Bài giảng toán cao cấp a3

CHƯƠNG : TÍCH PHÂN ĐƯỜNG –TÍCH PHÂN MẶT 6.1 Tích phân đường loại 6.1.1 Định nghĩa Cho hàm số f(x, y) xác định cung phẳng AB  Chia cung AB thành n cung nhỏ điểm A = A0, A1, , An = B Gọi độ dài cung Ai-1Ai si  Trên cung nhỏ Ai-1Ai lấy điểm tuỳ ý Mi(xi, yi)  Lập tổng tích phân In = n  f ( x , y )s i 1 i i i  Nếu lim I n tồn mà không phụ thuộc cách chia cung AB cách chọn n điểm Mi gọi tích phân đường loại hàm số f(x, y) theo cung AB Ký hiệu : I=  f ( x, y )ds AB Ghi :  Nếu hàm số f (x, y) có tích phân đường loại I theo cung AB ta nói hàm số f(x, y) khả tích cung AB  Cung AB cho phương trình : y = y(x) với a  x  b gọi cung trơn hàm số y = y(x) có đạo hàm liên tục [a,b]  x  x(t ) ( t1  t  t2 ) gọi  y  y (t )  Cung AB cho phương trình tham số  cung trơn hai hàm số x = x(t) y = y (t) có đạo hàm liên tục đoạn [ t1, t2 ] Định lý: Nếu hàm số f(x, y) liên tục cung trơn AB khả tích cung 6.1.2 Cách tính tích phân đường loại 1 Nếu cung AB trơn, cho phương trình y = y(x), a  x  b f(x, y) liên tục AB :  b f ( x, y )ds =  f ( x, y( x))  ( y '( x)) dx a AB  x  x(t )  y  y (t ) Nếu cung AB trơn, cho phương trình tham số  ( t1  x  t2 ) hàm f(x, y) liên tục AB :  t2  f ( x(t ), y(t )) f ( x, y )ds = ( x '(t ))  ( y '(t )) dt t1 AB Nếu cung AB cho toạ độ cực r  r(),      Khi coi  tham số, ta có phương trình cung AB x  r()cos  y  r()sin   x2  y2  r()2  r()2 Vậy  f ( x, y )ds =  f(r()cos, r()sin ) r()2  r()2 d   AB Tích phân đường loại không gian Cho hàm số f(x, y, z) liên tục cung trơn AB có phương trình tham số x = x(t), y = y(t), z = z(t), t1  t  t Khi  t2 f ( x, y, z )ds =  f ( x(t ), y(t ), z (t )) ( x '(t ))  ( y '(t ))  ( z(t )) dt t1 AB Ví dụ Tính  (x  y)ds , với C – tam giác với đỉnh O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1) C Giải Ta có   C    OA AB BO Trên OA: y = 0, ds = dx Suy  OA (x  y)ds   xdx  Trên OB: x = 0, ds = dy Suy  (x  y)ds   ydy  OB Trên AB: y = – x Suy  (x  y)ds   dx  ds   (y(x))2 dx  2dx  AB Vậy  (x  y)ds   C Ví dụ Tính  x  y ds,C : x  y  ax C Giải   Đưa C toạ độ cực ta r = acos  ,     , r  r2  a  Vậy x  y ds  C   ard  a  cosd  2a  Ví dụ Tính I   2     z ds, với cung AB có phương trình AB x  a cos t,y  as int,z  bt,0  t  Giải Ta có: I  AB b z ds   b2 t a2 sin t  a2 cos2 t  b2 dt a b 2  t dt  9b 2 a2  b Ví dụ Tính  x ds,C : x  y  C Giải Ngoài cách tính trực tiếp với C có phương trình y    x (hoặc đưa toạ độ cực), ta sử dụng tính đối xứng Vì đường tròn C đối xứng x 1 C  y nên rõ ràng ta có:  x ds    x ds   y ds   C  C (x  y )ds  2C Trên đường tròn C ta có x  y  Vậy  x ds   ds  2.4  8 C (  ds  chu vi đường tròn = 4 ) C C 6.2 Tích phân đường loại 6.2.1 Định nghĩa Cho hàm số P(x, y) Q(x, y) xác định cung AB  Chia cung AB thành n cung nhỏ điểm : A = A0, A1, ., An = B   Gọi hình chiếu vectơ Ai 1 Ai trục Ox Oy xi yi  Trên cung Ai-1 Ai lấy điểm Mi (  i , i ) tùy ý  Lập tổng tích phân: In = n  i 1 [P(  i , i )xi + Q(  i , i )yi]  Nếu lim I n tồn không phụ thuộc cách chia cung AB cách chọn Mi n gọi tích phân đường loại hàm số P(x, y) Q(x, y) dọc theo cung AB Ký hiệu: I=  P(x, y) dx + Q(x, y) dy AB  Định lý : Nếu P(x, y) Q(x, y) liên tục cung trơn AB tích phân đường loại tồn  Chiều đường lấy tích phân :  AB Pdx + Qdy = -  Pdx  Qdy BA 6.2.2 Cách tính tích phân đường lọai Giả sử AB cung trơn hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục cung AB Nếu cung AB cho phương trình : y = y(x), a hoành độ A, b hoành độ B :  AB P(x, y) dx + Q(x, y) dy =  b a [P(x, y(x)) + Q(x, y(x)) y’(x)] dx Ví dụ Tính I   x ydx  ( x  y )dy , với L đường sau: L a (P): y = x2, nối O(0, 0) với A(1, 1) I   x ydx  ( x  y )dy   ( x  x  x )dx   L 15 b L đường thẳng nối O(0, 0) với A(1, 1) I   x ydx  ( x  y )dy   ( x  x)dx   L Nếu cung AB cho phương trình tham số { x  x (t ) y  y (t ) với đầu mút A, B theo thứ tự ứng với giá trị tA, tB tham số  tB P(x, y) dx + Q(x, y) dy =   P( x(t ), y(t )) x '(t )  Q( x(t ), y(t )) y '(t )dt tA AB Ví dụ Tính I   ydx  ( x  y )dy , với L đường nối A(1, 0) B(0, 1) L theo đường sau: a Đường gấp khúc ACB, với B(1, 1) b Đường tròn tâm O bán kính Giải a Ta có: I   ydx  ( x  y )dy  L  x   dx  Do Trên AC:  y : 1  y   dy  Do  y :1  Trên CB:    AC CB    (1  y)dy  AC  BC 0   dx  1 Vậy I =  x  cos t dx   sin tdt   ;0  t   y  sin t dy  cos tdt b Tham số hóa:    2 0 I   sin t.( sin t )dt  (cost  2sin t ) cos tdt   (  sin t  cos 2t  2sin t cos t )dt   2   (cos2t  sin 2t )dt  (sin 2t  cos2t )  0 Ví dụ Tính I   y dx  x dy C C – vòng tròn tâm (0, 0) bán kính C có phương trình x  cos t,y  sin t,0  x  2 2 Vậy I   sin t( sin t)  cos2 t(cos t)dt  0 Ghi :  Tích phân đường loại : chiều đường lấy tích phân không quan trọng  Tích phân đường loại : Phải ý chiều đường lấy tích phân  Trong trường hợp, L đường cong khép kín , ta tính tích phân đường lọai theo chiều dương L  Qui ước : Chiều dương đường cong kín chiều mà theo chiều ,ta thấy miền giới hạn bên trái Ký hiệu :  Pdx + Qdy L 6.2.3 Công thức Green Cho hai hàm P(x,y) Q(x,y) có đạo hàm riêng liên tục miền D L biên D, ta có công thức Green:  P(x, y) dx + Q(x, y) dy = L Q P  ( x  y )dxdy D Hệ quả: Nếu L đường biên kín miền D diện tích S miền D cho công thức : S= xdy-ydx L Ví dụ Tính I   xy dy  x ydx,C : x  y  C Ta có P  x y,Q  xy Q P   x2  y2 x y Vận dụng công thức Green ta I  (x  y )dxdy  x2  y2 1 2 0  d r dr   6.2.4 Sự độc lập đường lấy tích phân Định Lý Tích phân đường  P(x, y) dx + Q(x, y) dy phụ thuộc vào AB đầu mút A,B mà không phụ thuộc vào đường lấy tích phân từ A đến B : P Q  y x VD 1: Chứng minh tích phân I =  xe y dx + (3x + y + 1) e y dy không AN phụ thuộc vào đường lấy tích phân VD 2: Chứng minh tích phân I   ( x  y )dx  ( x  y )dy phụ thuộc vào AB đường lấy tích phân VD 3: Tính I   ( x  y )dx  ( y  3x)dy với A (1,1), B(2,3) AB (3,4) VD 4: Tính I =  ydx  xdy (0,1) 6.2.5 Ứng dụng tích phân đường loại s= Chiều dài cung:  ds AB Khối lượng cung: m=   ( x, y)ds AB với (x,y) khối lượng riêng M(x,y) Tọa độ trọng tâm cung xG =  x ( x, y)ds m AB  Nếu cung đồng , yG =  y  ( x, y)ds m AB xG =  xds s AB , yG =  yds s AB Với s độ dài cung AB VD 1: Tìm khối lượng cung tròn x = cost, y = sint (  t  ) khối lượng riêng M (x,y) y VD 2: Tìm tọa độ trọng tâm cung x = t - sint , y = - cost (0  t  ) 6.3 Tích phân mặt loại 6.3.1 Định nghĩa Cho hàm số f(x,y,z) xác định mặt S  Chia mặt S thành n mãnh nhỏ có diện tích Si (i= 1, n )  Trên mảnh nhỏ chọn điềm tùy ý Mi (xi , yi , zi)  Lập tổng tích phân: In = n  f (M )S i 1  Nếu lim I n i i tồn mà không phụ thuộc vào cách chia mặt S cách chọn n  điểm Mi gọi tích phân mặt loại hàm số f (x,y,z) mặt S Ký hiệu : I=  f ( x, y, z )dS S Định lý: Nếu mặt S trơn (nghĩa mặt S liên tục có pháp tuyến biến thiên liên tục) hàm số f(x,y,z) liên tục S tích phân mặt loại tồn Tích phân mặt loại I có tính chất giống tích phân kép 6.3.2 Cách tính tích phân mặt loại Giả sử mặt S cho pt z = z(x,y) z(x,y) liên tục, có đạo hàm riêng z’x z’y liên tục miền đóng bị chặn D với D hình chiếu S xuống mặt phẳng Oxy Nếu f (x,y,z) liên tục S ta có:  f ( x, y, z )dS S =  f ( x, y, z ( x, y)) D : p  z z , q y x  p  q dxdy Ví dụ Tính I   ( x  y )ds , S mặt cầu: x  y  z  R , z  S Giải Chiếu S xuống Oxy ta đường tròn: x  y  , miền mặt S có phương trình: z  R  x  y Do đó: ds  Vậy: I   ( x  y )ds   S Dxy 2 R 0 I  R  d  R R x y 2 R R2  x2  y ( x  y )dxdy r2 rdr   R R2  r Ví dụ Tính I   ( x  y  z )ds , S phần mặt phẳng : x  y  z  , S góc x  0, y  0, z  Giải Chiếu S xuống Oxy ta đường tròn: x  y  , miền mặt S có phương trình: z  R  x  y Do đó: ds  Vậy: I   ( x  y )ds   S Dxy 2 R I  R  d  0 R R x y 2 R R  x2  y 2 ( x  y )dxdy r2 rdr   R R r 2 6.3.3 Ứng dụng tích phân mặt loại 1 Diện tích mặt: S=  dS S Khối lượng mặt: m=   ( x, y, z )dS S Tọa độ trọng tâm mặt: xG  x  ( M )dS m  S với  ( x, y, z ) khối lượng riêng yG  y  ( M )dS m  S zG  z  ( M )dS m  S Nếu mặt S đồng phẳng thì: xG  xdS , S  S yG  1 ydS , zG   zdS  S S S S VD 1: Tính khối lượng mặt cầu bán kính R khối lượng riêng điểm bình phương khỏang cách từ đến đường kính cố định mặt cầu (  ( M )  R  x ) VD 2: Tính tọa độ trọng tâm phần mặt phẳng z= x giới hạn mặt phẳng x + y = 1, y = 0, x = 6.4 Tích phân mặt loại 6.4.1 Định nghĩa Nếu hàm P(x,y,z), Q (x,y,z), R (x,y,z) liên tục mặt S có định hướng tích phân mặt loại ba hàm số là:  Pdydz  Qdzdx  Rdxdy S Ghi chú:  Nếu đổi hướng mặt S tích phân đổi dấu  Tích phân mặt loại có tính chất giống tích phân kép 6.4.2 Cách tính tích phân mặt loại Việc tính tích phân mặt loại đưa việc tính tích phân kép Giả sử mặt S có phương trình z = z (x,y) liên tục, xác định D1 hình chiếu S mặt phẳng Oxy ta có:  Rdxdy   R( x, y, z ( x, y))dxdy S Các tích phân D1  Pdydz ,  Qdzdx S tính tương tự : S  Pdydz =  P( x( y, z ), y, z )dydz ;  Qdzdx =  Q( x, y( x, z ), z )dzdx S D2 S D3 VD 1: Tính I   xdydz  dzdx  xz dxdy S phần mặt cầu tâm O, S bán kính 1, nằm góc phần tám thứ có pháp vectơ hướng CHƯƠNG : CHUỖI 8.1 Chuỗi Số 8.1.1 Khái niệm chung Định Nghĩa chuỗi số: Cho dãy số u1, u2,…, un …  Biểu thức u1 +u2 +… + un +… gọi chuỗi số ký hiệu: un n1 Các số u1, u2,…, un … gọi số hạng chuỗi số, un gọi số hạng tổng quát n ui = u1+ u2+…+ un Tổng Sn = gọi tổng riêng thứ n chuỗi số i1 Sự hội tụ, phân kỳ :Cho chuổi số  u n 1 n Sn tổng riêng thứ n  Nếu lim Sn = S (hữu hạn) ta nói chuỗi số n  Ta viết   un hội tụ có tổng S n1   un =S n1  Nếu lim Sn =  lim Sn không tồn ta nói chuỗi n  n    un phân n1 kỳ Ta viết   un =  n1 Ví dụ Xét chuỗi   aq n 1  a  aq    aq n 1   , với a  n 1 Ta xét tổng riêng S n  a  aq    aq n 1  Nếu q = thì: S n  a  a    a  na   n   Do chuỗi phân kỳ  Nếu q = -1 thì: S n  a  a  a  a  Suy không tồn lim Sn Do n  chuỗi phân kỳ  a , nêu q  1  qn   Nếu q  thì: S n  lim a  1  q n  1 q   , nêu q  Trang Vậy   aq HT q  n 1 Ví dụ Xét chuỗi PK q  n 1   ln(1 )     (ln(n  1)  ln n) n n 1 n 1 Suy S n  (ln  ln1)  (ln  ln 2)    (ln(n  1)  ln n)  ln(n  1) Do lim S n  lim ln(n  1)   Vậy chuỗi phân kỳ n  n  Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ : a Định lý:   u n hội tụ => lim u n  n  n 1 b Hệ quả:  lim u n  lim u n không tồn =>  u n phân kỳ n  n  n 1 Ví Dụ : Xét hội tụ phân kỳ chuỗi số  a)  n 1 2n  n2 Ta có lim un  lim n   b)  arctg n 1 n  2n    Vậy chuỗi phân kỳ n2 n+1 n+3 Ta có lim un  lim arctg n  n  n 1   Vậy chuỗi phân kỳ n3  c)  (-1)n n 1 Ta có lim un  lim 5(1) n Giới hạn không tồn tại, chuỗi phân kỳ n  n  Tính chất chuỗi số   n 1 n 1 (1) Hai chuỗi số  u n  C un hội tụ phân kỳ ( C   n 1 n 1 số khác 0) Nếu chúng hội tụ :  C un = C  u n    n 1 n 1 n 1 (2) Nếu chuỗi số  u n  v n hội tụ chuỗi số  (un  vn)    n 1 n 1 n 1 hội tụ  (un  vn) =  u n   Trang   n 1 nk (3) Hai chuỗi số  u n  u n (k>1) hội tụ phân kỳ 8.1.2 Chuỗi số dương Định Nghĩa  Chuỗi số  u n gọi chuỗi số dương un >0,  n = 1,  n 1  Ví Dụ  n 1 , n   n 1 n2 1 , n2 n2 (n  1)!1.2 n   n 1 Điều kiện đủ để chuỗi số dương hội tụ  Sn bị chặn =>  u n hội tụ n 1 Ghi chú: Sn bị chặn nghĩa  A > : Sn  A ;n = 1,  Các tiêu chuẩn xét hội tụ chuỗi số dương a) Tiêu chuẩn so sánh   n 1 n 1  Tiêu chuẩn so sánh 1:Cho chuỗi số dương  un  Giả sử  no  N cho n≥no : un  Khi ta có :   n 1 n 1 Nếu  hội tụ  un hội tụ   n 1 n 1 Nếu  un phân kỳ  phân kỳ   n 1 n 1 Hệ quả: Giả sử   un chuổi số dương Nếu unvn n  hai chuỗi hội tụ phân kỳ   n 1 n 1  Tiêu chuẩn so sánh :Cho chuỗi số dương  un  Giả sử lim n   un = K Khi ta có :  Nếu < K < +   n 1  un  n 1 hội tụ phân kỳ  Nếu K =  n 1  hội tụ  n 1 un hội tụ   n 1 n 1 Nếu K = +   phân kỳ  un phân kỳ Ghi chú: Trang  Chuỗi số nhân :  qn n 1 * |q| ≥ : Phân kỳ * |q| : Hội tụ Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số sau: a)   (4n  5)(5n  1) n 1  1 1 :  Ta có: lim  n  (4n  5)(5n  1) n    20 Mà  n n 1 chuỗi điều hòa với   Do chuỗi hội tụ Vậy theo tiêu chuẩn so sánh 2, chuỗi cần xét hội tụ b)  n2 n 1 (n  2)    n2 1  :  Ta có: lim n     (n  2) n  Mà   n 1 n 3 chuỗi điều hòa với   Do chuỗi phân kỳ Vậy theo tiêu chuẩn so sánh 2, chuỗi cần xét phân kỳ b) Tiêu chuẩn Đa-lăm-be ( D’Alembert) u n1  D Khi ta có: n  u n  Cho chuỗi số dương  un Giả sử lim n 1 Nếu D <  u n 1 n hội tụ Nếu D >1 ( D = + )  u n 1 Trang n phân kỳ Ví Dụ Xét hội tụ, phân kỳ 2n  a)  n n 1  n   1 Chú ý : lim 1    e n    n n! b)  n n 1 n Giải 2n  3n 2n  1  lim   Vậy chuỗi hội tụ n  n  2n  n 3(2n  1) a Ta có lim n (n  1)! nn 1  n   lim   lim  1 b Ta có lim   lim n n n  ( n  1) n 1 n ! n  n  n n e    n 1   1   1    n   n Vậy chuỗi hội tụ c) Tiêu chuẩn Cô si (Cauchy) Cho chuỗi số dương  u n 1 Nếu C < n Giả sử lim n un  C Khi ta có : n   u n 1 Nếu C >1  u n 1 hội tụ n n phân kỳ Ví Dụ Xét hội tụ a)  ( n 1 3n  n2 ) 2n  b)   tg n 1 n  (  2) n Giải n  3n   a Ta có lim n un  lim n    Vậy chuỗi phân kì  n  n   2n         tg   Vậy chuỗi hội tụ 6 n  b Ta có lim n un  lim n tg n  n  n  8.1.3 Chuỗi đan dấu Định Nghĩa Chuỗi đan dấu chuỗi có dạng:   (-1)n+1un = u1- u2 + u3 - u4 + … + (-1)n+1un+… n 1   (-1)n un = - u1 + u2 - u3 +…+ (-1)n un +… n 1 Tiêu chuẩn Lép-nít ( Leibnitz) hội tụ chuỗi đan dấu Trang Nếu dãy số  un  giảm lim un = chuỗi đan dấu hội tụ có tổng n  nhỏ u1 Ví Dụ Xét hội tụ chuỗi đan dấu  a)   1n n 1 n  b)   1n n 1 n 1 Giải n 1 a Ta có: lim un  lim  dãy un  {1, , ,} dãy giảm n  n  Vậy chuỗi cho hội tụ 1  dãy un  { , ,} dãy giảm n  n  b Ta có: lim un  lim n  Vậy chuỗi cho hội tụ 8.1.4 Chuỗi có số hạng có dấu  Cho chuỗi số  un với un có dấu n 1   n 1 n 1 Định Lý Nếu  |un| hội tụ chuỗi  un hội tụ Định Nghĩa   n 1 n 1 Nếu  |un| hội tụ ta nói chuỗi  un hội tụ tuyệt đối    n 1 n 1 n 1 Nếu  |un| phân kỳ mà  un hội tụ ta nói  un bán hội tụ Ví Dụ Xét hội tụ bán hội tụ chuỗi số :  a)   1 n 1 n n  n  b)   1   n 1  2n    n n 8.2 Chuỗi hàm 8.2.1 Khái niệm chung Định Nghĩa: Cho dãy hàm u1 (x), u2(x), , un(x) Biểu thức   un(x) = u1(x) + u2(x) + + un(x) + gọi chuỗi n1 hàm tronG ui(x) (i  N) xác định tập X Tổng riêng thứ n chuỗi hàm Sn(x) = u1(x) + u2(x) + + un(x) Trang Sự hội tụ   Nếu với x0  X mà chuỗi số n 1 u n (xo) hội tụ x0 gọi điểm hội tụ chuỗi hàm Nếu với x0  X mà chuỗi số   n 1 u n (xo) phân kỳ x0 gọi điểm phân kỳ chuỗi hàm Tập hợp điểm hội tụ chuỗi hàm số gọi miền hội tụ chuỗi hàm Ví Dụ Chuỗi hàm  x n = x + x2 + x3 + + xn + hội tụ với x < phân kỳ n 1 với x  Miền hội tụ chuỗi hàm (- 1, 1) Ví dụ Chuỗi hàm  n n 1 x hội tụ x > phân kỳ x  Miền hội tụ (1, +) Ghi chú: Chuỗi hàm   u ( x) hội tụ tập X  Chuỗi hàm hội tụ  x  X n 1 n Sự hội tụ  Giả sử chuỗi hàm   u ( x) n 1 n hội tụ X có tổng S(x) Nếu Sn(x) tổng riêng thứ n lim S n ( x)  S ( x) n    Theo định nghĩa giới hạn: lim S n ( x)  S ( x)  > 0, no N : n  no => Sn( x)  S ( x)   n    Số no phụ thuộc vào  x Trong trường hợp no phụ thuộc  mà không phụ thuộc x, ta nói chuỗi hàm   u ( x) hội tụ S(x) tập X n 1 Cách khác:  n  u ( x) hội tụ S(x) tập X n 1 n => Sn( x)  S ( x)   , x  X Trang   > 0, no  N : n  no Tiêu chuẩn hội tụ a) Tiêu chuẩn Cauchy   u ( x) n 1 n hội tụ X   > 0:  no  N : p > q  no ta có S p ( x)  Sq ( x) < , x  X b) Tiêu chuẩn Weierstrass : Cho chuỗi hàm   u ( x) Nếu ta có chuỗi số   an hội tụ chuỗi hàm n 1 Ví Dụ1 Chuỗi hàm Thật un ( x)  an , n N , x  X n n 1   u ( x) hội tụ tuyệt đối n 1 n X  cos nx hội tụ tuyệt đối R 2n n 1  cos nx  n , n N, x R mà chuỗi 2n  2 n 1 n hội tụ  sin n nx Ví Dụ Chuỗi hàm  hội tụ tuyệt đối R n2 n 1 Thật sin n nx  , n , x R mà chuỗi n2 n  n n 1 hội tụ Tính chất hàm hội tụ  Định Lý 1: Cho chuỗi hàm   u ( x) Nếu số hạng un(x) liên tục tập X n 1 n   u ( x) hội tụ S(x) tập X S(x) liên tục tập X n 1 n  Định Lý 2: Cho chuỗi hàm   u ( x) Nếu số hạng un(x) liên tục [a,b] n 1 n chuỗi hàm hội tụ S(x) đọan : b b  a a n=1  S ( x)dx  [ u Trang  b n ( x)]dx=   u n ( x)dx n=1 a   u ( x) , số hạng un(x) đạo hàm u’n(x) liên  Định Lý 3: Cho chuỗi hàm n 1 n tục (a,b), chuỗi hàm hội tụ S(x) (a,b) Khi   un(x) hội tụ (a,b) S(x) khả vi (a,b) ta có: n1  un(x))’ = [S(x))]’ = ( n1   u’n(x) n 1 8.2.2 Chuỗi lũy thừa Định Nghĩa: Chuỗi lũy thừa chuỗi hàm có dạng:   anxn = ao +a1x + a2x2 +…+anxn+… n 0 Tổng Quát :   an(x-xo)n n 0 Định Lý Abel:  Nếu chuỗi lũy thừa   anxn hội tụ x = x0  hội tụ tuyệt đối n0 x với x  x0  Nếu chuỗi lũy thừa   anxn hội tụ tuyệt đối x = x0  hội tụ n0 tuyệt đối hội tụ x với x  x0 Hệ 1: Nếu chuỗi lũy thừa   anxn phân kỳ x1 phân kỳ n0 x với x  x1 Hệ 2: Tồn số R  cho chuỗi lũy thừa   anxn n0 hội tụ x  ( R; R) phân kỳ x  (; R)  ( R; ) Số R gọi bán kính hội tụ khoảng ( R; R) gọi khoảng hội tụ chủa chuỗi lũy thừa   anxn n0 Bán kính hội tụ Rõ ràng   anxn hội tụ nên miền hội tụ X   Do tồn n0 số R (  R < + ) cho chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối Trang khoảng (-R,R ) phân kỳ khoảng (- , -R ) , (R, +  ) Tại x = -R x = R, chuỗi lũy thừa hội tụ hay phân kỳ Số R gọi bán kính hội tụ , khoảng ( -R,R) gọi khoảng hội tụ Quy tắc tìm bán kính hội tụ Nếu lim a n 1 an n    lũy thừa  ( lim n n  a n   ) bán kính hội tụ R chuỗi anxn xác định bởi: n0 1   (khi    )  R  0 (    )   (   )   Chú ý: Đối với chuỗi   a (x  x ) n n 0  a X n n n 0 n ta đổi biến X  x  x0 để đưa dạng: Ví dụ Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa sau: a)  n! n x n 1 n n Đặt X  , xét n an 1 n! n n n (n  1)! nn X Ta có lim  lim  lim   n 1 n n    n n n (n  1) n ! (n  1) an e n 1 n  Suy khoảng hội tụ chuỗi  n! n n 1 n  X n (-e; e) n! n  Tại X = e, xét chuỗi n 1 n e n , chuỗi phân kỳ (do điều kiện cần chuỗi hội tụ)  Tại X = -e, xét chuỗi  n! n n 1 n (e) n , chuỗi phân kỳ (do điều kiện cần chuỗi hội tụ) Do miền hội tụ chuỗi  n! n n 1 n X n X  e Trang 10 Ta có X  e  1  e  x   hay x  x e e Vậy miền hội tụ chuỗi cho là: (;  )  ( ; ) e b) ( x  4) n n 1   Đặt X  x  , xét a Xn n Ta có lim n 1  lim 1  n  a n  n n 1 n 1 n   Xn (-1; 1)  n n 1 Suy khoảng hội tụ chuỗi  Tại X = 1, xét chuỗi  , chuỗi phân kỳ (là chuỗi Riemman với n  n 1  e n ) (1) n , chuỗi hội tụ (theo tiêu chuẩn Leibnitz) n n 1    Tại X = -1, xét chuỗi Do miền hội tụ chuỗi  Xn 1  X   n n 1 Thay X = x – ta có: 1  x     x  Vậy miền hội tụ chuỗi cho là:  x  c) n  n 1  2n    ( x  2) n 1  2n    Đặt X  ( x  2) , xét n n 1  n 1  n n a  lim   n   X Ta có lim   n n 2n  n 1  2n    Suy ra, khoảng hội tụ chuỗi  Tại X = 2, xét chuỗi n  n 1  n    X (-2; 2) n 1  2n    n  n 1  n    , chuỗi phân kỳ (do điều kiện cần n 1  2n    chuỗi hội tụ) n  n 1  n  Tại X = -2, xét chuỗi  (1)   , chuỗi phân kỳ (do điều kiện  2n   n 1  n cần chuỗi hội tụ) n  n 1  n Do miền hội tụ chuỗi    X 2  X  n 1  2n    Trang 11 Thay X = (x – 2)2 ta có: x      x   Vậy miền hội tụ chuỗi cho là: (2  2;  2) n (1) n  x  d  n   n 1   x  n 1  (1) n X n Ta có lim n an  lim n  n n n   n 1 n 1  x Đặt X  , xét 3 x Suy khoảng hội tụ chuỗi  Tại X = -2, xét chuỗi với chuỗi   n 1 n 1   R  n 1 (1) n X n (-2; 2)  n n 1 n 1   (1) n (2) n    n n 1 n 1 n 1  (n  1) , chuỗi phân kỳ (so sánh )  Tại X = 2, xét chuỗi  (1) n 2n (1) n , chuỗi hội tụ theo tiêu    n n  n 1 n  n 1  chuẩn Leibnitz (1) n X n Do miền hội tụ chuỗi  n 2  X  n 1 n 1   x  6  x   x  x x   x  x  2   Thay X  ta có: 2  6   x x 3 x 3 x  x     0   x   x   Vậy miền hội tụ chuỗi cho là: (; 2]  (6; ) Ví Dụ Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa  x2 xn xn      x  n n 1 n ĐS : [-1,1) Ví Dụ Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa  xn  n 0 n! ĐS : R   nx  Ví Dụ Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa    n 1  n   ĐS : (-1,1) Trang 12 n Ví Dụ Tìm miền hội tụ  2x     n 1   x2  n 1  n ĐS : (  ,+  ) Tính chất lũy thừa (1) Chuỗi lũy thừa  a n 0 n x n hội tụ đoạn [a,b] nằm khoảng hội tụ (2) Tổng chuỗi lũy thừa  a n 0 n x n hàm số liên tục khoảng hội tụ (3) Có thể lấy tích phân số hạng chuỗi lũy thừa  a n 0 b đoạn [a,b] nằm khoảng hội tụ  ( a x  n 0 biệt , x (-R,R) :  ( an x n )dx = a0 x  a1 n x n  b   an x n )dx=   an x n dx Đặc n 0 n 1 a n 1 x x   an  , chuỗi nầy n 1 có khoảng hội tụ (-R,R) (4) Có thể lấy đạo hàm số hạng:  (  a n x n )’ = a1  2a2 x  3a3 x   nan x n 1  n 0 BÀI TẬP CHƯƠNG Tìm tổng riêng tổng (nếu có) chuỗi sau a)   n 1 n ( n  1) b)   n 1 (2n  1)(2n  1) c)  2n   n (n  1) n 1 2 Xét hội tụ chuỗi số có số hạng tổng quát sau a) un = 3n  2n  n2  3n  2n  d) un = n n3 b) un = arctg (n  1)(n  2) n2  1 e) un = n 2  n 1 Trang 13 c) un = n  3n  n 5n  f) un = n  3n Xét hội tụ chuỗi số có số hạng tổng quát sau a) un = n  2n  n(n  1) b) un = (n  1)(n  2) (n  1)(n  3) c) un =  cos n2 (n  1)(n  2)  ) e) un = arctg f) un = tg (n  1)(n  2) n n n d) un = ln(1  sin Xét hội tụ chuỗi số có số hạng tổng quát sau Tính tổng chúng chúng hội tụ a) un = b) un = (2n  1)(2n  1) n n d) un = ln(1  ) n e) un = e sin n 2n  n (n  1) c) un = 1 f) un = (1  3 ) 1 n Xét hội tụ chuỗi số có số hạng tổng quát sau a) un = (2n  1)22 n 1 b) un = n2 n! c) un = n2  n e) un = ( ) 3n  2n d) un = n 1 2.4.6 (2n) nn f) un = (arctg n ) n2 Xét hội tụ chuỗi số có số hạng tổng quát sau  a) un = tg n (  ) b) un = ( n n n d) un = ( sin ) n e) un = n n2 ) n 1 c) un = ( n2 ln n n f) un = n  n ln n ) 2n  4n (n !) (2n)! Xét hội tụ chuỗi đan dấu sau a)   n 1 d)  (1) n 1 2n   (1)n1 n 1 b)   (1)n1 n 1 1.3.5 (2n  1) e) n! 2n 1  2n    (1)n n 1 c)   (1) n 1 n 1 ln n f) n   (1) n n 1 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa sau ( x  4) n a)  n n 1  (1) n 1 b)  n n n 1 n.3 ( x  5)  Trang 14 c)  n n 1 n n 1 n  n 1 ( x  3) n n  ln n  2x 1  d)    n 1  x    g) n e) n !( x  2) n h)  nn n 1    n 1  x2  x    n  x4  ( x  1) n  n.2n n 1  Trang 15 n  2n n ! n x n 1 (2 n)! f)  i)  n2  2n    (2 x  3)  n n 1    [...]... F(x,y,y’,y’’,…,y(n))= 0 trong đó x là biến số độc lập, y =y (x) là hàm số, y’,y’’,…,y(n) là các đạo hàm  Cấp của phương trình là cấp cao nhất của đạo hàm  Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số y= (x) thỏa mãn phương trình 7.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 7.1.1 Khái niệm Phương trình vi phân cấp 1: là phương trình có dạng F (x,y,y’) = 0 Nếu có thể giải ra đối với y’ thì phương trình có dạng y’=... PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 7.2.1 Khái niệm  Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’) = 0 Nếu giải được phương trình đối với y’’, ta có dạng khác: y’’= f(x,y,y’) Trang 6  Nghiệm tổng qt : y = (x,C1,C2)  Nghiệm riêng : y =  (x, C10 ,C 20 ) với C10 ,C 20 là các giá trị xác định của C 1, C 2  Tích phân tổng qt :  (x,y,C1,C2) 7.2.2 Phương trình vi phân cấp 2 giảm cấp được Xét phương...  C1 1  (   x 1  Cx   C2 ) 2  hoặc y  1  ( 1  C2 ) 2  2C1 2 C1    7.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x) Ta xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng y’’ + py’ + qy = f(x) (1) ( p,q hằng số) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất tương ứng với (1): y’’ + py’ + qy = 0 (2)  Phương pháp giải : Bước 1 : Tìm nghiệm tổng qt của phương... 2 dx Lấy tích phân hai vế: y 3 3 dy   3x 2 dx  ln y  x3  ln C  ln y  ln Ce x  y  Ce x y 3 Vậy nghiệm của phương trình là: y  Ce x 7.1.3 Phương trình đẳng cấp 1 Định nghĩa Phương trình vi phân y’ = f (x,y) được gọi là đẳng cấp đối với x và y là phương trình có dạng: y’ = f ( y ) x 2 Cách giải Đặt u = y hay y = ux x Suy ra : y’ = u + xu’ f(u) = u + x du du x = f (u) - u dx dx Nếu f (u)... ( x 2  y 2 ) x Ví Dụ2 Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y’ = với điều kiện ban đầu y (1) =  2 y y + sin x x ĐS : y = 2xarctgx 7.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 1 Định Nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có dạng là y’ + p(x).y = q(x) (1) trong đó p (x) và q (x) là những hàm liên tục Phương trình vi phân tuyến tính gọi là thuần nhất nếu q(x) = 0 : y’ + p(x)... (m,n) ) Ví Dụ 1: Giải phương trình : y’’ + y’ = sin 2x ĐS : y = C1 + C2e-x  1 1 cos2x  sin2x 10 5 Ví Dụ 2: Giải phương trình : y’’+ 4y = 3cos2x 3 4 ĐS : y = C1cos2x + C2sin2x + xsin2x BÀI TẬP CHƯƠNG IV Phương trình vi phân cấp 1 7.1 Giải các phương trình vi phân 1) xdx + ydy = 0 2) x2(y + 1) dx + (x3 - 1) (y - 1)dy = 0 3) xy’+ y = 0 4) y’cosx = ; y (3) = 1 y ; y (0) = 1 ln y 5) ln (cosy) dx + xtgydy =... trình vi phân y’’ = sinkx (k  0) thoả điều kiện ban đầu y(o) = 0 và y’(o) = 1 ĐS : y = - 1 1 sin kx + (1+ ) x 2 k k (2) Vế phải không chứa y : y’’ = f(x,y’) Đặt y’=z lúc đó ta được phương trình vi phân cấp 1 theo ʓ z’= f (x,z) Giải ra nghiệm tổng quát z =  (x,C1)  y’ =  (x,C1)  y    ( x, C1 )dx  C2 Ví Du 1 Giải phương trình vi phân ( 1-x2)y’’ – xy’ = 2 ĐS : y = (arcsinx)2 + C1 arcsinx + C2 (3)... 1: Với y 0, chia 2 vế cho y  : Trang 5 y-  y’ + p(x).y1-  = q(x) Đặt z = y1-  suy ra z’= (1-  ) y -  y’, phương trình trở thành : z’+ (1-  ) p(x)z = (1-  )q(x) Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 đối với z 2 Ví Dụ Giải phương trình vi phân : y  2 xy  xe  x (1) Nếu y  0  y  0 , (1) thỏa mãn nên y = 0 là nghiệm của phương trình 3 2 3 Nếu y  0 thì (1)  yy  2 xy  2 x y 2 Đặt... ứng: y’’+py’ +qy = 0 (2) Bước 2 : Tìm một nghiệm riêng của phương trình (1) Bước 3 :Nghiệm tổng qt của (1) = nghiệm tổng qt của (2) + nghiệm riêng của (1) 1- Bước 1 : Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất: y’’ + py’ + qy = 0 (2) Giải phương trình đặc trưng : (3) k2 + pk + q = 0 Ta có 3 trường hợp xảy ra : * ∆= p2 - 4 q > 0 : Phương trình (3) có 2 nghiệm thực phân biệt k1 và k2 Nghiệm tổng... S trong đó vectơ pháp tuyến của S hướng ra ngồi VD : Tính I =  S zdxdy +(y+y2)dxdz trong đó S là mặt phía ngồi của vật thể giới hạn bởi z = x2+y2, z = 0 , z = 1 bằng cơng thức Gauss – Ostrogratski BÀI TẬP CƯƠNG 6 6.1 Tính các tích phân đường loại 1 1 I=  ( x  y )ds với AB l đọan thẳng nối A(1,2) với B(2,4) AB 2 I=  xyds với L là cung AB của elip L x2 y2   1 trong đó A(0,2) và B(-3,0) 9 4 3 ... y’,y’’,…,y(n) đạo hàm  Cấp phương trình cấp cao đạo hàm  Nghiệm phương trình vi phân hàm số y= (x) thỏa mãn phương trình 7.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 7.1.1 Khái niệm Phương trình vi phân cấp 1: phương... trình vi phân tuyến tính cấp y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x) Ta xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số y’’ + py’ + qy = f(x) (1) ( p,q số) Phương trình vi phân tuyến tính cấp tương ứng với (1):... y y + sin x x ĐS : y = 2xarctgx 7.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Định Nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình có dạng y’ + p(x).y = q(x) (1) p (x) q (x) hàm liên tục