Bài giảng và bài tập Toán cao cấp B2

Chương : MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PTTT 1.1.MA TRẬN : 1.1.1 Khái niệm ma trận : • Ma trận bảng chữ nhật gồm mxn phần tử thành m dòng , n cột theo thứ tự định : ⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎣a m1 a12 a 22 am2 a1n ⎤ a n ⎥⎥ ⎥ ⎥ a mn ⎦ • • • Ma trận dòng , ma trận cột ,ma trận không , ma trận chuyển vị Ma trận vuông,ma trận chéo , ma trận đơn vị ,ma trận tam giác , ma trận đối xứng Ma trận : Hai ma trận ma trận cấp có phần tử nằm vị trí 1.1.2 Phép toán ma trận : 1.Phép cộng : Tổng ma trận cấp ma trận cấp có phần tử tổng phần tử tương ứng ⎡ ⎤ ⎡3 − 1⎤ ⎡ ⎤ ⎢− 3⎥ + ⎢ ⎥ = ⎢− 5⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2.Phép nhân với số : Tích số thực với ma trận ma trận cấp có phần tử tích số thực với phần tử ma trận ⎡ − 2⎤ ⎡ − 4⎤ ⎢⎢ − ⎥⎥ = ⎢⎢ − ⎥⎥ ⎢⎣− ⎥⎦ ⎢⎣− 10 ⎥⎦ 3.Phép nhân hai ma trận : • Số cột ma trận thứ số dòng ma trận thứ hai • Nhân phần tử dòng ma trận thứ tương ứng với phần tử cột ma trận thứ hai cộng lại ⎡1 2⎤ ⎡1 − 2⎤ ⎢ ⎥ ⎡1.1 + (−1).3 + 2.1 1.0 + (−1).(−2) + 2.2 1.2 + (−1).1 + 2.0⎤ ⎢ ⎥ ⎢3 − ⎥ = ⎢ ⎥ 2.1 + 0.3 + 3.1 2.0 + 0.(−2) + 3.2 2.2 + 0.1 + 3.0 ⎣ ⎦ ⎢1 0⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ 1⎤ =⎢ ⎥ ⎣5 4⎦ Trang 1.1.3 Phép biến đổi sơ cấp dòng : Phép biến đổi : Hoán vị dòng ⎡2 − 3⎤ ⎡1 − ⎤ ⎢1 − ⎥ ⎯d⎯ ↔ d ⎯2 → ⎢⎢2 − 3⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣3 ⎢⎣3 ⎥⎦ ⎥⎦ Phép biến đổi : Nhân dòng với số khác không ⎡1 − ⎤ ⎡2 − ⎤ ⎢2 − 3⎥ ⎯⎯⎯→ ⎢2 − 3⎥ 2d1 → d1 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢⎣3 ⎢⎣3 ⎥⎦ ⎥⎦ Phép biến đổi : Cộng dòng với dòng khác nhân với số khác không ⎡1 − ⎤ ⎡1 − ⎤ ⎢2 − 3⎥ ⎯(⎯ −2 ) d1 + d →d ⎯ ⎯⎯→ ⎢⎢0 − 3⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎦ ⎦⎥ ⎣⎢3 ⎣⎢3 1.1.4 Ma trận dạng bậc thang : Định nghĩa : • Các dòng khác không dòng không • Với hai dòng khác không , phần tử khác không dòng bên phải cột chứa phần tử khác không dòng Định lý : Mọi ma trận khác không đưa về dạng bậc thang sau số phép biến đổi sơ cấp dòng 1.1.5 Ma trận đảo : Định nghĩa : Ma trận A vuông cấp n gọi khả đảo tồn ma trận B vuông cấp n cho : A.B = B.A = I Ma trận B gọi ma trận đảo ma trận A ,ký hiệu A-1 Cách tìm ma trận đảo : • Lập ma trận mở rộng ( A | I ) • Biến đổi ma trận ( A | I ) dạng ( I | B ) : o Nếu biến đổi dạng ( I | B ) A ma trận khả đảo A-1 =B o Nếu không biến đổi dạng ( I | B ) ( nghĩa ma trận bên trái có xuất dòng không ) ma trận A không khả đảo Ví dụ : Tìm ma trận đảo , có , ma trận : ⎡1 ⎤ a) ⎢⎢2 1⎥⎥ ⎢⎣1 1⎥⎦ 1.2 ĐỊNH THỨC : Trang , ⎡ 5⎤ b) ⎢⎢1 2⎥⎥ ⎢⎣3 6⎥⎦ 1.2.3 Khái niệm định thức: Định thức cấp : ⎡a Cho ma trận vuông cấp : A = ⎢ 11 ⎣a 21 det(A) = A = a11 a 21 a12 ⎤ Định thức ma trận A : a 22 ⎥⎦ a12 = a11a22 - a12a21 a 22 Định thức cấp : ⎡ a11 Cho ma trận vuông cấp : A = ⎢⎢a 21 ⎢⎣ a31 a12 a 22 a32 a13 ⎤ a 23 ⎥⎥ Định thức ma trận A : a33 ⎥⎦ a11 a12 a13 a 21 a31 a 22 a32 a 23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32 a 33 Cách tính định thức cấp : a Quy tắc tam giác : * * * * * * * * * * * * * * * * * * (+) b Quy tắc đường song song : + + + o o o o o o o o o o o o o o o - - - (-) Ví dụ : Tính định thức ma trận : ⎡1 − 1⎤ a) ⎢⎢3 ⎥⎥ ⎢⎣2 − 2 ⎥⎦ ⎡3 − 4⎤ b) ⎢⎢0 3⎥⎥ ⎢⎣0 5⎥⎦ Định thức cấp n : Trang ⎡ a11 ⎢a Cho ma trận vuông cấp n : A = ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎣ a n1 a12 a 22 an2 a1n ⎤ a n ⎥⎥ ⎥ ⎥ a nn ⎦ a Phần bù đại số : Phần bù đại số phần tử aij , ký hiệu Aij , số xác định sau : i+j (-1) Aij = M ij Mij ma trận suy từ A cách bỏ dòng i cột j b Định lý Laplace ( Khai triển định thức ) : Cho ma trận A vuông cấp n ∀i, i = 1, n : A = n ∑a j =1 : ∀j , j = 1, m : A = ij Aij n ∑a i =1 ij Aij ⎡1 − 1⎤ Ví dụ : A = ⎢⎢3 ⎥⎥ ⎢⎣2 − 2 ⎥⎦ A = a11A11 + a12A12 + a13A13 1.2.2 Tính chất: Cho ma trận A vuông Chuyển vị ma trận ,định thức không đổi : A t = A Hoán vị dòng ,định thức đổi dấu : A ' = - A Nếu nhân dòng cho α A ' = α A Nếu A có dòng giống hay tỷ lệ với : A = Nếu dòng viết thành tổng dòng định thức tổng định thức có dòng tương ứng dòng thành phần a1 + b1 a + b2 a n + bn = a1 a2 a n + b1 b2 bn Nếu thay dòng cộng với dòng khác nhân với số khác không định thức không đổi : A ' = A Ghi : Ma trận tam giác ,ma trận chéo có định thức tích phần tử đường chéo Trang ⎡1 − 1⎤ Ví dụ : Tính định thức ma trận : A = ⎢⎢3 ⎥⎥ ⎢⎣2 − 2 ⎥⎦ ⎡1 − ⎤ ⎢0 − 1⎥⎥ Ví dụ : Tính định thức ma trận : A = ⎢ ⎢0 − 3⎥ ⎢ ⎥ 1⎦ ⎣0 cos x cos x sin x Ví dụ : Chứng minh : cos y cos y sin y = cos z cos z sin z 1.2.3 Cách tìm ma trận đảo định thức Điều kiện khả đảo : Ma trận A khả đảo ⇔ A ≠ Công thức ma trận đảo : ⎡ A11 ⎢ ⎢ A21 −1 A = A ⎢ ⎢ ⎣ An1 A12 A22 An A1n ⎤ A2 n ⎥⎥ ⎥ ⎥ Ann ⎦ t Ví dụ : Tìm ma trận đảo ( có ) ma trận : ⎡1 ⎤ a) ⎢ ⎥ ⎣2 5⎦ ⎡1 ⎤ , b) ⎢⎢2 1⎥⎥ ⎢⎣1 1⎥⎦ c) ⎡ − 2⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦ 1.2.4 Hạng ma trận : Định nghĩa : Cho ma trận A cấp mxn • Nếu chọn phần tử nằm k dòng k cột ta ma trận vuông cấp k Định thức ma trận gọi định thức cấp k A • Hạng ma trận A , ký hiệu r(A) , cấp cao định thức khác không A Ghi : • r(A) = ⇔ A = • A = (aij)mxn ⇒ r(A) ≤ min(m,n) Cách tìm hạng ma trận : Trang • Đưa ma trận dạng bậc thang • Hạng ma trận số dòng khác Ví dụ1 : Tìm hạng ma trận : ⎡1 − − 1⎤ A = ⎢⎢1 − ⎥⎥ ⎢⎣3 − ⎥⎦ Ví dụ : Biện luận theo tham số m hạng ma trận : ⎡2 ⎤ ⎢1 1 0 ⎥ ⎥ A= ⎢ ⎢3 4 − 1⎥ ⎢ ⎥ ⎣5 5 m ⎦ 1.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH : 1.3.1 Khái niệm : 1.Định nghĩa : Hệ phương trình tuyến tính hệ phương trình có m phương trình n ẩn số : ⎧ a11 x1 + a12 x + + a1n x n = b1 ⎪ a x + a x + + a x = b ⎪ 21 22 2n n ⎨ ⎪ ⎪⎩a m1 x1 + a m x + + a mn x n = bm (1) aij : hệ số ; bij : hệ số tự ; xj : ẩn số ( i = 1, m ; j = 1, n ) Dạng ma trận hệ phương trình tuyến tính : ⎡ b1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢b ⎥ ⎢x ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 2⎥ a 22 ⎢ ⎥ , X =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢.⎥ am2 ⎢⎣bm ⎥⎦ ⎢⎣ x n ⎥⎦ A : ma trận hệ số ; B : ma trận hệ số tự ; X : ma trận ẩn số ⎡ a11 ⎢a A = ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎣a m1 a12 a1n ⎤ a n ⎥⎥ , B= ⎥ ⎥ a mn ⎦ Ta có : (1) ⇔ AX = B Nghiệm hệ phương trình tuyến tính : Một nghiệm hệ phương trình tuyến tính (1) số gồm n số ( c1,c2,…,cn) cho thay vào (x1,x2,…,xn) phương trình nghiệm Điều kiện tồn nghiệm : Định lý Kronecker-Capelli Cho hệ phương trình (1) ,ta có : Trang • r(A) ≠ r(A|B) : Hệ phương trình vô nghiệm • r(A) = r(A|B) = n : Hệ phương trình có nghiệm • r(A) = r(A|B) = r0 (hoặc Q ( x ) ( i = 1, n ) * Q(x) xác định âm ⇔ Δ i < với i lẻ Δ i >0 với i chẵn 3.6.3 Định lý 2: - Nếu Q(x) có dạng tắc : Q(x)= α1 x1'2 + α x2'2 + + α n xn'2 : * Q(x) xác định dương ⇔ Δ i > ( i = 1, n ) ⇔ Δ i [...]... là tập hợp khác rỗng có các phần tử kí hiệu là : a,b,c,… và R là tập hợp số thực có các phần tử kí hiệu là α , β , γ … Trên V cho hai phép toán : • Phép cộng hai phần tử của V : V×V → V (a,b) a a + b • Phép nhân một số thực với một phần tử của V : R×V → V ( α ,a) a α a Tập hợp V cùng với hai phép toán trên tạo thành một « Không gian vectơ » trên R nếu 8 tiên đề sau đây được thoả mãn : a,b,c ∈ V và. .. a1=(1,1,2) và a2=(0,-1,1) a Các số u1,u2,u3 thỏa điều kiện gì để vectơ u = (u1,u2,u3) là tổ hợp tuyến tính theo a1 và a2 b Vectơ nào sau đây là tổ hợp tuyến tính của a1 và a2 : x = (1,2,5) ,y = (2,4,2) 3 Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau đây : a a1=(1,3,-1) , a2=(-1,2,1) và a3=(2, -1,-1) b a1=(1,2,-1) , a2=(4, 1,2) và a3=(2, -3,4) c a1=(1,1,2) , a2=(2,-1,1) và a3=(5,... : a a1=(0,1,2) , a2=(2,-1,1) và a3=(-3, 0,1) b a1=(1,-2,0,3) , a2=(0,0,1,0) và a3=(0, -2,-1,1) c a1=(1,2,3, 4) , a2=(-1,2,-3,4) , a3=(0,1,-1,1) và a4=(1,1,1,1) 5 Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau đây : a a1=(1,-2,0) , a2=(3,2,1) và a3=(0,1,2) b a1=(1,-1,2,-1) , a2=(2, 1,0,2) và a3=(1, 2,4,-1) c a1=(1,0,2) , a2=(2,2,1) ,a3=(3, -1,0) và a4=(-1,1,0) 6 Hệ vectơ nào... là một không gian vectơ • Tập hợp các vectơ hình học có cùng gốc toạ độ 0 trong mặt phẳng toạ độ với phép cộng vectơ theo “quy tắc hình bình hành”, phép nhân vectơ với số thực • Tập hợp các ma trận cấp m × n với phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với một số thực 2.2.2 Không gian vectơ con : 1) Định nghĩa : Cho V là không gian vectơ và W⊂V, W≠∅ Nếu W cùng với 2 phép toán của V cũng tạo thành... cơ sở của R3 b Đặt (v)=(u) khi m=0 và (w)=(u) khi m=-1.Chứng tỏ (v) và (w) là hai cơ sở của R3 c Tìm ma trận đổi cơ sở từ (v) sang (w) d Cho x = (1,2,3),tìm tọa độ của x trong cơ sở (v) và (w) e Cho biết tọa độ của y trong cơ sở (w) là (5,12,51)(u),tìm tọa độ của y trong cơ sở (v) BÀI TẬP CHƯƠNG 1 1 Cho các ma trận : 0 1⎤ ⎡1 0 − 1 2⎤ ⎡2 1 ⎢ ⎢ ⎥ A = ⎢3 − 2 1 0⎥ và B = ⎢0 − 2 3 2⎥⎥ ⎢⎣1 − 2 − 3 1 ⎥⎦... vuông cấp n khả đảo P sao cho P −1 A.P = D là một ma trận chéo Lúc đó ta nói ma trận P làm chéo A hay ma trận A được chéo hóa bởi ma trận P c Định lý: Ma trận A vuông cấp n chéo hóa được nếu A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính d Hệ quả: • Nếu một ma trận vuông cấp n có n giá trị riêng phân biệt thì ma trận đó chéo hóa được • Nếu một ma trận vuông cấp n có n giá trị riêng (có thể trùng nhau) và số... phụ thuộc tuyến tính của chúng : a) a1=(1,-1,5,-1) , a2=(1,1,-2,3) và a3=(3, -1,8,1) b) a1=(1,2,1, 1) , a2=(2,5,1,6) và a3=(-1,-4,2,2) 2.1.3 Không gian vectơ n chiều Rn: 1.Định nghĩa :Tập hợp các vectơ n chiều với 2 phép tóan : cộng 2 vectơ và nhân vectơ với 1 số thực tạo thành một cấu trúc đại số gọi là “không gian vectơ n chiều “ và ký hiệu là Rn 2.Cơ sở của Rn : a Định nghĩa : Một hệ gồm n vectơ... Lúc đó ta nói không gian con W có số chiều là m và ký hiệu : dimW=m Nếu hệ sinh {ui} i = 1, m phụ thuộc tuyến tính trong V thì hệ vectơ độc lập tuyến tính lớn nhất chọn từ hệ {ui} là cơ sở của W và hạng của hệ vectơ này là số chiều của W VD1: Trong R4 cho các vectơ : u=(1,1,0,1) và v=(0,1,0,1) a) Xác định không gian vectơ con W sinh bởi {u,v}.Tìm cơ sở và số chiều của W b) Các vectơ x=(1,3,0,3) , y=(1,-1,0,1)... x1 , x 2 − x3 ) Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính từ R 3 vào R 2 3.1.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính : 1) Định nghĩa : Cho ánh xạ tuyến tính f : R n → R m Giả sử R n và R m lần lượt có cơ sở (u) = {u i } (i = 1, n ) và (v)= {vi }(i = 1, m ) ta có toạ độ : x = ( x1 , x2 , , xn ) ( u ) (u ) y = f ( x) = ( y1 , y 2 , , y m ) ( v ) (v ) (v ) Ma trận A cấp m × n được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f... cơ sở (u)= {u1 , u 2 , u 3 , u 4 }và cơ sở chính tắc (e) trong R 3 , biết rằng : u1 = (1,0,0,0) , u 2 = (1,1,0,0) , u 3 = (1,1,1,0) , u 4 = (1,1,1,1) 3.2 GIÁ TRỊ RIÊNG –VECTƠ RIÊNG: 3.2.1 Định nghĩa : Cho A là ma trận vuông cấp n, nếu tồn tại vectơ n chiều khác không x = ( x1 , x2 , , xn ) và số λ ∈ R sao cho : A [x ] = λ [x ] thì ta nói: λ là một giá trị riêng của A và x là vectơ riêng của A ứng với ... nghĩa : Cho ma trận A cấp mxn • Nếu chọn phần tử nằm k dòng k cột ta ma trận vuông cấp k Định thức ma trận gọi định thức cấp k A • Hạng ma trận A , ký hiệu r(A) , cấp cao định thức khác không... Định thức cấp : ⎡a Cho ma trận vuông cấp : A = ⎢ 11 ⎣a 21 det(A) = A = a11 a 21 a12 ⎤ Định thức ma trận A : a 22 ⎥⎦ a12 = a11a22 - a12a21 a 22 Định thức cấp : ⎡ a11 Cho ma trận vuông cấp : A =... không đưa về dạng bậc thang sau số phép biến đổi sơ cấp dòng 1.1.5 Ma trận đảo : Định nghĩa : Ma trận A vuông cấp n gọi khả đảo tồn ma trận B vuông cấp n cho : A.B = B.A = I Ma trận B gọi ma trận