Bài giảng toán cao cấp a3 ths đỗ hoài vũ

ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN TỔ BỘ MÔN TOÁN BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A3 Dùng cho bậc Đại học Biên soạn: Th.s Đỗ Hoài Vũ Học kỳ Năm học: 2010-2011 Mục lục Mục lục Chương Phép tính vi phân hàm n biến 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Tóm tắt lý thuyết 1.2.1 Các cách biểu diễn hàm n biến 1.2.2 Đạo hàm riêng hàm biến 1.2.3 Đạo hàm riêng cấp cao 1.2.4 Đạo hàm hỗn hợp 1.2.5 Vi phân cấp n 1.2.6 Công thức Taylor hàm hai biến 1.2.7 Cực trị hàm hai biến 1.3 Bài tập Chương Tích phân bội hai 2.1 Kiến thức chuẩn bị 2.1.1 Bảng nguyên hàm hàm số biến 2.1.2 Phương pháp tính tích phân xác định 2.1.3 Cách vẽ số đường mặt phẳng tọa độ Oxy 2.2 Tóm tắt lý thuyết 2.2.1 Định nghĩa ký hiệu 2.2.2 Một số tính chất tích phân bội hai 2.2.3 Phương pháp tính tích phân bội hai 2.2.4 Phương pháp đổi biến tích phân bội hai 2.2.5 Ứng dụng tích phân bội hai 2.3 Bài tập Chương Tích phân bội ba 3.1 Tóm tắt lý thuyết 3.1.1 Định nghĩa ký hiệu 3.1.2 Một số tính chất tích phân bội ba 3.1.3 Phương pháp tính tích phân bội ba 3.1.4 Phương pháp đổi biến tích phân bội ba 3.1.5 Ứng dụng tích phân bội ba 3 3 5 10 12 12 12 12 13 14 14 14 14 15 17 18 19 19 19 19 19 20 24 Mục lục Chương Tích phân mặt 4.1 Tích phân mặt loại 4.1.1 Định nghĩa ký hiệu 4.1.2 Phương pháp tính tích phân mặt loại 4.1.3 Ứng dụng tích phân mặt loại 4.2 Tích phân mặt loại 4.2.1 Định nghĩa ký hiệu 4.2.2 Phương pháp tính tích phân mặt loại 4.3 Bài tập ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ : 2010-2011 Ξ∇ Th.s Đỗ Hoài Vũ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ 25 25 25 25 28 28 28 29 32 ∞ ∇ Chương Phép tính vi phân hàm n biến 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Tóm tắt lý thuyết 1.3 Bài tập 10 1.1 Kiến thức chuẩn bị Cần nhớ bảng đạo hàm quy tắc đạo hàm hàm biến số 1.2 1.2.1 Tóm tắt lý thuyết Các cách biểu diễn hàm n biến -Biểu diễn dạng bảng (không xét giảng) - Biểu diễn dạng biểu thức Ví dụ1: Hàm hai biến z = f (x, y) = x+y x -Biểu diễn dạng phương trình ẩn Ví dụ 2: Hàm hai biến z=z(x,y) cho phương trình ẩn x2 + y + z − 2xz = - Biểu diễn dạng hàm hợp Ví dụ 3: Hàm hai biến z=z(x,y) biểu diễn thông qua u,v z = z(u, v); 1.2.2 u = u(x, y) v = v(x, y) Đạo hàm riêng hàm biến Bài toán : Cho hàm hai biến z=z(x,y) Tìm zx ; zy Giải - Nếu z biểu diễn dạng biểu thức đạo hàm theo biến coi biến lại Phép tính vi phân hàm n biến Th.s Đỗ Hoài Vũ số Ví dụ 1: z = x2 y + cos(x + 2y + 2) ⇒ zx = 2xy − sin(x + 2y + 2) zy = x2 − sin(x + 2y + 2) - Nếu z biểu diễn dạng phương trình ẩn F (x, y, z) = dùng hai cách sau: Cách : Đạo hàm hai vế phương trình ẩn F Cách : Dùng công thức zx = − FFx zy = − Fy ( lúc ta coi x,y,z z z biến độc lập) Ví dụ 2: z = z(x, y) cho phương trình ẩn x2 + y + z + 2z = Khi zx = − 3z2x +2 zy = − 3z2y +2 - Nếu z biểu diễn dạng hàm hợp Cách 1: Chuyển biểu diễn hàm z theo u,v theo x,y sau tính trường hợp biểu diễn biểu thức Cách 2: Dùng công thức zx = zu ux + zv vx zy = zu uy + zv vy Ví dụ 3: Cho z = z(u, v) = u − v với u = x2 − y , v = exy Khi zx = 2x − 2ye2xy zy = −2y − 2xe2xy 1.2.3 Đạo hàm riêng cấp cao Nếu áp dụng quy tắc nêu mục đạo hàm riêng n lần (n) (n) đạo hàm riêng cấp n theo biến ký hiệu zxn zyn Ví dụ 1: (n) z = x2 y + cos(x + 2y + 2) ⇒ zxn = cos(x + 2y + + nπ ) (n) nπ n zyn = cos(x + 2y + + ) Ví dụ 2: Xét z = z(x, y) thỏa x2 + y + z + 2z = 0(∗) Khi - Đạo hàm hai vế (*) theo x ta : 2x + 3z zx + 2zx = 0(∗∗) - Đạo hàm hai vế (**) theo x ta : + 6z(zx )2 + 3z zx2 + 2zx2 = ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ Th.s Đỗ Hoài Vũ 1.2 Tóm tắt lý thuyết (n) (n) Như muốn tính zxn (hoặc zyn ) cần đạo hàm liên tiếp (*) n lần theo x (hoặc n lần theo y ) Ví dụ 3: (n) (n) Cho z = z(u, v) = u − v với u = x2 − y , v = exy Tính zxn zxn Chuyển biểu diễn z theo x,y ta có: (n) 2 2xy z = z(x, y) = x − y − e 1.2.4 ⇒ zxn = −(2y)n e2xy (n) zyn = −(2x)n e2xy Đạo hàm hỗn hợp + zxy : Lần thứ đạo hàm theo x, lấy kết đạo hàm theo y + zyx : Lần thứ đạo hàm theo y, lấy kết đạo hàm theo x (n+m) + zxn ym : Đạo hàm theo x n lần, lấy kết đạo hàm y m lần Ví dụ 1: Cho z = xy + y + ⇒ zxy = zyx = xy−1 (1 + y ln x) Ví dụ2: Xét z=z(x,y) thỏa x2 + y + z + 2z = 0(∗) Khi - Đạo hàm hai vế (*) theo x ta : 2x + 3z zx + 2zx = 0(∗∗) - Đạo hàm hai vế (**) theo y ta : 6zzy zx + 3z zxy + 2zxy = 6zz z Vậy zxy = − 3z2x+2y Thay đổi thứ tự đạo hàm ta zyx = zyx 1.2.5 Vi phân cấp n Cho hàm z = z(x, y) - Vi phân cấp z: dz = zx dx + zy dy - Vi phân cấp z: d2 z = zx2 dx2 + 2zxy dxdy + zy2 dy (3) (3) (3) (3) - Vi phân cấp z: d3 z = zx3 dx3 + 3zx2 y dx2 dy + 3zxy2 dxdy + zx3 dy - Vi phân cấp n z: dn z = n k=0 (n) Cnk fxk yn−k dxk dy n−k Ví dụ 1: Cho z = z(x, y) = cos(2x + 3y) Tìm dz, d2 z, d3 z, d3 z( π4 , 0) Giải Ta có: zxy = −6 cos(2x + 3y) zyx = −6 cos(2x + 3y) zx2 y = 12 sin(2x + 3y) zy2 x = 18 sin(2x + 3y) zx = −2 sin(2x + 3y); zy = −3 sin(2x + 3y); zx2 = −4 cos(2x + 3y); zy2 = −9 cos(2x + 3y); ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ : 2010-2011 ; ; Ξ∇ zx3 = sin(2x + 3y) zy2 x = 27 sin(2x + 3y) ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ Phép tính vi phân hàm n biến Th.s Đỗ Hoài Vũ Suy dz = −2(dx + dy) sin(2x + 3y) d2 z = −(4dx2 + 12dxdy + 9dy ) cos(2x + 3y) d3 z = (8dx3 + 36dx2 dy + 54dxdy + 27dy ) sin(2x + 3y) Thay x = π4 , y = vào biểu thức d3 z ta d3 z = (8dx3 + 36dx2 dy + 54dxdy + 27dy ) sin( π2 ) = 8dx3 + 36dx2 dy + 54dxdy + 27dy Ví dụ 2: Cho z = z(x, y) thỏa x2 + y + z + 2z = 0(∗) Tìm d2 z(0, 0) Giải Ta có: (2*) - Đạo hàm hai vế (*) theo x ta : 2x + 3z zx + 2zx = 2 - Đạo hàm hai vế (2*) theo x ta : + 6z(zx ) + 3z zx2 + 2zx2 = (3*) (4*) - Đạo hàm hai vế (*) theo y ta : 2y + 3z zy + 2zy = 2 - Đạo hàm hai vế (4*) theo y ta : + 6z(zy ) + 3z zy2 + 2zy2 = (5*) - Đạo hàm hai vế (2*) theo y ta : 6zzy zx + 3z zxy + 2zxy = (6*) Thay x = y = vào (*) ta z = 0.Thay x = z = vào (2*) ta zx = Thay z = vào (3*) ta zx2 = −1 Thay y = z = vào (4*) ta zy = Thay z = vào (5*) ta zy2 = −1 Thay z = vào (6*) ta zxy = Vậy d2 z(0, 0) = −dx2 − dy 1.2.6 Công thức Taylor hàm hai biến Dạng thứ nhất: f (x, y) = f (x0 , y0 ) + dz(x0 , y0 ) + 2!1 d2 z(x0 , y0 ) + + n d z(x0 , y0 ) n! + Rn (x, y) Dạng thứ hai: f (x, y) = f (x0 , y0 ) + (1) C1k (x − x0 )k (y − y0 )1−k fxk y1−k (x0 , y0 ) K=0 (2) C2k (x − x0 )k (y − y0 )2−k fxk y1−k (x0 , y0 ) + 2!1 K=0 (3) + 3! C3k (x − x0 )k (y − y0 )3−k fxk y1−k (x0 , y0 ) K=0 + n!1 n (n) K=0 Cnk (x − x0 )k (y − y0 )n−k fxk y1−k (x0 , y0 ) +Rn (x, y) Ghi : Số hạng m (m) C k (x − x0 )k (y − y0 )m−k fxk ym−k (x0 , y0 ); m! K=0 m ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ : 2010-2011 Ξ∇ ≤ m ≤ n ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ Th.s Đỗ Hoài Vũ 1.2 Tóm tắt lý thuyết gọi số hạng bậc m công thức Taylor(chú ý tổng lũy thừa x, y m) Ví dụ 1: Viết công thức Taylor đến số hạng bậc hàm z = f (x, y) = (x + y)ex lân cận x0 = 0, y0 = Giải (1) f (x, y) = f (x0 , y0 ) + K=0 + 2!1 C1k (x − x0 )k (y − y0 )1−k fxk y1−k (x0 , y0 ) K=0 (2) C2k (x − x0 )k (y − y0 )2−k fxk y1−k (x0 , y0 ) = f (x0 , y0 ) + (x − x0 )fx (x0 , y0 ) + (y − y0 )fy (x0 , y0 ) + 2!1 [(x − x0 )2 fx2 (x0 , y0 ) + 2(x − x0 )(y − y0 )fxy (x0 , y0 ) + (y − y0 )2 fy2 (x0 , y0 )] = f (0, 1) + xfx (0, 1) + (y − 1)fy (0, 1) + 2!1 [x2 fx2 (0, 1) + 2x(y − 1)fxy (0, 1) + (y − 1)2 fy2 (0, 1)] Thay x = 0, y = vào biểu thức đạo hàm ta fx (0, 1) = 2, fy (0, 1) = 1, fx2 (0, 1) = 3, fy2 (0, 1) = 0, Vậy : f (x, y) = + 2x + (y − 1) + fxy (0, 1) = 3x2 + x(y − 1) Ví dụ 2: Viết công thức Taylor đến số hạng bậc hàm z = f (x, y) = x(y+5)2 +x3 +2y+3 lân cận x0 = 2, y0 = Giải Cách 1: Làm ví dụ Cách 2: Nhận thấy công thức Taylor x0 , y0 hàm z thực chất biểu diễn z theo x − x0 y − y0 nên ví dụ làm nhanh sau: z = (x − x0 + x0 )(y − y0 + y0 + 5)2 + (x − x0 + x0 )3 + 2(y − y0 + y0 ) + = (x − + 2)(y − + 6)2 + (x − + 2)3 + 2(y − + 1) + Đặt a = x − 2, b = y − Ta có : z = (a + 2)(b + 6)2 + (a + 2)3 + 2(b + 1) + = (a + 2)(b2 + 12b + 36) + a3 + 6a2 + 12a + + 2b + = ab2 + 12ab + 36a + 2b2 + 24b + 72 + a3 + 6a2 + 12a + 2b + 13 bỏ số hạng có tổng lũy thừa a, b lớn (vì viết đến số hạng bậc ) ta công thức Taylor z là: z = 85 + 48a + 26b + 6a2 + 12ab + 2b2 = 85 + 48(x − 2) + 26(y − 1) + 6(x − 2)2 + 12(x − 2)(y − 1) + 2(y − 1)2 ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ Phép tính vi phân hàm n biến Th.s Đỗ Hoài Vũ Ví dụ 3: Viết công thức Taylor đến số hạng bậc hàm z = f (x, y) = xyln(x2 +2y +ecosx ) lân cận x0 = 0, y0 = Giải Cách 1: Làm ví dụ (rất dài) Cách 2: Do viết công thức Tarlor đến số hạng bậc nên số hạng công thức tổng số lũy thừa tích xy không vượt 3, cần khai triển hàm z = f (x, y) = ln(x2 + 2y + ecosx ) đến số hạng bậc để nhân với tích xy tổng lũy thừa không qúa Ta có : cos x cos x f (x, y) = ln(x + 2y + e )⇒ xe ⇒ fx (0, 0) = fx = 2x−sin x2 +2y+ecos x fy = x2 +2y+ecos x ⇒ fy (0, 0) = 2/e Suy công thức Taylor hàm z = f (x, y) = ln(x2 + 2y + ecosx ) x0 = y0 = f (x, y) = f (0, 0) + xfx (0, 0) + yfy (0, 0) = + 2e y Suy công thức Taylor hàm z = f (x, y) = xyln(x2 + 2y + ecosx ) x0 = y0 = đến số hạng bậc f (x, y) = xy + 2e xy Ví dụ 4: Viết công thức Taylor đến số hạng bậc hàm z = f (x, y) biểu diễn phương trình ẩn x2 + y + z + 2z = (*) lân cận x0 = 0, y0 = Giải Ta có: (2*) - Đạo hàm hai vế (*) theo x ta : 2x + 3z zx + 2zx = 2 - Đạo hàm hai vế (2*) theo x ta : + 6z(zx ) + 3z zx2 + 2zx2 = (3*) (4*) - Đạo hàm hai vế (*) theo y ta : 2y + 3z zy + 2zy = 2 - Đạo hàm hai vế (4*) theo y ta : + 6z(zy ) + 3z zy2 + 2zy2 = (5*) - Đạo hàm hai vế (2*) theo y ta : 6zzy zx + 3z zxy + 2zxy = (6*) Thay x = y = vào (*) ta z = 0.Thay x = z = vào (2*) ta zx = Thay z = vào (3*) ta zx2 = −1 Thay y = z = vào (4*) ta zy = Thay z = vào (5*) ta zy2 = −1 Thay z = vào (6*) ta zxy = Vậy Công thức Taylor z z = − x 1.2.7 +y 2 Cực trị hàm hai biến a) Định nghĩa Cho hàm z = f (x, y) xác định miền D, M0 (x0 , y0 ) điểm D Ta nói: -f (x, y) đạt cực đại M0 f (x, y) − f (x0 , y0 ) < -f (x, y) đạt cực tiểu M0 f (x, y) − f (x0 , y0 ) > với (x, y) thuộc lân cận (x0 , y0 ) khác (x0 , y0 ) b) Cực trị tự Bài toán : Tìm cực trị hàm z = f (x, y) Giải ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ Th.s Đỗ Hoài Vũ 1.2 Tóm tắt lý thuyết + Tìm điểm dừng thỏa hệ fx = fy = Giả sử tìm được: x = x0 y = y0 + Đặt A = fx2 (x0 , y0 ); B = fxy (x0 , y0 ); C = fy2 (x0 , y0 ) Tính = AC − B - Nếu < hàm z không đạt cực trị - Nếu > hàm z đạt cực đại A < cực tiểu A > - Nếu = chưa kết luận (cần dùng định nghĩa) Ví dụ 1: Tìm cực trị hàm z = f (x, y) = x3 + y − 3xy Ví dụ 2: Tìm cực trị hàm z = f (x, y) cho phương trình ẩn x2 + y + z − 4x + 12y + 2z − = (*), z > Giải: + Tìm điểm dừng - Đạo hàm hai vế (*) theo x ta : 2x + 2zzx − + 2zx = - Đạo hàm hai vế (*) theo y ta : 2y + 2zzy + 12 + 2zy = Thay zx = 0; zy = vào (2*) (3*) ta điểm dừng x = 2; y = −6 - Đạo hàm hai vế (2*) theo x ta : + 2(zx )2 + 2zzx2 + 2zx2 = - Đạo hàm hai vế (2*) theo y ta : 2zy zx + 2zzxy + 2zxy = - Đạo hàm hai vế (3*) theo y ta : + 2(zy )2 + 2zzy2 + 2zy2 = Thay x = 2, y = −6 vào (*) ta z = (vì z > 0) Thay z = 6, zx = zy = (4*),(5*),(6*) ta được:   A = zx2 (2, −6) = − B = zxy (2, −6) = =⇒ = AC − B = 49 >  C = zy2 (2, −6) = − (2*) (3*) (4*) (5*) (6*) vào Vậy z đạt cực đại x = 2, y = −6 (vì A < ) giá trị cực đại zcd = Ví dụ 3: Tìm cực trị hàm z = f (x, y) = + x2 + y Giải: - Ta tìm điểm dừng x = y = = nên chưa kết luận - Hiệu f (x, y) − f (0, 0) = + x2 + y − = x2 + y > với (x, y) thuộc lân cận (0, 0) (khác (0, 0)) nên theo định nghĩa z đạt cực tiểu (0, 0) zct = Ví dụ 4: Tìm cực trị hàm z = f (x, y) = x4 y Giải: - Ta tìm điểm dừng x = y = = nên chưa kết luận - Hiệu f (x, y) − f (0, 0) = x4 y đổi dấu y đổi dấu nên theo định nghĩa z không đạt cực trị (0, 0) c) Cực trị có điều kiện ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ 18 Tích phân bội hai Th.s Đỗ Hoài Vũ e) Thể tích miền V kín không gian Oxyz Bài toán Tính thể tích miền V giới hạn mặt có phương trình z = f (x, y) mặt có phương trình g = g(x, y), đường sinh song song với truc Oz Giải Gọi D hình chiếu V lên mặt phẳng Oxy Ta có : (f (x, y) − g(x, y))dxdy V = D Ghi : Chúng ta thay đổi vai trò x, y, z toán Ví dụ1: Tính diện tích miền D trường hợp sau: a) b) c) d) D giới hạn bởi: D giới hạn bởi: D giới hạn bởi: D giới hạn bởi: x2 + y ≤ 1, x + y ≥ 1, y ≥ x x2 + y − 2y ≤ 0, y ≥ x2 + y = ≤ 0, x ≥ x2 + y − 2x ≤ 0, x + y ≥ Ví dụ2: Tính thể tích miền V trường hợp sau: a) b) c) d) V giới hạn bởi: V giới hạn bởi: V giới hạn bởi: V giới hạn bởi: z = x2 + y + 1, z = 0, x = 0, y = 0, x = y = y + z = 2, z = 0, y = x2 y = x2 , y = 1, x + y + z = 4, z = z = y − x2 , z = 0, y = ±2 Ví dụ3: Tính thể tích miền V trường hợp sau: a) b) c) d) V giới hạn bởi: V giới hạn bởi: V giới hạn bởi: V giới hạn bởi: z = x2 + y , z = 0, x = 0, y = 0, x + y = z = x2 + y , z = 0, x2 + y = x, x2 + y = 2x x2 + y + z = 4, x2 + y ≤ − x2 − y = z, x2 + y + = 2z Ví dụ4: Tính khối lượng, Tọa độ trọng tâm , Mômen quán tính miền D trường hợp sau: a) D giới hạn bởi: x = 4, x + y ≥ 4, y ≤ x, ρ(x, y) = x + y b) D giới hạn bởi: y = x2 , x = y , đồng chất c) D giới hạn bởi: x2 + y = ≤ 0, x ≥ 1, đồng chất 2 d) D giới hạn bởi: x4 + y9 ≤ 1, x ≥ 0, đồng chất 2.3 ∇ ∞ Bài tập ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ Chương Tích phân bội ba 3.1 Tóm tắt lý thuyết 19 3.1 Tóm tắt lý thuyết 3.1.1 Định nghĩa ký hiệu f (x, y, z)dxdydz Ω Với Ω miền đóng bị chặn R3 3.1.2 Một số tính chất tích phân bội ba − f (x, y)dxdy = Ω − Ω2 [f (x, y) + ag(x, y)] dxdy = Ω 3.1.3 f (x, y)dxdy Với Ω1 ∩ Ω2 = Ø; Ω1 f (x, y)dxdy+ Ω1 f (x, y)dxdy+a Ω g(x, y)dxdy Ω Phương pháp tính tích phân bội ba a) Nếu Ω có dạng : [a, b] × [y1 (x), y2 (x)] × [z1 (x, y), z2 (x, y)] b f (x, y, z)dxdydz =    a Ω  y2 (x) z2 (x,y)    f (x, y, z)dz  dy dx   y1 (x)  z1 (x,y) b) Nếu D hình chiếu Ω lên mặt phẳng Oxy :  f (x, y, z)dxdydz = Ω z2 (x,y)   D z1 (x,y)   f (x, y, z)dz dxdy Ω2 = Ω 20 Tích phân bội ba Th.s Đỗ Hoài Vũ Chú ý: Vai trò x,y,z công thức thay đổi thứ tự Ví dụ1: Tính z dxdydz a) I = Với Ω : [0, 1/4] × [x, 2x] × [0, − x2 − y ] Ω xdxdydz Với Ω giới hạn bởi: x + y = 1, x = 0, y = 0, z = 0, z = x2 + y b) I = Ω dxdydz Với Ω giới hạn bởi: y = x, y = x2 , z = x2 + y , z = 2x2 + 2y c) I = Ω d) I = dxdydz Với Ω giới hạn bởi: z = x + y, z = xy, x + y = 1, x = 0, y = Ω √ xy zdxdydz e) I = Với Ω giới hạn bởi: z = 0, z = y, y = x2 , y = Ω Với Ω giới hạn bởi: 2z = x2 + y , y + z = x2 + y dxdydz f) I = Ω 3.1.4 Phương pháp đổi biến tích phân bội ba a) Khi Ω có dạng hình hộp cong:  u(x, y, z) = a     u(x, y, z) = b    v(x, y, z) = c Ω giới hạn bởi: ; a < b; c < d; e < f v(x, y, z) = d     w(x, y, z) = e    w(x, y, z) = f   u = u(x, y, z) v = u(x, y, z) Ta Ω1 : [a, b]×[c, d]×[c, d] Bằng cách đặt :  w = w(x, y, z) Khi : f (ϕ(u, v, w), ψ(u, v, w), φ(u, v, w)) dudvdw |J| f (x, y, z)dxdydz = Ω Ω1 Với J = u x uy uz vx vy vz wx wy wz b) Khi Ω có dạng D × [z1 (x, y); z2 (x, y)] với D có dạng biên tròn Elip :    x = arcosϕ  x = rcosϕ y = rsinϕ y = brsinϕ ; Đặt : Hoặc ≤ r < +∞; ≤ ϕ ≤ 2π   z=z z=z ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ Th.s Đỗ Hoài Vũ 3.1 Tóm tắt lý thuyết 21 Ta được: rf (rcosϕ, rsinϕ, z)drdϕdz f (x, y, z)dxdydz = Ω1 Ω Hoặc abrf (rcosϕ, rsinϕ, z)drdϕdz f (x, y, z)dxdydz = Ω Ω1 c) Khi Ω có dạng mặt cầu Elipxoit : Ω : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = Ω1 :   x = rsinθcosϕ y = rsinθsinϕ Đặt :  z = rcosθ   x = arsinθcosϕ y = brsinθsinϕ Đặt :  z = crcosθ x y z + + = a2 b2 c2 (r, ϕ, θ) ∈ [0, < +∞) × [0, 2π] × [0, π] Ta được: f (rsinθcosϕ, rsinθsinϕ, rcosθ)r2 sinθdrdϕdθ f (x, y, z)dxdydz = Ω∗ Ω Hoặc f (rsinθcosϕ, rsinθsinϕ, rcosθ)r2 sinθdrdϕdθ f (x, y, z)dxdydz = abc Ω∗1 Ω1 Ví dụ1: Tính a) I = dxdydz Ω Với Ω giới hạn bởi: x + y + z = ±3, x + 2y − z = ±2, x + 4y + z = ±2 b) I = dxdydz Ω Với Ω giới hạn bởi: z = x2 + y , 2z = x2 + y , z = 2x, z = 3x, z = y, z = 2y ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ 22 Tích phân bội ba Th.s Đỗ Hoài Vũ Ví dụ2: Tính tích phân sau x2 + y zdxdydz Ω: z = 0, z = 5, x2 + y = 1, x ≥ 0, y ≥ a) I = Ω b) I = Ω : x2 + y = 2z, z = (z + 1)dxdydz Ω (x2 + y )dxdydz Ω : x2 + y = 2z, z = c) I = x2 + y , x ≥ √ 3y, y ≥ x Ω dxdydz Ω : x2 + y + z = 2z, x2 + y = z d) I = Ω dxdydz e) I = Ω : x2 + y = z, z = x + y Ω f) I = x2 + y + z = 4, x2 + (y + 1)2 = 1, z ≥ zdxdydz Ω : Ω g) I = zdxdydz Ω: z = x2 , z = 2x2 , (x + 1)2 + y ≥ 1, (x + 2)2 + y ≤ Ω Ví dụ3: Đổi biến tọa độ trụ Ω miền sau: a) Ω : x2 + y ≥ 1, x2 + y ≤ 4, y ≤ |x|, z = 0, z = b) Ω : x2 + y − x − y = 0, y ≤ ∨ x ≤ 0, z = 0, z = x2 + y c) Ω : e) Ω : x2 + y − 2y ≤ 0, x2 + y − 2x ≤ 0, z = ± − x2 − y x2 + y − 2y ≥ 0, x2 + y − 4y ≤ 0, y ≤ √ x, z = x + y, z = 2x + 2y 2 x + y ≤ 1, x + y ≥ 1, y ≥ x, z = x, z = 2x f) Ω : x2 + y − 2y ≤ 0, y ≥ 1, z + x2 = g) Ω : x2 + y = 2, x ≥ 1, z = y, z = 2y h) Ω : x2 + y − 2x ≤ 0, x + y ≥ 2, z = y + 1, z = 2y + d) Ω : Ví dụ4: Tính thể tích miền Ω thường hợp sau: a) Ω : b) Ω : c) Ω : d) Ω : e) Ω : ∇ ∞ ∇ x2 y + x2 y + x y2 + 16 x y2 + a2 b2 x2 y + a2 b ∞ ∇ = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z = 0, z = = 1, x ≥ 0, y ≥ x, z = x2 + y , z = √ = 1, y ≥ √ x, y ≥ − 3x, z = 0, z = − x2 − y x y2 ≥ 1, + ≤ 1, y ≥ √ |x|, z = a, z = 2 4a 4b x y2 z2 = 1, y ≤ 0, bx + ay ≥ 0, + + = a b ∞ ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ Th.s Đỗ Hoài Vũ 3.1 Tóm tắt lý thuyết 2 x y f) Ω : + = 1, y ≥ 0, bx − ay ≤ 0, z ≤ x, z ≥ a b √ b x y2 b x, y ≥ √ x, z ≤ 2y, z ≥ y g) Ω : + = 1, y ≤ a b a 3a 23 Ví dụ5: (Tọa độ cầu) Tính tích phân sau: x2 + y + z = x2 + y + z dxdydz Ω : a) I = Ω b) I = (2z + 1)dxdydz Ω : x2 + y + z = 3, z ≥ (x2 + y )dxdydz Ω : x2 + y + z = 3, z ≤ Ω c) I = Ω d) I = dxdydz Ω : x2 + y + z = 4, z ≥ x, x ≥ dxdydz Ω : √ x2 + y + z = 4, z ≤ −x, z ≥ − 3x Ω e) I = Ω f) I = 4dxdydz Ω : x2 + y + z = 8, z ≥ x2 + y , z ≥ dxdydz Ω : x2 + y + z = 1, z ≤ Ω g) I = √ 3(x + y), z ≥ Ω h) I = x2 + y + z dxdydz Ω : x2 + y + z = z x2 + y + z dxdydz Ω : x2 + y + z = x Ω h) I = Ω Ví dụ 6: (Tọa độ cầu-elipxoit) Tính tích phân sau: (1 − a) I = x2 y − )dxdydz Với Ω giới hạn bởi: a2 b x2 y z + + = a2 b c Ω b) I = dxdydz Với Ω giới hạn bởi: x2 y z + + = 1, x ≥ a2 b c Ω c) I = xdxdydz Với Ω giới hạn bởi: x2 y z + + = 1, z ≥ 0, x ≥ 0, y ≥ a2 b c Ω y dxdydz Với Ω giới hạn bởi: d) I = x2 y z + + = 1, z ≥ 0, y ≤ a2 b c Ω ( e) I = x2 y + )dxdydz Với Ω giới hạn bởi: a2 b x2 y z + + = 1, z ≥ 0, z ≤ x a2 b c Ω ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ 24 Tích phân bội ba 3.1.5 Th.s Đỗ Hoài Vũ Ứng dụng tích phân bội ba a) Thể tích miền Ω kín không gian Oxyz dxdydz VΩ = Ω b) Khối lượng hình khối không đồng chất Xét hình khối Ω làm vật liệu không đồng chất có khối lượng riêng biểu diễn hàm liên tục ρ(x, y, z) Khi khối lượng Ω tính theo công thức: mΩ = ρ(x, y, z)dxdydz Ω c) Tọa độ trọng tâm hình khối không đồng chất Xét hình khối Ω làm vật liệu không đồng chất có khối lượng riêng biểu diễn hàm liên tục ρ(x, y, z) Khi tọa độ tâm G Ω hệ tọa độ Oxyz tính công thức xρ(x, y, z)dxdydz xG = Ω yρ(x, y, z)dxdydz ; mΩ yG = Ω zρ(x, y, z)dxdy ; mΩ zG = Ω mΩ Ví dụ1: Tính thể tích miền Ω trường hợp sau: a) x2 + y ≥ 1, x2 + y ≤ 4, y ≤ |x|, z = 0, z = b) x2 + y − x − y = 0, y ≤ ∨ x ≤ 0, z = 0, z = x2 + y c) x2 + y − 2y ≤ 0, x2 + y − 2x ≤ 0, z = ± − x2 − y d) x2 + y − 2y ≥ 0, x2 + y − 4y ≤ 0, y ≤ √ x, z = x + y, z = 2x + 2y e) x2 + y ≤ 1, x + y ≥ 1, y ≥ x, z = x, z = 2x f) x2 + y − 2y ≤ 0, y ≥ 1, z + x2 = g) x2 + y = 2, x ≥ 1, z = y, z = 2y h) x2 + y − 2x ≤ 0, x + y ≥ 2, z = y + 1, z = 2y + i) |2x − 3y + 4z| + |−3x + 4y − z| + |2x + 3y − 3z| j) x2 + y + z ≤ 4, x2 + y + (z − 2)2 ≤ k) x2 + y + z = 3a2 , x2 + y = 2az, z ≥ 0, a > x2 + y z2 + = l) a2 √ 3a2 m) y = x2 + z , y = n) x2 + y + z = 2z, x2 + y = z x2 y z x2 y z p) + + = 1, + − = 0, z > a2 b2 c2 a2 b c ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ Chương Tích phân mặt 4.1 Tích phân mặt loại 25 4.2 Tích phân mặt loại 28 4.3 Bài tập 32 4.1 4.1.1 Tích phân mặt loại Định nghĩa ký hiệu f (x, y, z)dS Với S mặt kín R3 S 4.1.2 Phương pháp tính tích phân mặt loại Đưa tích phân bội theo công thức sau: a) S có phương trình z = z(x, y) : f (x, y, z(x, y)) + (zx )2 + zy dxdy f (x, y, z)dS = S DOxy Với DOxy hình chiếu mặt S lên mặt Oxy b) S có phương trình y = y(x, z) : f (x, y, z)dS = S f (x, y(x, z), z) + (yx )2 + (yz )2 dxdy dxdz DOxz Với DOxz hình chiếu mặt S lên mặt Oxz c) S có phương trình x = x(y, z) : f (x, y, z)dS = S f (x(y, z), y, z) + xy DOyz Với DOyz hình chiếu mặt S lên mặt Oyz + (xz )2 dxdy dydz 26 Tích phân mặt Th.s Đỗ Hoài Vũ Ghi : Nếu mặt S hợp n mặt S1 , S2 , , Sn có phương trình khác S f (x, y, z)dS f (x, y, z)dS + + f (x, y, z)dS = Sn S1 Ví dụ1: Tính xydS a) I = S Với S mặt có phương trình: z = 3x + 4y thỏa điều kiện:(x, y) ∈ [0, 1] × [1, 2] (xy + y + yz)dS b) I = S Với S mặt có phương trình: x + y + z = thỏa điều kiện:(y, z) ∈ [0, 1] × [0, 2] (2xy + y + 2yz)dS c) I = S Với S mặt có phương trình: 2x + y + 2z = thỏa điều kiện:(x, z) ∈ [0, 1] × [x, 2x] (2xy + y + 2yz)dS d) I = Với S mặt hình hộp : [0, 1] × [0, 1] × [−1, 2] S (2xy + y + 2yz)dS e) I = S Với S mặt hình hộp : [0, 1] × [0, 2] × [1 − x − y, − x − y] 4y f) I = ( + 2x + z)dS S Với S mặt có phương trình: x y z + + = 1, thuộc phần tám thứ xdS Với S mặt hình khối giới hạn bởi: x2 + y = 1, z = 1, z = g) I = S Ví dụ2: Tính (3y + 3xz)dS a) I = S Với S mặt có phương trình: z = 3x thỏa điều kiện: x2 + y ≤ 1, x ≤ (2x2 − xy + 3)dS b) I = S Với S mặt có phương trình: y = 2x thỏa điều kiện: x2 + z ≤ 2x, z ≤ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ Th.s Đỗ Hoài Vũ 4.1 Tích phân mặt loại 27 dS c) I = S Với S mặt có phương trình: x + 2y + z = thỏa điều kiện: y + z ≤ 6, y ≥ dS d) I = + 4y + 16z S Với S mặt có phương trình: x = y + 2z = thỏa điều kiện: y + z ≤ 4, z ≤ |x| Ví dụ3: Tính (x2 − xz + 1)dS a) I = S Với S mặt có phương trình: z = 3x thỏa điều kiện: x2 y + ≤ 1, x ≤ a2 b (2x2 − xy + 3)dS b) I = S Với S mặt có phương trình: 3x + 4z − y = thỏa điều kiện: x2 z + ≤ 1, z ≤ 0, x ≤ a2 b c) I = ydS S y2 z2 Với S mặt hình khối giới hạn bởi: + ≤ 1, z = 1, z = a b + 4x2 + y dS d) I = S Với S mặt có phương trình: z = x2 + y thỏa điều kiện: x2 y + ≤ 1, z ≤ a2 b Ví dụ4: Tính (x2 + y + z )dS a) I = S Với S mặt có phương trình: x2 + y + z = dS b) I = + 4x2 + 4y S Với S mặt có phương trình: z = x2 + y , thỏa điều kiện: ≤ z ≤ + x2 + y dS c) I = S Với S mặt có phương trình: 2z = x2 + y , thỏa điều kiện: x2 + y + z ≤ 4z ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ 28 Tích phân mặt Th.s Đỗ Hoài Vũ − x2 − y dS d) I = S Với S mặt có phương trình: x2 + y + z = 2, thỏa điều kiện: z ≥ 4.1.3 x2 + y Ứng dụng tích phân mặt loại a) Diện tích mặt S dS S b) Khối lượng mặt S không đồng chất Xét mặt S làm vật liệu không đồng chất có khối lượng riêng biểu diễn hàm liên tục ρ(x, y, z) Khi khối lượng S tính theo công thức: mS = ρ(x, y, z)dxdy S c) Tọa độ trọng tâm mặt S không đồng chất Xét mặt S làm vật liệu không đồng chất có khối lượng riêng biểu diễn hàm liên tục ρ(x, y, z) Khi tọa độ tâm G S hệ tọa độ Oxyz tính công thức yρ(x, y, z)dxdydz xρ(x, y, z)dxdydz xG = S ; mS yG = S zρ(x, y, z)dxdy ; mS zG = S mS Ví dụ: Tính a) Diện tích mặt S có phương trình: x + = 2y thỏa : y ≥ x2 + z x2 + y thỏa : x2 + y ≤ 4x x2 y Diện tích mặt S có phương trình: 2x − 2y + z = thỏa : + ≤ √ Diện tích mặt S có phương trình: 2x − y + z = thỏa : ≤ x ≤ 1, ≤ x + y ≤ x2 + y Khối lượng mặt S có phương trình: z = thỏa : ≤ z ≤ 2 Biết hàm khối lượng riêng ρ(x, y, z) = z x2 + y Tọa độ trọng tâm mặt S có phương trình: z = − thỏa : z ≥ b) Diện tích mặt S có phương trình: z = c) d) e) f) 4.2 Tích phân mặt loại 4.2.1 Định nghĩa ký hiệu I= P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy Với S mặt kín R3 S ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ Th.s Đỗ Hoài Vũ 4.2.2 4.2 Tích phân mặt loại 29 Phương pháp tính tích phân mặt loại a) Đưa tích phân bội hai: + Tính tích phân :    P (x, y, z)dydz = ± P (x(y, z), y, z)dydz  I1 =     DOyz S: x=x(y,z)      I2 = Q(x, y, z)dxdz = ± Q(x, y(x, z), z)dxdz   DOxz S: y=y(x,z)       R(x, y, z)dxdz = ± R(x, y, z(x, y))dxdz I3 =     DOxy S: z=z(x,y) I = I1 + I2 + I3 + Kết luận : Chú ý:  P dydz Nếu góc véc tơ pháp tuyến hợp trục Ox nhọn  DOyz  I1 =  − P dydz Nếu góc véc tơ pháp tuyến hợp trục Ox tù  DOyz Nếu véc tơ pháp tuyến vuông góc trục Ox  Qdxdz Nếu góc véc tơ pháp tuyến hợp trục Oy nhọn  DOxz  I2 =  − Qdxdz Nếu góc véc tơ pháp tuyến hợp trục Oy tù  DOxz Nếu véc tơ pháp tuyến vuông góc trục Ox  Rdxdy Nếu góc véc tơ pháp tuyến hợp trục Oz nhọn  DOxy  I3 =  − Rdxdy Nếu góc véc tơ pháp tuyến hợp trục Oz tù  DOxy Nếu véc tơ pháp tuyến vuông góc trục Ox Ghi : Nếu mặt S hợp n mặt S1 , S2 , , Sn có phương trình khác tính tích phân I mặt Si sau cộng kết lại ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ 30 Tích phân mặt Th.s Đỗ Hoài Vũ Ví dụ1: Tính a) I = xdydz + ydzdx + zdxdy Với S phía mặt có phương trình: S x + z − = thỏa điều kiện: y ≥ 0, x ≥ 0, z ≥ 0, y ≤ x2 dydz + y dzdx + (z + 2)dxdy Với S phía mặt có phương trình: b) I = S z − = thỏa điều kiện: (x, y) ∈ [0, 2] × [1, 2] −xdydz + zdzdx + 5dxdy Với S phía mặt có phương trình: c) I = S 2x + 3y + z = 6, thuộc phần tám thứ d) I = xydydz + zydzdx + xydxdy S Với S phía mặt hình hộp chữ nhật : (x, y, z) ∈ [0, 2] × [1, 2] × [1, 3] ydxdz Với S phía mặt kín giới hạn bởi: e) I = S x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = Ví dụ2: Tính 2dxdy + ydxdz − yzdydz Với S phía mặt ellipsoid: a) I = S 4x + y + 4z = thuộc phần tám thứ xydydz − y dzdx + xyzdxdy Với S phía mặt : b) I = S z − = thỏa điều kiện: x2 + y ≤ xydydz + xzdzdx + y dxdy Với S phía mặt : c) I = S y − = thỏa điều kiện: x2 z + ≤ xydydz + xzdzdx + y dxdy Với S phía mặt : d) I = S y − = thỏa điều kiện: x2 z + ≤ x2 dydz + z dxdy Với S phía mặt nón: e) I = S x + y = z thỏa điều kiện: ≤ z ≤ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ Th.s Đỗ Hoài Vũ 4.2 Tích phân mặt loại 31 (y + z )dxdy Với S phía mặt : 1−x2 = z thỏa : ≤ y ≤ f) I = S Ví dụ3: Tính x2 y zdxdy Với S phía nửa mặt cầu : x2 + y + z = a) I = S b) I = (z + 1)dxdy Với S phía mặt cầu : x2 + y + z = z dxdy Với S phía mặt ellipsoid: x2 + y + 2z = S c) I = S x2 dydz + y dzdx + z dxdy Với S phía phần mặt cầu : d) I = S x + y + z = 2, thuộc phần tám thứ (z − R)2 dxdy Với S phía nửa mặt cầu : e) I = S x + y + (z − R)2 = R2 , thỏa điều kiện: R ≤ z ≤ 2R b) Công thức Gauss-Ostrogradski (Đưa tích phân bội ba) : Khi mặt S kín hàm P, Q, R đạo hàm riêng liên tục miền Ω (là miền có biên S) dùng công thức sau để tính tích phân I I= P dydz + Qdxdz + Rdxdy = S (Px + Qy + Rz )dxdydz Ω Ví dụ1: Tính a) I = yzdxdy + yxdxdz + xzdydz Với S mặt biên hình S x + y + = 4, x = 0, y = 0, z = giới hạn : x3 dydz + y dzdx + z dxdy Với S mặt biên hình b) I = S x2 + y + z = giới hạn : 4xdydz + 2ydzdx − 3zdxdy Với S mặt biên hình c) I = S (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z + 5)2 = giới hạn : ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ 32 Tích phân mặt Th.s Đỗ Hoài Vũ 4xydydz − 2y dzdx + zdxdy Với S mặt biên hình d) I = S x2 y z + + = a2 b c giới hạn : 4x3 dydz + 4y dzdx − 6z dxdy Với S mặt biên hình e) I = S x2 + y = 1, z = 1, z = giới hạn : x3 dydz + y dzdx + z dxdy Với S mặt biên hình f) I = S z = x2 + y , z = 2x giới hạn : x3 xdydz + y dzdx + z dxdy Với S mặt biên hình g) I = S x2 + y + z = x giới hạn : Chú ý : Công thức Gauss-Ostrogradski áp dụng cho mặt S mặt kín, số trường hợp S mặt hở người ta áp dụng cách thêm vào mặt để mặt trở thành mặt kín Sau áp dụng công thức mặt (kín) Kết tích phân mặt S ban đầu kết tích phân mặt kín trừ tích phân mặt thêm vào Ví dụ2: Tính y zdxdy + yx2 dxdz + (z + 2y)dydz Với S mặt hợp mặt a) I = S S1 : x + y = (lấy phía ngoài), S2 : z = x2 + y (lấy phía trên) (y − z)dydz + (z − x)dzdx + (x2 + y )dxdy) Với S mặt mặt b) I = S 2 z = x + y2 4.3 ∇ ∞ thỏa điều kiện : ≤ z ≤ Bài tập ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ [...]... Tích phân bội hai Th.s Đỗ Hoài Vũ e) Thể tích miền V kín trong không gian Oxyz Bài toán Tính thể tích miền V giới hạn bởi mặt trên có phương trình z = f (x, y) mặt dưới có phương trình g = g(x, y), các đường sinh song song với truc Oz Giải Gọi D là hình chiếu của V lên mặt phẳng Oxy Ta có : (f (x, y) − g(x, y))dxdy V = D Ghi chú : Chúng ta có thể thay đổi vai trò x, y, z trong bài toán trên Ví dụ1: Tính... ∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ Th.s Đỗ Hoài Vũ 1.3 Bài tập 11 Bài tập 1.4 Tìm cực trị của hàm z = 3x + 4y với điều kiện x2 + y 2 = 1 a) z đạt cực tiểu tại M(3/5, 4/5) b) z đạt cực đại tại M(- 3/5, - 4/5) c) z đạt cực đại tại M(3/5, 4/5) và đạt cực tiểu tại N(- 3/5, - 4/5) d) z đạt cực tiểu tại M(3/5, 4/5) và đạt cực đại tại N(- 3/5, - 4/5) Bài tập 1.5 Viết công thức taylor của hàm z = f...10 Phép tính vi phân hàm n biến Th.s Đỗ Hoài Vũ Bài toán : Tìm cực trị của hàm z = f (x, y) thỏa điều kiện g(x, y) = 0 Giải Phương pháp 1 + Đặt hàm L(x, y, a) = f (x, y) + ag(x, y) + Tìm điểm dừng thỏa hệ    x = x0  Lx = 0 L =0 y = y0 Giả sử... thỏa điều kiện x − y − 3 = 0 1.3 Bài tập Bài tập 1.1 Cho hàm z = z(x, y) biểu diễn bởi phương trình ẩn z 2 + x2 = Tính x2 zx + y1 zy theo z a) z 2 b) 2 z 1 z c) d) y2 − z2 z 3 Bài tập 1.2 Cho hàm z = x3 − 2x2 + 2y 3 + x − 8y Hãy chọn khẳng định đúng? a) z có 4 điểm dừng b) z không có điểm dừng c) z có điểm dừng nhưng không có cực trị d) z có hai cực đại và hai cực tiểu Bài tập 1.3 Tìm cực trị của hàm... 4a - D1 là miền thỏa điều kiện: x > ay 2 + by + c - D2 là miền thỏa điều kiện: x < ay 2 + by + c ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 D2 D1 D1 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ D2 ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ 14 Tích phân bội hai 2.2 Th.s Đỗ Hoài Vũ Tóm tắt lý thuyết 2.2.1 Định nghĩa và ký hiệu f (x, y)dxdy D Với D là miền đóng và bị chặn trong R2 2.2.2 Một số tính chất của tích phân bội hai − f (x, y)dxdy = D1 − D2 = D D2 [f (x, y) + ag(x,... 1/4 a) I = dx 1 e c) I = ∞ ∇ ∞ f (x, y)dy dx ∇ b) I = d) I = dy 0 ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇ f (x, y)dy 2−x √ 4y 1 f (x, y)dy 2x−x2 dx 1 0 ∞ √ 2 x ln x 1 ∇ x ∞ √ ∇ f (x, y)dx y ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ Th.s Đỗ Hoài Vũ 2.2 Tóm tắt lý thuyết 15 Ví dụ3: Tính các tích phân sau a) I = Với D giới hạn bởi: y = ex + x; y = e−x + x; x = 1 √ ylnxdxdy Với D giới hạn bởi: xy = 1; y = x; x = 2 dxdy D b) I = D (cos2x + siny)dxdy... đường Elip có phương trình : x2 y 2 + 2 =1 a2 b x = arcosϕ ; y = brsinϕ Bằng cách đặt : ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ 0 ≤ r < +∞; Học kỳ 3 : 2010-2011 0 ≤ ϕ ≤ 2π Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ 16 Tích phân bội hai Th.s Đỗ Hoài Vũ D1 : [ϕ1 , ϕ2 ] × [r1 (ϕ), r2 (ϕ)] Ta được Khi đó : abrf (rcosϕ, rsinϕ)drdϕ f (x, y)dxdy = D1 D Ví dụ1: Tính (x − y)2 (x + 2y)dxdy a) I = D Với D giới hạn bởi: x − y = 0, x − y = 1, x + y = 2, x... giới hạn bởi: x2 + y 2 − 2y ≤ 0, y ≥ 1 c) D giới hạn bởi: x2 + y 2 = 2, x ≥ 1 d) D giới hạn bởi: x2 + y 2 − 2x ≤ 0, x + y ≥ 2 a) b) ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇Ξ Học kỳ 3 : 2010-2011 Ξ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ ∞ ∇ Th.s Đỗ Hoài Vũ 2.2 Tóm tắt lý thuyết 17 Ví dụ5: Tính các tích phân sau x2 a2 1− a) I = D 2 ( xa2 + b) I = D 2 ( xa2 + c) I = D d) I = − y2 dxdy b2 y2 )dxdy b2 y2 )dxdy b2 x2 a2 Với D giới hạn bởi: x2 a2 D + y2... pháp tính tích phân xác định 1) Đổi biến Dùng một trong hai cách sau: u(b) b -Cách 1 Đặt u = u(x) Khi đó f (x)dx = a b -Cách 2 Đặt x = x(t) Khi đó g(u)du u(a) tb f (x)dx = f (x(t))xt (t)dt a ta Th.s Đỗ Hoài Vũ 2.1 Kiến thức chuẩn bị 13 2) Từng phần b b b udv =uv − a a vdu a Ví dụ Công thúc Walliss π 2 π 2 n n sin xdx = 0 2.1.3 cos xdx = 0   2.4.6 (n−1) 1.3.5 n  1.3.5 (n−1) 2.4.6 n Khi n lẻ × π 2 Khi... y, z)dz  dy dx   y1 (x)  z1 (x,y) b) Nếu D là hình chiếu của Ω lên mặt phẳng Oxy thì :  f (x, y, z)dxdydz = Ω z2 (x,y)   D z1 (x,y)   f (x, y, z)dz dxdy Ω2 = Ω 20 Tích phân bội ba Th.s Đỗ Hoài Vũ Chú ý: Vai trò x,y,z trong các công thức trên có thể thay đổi thứ tự Ví dụ1: Tính z 2 dxdydz a) I = Với Ω : [0, 1/4] × [x, 2x] × [0, 1 − x2 − y 2 ] Ω xdxdydz Với Ω giới hạn bởi: x + y = 1, x = 0,