Thông tin tài liệu
ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com TOÁN CAO CẤP A2 ĐẠI HỌC (ĐẠI SỐ SỐ TUYẾ TUYẾN TÍ TÍNH) PHÂN PHỐ PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Số tiế tiết: 45 Chương Ma trận – Định thức Chương Hệ phương trình tuyến tính Chương Không gian vector Chương Ánh xạ tuyến tính Chương Dạng song tuyến tính – Dạng toàn phương Wednesday, March 02, 2011 Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp A2 – NXB ĐHQG TP HCM Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp A2 – NXB Giáo dục Lê Sĩ Đồng – Toán cao cấp Đại số Tuyến tính – NXB Giáo dục Bùi Xuân Hải – Đại số tuyến tính – ĐH KHTN TP HCM Alpha C Chang, Kevin Wainwright – Fundamental methods of Mathematical Economics – Third Edi Mc.Graw-hill, Int Edi 1984 Tài liệu tham khảo Biên soạ soạn: ThS ThS Đoà Đoàn Vương Nguyên Download Slide giả giảng Toá Toán A2 A2 ĐH Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A2 – ĐH Công nghiệp TP HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Ma trậ trận – Định thứ thức §1 Ma trận §2 Định thức ………………………………………………… §1 MA TRẬN (Matrix) 1.1 Các định nghĩa a) Định nghĩa ma trận • Ma trận A cấp m × n ℝ hệ thống gồm m × n số aij ∈ ℝ (i = 1, m; j = 1, n ) thành bảng gồm m dòng n cột: Chương Ma trậ trận – Định thứ thức a 11 • Khi n = 1, ta gọi A = ma trận cột am • Khi m = n = 1, ta gọi: A = (a11 ) ma trận gồm phần tử • Ma trận O = (0ij )m×n có tất phần tử gọi ma trận không • Tập hợp ma trận A ℝ ký hiệu M m ,n (ℝ ) , gọn ta viết A = ( aij ) m×n Toán cao cấp A2 Đại học Chương Ma trậ trận – Định thứ thức a 11 a12 a a22 A = 21 am am a1n a2n amn • Các số aij gọi phần tử A dòng thứ i cột thứ j • Cặp số (m, n ) gọi kích thước A • Khi m = 1, ta gọi: A = (a11 a12 a1n ) ma trận dòng Chương Ma trậ trận – Định thứ thức • Ma trận vuông Khi m = n , ta gọi A ma trận vuông cấp n Ký hiệu A = (aij )n Đường chéo chứa phần tử a11, a22 , , ann gọi đường chéo A = (aij )n , đường chéo lại gọi đường chéo phụ 1 5 7 3 4 8 4 0 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, March 02, 2011 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức Chương Ma trậ trận – Định thứ thức • Các ma trận vuông đặc biệt Ma trận vuông có tất phần tử nằm đường chéo gọi ma trận chéo (diagonal matrix) Ký hiệu: diag(a11, a 22 , , ann ) −1 0 0 0 0 Ma trận chéo cấp n gồm tất 1 phần tử đường chéo gọi I = 0 ma trận đơn vị cấp n (Identity 0 matrix) Ký hiệu là: I n 0 0 1 Ma trận ma trận vuông cấp n có tất phần tử nằm phía (trên) đường chéo gọi ma trận tam giác (dưới) 0 1 −2 B = 0 A = 0 −1 −1 2 0 Ma trận vuông cấp n có tất cặp phần tử đối xứng qua đường chéo (aij = a ji ) gọi ma trận đối xứng Chương Ma trậ trận – Định thứ thức b) Ma trận Hai ma trận A = (aij ) B = (bij ) gọi nhau, ký hiệu A = B , chúng kích thước aij = bij , ∀i, j 1 x y 1 −1 VD Cho A = B = z t u Ta có: A = B ⇔ x = 0; y = −1; z = 2; u = 2; t = −1 −1 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức 1.2 Các phép toán ma trận a) Phép cộng trừ hai ma trận Cho hai ma trận A = (aij )m×n B = (bij )m×n , ta có: A ± B = (aij ± bij )m×n −1 VD −1 2 + −4 5 −3 2 − −4 5 −3 2 1 = ; 1 7 −3 2 −3 0 = 1 −3 −5 Nhận xét Phép cộng ma trận có tính giao hoán kết hợp Chương Ma trậ trận – Định thứ thức b) Phép nhân vô hướng Cho ma trận A = (aij )m×n λ ∈ ℝ , ta có: λA = (λaij )m×n VD −1 −3 −2 2 −4 3 = −4 6 1 4 = −2 8 −3 ; 12 2 4 Chú ý • Phép nhân vô hướng có tính phân phối phép cộng ma trận • Ma trận −1.A = −A gọi ma trận đối A Toán cao cấp A2 Đại học Chương Ma trậ trận – Định thứ thức c) Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận A = (aij )m×n B = (bjk )n×p , ta có: AB = (cik )m×p n Trong đó, cik = ∑ aijbjk j =1 (i = 1, m; k = 1, p) −1 VD Thực phép nhân −5 −1 0 VD Thực phép nhân − ( ( ) ) ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, March 02, 2011 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức 1 −1 VD Tính −1 −2 −1 Tính chất Cho ma trận A, B,C ∈ M m ,n (ℝ) số λ ∈ ℝ Giả thiết phép nhân thực được, ta có: 1) (AB )C = A(BC ); 2) A(B + C ) = AB + AC ; 3) (A + B )C = AC + BC ; 4) λ(AB ) = (λA)B = A(λB ) ; 5) AI n = A = I m A Chương Ma trậ trận – Định thứ thức Lũy thừa ma trận Cho ma trận vuông A ∈ M n (ℝ) • Lũy thừa ma trận A định nghĩa theo quy nạp: A0 = I n ; A1 = A; Ak +1 = Ak A, ∀k ∈ ℕ • Nếu ∃k ∈ ℕ \ {0; 1} cho Ak = (0ij )n A gọi ma trận lũy linh Số k ∈ ℕ, k ≥ bé cho Ak = (0ij )n gọi cấp ma trận lũy linh A 0 VD Ma trận A = 0 lũy linh cấp 0 0 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức 1 −1 VD 10 Cho f (x ) = 2x − 4x A = Tính f (A) + I 2 0 2011 VD 11 Cho A = , giá trị (I − A) là: −1 −1 −1 1 −1 −1 0 A ; B ; C ; D −1 0 −1 −1 1 VD 12 Tìm ma trận D = (ABC ) , đó: −2 1 3 , C = 0 1 A = , B = 8 −1 0 1 2 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức 1 −1 −1 −2 1 VD Cho A = 2 −2 B = −3 1 3 −3 −1 0 Thực phép tính: a) AB ; b) BA VD Thực phép nhân: −1 2 2 −1 −1 A = −3 0−1 −2 1 −2 −2 −1 4 −1 −33 Chú ý • Phép nhân ma trận tính giao hoán Chương Ma trậ trận – Định thứ thức Tính chất 1) (0n )k = 0n ; (I n )k = I n , ∀k ∈ ℕ 2) Ak +m = Ak Am , ∀A ∈ M n ( ℝ), ∀k , m ∈ ℕ 3) Akm = (Ak )m , ∀A ∈ M n (ℝ), ∀k, m ∈ ℕ Chú ý 1) Nếu A = diag(a11, a22 , , ann ) ∈ M n (ℝ) thì: k k k Ak = diag (a11 , a 22 , , ann ) 2) Nếu A, B ∈ M n (ℝ) thỏa AB = BA (giao hoán) đẳng thức quen thuộc với A, B Khi AB ≠ BA đẳng thức không Chương Ma trậ trận – Định thứ thức cos α − sin α VD 13 Cho ma trận A(α) = sin α cos α n Hãy tìm ma trận A(α) , ∀n ∈ ℕ ? VD 14 Cho A = (aij ) ma trận vuông cấp 40 có phần tử aij = (−1)i + j Phần tử a25 A2 là: A a25 = ; B a25 = −40 ; C a25 = 40 ; D a25 = −1 Toán cao cấp A2 Đại học VD 15 Cho A = (aij ) ma trận vuông cấp 100 có phần tử aij = (−1)i j Phần tử a 34 A2 là: ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, March 02, 2011 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức 35 A a 34 = (1 − 3100 ); 35 100 C a 34 = (3 − 1); 35 B a 34 = (3100 − 1); 35 D a 34 = (1 − 3100 ) d) Phép chuyển vị (Transposed matrix) Cho ma trận A = (aij )m×n Khi đó, AT = (a ji )n×m gọi ma trận chuyển vị A (nghĩa chuyển tất dòng thành cột) 1 1 3 T 2 5 VD 16 Cho A = ⇒ A = 4 6 3 6 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức Tính chất 1) (A + B )T = AT + BT ; 2) (λA)T = λ.AT ; 3) (AT )T = A ; 4) (AB )T = BT AT ; 5) AT = A ⇔ A ma trận đối xứng −1 −2 VD 17 A = , B = −1 −3 −3 −2 a) Tính (AB )T b) Tính BT AT so sánh kết với (AB )T Chương Ma trậ trận – Định thứ thức 1.3 Phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận (Gauss – Jordan) Cho ma trận A = (aij )m×n (m ≥ 2) Các phép biến đổi sơ cấp (PBĐSC) dòng e A là: di ↔dk → A′ 1) (e1 ) : Hoán vị hai dòng cho A d →λd i i 2) (e2 ) : Nhân dòng với số λ ≠ , A → A′′ 3) (e3 ) : Thay dòng tổng dòng với λ lần di →di +λdk dòng khác, A → A′′′ Chú ý di →µdi +λdk 1) Trong thực hành ta thường làm A →B 2) Tương tự, ta có phép biến đổi sơ cấp cột ma trận Chương Ma trậ trận – Định thứ thức VD 18 Dùng PBĐSC dòng để đưa ma trận 2 −1 1 −2 A = 1 −2 B = 0 −7 / 5 3 −1 0 Giải Ta có: 1 −2 1 −2 d2 →d2 −2d1 d1 ↔d2 0 −7 A → 2 −1 → d → d − d 3 3 −1 0 −7 1 −2 d3 →d3 −d2 0 −7 / 5 = B → d2 → d2 0 0 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức 1.4 Ma trận bậc thang • Một dòng ma trận có tất phần tử gọi dòng (hay dòng không) • Phần tử khác tính từ trái sang dòng ma trận gọi phần tử sở dòng • Ma trận bậc thang ma trận khác không cấp m × n (m, n ≥ 2) thỏa hai điều kiện: 1) Các dòng (nếu có) phía dòng khác 0; 2) Phần tử sở dòng nằm bên phải phần tử sở dòng phía dòng Toán cao cấp A2 Đại học Chương Ma trậ trận – Định thứ thức VD 19 Các ma trận bậc thang: 2 0 3, 0 0 0 3 0 5, I = n 0 0 1 0 Các ma trận bậc thang: 0 0 0 1 5 3 4, 0 4, 0 4 0 5 0 5 2 3 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, March 02, 2011 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức Chương Ma trậ trận – Định thứ thức Ma trận bậc thang rút gọn Ma trận bậc thang rút gọn ma trận bậc thang có phần tử sở dòng phần tử khác cột chứa phần tử 1 0 0 3 VD 20 I n , A = 0 0, B = 0 2 0 0 1 0 0 0 ma trận bậc thang rút gọn 1.5 Ma trận khả nghịch a) Định nghĩa • Ma trận A ∈ M n (ℝ) gọi khả nghịch tồn ma trận B ∈ M n (ℝ) cho: 1 3 Ma trận C = không bậc thang rút gọn 0 Chú ý Nếu B ma trận nghịch đảo A B A ma trận nghịch đảo B AB = BA = I n • Ma trận B gọi ma trận nghịch đảo A Ký hiệu B = A−1 Khi đó: A−1A = AA−1 = I n ; (A−1 )−1 = A Chương Ma trậ trận – Định thứ thức 2 5 −5 VD 21 A = B = hai ma trận − nghịch đảo AB = BA = I 0 1 VD 22 Cho biết ma trận A = 0 0 thỏa: 1 0 A3 − A2 − A + I = O3 Tìm A−1 ? Chương Ma trậ trận – Định thứ thức Chú ý 1) Nếu ma trận A có dòng (hay cột) không khả nghịch 2) I −1 = I ; (AB )−1 = B −1A−1 3) Nếu ac − bd ≠ thì: −1 a b d c Chương Ma trậ trận – Định thứ thức 2 5 2 1 VD 23 Cho A = B = 3 2 1 3 Thực phép tính: a) (AB )−1 ; b) B −1A−1 = c −b ac − bd −d d Chương Ma trậ trận – Định thứ thức b) Tìm ma trận nghịch đảo phép biến đổi sơ cấp dòng (tham khảo) Cho A ∈ M n (ℝ) khả nghịch, ta tìm A−1 sau: Bước Lập ma trận A I n (ma trận chia khối) ( ) cách ghép ma trận I n vào bên phải A 5 −3 −4 1 VD 24 Cho hai ma trận A = , B = 3 −2 −2 3 Tìm ma trận X thỏa AX = B Toán cao cấp A2 Đại học Bước Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa A I n dạng I n B 1 −1 1 Khi đó: A−1 = B 0 −1 0 VD 25 Tìm nghịch đảo A = 0 1 0 0 1 ( ) ( ) ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, March 02, 2011 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức ( Giải Ta có: A I ) 1 −1 0 −1 = 0 0 1 0 d3 →d3 −d4 → d2 →d3 −d2 0 d1 →d1 +d2 −d 0 11 0 00 1 10 10 0 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức 0 0 0 1 0 −1 −2 0 −1 −1 0 −1 0 0 I4 A−1 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức 1 3 VD Ma trận A = 4 6 có ma trận ứng 7 9 với phần tử aij là: 5 6 4 6 5 , , M 11 = M = M = 12 13 7 9 7 8, 8 9 2 3 1 3 1 M 21 = , M 22 = 7 9, M 23 = 7 8, 8 9 2 3 3 2 = = M 31 = , M , M 32 33 4 6 4 5 5 6 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức Chú ý 1) det I n = 1, detOn = 2) Tính a 21 a 22 a23 a 31 a 32 a 33 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a11 a12 a13 a 21 a22 a23 a 31 a 32 a 33 (Tổng tích phần tử đường chéo nét liền trừ tổng tích phần tử đường chéo nét đứt) Toán cao cấp A2 Đại học 2.1 Định nghĩa a) Ma trận cấp k Cho A = (aij ) ∈ M n (ℝ) n • Ma trận vuông cấp k lập từ phần tử nằm giao k dòng k cột A gọi ma trận cấp k A • Ma trận M ij có cấp n − thu từ A cách bỏ dòng thứ i cột thứ j gọi ma trận A ứng với phần tử aij Chương Ma trậ trận – Định thứ thức b) Định thức (Determinant) Định thức ma trận vuông A ∈ M n (ℝ), ký hiệu det A hay A , số thực định nghĩa: Nếu A = (a11 ) det A = a11 a a Nếu A = 11 12 detA = a11a 22 − a12a21 a21 a 22 Nếu A = (aij )n (cấp n ≥ ) thì: det A = a11A11 + a12A12 + + a1n A1n đó, Aij = (−1)i + j det M ij số thực Aij gọi phần bù đại số phần tử aij Chương Ma trậ trận – Định thứ thức VD Tính định thức ma trận sau: 1 −1 3 −2 A= , B = 3 −2 2 a11 a12 a13 a11 a12 §2 ĐỊNH THỨC VD Tính định thức ma trận: 0 −1 4 −1 A = 3 2 3 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, March 02, 2011 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức Chương Ma trậ trận – Định thứ thức 2.2 Các tính chất định thức Cho ma trận vuông A = (aij ) ∈ M n (ℝ), ta có n tính chất sau: b) Tính chất Nếu hoán vị hai dòng (hoặc hai cột) cho định thức đổi dấu −1 1 −1 1 VD a) Tính chất ( ) = det A T det A −2 = − −1 1 2 = 0; 1 VD Chương Ma trậ trận – Định thứ thức −2 1 x3 VD x + y y = (x + 1) y y x +1 z z z z Chương Ma trậ trận – Định thứ thức −1 x x y y3 = x y y3 + x z z3 z z3 cos2 x sin2 x sin x + cos x sin2 x 2 cos2 x Toán cao cấp A2 Đại học x x y y3 ; z z3 = x x y = 0; y −6 −9 2 −3 = −8 −3 12 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức x y5 d) Tính chất Nếu định thức có dòng (hoặc cột) mà phần tử tổng số hạng ta tách thành tổng định thức VD x + x − 1 y2 2) Nếu định thức có dòng (hoặc cột) tỉ lệ với = −2 ; x y5 = 1) Nếu định thức có dòng (hoặc cột) −1 x3 y2 Hệ x x +1 x Chương Ma trậ trận – Định thứ thức c) Tính chất Nếu nhân dòng (hoặc cột) với số thực λ định thức tăng lên λ lần VD Hệ Nếu định thức có dòng (hoặc cột) giống x x2 x3 3 1 2 −1 VD −2 = −2 = −12 −1 1 1 3.1 3.(−1) − = −2 3 e) Tính chất Định thức không đổi ta cộng vào dòng (hoặc cột) với λ lần dòng (hoặc cột) khác VD 10 Sử dụng tính chất để đưa định thức sau dạng bậc thang: ∆ = −1 −1 x 2 VD 11 Sử dụng tính chất để tính ∆ = x 2 x ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, March 02, 2011 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức Chương Ma trậ trận – Định thứ thức 2.3 Định lý (khai triển Laplace) 0 Cho ma trận vuông A = (aij ) ∈ M n (ℝ), ta có VD 12 Tính định thức n khai triển Laplace định thức A: a) Khai triển theo dòng thứ i n det A = 1Ai + 2Ai + + ain Ain = ∑ aij Aij khai triển theo dòng khai triển theo cột j =1 VD 13 Áp dụng tính chất định lý Laplace, tính 1 2 −1 định thức −1 3 Trong đó, Aij = (−1)i + j det(M ij ) b) Khai triển theo cột thứ j n det A = a1 j A1 j + a j A2 j + + anj Anj = ∑ aij Aij i =1 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức Chương Ma trậ trận – Định thứ thức Các kết đặc biệt cần nhớ 1) Dạng tam giác a11 a12 a1n a11 VD 14 Tính định thức: 0 a22 a2n a a22 = 21 = a11a22 ann 0 ann an an ann 2) Dạng tích: det(AB ) = det A.det B 3) Dạng chia khối A ⋮ B … … … = det A.detC , với A, B, C ∈ M n (ℝ) On ⋮ C det A = 1 −1 2 4 VD 16 Tính detC = 2 2 3 1 1 1 −3 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức 1 −12 4−3 4 VD 17 Tính det D = 2 2 3 2 1 1 −31 1 T x x 0 0 = có nghiệm x −2 x x = ± là: A x = ±1; B x = 1; C x = −1; D x = ±2 Toán cao cấp A2 Đại học VD 15 Tính định thức: 0 −2 19 −2 19 det B = 0 3 0 −1 0 −1 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức x VD 18 Phương trình 2 hai cách 3 2.4 Ứng dụng định thức tìm ma trận nghịch đảo a) Định lý Ma trận vuông A khả nghịch khi: det A ≠ VD 19 Giá trị tham số m để ma trận T m m m − A = m m m − 1 khả nghịch là: m = A ; m = m ≠ B ; m ≠ C m ≠ ; D m ≠ ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, March 02, 2011 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức Chương Ma trậ trận – Định thứ thức b) Thuật toán tìm A–1 • Bước Tính detA Nếu det A = kết luận A không khả nghịch Ngược lại, ta làm tiếp bước • Bước Lập ma trận (Aij ) , Aij = (−1)i + j det M ij VD 20 Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của: 1 1 A = 1 2 3 4 n Suy ma trận phụ hợp (adjunct matrix) A là: T adjA = (Aij ) n • Bước Ma trận nghịch đảo A là: A−1 = adjA det A Chương Ma trậ trận – Định thứ thức Chương Ma trậ trận – Định thứ thức 1 1 A11 = = 1, A12 = − = 1, A13 = = −1, 3 A21 = − A31 = 2 1 = −4, A22 = = 1, A32 = − 1 1 = 2, A23 = − = −1, A33 = 2 = 0, = −4 −4 1 ⇒ adjA = −1 ⇒ A−1 = −1 2 −1 −1 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức Chú ý • Nếu A = (aij ) m×n khác ≤ r (A) ≤ min{m, n} • Nếu A ma trận không ta quy ước r (A) = c) Thuật toán tìm hạng ma trận • Bước Đưa ma trận cần tìm hạng bậc thang • Bước Số dòng khác ma trận bậc thang hạng ma trận cho • Đặc biệt Nếu A ma vuông cấp n thì: r (A) = n ⇔ det A ≠ Toán cao cấp A2 Đại học 1 1 VD 21 Cho ma trận A = 0 1 Tìm A−1 1 3 Giải Ta có: det A = ≠ ⇒ A khả nghịch 2.5 Hạng ma trận a) Định thức cấp k Cho ma trận A = (aij ) m×n Định thức ma trận cấp k A gọi định thức cấp k A Định lý Nếu ma trận A có tất định thức cấp k định thức cấp k + b) Hạng ma trận (rank of matrix) Cấp cao định thức khác ma trận A gọi hạng ma trận A Ký hiệu r (A) Chương Ma trậ trận – Định thứ thức VD 22 Điều kiện tham số m để ma trận m −1 −2 A = có hạng là: A m ≠ 1; B m ≠ −1; C m ≠ ±1; D m ≠ VD 23 Cho ma trận: 1 −3 2 A = 2 −5 4 3 −8 6 Tìm r (A) VD 24 Tìm r (A) Biết: 2 −1 0 −1 0 A= 0 0 −1 −4 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, March 02, 2011 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức Chú ý Ta hoán vị cột ma trận đưa bậc thang VD 25 Giá trị tham số m để ma trận A m = −2 ; m = m + 3 B m = 1; A = m + 0 có r (A) = là: m = −2 ; C 3 m = −1 2m D m=0 −1 −1 VD 26 Tùy theo giá trị m , tìm m −1 −1 −1 hạng ma trận:A = m 1 2 −1 Chương Hệ phương trì trình tuyế tuyến tính ( ) T ( X = x x n ) T ma trận hệ số, ma trận cột hệ số tự ma trận cột ẩn Khi đó, hệ (I ) trở thành AX = B ( • Bộ số α = α1 αn ) T ( α = α1 ; ; αn ) gọi nghiệm (I ) Aα = B Chương Hệ phương trì trình tuyế tuyến tính 1.2 Định lý Crocneker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B Gọi ma trận a 11 a12 a1n b1 mở rộng A = A B = am am amn bm Định lý Hệ AX = B có nghiệm r (A) = r (A) ( ) Trong trường hợp hệ AX = B có nghiệm thì: Nếu r (A) = n : kết luận hệ có nghiệm nhất; Nếu r (A) < n : kết luận hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n − r tham số Toán cao cấp A2 Đại học …………………………………………………………… §1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT 1.1 Định nghĩa Hệ gồm n ẩn x i (i = 1,2, , n ) m phương trình: a x + a x + + a x = b 12 1n n 11 a x + a x + + a x = b 21 22 2n n (I ) am 1x + am 2x + + amn x n = bm đó, hệ số aij , bj ∈ ℝ (i = 1, , n; j = 1, , m ), gọi hệ phương trình tuyến tính tổng quát Chương Hệ phương trì trình tuyế tuyến tính a11 a1n Đặt: A = = (aij ) , m×n am amn B = b1 bm Chương Hệ phương trì trình tuyế tuyến tính §1 Hệ phương trình tổng quát §2 Hệ phương trình VD Cho hệ phương trình: x − x + 2x + 4x = 2x + x + 4x = −3 2x − 7x = Hệ phương trình viết lại dạng ma trận: 1 −1 4x x 2 = −3 x 0 −7 0 x 4 α = (1; −1; −1; 1) nghiệm hệ Chương Hệ phương trì trình tuyế tuyến tính VD Tùy theo điều kiện tham số m , biện luận số nghiệm hệ phương trình: x + my − 3z = (1 − m )z = m − VD Điều kiện tham số m để hệ phương trình: mx + 8z − 7t = m − 3x + my + 2z + 4t = m mz + 5t = m − 5z − mt = 2m + có nghiệm là: A m ≠ ; B m ≠ 1; C m ≠ ±1; D m ≠ ±5 10 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, March 02, 2011 Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính c) Thuật toán tìm ma trận AXTT Cho AXTT f : ℝ n → ℝ m hai sở là: B1 = {u1, u2 ,…, un } B2 = {v1, v2 ,…, vm } • Bước Tìm ma trận: S = [v1 ]E [v2 ]E [vm ]E ( m m m ) (ma trận cột vector B2 ), ( ) Q = [ f (u1 )]E [ f (u2 )]E [ f (un )]E n n n ( • Bước Dùng PBĐSC dòng đưa ma trận S Q ( B ) ) dạng I [ f ]B2 Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính d) Hạng ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Hạng AXTT f : ℝ n → ℝ m số chiều không gian ảnh Nghĩa là: r ( f ) = dim(Im f ) Định lý Hạng AXTT hạng ma trận VD 19 Cho PBĐTT f : ℝ → ℝ có ma trận 1 2 sở F A = Vậy r ( f ) = r (A) = VD 20 Cho AXTT f : ℝ → ℝ có ma trận cặp 1 0 ′ sở B, B ′ [ f ]BB = Vậy r ( f ) = 2 1 …………………………………………………………………… Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính Định lý Hai ma trận vuông biểu diễn PBĐTT (trong hai sở tương ứng) đồng dạng với 2.2 Đa thức đặc trưng Định nghĩa • Cho A ∈ M n (ℝ) Đa thức bậc n λ : PA (λ) = det(A − λI n ) gọi đa thức đặc trưng (characteristic polynomial) A phương trình PA(λ) = gọi phương trình đặc trưng A Toán cao cấp A2 Đại học VD 16 Cho PBĐTT f (x ; y ) = (x + y; x − 2y ) Dùng thuật toán tìm [ f ]B , với B = {(2; 1), (1; −1)} ? VD 17 Cho AXTT f : ℝ → ℝ có biểu thức: f (x ; y; z ) = (x + y − z ; x − y + z ) Dùng thuật toán tìm ma trận f cặp sở: B = {(1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 0; 1)} B ′ = {(2; 1), (1; 1)} ? VD 18 Cho AXTT f (x ; y ) = (x + y; y − x ; x ) cặp sở: A = {(1; 0; 0), (1; 1; 0), (1; 1; 1)} , B = {(1; −2), (3; 4)} Dùng thuật toán, tìm [ f ]AB ? Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính §2 TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG 2.1 Ma trận đồng dạng Định nghĩa Hai ma trận vuông A, B cấp n gọi đồng dạng với tồn ma trận khả nghịch P thỏa: B = P –1AP 1 −1 0 VD A = B = 1 đồng dạng với 6 −1 0 1 −1 có P = khả nghịch thỏa B = P AP Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính • Cho PBĐTT f : ℝ n → ℝ n Đa thức bậc n λ : Pf (λ) = det(A − λI n ) gọi đa thức đặc trưng f ( A ma trận biểu diễn f sở đó) Pf (λ) = gọi phương trình đặc trưng f 1 2 VD Cho ma trận A = , ta có: 1−λ 2 PA (λ) = = λ − 5λ − −λ Định lý Hai ma trận đồng dạng có đa thức đặc trưng 21 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, March 02, 2011 Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính VD Cho PBĐTT f (x ; y; z ) = (x − y; y − z ; z − x ) Hãy tìm phương trình đặc trưng f ? Chú ý Từ sau, ta gọi đa thức (phương trình) đặc trưng chung cho PBĐTT f ma trận A biểu diễn f 2.3 Trị riêng, vector riêng a) Trị riêng, vector riêng PBĐTT Định nghĩa Cho PBĐTT f : ℝ n → ℝ n • Số λ ∈ ℝ gọi trị riêng (eigenvalue) f tồn vector x ∈ ℝ n , x ≠ θ : f (x ) = λx (1) Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính • Vector x ≠ θ thỏa (1) gọi vector riêng (eigenvector) f ứng với trị riêng λ VD Cho PBĐTT f (x 1; x ) = (4x − 2x ; x + x ) Xét số λ = vector x = (2; 1), ta có: f (x ) = f (2; 1) = (6; 3) = 3(2; 1) = λx Vậy x = (2; 1) vector riêng ứng với trị riêng λ = b) Trị riêng, vector riêng ma trận Định nghĩa Cho ma trận vuông A ∈ M n (ℝ) • Số λ ∈ ℝ gọi trị riêng A tồn vector x ∈ ℝ n , x ≠ θ : A[x ] = λ[x ] (2) Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính • Vector x ≠ θ thỏa (2) gọi vector riêng A ứng với trị riêng λ Định lý • Số thực λ trị riêng PBĐTT f λ trị riêng ma trận A biểu diễn f sở B Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính Nhận xét A[x ] = λ[x ] ⇔ (A − λI n )[x ] = [θ ] (3) Để x ≠ θ vector riêng A (3) phải có nghiệm không tầm thường Suy det(A − λI n ) = Vậy λ nghiệm phương trình đặc trưng Phương pháp tìm trị riêng vector riêng • Vector x ∈ ℝ n \ {θ} vector riêng f ứng với λ [x ]B vector riêng A ứng với λ • Bước Giải phương trình đặc trưng A − λI = để tìm giá trị riêng λ • Các vector riêng f (hay A) ứng với trị riêng khác độc lập tuyến tính • Bước Giải hệ phương trình (A − λI )[x ] = [θ ], nghiệm không tầm thường vector riêng Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính VD Cho PBĐTT f : ℝ → ℝ có ma trận biểu diễn − 2 A = Tìm trị riêng vector riêng f ? 1 2 Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính 2.4 Không gian riêng Định lý Cho PBĐTT f : ℝ n → ℝ n Tập hợp tất vector x ∈ ℝ n thỏa f (x ) = λx , λ ∈ ℝ (kể vector không) không gian ℝ n Ký hiệu E (λ) 0 1 VD Cho ma trận A = 0 0 1 0 Tìm trị riêng vector riêng A ? Toán cao cấp A2 Đại học Định nghĩa { Không gian E (λ) = x ∈ ℝ n f (x ) = λx } gọi không gian riêng (eigenvector space) ℝ n ứng với trị riêng λ 22 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính Chú ý • Các nghiệm đltt hệ phương trình (A − λI )[x ] = [θ ] tạo thành sở E (λ) • Số chiều không gian riêng là: dim E (λ) = n − r (A − λI ) • Nếu λ nghiệm bội k phương trình đặc trưng dim E (λ) ≤ k thì: VD Xét tiếp VD 6, ta có: • Nghiệm (A − λ1I )[x ] = [θ ] (1; 0; −1) nên E (−1) = (1; 0; −1) dim E (−1) = Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính 1 3 VD 10 Cho ma trận D = −3 −5 −3 Tìm trị riêng, dạng vector riêng tương ứng sở không gian riêng D ? 2.5 Định lý Cayley – Hamilton Nếu PBĐTT f : ℝ n → ℝ n có ma trận biểu diễn A đa thức đặc trưng Pf (λ) thì: Pf (A) = (0ij )n Wednesday, March 02, 2011 Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính • E (1) = (1; 0; 1), (0; 1; 0) dim E (1) = 2 VD Cho ma trận B = −4 −6 −3 Tìm số chiều không gian riêng ứng với giá trị riêng B ? 3 −1 VD Cho ma trận C = 2 −1 2 Tìm sở không gian riêng ứng với giá trị riêng C ? Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính VD 11 Cho PBĐTT f : ℝ → ℝ có ma trận biểu 4 −2 diễn A = Pf (λ) = λ − 5λ + 1 4 −2 4 −2 0 0 Ta có: Pf (A) = − + 6I = 1 1 0 7 3 VD 12 Cho ma trận A = 0 0 Tính det B ? 3 1 Trong đó, B = A7 − 10A6 + 14A5 + 4A4 + 8I ………………………………………………………………… Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính §3 CHÉO HÓA MA TRẬN VUÔNG Trong này, ta xét A ∈ M n (ℝ) ma trận biểu diễn PBĐTT f : ℝ n → ℝ n sở B ℝ n 3.1 Ma trận chéo hóa Định nghĩa Ma trận A ∈ M n (ℝ) gọi chéo hóa A đồng dạng với ma trận đường chéo D −1 Nghĩa tồn P khả nghịch, thỏa: P AP = D 0 0 VD Ma trận A = 0 0 chéo hóa được, vì: 1 1 Toán cao cấp A2 Đại học Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính 0 0 0 có P = 0 thỏa: P −1AP = 0 0 −1 1 0 1 3.2 Điều kiện ma trận chéo hóa Định lý Ma trận A ∈ M n (ℝ) chéo hóa ℝ n có sở gồm n vector riêng A Hệ Nếu ma trận A ∈ M n (ℝ) có n trị riêng phân biệt chéo hóa 23 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, March 02, 2011 Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính Định lý Cho ma trận A ∈ M n (ℝ) có k trị riêng λi i = 1, k ( ) phân biệt ni = dim E (λi ) Khi đó, ba điều sau tương đương: 1) Ma trận A chéo hóa được; 2) Đa thức đặc trưng A có dạng: n n n PA (λ) = (λ − λ1 ) (λ − λ2 ) (λ − λk ) k ; 3) n1 + n2 + + nk = n Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính • Vậy P ma trận có cột vector riêng đltt A Ma trận chéo D gồm trị riêng tương ứng với vector riêng ma trận P 1 3 VD Ma trận A = −3 −5 −3 có trị riêng là: λ1 = −2 , λ2 = • Ứng với λ1 = −2 có vector riêng đltt là: u1 = (1; 0; −1), u2 = (0; 1; −1) • Ứng với λ2 = có vector riêng u = (1; −1; 1) Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính VD Tiếp VD 2, ta có: 10 0 2 10 A = −1 210 −1 −1 3.3 Ma trận làm chéo hóa • Cho ma trận A ∈ M n (ℝ) chéo hóa Khi đó, tồn ma trận P khả nghịch thỏa P −1AP = D λ1 λ = diag(λ1, λ2 , , λn ) Trong đó, D = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 λn • Xét ma trận P = ([u1 ] [u2 ] [un ]), ta có: P −1AP = D ⇒ AP = PD ⇒ A[ui ] = [ui ]D ⇒ A[ui ] = λi [ui ] (i = 1,2, , n ) Suy λi trị riêng ui vector riêng A Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính 1 −2 0 Vậy P = −1 D = −2 0 1 −1 −1 Nhận xét P −1AP = D ⇒ A = PDP −1 ⇒ A2 = (PDP −1 )(PDP −1 ) = PD 2P −1 ⇒ Ak = PD k P −1 = P [diag(λ1, , λn )]k P −1 k k k −1 Vậy A = P diag(λ1 , , λn ).P Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính 3.4 Thuật toán chéo hóa ma trận vuông A cấp n 0 0 −1 −1 0 1 11 1 −1023 −1023 = 1023 2047 1023 −1023 −1023 Bước Giải A − λI = tìm trị riêng thực A • Trường hợp A trị riêng thực ta kết luận A không chéo hóa • Trường hợp A có n trị riêng phân biệt A chéo hóa Ta làm tiếp bước (bỏ qua bước 2) • Trường hợp A có k trị riêng phân biệt λi (i = 1, , k ) với số bội tương ứng ni nếu: n1 + n2 + + nk < n ⇒ A không chéo hóa n1 + n + + nk = n , ta làm tiếp bước Toán cao cấp A2 Đại học 24 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, March 02, 2011 Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính Bước Với λi ta tìm r (A − λi I ) = ri Suy dim E (λi ) = n − ri • Nếu có λi mà dim E (λi ) < ni ta kết luận A không chéo hóa • Nếu dim E (λi ) = ni với λi A chéo hóa 3 −1 VD Ma trận A = 2 −1 có trị riêng bội hai 2 λ = (xem VD 9, §2, chương 4) Do dim E (2) = < nên A không chéo hóa Ta làm tiếp bước Bước Lập ma trận P có cột vector sở E (λi ) Khi đó, P −1AP = D với D ma trận chéo có phần tử đường chéo λi (mỗi λi xuất liên tiếp ni lần) Chương Ánh xạ tuyế tuyến tính 3 2010 VD Cho ma trận A = Tính A − 4 −1 VD Chéo hóa ma trận A = −6 −4 −6 −6 ………………………………………………………………………………… Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương D A, B C §1 Khái niệm §2 Đưa dạng toàn phương dạng tắc §3 Luật quán tính Xác định dấu dạng toàn phương §4 Rút gọn Conic – Quadratic …………………………………………………………………………… §1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Dạng song tuyến tính Định nghĩa f : ℝn × ℝ n → ℝ • Ánh xạ (x , y ) ֏ f (x , y ) gọi dạng song tuyến tính f tuyến tính theo biến x , y Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương n n i =1 j =1 3) f (αx , y ) = α f (x , y ); • Ma trận A = (ai j )n gọi ma trận dạng song 4) f (x , αy ) = α f (x , y ), ∀x , y, z ∈ ℝn , ∀α ∈ ℝ • Xét sở B = {u1, u2 , , un } ℝ n Với hai n n i =1 j =1 vector x , y ∈ ℝn , x = ∑ ui x i , y = ∑ u j y j ta có f (x , y ) = ∑ ∑ f (ui , u j )x i y j Toán cao cấp A2 Đại học C C A; f (x , y ) = ∑ ∑ j x i y j (1) 2) f (x , y + z ) = f (x , y ) + f (x , z ); i =1 j =1 B B C; Đặt aij = f (ui , u j ) ta được: Nghĩa là: 1) f (x + y, z ) = f (x , z ) + f (y, z ); n A A B; Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương 1 VD Chéo hóa (nếu được) ma trận A = − n VD Ma trận sau chéo hóa được: 1 0 1 −3 1 A = , B = , C = 2 3 2 1 −1 tuyến tính f sở B Ký hiệu A = [ f ]B Khi đó, dạng song tuyến tính f viết T dạng ma trận: f (x , y ) = [x ]B A[y ]B (2) Chú ý • Nếu sở không rõ ta ngầm hiểu sở tắc E ℝ n • Dạng song tuyến tính thường cho dạng (1) 25 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, March 02, 2011 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương VD Dạng song tuyến tính 3 f (x , y ) = x 1y1 − 2x 2y1 + 3x 1y2 có A = − Khi đó: 3y f (x , y ) = [x ]T A[y ] = x x −2 0y2 0 VD Cho dạng song tuyến tính có A = 3 5 6 8 Ta có: f (x , y ) = x 1y2 + 2x 1y + 3x 2y1 +4x 2y2 + 5x 2y + 6x 3y1 + 7x 3y2 + 8x 3y ( ) Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương 1.2 Dạng toàn phương Định nghĩa • Cho f dạng song tuyến tính đối xứng ℝ n Q : ℝn → ℝ x ֏ f (x , x ) gọi dạng toàn phương ℝn ứng với f Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương Định nghĩa Dạng song tuyến tính f ℝn gọi đối xứng (tương ứng, phản đối xứng) nếu: f (x , y ) = f (y, x ), ∀x , y ∈ ℝn (tương ứng, f (x , y ) = −f (y, x ), ∀x , y ∈ ℝ n ) Nhận xét Ma trận dạng song tuyến tính f đối xứng (phản đối xứng) sở ℝ n đối xứng (phản đối xứng) VD Dạng song tuyến tính đối xứng 1 f (x , y ) = x 1y1 − 2x 2y2 có A = đối xứng 0 −2 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương VD Tìm dạng toàn phương Q(x ) ? −1 Biết ma trận Q(x ) A = − Ánh xạ • Nếu A = [ f ]B A gọi ma trận dạng toàn phương Q sở B Khi đó, ta có: Q(x ) = [x ]TB A[x ]B Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương §2 ĐƯA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHÍNH TẮC 2.1 Dạng tắc dạng toàn phương Định nghĩa Trong ℝ n , xét dạng toàn phương (viết tắt DTP) Q Ta nói Q đưa dạng tắc ta sở B mà sở này, ma trận Q có dạng đường chéo Nghĩa là: Q(x ) = [x ]TB A[x ]B = λ1x 12 + λ2x 22 + + λn x n2 A = [ f ]B = diag(λ1, λ2 , , λn ), [x ]B = (x x n )T Toán cao cấp A2 Đại học Nhận xét • Trong VD 4, hệ số x 12 x 22 a11 a22 A • Nửa hệ số x 1x a12 a21 A VD Tìm ma trận dạng toàn phương sau: Q(x ) = 2x 12 + 3x 22 − x 32 − 4x 1x + 6x 2x ………………………………………………………………………… Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương 1 VD Dạng tắc có ma trận A = là: 0 −2 Q(x ) = Q(x 1, x ) = [x ]T A[x ] = x 12 − 2x 22 VD Trong ℝ , dạng tắc Q(x ) = x 12 − 5x 22 1 0 có ma trận A = 0 −5 0 0 0 26 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, March 02, 2011 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương Chú ý Để tìm ma trận DTP sở B khác sở tắc, ta thay [x ] = PE →B [x ]B vào [x ]T A[x ] VD Ma trận dạng toàn phương Q(x 1, x ) = x 12 − 2x 1x + 6x 22 sở B = {(1; 1), (−1; 1)} là: 5 5 5 5 A AB = ; B AB = ; 5 9 5 9 −5 C AB = ; −5 Chú ý −5 D AB = −5 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương Nếu P = (aij )n ma trận trực giao n ∑a i =1 ij =1 (tổng bình phương cột P 1) Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương VD Ma trận sau ma trận trực giao ? −2 A − ; B −2 − ; C −2 − ; D − −2 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương • Bước Ma trận trực giao là: P = ([w1 ] [w ] … [wn ]) Ma trận Q sở là: D = P T AP = diag(λ1, λ2 , , λn ) VD Trong ℝ , cho dạng toàn phương: Q(x ) = −3x 22 + 4x 1x 0 Q(x ) có ma trận A = sở tắc 2 −3 Ma trận A có trị riêng vector riêng tương ứng là: λ1 = 1, u1 = (2; 1); λ2 = −4, u2 = (1; −2) Toán cao cấp A2 Đại học 2.2 Đưa dạng toàn phương dạng tắc 2.2.1 Phương pháp biến đổi trực giao a) Định nghĩa • Ma trận vuông P gọi ma trận trực giao nếu: P T = P −1 • Nếu có ma trận trực giao P làm chéo hóa ma trận A ta nói P chéo hóa trực giao ma trận A b) Thuật toán Xét dạng toàn phương Q(x ) ℝ n có ma trận A Ta tìm ma trận trực giao P cho đổi biến [x ] = P [y ] D = P T AP có dạng chéo Khi đó, Q = [y ]T D[y ] có dạng tắc theo biến y : Q(y ) = λ1y12 + λ2y22 + + λn yn2 với λi , i = 1,2, , n trị riêng A • Bước Tìm trị riêng λi A vector riêng sở ui không gian riêng ứng với λi , i = 1, n • Bước Trực chuẩn hóa Gram – Schmidt vector ui thành w i (xem chương 3, §5, 5.3) Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương Trực chuẩn hóa u1, u2 ta được: 1 w1 = 2; w1 = (1; −2) 5 Ma trận P phép chuyển từ sở tắc sang 2 sở trực chuẩn {w1, w } P = 1 −2 Đổi biến [x ] = P [y ]: 1 x1 = y1 + y2 , x = y1 − y2 5 5 Thay x 1, x công thức đổi biến vào Q(x ), ( ) ta dạng tắc Q(y ) = y12 − 4y22 27 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, March 02, 2011 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương VD Trong ℝ , cho dạng toàn phương Q(x 1, x ) = 3x 22 + 4x 1x Bằng phép đổi biến trực giao [x ] = P [y ], −2 1 với P = , ta đưa Q dạng tắc là: 2 A Q = −y12 + 4y22 ; B Q = y12 − 4y22 ; C Q = 4y − y ; D Q = −4y + y 2 2 2 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương u v1 v1 v1 − u v2 v2 ) ⇒ w3 = −1; 1; − − Vậy P = − đổi biến [x ] = P[y ] ta có dạng tắc Q(y ) = 3y12 + 6y22 + 8y 32 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương • Với λ = −2 , ta có vector sở E (−2) là: u = −1; − ; 1 ( ) Đặt v1 = u1 = (1; 0; 1) ⇒ w1 = 1; 0; , v2 = u2 − u2 v1 v1 v1 = − ; 1; ⇒ w2 = Toán cao cấp A2 Đại học ( ) −1; 4; , Tìm ma trận trực giao P dạng tắc Q ? Giải Đặt v1 = u1 = (1; 1; 1) ⇒ w1 = 1; 1; , u v1 v2 = u2 − v1 = (−1; −1; 2) v1 ⇒ w2 = −1; −1; , ( ) ) Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương v2 = (−1; 1; 0) ( λ3 = 8, u = (−1; 1; 0) ( Chú ý Các trị riêng A ứng với vector cột P v3 = u3 − VD Trong ℝ , cho ma trận A DTP Q(x ) có trị riêng vector riêng sở tương ứng là: λ1 = 3, u1 = (1; 1; 1); λ2 = 6, u2 = (−1; −1; 2) VD Đưa dạng toàn phương sau dạng tắc biến đổi trực giao: Q(x ) = 3x 12 + 6x 22 + 3x 32 − 4x 1x + 8x 1x + 4x 2x −2 Giải Q(x ) có ma trận A = −2 2 3 λ = det(A − λI ) = ⇔ (λ − 7)2 (λ + 2) = ⇔ λ = −2 • Với λ = , ta có vector sở E (7) là: u1 = (1; 0; 1), u2 = − ; 1; 0 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương v3 = u3 − u v1 v1 v1 − u v2 v2 v2 = −1; − ; 1 ( ) ⇒ w = −2; −1; 2 − − 2 Vậy P = − đổi biến [x ] = P [y ] 3 2 ta có dạng tắc Q(y ) = 7y12 + 7y22 − 2y 32 28 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, March 02, 2011 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương n Q(x ) = ∑ a x + i =1 ii i ∑ 1≤i < j ≤n ( ) y1 = a11x + a12x + + a1n x n , yi = x i i = 2, n aij x i x j a) Trường hợp (có hệ số aii ≠ ) • Bước Giả sử a11 ≠ , ta tách tất số hạng chứa x Q(x ) thêm bớt để có dạng: Q(x ) = a11x + + a1n x n ) + Q1(x , , x n ), ( a11 với Q1(x , , x n ) chứa tối đa n − biến Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương Với biến Q = y + Q1(y2 , , yn ) a11 • Bước Tiếp tục làm bước cho Q1(y2 , , yn ), … Sau k bước Q có dạng tắc Ma trận đổi biến P = P1 Pk [x ] = P[y ] b) Trường hợp (hệ số aii = 0, i = 1, , n ) Giả sử a12 ≠ , ta đổi biến: x = y1 + y2 , x = y1 − y2 , x i = yi (i = 3, , n ) Khi đó, Q = 2a12y12 − 2a12y22 + có hệ số y12 2a12 ≠ Ta trở lại trường hợp Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương VD 10 Trong ℝ , cho dạng toàn phương: f (x 1, x ) = −7x 12 − 2x 22 − 8x 1x Dùng thuật toán Lagrange với ma trận đổi biến 0 P = , ta đưa f dạng tắc là: − A f (y1, y2 ) = 2y12 − y22 ; B f (y1, y2 ) = −2y12 + y22 ; C f (y1, y2 ) = y12 − 2y22 ; D f (y1, y2 ) = −y12 + 2y22 VD 11 Dùng thuật toán Lagrange đưa DTP sau dạng tắc tìm ma trận đổi biến P : Q(x ) = −x 22 + 4x 32 + 2x 1x + 4x 1x Toán cao cấp A2 Đại học Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương Đổi biến: 2.2.2 Thuật toán Lagrange Xét dạng toàn phương: Đổi biến ngược: x1 = (y − a12y2 − − a1nyn ), x i = yi i = 2, n a11 − a12 − a1n a11 a11 Ta có ma trận P1 = 0 ( ) Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương VD Trong ℝ , cho dạng toàn phương: Q (x , x , x ) = x 12 + 2x 22 + 2x 32 + 2x 1x − 2x 2x Dùng thuật toán Lagrange đưa Q (x ) dạng tắc ta đặt y = x + x , y = x − x , y = x Ma trận đổi biến P là: 1 A − 1; 0 0 C − 1 0; − 1 1 1 0 B 1 0; − 1 1 − − 1 D 1 0 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương VD 12 Dùng thuật toán Lagrange đưa DTP sau dạng tắc tìm ma trận đổi biến P : f (x ) = 2x 1x + 2x 1x − 6x 2x 1 0 x = y1 + y2 Giải Đổi biến: x = y1 − y2 ⇒ P1 = 1 −1 0 0 1 x = y Dạng toàn phương f biến y là: f = 2(y1 +y2 )(y1 − y2 )+2(y1 +y2 )y − 6(y1 − y2 )y = 2(y12 − 2y1y + y 32 ) − 2y22 + 8y2y − 2y 32 = 2(y1 − y )2 − 2y22 + 8y2y − 2y 32 29 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, March 02, 2011 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương 1 z = y1 − y Đổi biến: z = y2 ⇒ P2 = 0 z = y 0 Dạng toàn phương f biến z f = 2z 12 − 2z 22 + 8z 2z − 2z 32 1 0 1 là: = 2z 12 − 2(z 22 − 4z 2z + 4z 32 ) + 6z 32 = 2z 12 − 2(z − 2z )2 + 6z 32 1 0 u1 = z Đổi biến: u2 = z − 2z ⇒ P3 = 0 2 0 1 u = z Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương 2.2.3 Thuật toán Jacobi (tham khảo) Định thức Cho ma trận vuông A = (aij )n a11 a1k Định thức: Dk = (1 ≤ k ≤ n ) ak akk gọi định thức A Thuật toán • Cho dạng toàn phương Q(x ) có ma trận A = (aij )n thỏa định thức Dk ≠ 0, k = 1, , n Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương b b 21 n1 b n Khi đó, P = 0 D D D Q = D1y12 + y22 + y 32 + + n yn2 D1 D2 Dn −1 VD 13 Dùng thuật toán Jacobi đưa DTP sau dạng tắc: Q(x ) = 2x 12 + x 22 + x 32 + 3x 1x + 4x 1x Toán cao cấp A2 Đại học Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương Vậy dạng tắc Q là: Q(u ) = 2u12 − 2u22 + 6u 32 Ma trận đổi biến là: 1 P = P1P2P3 = 1 −1 −1 0 Nhận xét Do cách đổi biến thuật toán Lagrange khác nên dạng tắc không Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương • Với j > i , ta đặt D j −1, i định thức ma trận có phần tử nằm giao dòng 1,2,…, j − cột 1,2,…, i − 1, i + 1,…, j (bỏ cột i ) A • Đổi biến theo công thức: x = y + b y + b y + b y + + b y , 21 31 41 n1 n x = + + + + y b y b y b y , n2 n 2 32 42 , yn x n = D j −1, i Trong đó, bji = (−1)i + j D j −1 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương / 2 Giải Ma trận Q(x ) A = 3 / 0 1 2 3/2 17 Ta có: D1 = 2, D2 = = − , D3 = − 3/2 4 x = y1 + b21y2 + b31y Đổi biến x = y2 + b32y , đó: x = y3 D2−1, 3/2 b21 = (−1)1+2 =− =− , D1 30 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, March 02, 2011 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương b31 = (−1)1+3 D3−1, = 8, 2 D3−1, 3/2 b32 = (−1)2+3 = = −12 D2 −1 / 1 −3 / Vậy với ma trận đổi biến P = 0 −12 0 D D Q(y ) = D1y12 + y22 + y 32 = 2y12 − y22 + 17y 32 D1 D2 D2 = 3/2 −1 / Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương 0 Giải Ma trận Q A = −2 −2 Ta có: A I = −2 0 1 11 d1 →d1 +d2 → −2 0 ( ) −2 0 0 1 0 0 1 ) đồng thời lặp lại biến đổi kiểu cột A I n để đưa A dạng chéo diag(λ1, , λn ) ( ) Khi đó, I n trở thành P T • Bước Đổi biến [x ] = P[y ], ta được: Q(y ) = λ1y12 + λ2y22 + + λn yn2 VD 14 Dùng thuật toán biến đổi sơ cấp, đưa DTP Q(x ) = 2x 1x − 4x 1x + 6x 2x dạng tắc Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương 1 1 0 0 0 1 −1 1 −1 −1 −1 0 −2 10 −1 10 −2 −1 0 0 −1 2 0 0 −1 2 1 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương §3 LUẬT QUÁN TÍNH XÁC ĐỊNH DẤU CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG 0 0 2 −6 Q(…………………………………………………………………………………… y ) = 2y12 − 2y22 + 48y 32 Toán cao cấp A2 Đại học ( 2 c1 →c1 +c2 → 1 1 2 d2 →2d2 −d1 → 0 d3 →2d3 −d1 0 2 c2 →2c2 −c1 → 0 c3 →2c3 −c1 0 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương 2 0 1 0 d →d +5d2 → 0 −2 10 −1 0 0 48 −6 2 2 0 c3 →c3 +5c2 → 0 −2 −1 0 48 −6 1 0 1 − T Vậy P = −1 0 ⇒ P = 1 −6 2 0 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương 2.2.4 Thuật toán biến đổi sơ cấp ma trận đối xứng (tham khảo) • Bước Biến đổi sơ cấp dòng ma trận A I n 3.1 Luật quán tính a) Dạng chuẩn tắc • Trong ℝ n , dạng toàn phương đưa dạng tắc sở tắc: Q = λ1x 12 + λ2x 22 + + λr x r2 (λ1λ2 λr ≠ 0) (1) • Dạng tắc (1) gọi dạng chuẩn tắc nếu: λi = 1, ∀i = 1, 2, , r 31 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương • Không làm tính tổng quát, giả sử: λ1, λ2 , , λs > λs +1, λs +2 , , λr < Để đưa (1) dạng chuẩn tắc, ta đổi biến: x = y , i = 1,2, , s i i λi x = y , j = s + 1, s + 2, , r j j −λj x k = yk , k = r + 1, r + 2, , n Khi đó, Q = x 12 + x 22 + + x s2 − x s2+1 − − x r2 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương b) Định lý (Luật quán tính Sylvester) Số s số hạng mang dấu “ + ” số p số hạng mang dấu “ – ” dạng tắc đại lượng bất biến, không phụ thuộc vào phép biến đổi tuyến tính không suy biến đưa dạng toàn phương dạng tắc Chú ý • Số s gọi số dương quán tính DTP • Số p gọi số âm quán tính DTP • Số s − p gọi số (hay ký số) DTP Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương 3.2 Tính xác định dấu dạng toàn phương Định nghĩa Trong ℝ n , cho dạng toàn phương Q(x ) • Q(x ) gọi xác định dương nếu: Q(x ) > 0, ∀x ∈ ℝn \ {θ} • Q(x ) gọi xác định âm nếu: Q(x ) < 0, ∀x ∈ ℝ n \ {θ} • Q(x ) gọi nửa xác định dương (âm) nếu: Q(x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ n (Q(x ) ≤ 0, ∀x ∈ ℝ n ) Wednesday, March 02, 2011 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương VD Trong ℝ , cho dạng tắc: Q(x ) = 2x 12 − 3x 22 + 4x 32 x = y , 1 x = y2 = y2 , Đổi biến: −(−3) x = y = y , 3 x = y Trong sở mới, ta dạng chuẩn tắc: Q(y ) = y12 − y22 + y 32 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương VD Trong ℝ , cho dạng toàn phương: Q(x ) = x 12 − 3x 22 − 2x 1x • Cách Biến đổi: Q(x ) = (x − x )2 − 4x 22 Đổi biến y1 = x − x , y2 = x , ta được: Q(y ) = y12 − 4y 22 • Cách Biến đổi: Q(x ) = − (x + 3x )2 + x 12 3 Đổi biến z = x + 3x , z = x , ta được: Q(z ) = − z 12 + z 22 3 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương VD Trong ℝ , ta có: • Q(x ) = x 12 + 3x 22 − 2x 1x xác định dương Q(x ) = (x − x )2 + 2x 22 > 0, ∀x ∈ ℝ \ {θ} • f (x ) = −4x 12 − x 22 + 4x 1x nửa xác định âm f (x ) = −(2x − x )2 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ • g(x ) = x 12 − x 22 + x 1x không xác định dấu g (1, − 1) = −1 < g (1, 1) = > • Q(x ) gọi không xác định dấu nhận giá trị dương lẫn âm Toán cao cấp A2 Đại học 32 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương Wednesday, March 02, 2011 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương 3.3 Các tiêu chuẩn xác định dấu a) Định lý • DTP ℝ n xác định dương tất hệ số dạng tắc dương • DTP ℝ n xác định âm tất hệ số dạng tắc âm VD Trong ℝ , xét tính xác định dấu DTP sau: Q(x ) = 4x 12 + x 22 + 5x 32 − 2x 1x + 6x 1x Hệ • Dạng toàn phương Q(x ) xác định dương ma trận có tất trị riêng dương b) Định lý (Định lý Sylvester) • Dạng toàn phương Q(x ) xác định âm ma trận có tất trị riêng âm Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương • Trong ℝ n , dạng toàn phương xác định âm ma trận có định thức cấp chẵn dương, cấp lẻ âm Nghĩa là: (−1)k Dk > 0, k = 1, n VD Trong ℝ , dùng định lý Sylvester xét tính xác định dấu dạng toàn phương sau: Q(x ) = −2x 12 − 4x 22 − 3x 32 + 4x 1x VD Trong ℝ , dùng định lý Sylvester xét tính xác định dấu dạng toàn phương sau: f (x ) = 7x 12 + 2x 22 − x 32 + 6x 1x ……………………………………………………………………………………… Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương b) Phân loại đường conic Các dạng tắc đường conic x2 y2 1) + = (đường elip); a b x y2 2) − = ±1 (đường hyperbol); a b 3) y = px x = py (parabol) Phân loại Trong Oxy , xét đường (C ) có phương trình: ax + by + 2cxy + 2dx + 2ey + f = Toán cao cấp A2 Đại học VD Trong ℝ , xét tính xác định dấu DTP sau: f (x ) = 7x 12 + 2x 22 − x 32 + 6x 1x • Trong ℝ n , dạng toàn phương xác định dương ma trận có tất định thức dương Nghĩa là: Dk > 0, k = 1, n Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương §4 RÚT GỌN CONIC – QUADRATIC (Nhận diện đường mặt bậc hai) 4.1 Đường bậc hai mặt phẳng tọa độ Oxy a) Định nghĩa Trong mặt phẳng Oxy , đường bậc hai tập hợp tất điểm M (x ; y ) có tọa độ thỏa phương trình: ax + by + 2cxy + 2dx + 2ey + f = (1) Trong đó, a + b + c > VD Trong ℝ , đường (C ) có phương trình sau đường bậc hai: x + 4y − 4xy + 4x − 3y − = Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương a c d a c c b e Đặt hai ma trận Q = Q = c b d e f • Ta có (C ) đường conic ⇔ detQ ≠ • Khi (C ) đường conic thì: 1) (C ) đường elip ⇔ detQ > ; 2) (C ) đường hyperbol ⇔ detQ < ; 3) (C ) đường parabol ⇔ detQ = Chú ý Nếu detQ = (C ) conic (có thể tích hai đường thẳng) 33 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, March 02, 2011 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương c) Rút gọn đường conic Bằng cách xoay trục tọa độ tịnh tiến, ta đưa (1) dạng tắc • Bước Đưa dạng toàn phương ax + by + 2cxy dạng tắc α(x ′)2 + β(y ′)2 (khử tích chéo xy ) phép biến đổi trực giao (phép quay) • Bước Đặt x ′′ = x ′ + a ′, y ′′ = y ′ + b ′ (tịnh tiến hệ tọa độ) cách thích hợp để phương trình (C ) có dạng tắc VD Xác định dạng đường bậc hai (C ) : x + 4y − 4xy + 4x − 3y − = Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương VD Xác định dạng đường bậc hai (C ) : x − 4y − 4x + 8y = VD Trong Oxy , viết phương trình tắc Conic (C ) : 5x + 8y + 4xy − 32x − 56y + 80 = Giải Xét dạng toàn phương: Q(x , y ) = 5x + 8y + 4xy 5 2 1 −2 Ta có: Q = ⇒ = P ma trận 2 8 2 trực giao chéo hóa Q Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương x′ − x x ′ x = Đổi biến: = P ⇒ y ′ y = x ′ + y Khi đó, (C ) có phương trình: 144 9x ′2 + 4y ′2 − x′ + ′ ⇔ x − + y ′ + y′ y′ y ′ + 80 = = 36 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương 2 2 x ′ − y ′ + ⇔ + = x ′′ = x ′ − , ta được: Đổi biến: y ′′ = y ′ + (C ) : Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương (x ′′)2 (y ′′)2 + = elip Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương 3.2 Mặt bậc hai không gian tọa độ Oxyz Các dạng tắc mặt bậc hai a) Định nghĩa Trong không gian Oxyz , mặt bậc hai tập hợp tất điểm M (x , y, z ) có tọa độ thỏa phương trình: ax + by + cz + 2dxy + 2exz + fyz + 2gx + 2hy + 2kz + l = (2) 1) x + y + z = R (mặt cầu); Trong a,b, c, d,e, f không đồng thời VD Trong ℝ , mặt (S ) có phương trình sau mặt bậc hai: 3x + 3y + 10xy − 2x − 14y − 13 = Toán cao cấp A2 Đại học x2 a2 x2 3) a x2 4) a x2 5) a 2) y2 b2 y2 + b y2 + b y2 + b + z2 c2 z2 − c z2 − c z2 − c + = (mặt elipsoid); = (hyperbolic tầng); = −1 (hyperbolic tầng); = (nón eliptic); 34 ĐH Công nghiệp Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Wednesday, March 02, 2011 Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương x2 y2 6) + = 2z (parabolic eliptic); a b x y2 7) − = 2z (parabolic hyperbolic); a b x2 y2 8) + = (mặt trụ eliptic); a b x y2 9) − = ±1 (mặt trụ hyperbolic); a b 10) y = px x = py (mặt trụ parabolic) Chú ý Các dạng 8), 9), 10) mặt bậc hai suy biến Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương Khi đó: 1) (S ) mặt elipsoid (kể elipsoid ảo) Q xác định dương xác định âm 2) (S ) mặt hyperpolic (1 tầng tầng) số s − p Q ±1 3) (S ) mặt parabolic eliptic (hay parabolic – hyperpolic) detQ = VD Xác định dạng mặt bậc hai (S ) : 4x + 4y − 8z − 10xy + 4xz + 4yz − 16x − 16y − 8z + 72 = Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương Theo định lý Sylvester, Q có: D1 = 22 > 0; D2 = 600 > 0; D3 = 9000 > nên Q xác định dương ⇒ (S ) mặt elipsoid 1 −2 Ma trận trực giao P = 2 0 Đổi tọa độ: 2 x= x′ − y ′, y = x′ + 5 chéo hóa Q y ′, z = z ′ Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương b) Phân loại mặt bậc hai Cho (S ) mặt bậc hai có phương trình: ax + by + cz + 2dxy + 2exz + fyz + 2gx + 2hy + 2kz + l = a d e g a d e d b f h Đặt Q = d b f Q = e f c k e f c g h k l Ta có, (S ) không suy biến ⇔ detQ ≠ Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương VD Xác định dạng mặt bậc hai sau viết phương trình tắc: (S ) : 22x + 28y + 15z + 8xy − 112x − 184y − 30z + 343 = Giải Ta có: 22 −56 22 28 − 92 Q = 28 , Q = 0 15 −15 0 15 −56 −92 −15 343 Do detQ ≠ nên (S ) không suy biến Chương Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương Khi đó, (S ) có phương trình: 480 40 30(x ′)2 + 20(y ′)2 + 15(z ′)2 − x′− y′ 5 − 30z ′ + 343 = 2 x ′ − y ′ − (z ′ − 1) 5 ⇔ + + = Đổi biến: x ′′ = x ′ − , y ′′ = y ′ − , z ′′ = z ′ − 5 (x ′′)2 (y ′′)2 (z ′′)2 Vậy (S ) : + + = (mặt elipsoid) ……………………………… Hết………………………………… Toán cao cấp A2 Đại học 35 [...]... Thuật toán Lagrange Xét dạng toàn phương: Đổi biến ngược: 1 x1 = (y − a12 y2 − − a1nyn ), x i = yi i = 2, n a11 1 1 − a12 − a1n a11 a11 1 0 Ta có ma trận P1 = 0 0 0 1 ( ) Chương 5 Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương VD 9 Trong ℝ 3 , cho dạng toàn phương: Q (x 1 , x 2 , x 3 ) = x 12 + 2x 22 + 2x 32 + 2x 1x 2 − 2x 2x 3 Dùng thuật toán. .. Toà Toàn phương n Q(x ) = ∑ a x + 2 i =1 2 ii i ∑ 1≤i < j ≤n ( ) y1 = a11 x 1 + a12 x 2 + + a1n x n , yi = x i i = 2, n aij x i x j a) Trường hợp 1 (có 1 hệ số aii ≠ 0 ) • Bước 1 Giả sử a11 ≠ 0 , ta tách tất cả các số hạng chứa x 1 trong Q(x ) và thêm hoặc bớt để có dạng: 2 1 Q(x ) = a11 x 1 + + a1n x n ) + Q1(x 2 , , x n ), ( a11 với Q1(x 2 , , x n ) chứa tối đa n − 1 biến Chương 5 Dạng song tuyế... pháp định thức (hệ Cramer) Cho hệ AX = B , với A là ma trận vuông cấp n • Bước 1 Tính các định thức: a11 a1 j ∆ = det A = an 1 anj a11 b1 ∆ j = , ann (m − 7)x + 12y − 6z = m Khi m = 1 thì hệ −10x + (m + 19)y − 10z = 2m −12x + 24y + (m − 13)z = 0 có ∆ = ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0 nhưng hệ vô nghiệm Chú ý a1n an 1 bn a1n Chương 2 Hệ phương trì trình tuyế tuyến tính • Bước 2 Kết luận:... 21 2 31 3 m1 m 1 f (u ) = a v + a v + a v + + a v 2 12 1 22 2 32 3 m2 m f (un ) = a1n v1 + a2n v2 + a 3n v 3 + + amn vm a 11 a12 a1n a a22 a2n 21 B thì [ f ]B2 = a 31 a 32 a 3n 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 am 2 amn Toán cao cấp A2 Đại học Chương 4 Ánh xạ tuyế tuyến tính x S : C [a; b ] → C [a; b ], Sf = ∫ f (t )dt, x ∈ [a; b ] a VD... của Q có dạng đường chéo Nghĩa là: Q(x ) = [x ]TB A[x ]B = λ1x 12 + λ2x 22 + + λn x n2 A = [ f ]B = diag(λ1, λ2 , , λn ), [x ]B = (x 1 x n )T Toán cao cấp A2 Đại học Nhận xét • Trong VD 4, hệ số của x 12 và x 22 là a11 và a22 của A • Nửa hệ số của x 1x 2 là a12 và a21 của A VD 5 Tìm ma trận trong dạng toàn phương sau: Q(x ) = 2x 12 + 3x 22 − x 32 − 4x 1x 2 + 6x 2x 3 ………………………………………………………………………… Chương... V = M m ,n (ℝ) với hai phép toán cộng ma trận và nhân vô hướng là một không gian vector 6) (λ + µ )x = λ x + µ x , ∀ x ∈ V , ∀ λ , µ ∈ ℝ ; • Tập Pn [x ] các đa thức có bậc không quá n : 4) x + y = y + x , ∀ x , y ∈ V ; 7) (λµ )x = λ ( µ x ), ∀ x ∈ V , ∀ λ , µ ∈ ℝ ; 8) 1.x = x , ∀ x ∈ V Trong đó, θ ∈ V được gọi là vector không Toán cao cấp A2 Đại học {p(x ) = an x n + + a1x + a 0 , ai ∈ ℝ, i = 0, ,... Với biến mới thì Q = y + Q1(y2 , , yn ) a11 1 • Bước 2 Tiếp tục làm như bước 1 cho Q1(y2 , , yn ), … Sau k bước thì Q có dạng chính tắc Ma trận đổi biến P = P1 Pk và [x ] = P[y ] b) Trường hợp 2 (hệ số aii = 0, i = 1, , n ) Giả sử a12 ≠ 0 , ta đổi biến: x 1 = y1 + y2 , x 2 = y1 − y2 , x i = yi (i = 3, , n ) Khi đó, Q = 2a12 y12 − 2a12 y22 + có hệ số của y12 là 2a12 ≠ 0 Ta trở lại trường hợp 1 Chương... − 8x 1x 2 Dùng thuật toán Lagrange với ma trận đổi biến 1 0 P = , ta đưa f về dạng chính tắc là: − 2 1 A f (y1, y2 ) = 2y12 − y22 ; B f (y1, y2 ) = −2y12 + y22 ; C f (y1, y2 ) = y12 − 2y22 ; D f (y1, y2 ) = −y12 + 2y22 VD 11 Dùng thuật toán Lagrange đưa DTP sau về dạng chính tắc và tìm ma trận đổi biến P : Q(x ) = −x 22 + 4x 32 + 2x 1x 2 + 4x 1x 3 Toán cao cấp A2 Đại học Chương... (characteristic polynomial) của A và phương trình PA(λ) = 0 được gọi là phương trình đặc trưng của A Toán cao cấp A2 Đại học VD 16 Cho PBĐTT f (x ; y ) = (x + y; x − 2y ) Dùng thuật toán tìm [ f ]B , với B = {(2; 1), (1; −1)} ? VD 17 Cho AXTT f : ℝ 3 → ℝ 2 có biểu thức: f (x ; y; z ) = (x + y − z ; x − y + z ) Dùng thuật toán tìm ma trận của f trong cặp cơ sở: B = {(1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 0; 1)} và B ′ = {(2;... D1 D2 Dn −1 VD 13 Dùng thuật toán Jacobi đưa DTP sau về dạng chính tắc: Q(x ) = 2x 12 + x 22 + x 32 + 3x 1x 2 + 4x 1x 3 Toán cao cấp A2 Đại học Chương 5 Dạng song tuyế tuyến tính – Toà Toàn phương Vậy dạng chính tắc của Q là: Q(u ) = 2u12 − 2u22 + 6u 32 Ma trận đổi biến là: 1 1 3 P = P1P2P3 = 1 −1 −1 1 0 0 Nhận xét Do cách đổi biến trong thuật toán Lagrange có thể khác nhau ... định nghĩa: Nếu A = (a11 ) det A = a11 a a Nếu A = 11 12 detA = a11 a 22 − a12 a21 a21 a 22 Nếu A = (aij )n (cấp n ≥ ) thì: det A = a11 A11 + a12 A12 + + a1n A1n đó, Aij = (−1)i... toán Lagrange Xét dạng toàn phương: Đổi biến ngược: x1 = (y − a12 y2 − − a1nyn ), x i = yi i = 2, n a11 − a12 − a1n a11 a11 Ta có ma trận P1 = ... det A = a1 j A1 j + a j A2 j + + anj Anj = ∑ aij Aij i =1 Chương Ma trậ trận – Định thứ thức Chương Ma trậ trận – Định thứ thức Các kết đặc biệt cần nhớ 1) Dạng tam giác a11 a12 a1n a11 VD
Ngày đăng: 26/11/2015, 17:20
Xem thêm: BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP a1, BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP a1
