Bài giảng toán cao cấp chương 2 ths nguyễn phương

Chương 2:ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục cơ bản Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong

Chương 2:

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản

Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com

Yahoo: nguyenphuong1504

Ngày 17 tháng 2 năm 2014

Cho hàm số y = f(x) xác định trong lân cận (a, b), x0∈ (a, b).Kí hiệu:

∆x = x − x0: số gia của đối số (lượng thay đổi của x từ x0 đến x)

∆y = ∆f(x0) = f(x) − f(x0) = f(x0+ ∆x) − f(x0): số gia của hàm số f(x)(lượng thay đổi của f(x) khi x thay đổi lượng ∆x)

Ví dụ Tính đạo hàm tại x0= 2 của hàm số y = f(x) = x2+ 3x

Định nghĩa

Hàm f(x) được gọi là cóđạo hàm bên phải tại x0, kí hiệu f0

+(x0), nếu tồn tạigiới hạn

−(x0), nếu tồn tạigiới hạn

có đạo hàm tại x0= 0.

2

Các công thức đạo hàm của hàm sơ cấp

y0 = f0(u).u0

Các công thức đạo hàm của hàm hợp

1) (arcsin x)0= √ 1

1 − x2, x , ±12) (arccos x)0= −√ 1

Một số công thức tính đạo hàm cấp cao

1) (x + a)α(n)=α · (α − 1) · · · (α − n + 1) (x + a)α−n2)

8) (ln(ax + b))(n) = (−1)n−1· (n − 1)!

(ax + b)n · an

9) (sin(ax + b))(n)= an· sin(ax + b + nπ

2)10) (cos(ax + b))(n)= an· cos(ax + b + nπ

2)

Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) được gọi khả vi tại x0∈ Df nếu

∆f(x0) = f(x0+ ∆x) − f(x0) có thể biểu diễn dưới dạng

∆f(x0) = A.∆x + 0(∆x)với A là hằng số và 0(∆x) là VCB cấp cao hơn ∆x khi ∆x → 0

Khi đó, A.∆x được gọi là vi phân (cấp 1) của hàm số y = f(x) tại x0 Ký hiệudf(x0) hay dy(x0)

Tính chất (Vi phân của tổng, tích và thương)

Từ công thức tính đạo hàm tổng, tích và thương của hai hàm số, ta có:1) d(ku) = kdu

Định nghĩa (Vi phân cấp cao)

Vi phân cấp n của hàm số y = f(x) là vi phân của vi phân cấp n − 1 của f(x),

Ví dụ: Tính gần đúng √4

15, 8Giải Xét hàm số f(x) = √4

x và x0= 16, ∆x = −0, 2 Ta cóf(x0+ ∆x) ≈ f(x0) + f0(x0)∆x = f(16) + f0(16)(−0, 2) = 1, 9938

Suy ra, √4

15, 8 ≈ 1, 9938

Định lý Rolle

Nếu f(x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và f(a) = f(b) thì

∃c ∈ (a, b) : f0

(c) = 0

Định lý Lagrange - Định lý giá trị trung bình

Nếu f(x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) thì

∃c ∈ (a, b) : f0

(c) = f(b) − f(a)

b − a , a , bĐịnh lý Cauchy

Nếu f(x), g(x) liên tục trên [a, b], khả vi trên (a, b) và g0

Định lý (Công thức khai triển Taylor tại x0)

Giả f(x) xác định trong [a, b] và f(x) có đạo hàm cấp n + 1 trên (a, b) Khi đó,với mọi x0∈ (a; b) thì ta có thể khai triển f(x) dưới dạng sau:

Rn(x; x0) được gọi là phần dư bậc n của khai triển Taylor

n+1

với c nằm giữa x và x0

Khai triển Taylor của hàm số tại x0= 0 được gọi là khai triển Maclaurin.

Khai triển Maclaurin với phần dư Peano:

k+f

(n+1)(c)(n + 1)! x

f(x) = 1 +f

0(0)1! x +

f00(0)2! x

2+ +f(n)(0)

n! x

n+f

(n+1)(c)(n + 1)!x

=⇒ f(n)(0) = sin



nπ2

2k+3

Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp

0 hoặc

∞

∞.ii) Giới hạn lim

x→x0

f0(x)

g0(x) tồn tạithì lim

sin x6x = limx→0

cos x

16

24

Khử dạng vô định 0.∞ và ∞ − ∞: dùng phép biến đổi đưa về dạng 0

Định lý (Điều kiện cần)

Nếu hàm số f(x) không giảm trên (a; b) (không tăng trên (a; b)) và f(x) khả vithì f0(x) ≥ 0 (f0(x) ≤ 0)

Định lý (Điều kiện đủ)

Cho hàm số f(x) khả vi trong khoảng (a; b)

Nếu tại mọi x ∈ (a; b) mà đạo hàm:

f0(x)> 0 thì f(x) tăng trong (a; b)

f0(x)< 0 thì f(x) giảm trong (a; b)

f0(x) = 0 thì f(x) là hàm hằng trong (a; b)

Định lý (Định lí Fermat - Điều kiện cần của cực trị)

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) Nếu f(x) đạt cực trị tại

x0∈ (a; b) và có đạo hàm tại x0thì f0(x0) = 0

Định lý (Điều kiện đủ có cực trị theo đạo hàm bậc nhất)

Giả sử x0là điểm tới hạn của hàm số f(x) và hàm số có đạo hàm trong khoảng(x0−δ, x0), (x0, x0+δ) với δ > 0 Khi đó:

i) Nếu đạo hàm f0(x) đổi dấu từ dương (+) sang âm (-) khi qua x0thì f(x)đạt cực đại tại x0

ii) Nếu đạo hàm f0(x) đổi dấu từ âm (-) sang dương (+) khi qua x0thì f(x)đạt cực tiểu tại x0

iii) Nếu đạo hàm f0(x) không đổi dấu khi qua x0 thì x0 không là điểm cực trịcủa f(x)

Định lý (Điều kiện đủ có cực trị theo đạo hàm cấp cao)

Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục đến cấp n(n ≥ 2) trong một khoảng chứa

x0 và f0(x0) = f00(x0) = = f(n−1)(x0) = 0; f(n)(x0) , 0 Khi đó,

i) Nếu n là số chẵn thì

x0 là điểm cực đại nếu f(n)(x0)< 0

x0 là điểm cực tiểu nếu f(n)(x0)> 0

ii) Nếu n là số lẻ thì x0 không là điểm cực trị của x0

Trường hợp n = 2 Điều kiện đủ có cực trị theo đạo hàm cấp 2:

Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) Giá trị biên tế của y theo x tại x0, kí hiệu là Mxy(x0), làlượng thay đổi tuyệt đối của biến phụ thuộc y khi biến độc lập x thay đổi 1đơn vị

∆y = f(x0+ ∆x) − f(x0) ≈ f0(x0)∆xkhi ∆x rất nhỏ, ∆y chỉ lượng thay đổi tuyệt đối của y, ∆x chỉ lượng thay đổituyệt đối của x

Khi ∆x rất nhỏ (∆x → 0), giá trị biên tế được tính xấp xĩ là đạo hàm của ytheo x, tức là

Mxy(x0) ≈ f0(x0)

Sản lượng biên (Marginal quantity), kí hiệu là MQ, là đại lượng đo sự thay đổicủa sản lượng khi lao động hay vốn tăng thêm 1 đơn vị.

Ví dụ: Hàm sản xuất của một doanh nghiệp là Q = f(L) = 5

√L

Doanh thu biên (Marginal Revenue), kí hiệu là MR, là đại lượng đo sự thayđổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị.

Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là Q = 1000 − 14P Tìm MRkhi P = 30 và P = 40 Hàm doanh thu:

Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) Hệ số co dãn của y theo x được kí hiệu làεyx, là

εyx= ∆y/y

∆x/xtrong đó, ∆y/y chỉ lượng thay đổi tương đối của y, ∆x/x chỉ lượng thay đổitương đối của x

Ý nghĩa: Hệ số co dãn cho biết lượng thay đổi tương đối (%) của y khi x thayđổi 1%

Khi ∆x rất nhỏ (∆x → 0), giá trị biên tế được tính xấp xĩ là đạo hàm của ytheo x, tức là

εyx≈ dy/y

dx/x = f

0

(x)xy

Độ co dãn của cầu theo giá, kí hiệu là ED, là đại lượng đo sự thay đổi tươngđối (%) của lượng cầu khi giá tăng 1%.

ED=% lượng thay đổi của lượng cầu

% lượng thay đổi của giá =

Điều này có nghĩa là: tại mức giá P = 3, nếu tăng giá lên 1% thì lượng cầugiảm 3, 33%

Độ co dãn của cung theo giá, kí hiệu là ES, là đại lượng đo sự thay đổi tươngđối (%) của lượng cung khi giá tăng 1%.

ES= % lượng thay đổi của lượng cung

% lượng thay đổi của giá =

100.0, 9 − 5 = 1, 06Điều này có nghĩa là: tại mức giá P = 0, 9, nếu tăng giá lên 1% thì lượng cungtăng 1, 06%

Các bài toán trong kinh tế thường với mục đích tối ưu hóa một hàm mục tiêu

y = f(x), tức là chọn x để y đạt giá trị lớn nhất hoặc đặt giá trị nhỏ nhất

Lợi nhuận tối đa.Lợi nhuận π = TR − TC đạt giá trị cực đại

Ví dụ: Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thông tin có đượcnhư sau:

b) Ta có: TR = PQ = (600 − 2Q)Q = 600Q − 2Q2

Hàm chi phí là TC = 0, 2Q2+ 28Q + 200 + 22Q = 0, 2Q2+ 50Q + 200Hàm lợi nhuận:π = TR − TC = −0, 2Q2+ 594Q − 200 + 22Q

π tối đa ⇔ MR = MC ⇔ 300 − P = 0, 4Q + 50 ⇔ Q = 125

Khi đó, giá bán P = 600 − 2.125 = 350; π = 34.175

Nhận xét: Khi mỗi sản phẩm phải đóng thuế 22 đơn vị tiền tệ, thì giá tăng từ

340 đến 350 (tăng 3%), tức là người tiêu dùng phải chịu 10 còn nhà sản xuấtchịu 12 và lợi nhuận giảm từ 36.980 xuống 34.175 (giảm 7, 6%)

(Bài toán tìm sản lượng để doanh nghiệp độc quyền có lợi nhuận cao nhất)Giá sử một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại hàng hóa, biết hàm cầucủa doanh nghiệp đối với mặt hàng đó là QD= D(P), hàm tổng chi phí là

C = C(Q) Hãy xác định mức sản lượng mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợinhuận cực đại

Ví dụ: Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng hóa với

QD= 656 −1

2P và hàm chi phí C(Q) = Q

3− 77Q2+ 1000Q + 100 Tìm mứcsản lượng để doanh nghiệp có lợi nhuận cao nhất