Bài giảng và bài tập Toán cao cấp B3

5.2 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần : Δ tồn tại hữu hạn thì giới hạn này được gọi là đạo hàm riêng theo biến x của hàm fx,y tại điểm xo,yo , ký hiệu : f’xxo,yo hoặc x0,y0 x f ∂ ∂Tư

CHƯƠNG 5 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

2 1

lim ( , )

x y

lim ( , )

x y

Xét tính liên tục của hàm số f tại (0,0)

5.2 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần :

Δ tồn tại hữu hạn thì giới hạn này được

gọi là đạo hàm riêng theo biến x của hàm f(x,y) tại điểm (xo,yo) , ký hiệu : f’x(xo,yo) hoặc (x0,y0)

x

f

∂

∂Tương tự ,ta có đạo hàm riêng theo biến y của hàm f(x,y) là :

Ghi Chú : Tính đạo hàm riêng của hàm nhiều biến thực chất là tính đạo

hàm theo một biến còn các biến kia không đổi

Ví dụ 1 : Cho f(x,y) = x2 + 3xy + 2y2 + 4x -5y +10 Tìm

y

f x

Ví dụ 2 : Cho z =excosy Tìm

y

z x

Ví dụ 3 : Cho f(x,y,z) = xsin(yz+z3) Tìm f

5.2.2 Vi phân toàn phần :

Cho hàm số u = f (x,y) xác định trên miền D ⊂ R2, Mo(xo,yo)∈ D

Vi phân tòan phần của f(x,y) tại (xo,yo) :

df(xo,yo) = f’x(xo,yo) dx + f’y(xo,yo)dy

df(x,y) = f’x(x,y) dx + f’y(x,y)dy hay

df = f’x dx + f’ydy Tổng quát : u = f(x1, x2,…, xn)

1

f dx x

∂

2

f dx x

∂

n

f dx x

∂

∂

Ví dụ : Tìm vi phân toàn phần của hàm số :

a) f(x,y) = x4 + 3xy + 2y2 + arctgx

b) f(x,y) = arctg

y x

y x

−+

Đạo hàm và vi phân cấp cao :

1 Đạo hàm riêng cấp cao :

Đạo hàm riêng cấp hai là đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một Hàm hai biến z = f(x,y)có các đạo hàm riêng cấp hai sau :

'' '' 2

f x

f y

f

∂

∂+

∂

∂

∂

dy y

f dx x

f d

= 2

2

2

dx x

f

∂

∂Nếu đạo hàm hỗn hợp bằng nhau thì ta có :

d2f = 2

2

2

dx x

y

f

∂

∂(xo, yo)= 0

y

f

∂

∂(xo, yo) = 0 thì Mo (xo, yo) được

gọi là điểm dừng của hàm f(x, y)

Ghi chú : Điểm cực trị là điểm dừng nhưng ngược lại chưa chắc đúng

y x

f

∂

∂

∂ 2(xo, yo) , C = 22

• A > 0 : Mo(xo, yo) là điểm cực tiểu

• A < 0 : Mo(xo, yo) là điểm cực đại

* AC – B 2 < 0 : M0 (xo, yo) không phải là điểm cực trị

* AC – B 2 = 0 : Chưa kết luận được

* Cho hàm 2 biến u = f(x,y) Cực trị của hàm f(x,y) thỏa điều kiện

φ(x,y) = 0 được gọi là cực trị có điều kiện

* Phương pháp tìm cực trị có điều kiện :

1.Trường hợp 1 : Nếu từ điều kiện φ(x,y) = 0 ta suy ra được y = y(x) thì thay vào hàm u=f(x,y) ta được hàm một biến u=f(x,y(x)) Từ đó ,ta tìm cực trị của hàm một biến thông thường

Ví dụ : Tìm cực trị của hàm z = f(x,y) = 1−x2 −y2 với điều kiện

x + y – 1 = 0

2.Trường hợp 2 : Nếu từ điều kiện φ(x,y) = 0 ta không suy ra được y

= y(x) thì ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange như sau :

• Tìm các điểm dừng Mo(xo,yo) bằng cách giải hệ phương trình :

∂

0),(

00

ϕ

ϕλ

ϕλ

( λ : nhân tử Lagrange)

• Lập hàm Lagrange : L(x,y,λ) = f(x,y) +λφ(x,y)

Xét vi phân toàn phần cấp 2 của hàm Lagrange :

L

∂

∂

∂ 2dxdy + 22

ƒ d2L ≥ 0 : Mo(xo,yo) là điểm cực tiểu

ƒ d2L ≤ 0 : Mo(xo,yo) là điểm cực đại

Ví dụ : Tìm cực trị của hàm f(x,y) = x + 2y với điều kiện

φ(x,y) = x2 + y2 - 5 = 0

CHƯƠNG 6 : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

6.1 TÍCH PHÂN KÉP :

6.1.1 Khái niệm tích phân kép :

1 Định nghĩa tích phân kép :

Cho hàm số f(x,y) xác định trên miền đóng, bị chặn D

• Chia miền D một cách tùy ý thành n mảnh nhỏ có diện tích

) , 1

S i = Δ

• Trong mỗi mảnh, lấy 1 điểm tùy ý Mi (xi,yi) (i=1,n)

được gọi là TỔNG TÍCH PHÂN của hàm

số f(x,y) trong miền D

f( , )

o D : miền lấy tích phân

o f(x,y) : hàm dưới dấu tích phân

o dS : yếu tố diện tích

Ghi chú :

• Tích phân kép tồn tại thì hàm số f(x,y) gọi là khả tích trên miền D

• Nếu chia miền D bằng 2 họ đường thẳng song song với các trục tọa độ thì

,()

,(

D

dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f

(4) Nếu f(x,y) ≤ g(x,y) ,∀(x,y)∈D thì ∫∫ ≤∫∫

dxdy y x g dxdy y x

f( , ) với S là diện tích của miền D

(6) Nếu f(x,y) liên tục trong miền bị chặn D thì trong D có ít nhất một điểm ( y x, )sao cho f x y dxdy f x y S

D

).

, ( )

, (

∫∫ = với S là diện tích của miền D

b a

d c

b a

d c

dx y x f dy dy y x f dx dx dy y x

x3 2 với D , D xác định bởi : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2

ĐS:

3

32

Ví dụ 3 : I = ∫∫D x+ y

dxdy

2)( với D là hình vuông xác định bởi : 1 ≤ x ≤ 2 , 1 ≤ y ≤ 2 ĐS: ln

89

b/ Miền lấy tích phân là miền bất kỳ :

™ D={(x,y)∈R2 /a≤x≤b,y1(x)≤ y≤ y2(x)} với y1 (x) và y2(x) liên tục

trên [a,b]

I = ∫ ∫a b

x y x

dx ( )

) (

2 1

),

dy ( )

) (

2 1

),(

™ D giới hạn trong hình chữ nhật có các cạnh xác định bởi a ≤ x ≤ b ,

c ≤ y ≤ d

P N

M): y = y1 (x) ,M Q)P

: y = y2(x)

Q M

N ) : x= x

1(y) ,N P)Q: x = x

2(y)

I = ∫ ∫b a

x y x

dx ( )

) (

2 1

),( = ∫ ∫d

c

y x y

dy ( )

) (

2 1

),(

Ví dụ 1 : Tính I = ∫∫D f(x,y)dxdy với D là miền xác định bởi x = 1 , x = 2,

y = 2, 2

2

1

x y

x = và f(x,y) =xy ĐS:

16

63

Ví dụ 2 : Tính I = ∫∫D f(x,y)dxdy với D là miền xác định bởi y = x ,y = x+1,

a

d c

b a

d

c g y dy dx

x f dy y g x f

Ví dụ : I = ∫ ∫1

0

2 1

2dy xy dx

c/Đổi biến số trong tích phân kép :

Cho tích phân kép ∫∫D f(x,y)dxdy. Giả sử tồn tại hàm 2 biến x = x(u,v) và

y =y(u,v) có các đạo hàm riêng liên tục trên miền D’ của mpO’uv sao cho tương ứng (u,v) a(x,y) là một song ánh từ D’ đến D và định thức Jacobi khác 0 Định thức Jacobi :

J = '' ''

v u

v u y y

x x

Ta có công thức đổi biến số trong tích phân kép :

cos

r y

r x

1 ( cos , sin ))

,(

sin

sincos

≠

=

−

r r

r

ϕϕ

ϕϕ

Thể tích của vật thể hình trụ m mặt xung quanh l mặt trụ có đường sinh song song với Oz, đáy là miền D trong mặt phẳng Oxy, phía trên giới hạn bởi mặt cong z =f(x,y) , f (x,y)≥ 0 và liên tục trên D cho bởi công thức :

x ), (

ρ

ρ (x,y ) : khối lượng riêng của bản phẳng tại M(x,y)

Ví dụ : Tính khối lượng của bản phẳng choán miền D xác định bởi :

x2 + y2 –R2 ≤ 0, x≥ 0, y≥ 0 biết rằng khối lượng riêng là ρ(x,y ) = xy

b) Moment quán tính của bản phẳng :

Ví dụ 1 : Tính moment quán tính đối với gốc O của miền tròn D xác

định bởi x2 +y2-2Rx ≤ 0, biết khối lượng riêng ρ(x,y) = x2 + y2

Ví dụ 2 : Tính moment quán tính đối với trục 0y của miền D xác định bởi

2 1

2 2

2

≤+

b

y a

dxdy y x x

) , (

) , (

dxdy y x y

) , (

) , (

ρρ

Nếu bản phẳng đồng chất thì ρ không đổi ,ta có :

x G = ∫∫

D

xdxdy S

1

, y G = ∫∫

D

ydxdy S

* Chia miền V một cách tuỳ ý thành n miền nhỏ có thể tích là ΔVi (i = 1,n)

* Trong mỗi miền nhỏ Δ Vi lấy một điểm tuỳ ý Mi (xi, yi, zi)

* Tổng In = ∑

=

Δ

n i

i i i

x f

1

)

,,( được gọi là tổng tích phân của hàm f(x, y, z) trên miền V

điểm Mi thì nó được goi là TÍCH PHÂN BỘI BA của hàm f(x, y, z)

trên miền V

Ký hiệu : ∫∫∫

V

dV z y x

f( , , )

Ghi chú :

* Nếu tích phân bội ba tồn tại, ta nói hàm f(x, y, z) khả tích trên miền V

* Nếu chia miền V bằng những họ mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ thì dV = dxdydz nên ta có :

dxdydz z

y x f dV z y x

f ( , , ) ( , , )

* Tích phân bội ba cũng có các tính chất tương tự như tích phân kép

2 Định lý : Nếu f(x, y, z) liên tục trên miền đóng, bị chặn V thì khả

y x

f( , , )

• Nếu miền V được giới hạn bởi các mặt z = z1(x, y), z = z2 (x, y) trong đó

z1, z2 là những hàm liên tục trong miền D, D là hình chiếu của miền V trên mặt phẳng Oxy thì ta có :

=

D

y x z y x z

dz z y x f dxdy I

) , ( ) , (

),,(

2

1

• Nếu miền D được giới hạn bởi các đường y = y1 (x), y = y2 (x) trong đó

y1, y2 là những hàm liên tục trên đoạn [a, b] thì ta có :

I =∫ ∫( ) ∫

) (

) ( ) , (

2

1 2

1

),,(

x y

x y

y x z

y z

b a

dz z y x f dy

Ví Dụ 3 : Tính I = ∫∫∫

V zdxdydzvới V là nửa hình cầu giới hạn bởi mặt phẳng

y x

f ( , , )

x = x (u, v, w) trong đó y = y (u, v, w)

z = z (u, v, w) Giả sử :

* Các hàm x, y, z theo 3 biến u, v, w là những hàm số liên tục cùng với đạo hàm riêng cấp 1 của chúng trong miền đóng V’ của không gian O’uvw

* Các công thức trên được xác định một song ánh từ miền V’ lên miền V của không gian Oxyz

Định thức Jacobi :

I = ( , , )

) , , (

w y u D

z y x D

=

w

z v

z u z

w

y v

y u y

w

x v

x u x

≠ 0 trong miền V’ trừ một số hữu hạn điểm

Khi đó ta có công thức đổi biến số :

I = ∫∫∫

'

V

f [x(u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)] ⎜J⎜ dudvdw

3 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ :

Toạ độ trụ của điểm M (x, y, z) trong không gian Oxyz là bộ ba (r, ϕ, z) Trong đó (r,ϕ) là tọa độ cực của hình chiếu vuông góc M’ của M trên mặt phẳng Oxy, z là tọa độ M theo trục z

Định thức Jacobi : J = 0

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

≠

=

−

r r

r

ϕϕ

ϕϕ

4.Tích phân bội ba trong tọa độ cầu :

Tọa độ cầu của điểm M(x, y, z) trong không gian Oxyz là bộ ba số (r, θ, ϕ) trong đó r = OM, ϕ =(Ox,OM )', θ = (Oz,OM), M’ l hình chiếu vuơng góc của M lên mặt phẳng Oxy

ϕθ

cos

sin sin

cos sin

r r r

Định thức Jacobi : J =

0 sin

cos

cos sin sin

cos sin

sin

sin sin cos

cos cos

sin

θθ

ϕθϕ

θϕ

θ

ϕθϕ

θϕ

θ

r

r r

r r

Ví dụ : Tính thể tích của khối giới hạn bởi các mặt parabolôit

b/ Tọa độ trọng tâm G của vật thể :

V G

V G

dxdydz z

y x z m z

dxdydz z

y x y m y

dxdydz z

y x x m x

),,(1

),,(1

),,(1

ρρρ

Nếu vật thể đồng chất thì ρ không đổi, ta có :

V G

V G

zdxdydz V

z

ydxdydz V

y

xdxdydz V

x

111

Ví Dụ :Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi mặt nón

z2 – x2 – y2 = 0 (z>0) và mặt cầu x2 + y2 + z2 = 1

CHƯƠNG 7 : TÍCH PHÂN ĐƯỜNG –TÍCH PHÂN MẶT

7.1.TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LỌAI 1 :

7.1.1 ĐỊNH NGHĨA :

Cho hàm số f(x, y) xác định trên 1 cung phẳng AB

* Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm A = A0, A1, , An = B Gọi độ dài cung Ai-1Ai là Δsi

*Trên cung nhỏ Ai-1Ai lấy 1 điểm tuỳ ý Mi(xi, yi)

* Lập tổng tích phân In =

1( , )

* Cung AB cho bởi phương trình : y = y(x) với a ≤ x ≤ b được gọi là cung

trơn nếu hàm số y = y(x) có đạo hàm liên tục trên [a,b]

* Cung AB cho bởi phương trình tham số

)(

t y y

t x x

( t1 ≤ t ≤ t2 ) được gọi

là cung trơn nếu hai hàm số x = x(t) và y = y (t) có đạo hàm liên tục trên

đoạn [ t1, t2 ]

* Định lý : Nếu hàm số f(x, y) liên tục trên cung trơn AB thì nó khả tích

trên cung này

7.1.2 Các tích phân đường loại 1 :

1 Nếu cung AB trơn ,được cho bởi phương trình y = y(x), a ≤ x ≤ b và f(x, y) liên tục trên AB thì :

+ = với x ≥ 0, y ≥ 0

7.2.TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LỌAI 2 :

7.2.1 Định nghĩa : Cho 2 hàm số P(x, y) và Q(x, y) xác định trên cung AB

* Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm : A = A0, A1, , An = B

* Gọi hình chiếu của vectơ uuuuurA A i−1 i

* Nếu n

∞

→lim tồn tại không phụ thuộc cách chia cung ABvà cách chọn Mi

thì được gọi là TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 của các hàm số P(x, y) và Q(x, y)

7.2.2 Cách tính tích phân đường lọai 2 :

Giả sử AB là cung trơn và các hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục trên cung AB

* Nếu cung AB được cho bởi phương trình : y = y(x), a là hoành độ của A,

b là hoành độ của B thì :

∫

AB

P(x, y) dx + Q(x, y) dy =∫b

a [P(x, y(x)) + Q(x, y(x)) y’(x)] dx

* Nếu cung AB được cho bởi phương trình tham số { ( )

) (

t x x t y y

=

= với các đầu mút A, B theo thứ tự ứng với các giá trị tA, tB của các tham số thì :

VD 3: Tính I = ∫

L

(x-y) dx + (x+y)dy với L là đường nối điễm O(0,0) với

điểm A(1,1) biết rằng đường L có phương trình :

a) y = x b) y = x2 c) y = x

Ghi chú :

*Tích phân đường loại 1 : chiều của đường lấy tích phân không quan trọng

* Tích phân đường loại 2 : phải chú ý chiều của đường lấy tích phân

* Trong trường hợp , L là đường cong khép kín , ta tính tích phân đường lọai 2 theo chiều dương của L

*Qui ước : Chiều dương của đường cong kín là chiều mà đi theo chiều đó ,ta thấy miền giới hạn ở bên trái

Cho hai hàm P(x,y) và Q(x,y) có đạo hàm riêng liên tục trong miền D và L

là biên của D, ta có công thức Green:

∫ +

L

dy y x Q dx y x

Hệ quả : Nếu L là đường biên kín của miền D thì diện tích S của miền D

cho bởi công thức :

L

dy y x dx y

2

=+

b

y a x

VD 3 : Sử dụng công thức Green tính:

I = ∫ − +

L

dy xy dx y

6 dx + (3x2+ y + 1) eydy không phụ thuộc vào đường lấy tích phân

VD 2: Chứng minh tích phân = ∫ − + +

AB

dy y x dx y x

I ( 3 ) ( 3 ) với A (1,1), B(2,3)

7.3 Tích phân mặt loại 1

7.3.1 Định nghĩa:

Cho hàm số f(x,y,z) xác định trên một mặt S

* Chia mặt S thành n mãnh nhỏ có diện tích là ΔSi (i= 1,n)

* Trên mỗi mảnh nhỏ chọn 1 điềm tùy ý Mi (xi , yi , zi)

* Lập tổng tích phân: In =

1( )

tồn tại mà không phụ thuộc vào cách chia mặt S và cách

chọn điểm Mi thì nó được gọi là tích phân mặt loại 1 của hàm số f (x,y,z)

trên mặt S

Ký hiệu : I = ∫∫

S

dS z y x

f( , , )

Ghi chú:

* Định lý : Nếu mặt S trơn (nghĩa là mặt S liên tục và có pháp tuyến biến

thiên liên tục) và hàm số f(x,y,z) liên tục trên S thì tích phân mặt loại 1 tồn tại

* Tích phân mặt loại I có các tính chất giống tích phân kép

7.3.2 Cách tính tích phân mặt loại 1 :

Giả sử mặt S cho bởi pt z = z(x,y) trong đó z(x,y) liên tục, có các đạo hàm riêng z’x và z’y liên tục trong miền đóng bị chặn D với D là hình chiếu của S xuống mặt phẳng Oxy

Nếu f (x,y,z) liên tục trên S thì ta có:

x I

7.3.3 Ứng dụng tích phân mặt loại 1:

1 Diện tích mặt:

S = ∫∫

S dS

∫∫ với ρ( , , )x y z là khối lượng riêng

3.Tọa độ trọng tâm của mặt:

Nếu mặt S đồng phẳng thì :

VD 1: Tính khối lượng của mặt cầu bán kính R nếu khối lượng riêng tại

mỗi điểm bằng bình phương khỏang cách từ đó đến một đường kính cố định nào

đó của mặt cầu (ρ( )M =R2−x2 )

VD 2: Tính tọa độ trọng tâm của phần mặt phẳng z= x giới hạn bởi các mặt

phẳng x + y = 1, y = 0, x = 0

7.4 Tích phân mặt loại 2:

7.4.1 Định nghĩa : Nếu hàm P(x,y,z), Q (x,y,z), R (x,y,z) liên tục trên mặt

S có định hướng thì tích phân mặt loại 2 của bộ ba hàm số đó là :

* Nếu đổi hướng của mặt S thì tích phân đổi dấu

* Tích phân mặt loại 2 có các tính chất giống tích phân kép

7.4.2 Cách tính tích phân mặt loại 2

Việc tính tích phân mặt loại 2 đưa về việc tính tích phân kép

Giả sử mặt S có phương trình z = z (x,y) liên tục, xác định trên D1 là hình chiếu của S trên mặt phẳng Oxy ta có:

∫∫ =∫∫

dxdy y x z y x R Rdxdy

1

)),(,,(

bán kính 1, nằm trong góc phần tám thứ nhất và có pháp vectơ hướng ra ngoài

VD 2: Tính =∫∫ + +

S

xzdxdy yzdzdx

Q dxdz x

R z

P dydz z

Q y R

VD: Tính ∫

L

y2dx+z2dy+x2dz trong đó L là chu tuyến tam giác ABC với

A(a,o,o), B(o,a,o), C(o,o,a) lấy theo chiều dương

VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

1 Tìm miền xác định :

a) f(x,y) =

2 2

2 24

)1ln(

y x

y x

−

−

−+

y x

+

− khi (x,y) →(0,0)

b) f(x,y) = 2 2

y xy x

y x

)0,0(),(0

)0,0(),(2 2 2

y x khi

y x khi y x

y x

4 Tính các đạo hàm riêng cấp 1 :

a) f(x,y) = x3+y3+x2y+xy2+xy b) f(x,y) = sinxcosy

c) f(x,y) = arcsin(x+3y) d) f(x,y) = arctg

x y

5 Tính vi phân toàn phần cấp 1 :

a) u = ex(cosy + xsiny) b) u = y

x e

c) u = x4+y4+xy3+x3y d) u = xey + yez + zex

6 Tính các đạo hàm riêng cấp 2 :

a) f(x,y) = xy2 + y x b) f(x,y) = xln(x +y)

c) f(x,y) = sin(xy) d) f(x,y) = x2+xy+y2 – lnx – lny

7 Tìm cực trị của các hàm số :

a) f(x,y) = (x – 1)2 + 2y2 b) f(x,y) = x3 – 3xy + y3

c) f(x,y) = x2 + y2 – 2xy + 2x – 2y d) f(x,y) = x4 + y4 – 2x2 + 4xy – 2y2

8 Tìm cực trị có điều kiện :

a) f(x,y) = xy với điều kiện x + y = 1

b) f(x,y) = x2 + y2 với điều kiện 1

3

2x+ y =

BÀI TẬP TÍCH PHÂN KÉP

1 Tính tích phân kép =∫∫

D

ydxdy x

I ln với miền D là hình chữ nhật : 0≤ x≤ 4 , 4

1≤ y≤

2 Tính tích phân kép =∫∫ +

D

dxdy y x

I ( cos 2 sin 2 ) với miền D là hình vuông :

ydxdy e

I sin cos với miền D là hình chữ nhật :

I ( 2 ) với miền D xác định bởi các đường : x = 1,

x = 2 , y = x , y = x2

5 Tính tích phân kép =∫∫

D

xdxdy y

I ln với miền D xác định bởi các đường :

xy = 1, y = x , x = 2

6 Tính tích phân kép =∫∫ −

D

dxdy y x

I ( ) với miền D xác định bởi các đường : y = 2 -

x2, y = 2x - 1

7 Tính tích phân kép =∫∫ +

D

dxdy y x

I ( 3 ) với miền D xác định bởi các bất đẳng thức :

I (cos 2 sin ) với miền D xác định bởi các đường

x = 0 , y = 0 và 4x+4y-π = 0

10 Tính tích phân kép =∫∫ + −

D

dxdy y x y x

I ( )3( )2 với miền D xác định bởi các đường : x+y = 1 , x+y = 3 , x-y = 1 và x-y = -1