Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 1 - Võ Duy Minh

Bài giảng Toán cao cấp A1: Chương 1 Hàm số - Giới hạn – Liên tục cung cấp cho người học những kiến thức như: Hàm số; giới hạn của hàm số; giới hạn của hàm số; sự liên tục của hàm số. Mời các bạn cùng tham khảo!

TRUỜNG ÐẠI HỌC TIỀN GIANG KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỌC PHẦN: TOÁN CAO CẤP A1 GV phụ trách: Võ Duy Minh SĐT : 0985706948 Email: voduyminh@tgu.edu.vn Blog lớp: Giới thiệu môn học (đề cương chi tiết) Phương pháp học, kiểm tra, thi Chương I: Hàm số - Giới hạn – Liên tục • HÀM SỐ • GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ • SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Bài 1: Hàm số ÁNH XẠ 1) Định nghĩa 2) Phân loại HÀM SỐ 1) Định nghĩa 2) Hàm hợp 3) Hàm ngược Định nghĩa ánh xạ Một ánh xạ từ tập E sang tập F quy tắc cho tương ứng phần tử x ∈E với phần tử y ∈F Ký hiệu f: E F Đặt x ֏ y = f(x) E : tập nguồn F : tập đích y : ảnh x qua ánh xạ f Phân loại ánh xạ Ánh xạ f: E ∀ x1 , x2 ∈ E: F gọi đơn ánh x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) ⇔ ∀ x1, x2 ∈ E : f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 Ánh xạ f: E F gọi toàn ánh ∀ ∈ F, ∃x ∀y ∃ ∈ E : y = f(x) Ánh xạ f gọi song ánh f vừa đơn ánh vừa toàn ánh Định nghĩa hàm số Khi E ⊆ R, F ⊆ R, ánh xạ f : E → F hàm số • E : tập xác định • f(E) = {f(x) ∈ F / x ∈ E} : tập giá trị Hàm số thường cho công thức y = f(x) Miền xác định D = {x / f(x) có nghĩa} Miền giá trị T = {y / f(x) = y có nghiệm x ∈ D} x Tìm miền giá trị y = x + Miền xác định D = R Miền giá trị T = {y / f(x) = y có nghiệm x ∈ D} Xét pt yx2 –x +y = (1) • y = ⇒ x = ⇒ (1) có nghiệm x ∈ R • y ≠ 0; (1) có nghiệm x ∈R ⇔ 1- 4y2 ≥ Vậy T = [ -1 ; ] 2 −1 ⇔ ≤ y≤ 2 Hàm hợp Hàm số f : E → F g:F→G x ֏ y = f(x) y ֏ z = g(y) Hàm hợp f g ký hiệu gºf g ºf : E → G x ֏ z = (gºf)(x) = g[f(x)] Biến thay hàm số khác VD f : x ֏ x2 + 2, g : x ֏ 3x + f[g(x)] = [g(x)]2 + = (3x + 1)2 + g[f(x)] = 3f(x) + = 3(x2 + 2) + Hàm ngược Hàm số f : E → F song ánh x ֏ y = f(x) Hàm ngược f ký hiệu f-1 f-1 : F → E y ֏ f-1(y) = x với y = f(x) x ֏ f-1(x) = y với x = f(y) • Đồ thị f f-1 đối xứng qua y = x • f f-1 có tập xác định tập giá trị đổi vai trò cho Các hàm sơ cấp a) Hàm số lũy thừa y = xα với α ∈ R Với α > đồ thị hàm số y = xα qua điểm (1; 1) qua điểm O(0; 0) Với α < đồ thị hàm số y = xα qua điểm (1; 1) α > : lim x α = 0; lim x α = ∞  x→0 x →∞  α α x = ∞; lim x = α < : lim x →0 x →∞ 10 Tính giới hạn vơ So sánh vơ cùngtương bé đương x2 − cos x = lim = lim x → xsin x x →0 xx x2 x tgx − sin x sin x(1 − cosx) lim = lim = lim = 3 x →0 x →0 x →0 x cos x x x cos x sin x sin x x(3 + ) + sin x 3x + sin x x x lim = lim = lim = x →0 sin 2x − x x →0 x →0 sin 2x sin 2x 2 x( −x ) −x x 2x x 1+ x −1 lim = lim = x →0 + x − x→0 x 33 Cách khử dạng f ( x) Xét lim x→ x g ( x) 0 với lim f ( x ) = lim g ( x ) = x → x0 x → x0 Nếu f(x) g(x) đa thức ta phân tích (x − x )f1 (x) f(x) lim = lim x →x g(x) x →x (x − x )g (x) f1 (x) f(x) ⇒ lim = lim x →x g(x) x →x g (x) Nếu f(x) hay g(x) chứa thức ta nhân tử mẫu cho lượng liên hiệp Dùng hàm tương đương 34 Ví dụ 3x3 − x + x x(3x − x + 1) 3x − x + 1 lim = lim = lim = x →0 x →0 x →0 x + 2x x( x + 2) x +2 lim x →1 x −1 x −1 = lim x →1 x − ( x + x + 1) ( x + 1) x − ( x + x + 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) = lim = x →1 ( x − 1) ( x + x + 1) 35 Cách khử dạng ∞ ∞ f ( x) Xét lim với lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞ x →∞ g ( x ) x →∞ x →∞ Nếu f(x) g(x) đa thức x →∞ ta có f(x) g(x) tương đương với số hạng có bậc cao Chia tử mẫu phân thức cho xn với n số mũ cao x f(x), g(x) 36 Ví dụ x − 2x + x + x lim = lim = x →∞ x →∞ x 2x + x x+ x+ x lim x →∞ 2x + x (1 + = lim x →∞ + ) x = 2 x 2+ x x 37 Cách khử dạng ∞ - ∞ Xét lim f ( x) − g ( x) với x→ lim f ( x) = lim g ( x) = ∞ x→ x→ Nhân hay chia biểu thức với lượng liên hiệp Chia tử mẫu phân thức cho xn với n số mũ cao x f(x), g(x) lim x + − x − = lim 2 x →+∞ x = lim x →∞ x →∞ 1+ 1 + − x2 x2 x2 + + x2 − =0 38 Cách khử dạng Ví dụ 1∞ lim u(x) x lim (1 + sin x ) = e v(x ) =e s inx x →0 x lim x →0 x cosx) = e Vd lim( x →0 lim ( cosx-1) x →0 x =e − x2 lim x →0 x lim(u (x ) −1)v(x ) =e =e −x x →0 lim = e0 = Ví dụ  x −1  lim   x →+∞ x +   x2   = lim 1 −  x →+∞  x +1 x2 =e lim ( − x →+∞ x +1 ) x2 =e −2 = e 39 Cách khử dạng 0∞ f ( x) g ( x) với lim f ( x) = ; lim g ( x) = ∞ Xét lim x→ x→ Ta đưa dạng lim(1 − x)tg x →1 πx 0 hay x→ ∞ ∞ π πx π πx (0∞) = lim(1 − x)cotg ( − ) x →1 2 π πx cos( − ) cos( − ) 2 2 = lim(1 − x) = lim(1 − x) = x →1 x → π πx π π sin( − ) (1 − x) 2 40 Ví dụ trang xn −1 (x − 1)(x n −1 + x n −2 x + 1) n a) lim m ( ) = lim = m − m − x →1 x − x →1 (x − 1)(x + x x + 1) m 1+ x −1 x b) lim ( ) = lim = x →0 x → x 2x x2 − cos x c) lim = lim = x →0 x →0 x x sin mx mx m d) lim = lim = x →0 sin nx x →0 nx n 41 Cách cos x − cos3x e) I = lim x →0 x2 cos x − 1 − cos3x −x (3x) −1 I = lim + lim = lim + lim = + =4 2 x →0 x →0 x →0 2x x →0 2x 2 x x −2sin 2x sin(− x) −2(2x)(− x) Cách I = lim = lim =4 2 x →0 x →0 x x f) lim x →+∞ ( ) x x x + x − x = lim = lim = x →+∞ x →+∞   x+ x + x x  1+ + 1 x   42 Ví dụ trang  1+ x  a) lim   x →0 + x    1+ x  b) lim   x →+∞ + x   1− x 1+ x 1− x 1− x =  1+ x  = lim   x →+∞ + x   1− x  x + 1− c) lim   x →+∞ 2x +   x 1− x 1− x  + x 1+ = lim   x →+∞ + x   x 1+ x  x +1  = lim   x →+∞ 2x +   =0 43 =1 Sự liên tục hàm số Hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b), ta nói f(x) liên tục x0 ∈ (a; b) lim f(x) = f(x ) x→x0  f xá c định tạ i x  f liên tục x0 ⇔ lim f(x) = f(x ) ⇔  lim f(x) = A x→x0 x→x0   A = f(x ) Hàm f(x) không liên tục x0 (1) x0 không thuộc tập xác định hàm số, (2) f khơng có giới hạn x dần x0, (3) lim f(x) ≠ f(x ) x →x 44 Sự liên tục hàm số Giả sử f (x) g(x) hai hàm liên tục x0 Ta có : (1) f(x) ± g(x) liên tục x0 (2) f(x).g(x) liên tục x0 f(x) (3) Nếu g(x0) ≠ liên tục x0 g(x) (4) Nếu hàm y = f(x) liên tục x0 z = g(y) liên tục y0 hàm hợp gof(x) = g[f(x)] liên tục x0 45 Sự liên tục hàm số Hàm số f(x) liên tục bên trái x0 lim f(x) = f(x ) x→x0 − Hàm số f(x) liên tục bên phải x0 lim f(x) = f(x ) x→x0 + Điều kiện cần đủ để hàm số liên tục x0 f(x) liên tục bên phải liên tục bên trái x0 x −1 e x x < lim f ( x) = lim e = không liên x→0 x →0 e  f(x) = 0 x = x lim f ( x ) = lim e =1 tục x = e x −1 x > x →0 x →0  + + − − 46 Ví dụ x = 1, x ≥  x x f(x) = =  x  −x = −1, x <  x y = sin x không liên tục x = không liên tục x = 1 1   lim  sin  vaø lim  sin  x→0− x→0+ x x   không tồn  sin x x ≠  y= x  x = liên tục x = 47 ... ,  → [ -1 , 1] song ánh nên f có f -1 x ֏ y = sinx f -1 : [ -1 , 1] →  −π π   ,  Đặt y ֏ f -1 ( y) = x = arcsiny với y = sinx x ֏ f -1 ( x) = y = arcsinx với x = siny arcsinx tăng MXĐ [ -1 , 1] π −π... arcsin0 = ; arcsin1 = ; arcsin( -1 ) = 2 15 e) Hàm lượng giác ngược y = arccosx Hàm số f: [0, π] → [ -1 , 1] song ánh nên f có f -1 x ֏ y = cosx f -1 : [ -1 , 1] → [0, π] Đặt y ֏ f -1 ( y) = x = arccosy... + 1) 3x − x + 1 lim = lim = lim = x →0 x →0 x →0 x + 2x x( x + 2) x +2 lim x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 = lim x ? ?1 x − ( x + x + 1) ( x + 1) x − ( x + x + 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) = lim = x ? ?1 ( x − 1)