Bài giảng Toán cao cấp A1 – Chương 3: Không gian Vectơ

Bài giảng Toán cao cấp A1 – Chương 3: Không gian Vectơ cung cấp đến quý độc giả các kiến thức về không gian vectơ con; sự độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính; hệ vectơ trong Rn; cơ sở, số chiều của kgvt tọa độ của vectơ.

Chương KHÔNG GIAN VECTƠ Đặt V= Rn ={(x1,x2, …, xn): xiR} Cho x = (x1, x2, …, xn) y = (y1, y2, …, yn) phần tử Rn, r số thực tùy ý Ta định nghĩa phép toán: x+y = (x1+y1, x2+y2,…, xn+yn) rx= (rx1, rx2, …, rxn) Các phép tốn có tính chất sau ➢ Chương Khơng gian vector 1) (x y) 2) V :x 3) x 4) x z x z ), x V, ( x) y (y y x, V : ( x) x, x, y V; 5) (x y) x y, x, y 6) ( )x x x, x 7) ( 8) 1.x )x ( x ), x, Trong đó, x x x , y, z V, x x V; V; x ( x) V, V, , ; , ; ; V V gọi vector không ; ➢ Chương Không gian vector 1.2 Không gian vector (Vectorial subspace) ▪ Định nghĩa Cho kgvt V , tập W V gọi không gian vector V W kgvt ▪ Định lý Cho kgvt V , tập W V kgvt V nếu: x, y W , y) W (x VD • Tập W { } kgvt kgvt V • Tập W ( , 0, , 0) kgvt …………………………………………………… n ➢ Chương Khơng gian vector §2 SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH 2.1 Định nghĩa Trong kgvt V , xét n vector ui (i 1, , n ) Khi đó: n • Tổng 1u1 u u u, i 2 n n i i , i gọi tổ hợp tuyến tính n vector ui • Hệ gồm n vector {u1, u2, , un } gọi độc lập tuyến tính (viết tắt đltt) nếu: n u i i i i 0, i 1, , n ➢ Chương Khơng gian vector • Hệ {u1, u2, , un } khơng độc lập tuyến tính gọi phụ thuộc tuyến tính (viết tắt pttt) VD Trong , xét đltt hay pttt hệ vector: A {u1 (1; 1), u2 (2; 3)} Giải Ta có: u u (1; 1) (2; 3) (0; 0) 1 2 1 2 0 Vậy hệ A độc lập tuyến tính ➢ Chương Không gian vector VD Trong , xét đltt hay pttt hệ vector: B {u1 ( 1; 3; 2), u2 (2; 0; 1), u3 (0; 6; 5)} Giải Ta có: u i i i Hệ (I) có ma trận hệ số A 1 2 3 0 (I) ➢ Chương Không gian vector Do A 0 6 5 0 1 0 r (A) 3, nên hệ phương trình (I) có nghiệm không tầm thường Vậy hệ B phụ thuộc tuyến tính ➢ Chương Khơng gian vector 2.2 Định lý Hệ gồm n vector pttt tồn vector tổ hợp tuyến tính n vector cịn lại Nghĩa là: uj u u u u 1 j j j j n n ▪ Hệ • Hệ có vector khơng phụ thuộc tuyến tính • Nếu có phận hệ pttt hệ pttt ➢ Chương Khơng gian vector 2.3 Hệ vector Xét m vector ui Ma trận A aij n (ai 1, 2, , ain ), i m n 1, m gọi ma trận dòng hệ m vector {u1, u2, , um } VD Hệ {u1 n (1; 1; 2), u2 có ma trận dịng A (4; 2; 3)} 2 ➢ Chương Không gian vector ▪ Định lý Trong n , cho hệ gồm m vector {u1, u2, , um } có ma trận dịng A Khi đó: • Hệ độc lập tuyến tính r (A) • Hệ phụ thuộc tuyến tính r (A) ▪ Hệ • Trong n , hệ có nhiều n vector pttt • Trong n , hệ n vector đltt det A m m ➢ Chương Không gian vector 3.3 Tọa độ vector a) Định nghĩa Trong kgvt V , cho sở F {u1, u2, , un } Vector x V tùy ý có biểu diễn tuyến tính cách n qua sở F x u, i i i i Ta nói x có tọa độ sở F ( 1; ; ; Ký hiệu là: [x ]F n ( T ) n n ) ➢ Chương Không gian vector ▪ Quy ước Ta viết tọa độ vector x sở tắc E n [x ] viết dạng x ( 1; ; n ) VD Trong B {u1 Giải Gọi [x ]B x au1 , cho x (3; 5) sở: (2; 1), u2 (1; 1)} Tìm [x ]B ? a , ta có: b bu2 a 1 b ➢ Chương Không gian vector 2a b a b Vậy [x ]B ; a b ➢ Chương Không gian vector VD Trong B1 B2 , cho sở: {u1 (1; 0), u2 {v1 (2; 1), v2 (0; 1)} , (1; 1)} Cho biết [x ]B (1; 2) Hãy tìm [x ]B ? Giải Gọi x • x B2 (a; b), [x ]B ta có: x a b v1 2v2 1 x (4; 1) ➢ Chương Khơng gian vector • [x ]B x Vậy [x ]B (4; 1) u1 u2 0 ➢ Chương Không gian vector b) Tọa độ vector sở khác ▪ Ma trận chuyển sở Trong kgvt V , cho sở: B1 {ui }, B2 {vi }, i 1,2, , n Ma trận [v1 ]B [v2 ]B [vn ]B 1 chuyển sở từ B1 sang B2 Ký hiệu là: PB B2 gọi ma trận ➢ Chương Không gian vector Đặc biệt n Trong , ta có: PE [u1 ] [u2 ] [un ] B1 (ma trận cột vector B1 ) ▪ Công thức đổi tọa độ [x ]B PB B2 [x ]B ➢ Chương Không gian vector VD Trong Cho biết PB , cho hai sở B1 B2 0 B1 1 v B1 Tìm tọa độ vector v sở B2 ? Giải Ta có: v PB B2 B1 v B1 Vậy [v ]B (5; 11; 6) 0 1 2 11 ➢ Chương Không gian vector VD Tìm ma trận chuyển sở PB a , [v2 ]B b Giải Gọi [v1 ]B • 1 • 1 a c Vậy PB B2 c d d 1 VD c ta có: d a b b B2 1 [v1 ]B [v2 ]B 1 ➢ Chương Không gian vector ▪ Định lý Trong kgvt V , cho sở B1 , B2 B3 Khi đó: I n (i 1,2, ); • PB B i • PB • PB i PB B3 B2 PB B2 PB B3 ; B1 ▪ Hệ n Trong , ta có: PB B2 PB E PE B2 PE B1 PE B2 ➢ Chương Không gian vector VD 10 Dựa vào hệ quả, giải lại VD Giải Ta có: • PB PE B2 1 B1 0 • [x ]B PB B2 [x ]B PE B2 1 1 1 1 2 1 1 ➢ Chương Khơng gian vector §4 KHƠNG GIAN SINH BỞI HỆ VECTOR 4.1 Định nghĩa Trong kgvt V cho hệ gồm m vector S {u1, , um } Tập hợp tất tổ hợp tuyến tính S gọi khơng gian sinh S Ký hiệu là: S spanS ➢ Chương Không gian vector 4.2 Hệ vector n Trong kgvt S n , xét hệ S x n {u1, , um } ta có: m x u, i i i i Gọi A ma trận dịng m vector S Khi đó: • dim S • Nếu dim r(A) dim S S n k hệ gồm k vector đltt S sở S ➢ Chương Không gian vector VD Trong , cho hệ vector: S {u1 (1; 0; 1), u2 (0; 1; 1)} Hãy tìm dạng tọa độ vector v Giải Ta có v v u1 S u2 , nên: ( ; ; )( , S ? ) ➢ Chương Không gian vector VD Trong , cho hệ vector: S {(1;2; 3; 4), (2; 4;9;6), (1;2;5; 3), (1;2;6; 3)} Tìm số chiều khơng gian sinh S ? Giải Ta có: dim S r 1 2 6 3 r 0 0 3 1 ... x) V, V, , ; , ; ; V V gọi vector không ; ➢ Chương Không gian vector 1.2 Không gian vector (Vectorial subspace) ▪ Định nghĩa Cho kgvt V , tập W V gọi không gian vector V W kgvt ▪ Định lý Cho... vector có nhiều sở số vector (hữu hạn) sở không đổi ➢ Chương Không gian vector 3.2 Số chiều không gian vector ▪ Định nghĩa Số vector có sở không gian vector V gọi số chiều (dimension) V Ký hiệu... B1 PE B2 ➢ Chương Không gian vector VD 10 Dựa vào hệ quả, giải lại VD Giải Ta có: • PB PE B2 1 B1 0 • [x ]B PB B2 [x ]B PE B2 1 1 1 1 2 1 1 ➢ Chương Không gian vector §4 KHƠNG GIAN SINH BỞI