x/x lượng thay đổi tương đối x Ý nghĩa: Hệ số co dãn cho biết lượng thay đổi tương đối (%) y x thay đổi 1% Khi ∆x nhỏ (∆x → 0), giá trị biên tế tính xấp xĩ đạo hàm y theo x, tức dy/y x εyx ≈ = f (x) dx/x y Ứng dụng kinh tế Độ co dãn (Elasticity) Độ co dãn cầu theo giá, kí hiệu ED , đại lượng đo thay đổi tương đối (%) lượng cầu giá tăng 1% ED = ∆QD /QD % lượng thay đổi lượng cầu ∆QD P = = ∆P/P ∆P QD % lượng thay đổi giá ED ≈ f (P) P với QD = f(P) QD Trong trường hợp hàm cầu, QD = f(P) = aP + b với a < 0, b > 0, ED = a P QD Ví dụ: Hàm cầu sản phẩm QD = f(P) = 30 − 4P − P2 P P Hệ số co dãn cầu theo giá ED = f (P) = (−4 − 2P) QD QD Tại mức giá P = 3, ta có: ED = (−4 − 6) 39 = −3, 33 Điều có nghĩa là: mức giá P = 3, tăng giá lên 1% lượng cầu giảm 3, 33% Ứng dụng kinh tế Độ co dãn (Elasticity) Độ co dãn cung theo giá, kí hiệu ES , đại lượng đo thay đổi tương đối (%) lượng cung giá tăng 1% ES = % lượng thay đổi lượng cung ∆QS /QS ∆QS P = = ∆P/P ∆P QS % lượng thay đổi giá ES ≈ f (P) P với QS = f(P) QS Trong trường hợp hàm cầu, QS = f(P) = cP + d với c > 0, d > 0, ES = c P QS Ví dụ: Hàm cung sản phẩm QS = f(P) = 100P − P 100P Hệ số co dãn cầu theo giá ED = f (P) = QS 100P − 100.0, Tại mức giá P = 0, 9, ta có: ED = = 1, 06 100.0, − Điều có nghĩa là: mức giá P = 0, 9, tăng giá lên 1% lượng cung tăng 1, 06% 36 Ứng dụng kinh tế Tối ưu kinh tế Các toán kinh tế thường với mục đích tối ưu hóa hàm mục tiêu y = f(x), tức chọn x để y đạt giá trị lớn đặt giá trị nhỏ Lợi nhuận tối đa Lợi nhuận π = TR − TC đạt giá trị cực đại Ví dụ: Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thông tin có sau: - Hàm cầu P = 600 − 2Q - Hàm chi phí TC = 0, 2Q2 + 28Q + 200 a) Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa, giá bán lợi nhuận đạt bao nhiêu? b) Nếu đơn vị sản lượng Q, công ty phải nộp thuế 22 đơn vị tiền tệ sản lượng giá bán để công ty đạt lợi nhuận tối đa? Khi lợi nhuận bao nhiêu? Giải a) Ta có: TR = PQ = (600 − 2Q)Q = 600Q − 2Q2 Hàm chi phí TC = 0, 2Q2 + 28Q + 200 Hàm lợi nhuận: π = TR − TC = −0, 2Q2 + 572Q − 200 π tối đa ⇔ MR = MC ⇔ 300 − P = 0, 4Q + 28 ⇔ Q = 130 Khi đó, giá bán P = 600 − 2.130 = 340; π = 36.980 Ứng dụng kinh tế Tối ưu kinh tế b) Ta có: TR = PQ = (600 − 2Q)Q = 600Q − 2Q2 Hàm chi phí TC = 0, 2Q2 + 28Q + 200 + 22Q = 0, 2Q2 + 50Q + 200 Hàm lợi nhuận: π = TR − TC = −0, 2Q2 + 594Q − 200 + 22Q π tối đa ⇔ MR = MC ⇔ 300 − P = 0, 4Q + 50 ⇔ Q = 125 Khi đó, giá bán P = 600 − 2.125 = 350; π = 34.175 Nhận xét: Khi sản phẩm phải đóng thuế 22 đơn vị tiền tệ, giá tăng từ 340 đến 350 (tăng 3%), tức người tiêu dùng phải chịu 10 nhà sản xuất chịu 12 lợi nhuận giảm từ 36.980 xuống 34.175 (giảm 7, 6%) (Bài toán tìm sản lượng để doanh nghiệp độc quyền có lợi nhuận cao nhất) Giá sử doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại hàng hóa, biết hàm cầu doanh nghiệp mặt hàng QD = D(P), hàm tổng chi phí C = C(Q) Hãy xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại Ví dụ: Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất loại hàng hóa với QD = 656 − P hàm chi phí C(Q) = Q3 − 77Q2 + 1000Q + 100 Tìm mức sản lượng để doanh nghiệp có lợi nhuận cao 38 [...]... x5 x7 + − + + + x (2k + 1)! (2k + 3)! 3! 5! 7! Ứng dụng của đạo hàm Công thức Taylor Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp x2 x3 xn 1) ex = 1 + x + + + ··· + + 0(xn ) 2! 3! n! x2 x3 xn 2) ln(1 + x) = x − + − · · · + (−1)n−1 + 0(xn+1 ) 2 3 n x3 x5 x2n+1 3) sinx = x − + − · · · + (−1)n + 0(x2n+1 ) 3! 5! (2n + 1)! x2 x4 x2n 4) cosx = 1 − + − · · · + (−1)n + 0(x2n +2 ) 2! 4! (2n)! α (α − 1) · · ·... hoặc 0 ∞ Ví dụ Tính giới hạn lim+ xα ln x ; α > 0 x→0 Ví dụ Tính giới hạn lim x→0 1 − cot2 x x2 Giải Ta có lim x→0 1 sin2 x − x2 cos2 x 2 − cot x = lim x→0 x2 x2 sin2 x (sin x + x cos x) (sin x − x cos x) = lim x→0 x x3 sin x − x cos x = 2 lim x→0 x3 cos x − cos x + x sin x sin x 2 = 2 lim = 2 lim = x→0 x→0 3x 3x2 3 Ứng dụng của đạo hàm Quy tắc L’Hospital Khử dạng vô định 00 ; 1∞ ; ∞0 Nếu lim f(x)g(x)... x4 ) √ c) y = ln2 x + 1 + cot 3x 1 + x2 1 − x3 2 x −1 e) y = ln x f) y = (x2 + 1)sin x d) y = ln 4 Các công thức đạo hàm cơ bản Đạo hàm của hàm số Đạo hàm cấp cao Định nghĩa - Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x thì ta nói f(x) có đạo hàm cấp 1 tại x Kí hiệu f (x) - Đạo hàm (nếu có) của đạo hàm cấp 1 được gọi là đạo hàm cấp 2 của f(x) tại x Kí hiệu f (x) - Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp n − 1 của f(x)... ex d(x3 ) + x3 d(ex ) = 3x2 ex dx + x3 ex dx = x2 ex (x + 3)dx 16 Vi phân của hàm số Vi phân cấp cao và ứng dụng vi phân vào tính gần đúng Định nghĩa (Vi phân cấp cao) Vi phân cấp n của hàm số y = f(x) là vi phân của vi phân cấp n − 1 của f(x), kí hiệu là dn f(x) dn y = d(dn−1 y) dn f(x) = d(dn−1 f(x)) = f (n) (x)dxn Một số quy tắc tính vi phân cấp cao 1) dn (cu) = cdn u 2) dn (u + v) = dn u + dn v... (0) 2 f (n) (0) n f (n+1) (c) n+1 x+ x + + x + x 1! 2! n! (n + 1)! Ứng dụng của đạo hàm hay ex = 1 + x + Công thức Taylor x2 xn eθx xn+1 + + + 2! n! (n + 1)! Ví dụ Viết khai triển Maclaurin của hàm số f(x) = sin x Giải Ta có f (n) (x) = sin x + n =⇒ f (n) (0) = sin n π 2 π = 2 0 (−1)k nếu n = 2k nếu n = 2k + 1 Khi đó,với θ ∈ (0, 1), ta có khai triển Maclaurin sin x = x − (−1)k x2k+1 (−1)k+1 cos θx 2k+3... thông tin có được như sau: - Hàm cầu là P = 600 − 2Q - Hàm chi phí là TC = 0, 2Q2 + 28 Q + 20 0 Tìm Mπ khi sản lượng Q = 150 Giải Ta có: TR = PQ = (600 − 2Q)Q = 600Q − 2Q2 Hàm lợi nhuận: π = TR − TC = −0, 2Q2 + 572Q − 20 0 Mπ = −0, 4Q + 5 72 ⇒ Mπ(150) = 5 12 Ứng dụng trong kinh tế Độ co dãn (Elasticity) Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) Hệ số co dãn của y theo x được kí hiệu là εyx , là εyx = ∆y/y ∆x/x trong... 14P) = 1000P − 14P2 , MR = (TR)P = 1000 − 28 P⇒ MR(30) = 160; MR(40) = − 120 Hàm lợi nhuận: π = TR − TC = PQ − (FC + VC) Lợi nhuận biên là đại lượng đo sự thay đổi của lợi nhuận khi giá tăng thêm 1 đơn vị hay sản lượng tăng thêm 1 đơn vị Ví dụ: Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thông tin có được như sau: - Hàm cầu là P = 600 − 2Q - Hàm chi phí là TC = 0, 2Q2 + 28 Q + 20 0 Tìm Mπ khi sản... sin(ax + n 2 ) π (n) 6) (cos(ax)) = an · cos(ax + n ) 2 (n) 4) (ln x) = (−1)n−1 · α 7) (ax + b) (n) α−n = α · (α − 1) · · · (α − n + 1) (ax + b) (n − 1)! · an (ax + b)n π (n) 9) (sin(ax + b)) = an · sin(ax + b + n ) 2 π (n) n 10) (cos(ax + b)) = a · cos(ax + b + n ) 2 (n) 8) (ln(ax + b)) = (−1)n−1 · 13 · an Đạo hàm của hàm số Đạo hàm cấp cao Ví dụ Tính f (100) (1) của hàm số f(x) = (3x2 + 1) ln x... trị theo đạo hàm cấp cao) Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục đến cấp n(n ≥ 2) trong một khoảng chứa x0 và f (x0 ) = f (x0 ) = = f (n−1) (x0 ) = 0; f (n) (x0 ) 0 Khi đó, i) Nếu n là số chẵn thì x0 là điểm cực đại nếu f (n) (x0 ) < 0 x0 là điểm cực tiểu nếu f (n) (x0 ) > 0 ii) Nếu n là số lẻ thì x0 không là điểm cực trị của x0 Trường hợp n = 2 Điều kiện đủ có cực trị theo đạo hàm cấp 2: f (x0 ) = 0... điểm cực đại của f(x) f (x0 ) < 0 f (x0 ) = 0 ⇒ x0 là điểm cực tiểu của f(x) f (x0 ) > 0 29 Ứng dụng của đạo hàm Cực trị của hàm số Ví dụ Khảo sát sự biến thiên và tìm cực trị của hàm số: x2 − 2x + 1 a) y = x2 + 1 √ b) y = (x − 2) 3 x Ví dụ Tìm GTLN và GTNN của hàm số: a) y = x3 − 3x2 + 4 trên [−1; 4] b) y = x2 lnx trên [1; e] 30 Ứng dụng trong kinh tế Giá trị biên tế (Marginal quantity) Định nghĩa ... − 2Q)Q = 600Q − 2Q2 Hàm chi phí TC = 0, 2Q2 + 28 Q + 20 0 + 22 Q = 0, 2Q2 + 50Q + 20 0 Hàm lợi nhuận: π = TR − TC = −0, 2Q2 + 594Q − 20 0 + 22 Q π tối đa ⇔ MR = MC ⇔ 300 − P = 0, 4Q + 50 ⇔ Q = 125 ... hàm x0 = hàm số y = f(x) = x2 + 3x Giải: f(x) − f (2) (x2 + 3x) − (22 + 3 .2) = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x + 3x − 10 = lim = lim (x + 5) = x 2 x 2 x 2 f (2) = lim Vậy f (2) = Đạo hàm hàm số Định nghĩa... (600 − 2Q)Q = 600Q − 2Q2 Hàm chi phí TC = 0, 2Q2 + 28 Q + 20 0 Hàm lợi nhuận: π = TR − TC = −0, 2Q2 + 572Q − 20 0 π tối đa ⇔ MR = MC ⇔ 300 − P = 0, 4Q + 28 ⇔ Q = 130 Khi đó, giá bán P = 600 − 2. 130