Bài giảng toán cao cấp c2

123 2.Phép nhân với một số : Tích của một số thực với một ma trận là một ma trận cùng cấp có các phần tử là tích của số thực với các phần tử của ma trận.. • Nhân các phần tử trong dòng c

n n

a a

a

a a

a

a a

a

2 1

2 22

21

1 12

11

• Ma trận dòng , ma trận cột ,ma trận không , ma trận chuyển vị

• Ma trận vuông,ma trận chéo , ma trận đơn vị ,ma trận tam giác , ma trận đối xứng

• Ma trận bằng nhau : Hai ma trận bằng nhau là 2 ma trận cùng cấp và có các phần tử nằm ở cùng vị trí bằng nhau

123

2.Phép nhân với một số : Tích của một số thực với một ma trận là một ma trận cùng cấp có các phần tử là tích của số thực với các phần tử của ma trận

140

031

31

280

062

62

4

3.Phép nhân hai ma trận :

• Số cột của ma trận thứ nhất bằng số dòng của ma trận thứ hai

• Nhân các phần tử trong dòng của ma trận thứ nhất tương ứng với các phần

tử trong cột của ma trận thứ hai rồi cộng lại

2

21

123

201

−++

+

+

−++

−

−++

−+

0.31.02.22.3)2.(

00.21.33.01.2

0.21)

1(2.12.2)2).(

1(0.11.23)

1(1.1

160

1.1.3 Phép biến đổi sơ cấp trên dòng :

1 Phép biến đổi 1 : Hoán vị 2 dòng

021

302

302

021

2 Phép biến đổi 2 : Nhân một dòng với một số khác không

302

021

302

042

3 Phép biến đổi 3 : Cộng một dòng với một dòng khác đã nhân với một số khác

302

021

340

021

1.1.4 Ma trận dạng bậc thang :

1 Định nghĩa :

• Các dòng khác không luôn ở trên các dòng không

• Với hai dòng khác không , phần tử khác không đầu tiên của dòng dưới bao

giờ cũng ở bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên của dòng trên

2 Định lý : Mọi ma trận khác không đều có thể đưa về được về dạng bậc thang

sau một số phép biến đổi sơ cấp trên dòng

122

011

211

532

1.2 ĐỊNH THỨC :

12 11

a a

a a

Định thức của ma trận A là :

det(A) = A =

22 21

12 11

a a

a a

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

Định thức của ma trận A là :

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

o o o o o

o o o o o

013

121

310

423

2 Định thức cấp n :

n n

a a

a

a a

a

a a

a

2 1

2 22

21

1 12

11

a Phần bù đại số : Phần bù đại số của phần tử aij , ký hiệu Aij , là một số xác định như sau :

ij A a

1hoặc : ∀j,j=1,m : A = ∑

=

n i ij

ij A a

013

121

A = a11A11 + a12A12 + a13A13

1.2.2 Tính chất: Cho ma trận A vuông

1 Chuyển vị ma trận ,định thức không đổi : A t = A

2 Hoán vị 2 dòng ,định thức đổi dấu : A = -' A

3 Nếu nhân 1 dòng cho α thì A = ' α A

4 Nếu A có 2 dòng giống nhau hay tỷ lệ với nhau : A = 0

5 Nếu 1 dòng được viết thành tổng của 2 dòng thì định thức bằng tổng của 2 định thức có dòng tương ứng là các dòng thành phần

1 2

2 1

121

3120

1210

0121

Ví dụ 3 : Chứng minh rằng :

z z

z

y y

y

x x

x

2 2

2 2

2 2

sincos

2cos

sincos

2cos

sincos

2cos

n

n n

A A

A

A A

A

A A

A A

2 22

21

1 12

21

122

011

121

212

1.2.4 Hạng của ma trận :

1 Định nghĩa : Cho ma trận A cấp mxn

• Nếu chọn các phần tử nằm trên k dòng và k cột thì ta được một ma trận vuông cấp

k Định thức của ma trận này gọi là định thức con cấp k của A

• Hạng của ma trận A , ký hiệu là r(A) , là cấp cao nhất trong các định thức con khác không của A

Ghi chú :

• r(A) = 0 ⇔ A = 0

• A = (aij)mxn ⇒ r(A) ≤ min(m,n)

2 Cách tìm hạng của ma trận :

• Đưa ma trận về dạng bậc thang

• Hạng của ma trận là số dòng khác 0

Ví dụ1 : Tìm hạng của ma trận :

A =

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

1 8 1 3

3 2 1 1

1 5 1 1

Ví dụ 2 : Biện luận theo tham số m hạng của ma trận :

A =

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

m

3 8 5 5 5

1 1 4 2 4 3

0 0 1 1 0 1

8 2 4 3 1 2

1.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH :

1.3.1 Khái niệm :

1.Định nghĩa :

Hệ phương trình tuyến tính là hệ phương trình có m phương trình và n ẩn số :

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

= +

+ +

= +

+ +

= +

+ +

m n mn m

m

n n

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 (1)

aij : hệ số ; bij : hệ số tự do ; xj : ẩn số ( i = m1, ; j = n1 ) , 2 Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính : A = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ mn m m n n a a a a a a a a a

2 1

2 22

21

1 12

11

, B =

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

m

b

b b

2 1 , X =

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

n

x

x x

2 1

A : ma trận hệ số ; B : ma trận hệ số tự do ; X : ma trận ẩn số

Ta có : (1) ⇔ AX = B

3 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính :

Một nghiệm của hệ phương trình tuyến tính (1) là một bộ số gồm n số ( c1,c2,…,cn) sao cho khi thay vào (x1,x2,…,xn) các phương trình được nghiệm đúng

4 Điều kiện tồn tại nghiệm : Định lý Kronecker-Capelli

Cho hệ phương trình (1) ,ta có :

• r(A) ≠ r(A|B) : Hệ phương trình vô nghiệm

• r(A) = r(A|B) = n : Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

• r(A) = r(A|B) = r<n : Hệ phương trình có vô số nghiệm và các nghiệm phụ

thuộc (n-r) tham số

Ví dụ 1 : Xét sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình :

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

− + +

= +

− +

= +

− +

= + +

−

7 3 2

4

1 5 4

3 3

3 2

5 2

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

Ví dụ 2 : Biện luận theo m sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình :

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

= + +

= + +

= + +

1 1 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

mx x x

x mx x

x x mx

1.3.2 Hệ phương trình Cramer :

1 Định nghĩa :

Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn số và định thức của ma trận hệ số khác không

2 Cách giải hệ phương trình Cramer :

a Phương pháp Cramer :

Cho hệ phương trình Cramer :

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

= +

+ +

= +

+ +

= +

+ +

n n nn n

n

n n

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

2 2 1 1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất : (x1,x2,…,xn) với :

x i =

A

A i

(i=1,n)

trong đó Ai là ma trận suy từ ma trận A bằng cách thay cột I bằng cột B

Ví dụ1 : Giải hệ phương trình :

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

= + +

−

= + +

=

− +

3 2 8 5

1 3

2

2

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

Ví dụ 2 : Giải và biện luận hệ phương trình :

⎩

⎨

⎧

= +

= + 2

1

my x

y mx

b Phương pháp ma trận đảo :

Cho hệ phương trình Cramer dạng ma trận : AX = B

Nghiệm duy nhất của hệ phương trình là X = A -1 B

Ví dụ : Giải hệ phương trình :

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

= +

= + +

= +

4

9 2

2

3

3 1

3 2 1

2 1

x x

x x x

x x

1.3.3 Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss :

Cho hệ phương trình dạng ma trận : AX = B (A|B) →đưa về dạng bậc thang → (A’|B’)

AX = B ⇔ A’X = B’

Ví dụ1 : Giải hệ phương trình :

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

= +

−

−

= + +

= + +

2 2 4

6 5

2

1 2

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

Ví dụ2 : Giải hệ phương trình :

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

=

− +

=

− + +

=

− +

−

1 7

2

1 2 3 4

2 2

3

3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

x x x

x x x x

x x x x

Ví dụ3 : Giải hệ phương trình :

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

= +

−

−

= +

− +

= +

− +

0 2

2

4 2 4 6 3

2 2

3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

x x x

x x x x

x x x x

1.3.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất :

1 Định nghĩa :

Một hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu có các hệ số tự do đều bằng 0

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

= +

+ +

= +

+ +

= +

+ +

0

0

0

2 2 1 1

2 2

22 1 21

1 2

12 1 11

n mn m

m

n n

n n

x a x

a x a

x a x

a x a

x a x

a x a

Dạng ma trận : AX = 0

2 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất :

a Nghiệm tầm thường : Hệ pttt thuần nhất luôn luôn có nghiệm (0,0,…,0) gọi

là nghiệm tầm thường

b Nghiệm không tầm thường:

• Nghiệm của hệ phương trình có ít nhất một thành phần khác 0 gọi là

nghiệm không tầm thường

• Hệ có nghiệm không tầm thường ⇔ r(A) < n ( số ẩn số )

• Nếu A là ma trận vuông thì :

Hệ có nghiệm không tầm thường ⇔ | A | = 0

• Nghiệm không tầm thường còn gọi là nghiệm tổng quát , nó phụ thuộc

một số tham số Nếu các tham số lấy các giá trị cố định thì ta được

nghiệm riêng

Ví dụ : Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất :

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

= +

−

= +

−

= + +

0 5

0 2

0 2

3 2 1

3 2 1

3 2 1

mx x x

x x x

x x x

a Tìm m để hệ phương trình có nghiệm không tầm thường

b Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình

3 Hệ nghiệm cơ bản :

Nếu hệ phương trình có nghiệm không tầm thường thì các nghiệm này có thể biểu

diễn được qua một hệ nghiệm riêng cố định , gọi là hệ nghiệm cơ bản

Ví dụ : Giải và tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính :

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

= +

−

=

−

− +

= +

− +

= + +

−

0 3 3 3

0 5

2

0 4

2

0 2

4 3 1

4 3 2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

x x x

x x x x

x x x x

x x x x

4 Liên hệ giữa nghiệm của hệ pttt và hệ pttt thuần nhất :

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

= +

+ +

= +

+ +

= +

+ +

m n mn m

m

n n

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

b x a x

a x a

2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 (1) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + + = + + + = + + + 0

0

0

2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (2)

Nghiệm tổng quát của (1) = Nghiệm tổng quát của (2) + Nghiệm riêng của (1)

Ví dụ1 : Cho hệ phương trình tuyến tính :

=++

m x x x

x x x

x x x

3 2 1

3 2 1

3 2 1

384

34

2

12

−

=

−+

=+

−

35

2

23

12

4 3 2 1

4 3 1

3 2 1

x x x x

x x x

x x x

Chương 2 : KHÔNG GIAN VECTƠ

2.1 KHÔNG GIAN VECTƠ n CHIỀU :

2.1.1 Vectơ n chiều :

1.Định nghĩa :Một vectơ n chiều là một bộ n số thực x = (x1,x2,…,xn)

• xj : tọa độ thứ j của vectơ x (j = n1 ) ,

2 1

2.Phép toán trên các vectơ n chiều:

a Phép cộng 2 vectơ n chiều : Cho x = (x1,x2,…,xn) và y = (y1,y2,…,yn) Tổng của 2 vectơ x và y là vectơ n

4) x + (-x) = 0 5) α ( x + y ) = α x + α y 6) (α +β)x = α x + βx 7) (α β)x = α (βx) = β(α x) 8) 1.x = x

a=α1 1+α2 2 + +α

Ta còn nói vectơ a được biểu thị tuyến tính qua các vectơ ai với các hệ số αi

b Ví dụ :

VD1: Cho các vectơ 3 chiều : a1=(1,0,1) , a2=(1,2,0) và a3=(0,-1,1)

a)Tìm tổ hợp tuyến tính của các vectơ a1,a2,a3 với các hệ số là 2,-1,3

b)Cho vectơ v=(5,3,4) Vectơ v có thể biểu thị tuyến tính qua 3 vectơ

a1,a2,a3 hay không ?

VD2: Cho 3 vectơ 3 chiều a=(1,1,0),b=(0,2,1) và u=(u1,u2,u3)

a)Tìm điều kiện cho các thành phần của u1,u2,u3 của vectơ u để u có thể biểu thị tuyến tính theo a và b

b)Cho các vectơ v =(2,4,1) và w=(1,2,3) Vectơ nào biểu thị tuyến tính được theo 2 vectơ a và b ?

2.Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính :

a Định nghĩa :

Cho a1,a2,…,am là m vectơ n chiều

• Hệ vectơ {ai } (i=1,m) độc lập tuyến tính nếu :

m

m a a

α1 1+ 2 2+ + = 0 ⇒ αi= 0 (i=1,m)

• Hệ vectơ {ai } (i=1,m) phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính ,nghĩa là tồn tại αi ≠0 sao cho α1a1+α2a2+ +αm a m= 0

VD 1: Chứng tỏ hệ các vectơ đơn vị 3 chiều {e1,e2,e3} độc lập tuyến tính

VD 2: Hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính : {u1,u2,u3}

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a

2 1

2 22

21

1 12

11

Hệ vectơ {ai } (i=1,n) độc lập tuyến tính ⇔ A ≠0

Hệ vectơ {ai } (i=1,n) phụ thuộc tuyến tính ⇔ A= 0

VD 1: Chứng minh rằng hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính :

a1=(2,1,1) , a2=(-1,1,4) và a3=(1, 1,-2)

VD 2: Định m để hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính :

a1=(1,0,1) , a2=(2,m,-1) và a3=(0, 2, 2)

Ghi chú : Hệ n vectơ đơn vị n chiều {ei } (i=1,n) độc lập tuyến tính

3.Tính chất của sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính :

* Nếu {ai } (i=1,m) phụ thuộc tuyến tính thì mọi hệ chứa hệ

{ai } đều phụ thuộc tuyến tính

d Định lý 4: Hệ vectơ {ai } (i=1,m)phụ thuộc tuyến tính ⇔ ∃ ai , ai biểu thị

tuyến tính theo các vectơ còn lại 4.Hạng của một hệ vectơ n chiều :

a Định nghĩa : Cho hệ m vectơ n chiều {ai } (i=1,m) Số vectơ độc lập tuyến tính lớn nhất chọn được từ hệ này là hạng của hệ ,ký hiệu : r(a 1 ,a 2 ,…,a m )

b Cách tìm hạng của một hệ vectơ n chiều : Cho hệ m vectơ n chiều :

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

2 1

2 22

21

1 12

11

Ta có : r(a 1 ,a 2 ,…,a m ) = r(A)

Kết quả :

Hệ {ai } (i=1,m) độc lập tuyến tính ⇔ r(a1,a2,…,am) = m

Hệ {ai } (i=1,m) phụ thuộc tuyến tính ⇔ r(a1,a2,…,am) < m

VD : Tìm hạng của hệ vectơ 4 chiều sau đây ,từ đó xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của chúng :

a) a1=(1,-1,5,-1) , a2=(1,1,-2,3) và a3=(3, -1,8,1)

b) a1=(1,2,1, 1) , a2=(2,5,1,6) và a3=(-1,-4,2,2)

2.1.3 Không gian vectơ n chiều R n :

1.Định nghĩa :Tập hợp các vectơ n chiều với 2 phép tóan : cộng 2 vectơ và nhân vectơ với 1 số thực tạo thành một cấu trúc đại số gọi là “không gian vectơ n chiều “ và ký hiệu là Rn

2 Cơ sở của R n :

a Định nghĩa : Một hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính trong Rn được gọi là

một cơ sở của Rn

Ghi chú :

• Hệ gồm n vectơ đơn vị n chiều { ei } ( i = n1 ) là một cơ sở của ,

Rn và được gọi là “ cơ sở chính tắc “ của Rn

• Hệ {ai } (i = n1 ) là cơ sở của R, n ⇔ r(a1,a2,…,an) = n

b Ví dụ :

• VD 1: Hệ vectơ nào sau đây là là cơ sở của R3 : a) a1 = (1,0,1) , a2 = (1,0,0)

b) b1 = (1,1,2) , b2 = (0,1,3) , b3 = (-1,1,4) , b4 = (1,0,1) c) c1 = (1,1,3) , c2 = (-1,1,-1) , c3 = (5,-2,8)

d) d1 = (1,1,0) , d2 = (2,2,1) , d3 = (1,0,1)

3 Tọa độ của một vectơ trong một cơ sở của R n :

a Định lý : Cho (u) ={ ui } (i= n1 ) là một cơ sở của R, n Mọi vectơ x của Rnđều biểu diễn tuyến tính được theo các vectơ cơ sở , nghĩa là tồn tại bộ n số thực (x1,x2,…,xn) sao cho : x = x1u1 + x2u2 + …+ xnun

b Định nghĩa : Bộ n số thực (x1,x2,…,xn) trong định lý trên gọi là tọa độ của vectơ x đối với cơ sở (u) và ký hiệu :

a)Chứng tỏ (u) = {u1,u2,u3} là một cơ sở của R3

b)Tìm toạ độ của vectơ x = (-2,5,-1) đối với cơ sở (u)

4 Ma trận đổi cơ sở :

a) Định nghĩa: Trong Rn có hai cơ sở : (u) = {u1,u2, ,u n} và (v) ={v1,v2, ,v n}

Ma trận sau đây gọi là ma trận đổi cơ sở từ (u) sang (v) :

v (u)

)(

)(2

Ghi chú :

* Nếu T là ma trận đổi cơ sở từ (u) sang (v)thì − 1

T là ma trận đổi cơ sở từ (v) sang (u)

5.Công thức đổi toạ độ : Trong n

R cho hai cơ sở (u) = { }u i , (v) = { }v i (i=1, n)

và T là ma trận đổi cơ sở từ (u) sang (v)

Công thức đổi toạ độ từ cơ sở (u) sang cơ sở (v) :

⎢⎣⎡x (u)⎥⎦⎤ = T.⎢⎣⎡x (v)⎥⎦⎤

VD1 : Trong 3

R cho cơ sở (u) = {u1,u2,u3} với u1= (1,0,2 ) ; u2= (0,1,1 ) ; u = (1,0,1 ) 3

a) Tìm ma trận đổi cơ sở từ (e) sang (u), từ đó suy ra công thức đổi toạ độ từ cơ sở chính tắc (e) sang (u)

b) Tìm toạ độ của vectơ x = (1,2,3) đối với cơ sở (u)

b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ (u) sang (v)

c) Cho x (v)= ( 2,1,0 )(v) ,áp dụng công thức đổi tọa độ tìm x (u)

d) Cho y (u) = ( 4,2,5 )(u) tìm y (v)

VD3 : Trong 3

R cho hệ vectơ (u) = {u1,u2,u3} và u1= (1,1,1 ) ; u2= (1,1,0 ) ; u = (1,0,0 ) 3

a) Chứng tỏ (u) là cơ sở của 3

R

b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ (e) sang (u) c) Tìm ma trận đổi cơ sở từ (u) sang (e) d) Tìm toạ độ của vectơ x = ( 3,0,1) đối với cơ sở (u) e) Tìm toạ độ của vectơ y khi biết y (u)= (-2,1,0)(u)

2.2 KHÔNG GIAN VECTƠ :

2.2.1 Định nghĩa không gian vectơ :

Cho V là tập hợp khác rỗng có các phần tử kí hiệu là : a,b,c,… và R là tập hợp số thực có các phần tử kí hiệu là α,β,γ …

Trên V cho hai phép toán :

Tập hợp V cùng với hai phép toán trên tạo thành một « Không gian vectơ » trên R

nếu 8 tiên đề sau đây được thoả mãn : a,b,c ∈V và α ,β∈R

1) a + b = b + a

2) ( a + b) +c = a + (b + c)

3) Tồn tại phần tử không, kí hiệu 0 sao cho : a + 0 = a

4) Tồn tại phần tử đối của a, kí hiệu – a sao cho : a + (- a) = 0

• Không gian Rn các vectơ n chiều là một không gian vectơ

• Tập hợp các vectơ hình học có cùng gốc toạ độ 0 trong mặt phẳng toạ độ với phép cộng vectơ theo “quy tắc hình bình hành”, phép nhân vectơ với số thực

• Tập hợp các ma trận cấp m×n với phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với một