Bài tập Toán cao cấp B2

BÀI TẬP CHƯƠNG 3 1. Cho ánh xạ f : R2 ^ R2 xác định bởi f(xi,x2) = (xi+2x2,xi-x2) a. Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính . b. Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ f . c. Tìm ma trận của ánh xạ f đối với cơ sở (u) = {u1,u2} với u1=(1,1) , u2=(1,0) 2. Cho ánh xạ f : R3 ^ R2 xác định bởi f(x13x2,x3) = (2x1+x2-x3,x1+x2-3x3) a. Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính . b. Tìm ma trận chính tắc của f . c. Tìm ma trận của ánh xạ f đối với cơ sở (u) = {u^u2, u3} với u1=(1,1,1) , u2=(1,1,0), u3=(1,0,0) trong R3 và (v) = {v1,v2} với v1=(1,2) ,v2=(0,2) trong R2 3. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 ^ R2xác định bởi f(x^x2,x3) = (x1+2x2+x3,x1+5x2+x3) a. Tìm ma trận chính tắc của f . b. Tìm ma trận của ánh xạ f đối với cơ sở (u) = {u^u2, u3} với u1=(1,1,1) , u2=(1,1,0), u3=(1,0,0) trong R3 và (v) ={v1,v2} với v1=(1,3) ,v2=(-1,2) trong R2 4. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của các ma trận : a. A = 2 1 0 3 b. B = c. C = 1 2 2 4 5. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của các ma trận : a. A = 3 3 2 1 1 -2 -3 -1 0 b. B = 2 1 0 0 1 -1 0 2 4 c. C = 2 2 1 1 3 1 1 2 2 6. Tìm giá trị riêng, vectơ riêng và cơ sở không gian riêng của các ma trận sau a. A = 2 - 1 3 0 -3 0 -1 0 -2 b. B = 5 0 0 1 5 0 0 1 5 c. C = 0 1 0 -4 4 0 -1 1 2 7. Các ma trận sau đây có chéo hóa được hay không ? "0 1 1 ■ "-2 -2 -2 ■ "2 1 1" a. A = 0 0 2 b. B = 2 3 2 c. C = 1 2 1 0 0 1 4 2 4 1 1 2 8. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 ^ R3 với f(x1,x2,x3) = (x1 +x2 +x3, x1 +x2 +x3 ,x1 +x2 +x3) a. Tìm ma trận chính tắc A của ánh xạ f . b. Ma trận A có chéo hóa được hay không ? Nếu có hãy làm chéo A . 9. Đưa dạng toàn phương sau đây về dạng chính tắc, xác định dấu của chúng (trong R3)và chỉ ra phép biến đổi tọa độ tưong ứng : a. Q= x12+5x22+8x32-2x1x2+4x2x3+4x1x3 b. Q= -2xi2+6x22+X32-4xiX2+8x2X3+4xiX3 c. Q= x12+2x22+6x32-2x1x2-6x2x3+2x1x3 BÀI TẬP CHƯƠNG 2 1. Cho các vectơ 3 chiều : ai=(2,1,0) , a2=(1,-1,1) và a3=(0, 1,-2) a. Tìm vectơ u = 3a1 - 2a2 + a3 b. Tìm vectơ x sao cho a1 + x = a2 + a3 . c. Tìm vectơ v là tổ hợp tuyến tính của a1,a2,a3 với các hệ số 4,3,5 . d. Vectơ x = (1,2,3) có phải là tổ hợp tuyến tính của các vectơ a1,a2,a3 không ? 2. Cho các vectơ 3 chiều : a1=(1,1,2) và a2=(0,-1,1) a. Các số u1,u2,u3 thỏa điều kiện gì để vectơ u = (u1,u2,u3) là tổ hợp tuyến tính theo a1 và a2 . b. Vectơ nào sau đây là tổ hợp tuyến tính của a1 và a2 : x = (1,2,5) ,y = (2,4,2) . 3. Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau đây : a. a1=(1,3,-1) , a2=(-1,2,1) và a3=(2, -1,-1) b. a1=(1,2,-1) , a2=(4, 1,2) và a3=(2, -3,4) c. a1=(1,1,2) , a2=(2,-1,1) và a3=(5, -1,m) 4. Tìm hạng của hệ các vectơ : a. a1=(0,1,2) , a2=(2,-1,1) và a3=(-3, 0,1) b. a1=(1,-2,0,3) , a2=(0,0,1,0) và a3=(0, -2,-1,1). c. a1=(1,2,3, 4) , a2=(-1,2,-3,4) , a3=(0,1,-1,1) và a4=(1,1,1,1). 5. Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau đây : a. a1=(1,-2,0) , a2=(3,2,1) và a3=(0,1,2) b. a1=(1,-1,2,-1) , a2=(2, 1,0,2) và a3=(1, 2,4,-1) c. a1=(1,0,2) , a2=(2,2,1) ,a3=(3, -1,0) và a4=(-1,1,0) 6. Hệ vectơ nào sau đây là cơ sở của R3 : a. a1=(1,7,0) , a2=(1,-5,1) b. a1=(1,0,2,0) , a2=(1, 1,0,1) , a3=(1, 0,4,3) và a4=(0, -2,4, 1) c. a1=(1,0,1) , a2=(2,1,1) và a3=(-3, 2,0) d. a1=(1,1,1) , a2=(0,1,1) và a3=(2, 2,2) . 7. Trong R3 cho cơ sở chính tắc (e) và cơ sở (u)={u1,u2,u3} với u1=(0,1,1), u2=(1,0,1), u1=(1,1,0) . a. Tìm ma trận đổi cơ sở từ (e) sang (u) . b. Tìm công thức đổi tọa độ từ (e) sang (u) . c. Tìm tọa độ của vectơ x = (25,8,51) trong cơ sở (u). d. Tìm tọa độ của vectơ y khi biết tọa độ của y trong cơ sở (u) là (31,12,50)(u) 8. Trong R3 cho các vectơ : u1=(m,1,1), u2=(1,m,1), u3=(1,1,m) a. Tìm m để hệ (u)={u1,u2,u3} là một cơ sở của R3 . b. Đặt (v)=(u) khi m=0 và (w)=(u) khi m=-1.Chứng tỏ (v) và (w) là hai cơ sở của R3. c. Tìm ma trận đổi cơ sở từ (v) sang (w). d. Cho x = (1,2,3),tìm tọa độ của x trong cơ sở (v) và (w) . e. Cho biết tọa độ của y trong cơ sở (w) là (5,12,51)(u),tìm tọa độ của y trong cơ sở (v). BÀI TẬP CHƯƠNG 1 1. Cho các ma trận : "1 0 -1 2" "2 1 0 1" A = 3 - 2 1 0 và B = 0 - 2 3 2 1 - 2 -3 1 1 3 - 2 1 Gọi C = 2A - 3B , D = 3At + Bt , E = At.B . Tìm C23, Ổ31, e43 . 2. Cho các ma trận : " 2 1 0 " " 0 1 1" A = -1 1 3 và B = 1 2 3 3 0 - 2 - 2 0 1 Gọi C= 3A + 4I - 5B , D = A2 , E = AI - B2 , F = AB - BA. Tìm c2 i, d33, e22, fi3 " 2 1" "1 2" 3. Cho các ma trận : B = - 3 0 và C = 4 -1 Tìm ma trận A , biết rằng a. A = 2B + 3C b. AB = C 4. Đưa các ma trận sau đây về dạng bậc thang : "1 3 - 2 -1" "1 - 2 0 3" "1 2 3 4" 2 5 - 2 1 0 0 1 0 b. 2 4 6 8 c. 1 1 6 13 0 -2 -1 1 3 6 9 12 - 2 - 6 8 10 5. Tìm ma trận đảo : "- 3 4 6 " "2 4 6" "1 2" "5 - 4" a. 3 7 b. 4 - 3 c. 0 1 1 d. 3 1 1 2 -3 - 4 1 2 3 6. Tìm hạng của các ma trận : "3 -1 4" "2 -1 3 - 2 4" "4 2" a. 3 5 b. 0 2 1 c. 4 - 2 5 1 7 0 4 2 2 -1 1 8 2 "0 2 -4 " "1 7 1 3 0" -1 - 4 5 1 7 -1 - 2 - 2 d. 3 1 7 e. 2 14 2 7 0 0 5 -10 6 42 3 13 - 3 2 3 0 7. Tìm ma trận đảo bằng định thức : a. 2 3 3 5 b. cos X sin X - sin X cos X "1 1 - 1 "1 a a 2 c. 2 3 1 d. 0 1 a - 5 8 2 0 0 1 8. Xét sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình : X1 - X2 + 2X3 = 0 a) ị - 3x1 + 4 X2 + X3 = 2 b) ị 2X1 - 2X2 + 4X3 =1 9. Giải hệ phương trình Cramer : 3x1 - X2 - X3 + 2X4 =1 X1 + X2 - 2X3 + 4X4 = 5 X1 + 2X2 + 3x3 - 6X4 = - 9 12 X1 - 2X2 + X3 - 2X4 =10 2X1 + X2 - X3 = -1 X1 + 3x2 - X3 = -1 a) X1 - 2 X2 + X3 = 5 b) - - X1 + 2 X2 + X3 =1 c) ị - X1 + X2 + 2 X3 =14 2 X1 - X2 - X 3 = 2 V. 2X1 + 3x2 - X3 =16 c) ị X1 - 4X2 + X3 = -11 - X1 + X2 + 3x3 = 7 X1 + 2 X2 + 3x3 + 4 X4 = 30 - X1 + 2X2 - 3x3 + 4X4 =10 X2 - X3 + X4 = 3 X1 + X2 + X3 + X4 =10 X1 + 2X2 - X3 = 3 d) ị - X1 + X2 - 2 X3 = 0 2 X1 - X2 + 4 X3 = 1 X1 + X2 - X3 = 4 e) ị3X1 - 2 X2 + 3x3 = 2 f) ị 5x1 - X2 + 3x3 =1 X1 - 2 X2 = 1 3x1 + 2 X2 + X3 =1 X2 + 2 X3 = -1 10. Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss : X1 + 2X2 - X3 = 2 a) ị X1 - X2 + X3 = 5 X1 + 3x2 - 2X3 = -1 X1 - 2X2 - X3 + X4 = 2 b) ị 3x1 - 6X2 - 4X3 + 2X4 = 4 c) ị 4X1 + X2 + 2X3 = 1 - X1 + 2 X2 + 2 X3 = 0 X1 + 2X2 - X3 = 3 2 X1 - 3x2 + 4 X3 = 2 X1 - 2 X2 + X3 + X4 = 1 d) ị X1 - 2X2 + X3 - X4 = - 1e) ị X1 - 2 X2 + X3 + 5x4 = 5 X1 + X2 + X3 = 3 X1 + X2 - 3x3 = -1 2x1 + X2 - 2x3 = 1 X1 + 2X2 - 3x3 =1 f) ị 2X1 + X2 + X3 - X4 + X5 =1 X1 - X2 + X3 + X4 - 2 X5 = 0 3x1 + 3x2 - 3x3 - 3x4 + 4X5 = 2 4X1 + 5X2 - 5x3 - 5x4 + 7X5 = 3 11. Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất : X1 - X2 + 2 X3 = 0 X1 + 2 X2 + X3 = 0 a) - 2 X1 + 4 X2 + X3 = 0 b )‘ X1 + 3x2 + 3x3 = 0 c) ị 2 X1 - X2 + 4 X3 = 0 2 X1 + 6 X2 + 6 X3 = 0 V. X1 - X2 + 2 X4 = 0 2X1 + X2 - X3 + X4 = 0 - 3x1 + X3 - 2X4 = 0 . BÀI TẬP CHƯƠNG 3 1. Cho ánh xạ f : R2 ^ R2 xác định bởi f(xi,x2) = (xi+2x2,xi-x2) a. Chứng tỏ f là. x12+5x22+8x32-2x1x2+4x2x3+4x1x3 b. Q= -2xi2+6x22+X32-4xiX2+8x2X3+4xiX3 c. Q= x12+2x22+6x32-2x1x2-6x2x3+2x1x3 BÀI TẬP CHƯƠNG 2 1. Cho các vectơ 3 chiều : ai=(2,1,0) , a2=(1,-1,1) và a3=(0, 1,-2) a. Tìm vectơ. . e. Cho biết tọa độ của y trong cơ sở (w) là (5,12,51)(u),tìm tọa độ của y trong cơ sở (v). BÀI TẬP CHƯƠNG 1 1. Cho các ma trận : "1 0 -1 2" "2 1 0 1" A = 3 - 2 1 0 và B