Đưa các ma trận sau đây về dạng bậc thang : a... Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau đây : a.. Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của cá
Trang 1BÀI TẬP CHƯƠNG 1
1 Cho các ma trận :
A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
− 1 3 2 1
0 1 2 3
2 1 0 1
và B =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
1 2 3 1
2 3 2 0
1 0 1 2
Gọi C = 2A – 3B , D = 3At + Bt , E = At.B Tìm c23, d31, e43
2 Cho các ma trận :
A =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
2 0 3
3 1 1
0 1 2
và B =
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3 2 1
1 1 0
Gọi C= 3A + 4I - 5B , D = A2 , E = AI – B2 , F = AB – BA Tìm c21,d33, e22, f13
3 Cho các ma trận : B = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−3 0
1 2
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−1 4
2 1
Tìm ma trận A , biết rằng
a A = 2B + 3C b AB = C
4 Đưa các ma trận sau đây về dạng bậc thang :
a
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
1 1 2 0
0 1 0 0
3 0 2 1
b
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
12 9 6 3
8 6 4 2
4 3 2 1
c
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
10 8 6 2
13 6 1 1
1 2 5 2
1 2 3 1
5 Tìm ma trận đảo :
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ 7 3
2 1
b ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
− 3 4
4 5
c
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
4 3 2
1 1 0
6 4 3
d
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3 2 1
1 1 3
6 4 2
6 Tìm hạng của các ma trận :
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ 5 3
2 4
b
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
2 4 0
1 2 0
4 1 3
c
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
2 8 1 1 2
7 1 5 2 4
4 2 3 1 2
d
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
0 3 2
10 5
0
7 1 3
5 4 1
4 2 0
e
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
3 13 3 42 6
0 7 2 14 2
2 2 1 7 1
0 3 1 7 1
Trang 27 Tìm ma trận đảo bằng định thức :
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ 5 3
3 2
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
x x
cos sin
sin cos
c
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
2 8 5
1 3 2
1 1 1
d
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1 0 0
1 0
a
a a
8 Xét sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình :
a)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= +
−
= + +
−
= +
−
1 4 2 2
2 4
3
0 2
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
x x x
b)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
− +
−
−
=
− + +
= +
− +
= +
−
−
10 2 2
12
9 6
3 2
5 4 2
1 2 3
4 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
c)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= + +
−
−
= +
−
=
− +
7 3
11 4
16 3
2
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
x x x
9 Giải hệ phương trình Cramer :
a)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= + +
−
= +
−
−
=
− +
14 2
5 2
1 2
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
x x x
b)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−
−
= + +
−
−
=
− +
2 2
1 2
1 3
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
x x x
c)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
= + + +
= +
−
= +
− +
−
= + + +
10 3
10 4 3 2
30 4 3 2
4 3 2 1
4 3 2
4 3 2 1
4 3 2 1
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
d)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= +
−
=
− +
−
=
− +
1 4 2
0 2
3 2
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
x x x
e)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= +
−
= +
−
=
− +
1 3 5
2 3 2 3
4
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
x x x
f)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
= +
= + +
=
−
1 2
1 2
3
1 2
3 2
3 2 1
2 1
x x
x x x
x x
10 Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss :
a)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
− +
= +
−
=
− +
1 2
3
5
2 2
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
x x x
b)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= + +
−
= +
−
−
= +
−
−
0 2 2
4 2 4 6 3
2 2
3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
x x x
x x x x
x x x x
c)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= +
−
= + +
=
− +
2 4 3 2
1 2 4
3 2
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
x x x
d)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= + +
−
−
=
− +
−
= + +
−
5 5 2
1 2
1 2
4 3 2 1
4 3 2 1
4 3 2 1
x x x x
x x x x
x x x x
e)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
− +
=
− +
−
=
− +
= + +
1 3 2
1 2 2
1 3
3
3 2 1
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
x x x
x x x
f)
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
= +
−
− +
= +
−
− +
=
− + +
−
= +
− + +
3 7 5 5 5 4
2 4 3 3 3 3
0 2
1 2
5 4 3 2 1
5 4 3 2 1
5 4 3 2 1
5 4 3 2 1
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
11 Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất :
a)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= +
−
= + +
−
= +
−
0 4 2
0 4
2
0 2
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
x x x
b)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= + +
= + +
= + +
0 6 6 2
0 3 3
0 2
3 2 1
3 2 1
3 2 1
x x x
x x x
x x x
c)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
− +
−
= +
− +
= +
−
0 2 3
0 2
0 2
4 3 1
4 3 2 1
4 2 1
x x x
x x x x
x x x
Trang 3BÀI TẬP CHƯƠNG 2
1 Cho các vectơ 3 chiều : a1=(2,1,0) , a2=(1,-1,1) và a3=(0, 1,-2)
a Tìm vectơ u = 3a1 – 2a2 + a3
b Tìm vectơ x sao cho a1 + x = a2 + a3
c Tìm vectơ v là tổ hợp tuyến tính của a1,a2,a3 với các hệ số 4,3,5
d Vectơ x = (1,2,3) có phải là tổ hợp tuyến tính của các vectơ a1,a2,a3 không ?
2 Cho các vectơ 3 chiều : a1=(1,1,2) và a2=(0,-1,1)
a Các số u1,u2,u3 thỏa điều kiện gì để vectơ u = (u1,u2,u3) là tổ hợp tuyến tính theo a1 và a2
b Vectơ nào sau đây là tổ hợp tuyến tính của a1 và a2 :
x = (1,2,5) ,y = (2,4,2)
3 Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau đây :
a a1=(1,3,-1) , a2=(-1,2,1) và a3=(2, -1,-1)
b a1=(1,2,-1) , a2=(4, 1,2) và a3=(2, -3,4)
c a1=(1,1,2) , a2=(2,-1,1) và a3=(5, -1,m)
4 Tìm hạng của hệ các vectơ :
a a1=(0,1,2) , a2=(2,-1,1) và a3=(-3, 0,1)
b a1=(1,-2,0,3) , a2=(0,0,1,0) và a3=(0, -2,-1,1)
c a1=(1,2,3, 4) , a2=(-1,2,-3,4) , a3=(0,1,-1,1) và a4=(1,1,1,1)
5 Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau đây :
a a1=(1,-2,0) , a2=(3,2,1) và a3=(0,1,2)
b a1=(1,-1,2,-1) , a2=(2, 1,0,2) và a3=(1, 2,4,-1)
c a1=(1,0,2) , a2=(2,2,1) ,a3=(3, -1,0) và a4=(-1,1,0)
6 Hệ vectơ nào sau đây là cơ sở của R3 :
a a1=(1,7,0) , a2=(1,-5,1)
b a1=(1,0,2,0) , a2=(1, 1,0,1) , a3=(1, 0,4,3) và a4=(0, -2,4, 1)
c a1=(1,0,1) , a2=(2,1,1) và a3=(-3, 2,0)
d a1=(1,1,1) , a2=(0,1,1) và a3=(2, 2,2)
7 Trong R3 cho cơ sở chính tắc (e) và cơ sở (u)={u1,u2,u3} với u1=(0,1,1), u2=(1,0,1),
u1=(1,1,0)
a Tìm ma trận đổi cơ sở từ (e) sang (u)
b Tìm công thức đổi tọa độ từ (e) sang (u)
c Tìm tọa độ của vectơ x = (25,8,51) trong cơ sở (u)
d Tìm tọa độ của vectơ y khi biết tọa độ của y trong cơ sở (u) là (31,12,50)(u)
8 Trong R3 cho các vectơ : u1=(m,1,1), u2=(1,m,1), u3=(1,1,m)
a Tìm m để hệ (u)={u1,u2,u3} là một cơ sở của R3
b Đặt (v)=(u) khi m=0 và (w)=(u) khi m=-1.Chứng tỏ (v) và (w) là hai cơ sở của R3
c Tìm ma trận đổi cơ sở từ (v) sang (w)
d Cho x = (1,2,3),tìm tọa độ của x trong cơ sở (v) và (w)
e Cho biết tọa độ của y trong cơ sở (w) là (5,12,51)(u),tìm tọa độ của y trong cơ
sở (v)
Trang 4
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
1 Cho ánh xạ f : R2 → R2 xác định bởi f(x1,x2) = (x1+2x2,x1-x2)
a Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính
b Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ f
c Tìm ma trận của ánh xạ f đối với cơ sở (u) = {u1,u2} với u1=(1,1) , u2=(1,0)
2 Cho ánh xạ f : R3→ R2 xác định bởi f(x1,x2,x3) = (2x1+x2-x3,x1+x2-3x3)
a Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính
b Tìm ma trận chính tắc của f
c Tìm ma trận của ánh xạ f đối với cơ sở (u) = {u1,u2, u3} với u1=(1,1,1) ,
u2=(1,1,0), u3=(1,0,0) trong R3 và (v) = {v1,v2} với v1=(1,2) ,v2=(0,2) trong R2
3 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3→ R2 xác định bởi f(x1,x2,x3) = (x1+2x2+x3,x1+5x2+x3)
a Tìm ma trận chính tắc của f
b Tìm ma trận của ánh xạ f đối với cơ sở (u) = {u1,u2, u3} với u1=(1,1,1) ,
u2=(1,1,0), u3=(1,0,0) trong R3 và (v) ={v1,v2} với v1=(1,3) ,v2=(-1,2) trong R2
4 Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của các ma trận :
a A = 2 1
0 3
⎣ ⎦ b B =
3 4
2 1
⎣ ⎦ c C =
1 2
2 4
5 Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của các ma trận :
a A =
b B =
c C =
2 2 1
1 3 1
1 2 2
6 Tìm giá trị riêng, vectơ riêng và cơ sở không gian riêng của các ma trận sau :
a A =
−
b B =
5 0 0
1 5 0
0 1 5
c C =
4 4 0
1 1 2
7 Các ma trận sau đây có chéo hóa được hay không ?
a A =
0 1 1
0 0 2
0 0 1
b B =
c C =
2 1 1
1 2 1
1 1 2
8 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3→ R3 với f(x1,x2,x3) = (x1 +x2 +x3, x1 +x2 +x3 ,x1 +x2 +x3)
a Tìm ma trận chính tắc A của ánh xạ f
b Ma trận A có chéo hóa được hay không ? Nếu có hãy làm chéo A
9 Đưa dạng toàn phương sau đây về dạng chính tắc, xác định dấu của chúng (trong R3)và chỉ ra phép biến đổi tọa độ tương ứng :
a Q= x12+5x22+8x32-2x1x2+4x2x3+4x1x3
Trang 5b Q= -2x12+6x22+x32-4x1x2+8x2x3+4x1x3
c Q= x12+2x22+6x32-2x1x2-6x2x3+2x1x3