BÀI GIẢNG TOÁN CAO cấp a3

ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, November 01, 2010 TỐN CAO CẤP A3 ĐẠI HỌC PHÂN PHỐ PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Số tiế tiết: 45 Chương Hàm số nhiều biến số Chương Tích phân bội Chương Tích phân đường – Tích phân mặt Chương Phương trình vi phân Tài liệu tham khảo Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Tốn cao cấp A3 – ĐHCN TP HCM Đỗ Cơng Khanh – Giải tích hàm nhiều biến (tập 3, 4) – NXB ĐHQG TP HCM Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số §1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Các định nghĩa a) Miền phẳng • Trong mặt phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn đường cong kín gọi miền phẳng Tập hợp đường cong kín giới hạn D gọi biên D , ký hiệu ∂D hay Γ Đặc biệt, mặt phẳng Oxy xem miền phẳng với biên vô Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số • Khoảng cách điểm M1 (x1, y1 ), M (x , y2 ) là: (x1 − x ) + (y1 − y2 ) • Hình trịn S (M , ε) mở có tâm M (x , y ), bán kính ε > gọi lân cận điểm M Nghĩa là: ε • M M (x , y ) ∈ S (M , ε) ⇔ (x − x )2 + (y − y0 )2 < ε Tốn cao cấp A3 Đại học • Miền phẳng D gọi miền liên thơng có đường cong nằm D nối điểm thuộc D Miền liên thơng có biên đường cong kín gọi miền đơn liên (hình a); có biên nhiều đường cong kín rời miền đa liên (hình b) Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số b) Lân cận điểm ) dvntailieu.wordpress.com • Miền phẳng D kể biên ∂D gọi miền đóng, miền phẳng D khơng kể biên ∂D miền mở ………………………………………………………… ( Biên soạ soạn: ThS ThS Đoà Đoàn Vương Nguyên Download Slide giả giảng Toá Toán A3 Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số §1 Khái niệm §2 Đạo hàm riêng – Vi phân §3 Khai triển Taylor hàm hai biến số §4 Cực trị hàm hai biến số d M , M = M 1M = Nguyễn Đình Trí – Phép tính Giải tích hàm nhiều biến – NXB Giáo dục Phan Quốc Khánh – Phép tính Vi tích phân (tập 2) – NXB Giáo dục Đặng Văn Vinh – Slide giảng Toán A – ĐH Bách khoa Tp.HCM Nguyễn Thừa Hợp – Giải tích (tập 1, 2) – NXB ĐHQG Hà Nội Nguyễn Thủy Thanh – Bài tập Giải tích (tập 2) – NXB Giáo dục James Stewart – Calculus concepts and contexts c) Hàm số hai biến số • Trong mặt phẳng Oxy cho tập D ⊂ ℝ2 Tương ứng f : D → ℝ cho tương ứng (x , y ) ∈ D với giá trị z = f (x , y ) ∈ ℝ gọi hàm số hai biến số x , y • Tập D ⊂ ℝ2 gọi miền xác định (MXĐ) hàm số f (x , y ), ký hiệu Df Miền giá trị hàm f (x , y ) là: { } G = z = f (x , y ) ∈ ℝ (x , y ) ∈ Df Chú ý • Trong trường hợp xét hàm số f (x , y ) mà khơng nói thêm ta hiểu MXĐ hàm số tập tất điểm M (x , y ) ∈ ℝ2 cho f (x , y ) có nghĩa ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, November 01, 2010 Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số • Hàm có nhiều hai biến định nghĩa tương tự 1.2 Giới hạn hàm số hai biến số a) Điểm tụ • Trong mpOxy cho dãy điểm M n (x n , yn ), n = 1, 2, VD • Hàm số f (x , y ) = 3x 2y − cos xy có Df = ℝ2 Điểm M (x , y ) gọi điểm tụ dãy • Hàm số z = − x − y có MXĐ hình trịn đóng tâm O(0; 0), bán kính R = • Hàm số z = ln(4 − x − y ) có MXĐ hình trịn mở tâm O(0; 0), bán kính R = • Hàm số z = f (x , y ) = ln(2x + y − 3) có MXĐ nửa mp mở có biên d : 2x + y − = , không chứa O lân cận M chứa vô số phần tử dãy • Điểm M (x , y ) gọi điểm tụ tập D ⊂ ℝ lân cận điểm M chứa vô số điểm thuộc D b) Định nghĩa giới hạn (giới hạn bội) • Điểm M (x , y ) gọi giới hạn dãy điểm M n (x n , yn ), n = 1, 2, M (x , y ) điểm tụ dãy Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số n →∞ Ký hiệu là: lim M n = M hay M n   → M0 n →∞ Giải ≤ f (x , y ) = • Hàm số f (x, y ) có giới hạn L ∈ ℝ ∪ {±∞} Mn Vậy dần đến M lim f (xn , yn ) = L Ký hiệu: n →∞ lim f (x , y ) = x →x y →y0 VD lim (x ,y )→(x ,y0 ) M →M 2x 2y − 3x − lim lim (x ,y )→(0,0) f (x , y ), với f (x , y ) = xy x + y2 Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số lim (x ,y )→(0,0) sin(x + y ) x + y2 VD Cho hàm số f (x , y ) = Chứng tỏ = lim r →0 sin r r2 = 2xy x + y2 lim f (x , y ) không tồn (x ,y )→(0,0) (x ,y )→(0,0) f (x , y ) = lim r →0 r sin 2ϕ r2 = sin 2ϕ Do giới hạn phụ thuộc vào ϕ nên không Vậy lim f (x , y ) khơng tồn (x ,y )→(0,0) Tốn cao cấp A3 Đại học ≤ y2 x →0 y →0 = x   → f (x , y ) = Nhận xét • Nếu đặt x = x + r cos ϕ, y = y + r sin ϕ thì: VD Tìm lim sin(x + y ) x + y2 Giải Đặt x = r cos ϕ, y = r sin ϕ , ta có: (x ,y )→(0,0) Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số Giải Đặt x = r cos ϕ, y = r sin ϕ , ta có: lim lim (x ,y )→(0,0) x2 + y2 xy (x , y ) → (x , y0 ) ⇔ r → =− xy + (x , y )→(1,−1) VD Tìm f (x , y ) = lim f (M ) = L xy c) Giới hạn lặp • Giới hạn theo biến M n dần đến M hàm số f (x , y ) gọi giới hạn lặp Khi x → x trước, y → y sau ta viết: lim lim f (x , y ) y →y x →x Khi y → y trước, x → x sau ta viết: lim lim f (x , y ) x →x y →y VD Xét hàm số f (x , y ) = sin x − sin y lim lim f (x , y ) = lim y →0 x → y →0 x + y2 − sin y y2 Ta có: = −1 , ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, November 01, 2010 Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số lim lim f (x , y ) = lim Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số sin x Nhận xét • Nếu lim lim f (x , y ) ≠ lim lim f (x , y ) khơng tồn = x2 Vậy lim lim f (x , y ) ≠ lim lim f (x , y ) x →0 y → x →0 y →0 x →0 y →y0 x →x x →0 y →0 • Định lý Trong ℝ2 cho hình vng H có đỉnh M (x , y ) hàm số f (x , y ) xác định H Nếu tồn lim (x ,y )→(x ,y ) f (x , y ) = L ∈ ℝ y ∈ Y (x ,y )→(x ,y0 ) x →x y →y f (x , y ) • Sự tồn giới hạn lặp không kéo theo tồn giới hạn bội ngược lại 1.3 Hàm số liên tục • Hàm số f (x , y ) liên tục M (x , y0 ) ∈ D ⊂ ℝ2 lim tồn ϕ(y ) = lim f (x , y ) ∈ ℝ thì: (x ,y )→(x ,y0 ) x →x f (x , y ) = f (x , y ) • Hàm số f (x , y ) liên tục tập D ⊂ ℝ2 liên tục lim lim f (x , y ) = lim ϕ(y ) = L y →y x →x lim y →y điểm thuộc D Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số Chú ý §2 ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN Hàm số f (x , y ) liên tục miền đóng giới nội D đạt giá trị lớn (max) nhỏ (min) D VD Xét liên tục f (x , y ) = sin x − sin y x + y2 Giải Với (x , y ) ≠ (0, 0) hàm số f (x , y ) xác định nên liên tục Tại (0, 0) lim (x ,y )→(0,0) f (x , y ) không tồn (VD 6) Vậy hàm số f (x , y ) liên tục ℝ2 \ {(0, 0)} …………………………………………………………… Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số fy/ (x , y0 ) = lim y →y y − y0 có đạo hàm x ta gọi đạo hàm đạo hàm riêng theo biến x hàm số f (x , y ) (x , y ) ∂f (x , y ) ∂x 0 f (x , y0 ) − f (x , y0 ) / Vậy fx (x , y0 ) = lim x →x x − x0 Ký hiệu: fx (x , y ) hay fx/ (x , y ) hay VD Tính đạo hàm riêng z = ln x2 + x + y2 + Chú ý ∂f df = ∂x dx • Hàm số nhiều hai biến có định nghĩa tương tự • Nếu f (x ) hàm số biến x fx/ = VD Tính đạo hàm riêng hàm số: f (x , y ) = x − 3x 3y + 2y − 3xy (−1; 2) Toán cao cấp A3 Đại học chứa điểm M (x , y ) Cố định y0 , hàm số f (x , y ) Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số • Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y (x , y ) là: f (x , y ) − f (x , y0 ) 2.1 Đạo hàm riêng a) Đạo hàm riêng cấp • Cho hàm số f (x , y ) xác định miền mở D ⊂ ℝ VD Tính đạo hàm riêng z = cos x (π; 4) y VD Tính đạo hàm riêng f (x , y, z ) = e x y sin z b) Đạo hàm riêng cấp cao • Đạo hàm riêng (nếu có) hàm số fx/ (x , y ), fy/ (x , y ) gọi đạo hàm riêng cấp hai f (x , y ) ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, November 01, 2010 Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số Ký hiệu: VD Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số: f (x , y ) = x 3ey + x 2y − y (−1; 1) ∂  ∂f  ∂2 f ,  = ∂x  ∂x  ∂x ∂  ∂f  ∂2 f = ,  = ∂y  ∂y  ∂y f // = fxx = ( fx ) = x f // y2 x ( )y = fyy = fy fxy// = fxy = ( fx ) y ( )x fyx// = fyx = fy VD Cho hàm số f (x , y ) = x + y − x 4y Giá trị đạo hàm riêng cấp năm f (5) (1; −1) là: x y ∂  ∂f  ∂2 f = = ,   ∂y  ∂x  ∂y ∂x ∂  ∂f  ∂2 f =   = ∂x  ∂ y  ∂x ∂y A (−1) e ; C (−1)m 2m e 2x −y ; (m ≥ 2) z = e C f (5) (1; −1) = 120 ; D f (5) (1; −1) = −120 x y Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số VD B f (5) (1; −1) = −480 ; x y • Hàm số nhiều biến đạo hàm riêng cấp cao có định nghĩa tương tự Đạo hàm riêng z (mm −+2n n) x y x n m +n 2x −y A f (5) (1; −1) = 480 ; x y x y • Định lý Schwarz Nếu hàm số f (x , y ) có đạo hàm riêng fxy// , fyx// liên tục miền mở D ⊂ ℝ fxy// = fyx// Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số 2x −y là: B (−1)m 2m +n e 2x −y ; D (−1)n 2m e 2x −y b) Định nghĩa • Nếu lân cận S (M , ε) với số gia ∆x , ∆y mà số gia ∆f tương ứng viết dạng: ∆f = A.∆x + B.∆y + O (r ), r = (∆x )2 + (∆y )2 , 2.2 Vi phân A, B số phụ thuộc vào điểm 2.2.1 Vi phân cấp a) Số gia hàm số • Cho hàm số f (x , y ) xác định lân cận S (M , ε) M (x , y ) hàm f (x , y ), không phụ thuộc ∆x , ∆y điểm M (x , y0 ) Cho x số gia ∆x y số gia ∆y , hàm f (x , y ) có tương ứng số gia: ∆f = f (x + ∆x , y0 + ∆y ) − f (x , y0 ) Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số Nhận xét • Xét điểm M (x + ∆ x , y + ∆ y ) dịch chuyển đường qua M song song Ox Khi ∆ y = : ∆ f = f (x + ∆ x , y ) − f (x , y ) = A.∆ x + O (∆ x ) ∆f ⇒ lim = A ⇒ A = fx/ (x , y ) ∆x → ∆ x ∆f Tương tự, lim = B ⇒ B = fy/ (x , y ) ∆y → ∆ y Suy df (x , y ) = fx/ (x , y ).∆ x + fy/ (x , y ).∆ y • Xét f (x , y ) = x ⇒ df (x , y ) = ∆x ⇒ dx = ∆x Tương tự, dy = ∆y Vậy: df (x , y ) = fx/ (x , y )dx + fy/ (x , y )dy Tốn cao cấp A3 Đại học đại lượng A.∆x + B.∆y gọi vi phân hàm số f (x , y ) điểm M (x , y ) • Khi đó, f (x , y ) gọi khả vi điểm M (x , y ) Ký hiệu là: df (x , y ) = A.∆x + B.∆y Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số c) Định lý • Nếu hàm số f (x , y ) có đạo hàm riêng lân cận (x , y ) đạo hàm riêng liên tục (x , y ) f (x , y ) khả vi (x , y ) VD Cho hàm f (x , y ) = x 2e x −y − y Tính df (1; −1) VD Tính vi phân cấp hàm z = e x −y sin(xy ) 2.2.2 VI PHÂN CẤP CAO a) Vi phân cấp • Giả sử f (x , y ) hàm khả vi với x , y biến độc lập Các số gia dx = ∆x , dy = ∆y tùy ý độc lập với x , y nên xem số x , y ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, November 01, 2010 Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số • Vi phân df (x , y ) gọi vi phân cấp f (x , y ) Ký hiệu công thức: d f = d (df ) = fx′′2dx + fxy′′dxdy + fy′′2dy 2 Chú ý • Nếu x , y biến không độc lập (biến trung gian) b) Vi phân cấp n ( n ) ∑C d n f = d d n −1 f = f Trong k =0 (n ) x ny n =f (n ) xn , f (0n )n = f (nn ) , x y n y dx dy = dx , dx dy = dy n x = x (ϕ, ψ ), y = y(ϕ, ψ ) cơng thức khơng cịn n k (n ) f dx k dy n −k n x k y n −k Sau ta xét trường hợp x , y độc lập VD 10 Cho hàm số f (x , y ) = x 2y + xy − 3x 3y Tính vi phân cấp hai df (2; −1) VD 12 Tính vi phân cấp hàm số f (x , y ) = x 3y VD 13 Tính vi phân d 3z hàm số z = e 2x cos 3y VD 11 Tính vi phân cấp hàm f (x , y ) = ln(xy ) Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số 2.3 Đạo hàm hàm số hợp a) Hàm hợp với biến độc lập • Cho f (x , y ) hàm khả vi x , y x , y hàm khả vi biến độc lập t Khi đó, hàm hợp biến t ω(t ) = f (x (t ), y(t )) khả vi Ta có: dx dy + fy/ dt dt VD 14 Tính ω ′(t ) với hàm số f (x , y ) = x 2y ω′(t ) = fx/ x = 3t − t, y = sin t dx dy Giải ω ′(t ) = fx/ + fy/ dt dt = 2xy(3t − t )t/ + x (sin t )t/ = 2xy(6t − 1) + x cos t Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số b) Hàm hợp với hai biến độc lập • Cho f (x , y ) hàm khả vi x , y x , y hàm khả vi hai biến độc lập ϕ, ψ Khi đó, hàm hợp biến ϕ, ψ ω(ϕ, ψ) = f (x (ϕ, ψ), y(ϕ, ψ)) khả vi Ta có: ω/ϕ = fx/ x ϕ/ + fy/ y ϕ/ , ω/ψ = fx/ x ψ/ + fy/ y ψ/ 2.4 Đạo hàm hàm số ẩn (hai biến) • Hàm z(x , y ) xác định Dz ⊂ ℝ2 thỏa phương trình F (x , y, z (x , y )) = 0, ∀(x , y ) ∈ D ⊂ Dz (*) gọi hàm số ẩn hai biến xác định (*) Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số Tính trực tiếp sau: ω(t ) = (3t − t )2 sin t ⇒ ω ′(t ) = 2(3t − t )(6t − 1)sin t + (3t − t )2 cos t = 2xy(6t − 1) + x cos t VD 15 Cho f (x, y ) = ln(x + y ), y = sin2 x Tính df dx Giải / / df = ln(x + y ) + ln(x + y ) (sin x )/x  x  y dx = 2x x +y + 2y sin 2x x +y = 2x + 2y sin 2x x + y2 Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số Giả sử hàm khả vi, đạo hàm vế (*) ta được: Fx/ + Fz/ z x/ = 0, Fy/ + Fz/ zy/ = / Vậy z x = − Fx/ Fz/ , zy/ = − Fy/ Fz/ (F / z ) ≠0 VD 16 Cho hàm ẩn z (x , y ) thỏa phương trình: xyz = cos(x + y + z ) Tính z x/, zy/ VD 17 Cho hàm ẩn z(x , y ) thỏa phương trình mặt cầu: x + y + z − 2x + 4y − 6z − = Tính zy/ …………………………………………………… Tốn cao cấp A3 Đại học ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, November 01, 2010 Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số §3 KHAI TRIỂN TAYLOR HÀM HAI BIẾN 3.1 Công thức Taylor Cho hàm số f (x , y ) có đạo hàm riêng đến cấp n + miền mở D chứa điểm M (x ; y ) Giả sử N (x + ∆x ; y + ∆y ) ∈ D MN ⊂ D Khai triển Maclaurin Tại lân cận O(0; 0), khai triển Maclaurin f (x , y ) là: f (x , y ) = f (0; 0) + df (0; 0) d n f (0; 0) + + + O(ρ n ) 1! n! Trong đó, dx = x , dy = y , ρ = x + y Đặt dx = ∆x = x − x , dy = ∆y = y − y Khai triển Taylor hàm f (x , y ) lân cận điểm M là: f (x , y ) = f (M ) + df (M ) 1! + + d n f (M ) n! + O(ρ n ) Trong đó, ρ = (x − x )2 + (y − y )2 Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số x x x x − + − + + O(x n ) x2 x4 x6 + − + + O(x n ) 4) cos x = − 2! ! 6! x x3 x5 x7 5) sin x = − + − + + O(x n ) 1! 3! 5! ! 3) ln(1 + x ) = Các khai triển Maclaurin hàm biến cần nhớ 1) = + x + x + + x n + O(x n ) 1−x x x2 xn + + + O(x n ) 2) e x = + + 1! 2! n! 3.2 Các ví dụ VD Khai triển Taylor lân cận điểm (1; 1) hàm số f (x , y ) = y x đến số hạng bậc hai Giải Ta có: • f (1;1) = 1; • df (x , y ) = fx′(x , y )dx + fy′(x , y )dy = y x ln ydx + xy x −1dy ⇒ df (1;1) = dy = y − 1; • d f (x , y ) = fx′′2dx + fxy′′dxdy + fy′′2dy = y x ln2 ydx + 2y x −1(x ln y +1)dxdy + x (x − 1)y x −2dy ⇒ d f (1;1) = 2dxdy = 2(x − 1)(y − 1) Vậy y x = + (y − 1) + (x − 1)(y − 1) + O(ρ ), ρ = (x − 1)2 + (y − 1)2 Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số §4 CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ 4.1 Định nghĩa (cực trị địa phương) VD Khai triển Maclaurin hàm số f (x , y ) = cos(x + y ) đến số hạng bậc • Hàm số z = f (x , y ) đạt cực trị địa phương (gọi tắt VD Khai triển Maclaurin hàm số z = e x sin y đến số hạng bậc VD Khai triển Maclaurin hàm số z = (1 + y )x đến số hạng bậc x3 VD Cho hàm f (x , y ) = e y +1 Tính vi phân d f (0; 0)? …………………………………………………………… cực trị) M (x , y ) với điểm M (x , y ) gần khác M hiệu ∆ f = f (x , y ) − f (x , y ) có dấu khơng đổi • Nếu ∆ f > f ( x , y ) gọi giá trị cực tiểu M điểm cực tiểu z = f ( x , y ) • Nếu ∆ f < f ( x , y ) gọi giá trị cực đại M điểm cực đại z = f ( x , y )  y 3y VD Hàm số f (x , y ) = x + y − xy = x −  +   ⇒ f (x , y ) ≥ 0, ∀ (x , y ) ∈ ℝ nên đạt cực tiểu O (0; 0) Toán cao cấp A3 Đại học ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, November 01, 2010 Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số 4.2 ĐỊNH LÝ a) Điều kiện cần • Nếu hàm số z = f (x , y ) đạt cực trị M (x , y0 ) hàm số có đạo hàm riêng thì: fx′(x 0, y ) = fy′(x 0, y ) = • Điểm M (x , y ) thỏa fx′(x 0, y ) = fy′(x 0, y ) = gọi điểm dừng, M khơng điểm cực trị b) Điều kiện đủ Giả sử z = f (x , y ) có điểm dừng M có đạo hàm riêng cấp hai lân cận điểm M (M ), B = fxy// (M ), C = f // (M ) Đặt A = f // 2 x y Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số Khi đó: AC − B > • Nếu  ⇒ f (x , y ) đạt cực tiểu M  A>0  AC − B > • Nếu  ⇒ f (x , y ) đạt cực đại M  A 0, y > 0) x y Khẳng định là: A z đạt cực tiểu M (2; 5) giá trị cực tiểu z = 39 B z đạt cực tiểu M (5; 2) giá trị cực tiểu z = 30 C z đạt cực đại M (2; 5) giá trị cực đại z = 39 D z đạt cực đại M (5; 2) giá trị cực đại z = 30 Toán cao cấp A3 Đại học Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số 4.5 Cực trị có điều kiện (cực trị vướng) • Cho hàm số f (x , y ) xác định lân cận điểm M (x , y ) thuộc đường cong (γ) : ϕ(x , y ) = Nếu điểm M , hàm f (x , y ) đạt cực trị ta nói M điểm cực trị có điều kiện f (x , y ) với điều kiện ϕ(x , y ) = • Để tìm cực trị có điều kiện hàm số f (x , y ) ta dùng phương pháp khử nhân tử Lagrange a) Phương pháp khử • Từ phương trình ϕ(x , y ) = ta rút x y vào f (x , y ), sau tìm cực trị hàm biến ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, November 01, 2010 Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số VD Tìm điểm cực trị hàm z = x 2y thỏa điều kiện: x − y + = b) Phương pháp nhân tử Lagrange Tại điểm cực trị (x , y ) f , gọi λ = − fx/ ϕ/x =− fy/ ϕy/ nhân tử Lagrange Để tìm cực trị ta thực bước: • Bước Lập hàm phụ (hàm Lagrange): L(x , y, λ ) = f (x , y ) + λϕ(x , y ) • Bước Giải hệ: Lx′ = 0, Ly′ = 0, Lλ′ = Suy điểm dừng M (x , y0 ) ứng với λ Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số VD Tìm điểm cực trị hàm số f (x , y ) = 2x + y 2 với điều kiện x + y = VD Tìm giá trị cực trị hàm số z = x + y thỏa điều kiện x + y = 3x + 4y VD 10 Tìm điểm cực trị hàm z = xy thỏa điều kiện: 2 x y + = VD 11 Tìm cực trị hàm số f (x , y ) = 10x + 40y thỏa điều kiện xy = 20 x , y > Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số • Bước Giá trị max f (x , y ), f (x , y ) tương ứng D D giá trị lớn nhất, nhỏ tất giá trị sau: f (M ), , f (M m ), f (N ), , f (N n ), f (P1 ), , f (Pp ) VD 12 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f (x , y ) = x + y miền D : x − x + y ≤ VD 13 Cho hàm số f (x , y ) = x + y − xy + x + y Tìm giá trị lớn nhỏ f (x , y ) miền D : x ≤ 0, y ≤ 0, x + y ≥ −3 VD 14 Tìm max, z = sin x + sin y + sin(x +y ) π π miền D : ≤ x ≤ , ≤ y ≤ 2 ……………………………………………………… Toán cao cấp A3 Đại học • Bước Tính vi phân cấp M (x , y ) ứng với λ : ′′ dxdy + L ′′2dy d 2L(M ) = Lx′′2dx + 2Lxy y Các vi phân dx , dy phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc: d ϕ(x , y ) = ϕ ′ (x , y )dx + ϕ ′ (x , y )dy = (1) 0 x 0 y 0    (dx )2 + (dy )2 > (2)  • Bước Từ điều kiện ràng buộc (1) (2), ta có: Nếu d 2L(M ) > f (x , y ) đạt cực tiểu M Nếu d 2L(M ) < f (x , y ) đạt cực đại M Nếu d 2L(M ) = M khơng điểm cực trị Chương Hàm số nhiề nhiều biế biến số 4.6 Giá trị lớn – nhỏ hàm hai biến miền đóng, bị chặn (cực trị tồn cục) Cho miền D ⊂ ℝ đóng có biên ∂D : ϕ(x , y ) = f (x , y ) hàm liên tục D , khả vi D mở (có thể khơng khả vi m điểm M , , M m ) Giả sử biên ∂D trơn, nghĩa hàm ϕ khả vi Để tìm giá trị lớn – nhỏ f D , ta thực bước sau: • Bước Tìm điểm cực trị tự N , , N n D (chỉ cần tìm điểm dừng) • Bước Tìm điểm cực trị P1 , , Pp biên ∂D thỏa điều kiện ϕ(x , y ) = (chỉ cần tìm điểm dừng) Chương Tích phân bội §1 Tích phân bội hai (tích phân kép) §2 Tích phân bội ba §3 Ứng dụng tích phân bội ………………………… §1 TÍCH PHÂN BỘI HAI 1.1 Bài tốn mở đầu (thể tích khối trụ cong) • Xét hàm số z = f (x , y ) liên tục, không âm mặt trụ có đường sinh song song với Oz , đáy miền phẳng đóng D mpOxy ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, November 01, 2010 Chương Tích phân bội Chương Tích phân bội • Để tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần không dẫm lên ∆Si , i = 1; n Diện tích phần ký hiệu ∆Si Khi đó, khối trụ cong chia thành n khối trụ nhỏ Trong phần ∆Si ta lấy điểm M i (xi ; yi ) tùy ý thể tích V khối trụ là: n V ≈ ∑ f (xi ; yi )∆Si i =1 { } n I n = ∑ f (x i ; yi )∆Si gọi tổng tích phân i =1 n ∑ f (xi ; yi )∆Si max d →0 f (x , y ) D (ứng với phân hoạch ∆Si điểm lim i chặn mặt phẳng Oxy Chia miền D cách tùy ý thành n phần khơng dẫm lên nhau, diện tích phần ∆Si , i = 1; n Lấy n điểm tùy ý M i (x i ; yi ) ∈ ∆Si , i = 1; n Khi đó, • Gọi di = max d (A, B ) A, B ∈ ∆Si đường kính ∆Si Ta có: V = 1.2 Tích phân bội hai a) Định nghĩa • Cho hàm số f (x , y ) xác định miền D đóng bị i =1 chọn M i ) Chương Tích phân bội • Nếu giới hạn I = Chương Tích phân bội n lim max di →0 ∑ f (xi , yi )∆Si tồn hữu i =1 f (x , y ) khả tích miền D ; f (x , y ) hàm dấu tích phân; x y biến tích phân Nhận xét S (D ) = ∫∫ dxdy (diện tích miền D ) ∫∫ f (x , y )dS D D • Chia miền D đường thẳng song song với Ox , Oy ta ∆Si = ∆x i ∆yi hay dS = dxdy Vậy I = ∫∫ f (x, y)dS = ∫∫ f (x , y )dxdy D Nếu f (x , y ) > , liên tục D thể tích hình trụ có đường sinh song song với Oz , hai đáy giới hạn mặt z = , z = f (x , y ) V = ∫∫ f (x , y )dxdy D D Chương Tích phân bội Chương Tích phân bội b) Định lý Hàm f (x , y ) liên tục miền D đóng bị chặn khả tích D 1.3 Tính chất tích phân bội hai Giả thiết tích phân tồn • Tính chất ∫∫ f (x, y )dxdy = ∫∫ f (u, v )dudv D D • Tính chất ∫∫ [ f (x, y ) ± g(x, y )]dxdy = D ∫∫ D ∫∫ f (x, y )dxdy , ta nói hàm số D hạn, khơng phụ thuộc vào phân hoạch ∆Si cách chọn điểm M i số thực I gọi tích phân bội hai hàm số f (x , y ) miền D Ký hiệu là: I = • Nếu tồn tích phân ∫∫ fdxdy ± ∫∫ gdxdy ; D D kf (x , y )dxdy = k ∫∫ f (x , y )dxdy, k ∈ ℝ D Tốn cao cấp A3 Đại học • Tính chất Nếu chia miền D thành D1, D2 đường cong có diện tích thì: ∫∫ f (x, y )dxdy = D ∫∫ f (x, y )dxdy + ∫∫ f (x, y )dxdy D1 D2 1.4 PHƯƠNG PHÁP TÍNH 1.4.1 Đưa tích phân lặp a) Định lý (Fubini) Giả sử tích phân I = ∫∫ f (x , y )dxdy tồn tại, D D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x )}, ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, November 01, 2010 Chương Tích phân bội Chương Tích phân bội y (x ) với x ∈ [a ; b ] cố định, ∫ Chú ý f (x , y )dy tồn y1 (x ) b I = Khi đó: y2 (x ) ∫ dx ∫ a b f (x , y )dy ∫∫ y1 (x ) I = c d d a c c f (x , y )dxdy = D x1 (y ) Chương Tích phân bội a 2) Nếu D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x )} f (x , y ) = u(x ).v(y ) thì: ∫∫ f (x , y )dx b ∫ dx ∫ f (x, y )dy=∫ dy ∫ f (x , y )dx y2 (x ) b x (y ) ∫ dy ∫ f (x , y )dxdy = D Tương tự, miền D là: D = {(x , y ) : x1(y ) ≤ x ≤ x (y ), c ≤ y ≤ d } d 1) Nếu miền D hình chữ nhật, D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } = [a ; b ] × [c; d ] thì: ∫ ∫ u(x )dx v(y )dy y1(x ) a Chương Tích phân bội 3) Nếu D = {(x , y ) : x1(y ) ≤ x ≤ x (y ), c ≤ y ≤ d } f (x , y ) = u(x ).v(y ) thì: x (y ) d ∫∫ f (x , y )dxdy = D ∫ c v(y )dy ∫ u(x )dx x1 (y ) 4) Nếu D miền phức tạp ta chia D thành miền đơn giản VD Cho I = ∫∫ f (x, y )dxdy Xác định cận tích phân D lặp với miền D giới hạn y = 0, y = 2x , x = a > Chương Tích phân bội VD Tính tích phân I = ∫∫ D (2x + y )dxdy Trong đó, D = {y ≤ x ≤ − y, − ≤ y ≤ 0} VD Tính tích phân I = ∫∫ 6xy dxdy D Trong đó, D = [0; 2]× [−1; 1] Chương Tích phân bội VD Tính tích phân I = ∫∫ ydxdy , miền D D giới hạn đường y = x − 4, y = 2x VD Tính tích phân I = ∫∫ ydxdy , D miền D giới hạn đường y = x + 2, y = x Tốn cao cấp A3 Đại học 10 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, November 01, 2010 Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt VD Tính tích phân I = Đặc biệt ∫ (x + y )ds với L ∆OAB L • Nếu L có phương trình y = α ∈ ℝ với a ≤ x ≤ b thì: có đỉnh O(0; 0), A(1; 0), B(1; 2) b VD Tính tích phân ∫ f (x, y )ds = ∫ f (x, α)dx L a I = • Nếu L có phương trình x = α ∈ ℝ với a ≤ y ≤ b thì: b ∫ f (x , y )ds = L ∫ f (α, y )dy a Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt ∫ 2x 81 − 9x ds 81 − 8x Trong đó, C cung x2 + y2 = nằm góc phần tư thứ ba C Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt VD Tính tích phân I = c) Đường cong L tọa độ cực • Nếu phương trình đường cong L cho tọa độ cực r = r (ϕ) với α ≤ ϕ ≤ β ta xem ϕ tham số ∫ x + y ds Trong đó, L L đường trịn có phương trình (C ) : x + y − 4y = Khi đó, phương trình L là: x = r (ϕ)cos ϕ, y = r (ϕ)sin ϕ, α ≤ ϕ ≤ β • Đặt f ≡ f (r (ϕ)cos ϕ, r (ϕ)sin ϕ), ta có công thức: β ∫ L f (x , y )ds = ∫ f ( ) r + rϕ′ x = r cos ϕ   y = r sin ϕ  d ϕ α Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt 1.4 Ứng dụng tích phân đường loại a) Tính độ dài cung Độ dài l cung L l = ∫ ds L VD Tính độ dài l cung  x = t + L : , t ∈ 1;  y = ln t + t + 1    3  VD 10 Tính độ dài l cung L : r = a(1 + cos ϕ), ϕ ∈ [0; π] Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt VD 11 Tính độ dài cung trịn (C ) : x + y − 2x = nối 3  từ điểm A  ;  đến  2  1   B  ; −  không qua O   b) Tính khối lượng m trọng tâm G cung Nếu cung L có hàm mật độ khối lượng ρ phụ thuộc vào điểm M ∈ L khối lượng cung là: m = ∫ ρds L Toán cao cấp A3 Đại học 21 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, November 01, 2010 Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt Trọng tâm G cung L ứng với ρ = ρ(x , y ) là: 1 xG = ∫ x ρ(x , y )ds, yG = ∫ y ρ(x , y )ds m L m L Trọng tâm G cung L ứng với ρ = ρ(x , y, z ) là: 1 xG = ∫ x ρds, yG = ∫ y ρds, zG = ∫ z ρds m L m L m L VD 12 Cho dây thép có dạng nửa đường trịn mpOyz với phương trình y + z = 1, z ≥ Biết hàm mật độ khối lượng ρ(x , y, z ) = 2z Tìm khối lượng trọng tâm dây thép ……………………………………………………………… Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt §2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II 2.1 Bài tốn mở đầu Tính cơng sinh lực F = F (M ) tác dụng lên chất điểm M (x , y ) di chuyển dọc theo đường cong L • Nếu L đoạn thẳng AB cơng sinh là: ( ) W = F AB = F AB cos F , AB • Nếu L cung AB ta chia L thành n cung nhỏ điểm chia A = A0 , A1 , , An = B Trên cung Ai −1Ai ta lấy điểm M i (x i , yi ) tùy ý Chiếu F (M i ), Ai −1Ai lên trục Ox , Oy ta được: Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt 2.2 Định nghĩa (tích phân đường theo tọa độ) F (M i ) = P (M i ).i + Q(M i ).j • Cho hai hàm số P(x , y ), Q(x , y ) xác định đường Ai −1Ai = ∆xi i + ∆yi j cong L Chia L tốn mở đầu Khi đó: n I n = ∑ P (M i )∆xi + Q(M i )∆yi  gọi tổng tích Khi đó, cơng W sinh là: n i =1 n W ≈ ∑Wi = ∑ F (M i )Ai−1Ai i =1 phân đường loại P(x , y ), Q(x , y ) L i =1 n =∑ P(M i )∆xi + Q(M i )∆yi  i =1 n Vậy W = lim ∑ P(M i )∆xi + Q(M i )∆yi  max A A → i −1 i i =1 lim • Giới hạn max Ai −1Ai →0 I n tồn hữu hạn gọi tích phân đường loại P(x , y ), Q(x , y ) L Ký hiệu là: ∫ P(x , y )dx + Q(x, y )dy L Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt • Định nghĩa tương tự không gian Oxyz : ∫ P(x, y, z )dx + Q(x , y, z )dy + R(x, y, z )dz L Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt Tích phân đường loại phụ thuộc vào chiều L Do đó, viết tích phân ta cần ghi rõ điểm đầu cuối: ∫ P (x, y)dx + Q(x, y )dy = −∫ P(x , y )dx + Q(x, y )dy AB Nhận xét Tích phân đường loại có tất tính chất tích phân xác định Từ định nghĩa tổng tích phân, ta viết: ∫ P (x, y)dx + Q(x, y )dy = ∫ P(x, y )dx + ∫ Q(x, y )dy AB AB AB BA • Định lý Nếu hai hàm số P (x , y ), Q(x , y ) liên tục miền mở chứa đường cong L trơn khúc tồn tích phân đường loại P(x , y ), Q(x , y ) dọc theo L Chú ý Nếu L đường cong phẳng kín lấy theo chiều dương ta dùng ký hiệu: ∫ P (x , y )dx + Q(x , y )dy L Tốn cao cấp A3 Đại học 22 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, November 01, 2010 Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt 2.3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH a) Đường cong L có phương trình tham số Xét đường cong L chứa cung AB • Nếu L có phương trình y = y(x ) thì: • Nếu L có phương trình x = x (t ), y = y(t ) thì: xB tB Pdx + Qdy = ∫ P (x (t ), y(t ))xt′ + Q(x (t ), y(t ))yt′  dt ∫ Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt b) Đường cong L có phương trình tổng qt Xét đường cong L chứa cung AB ∫ Pdx + Qdy = ∫ P (x, y(x )) + Q(x , y(x )).yx′  dx xA AB tA AB • Nếu L có phương trình x = x (t ), y = y(t ), z = z (t ) thì: yB tB ∫ Pdx + Qdy = ∫ P(x (y ), y).xy′ + Q(x (y ), y ) dy tA AB ∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫ (P.xt′ + Q.yt′ + R.zt′ )dt AB Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt • Nếu L có phương trình y = α ∈ ℝ thì: Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt ∫ dx + xdy Trong AB có AB phương trình x = 2t , y = − 3t với A(0; 2) B(2; 5) xB P (x , y )dx + Q(x , y )dy = ∫ P(x, α)dx VD Tính tích phân I = xA AB elip yB x2 a2 + y2 b2 = lấy theo chiều dương VD Tính tích phân I = P (x , y )dx + Q(x , y )dy = ∫ Q(α, y )dy ∫ (x − y )dx + (x + y )dy , với L yA AB ∫ 2xdx − dy Trong đó, L L • Nếu L có phương trình x = α ∈ ℝ thì: ∫ yA VD Tính tích phân I = Đặc biệt ∫ • Nếu L có phương trình x = x (y ) thì: L đường nối điểm O(0; 0) với điểm A(1; 1) trường hợp: Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt 1) L đường thẳng y = x ; 2) L đường cong y = x VD Tính tích phân I = ∫ dx + 4xydy , với BA có BA phương trình y = x điểm A(1; 1), B(4; 2) VD Tính tích phân I = ∫ dx − ydy + dz L Trong đó, L đường cong Oxyz có phương trình: x = cos t , y = sin t , z = 2t nối từ điểm A(0; 1; π) đến B(1; 0; 0) Toán cao cấp A3 Đại học Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt 2.4 Cơng thức Green (liên hệ với tích phân kép) a) Xác định chiều biên miền đa liên Đường cong L gọi Jordan khơng tự cắt Cho miền D miền đa liên, liên thơng, bị chặn có biên ∂D Jordan kín trơn khúc Chiều dương ∂D chiều mà di chuyển dọc theo biên ta thấy miền D nằm phía bên tay trái 23 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, November 01, 2010 Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt b) Cơng thức Green Cho miền D (xác định mục a) Nếu P(x , y ), Q(x , y ) đạo hàm riêng liên tục miền mở chứa D thì: ∫ P(x , y )dx + Q(x, y )dy = ∫∫ (Qx′ − Py′)dxdy ∂D D Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt VD Tính diện tích hình elip x2 a2 + y2 b2 ≤ VD Tính diện tích hình trịn x + y − 2y ≤ VD Tính tích phân: I = ∫ (x arctan x + y )dx + (x + 2xy + y 2e −y )dy C Hệ Diện tích miền D tính theo công thức: S (D ) = ∫ ∂D xdy − ydx hay S (D ) = ∫r (ϕ)d ϕ ∂D Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt 1) Do P = −y x + y2 ,Q = Giải x x + y2 đạo hàm riêng liên tục ℝ2 \ {(0; 0)} nên áp dụng Green, ta có: I = ∫ L 2) Hàm P = xdy − ydx x + y2 −y ( ) = ∫∫ Qx′ − Py′ dxdy = D Q = x không liên tục x +y x + y2 O(0; 0) nên ta không áp dụng cơng thức Green 2 Giả sử L có phương trình tọa độ cực r = r (ϕ) Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt 2.5 Điều kiện để tích phân đường khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân a) Định lý Giả sử hàm số P , Q đạo hàm riêng cấp chúng liên tục miền mở đơn liên D Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đương: 1) Py′ = Qx′ , ∀(x , y ) ∈ D 2) ∫ P(x, y )dx + Q(x , y )dy = dọc theo đường L cong kín L nằm D Trong đó, C đường trịn x + y − 2y = VD Tính I = ∫ xdy − ydx trường hợp: x + y2 1) L đường cong kín khơng bao quanh gốc tọa độ O ; 2) L đường cong kín bao quanh gốc tọa độ O L Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt Khi đó, phương trình tham số L là: x = r (ϕ)cos ϕ, y = r (ϕ)sin ϕ, ≤ ϕ ≤ 2π dx = x ′dr + x ′ d ϕ = cos ϕdr − r sin ϕd ϕ r ϕ Do  nên:  dy = yr′dr + y ϕ′ d ϕ = sin ϕdr + r cos ϕd ϕ  xdy − ydx = r cos2 ϕd ϕ + r sin2 ϕd ϕ = r 2d ϕ xdy − ydx ⇒I =∫ 2 L x +y 2π =∫ r 2d ϕ r2 = 2π Cách khác Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt 3) Tích phân ∫ P (x, y )dx + Q(x , y )dy, AB ⊂ D , phụ AB thuộc vào hai đầu mút A, B mà không phụ thuộc vào đường nối A với B 4) Biểu thức P(x , y )dx + Q(x , y )dy vi phân tồn phần hàm u(x , y ) miền D Nghĩa là: ∃u(x , y ) : du(x , y ) = P (x , y )dx + Q(x , y )dy b) Hệ Nếu P(x , y )dx + Q(x , y )dy vi phân toàn phần hàm u(x , y ) miền mở đơn liên D thì: ∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy = u(B) − u(A) AB Toán cao cấp A3 Đại học 24 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, November 01, 2010 Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt VD 10 Tích phân đường sau khơng phụ thuộc vào đường trơn khúc nối hai điểm A, B ? A I = ∫ ∫ (4xy + 2x − 1)dx + (y + 6x 2y − 1)dy C I = ∫ (4xy ∫ (4xy L VD 12 Cho biết hàm u(x , y ) = xe y − ye x + 2x + có vi + 2x )dx − (y + 2y − x )dy (1; 0) Hãy tính I = AB D I = x +y phân toàn phần: du = (e y − ye x + 2)dx + (xe y − e x )dy AB x −y ∫ x + y dx + x + y dy Biết L đường trơn khúc nối điểm A(−1; −1) B(−2; −2) nằm miền D không chứa gốc tọa độ O (4xy + 2x )dx + (y + 2y − x )dy AB B I = VD 11 Tính I = + 2x − 1)dx − (y + 6x 2y − 1)dy AB ∫ (e y − ye x + 2)dx + (xe y − e x )dy ? (1; 1) (5; 12) VD 13 Tính tích phân I = ∫ xdx + ydy (3; 4) Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt (x ; y2 ) ∫ Pdx + Qdy , người ta (x1 ; y1 ) §3 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I 3.1 Định nghĩa • Cho hàm số f (x , y, z ) xác định mặt S Chia mặt S cách tùy ý thành n phần khơng dẫm lên nhau, diện tích phần ∆Si (i = 1, 2, , n ) Trong ∆Si ta n lấy điểm M i lập tổng tích phân I n = ∑ f (M i )∆Si thường tính theo đường gấp khúc song song với trục tọa độ (3; 2) ∫ VD 14 Tính tích phân I = (x + 2y )dx + ydy (x + y )2 (1; 1) • Nếu giới hạn I = theo đường trơn khúc không cắt (d ) : x + y = …………………………………………………………… Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt Ký hiệu là: I = ∫∫ f (x, y, z )dS lim max d (∆Si )→0 ∑ f (M i )∆Si tồn hữu i =1 hạn, không phụ thuộc vào cách chia S cách chọn điểm M i số thực I gọi tích phân mặt loại hàm f (x , y, z ) S Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt I = 3.2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH ∫∫ f (x, y(x, z ), z ) + (yx′ ) + (yz′ ) dxdz 2 D a) Chiếu S lên mpOxy Nếu S có phương trình z = z(x , y ) S có hình chiếu mpOxy D thì: ∫∫ f (x, y, z (x, y )) i =1 n b) Chiếu S lên mpOxz Nếu S có phương trình y = y(x , z ) S có hình chiếu mpOxz D thì: S I = Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt Chú ý Giả sử hai hàm số P, Q thỏa định lý Khi tính tích phân I = x + y2 ( ) + (z x′ ) + z y′ D 2 dxdy c) Chiếu S lên mpOyz Nếu S có phương trình x = x (y, z ) S có hình chiếu mpOyz D thì: I = ∫∫ f (x (y, z ), y, z ) ( ) + (xz′ ) + x y′ 2 dydz D Toán cao cấp A3 Đại học 25 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, November 01, 2010 Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt VD Tính tích phân I = ∫∫ (x Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt + y )dS S Trong S phần mặt nón z = x + y , ≤ z ≤ VD Tính tích phân I = ∫∫ xyzdS S VD Tính tích phân I = ∫∫ zdS , S phần S mặt cầu x + y + z = với x ≥ , y ≥ Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt 3.3 Ứng dụng tích phân mặt loại Diện tích mặt S ∫∫ dS S Khối lượng mặt S có hàm mật độ ρ(x , y, z ) m= Trong S mặt hình hộp chữ nhật ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ , ≤ z ≤ ∫∫ ρ(x, y, z )dS S Khi đó, tọa độ trọng tâm G mặt S là: 1 xG = ∫∫ x ρ(x , y, z )dS , yG = ∫∫ y ρ(x , y, z )dS , m S m S zG = ∫∫ z ρ(x , y, z )dS m S §4 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II 4.1 Các định nghĩa 4.1.1 Mặt định hướng Cho mặt S có biên đường cong kín C • Di chuyển pháp vector S từ điểm M ∈ S theo đường cong tùy ý (không cắt C ) Nếu quay trở lại điểm M mà pháp vector khơng đổi chiều S gọi mặt hai phía; pháp vector đổi chiều S gọi mặt phía ………………………………………………………………… Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt • Khi mặt S khơng kín, ta gọi z phía phía mà pháp vector lập với tia Oz góc nhọn, ngược lại phía M • Khi mặt S kín, ta gọi phía phía ngồi • Hướng dương biên C C hướng ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ pháp vector n C 4.1.2 Mặt trơn • Mặt S gọi mặt trơn pháp vector xác định điểm M ∈ S (có thể trừ S biên C ) biến đổi liên tục M chạy S Tốn cao cấp A3 Đại học Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt n S • Nếu mặt S ghép hữu hạn mặt trơn (với biên mặt đường cong) S gọi mặt trơn mảnh 4.1.3 Tích phân mặt loại • Cho hàm số P (x , y, z ), Q(x , y, z ), R(x , y, z ) xác định n mặt định hướng trơn mảnh S • Gọi α, β, γ góc hợp pháp vector đơn vị n = (cos α; cos β; cos γ ) với tia Ox , Oy, Oz • Khi đó, tích phân mặt loại một: I = ∫∫ (P cos α + Q cos β + R cos γ )dS S gọi tích phân mặt loại P, Q, R mặt S 26 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, November 01, 2010 Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt Ký hiệu là: I = Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt VD Tìm pháp vector đơn vị mặt nón ( ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S Chú ý Nếu đổi hướng mặt S tích phân đổi dấu Nếu mặt S kín, hướng lấy tích phân phía ngồi S , tích phân ký hiệu là: I = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S Nếu mặt S có phương trình F (x , y, z ) = thì: n= (Fx′; Fy′; Fz′) (Fx′) + (Fy′)2 + (Fz′)2 z = x + y điểm M 1; Biết mặt nón định hướng phía nhìn theo hướng trục Oz 4.2 Phương pháp tính tích phân mặt loại 4.2.1 Đưa tích phân mặt loại Nếu mặt S có pháp vector đơn vị n = (a; b; c) thì: ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S ∫∫ dydz + dzdx + dxdy S Trong đó, S tam giác giao mặt phẳng x + y + z = với mặt phẳng tọa độ (lấy phía trên) = ∫∫ (P a + Q.b + R.c)dS S Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt VD Tính tích phân I = ) 3; Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt 4.2.2 Đưa tích phân kép Khi tính tích phân I = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy , S người ta thường tách riêng thành tích phân: I = ∫∫ Pdydz + ∫∫ Qdzdx + ∫∫ Rdxdy S S S Nếu mặt S có hình chiếu đơn trị lên Oxy miền Dxy S có phương trình z = z (x , y ) thì: ∫∫ R(x, y, z )dxdy = ±∫∫ R(x, y, z (x, y ))dxdy S Dxy (dấu “+” hay “–” tùy thuộc vào S phía hay dưới) Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt Nếu mặt S có hình chiếu đơn trị lên Oxz miền Dxz S có phương trình y = y(x , z ) thì: ∫∫ Q(x, y, z )dzdx = ±∫∫ Q(x, y(x, z ), z )dzdx S Dxz (dấu “+” S hướng phía tia Oy ) Nếu mặt S có hình chiếu đơn trị lên Oyz miền Dyz S có phương trình x = x (y, z ) thì: Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt Chú ý Nếu hình chiếu S xuống mặt phẳng đường cong tích phân tương ứng VD Tính tích phân I = ∫∫ zdxdy , S với S phía ngồi mặt cầu x + y + z = R2 ∫∫ P(x, y, z )dydz = ±∫∫ P(x (y, z ), y, z )dydz S Dyz (dấu “+” S hướng phía tia Ox ) Tốn cao cấp A3 Đại học 27 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, November 01, 2010 Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt 4.3 Cơng thức Gauss – Ostrogradski (mối liên hệ tích phân mặt bội ba) Cho V khối bị chặn với biên S kín, trơn mảnh hướng phía ngồi Giả sử P, Q, R hàm có đạo hàm riêng liên tục miền mở chứa V Khi đó: ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S ( 4.4 Công thức Stokes (mối liên hệ tích phân đường mặt loại 2) Cho S mặt định hướng, trơn mảnh có biên ∂S Jordan trơn khúc Giả sử P, Q, R hàm số có đạo hàm riêng liên tục miền mở chứa S Khi đó: ∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫ Ry′ − Qz′ dydz ( ∂S ) = ∫∫∫ Px′ + Qy′ + Rz′ dxdydz + ∫∫ (Pz′ − Rx′ )dzdx V VD Tính I = ∫∫ S ) S S (Hướng ∂S hướng dương phù hợp với hướng S ) Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt VD Tính tích phân Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt ∫ ydx + zdy + xdz Trong C 4.5 Các ví dụ trắc nghiệm tích phân mặt loại C VD Tính tích phân I = đường tròn giao mặt cầu x + y + z = R mặt phẳng x + y + z = , hướng tích phân C hướng dương nhìn từ tia Oz z R x ∫∫ dxdy , với S mặt S y2 ≤ 1, z = A I = −3π; B I = 3π ; C I = −9π ; D I = 9π mặt x + n O S y C Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt ∫∫ ( + ∫∫ Qx′ − Py′ dxdy x 3dydz + y 3dzdx + z 3dxdy , với S mặt phía ngồi mặt cầu x + y + z = R VD Tính I = ) S Chương Tích phân đườ đường – Tích phân mặt VD Tính I = zdxdy , với S mặt mặt S z = giới hạn x + y ≤ 1, x ≥ 0, ≤ y ≤ A I = ; B I = ; C I = ; D I = VD Tính tích phân I = ∫∫ 3xdxdy + 2xdydz − ydzdx S với S mặt biên elipsoid y2 z Ω : x2 + + ≤ A I = 144π ; B I = 32π ; C I = 8π ; D I = 36π Toán cao cấp A3 Đại học z Ω O x ∫∫ xdydz + 2zdzdx + dxdy với S S mặt mặt cầu x + y + z − 2z = 0, z ≤ 2π ; 2π B I = − ; π C I = ; π D I = − A I = − y ………………………………………………………………… 28 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Phương trì trình vi phân §1 Khái niệm phương trình vi phân §2 Phương trình vi phân cấp §3 Phương trình vi phân cấp cao …………………………… §1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1 Bài tốn mở đầu a) Bài tốn • Tìm phương trình đường cong (C ) : y = f (x ) qua điểm M (2; 3) cho đoạn tiếp tuyến với (C ) nằm hai trục tọa độ bị tiếp điểm chia thành hai phần ? Monday, November 01, 2010 Chương Phương trì trình vi phân Giải Giả sử I (x , y ) ∈ (C ), hệ số góc tiếp tuyến I là: PI PI y y ′(x ) = tan α = − =− ⇒ y ′(x ) = − (*) PA OP x C , C ∈ ℝ thỏa (*) x C Thay tọa độ M vào y = ta y = x x Nhận thấy hàm y = b) Bài tốn Tìm vận tốc nhỏ để phóng vật theo phương thẳng đứng cho vật không rơi trở lại trái đất ? Cho biết lực cản khơng khí khơng đáng kể Chương Phương trì trình vi phân Chương Phương trì trình vi phân Giải Gọi khối lượng trái đất vật phóng M , m Khoảng cách từ tâm trái đất đến trọng tâm vật phóng r , R bán kính trái đất Theo định luật hấp dẫn Newton, lực hút tác dụng lên vật Mm f = k (k số hấp dẫn) r2 Phương trình chuyển động vật là: d 2r Mm d 2r M m = −k ⇔ = −k (1) dt r2 dt r2 Mặt khác d 2r dv dv dr dv = = =v dt dr dt dr dt Chương Phương trì trình vi phân 1.2 Khái niệm phương trình vi phân (ptvp) • Phương trình chứa đạo hàm vi phân vài hàm cần tìm gọi phương trình vi phân • Cấp cao đạo hàm có phương trình vi phân gọi cấp phương trình vi phân • Dạng tổng quát phương trình vi phân cấp n là: F (x , y, y ′, , y (n ) ) = (*) Nếu từ (*) ta giải theo y (n ) ptvp có dạng: y (n ) = f (x , y, y ′, , y (n −1) ) Toán cao cấp A3 Đại học dv M kM = −k ⇔ vdv = − dr dr r r2 kM v2 kM vdv = −∫ dr ⇒ = + C (2) r r (1) ⇔ v ⇒ ∫ Tại thời điểm t = r = R v = v0 nên:   v kM v2 kM  v0 kM  (2) ⇒ C = − ⇒ = +  −  (3)  2 R r R  Khi r → +∞ v 02 − kM v2 = ≥ ⇒ v0 ≥ R 2kM R Thay giá trị k , M , R ta v0 ≈ 11, km / s Chương Phương trì trình vi phân • Nghiệm (*) khoảng D hàm y = ϕ(x ) xác định D cho thay y = ϕ(x ) vào (*) ta đồng thức D • Phương trình vi phân có nghiệm có vơ số nghiệm sai khác số C • Giải phương trình vi phân tìm tất nghiệm phương trình vi phân • Đồ thị nghiệm y = ϕ(x ) phương trình vi phân gọi đường cong tích phân Chú ý • Nghiệm phương trình vi phân thường biểu diễn dạng hàm ẩn 29 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, November 01, 2010 Chương Phương trì trình vi phân §2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 2.1 Khái niệm phương trình vi phân cấp • Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng tổng quát F (x , y, y ′) = (*) Nếu từ (*) ta giải theo y ′ (*) trở thành y ′ = f (x , y ) • Nghiệm (*) có dạng y = y(x ) chứa số C gọi nghiệm tổng quát Khi điều kiện y = y(x ) cho trước (thường gọi điều kiện đầu) vào nghiệm tổng quát ta giá trị C cụ thể nghiệm lúc gọi nghiệm riêng (*) • Nghiệm thu trực tiếp từ (*) không thỏa nghiệm tổng quát gọi nghiệm kỳ dị (*) Chương Phương trì trình vi phân ⇒ arcsin y = x + C ⇒ y = sin(x + C ) (2) Nhận thấy y = ±1 thỏa ptvp không thỏa (2) Vậy y = ±1 nghiệm kỳ dị Từ sau, ta khơng xét đến nghiệm kỳ dị VD Tìm ptvp họ đường cong y = Cx Giải Ta có: y = Cx ⇒ y ′ = 2Cx ⇒ C = Vậy y ′ = y′ y′ ⇒y = x 2x 2x 2y , x ≠ x Chương Phương trì trình vi phân VD Tìm hàm y = y(x ) thỏa y ′ − x = Biết đường cong tích phân qua điểm M (2; 1) x2 Giải Ta có: y ′ − x = ⇔ y ′ = x ⇒ y = + C (1) x2 Thế M (2; 1) vào (1) ta C = −1 ⇒ y = − VD Tìm nghiệm kỳ dị ptvp y ′ = − y Giải Với điều kiện −1 ≤ y ≤ 1, ta có: dy y′ = − y2 ⇒ = − y2 dx dy ⇒∫ = ∫ dx , −1 < y < 1 − y2 Chương Phương trì trình vi phân 2.2 Một số phương trình vi phân cấp 2.2.1 Phương trình vi phân cấp với biến phân ly Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng: f (x )dx + g(y )dy = (1) Phương pháp giải Lấy tích phân hai vế (1) ta nghiệm tổng quát: ∫ f (x )dx + ∫ g(y )dy = C VD Giải phương trình vi phân Chương Phương trì trình vi phân VD Giải phương trình vi phân y ′ = xy(y + 2) xdx 1+x + ydy + y2 = Chương Phương trì trình vi phân 2.2.2 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp a) Hàm đẳng cấp hai biến số • Hàm hai biến f (x , y ) gọi đẳng cấp bậc n với k > f (kx , ky ) = k n f (x , y ) VD Giải ptvp x 2(y + 1)dx + (x − 1)(y − 1)dy = Chẳng hạn, hàm số: f (x , y ) = VD Giải ptvp xy ′ + y = y thỏa điều kiện y(1) = 2 Toán cao cấp A3 Đại học x −y đẳng cấp bậc 0, 2x + 3y 4x + 3xy đẳng cấp bậc 1, 5x − y f (x , y ) = 3x − 2xy đẳng cấp bậc f (x , y ) = 30 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Phương trì trình vi phân Monday, November 01, 2010 Chương Phương trì trình vi phân b) Phương trình vi phân đẳng cấp • Phương trình vi phân đẳng cấp cấp có dạng: y ′ = f (x , y ) (2) Trong đó, f (x , y ) hàm số đẳng cấp bậc Phương pháp giải y  Bước Biến đổi (2) ⇔ y ′ = ϕ    x  y Bước Đặt u = ⇒ y ′ = u + xu ′ x du dx Bước (2) ⇒ u + xu ′ = ϕ(u ) ⇒ = ϕ(u ) − u x ϕ ( u ) − u ≠ ≠ x (đây ptvp có biến phân ly) ( ) Chương Phương trì trình vi phân 2.2.3 Phương trình vi phân tồn phần • Cho hai hàm số P (x , y ), Q(x , y ) đạo hàm riêng chúng liên tục miền mở D , thỏa điều kiện Qx′ = Py′, ∀(x , y ) ∈ D Nếu tồn hàm u(x , y ) cho du(x , y ) = P (x , y )dx + Q(x , y )dy phương trình vi phân có dạng: P (x , y )dx + Q(x , y )dy = (3) gọi phương trình vi phân tồn phần • Nghiệm tổng qt (3) u(x , y ) = C Nhận xét ux′ (x, y ) = P (x , y ), uy′ (x, y ) = Q(x, y ) Chương Phương trì trình vi phân VD 11 Cho phương trình vi phân: (3y + 2xy + 2x )dx + (x + 6xy + 3)dy = (*) 1) Chứng tỏ (*) phương trình vi phân tồn phần 2) Giải phương trình (*) VD 12 Giải ptvp (x + y − 1)dx + (ey + x )dy = VD Giải phương trình vi phân y ′ = x − xy + y xy VD Giải phương trình vi phân y ′ = x +y x −y với điều kiện đầu y(1) = VD 10 Giải phương trình vi phân: y y xy ′ ln = y ln + x (x , y > 0) x x Chương Phương trì trình vi phân Phương pháp giải Bước Từ (3) ta có ux′ = P (3a) uy′ = Q (3b) Bước Lấy tích phân (3a) theo biến x ta được: u(x , y ) = ∫ P (x , y )dx = ϕ(x , y ) + C (y ) (3c) Trong đó, C (y ) hàm theo biến y Bước Đạo hàm (3c) theo biến y ta được: uy′ = ϕy′ + C ′(y ) (3d) Bước So sánh (3b) (3d) ta tìm C (y ) Thay C (y ) vào (3c) ta u(x , y ) Chương Phương trì trình vi phân 2.2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp • Phương trình vi phân tuyến tính cấp có dạng: y ′ + p(x )y = q(x ) (4) • Khi q(x ) = (4) gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp Phương pháp giải (phương pháp biến thiên số Lagrange) − p(x )dx Bước Tìm biểu thức A(x ) = e ∫ VD 13 Giải phương trình vi phân: [(x + y + 1)e x + e y ]dx + (e x + xe y )dy = Toán cao cấp A3 Đại học Bước Tìm biểu thức B(x ) = ∫ q(x ).e ∫ p(x )dxdx Bước Nghiệm tổng quát y = A(x ) B(x ) + C  31 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, November 01, 2010 Chương Phương trì trình vi phân Nhận xét B(x ) = ∫ p(x )dx q(x ).e ∫ dx = ∫ q(x ) dx A(x ) Chú ý • Khi tính tích phân trên, ta chọn số • Phương pháp biến thiên số tìm nghiệm −∫ p(x )dx tổng quát (4) dạng: y = C (x )e VD 14 Trong phương pháp biến thiên số, ta tìm y nghiệm tổng quát y ′ + = 4x ln x dạng: x C (x ) C (x ) A y = ; B y = ; x x3 C (x ) C (x ) ; D y = − C y = x x Chương Phương trì trình vi phân 2.2.5 Phương trình vi phân Bernoulli • Phương trình vi phân Bernoulli có dạng: y ′ + p(x )y = q(x )y α (5) • Khi α = α = (5) tuyến tính cấp • Khi p(x ) = q(x ) = (5) pt có biến phân ly Phương pháp giải (với α khác 1) Bước Với y ≠ , ta chia hai vế cho y α : y′ y (5) ⇒ + p(x ) = q(x ) α y yα ⇒ y ′y −α + p(x )y 1−α = q(x ) Chương Phương trì trình vi phân §3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 3.1 Các dạng phương trình vi phân cấp 3.1.1 Phương trình khuyết y y’ • Phương trình vi phân khuyết y y ′ có dạng: y ′′ = f (x ) (1) Phương pháp giải • Lấy tích phân hai vế (1) hai lần: y ′′ = f (x ) ⇒ y ′ = ∫ f (x )dx = ϕ(x ) + C ⇒y = ∫ ϕ(x )dx + C1x = ψ(x ) + C1x + C VD Giải phương trình vi phân y ′′ = x Toán cao cấp A3 Đại học Chương Phương trì trình vi phân VD 15 Giải phương trình vi phân y ′ − x 2y = thỏa điều kiện đầu y x =3 = −e VD 16 Giải phương trình y ′ + y cos x = e − sin x VD 17 Giải phương trình y ′ − 2y tan 2x = sin 4x Chương Phương trì trình vi phân Bước Đặt z = y 1−α ⇒ z ′ = (1 − α)y ′y −α , ta được: (5) ⇒ z ′ + (1 − α )p(x )z = (1 − α )q(x ) (đây phương trình tuyến tính cấp 1) VD 18 Giải phương trình vi phân y ′ + với điều kiện đầu x = 1, y = y = xy x VD 19 Giải phương trình vi phân y ′ − 2xy = x 3y …………………………………………………………………… Chương Phương trì trình vi phân VD Giải ptvp y ′′ = e 2x với y(0) = − , y ′(0) = 3.1.2 Phương trình khuyết y • Phương trình vi phân khuyết y có dạng: y ′′ = f (x , y ′) (2) Phương pháp giải • Đặt z = y ′ đưa (2) phương trình tuyến tính cấp VD Giải phương trình vi phân y ′′ = x − y′ x y′ − x (x − 1) = x −1 với điều kiện y(2) = 1, y ′(2) = −1 VD Giải pt vi phân y ′′ − 32 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, November 01, 2010 Chương Phương trì trình vi phân Chương Phương trì trình vi phân 3.1.3 Phương trình khuyết x • Phương trình vi phân khuyết x có dạng: y ′′ = f (y, y ′) (3) Phương pháp giải dz dz dy dz • Đặt z = y ′ ta có: y ′′ = z ′ = = =z dx dy dx dy • Khi đó, (3) trở thành ptvp với biến số phân ly VD Giải phương trình vi phân 2yy ′′ = (y ′) + VD Giải phương trình vi phân y ′′ + 2y ′(1 − 2y ) = với điều kiện y(0) = 0, y ′(0) = VD Giải phương trình vi phân (1 − y )y ′′ + 2(y ′)2 = Chương Phương trì trình vi phân Trường hợp Phương trình (5) có nghiệm kép thực k Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng y1 = e kx , y2 = xe kx kx kx nghiệm tổng quát y = C 1e + C 2xe Trường hợp Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp k = α ± iβ Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng: y1 = e αx cos βx , y2 = e αx sin βx nghiệm tổng quát là: y = e αx (C cos βx + C sin βx ) Chương Phương trì trình vi phân 3.2 Phương trình vi phân cấp tuyến tính với hệ số 3.2.1 Phương trình • Phương trình có dạng: y ′′ + a1y ′ + a2y = 0, (a1 , a ∈ ℝ ) (4) Phương pháp giải Xét phương trình đặc trưng (4): k + a1k + a = (5) Trường hợp Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt k1 , k2 Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng y1 = e nghiệm tổng quát y = C 1e k1x k1x + C 2e , y2 = e k 2x k2x Chương Phương trì trình vi phân VD Giải phương trình vi phân y ′′ + 2y ′ − 3y = VD Giải phương trình vi phân y ′′ − 6y ′ + 9y = VD 10 Giải phương trình vi phân y ′′ + 16y = VD 11 Giải phương trình vi phân y ′′ + 2y ′ + 7y = VD 12 Tìm nghiệm tổng quát phương trình: y ′′ − y ′ + y = Chương Phương trì trình vi phân 3.2.2 Phương trình khơng VD 13 Giải phương trình vi phân y ′′ − 2y ′ + y = x (a) • Phương trình khơng có dạng: y ′′ + a1y ′ + a2y = f (x ), (a1, a2 ∈ ℝ ) (6) Giải Xét phương trình nhất: y ′′ − 2y ′ + y = (b) a) Phương pháp giải tổng quát • Nếu (4) có hai nghiệm riêng y1(x ), y2 (x ) (6) có nghiệm tổng quát y = C 1(x )y1(x ) + C (x )y2 (x ) • Để tìm C 1(x ) C (x ), ta giải hệ Wronsky: C ′(x )y (x ) + C ′(x )y (x ) = 2   ′ C 1(x )y1′(x ) + C 2′(x )y2′ (x ) = f (x )  Toán cao cấp A3 Đại học Ta có: k − 2k + = ⇔ k = ⇒ y1 = e x , y2 = xe x nghiệm riêng (b) Suy ra, nghiệm tổng quát (a) có dạng: y = C 1(x ).e x + C (x ).xe x Ta có hệ Wronsky: e x C ′(x ) + xe x C ′ (x ) =0  x x e C ′(x ) + (x + 1)e C ′ (x ) = x  33 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Phương trì trình vi phân Giải hệ định thức Crammer, ta được: −x  ′ C 1(x ) = −x e C ′ (x ) = xe−x  −x  C 1(x ) = ∫ C 1′(x )dx = e (x + 2x + 2) + C ⇒  C (x ) = C ′ (x )dx = −e −x (x + 1) + C ∫ 2  Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng qt là: y = C 1e x + C 2xe x + x + Chương Phương trì trình vi phân Phương pháp chồng chất nghiệm • Định lý Cho phương trình y ′′ + a1y ′ + a2y = f1(x ) + f2 (x ) (7) Nếu y1(x ) y2 (x ) nghiệm riêng y ′′ + a1y ′ + a2y = f1(x ), y ′′ + a1y ′ + a2y = f2 (x ) nghiệm riêng (7) là: y = y1(x ) + y2 (x ) VD 16 Tìm nghiệm tổng quát y ′′ − y ′ = cos2 x (*) Cho biết y ′′ − y ′ = y ′′ − y ′ = cos 2x có nghiệm riêng y1 = −x , y2 = − cos 2x − sin 2x 10 10 Chương Phương trì trình vi phân Bước Xác định m : 1) Nếu α không nghiệm phương trình đặc trưng (4) m = 2) Nếu α nghiệm đơn phương trình đặc trưng (4) m = 3) Nếu α nghiệm kép phương trình đặc trưng (4) m = Bước Thế y = x m e αxQn (x ) vào (6) đồng thức ta nghiệm riêng cần tìm VD 17 Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân: y ′′ − 2y ′ − 3y = e 3x (x + 1) Toán cao cấp A3 Đại học Monday, November 01, 2010 Chương Phương trì trình vi phân b) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC BIỆT Phương pháp cộng nghiệm • Định lý Nghiệm tổng quát phương trình khơng (6) tổng nghiệm tổng qt phương trình (4) với nghiệm riêng (6) VD 14 Cho phương trình vi phân: y ′′ − 2y ′ + 2y = (2 + x )e x (*) 1) Chứng tỏ (*) có nghiệm riêng y = x 2e x 2) Tìm nghiệm tổng quát (*) VD 15 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân: y ′′ + y ′ = sin 2x + cos 2x , biết nghiệm riêng y = − cos 2x Chương Phương trì trình vi phân Phương pháp tìm nghiệm riêng phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số Xét phương trình y ′′ + a1y ′ + a2y = f (x ) (6) y ′′ + a1y ′ + a2y = (4) • Trường hợp 1: f(x) có dạng eαxPn(x) ( Pn (x ) đa thức bậc n ) Bước Nghiệm riêng (6) có dạng: y = x m e αxQn (x ) (Qn (x ) đa thức đầy đủ bậc n ) Chương Phương trì trình vi phân Giải Ta có f (x ) = e 3x (x + 1), α = 3, P2 (x ) = x + Suy nghiệm riêng có dạng: y = x me 3x (Ax + Bx + C ) Do α = nghiệm đơn phương trình đặc trưng k − 2k − = nên m = Suy nghiệm riêng có dạng y = xe 3x (Ax + Bx + C ) Thế y = xe 3x (Ax + Bx + C ) vào phương trình cho, đồng thức ta được: A= 1 , B =− ,C = 12 16 32 34 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Monday, November 01, 2010 Chương Phương trì trình vi phân Chương Phương trì trình vi phân 1 9 Vậy nghiệm riêng y = xe 3x  x − x +  12 16 32  VD 18 Tìm dạng nghiệm riêng phương trình vi phân: y ′′ + 2y ′ + y = xe x + 2e −x • Trường hợp f(x) có dạng eαx[Pn(x)cosβx + Qm(x)sinβx] ( Pn (x ) đa thức bậc n , Qm (x ) đa thức bậc m ) Bước Nghiệm riêng có dạng: y = x se αx [Rk (x )cos β x + H k (x ) sin βx ] ( Rk (x ), H k (x ) đa thức đầy đủ bậc k = max{n, m} ) Chương Phương trì trình vi phân VD 20 Tìm dạng nghiệm riêng phương trình vi phân: y ′′ − 2y ′ + 2y = e x [(x + 1)cos x + x sin x ] Giải Ta có α = 1, β = 1, k = Chương Phương trì trình vi phân Giải Phương trình đặc trưng: k − 2k − k + = ⇔ k = ±1, k = Vậy phương trình có nghiệm riêng: y1 = e−x , y2 = e x , y3 = e 2x phương trình (8) có n nghiệm riêng kn −1x , yn = e kn x k1x + C 2e k2x nghiệm tổng quát y = C 1e−x + C 2e x + C 3e 2x VD 23 Giải phương trình vi phân y (4) − 5y ′′ + 4y = nghiệm tổng quát là: y = C 1e 3.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO tuyến tính với hệ số • Phương trình tuyến tính cấp n có dạng: y (n ) +a1y (n −1) +a2y (n −2) + +an −1y ′+an y = (8) Chương Phương trì trình vi phân có n nghiệm thực đơn k1, k2 , , kn −1 , kn , , yn −1 = e y = xe x [(Ax + Bx + C )cos x + (Dx + Ex + F )sin x ] VD 22 Giải phương trình y ′′′ − 2y ′′ − y ′ + 2y = • Định lý Nếu phương trình đặc trưng (8) k n + a1k n −1 + a2k n −2 + + an −1k + an = k 2x Vậy dạng nghiệm riêng cần tìm là: Trong đó, ∈ ℝ, i = 1, 2, , n ± i nghiệm k − 2k + = ⇒ s = , y2 = e Giải Ta có f (x ) = e x (cos x + 3x sin x ) ⇒ α = 1, β = 1, n = 0, m = 1, k = VD 21 Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân: y ′′ + y = sin x (*) đặc trưng k + 2k − = nên s = Vậy dạng nghiệm riêng là: y = e x [(Ax + B )cos x + (Cx + D )sin x ] k1x VD 19 Tìm dạng nghiệm riêng phương trình vi phân: y ′′ + 2y ′ − 3y = e x cos x + 3xe x sin x Chương Phương trì trình vi phân Suy nghiệm riêng có dạng: y = x se x [(Ax + B )cos x + (Cx + D )sin x ] Do α ± i β = ± i khơng nghiệm phương trình y1 = e Bước Xác định s : 1) Nếu α ± i β khơng nghiệm phương trình đặc trưng (4) s = 2) Nếu α ± i β nghiệm phương trình đặc trưng (4) s = Bước Thế y = x se αx [Rk (x )cos βx + H k (x )sin βx ] vào (6) đồng thức ta nghiệm riêng + + C n −1e kn −1x + C ne kn x ………………Hết……………… Trong đó, C i ∈ ℝ, i = 1, 2, , n Toán cao cấp A3 Đại học 35 ... ptvp xy ′ + y = y thỏa điều kiện y(1) = 2 Toán cao cấp A3 Đại học x −y đẳng cấp bậc 0, 2x + 3y 4x + 3xy đẳng cấp bậc 1, 5x − y f (x , y ) = 3x − 2xy đẳng cấp bậc f (x , y ) = 30 ĐH Cơng nghiệp Tp.HCM... trình vi phân §2 Phương trình vi phân cấp §3 Phương trình vi phân cấp cao …………………………… §1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1.1 Bài tốn mở đầu a) Bài tốn • Tìm phương trình đường cong (C... + sin y + sin(x +y ) π π miền D : ≤ x ≤ , ≤ y ≤ 2 ……………………………………………………… Toán cao cấp A3 Đại học • Bước Tính vi phân cấp M (x , y ) ứng với λ : ′′ dxdy + L ′′2dy d 2L(M ) = Lx′′2dx + 2Lxy y