Bài giảng toán cao cấp B1

Chương 1 : GIỚI HẠN – LIÊN TỤC 1.1 GIỚI HẠN : 1.1.1 Hàm số : 1. Định nghĩa : Cho X ⊂ R, ánh xạ f : X Æ R được gọi là hàm số một biến số thực. f:XÆR x a y = f(x) • X : miền xác định • f(X) ⊂ Y : miền giá trị • x : biến số hay đối số • y = f(x) giá trị của hàm số f tại x Ví dụ : • Cho hàm số : f: X Æ R x2 − 4 x−2 Miền xác định : X = R \ {2 } • Cho hàm số f(x) = | x | . Miền xác định : X = R .Hàm số có thể viết thành : ⎧ x khi x ≥ 0 f(x) = ⎨ ⎩− x khi x < 0 x ay= 2. Đồ thị của hàm số : Đồ thị của hàm số f : X Æ R là tập hợp : C = {M(x,f(x)) / x ∈ X } trong mặt phẳng Oxy 1.1.2 Giới hạn của hàm số : Bổ sung : • Khoảng : (a,b) = {x ∈ R/ a < x < b} • Đoạn : [a,b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} • Nửa khoảng ( hay nửa đoạn ) • (a,b] = {x ∈ R / a < x ≤ b} • Lân cận : Cho xo ∈ R và α > 0, khoảng ( xo- α , xo + α ) được gọi là một lân cận của xo (lân cận tâm xo, bán kính α ) Vậy x thuộc lân cận của xo ⇔ xo - α < x < xo+ α ⇔ - α < x –xo < α ⇔ ⎟ x-xo ⎥ < α Trang 1 1. Định nghĩa : Cho hàm số f(x) xác định trong lân cận của xo. Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến xo nếu với mọi ε > 0 cho trước nhỏ tuỳ ý, luôn luôn tồn tại số δ >0 sao cho : 0< ⎥ x-xo⎟ < δ ⇒ ⎟ f(x) -L⎥ < ε Ký hiệu lim f ( x) = L x → x0 2. Ví dụ : Vd 1 : Dùng định nghĩa để chứng minh lim(4 x + 3) = 7 x →1 Vd 2 : Hàm số f : X Æ R x2 − 4 x−2 Tìm miền xác định của f và chứng minh rằng lim f ( x) = 4 x ay= x→2 3. Các tính chất của giới hạn : • Nếu các hàm số f(x) và g(x) có giới hạn khi x Æ xo thì tổng, hiệu , tích, thương của chúng cũng có giới hạn khi x Æ xo và : lim [ f(x) ± g(x) ] = lim f(x) ± lim g(x) x → xo x → xo x → xo lim [ f(x) .g(x) ] = lim f(x) . lim g(x) x → xo lim x → xo x → xo x → xo lim f ( x) f ( x) x → xo = g ( x) lim g ( x) ( lim g(x) ≠ 0) x → xo x → xo • Nếu f(x) ≤ g(x) với mọi x thuộc lân cận của x o thì lim f(x) ≤ lim g(x) x → xo x → xo • Nếu f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) với mọi x thuộc lân cận của xo và lim f(x) = lim h(x) = L thì lim g(x) = L x → xo x → xo x → xo 4. Công thức : Dùng định nghĩa và tính chất , ta chứng minh được một số kết quả : sin x =1 x * lim C = C * lim x = x0 * lim sin x = 0 * lim cosx = 1 * lim (1 + x→ x0 x →0 x → xo x →0 * lim x →0 α →∞ 1 α * lim x→ x0 )α = e hoặc 1.1.3 Mở rộng khái niệm giới hạn : 1. Giới hạn một bên : Bổ sung : Ký hiệu x Æ xo+ hiểu là x Æ xo và x > xo x Æ xo- hiểu là x Æ xo và x < xo Trang 2 sin α ( x) = 1 với lim α ( x) = 0 x → xo α ( x) 1 lim (1 + α ) α = e α →0 a.Định nghĩa : • Số L được gọi là giới hạn trái của hàm số f(x) khi x tiến đến xo từ bên trái (x Æ xo- ) nếu với mọi ε >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại δ > 0sao cho: 0< xo – x < δ ⇒ | f(x) – L | < ε Ký hiệu lim− f ( x) = L x→ x • o Số L được gọi là giới hạn phải của hàm số f(x) khi x tiến đến xo từ bên phải (x Æ xo, x > xo) nếu với mọi ε >0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại δ > 0 sao cho 0< x – xo < δ ⇒ | f(x) – L | < ε Ký hiệu lim+ f ( x) = L x→ x o b.Định Lý : lim f(x) tồn tại ⇔ lim− f ( x) = lim+ f ( x) x → xo x → x0 x → x0 x khi x Æ 0 x Hàm số không xác định tại x = 0 , ta thấy : nếu x >0 ⎧1 f(x) = ⎨ ⎩−1 nếu x 0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại M > 0 sao cho với mọi x mà ⎢x⎥ > M ta có ⎢f(x) - L⎥ < ε . Ký hiệu lim f ( x) = L x →∞ b.Ví du 1 =0 x →∞ x Vd 1: Chứng minh rằng lim Trang 3 2x 2 + x + 1 x →∞ 3 x 2 + 4 x + 2 Vd 2 :Tìm lim 3. Giới hạn vô cực : a.Định nghĩa : Hàm Số f(x) được gọi là tiến đến vô cực khi x tiến tới xo nếu với mọi M >0 tùy ý, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x mà ⎢x-xo⎥ M. Ký hiệu : lim f ( x) = ∞ x →∞ 5 =∞ x→2 x − 2 1.1.4 Vô cùng bé, vô cùng lớn – Khử dạng vô định : 1. Vô cùng bé – vô cùng lớn : a. Định nghĩa : • Hàm f(x) được gọi là một vô cùng bé (VCB) khi x Æ xo nếu lim f(x)= 0 b.Ví dụ : Chứng minh rằng lim x→ xo • Hàm f(x) được gọi là một vô cùng lớn (VCL) khi x Æ xo nếu lim f(x)= +∞ x→ xo 1 là VCB khi x --> ∞ x f(x) = sin x la VCB khi x --> 0 5 là VCL khi x Æ 2 f(x) = x−2 Ví dụ : f(x) = b.Định Lý : f(x) VCB ⇔ 1 VCL f ( x) g(x) VCL ⇔ 1 VCB g ( x) • Một số kết quả về VCB,VCL tương đương: sinx ~ x tgx ~x arcsinx ~ x arctgx ~ x 1-cosx ~ x2 2 ln(1+x) ~ x ex - 1 ~ x (1 + x)α ~ 1+ α x α ±β ± γ ~ α ( α VCB bậc thấp nhất ) A ± B ±C ~ A (A : VCL bậc cao nhất ) ln(1 + tgx) VD 1 : Tìm lim x → 0 x + x 2 + sin 3 x 5x 2 − x + 3 VD 2 : Tìm lim 2 x →∞ 2 x + x + 1 Trang 4 1 − cos 2 x + tg 2 x x →0 x sin x 2.Dạng vô định : VD 3 : Tìm lim VD 1 : lim x →1 xm −1 0 ( dạng ) n 0 x −1 x VD 2 : lim x → +∞ (dạng x+ x+ x V D 3 : lim(1 − x)tg x →1 πx 2 ∞ ) ∞ (dạng 0.∞) VD 4 : lim ( ( x + 1)( x + 2) − x) (dạng ∞ - ∞ ) x →+∞ 1.2 Hàm số liên tục : 1.2.1 Định nghĩa : 1) Liên tục tại 1 điểm : f(x) liên tục tại xo Ù lim f ( x) = f ( xo ) x → xo 2)Liên tục một bên : • f(x) liên tục bên phải tại xo Ù lim+ f ( x) = f ( xo ) x → xo • f(x) liên tục bên trái tại xo Ù lim− f ( x) = f ( xo ) x → x0 3)Liên tục trên khoảng , đoạn : • f(x) liên tục trên khoảng (a,b) Ù f(x) liên tục tại mọi x ∈ (a,b) • f(x) liên tục trên đoạn [a,b] ⇔ f(x) liên tục trên khoảng (a,b) f(x) liên tục bên phải tại a f(x) liên tục bên trái tại b VD : Xét tính liên tục : a) f(x) = x x tại x = 0 ⎧ sin kx ⎪ b) f(x) = ⎨ x ⎪⎩ 2 Khi x ≠ 0 Khi x = 0 Trang 5 tại x = 0 ⎧x ⎪ c) f(x) = ⎨ x ⎪⎩ 1 Khi x ≠ 0 tại x = 0 Khi x = 0 Khi x ≤ 2 ⎧ x2 d) f(x) = ⎨ tại x = 2 ⎩2 x + 7 Khi x > 2 4) Điểm gián đoạn : Định nghĩa : xo gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu f(x) không liên tục tại xo. Ví Dụ : Tìm điểm gián đoạn : sin x a) f(x) = x x +1 x ⎧1 Khi x > 0 ⎪ c) f(x) = ⎨ x ⎪⎩ x 2 Khi x ≤ 0 e) Ý nghĩa hình học : Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì đồ thị của nó là một đường liền nối từ điềm A(a,f(a)) đến B(b,f(b)) b) f(x) = B O A 1.2.2 Định Lý : a) Nếu f(x) và g(x) liên tục tại xo thì các hàm f(x) ± g(x) , f(x).g(x), f ( x) (g(x)≠0) g ( x) cũng liên tục tại xo. b) Nếu f(x) liên tục tại xo và g(y) liên tục tại yo= f(xo) thì hàm số hợp g[f(x)] liên tục tại xo. Một số kết quả : a) Đa thức P(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+ao liên tục trên R Trang 6 b) Hàm hữu tỉ f(x) = P( x) liên tục tại mọi điểm không phải là nghiệm của Q(x). Q ( x) c) Hàm số sơ cấp cơ bản liên tục tại mọi điểm nó xác định. d) Các hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó. Ghi chú : Tự nghiên cứu Hàm số sơ cấp cơ bản và Hàm sơ cấp . VD 1 : Xét tính liên tục của hàm số sau đây trên R : ⎧ sin πx Khi x ≠2 ⎪ f(x) = ⎨ x − 2 ⎪⎩ π Khi x =2 VD 2 : Xác định a để hàm số f(x) sau đây liên tục trên R : ⎧ 2x + 1 Khi x 1 ⎩x + x + a VD 3 : Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên R : ⎧ πx Khi -1 [...]... F(x,y,y’,y’’,…,y(n) )= 0 trong đó x là biến số độc lập, y là hàm số theo x , y’,y’’,…,y(n) là các đạo hàm của y • Cấp của phương trình là cấp cao nhất của đạo hàm • Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số y=ϕ(x) thỏa mãn phương trình 4.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 : 4.1.1 Khái niệm: 1 Phương trình vi phân cấp 1 : Phương trình vi là phương trình có dạng F (x,y,y’) = 0 Nếu có thể giải ra đối với y’ thì có... ’= (1- α ) y - α y’ Phương trình trên trở thành : u’+ (1- α ) p(x) u = (1- α )q(x) Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 đối với u Ví Dụ : Giải phương trình vi phân : y’ + 1 ĐS : y = x 3 ln K x3 Trang 3 y = x2 y4 x (1) 4.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 : 4.2.1- Khái niệm : Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’) = 0 Nếu giải được phương trình đối với y’’, ta có dạng khác :y’’= f(x,y,y’)... là các giá trị xác định của C1, C2 Tích phân tổng qt : φ(x,y,C2,C2) = 0 4.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 : y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x) Ta xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng : y’’ + py’ + qy = f(x) (1) ( p,q hằng số) Bước 1 : Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất : y’’ + py’ + qy = 0 (2) Giải phương trình đặc trưng : (3) k2 + pk + q = 0 Ta có 3 trường hợp... 2) ≤ 1 2 2 quanh trục ox Bài Tập Phương trình Vi phân PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 : • PTVP biến số phân ly: 1) xdx + ydy = 0 2) x2(y + 1) dx + (x3 - 1) (y - 1)dy = 0 3) xy’+ y = 0 4) y’cosx = ; y (3) = 1 y ; y (0) = 1 ln y 5) ln (cosy) dx + xtgydy = 0 6) yy ' + ey = 0 ; y (1) = 0 x 7) y’ = ex-y 8) y’ = 2 x – y ; y (-3) = - 5 9 (1 + x3) dy - x2ydx = 0 ; y(1) = 2 • PTVP đẳng cấp : 9/ (x 2 + 2xy) dx +...( dạng 0 ∞ ) Ví Dụ 4 : Tìm lim( x 2 ln x) x→0 2.3.2 Khảo sát hàm số trong hệ toạ độ Descartes : Sơ đồ khảo sát hàm số : 1• Miền xác định 2• Đạo hàm : • Cấp 1 : Tăng, giảm – Cực trị • Cấp 2 : Lồi, lõm, điểm uốn 3• Giới hạn – Tiệm cận 4• Bảng biến thiên – Điểm đặc biệt 5• Vẽ đồ thị : Ví Dụ 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y= 2 x 2 + 3x − 2 2( x 2 + 1) Ghi chú : Cực... ∫ f ( x)dx = ∫ g ( y)dy F(x) = G(y) + C Ví Dụ 1 : Giải phương trình vi phân : xy’ + y = 0 Ví Dụ 2: Giải phương trình vi phân : y’ = tgxtgy 4.1.3 Phương trình vi phân đẳng cấp : 1 Định nghĩa : Phương trình vi phân được gọi là đẳng cấp đối với x và y là phương trình có dạng : y’ = f ( y ) x 2 Cách giải : Đặt u = y y = ux x Suy ra : f(u) = u + x => y’ = u’x + u du du x = f (u) - u dx dx Nếu f... phương trình vi phân y’ = xy x − y2 2 Ví Dụ2 : Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y’ = với điều kiện ban đầu y (1) = π 2 4.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 : Trang 2 y y + sin x x 1 Định Nghĩa : Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng y’ + p(x).y = q(x) (1) trong đó p (x) và q (x) là những hàm liên tục 2 Cách giải : y’+ p(x)y = q(x) (1) Bước 1 : Giải phương trình... Bernouilli : y x 17) y’ + = x2y4 ĐS : y = x 3 ln y y2 = 18) y’ – x −1 x −1 ĐS : y = PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 : 1) y’’ -4y’ +3y = 0 2) y’’ -2y’ + y = 0 3) y’’ +y’ +2y = 0 4) y’’ – 3y’- 4y = e -x (x-2) 5) y’’- 4y’ = e2x ( x2 + x+1) 6) y’’ + 3y’ = x2-1 7) y’’ - 4y’+ 4y = e2xx2 8) y’’ – 2y’ = 2cos2x BÀI TẬP ƠN THI 1) y’ + sin(x+2y) = sin (x-2y) 2) y = lny ; y (2) = 1 y' 3) y’ = - x2 + y x y ⎛ y⎞ 4) y’... của pt đặc trưng • y = x [ Ql(x) cos β x + Rl(x) sin β x ] nếu ± i β trùng với nghiệm của pt đặc trưng ( l = max (m,n) ) Ví Dụ : Giải phương trình : a)y’’ + y’ = sin 2x Trang 5 b)y’’+ y = xsinx Trang 6 Bài Tập Chương 1 :Giới hạn-Liên tục Tìm giới hạn : 1) a) lim 2) a) lim x→2 x2 − x + 1 2x + 3 x 3 − 3x 2 + 5 x →∞ ( 2 x 2 + 4)(6 − x ) x2 +1 −1 c) lim x →0 3) ( x + 2)( x − 1) x →1 ( x + 1)( x − 3) b) lim... 3 4 x + 1 x2 ) x −1 2 ⎧ x = a cos t 7 a) ⎨ ⎩ y = b sin t ⎧ x = arcsin t b) ⎨ 2 ⎩y = 1− t ⎧ x = ln(1 + t 2 ) c) ⎨ ⎩ y = t − arctgt ⎧ x = t 3 + 3t + 1 d) ⎨ tại x =1 5 3 ⎩ y = 3t + 5t + 1 8 Tính đạo hàm cấp n : a) y = 1 x b) y = ln(1+x) c) y = cosx 9 Chứng minh rằng nếu y = exsinx thì y’’ – 2y’ + 2y = 0 10 Chứng minh rằng nếu y = acos(lnx) + bsin(lnx) thì x2y’’ + xy’ + y = 0 11 Chứng minh rằng arcsinx ... lim x 1 xm 1 ( dạng ) n x 1 x VD : lim x → +∞ (dạng x+ x+ x V D : lim (1 − x)tg x 1 πx ∞ ) ∞ (dạng 0.∞) VD : lim ( ( x + 1) ( x + 2) − x) (dạng ∞ - ∞ ) x →+∞ 1. 2 Hàm số liên tục : 1. 2 .1 Định... (cotgx)’ = 1 sin x ( arcsinx)’ = (arctgx)’ = (tgu)’ = 1 x2 1+ x2 u' cos u (cotgu)’ = − u' sin u ( arcsinu)’ = (arctgu)’ = u' 1 u2 u' 1+ u2 2 .1. 5 Đạo hàm cấp cao : 2.2 VI PHÂN : 2.2 .1 Định nghĩa... C (9) dx ∫ cos x dx (10 ) ∫ sin (11 ) ∫ (12 ) 1+ x Trang = tgx + C x = − cot gx + C dx 1 x2 dx = arcsin x + C = arctgx + C Ví Dụ : )dx − x 1+ x2 1 b) I = ∫ ( x + x + x ) (1 + + )dx x x a) Tính