Bài tập toán cao cấp c2

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Cho ma trận : 1⎤ ⎡1 − 2⎤ ⎡2 ⎢ ⎢ ⎥ A = ⎢3 − 0⎥ B = ⎢0 − 2⎥⎥ ⎢⎣1 − − ⎥⎦ ⎢⎣1 − ⎥⎦ Gọi C = 2A – 3B , D = 3At + Bt , E = At.B Tìm c23, d31, e43 Cho ma trận : ⎡2 ⎤ A = ⎢⎢− 1 ⎥⎥ B = ⎢⎣ − 2⎥⎦ ⎡ 1⎤ ⎢ 3⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣− 1⎥⎦ Gọi C= 3A + 4I - 5B , D = A2 , E = AI – B2 , F = AB – BA Tìm c21, d33, e22, f13 ⎡ 1⎤ ⎡1 ⎤ Cho ma trận : B = ⎢ C = ⎥ ⎢4 − 1⎥ ⎣ − 0⎦ ⎣ ⎦ Tìm ma trận A , biết a A = 2B + 3C b AB = C Đưa ma trận sau dạng bậc thang : ⎡1 − ⎤ 0⎥⎥ a ⎢⎢0 ⎢⎣0 − − 1⎥⎦ ⎡1 ⎤ b ⎢⎢2 ⎥⎥ ⎢⎣3 12⎥⎦ − − 1⎤ ⎡1 ⎢ − ⎥⎥ ⎢ c ⎢1 13 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣− − 10 ⎦ Tìm ma trận đảo : ⎡1 2⎤ a ⎢ ⎥ ⎣3 ⎦ ⎡5 − 4⎤ b ⎢ ⎥ ⎣ − 3⎦ ⎤ ⎡− ⎢ c ⎢ 1 ⎥⎥ ⎢⎣ − − 4⎥⎦ Tìm hạng ma trận : ⎡3 − 4⎤ ⎡ 2⎤ a ⎢ b ⎢⎢0 ⎥⎥ ⎥ ⎣3 5⎦ ⎢⎣0 2⎥⎦ −4⎤ ⎡0 ⎢− − ⎥ ⎢ ⎥ d ⎢ e ⎥ ⎢ ⎥ − 10⎥ ⎢0 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎡ 6⎤ d ⎢⎢3 1⎥⎥ ⎢⎣1 3⎥⎦ ⎡ − − 4⎤ c ⎢⎢4 − ⎥⎥ ⎢⎣2 − 1 2⎥⎦ 0⎤ ⎡1 ⎢1 − − − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢2 14 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣6 42 13 − 3⎦ Tìm ma trận đảo định thức : ⎡2 3⎤ a ⎢ ⎥ ⎣3 5⎦ ⎡ cos x sin x ⎤ b ⎢ ⎥ ⎣− sin x cos x ⎦ ⎡1 − 1⎤ c ⎢⎢2 ⎥⎥ ⎢⎣5 ⎥⎦ ⎡1 a a ⎤ ⎢ ⎥ d ⎢0 a ⎥ ⎢0 ⎥ ⎣ ⎦ Xét tồn nghiệm hệ phương trình : ⎧ x1 − x + x3 = ⎪ a) ⎨− x1 + x + x3 = ⎪ x − x + x =1 ⎩ ⎧ x1 − x − x3 + x = ⎪ x + x − 2x + 4x = ⎪ b) ⎨ ⎪ x1 + x + x3 − x = − ⎪⎩12 x1 − x + x3 − x = 10 ⎧ x1 + x − x3 = 16 ⎪ c) ⎨ x1 − x + x3 = − 11 ⎪ − x + x + 3x = ⎩ Giải hệ phương trình Cramer : ⎧ x1 + x − x3 = − ⎪ a) ⎨ x1 − x + x3 = ⎪− x + x + x = 14 ⎩ ⎧ x1 + x − x3 = ⎪ d) ⎨− x1 + x − x3 = ⎪ x − x + x =1 ⎩ ⎧ x1 + x + x3 + x = 30 ⎪− x + x − x + x =10 ⎪ c) ⎨ x − x3 + x = ⎪ ⎪⎩ x1 + x + x3 + x = 10 ⎧ x1 + x − x3 = − ⎪ b) ⎨− x1 + x + x3 = ⎪ 2x − x − x = 2 ⎩ ⎧ x1 + x − x3 = ⎪ e) ⎨3 x1 − x + x3 = ⎪ x − x + 3x =1 ⎩ = ⎧ x1 − x ⎪ f) ⎨ 3x1 + x + x3 = ⎪ x + x3 = − ⎩ 10 Giải hệ phương trình phương pháp Gauss : ⎧ x1 + x − x3 = ⎪ a) ⎨ x1 − x + x3 = ⎪ x + 3x − x = − ⎩ ⎧ x1 − x − x3 + x = ⎧ x1 + x − x3 = ⎪ ⎪ b) ⎨3 x1 − x − x3 + x = c) ⎨ x1 + x + x3 = ⎪ ⎪2 x − x + x = − x1 + x + x3 = ⎩ ⎩ ⎧ ⎧ x1 − x + x3 + x = ⎪ ⎪ ⎪ d) ⎨ x1 − x + x3 − x = − e) ⎨ ⎪ x − x + x + 5x = ⎪ ⎩ ⎪⎩ x1 + x + x3 = ⎧ x1 + x + x3 − x + x5 =1 x1 + x − x3 = − ⎪⎪ x1 − x + x3 + x − x5 = f) ⎨ x1 + x − x3 = ⎪3x1 + 3x − x3 − x + x5 = x1 + x − x3 = ⎪⎩4 x1 + x − x3 − x + x5 = 3 11 Giải hệ phương trình tuyến tính : ⎧ x1 − x + x3 = ⎪ a) ⎨− x1 + x + x3 = ⎪ 2x − x + 4x = ⎩ ⎧ x1 + x + x3 = ⎪ b) ⎨ x1 + x + x3 = ⎪ 2x + 6x + 6x = ⎩ ⎧ x1 − x + x = ⎪ c) ⎨2 x1 + x − x3 + x = ⎪ − 3x + x − x = ⎩ BÀI TẬP CHƯƠNG Cho vectơ chiều : a1=(2,1,0) , a2=(1,-1,1) a3=(0, 1,-2) a Tìm vectơ u = 3a1 – 2a2 + a3 b Tìm vectơ x cho a1 + x = a2 + a3 c Tìm vectơ v tổ hợp tuyến tính a1,a2,a3 với hệ số 4,3,5 d Vectơ x = (1,2,3) có phải tổ hợp tuyến tính vectơ a1,a2,a3 không ? Cho vectơ chiều : a1=(1,1,2) a2=(0,-1,1) a Các số u1,u2,u3 thỏa điều kiện để vectơ u = (u1,u2,u3) tổ hợp tuyến tính theo a1 a2 b Vectơ sau tổ hợp tuyến tính a1 a2 : x = (1,2,5) ,y = (2,4,2) Xét độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ sau : a a1=(1,3,-1) , a2=(-1,2,1) a3=(2, -1,-1) b a1=(1,2,-1) , a2=(4, 1,2) a3=(2, -3,4) c a1=(1,1,2) , a2=(2,-1,1) a3=(5, -1,m) Tìm hạng hệ vectơ : a a1=(0,1,2) , a2=(2,-1,1) a3=(-3, 0,1) b a1=(1,-2,0,3) , a2=(0,0,1,0) a3=(0, -2,-1,1) c a1=(1,2,3, 4) , a2=(-1,2,-3,4) , a3=(0,1,-1,1) a4=(1,1,1,1) Xét độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính hệ vectơ sau : a a1=(1,-2,0) , a2=(3,2,1) a3=(0,1,2) b a1=(1,-1,2,-1) , a2=(2, 1,0,2) a3=(1, 2,4,-1) c a1=(1,0,2) , a2=(2,2,1) ,a3=(3, -1,0) a4=(-1,1,0) Hệ vectơ sau sở R3 : a a1=(1,7,0) , a2=(1,-5,1) b a1=(1,0,2,0) , a2=(1, 1,0,1) , a3=(1, 0,4,3) a4=(0, -2,4, 1) c a1=(1,0,1) , a2=(2,1,1) a3=(-3, 2,0) d a1=(1,1,1) , a2=(0,1,1) a3=(2, 2,2) Trong R3 cho sở tắc (e) sở (u)={u1,u2,u3} với u1=(0,1,1), u2=(1,0,1), u1=(1,1,0) a Tìm ma trận đổi sở từ (e) sang (u) b Tìm công thức đổi tọa độ từ (e) sang (u) c Tìm tọa độ vectơ x = (25,8,51) sở (u) d Tìm tọa độ vectơ y biết tọa độ y sở (u) (31,12,50)(u) Trong R3 cho vectơ : u1=(m,1,1), u2=(1,m,1), u3=(1,1,m) a Tìm m để hệ (u)={u1,u2,u3} sở R3 b Đặt (v)=(u) m=0 (w)=(u) m=-1.Chứng tỏ (v) (w) hai sở R3 c Tìm ma trận đổi sở từ (v) sang (w) d Cho x = (1,2,3),tìm tọa độ x sở (v) (w) e Cho biết tọa độ y sở (w) (5,12,51)(u),tìm tọa độ y sở (v) BÀI TẬP CHƯƠNG Cho ánh xạ f : R2 → R2 xác định f(x1,x2) = (x1+2x2,x1-x2) a Chứng tỏ f ánh xạ tuyến tính b Tìm ma trận tắc ánh xạ f c Tìm ma trận ánh xạ f sở (u) = {u1,u2} với u1=(1,1) , u2=(1,0) Cho ánh xạ f : R3 → R2 xác định f(x1,x2,x3) = (2x1+x2-x3,x1+x2-3x3) a Chứng tỏ f ánh xạ tuyến tính b Tìm ma trận tắc f c Tìm ma trận ánh xạ f sở (u) = {u1,u2, u3} với u1=(1,1,1) , u2=(1,1,0), u3=(1,0,0) R3 (v) = {v1,v2} với v1=(1,2) ,v2=(0,2) R2 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 xác định f(x1,x2,x3) = (x1+2x2+x3,x1+5x2+x3) a Tìm ma trận tắc f b Tìm ma trận ánh xạ f sở (u) = {u1,u2, u3} với u1=(1,1,1) , u2=(1,1,0), u3=(1,0,0) R3 (v) ={v1,v2} với v1=(1,3) ,v2=(-1,2) R2 Tìm giá trị riêng vectơ riêng ma trận : ⎡ 1⎤ ⎡ 4⎤ a A = ⎢ b B = ⎢ ⎥ ⎥ c C = ⎣ 3⎦ ⎣2 1⎦ ⎡1 2⎤ ⎢ 4⎥ ⎣ ⎦ Tìm giá trị riêng vectơ riêng ma trận : ⎡2 ⎤ ⎡3 2⎤ ⎢ ⎥ b B = ⎢⎢ −1⎥⎥ c C = a A = 1 −2 ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ −3 −1 ⎥⎦ ⎡2 1⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ Tìm giá trị riêng, vectơ riêng sở không gian riêng ma trận sau : ⎡5 0⎤ ⎡ 0⎤ ⎡ −1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ a A = ⎢ −3 ⎥ b B = ⎢1 ⎥ c C = ⎢⎢ −4 ⎥⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ −1 ⎥⎦ ⎢⎣ −1 −2 ⎥⎦ Các ma trận sau có chéo hóa hay không ? ⎡ −2 −2 −2 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎢ ⎥ a A = ⎢ 0 ⎥ b B = ⎢⎢ ⎥⎥ c C = ⎢⎣ 4 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎡2 1⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 ⎥⎦ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 với f(x1,x2,x3) = (x1 +x2 +x3, x1 +x2 +x3 ,x1 +x2 +x3) a Tìm ma trận tắc A ánh xạ f b Ma trận A có chéo hóa hay không ? Nếu có làm chéo A Đưa dạng toàn phương sau dạng tắc, xác định dấu chúng (trong R3)và phép biến đổi tọa độ tương ứng : a Q= x12+5x22+8x32-2x1x2+4x2x3+4x1x3 b Q= -2x12+6x22+x32-4x1x2+8x2x3+4x1x3 c Q= x12+2x22+6x32-2x1x2-6x2x3+2x1x3 ... x1 + x + x3 = ⎪ 2x + 6x + 6x = ⎩ ⎧ x1 − x + x = ⎪ c) ⎨2 x1 + x − x3 + x = ⎪ − 3x + x − x = ⎩ BÀI TẬP CHƯƠNG Cho vectơ chiều : a1=(2,1,0) , a2=(1,-1,1) a3=(0, 1,-2) a Tìm vectơ u = 3a1 – 2a2 +... (1,2,3),tìm tọa độ x sở (v) (w) e Cho biết tọa độ y sở (w) (5,12,51)(u),tìm tọa độ y sở (v) BÀI TẬP CHƯƠNG Cho ánh xạ f : R2 → R2 xác định f(x1,x2) = (x1+2x2,x1-x2) a Chứng tỏ f ánh xạ tuyến