bài giảng toán cao cấp A3

1 Tên môn học: Toán cao cấp A3 Số tín chỉ: Phân bổ thời gian: Trên lớp: 45 tiết - Tự học: 90 Mục tiêu môn học: - Kiến thức: Cung cấp kiến thức phép tính vi tích phân hàm nhiều biến - Kỹ năng: Sinh viên biết tính đạo hàm riêng, biết ứng dụng đạo hàm riêng giải toán cực trị, biết tính tích phân bội, tích phân đường tích phân mặt Nội dung tóm tắt môn học: Vi tích phân hàm nhiều biến Tài liệu học tập: Giáo trình chính: [1] N Đ Trí, Toán cao cấp tập - Phép giải tích hàm nhiều biến số, NXB GD, 2011 Tài liệu tham khảo chính: [2] N Đ Trí, Bài tập toán cao cấp tập - Phép giải tích hàm nhiều biến số, NXB GD, 2011 Đánh giá: Điểm thứ 1: 10% (Trắc nghiệm – 30 phút) Điểm thứ 2: 20% (Trắc nghiệm – 45 phút) Điểm thứ 3: 70% (Tự luận – 90 phút) Chương Vi phân hàm nhiều biến 1.1 Hàm nhiều biến Các mặt bậc hai 1.2 Giới hạn liên tục 1.3 Tính chất hàm liên tục tập đóng bị chận 1.4 Đạo hàm riêng vi phân Gradient 1.5 Đạo hàm hàm ẩn 1.6 Cực trị địa phương cực trị có điều kiện 1.7 Giá trị nhỏ giá trị lớn Chương Tích phân bội 2.1 Định nghĩa tính chất 2.2 Công thức đổi biến Đổi biến tọa độ cực, tọa độ trụ tọa độ cầu 2.3 Ứng dụng tính diện tích, thể tích, khối lượng tọa độ trọng tâm vật thể Chương Tích phân đường 3.1 Tích phân đường loại 1: Định nghĩa tính chất 3.2 Tích phân đường loại 2: Định nghĩa tính chất Định lý Green Tích phân không phụ thuộc đường Hàm Chương Tích phân mặt 4.1 Tích phân mặt loại 1: Định nghĩa tính chất 4.2 Tích phân mặt loại 2: Định nghĩa tính chất Định lý divergence Định lý Stokes Chương 1: Vi phân hàm nhiều biến Nội dung 1.1 – Hàm hai biến, Các mặt bậc hai 1.2 – Giới hạn, liên tục 1.1 A- Hàm hai biến - Ví dụ Nhiệt độ T điểm bề mặt trái đất thời điểm t cho trước phụ thuộc vào kinh độ x vĩ độ y điểm Chúng ta coi T hàm theo hai biến x y, ký hiệu T = T(x,y) Ví dụ Thể tích V bình hình trụ phụ thuộc vào bán kính đáy r chiều cao h Thực tế ta biết V = π r h Khi V hàm hai biến theo r h: V (r , h) = π r h 1.1 A- Hàm hai biến - Định nghĩa hàm hai biến Cho D ⊆ R Hàm hai biến ánh xạ f :D →R (x , y ) a f (x , y ) Ký hiệu: f = f (x , y ) D gọi miền xác định f Miền giá trị f: E = {a ∈ R | ∃( x, y ) ∈ D : a = f ( x, y )} Nếu f cho biểu thức đại số: Miền xác định tập hợp tất giá trị x y, cho biểu thức có nghĩa Miền giá trị tập hợp tất số thực mà hàm nhận 1.1 A- Hàm hai biến - Ví dụ Hàm hai biến x + y +1 f ( x, y ) = x− y Miền xác định: D = {(x , y ) ∈ R | x + y + ≥ 0, x ≠ y } + +1 f (3,2) = = 3−2 Ví dụ Hàm hai biến f (x , y ) = x + y 2 Miền xác định: D = R Miền giá trị: E f = R + = [0, +∞) f (x + y , x − y ) = (x + y )2 + (x − y )2 = 2(x + y ) f (x , x ) = x + x = x 1.2 A- Giới hạn - Ví dụ Tìm giới hạn (nếu có) chứng tỏ không tồn xy I= lim ( x , y )→(0,0) − + xy Đặt t = xy Khi t → t I = lim = −3 t →0 − + t 1.2 A- Giới hạn - Ví dụ Tìm giới hạn (nếu có) chứng tỏ không tồn I= Đặt t = x + y lim ( x, y )→(0,0) x2 + y x2 + y + − Khi t → t I = lim =6 t →0 t + − 1.2 A- Giới hạn - Ví dụ Tìm giới hạn (nếu có) chứng tỏ không tồn I= lim xy ( x, y ) →(0,0) ( x + y ) Sử dụng hệ tọa độ cực, đặt x = r cos t ; y = r sin t Khi x → 0; y → r →0 r cos t ×r sin t I = lim r →0 r4 ⇔ I = lim(r cos t ×sin t ) r →0 ⇔ I =0 1.2 B- Liên tục - Định nghĩa Hàm số f(x,y) gọi liên tục ( x0 , y0 ) , lim ( x , y )→( x0 , y0 ) f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) Hàm gọi liên tục liên tục điểm mà xác định Tổng, hiệu, tích hai hàm liên tục liên tục Thương hai hàm liên tục liên tục hàm mẫu khác Hợp hai hàm liên tục liên tục (tại điểm thích hợp) 1.2 B- Liên tục - Định nghĩa Các hàm sau gọi hàm sơ cấp bản: 1) Hàm hằng; 2) hàm mũ; 3) hàm lũy thừa; 4) hàm lượng giác; 5) hàm lượng giác ngược; 6) hàm logarit Định nghĩa Hàm thu từ hàm sơ cấp hữu hạn phép toán: cộng, trừ, nhân, chia, khai gọi hàm sơ cấp Định lý Hàm sơ cấp liên tục điểm mà xác định 1.2 B- Liên tục Ví dụ Tìm điểm gián đoạn hàm sau xy f ( x, y ) = x+y Đây hàm sơ cấp nên liên tục điểm mà xác định Suy điểm gián đoạn hàm số đường thẳng x + y = 1.2 B- Liên tục Ví dụ Khảo sát tính liên tục hàm sau: sin( x3 + y ) ,  f ( x, y ) =  x + y  0,  sin( x3 + y ) sin t t →0 =  →1 3 t x +y x3 + y 0≤ ≤| x | + | y | x +y ( x, y ) ≠ (0, 0) ( x, y ) = (0, 0) sin( x3 + y ) x2 + y ⇒ lim ( x , y )→(0,0) sin( x3 + y ) x3 + y = ×2 3 x +y x + y2 f ( x, y ) = 1.0 = = f (0,0) Suy f liên tục (0,0) Vậy hàm cho liên tục điểm mặt phẳng 1.2 B- Liên tục Ví dụ Tìm tất giá trị a để hàm số liên tục điểm (0,0)  x2 − y2 ,  f ( x, y ) =  x + y   a, Ta có lim ( x , y )→(0,0) ( x, y ) ≠ (0, 0) ( x, y ) = (0, 0) f ( x, y ) không tồn Vậy hàm không liên tục (0,0) Không tồn a Bài tập Tìm miền xác định miền giá trị hàm 1) f ( x, y ) = − x − y 2) f ( x, y ) = e x2 − y 3) f ( x, y ) = e −1 x2 + y 4) f ( x, y ) = ln( y − x + 8) y 5) f ( x, y ) = arcsin x 6) f ( x, y ) = x −y Bài tập Tìm giới hạn kép x2 y 1) lim ( x , y )→(0,0) y + x 2) lim y ×cos ( x , y )→(0,0) y−x x3 − y 3) lim ( x , y )→(0,0) x + y 1 4) lim x sin + y sin ( x , y )→(0,0) y x x y + xy 5) lim ( x , y )→(0,0) x − xy + y xy ( x + y ) 6) lim ( x , y )→(0,0) − cos( x + y ) Bài tập 7) 8) lim ( + xy ) lim ( ( x , y )→(0,0) ( x , y )→(0,0) 1/ x + y cos x + y ) −1/( x + y ) π 9) lim xy sin ( x , y )→( ∞ ,∞ ) xy 10) lim x2 + y + + x2 + y x + y + 2(1 + x y ) − x + y 2 11) lim ( x + y )sin ( x , y )→(0,0) xy ( x , y ) → ( ∞ ,∞ ) x 12) lim ( x , y )→(0,0) x + y Bài tập x2 − y2 13) lim ( x , y )→(2,1) x + x − xy − y y x 14) lim (1 + ) ( x , y ) →( ∞ , k ) x x+ y 15) lim ( x , y ) →( ∞ , ∞ ) x + y sin( xy ) 16) lim ( x , y )→(0,2) x x+ y 17) lim ( x , y )→(0,0) x − xy + y 18) lim ( x , y )→(0,0) x ln( x + y ) Bài tập Tìm điểm gián đoạn 1) z = ln x + y 2) z = 1 − x2 − y 3) z = ( x − y)2 4) z = cos xy x3 5) z = x + y2 x2 6) z = x + y2 Bài tập x  2 , x + y ≠0  7) z =  x + y  2 0, x + y =0   x3 + y ,  8) z =  x + y  3,   sin( xyz ) ,  9) u =  z  x , x+ y≠0 x+ y=0 z≠0 z=0 Bài tập Tìm tất giá trị m để hàm số liên tục (0,0)  x3 − xy ,  2 1) z =  x + y   m, x2 + y ≠ x2 + y =  x2 y 2 , x + y ≠0  2) z =  x + y  2 m , x + y =0   xy ,  x2 + y 3) z =   m,  x2 + y ≠ x2 + y = [...]... - Phương trình tổng quát của mặt bậc hai trong hệ tọa độ Descartes 0xyz là A x 2 + By 2 + Cz 2 + 2Dxy + 2Ex z + 2 Fyz + Gx + Hy + Kz + L = 0 Từ chương trình toán A2, để vẽ mặt bậc hai: 1) Đưa dạng toàn phương (màu đỏ) về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao 2) Tìm phép biến đổi, xác định trục tọa độ mới 3) Vẽ hình 1.1 B - Các mặt bậc hai