Bài giảng toán cao cấp c2

Chương : MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PTTT 1.1.MA TRẬN : 1.1.1 Khái niệm ma trận : • Ma trận bảng chữ nhật gồm mxn phần tử thành m dòng , n cột theo thứ tự định : ⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎣a m1 a12 a 22 am2 a1n ⎤ a n ⎥⎥ ⎥ ⎥ a mn ⎦ • • • Ma trận dòng , ma trận cột ,ma trận không , ma trận chuyển vị Ma trận vuông,ma trận chéo , ma trận đơn vị ,ma trận tam giác , ma trận đối xứng Ma trận : Hai ma trận ma trận cấp có phần tử nằm vị trí 1.1.2 Phép toán ma trận : 1.Phép cộng : Tổng ma trận cấp ma trận cấp có phần tử tổng phần tử tương ứng ⎡ ⎤ ⎡3 − 1⎤ ⎡ ⎤ ⎢− 3⎥ + ⎢ ⎥ = ⎢− 5⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2.Phép nhân với số : Tích số thực với ma trận ma trận cấp có phần tử tích số thực với phần tử ma trận ⎡ − 2⎤ ⎡ − 4⎤ ⎢⎢ − ⎥⎥ = ⎢⎢ − ⎥⎥ ⎢⎣− ⎥⎦ ⎢⎣− 10 ⎥⎦ 3.Phép nhân hai ma trận : • Số cột ma trận thứ số dòng ma trận thứ hai • Nhân phần tử dòng ma trận thứ tương ứng với phần tử cột ma trận thứ hai cộng lại ⎡1 2⎤ ⎡1 − 2⎤ ⎢ ⎥ ⎡1.1 + (−1).3 + 2.1 1.0 + (−1).(−2) + 2.2 1.2 + (−1).1 + 2.0⎤ ⎢ ⎥ ⎢3 − ⎥ = ⎢ ⎥ 2.1 + 0.3 + 3.1 2.0 + 0.(−2) + 3.2 2.2 + 0.1 + 3.0 ⎣ ⎦ ⎢1 0⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ 1⎤ =⎢ ⎥ ⎣5 4⎦ Trang 1.1.3 Phép biến đổi sơ cấp dòng : Phép biến đổi : Hoán vị dòng ⎡2 − 3⎤ ⎡1 − ⎤ ⎢1 − ⎥ ⎯d⎯ ↔ d ⎯2 → ⎢⎢2 − 3⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣3 ⎢⎣3 ⎥⎦ ⎥⎦ Phép biến đổi : Nhân dòng với số khác không ⎡1 − ⎤ ⎡2 − ⎤ ⎢2 − 3⎥ ⎯⎯⎯→ ⎢2 − 3⎥ 2d1 → d1 ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢⎣3 ⎢⎣3 ⎥⎦ ⎥⎦ Phép biến đổi : Cộng dòng với dòng khác nhân với số khác không ⎡1 − ⎤ ⎡1 − ⎤ ⎢2 − 3⎥ ⎯(⎯ −2 ) d1 + d →d ⎯ ⎯⎯→ ⎢⎢0 − 3⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎦ ⎦⎥ ⎣⎢3 ⎣⎢3 1.1.4 Ma trận dạng bậc thang : Định nghĩa : • Các dòng khác không dòng không • Với hai dòng khác không , phần tử khác không dòng bên phải cột chứa phần tử khác không dòng Định lý : Mọi ma trận khác không đưa về dạng bậc thang sau số phép biến đổi sơ cấp dòng 1.1.5 Ma trận đảo : Định nghĩa : Ma trận A vuông cấp n gọi khả đảo tồn ma trận B vuông cấp n cho : A.B = B.A = I Ma trận B gọi ma trận đảo ma trận A ,ký hiệu A-1 Cách tìm ma trận đảo : • Lập ma trận mở rộng ( A | I ) • Biến đổi ma trận ( A | I ) dạng ( I | B ) : o Nếu biến đổi dạng ( I | B ) A ma trận khả đảo A-1 =B o Nếu không biến đổi dạng ( I | B ) ( nghĩa ma trận bên trái có xuất dòng không ) ma trận A không khả đảo Ví dụ : Tìm ma trận đảo , có , ma trận : ⎡1 ⎤ a) ⎢⎢2 1⎥⎥ ⎢⎣1 1⎥⎦ 1.2 ĐỊNH THỨC : Trang , ⎡ 5⎤ b) ⎢⎢1 2⎥⎥ ⎢⎣3 6⎥⎦ 1.2.3 Khái niệm định thức: Định thức cấp : ⎡a Cho ma trận vuông cấp : A = ⎢ 11 ⎣a 21 det(A) = A = a11 a 21 a12 ⎤ Định thức ma trận A : a 22 ⎥⎦ a12 = a11a22 - a12a21 a 22 Định thức cấp : ⎡ a11 Cho ma trận vuông cấp : A = ⎢⎢a 21 ⎢⎣ a31 a12 a 22 a32 a13 ⎤ a 23 ⎥⎥ Định thức ma trận A : a33 ⎥⎦ a11 a12 a13 a 21 a31 a 22 a32 a 23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32 a 33 Cách tính định thức cấp : a Quy tắc tam giác : * * * * * * * * * * * * * * * * * * (+) b Quy tắc đường song song : + + + o o o o o o o o o o o o o o o - - - (-) Ví dụ : Tính định thức ma trận : ⎡1 − 1⎤ a) ⎢⎢3 ⎥⎥ ⎢⎣2 − 2 ⎥⎦ ⎡3 − 4⎤ b) ⎢⎢0 3⎥⎥ ⎢⎣0 5⎥⎦ Định thức cấp n : Trang ⎡ a11 ⎢a Cho ma trận vuông cấp n : A = ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎣ a n1 a12 a 22 an2 a1n ⎤ a n ⎥⎥ ⎥ ⎥ a nn ⎦ a Phần bù đại số : Phần bù đại số phần tử aij , ký hiệu Aij , số xác định sau : i+j (-1) Aij = M ij Mij ma trận suy từ A cách bỏ dòng i cột j b Định lý Laplace ( Khai triển định thức ) : Cho ma trận A vuông cấp n ∀i, i = 1, n : A = n ∑a j =1 : ∀j , j = 1, m : A = ij Aij n ∑a i =1 ij Aij ⎡1 − 1⎤ Ví dụ : A = ⎢⎢3 ⎥⎥ ⎢⎣2 − 2 ⎥⎦ A = a11A11 + a12A12 + a13A13 1.2.2 Tính chất: Cho ma trận A vuông Chuyển vị ma trận ,định thức không đổi : A t = A Hoán vị dòng ,định thức đổi dấu : A ' = - A Nếu nhân dòng cho α A ' = α A Nếu A có dòng giống hay tỷ lệ với : A = Nếu dòng viết thành tổng dòng định thức tổng định thức có dòng tương ứng dòng thành phần a1 + b1 a + b2 a n + bn = a1 a2 a n + b1 b2 bn Nếu thay dòng cộng với dòng khác nhân với số khác không định thức không đổi : A ' = A Ghi : Ma trận tam giác ,ma trận chéo có định thức tích phần tử đường chéo Trang ⎡1 − 1⎤ Ví dụ : Tính định thức ma trận : A = ⎢⎢3 ⎥⎥ ⎢⎣2 − 2 ⎥⎦ ⎡1 − ⎤ ⎢0 − 1⎥⎥ Ví dụ : Tính định thức ma trận : A = ⎢ ⎢0 − 3⎥ ⎢ ⎥ 1⎦ ⎣0 cos x cos x sin x Ví dụ : Chứng minh : cos y cos y sin y = cos z cos z sin z 1.2.3 Cách tìm ma trận đảo định thức Điều kiện khả đảo : Ma trận A khả đảo ⇔ A ≠ Công thức ma trận đảo : ⎡ A11 ⎢ ⎢ A21 −1 A = A ⎢ ⎢ ⎣ An1 A12 A22 An A1n ⎤ A2 n ⎥⎥ ⎥ ⎥ Ann ⎦ t Ví dụ : Tìm ma trận đảo ( có ) ma trận : ⎡1 ⎤ a) ⎢ ⎥ ⎣2 5⎦ ⎡1 ⎤ , b) ⎢⎢2 1⎥⎥ ⎢⎣1 1⎥⎦ c) ⎡ − 2⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦ 1.2.4 Hạng ma trận : Định nghĩa : Cho ma trận A cấp mxn • Nếu chọn phần tử nằm k dòng k cột ta ma trận vuông cấp k Định thức ma trận gọi định thức cấp k A • Hạng ma trận A , ký hiệu r(A) , cấp cao định thức khác không A Ghi : • r(A) = ⇔ A = • A = (aij)mxn ⇒ r(A) ≤ min(m,n) Cách tìm hạng ma trận : Trang • Đưa ma trận dạng bậc thang • Hạng ma trận số dòng khác Ví dụ1 : Tìm hạng ma trận : ⎡1 − − 1⎤ A = ⎢⎢1 − ⎥⎥ ⎢⎣3 − ⎥⎦ Ví dụ : Biện luận theo tham số m hạng ma trận : ⎡2 ⎤ ⎢1 1 0 ⎥ ⎥ A= ⎢ ⎢3 4 − 1⎥ ⎢ ⎥ ⎣5 5 m ⎦ 1.3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH : 1.3.1 Khái niệm : 1.Định nghĩa : Hệ phương trình tuyến tính hệ phương trình có m phương trình n ẩn số : ⎧ a11 x1 + a12 x + + a1n x n = b1 ⎪ a x + a x + + a x = b ⎪ 21 22 2n n ⎨ ⎪ ⎪⎩a m1 x1 + a m x + + a mn x n = bm (1) aij : hệ số ; bij : hệ số tự ; xj : ẩn số ( i = 1, m ; j = 1, n ) Dạng ma trận hệ phương trình tuyến tính : ⎡ b1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢b ⎥ ⎢x ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 2⎥ a 22 ⎢ ⎥ , X =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢.⎥ am2 ⎢⎣bm ⎥⎦ ⎢⎣ x n ⎥⎦ A : ma trận hệ số ; B : ma trận hệ số tự ; X : ma trận ẩn số ⎡ a11 ⎢a A = ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎣a m1 a12 a1n ⎤ a n ⎥⎥ , B= ⎥ ⎥ a mn ⎦ Ta có : (1) ⇔ AX = B Nghiệm hệ phương trình tuyến tính : Một nghiệm hệ phương trình tuyến tính (1) số gồm n số ( c1,c2,…,cn) cho thay vào (x1,x2,…,xn) phương trình nghiệm Điều kiện tồn nghiệm : Định lý Kronecker-Capelli Cho hệ phương trình (1) ,ta có : Trang • r(A) ≠ r(A|B) : Hệ phương trình vô nghiệm • r(A) = r(A|B) = n : Hệ phương trình có nghiệm • r(A) = r(A|B) = r0 (hoặc Q ( x ) ( i = 1, n ) * Q(x) xác định âm ⇔ Δ i < với i lẻ Δ i >0 với i chẵn 3.6.3 Định lý 2: - Nếu Q(x) có dạng tắc : Q(x)= α1 x1'2 + α x2'2 + + α n xn'2 : * Q(x) xác định dương ⇔ Δ i > ( i = 1, n ) ⇔ Δ i [...]... A cấp n gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận vuông cấp n khả đảo P sao cho P −1 A.P = D là một ma trận chéo Lúc đó ta nói ma trận P làm chéo A hay ma trận A được chéo hóa bởi ma trận P c Định lý: Ma trận A vuông cấp n chéo hóa được nếu A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính d Hệ quả: • Nếu một ma trận vuông cấp n có n giá trị riêng phân biệt thì ma trận đó chéo hóa được • Nếu một ma trận vuông cấp. .. phẳng toạ độ với phép cộng vectơ theo “quy tắc hình bình hành”, phép nhân vectơ với số thực • Tập hợp các ma trận cấp m × n với phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với một số thực 2.2.2 Không gian vectơ con : 1) Định nghĩa : Cho V là không gian vectơ và W⊂V, W≠∅ Nếu W cùng với 2 phép toán của V cũng tạo thành một không gian vectơ thì W được gọi là không gian vectơ con của V 2) Định lý : Cho V là... rỗng có các phần tử kí hiệu là : a,b,c,… và R là tập hợp số thực có các phần tử kí hiệu là α , β , γ … Trên V cho hai phép toán : • Phép cộng hai phần tử của V : V×V → V (a,b) a a + b • Phép nhân một số thực với một phần tử của V : R×V → V ( α ,a) a α a Tập hợp V cùng với hai phép toán trên tạo thành một « Không gian vectơ » trên R nếu 8 tiên đề sau đây được thoả mãn : a,b,c ∈ V và α , β ∈ R 1) a + b... sở của Rn ⇔ r(a1,a2,…,an) = n b Ví dụ : • VD 1: Hệ vectơ nào sau đây là là cơ sở của R3 : a) a1 = (1,0,1) , a2 = (1,0,0) b) b1 = (1,1,2) , b2 = (0,1,3) , b3 = (-1,1,4) , b4 = (1,0,1) c) c1 = (1,1,3) , c2 = (-1,1,-1) , c3 = (5,-2,8) d) d1 = (1,1,0) , d2 = (2,2,1) , d3 = (1,0,1) 3 Tọa độ của một vectơ trong một cơ sở của Rn : a Định lý : Cho (u) ={ ui } (i= 1, n ) là một cơ sở của Rn Mọi vectơ x của... → R m Giả sử R n và R m lần lượt có cơ sở (u) = {u i } (i = 1, n ) và (v)= {vi }(i = 1, m ) ta có toạ độ : x = ( x1 , x2 , , xn ) ( u ) (u ) y = f ( x) = ( y1 , y 2 , , y m ) ( v ) (v ) (v ) Ma trận A cấp m × n được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f nếu thoả : ⎤ = A⎡ x ⎤ ⎡ f (x) ( v ) ⎥⎦ ⎢⎣ ⎢⎣ ( u ) ⎥⎦ 2) Cách xác định ma trân A : A = ⎡⎢ ⎡⎢ f (u1 ) (v)⎤⎥ ⎡⎢ f (u 2 ) (v)⎤⎥ ⎡⎢ f (u n ) (v)⎤⎥ ⎤⎥ ⎦⎣... u 3 , u 4 }và cơ sở chính tắc (e) trong R 3 , biết rằng : u1 = (1,0,0,0) , u 2 = (1,1,0,0) , u 3 = (1,1,1,0) , u 4 = (1,1,1,1) 3.2 GIÁ TRỊ RIÊNG –VECTƠ RIÊNG: 3.2.1 Định nghĩa : Cho A là ma trận vuông cấp n, nếu tồn tại vectơ n chiều khác không x = ( x1 , x2 , , xn ) và số λ ∈ R sao cho : A [x ] = λ [x ] thì ta nói: λ là một giá trị riêng của A và x là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng λ VD:... của vectơ x (j = 1, n ) • vectơ không : 0 = (0,0,…,0) • vectơ đơn vị : e1 = (1,0,…,0) , e2 = (0,1,0,…,0) ,…, en = (0,0,…0,1) ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 2⎥ • Dạng ma trận cột : X = [x] = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢.⎥ ⎢⎣ x n ⎥⎦ 2.Phép toán trên các vectơ n chiều: a Phép cộng 2 vectơ n chiều : Cho x = (x1,x2,…,xn) và y = (y1,y2,…,yn) Tổng của 2 vectơ x và y là vectơ n chiều : x + y = (x1+y1,x2+y2,…,xn+yn) b Phép nhân một số thực với... được • Nếu một ma trận vuông cấp n có n giá trị riêng (có thể trùng nhau) và số vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với mỗi trị riêng bằng số bội của trị riêng đó thì ma trận đó chéo hóa được 3.3.2 Thuật toán chéo hóa một ma trận vuông: Bước 1: Tìm giá trị riêng: • Số GTR < n: không chéo hóa được • Số GTR = n: có thể chéo hóa được,gọi {λ1, λ2, …, λn}là các GTR , sang bước 2 Bước 2: Tìm các vectơ riêng ... nghĩa : Cho ma trận A cấp mxn • Nếu chọn phần tử nằm k dòng k cột ta ma trận vuông cấp k Định thức ma trận gọi định thức cấp k A • Hạng ma trận A , ký hiệu r(A) , cấp cao định thức khác không... Định thức cấp : ⎡a Cho ma trận vuông cấp : A = ⎢ 11 ⎣a 21 det(A) = A = a11 a 21 a12 ⎤ Định thức ma trận A : a 22 ⎥⎦ a12 = a11a22 - a12a21 a 22 Định thức cấp : ⎡ a11 Cho ma trận vuông cấp : A =... không đưa về dạng bậc thang sau số phép biến đổi sơ cấp dòng 1.1.5 Ma trận đảo : Định nghĩa : Ma trận A vuông cấp n gọi khả đảo tồn ma trận B vuông cấp n cho : A.B = B.A = I Ma trận B gọi ma trận