1 GI˛I HẠN LIÊN TỤC 4 1 Giới h⁄n d¢y sŁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1 Mºt sŁ định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Định nghĩa giới h⁄n cıa d¢y sŁ : . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 C¡c định l‰ v• giới h⁄n cıa d¢y : . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 C¡c v‰ dụ v• giới h⁄n cıa d¢y sŁ : . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Giới h⁄n hàm sŁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1 Định nghĩa giới h⁄n hàm sŁ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Mở rºng kh¡i ni»m giới h⁄n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 T‰nh ch§t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 Mºt sŁ giới h⁄n hàm sŁ cơ b£n . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Vô cùng b† Vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1 Vô cùng b†. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4 Hàm sŁ li¶n tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.1 C¡c định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2 C¡c t‰nh ch§t cıa hàm li¶n tục . . . . . . . . . . . . . . . 18 5 Bài t“p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM M¸T BIẾN 31 1 Đ⁄o hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.1 Đ⁄o hàm cıa hàm sŁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.2 Đ⁄o hàm tłng ph‰a: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3 Đ⁄o hàm vô h⁄n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4 Đ⁄o hàm cıa hàm hæp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.5 Đ⁄o hàm cıa hàm ngưæc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.6 Đ⁄o hàm cıa hàm phụ thuºc tham sŁ . . . . . . . . . . . . 34 1.7 Đ⁄o hàm cıa hàm n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.8 Li¶n h» giœa đ⁄o hàm và t‰nh li¶n tục . . . . . . . . . . . . 34 1.9 C¡c quy t›c t‰nh đ⁄o hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.10 C¡c đ⁄o hàm cơ b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 iĐH C˘NG NGHIỆP TP. HCM 2016 1.11 Đ⁄o hàm c§p cao cıa hàm sŁ . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 Vi ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1 Vi ph¥n c§p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Vi ph¥n c§p cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3 C¡c định lý v• hàm kh£ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4 T‰nh đơn đi»u cıa hàm sŁ Cực trị địa phương . . . . . . . . . . . . 38 4.1 T‰nh đơn đi»u cıa hàm sŁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 Cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3 Gi¡ trị MaxMin. Lồi, lªm, đi”m uŁn . . . . . . . . . . . . . 40 5 Quy t›c L’hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.1 Áp dụng quy t›c L’Hospital đ” khß c¡c d⁄ng vô định kh¡c. 43 6 Khai tri”n Taylor Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.1 Công thøc Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.2 Khai tri”n Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7 Bài t“p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM M¸T BIẾN 54 1 T‰ch ph¥n b§t định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.1 Nguy¶n hàm và t‰ch ph¥n b§t định . . . . . . . . . . . . . . 54 1.2 T‰nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.3 B£ng c¡c t‰ch ph¥n cơ b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 1.4 Hai phương ph¡p t‰ch ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2 T‰ch ph¥n mºt vài lớp hàm cơ b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.1 T‰ch ph¥n hàm sŁ hœu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2 T‰ch ph¥n c¡c hàm sŁ lưæng gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.3 T‰ch ph¥n c¡c hàm vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3 T‰ch ph¥n x¡c định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1 Định nghĩa, t‰nh ch§t t‰ch ph¥n x¡c định . . . . . . . . . . 61 3.2 Công thøc Newton – Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4 Ứng dụng cıa t‰ch ph¥n x¡c định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.1 Di»n t‰ch h…nh thang cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2 Di»n t‰ch h…nh qu⁄t cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.3 Đº dài đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.4 Th” t‰ch v“t trÆn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.5 Di»n t‰ch mặt trÆn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5 T‰ch ph¥n suy rºng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.1 T‰ch ph¥n suy rºng lo⁄i 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.2 T‰ch ph¥n suy rºng lo⁄i 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6 Bài t“p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 iiĐH C˘NG NGHIỆP TP. HCM 2016 4 CHUỖI S¨ 99 1 ChuØi sŁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 1.2 C¡c t‰nh ch§t cıa chuØi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2 ChuØi sŁ dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.2 C¡c ti¶u chun hºi tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3 ChuØi có d§u thay đŒi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4 ChuØi hºi tụ tuy»t đŁi và chuØi b¡n hºi tụ . . . . . . . . . . . . . . 104 5 ChuØi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.1 ChuØi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.2 ChuØi hàm hºi tụ đ•u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.3 ChuØi lũy thła . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.4 Kho£ng hºi tụ, b¡n k‰nh hºi tụ . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6 Bài t“p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Tài li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 iiiChương 1 GI˛I H
ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Ths Ngơ Quốc Nhàn BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP A1 Hệ Đại Học Ngành: Thời lượng giảng dạy: 45 tiết TP.HỒ CHÍ MINH-2016 LƯU HÀNH NỘI BỘ Mục lục GIỚI HẠN- LIÊN TỤC Giới hạn dãy số 1.1 Một số định nghĩa 1.2 Định nghĩa giới hạn dãy số : 1.3 Các định lí giới hạn dãy : 1.4 Các ví dụ giới hạn dãy số : Giới hạn hàm số 2.1 Định nghĩa giới hạn hàm số 2.2 Mở rộng khái niệm giới hạn 2.3 Tính chất 2.4 Một số giới hạn hàm số Vô bé- Vô lớn 3.1 Vô bé 3.2 Vô lớn Hàm số liên tục 4.1 Các định nghĩa 4.2 Các tính chất hàm liên tục Bài tập 4 5 10 10 10 11 12 13 13 15 16 16 18 18 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Đạo hàm 1.1 Đạo hàm hàm số 1.2 Đạo hàm phía: 1.3 Đạo hàm vô hạn 1.4 Đạo hàm hàm hợp 1.5 Đạo hàm hàm ngược 1.6 Đạo hàm hàm phụ thuộc tham số 1.7 Đạo hàm hàm ẩn 1.8 Liên hệ đạo hàm tính liên tục 1.9 Các quy tắc tính đạo hàm 1.10 Các đạo hàm 31 31 31 32 33 33 33 34 34 34 34 35 i ĐH CÔNG NGHIỆP TP HCM 2016 1.11 Đạo hàm cấp cao hàm số Vi phân 2.1 Vi phân cấp 2.2 Vi phân cấp cao Các định lý hàm khả vi Tính đơn điệu hàm số- Cực trị địa phương 4.1 Tính đơn điệu hàm số 4.2 Cực trị 4.3 Giá trị Max-Min Lồi, lõm, điểm uốn Quy tắc L’hospital 5.1 Áp dụng quy tắc L’Hospital để khử dạng vô định khác Khai triển Taylor- Maclaurin 6.1 Công thức Taylor 6.2 Khai triển Maclaurin Bài tập PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN Tích phân bất định 1.1 Nguyên hàm tích phân bất định 1.2 Tính chất 1.3 Bảng tích phân 1.4 Hai phương pháp tích phân Tích phân vài lớp hàm 2.1 Tích phân hàm số hữu tỷ 2.2 Tích phân hàm số lượng giác 2.3 Tích phân hàm vơ tỷ Tích phân xác định 3.1 Định nghĩa, tính chất tích phân xác định 3.2 Công thức Newton – Leibnitz Ứng dụng tích phân xác định 4.1 Diện tích hình thang cong 4.2 Diện tích hình quạt cong 4.3 Độ dài đường cong 4.4 Thể tích vật tròn xoay 4.5 Diện tích mặt tròn xoay Tích phân suy rộng 5.1 Tích phân suy rộng loại 5.2 Tích phân suy rộng loại Bài tập ii 35 36 36 37 38 38 38 39 40 42 43 43 43 44 45 54 54 54 54 55 55 56 56 58 60 61 61 62 63 63 64 65 66 66 67 67 70 73 ĐH CÔNG NGHIỆP TP HCM CHUỖI SỐ Chuỗi số 1.1 Định nghĩa 1.2 Các tính chất chuỗi Chuỗi số dương 2.1 Định nghĩa 2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ Chuỗi có dấu thay đổi Chuỗi hội tụ tuyệt đối chuỗi bán hội tụ Chuỗi hàm 5.1 Chuỗi hàm 5.2 Chuỗi hàm hội tụ 5.3 Chuỗi lũy thừa 5.4 Khoảng hội tụ, bán kính hội tụ Bài tập Tài liệu tham khảo iii 2016 99 99 99 99 100 100 101 103 104 104 104 104 105 106 108 124 Chương GIỚI HẠN- LIÊN TỤC Giới hạn dãy số 1.1 Một số định nghĩa Định nghĩa 1.1 ( Định nghĩa dãy số.) hàm f : N → R có f (n) = xn , giá trị x1 , x2 , xn lập thành dãy số, xn gọi số hạng tổng quát dãy Kí hiệu dãy số {xn } = {x1 , x2 , , xn , } Thí dụ 1.1 {xn = n!} = {1, 1.2, 1.2.3, } 2n 1 1 , , , , , 2n = Định nghĩa 1.2 ( Dãy đơn điệu) + xn dãy tăng (giảm) ∀n : xn < xn+1 (xn > xn+1 ) + xn không giảm (không tăng) ∀n : xn ≤ xn+1 (xn ≥ xn+1 ) Định nghĩa 1.3 ( Dãy bị chặn ) i) xn bị chặn ∃M ∈ R : xn ≤ M, ∀n ii) xn bị chặn ∃A > : |xn | < A Thí dụ 1.2 2n n+1 dãy tăng (vì xn +1 xn n < 1) (−1) sin 2n 1+n bị chặn |xn | ≤ ĐH CƠNG NGHIỆP TP HCM 2016 Định nghĩa 1.4 ( Dãy Cauchy) xn dãy Cauchy ⇔ ∀ε > 0, ∃N > : ∀m, n > N ⇒ |xn − xm | < ε 1.2 Định nghĩa giới hạn dãy số : Định nghĩa 1.5 Số a gọi giới hạn dãy {xn } ∀ε > cho trước bé tùy ý, tìm số N(ε) cho ∀n ≥ N thỏa bất đẳng thức |xn − a| < ε lim xn = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N (ε) : ∀n > N ⇒ |xn − a| < ε n→∞ Thí dụ 1.3 xn = n n+1 , lim xn = Thật |xn − 1| = |xn − 1| < ε ⇔ n > |xn − 1| < ε ε n −1 = n+1 n+1 − Do chọn N > ε − Khi ∀n > N ⇒ Chú thích Một dãy gọi hội tụ giới hạn hữu hạn, ngược lại gọi dãy phân kì Định nghĩa 1.6 lim xn = ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N > : ∀n > N ⇒ |xn | > M Thí dụ 1.4 {xn = (−2n )} , lim xn = ∞ Vì |xn | = | − (2)n | = 2n , |xn | > M ⇔ 2n > M ⇔ n > log2 M Do cần chọn N > [log2 M ] n > N ⇒ |xn | > M 1.3 Các định lí giới hạn dãy : Định lý 1.1 Dãy hội tụ bị chặn Định lý 1.2 Cho dãy xn , yn , zn - Nếu xn ≤ yn , ∀n ⇒ lim xn ≤ lim yn n→∞ n→∞ - Nếu xn ≤ yn ≤ zn , ∀n lim xn = lim zn = a ⇒ lim yn = a n→∞ n→∞ n→∞ Định lý 1.3 Nếu xn , yn hội tụ dãy xn ± yn , xn yn , tụ xn yn , yn = hội ĐH CÔNG NGHIỆP TP HCM 2016 i) lim (xn + yn ) = lim xn + lim yn n→∞ n→∞ n→∞ ii) lim xn yn = lim xn lim yn iii) lim xynn = n→∞ lim xn n→∞ n→∞ lim yn n→∞ Hệ lim kxn = k lim xn (k ∈ R) n→∞ n→∞ Định lý 1.4 Mọi dãy đơn điệu có giới hạn, dãy đơn điệu, bị chặn ⇒hội tụ Định lý 1.5 Dãy hội tụ dãy Cauchy Thí dụ 1.5 n {xn } = (−1) khơng phải dãy Cauchy nên không hội tụ Thật : Chọn ε = 1, ∀N > 0, m = n + ⇒ |xm − xn | = (−1) n+1 n − (−1) =2> ε Thí dụ 1.6 n {xn } = i=1 cos i i2 dãy Cauchy nên hội tụ Thật , chọn N = 1ε , ∀n, m > N (m > n) |xm − xn | = cos (n + 1) (n + 1) ≤ = + cos(n + 2) (n + 2) + + cos m 1 ≤ + +, + 2 2 m m (n + 1) (n + 2) 1 + + + n (n + 1) (n + 1) (n + 2) m(m − 1) 1 − n n+1 1 + + − n+1 n+2 1 1 < − < < =ε n m n N + 1 − m+1 m ĐH CÔNG NGHIỆP TP HCM 1.3.1 2016 Số e n Xét dãy số + n1 Sử dụng nhị thức Newton 1+ n n =1+1+ 1 1 1− + 1− 1− + + 2! n 3! n n 1 n−1 1− 1− − n! n n n (1.1) s , nên un < un+1 Vì − ns < − n−1 Vậy dãy tăng Mặt khác, ta có:1 − ns < 1, n!1 ≤ 2n−1 , = 1, 2, 1 1 1 un < + 2! + 3! + + n! ≤ + + + + 2n−1 1 = − 2n−1 1000 ĐH CÔNG NGHIỆP TP HCM 2016 19 hay 3(9n+4) > 1000 Do n < 18988 27 = 703 27 Vậy số dãy nằm khoảng L x1 , x2 , , x703 Thí dụ 1.9 Tính giới hạn sau : a) 3n2 +5n+4 2+n2 ; n→∞ lim 1+22 +32 + +n2 ; 5n3 +n+1 n→∞ 3n2 +n−2 lim 4n +2n+7 n→∞ b) lim c) Giải : a) Ta có xn = 3n2 +5n+4 2+n2 = 3+ n5 + n42 +1 n2 : lim xn = (3+ n5 + n42 ) =3 lim ( +1) n→∞ n2 lim n→∞ n→∞ b) Ta có + 22 + 32 + + n2 n (n + 1) (2n + 1) 2n3 + 3n2 + n xn = = = 5n3 + n + 5n3 + n + 5n3 + n + Do : lim xn = 16 25 = n→∞ + n3 + n12 xn = + n12 + n13 15 c) Ta có xn = 3n2 + n − 4n2 + 2n + Do : lim xn = n→∞ lim 3+ n1 − n22 n→∞ 4+ n + n2 = 3+ 4+ = 3 = 27 64 Thí dụ 1.10 Tìm giới hạn dãy số xn sau : √ √ 2n + − n − √ b) xn = n2 n − n2 + √ c) xn = n2 − n3 + n a) xn = d) xn = √ √ n2 +1+ n √ √ n +n− n n n − + n2 n2 ĐH CÔNG NGHIỆP TP HCM 2016 Giải : √ √ a) Khi n → ∞, xn = 2n + − n − 1, (∞ − ∞) Muốn khử dạng vô định này, ta biến√đổi: √ √ √ ( 2n+3−√ n−1)( √2n+3− n−1) (2n+3)−(n−1) √ xn = =√ = 2n+3− n−1 2n+3− n−1 n+4 √ √ 2n+3− n−1 1+ n4 Do : lim xn = lim n→∞ n + n2 + n→∞ 1 n − n2 = +∞ b) xn = n2 n − n2 + = n2 √ n − n2 + = −n2 Do : n lim xn = − lim n→∞ √ √ n2 + n − n2 + √ n − n2 + n− n→∞ 1+ = −∞ 1+ n2 √ c) Ta có n2 − n3 = n3 n1 − → −∞ n → ∞, xn = n2 − n3 + n √ có dạng ∞−∞ Nhân chia xn với lượng liên hợp n2 − n3 +n, ta : √ √ √ n2 − n3 + n n2 − n n2 − n3 + n2 − n3 xn = √ √ n2 − n n2 − n3 + n2 − n3 = n2 √ n2 − n n2 − n3 + √ n2 − n3 = 1− n −1+ n −1 Do : lim xn = lim n→∞ n→∞ 1− n −1+ n −1 = 1 = 1+1+1 d) Ta có √ √ n n2 + + n xn = √ √ = n3 + n − n n4 1+ 1+ n2 n2 n + − n = √ 1+ n2 + 1+ n2 − n n n ĐH CÔNG NGHIỆP TP HCM ∞ 2016 n4 +2n2 +1 (n+2)nα−3 (α Câu 424 Cho chuỗi n=1 tham số) hội tụ khi: B α ≥ D α > A α > C α ≥ ∞ Câu 425 Cho chuỗi n=1 n3 +3 (n+1)(nα +1) (α tham số) Mệnh đề sau đúng? A Chuỗi hội tụ α > B Chuỗi hội tụ α ≥ C Chuỗi hội tụ α > D Chuỗi luôn phân kỳ +∞ Câu 426 Chuỗi A − 12 < q < C q > 12 n=1 n (n+1)(2q)n (q tham số khác 0) hội tụ khi: B q < − 21 D q < − 21 hay q > 21 ∞ Câu 427 Cho chuỗi n=1 n2 +A n3 n (A tham số ) Mệnh đề sau đúng? A Chuỗi hội tụ −1 < A < B Nếu −1 < A < chuỗi phân kỳ C Chuỗi hội tụ A = D Chuỗi hội tụ với A ∈ R ∞ Câu 428 Cho chuỗi p2n + (1 + q) 2n (p, q tham số) hội tụ n=1 khi: A −1 < p < C −1 ≥ p ≥ − ≥ q ≥ ∞ Câu 429 Cho chuỗi n=1 A B C D (A tham số) Mệnh đề sau đúng? Nếu |A| > chuỗi phân kỳ Chuỗi hội tụ −1 < A < Chuỗi luôn hội tụ với A Chuỗi luôn phân kỳ với A ∞ Câu 430 Cho chuỗi n=1 A B C D An3 +1 2n B −2 < q < D −1 < p < − < q < p(n2 −4) 2n (p tham số) Mệnh đề sau đúng? Nếu |p| > chuỗi phân kỳ Chuỗi hội tụ −2 < p < Chuỗi luôn hội tụ với p Chuỗi luôn phân kỳ với p > 110 ĐH CÔNG NGHIỆP TP HCM ∞ (p2 −3)n2 3n Câu 431 Cho chuỗi n=1 A B C D 2016 (p tham số) Mệnh đề sau đúng? Nếu |p| > chuỗi phân kỳ Chuỗi hội tụ −2 < p < Chuỗi luôn hội tụ với p Chuỗi luôn phân ky với |p| > ∞ Câu 432 Bằng cách so sánh với chuỗi ∞ A Chuỗi n=1 ∞ B Chuỗi n=1 ∞ C Chuỗi n=1 ∞ D Chuỗi n=1 n=1 n+1 n2 +1 phân kỳ ∞ A Chuỗi n=1 ∞ C Chuỗi n=1 n=1 B Chuỗi n2 +3n+1 n4 +1 n=1 ∞ D Chuỗi phân kỳ n=1 ∞ ∞ n=1 ∞ C Chuỗi n=1 n=1 n+1 n2 +ln n 2n+1 √ n n3 +1 n=1 ∞ D Chuỗi n=1 n=1 ∞ B Chuỗi n=1 ∞ C Chuỗi n=1 ∞ D Chuỗi n=1 n=1 2n+1 n2 +8 phân kỳ 3n √ +3 n3 +1) n2 ( 2n+1 5n4 +2 ∞ phân kỳ phân kỳ phân kỳ (−1)n (2n+1) √ n( n2 +1) hội tụ tuyệt đối 111 nα n+1 √ n( n+1) hội tụ 10n2√ +2n+1 n2 ( n+1) phân kỳ Kết luận sau đúng? B Chuỗi ∞ A Chuỗi nα hội tụ Câu 435 Bằng cách so sánh với chuỗi ∞ ∞ hội tụ Câu 434 Bằng cách so sánh với chuỗi A Chuỗi kết luận sau đúng? hội tụ 2n+1 √ n( n3 +1) 5n+1 n2 +1 nα hội tụ Câu 433 Bằng cách so sánh với chuỗi ∞ phát biểu sau đúng? hội tụ √n+3 n( n3 +1) 2n+1 5n2 +1 nα 2n+1 5n2 +1 hội tụ n+3 n3 +ln(n+1) hội tụ Phát biểu sau đúng? ĐH CÔNG NGHIỆP TP HCM 2016 ∞ Câu 436 Bằng cách so sánh với chuỗi ∞ A Chuỗi n=1 ∞ B Chuỗi n=1 ∞ C Chuỗi n=1 ∞ D Chuỗi n=1 n=1 2n+1 √ n2 n+8 3n √ +3 n3 +1) phân kỳ phân kỳ (−1)n (3n+1) √ n( n4 +1) hội tụ tuyệt đối ∞ Câu 437 Bằng cách so sánh với chuỗi ∞ A Chuỗi n=1 ∞ B Chuỗi n=1 ∞ C Chuỗi n=1 ∞ D Chuỗi n=1 n=1 n2 +5 2n3 +n2 +n+12 √ 3n+5 n( 2n3 +3−2) n+3 3n4 +2n+1 phân kỳ (−1)n (n+1) √ n( 2n2 +2+3) hội tụ tuyệt đối n=1 ∞ B Chuỗi n=1 ∞ C Chuỗi n=1 ∞ n=1 n2 +5 n3 +1 √ 3n+5 n( 2n2 +3−2) n+3 3n4 +2n+1 n n=1 phân kỳ √ n+1 n( 2n2 +2+3) hội tụ tuyệt đối ∞ ∞ n=1 ∞ B Chuỗi n=1 ∞ C Chuỗi n=1 phát biểu sau đúng? phân kỳ Câu 439 Bằng cách so sánh với chuỗi A Chuỗi nα phân kỳ (−1) D Chuỗi phát biểu sau đúng? phân kỳ ∞ ∞ nα phân kỳ Câu 438 Bằng cách so sánh với chuỗi A Chuỗi phát biểu sau đúng? phân kỳ n2 ( 2n2 +1 5n3 +2 nα , n=1 2n+1 √ n2 n+8 phân kỳ 3n √ +3 n3 +1) n2 ( 2n2 +1 5n3 +2 phân kỳ phân kỳ 112 nα phát biểu sau đúng? ĐH CÔNG NGHIỆP TP HCM ∞ D Chuỗi n=1 (−1)n (3n+1) √ n( n4 +1) 2016 hội tụ không hội tụ tuyệt đối ∞ Câu 440 Bằng cách so sánh với chuỗi ∞ A Chuỗi n=1 ∞ B Chuỗi n=1 ∞ C Chuỗi n=1 ∞ n=1 n3 +n2 4n4 +n3 +1 (−1) D Chuỗi n n=1 hội tụ phân kỳ √ n+3 n( n2 +1+2) hội tụ tuyệt đối ∞ Câu 441 Bằng cách so sánh với chuỗi ∞ A Chuỗi n=1 ∞ B Chuỗi n=1 ∞ C Chuỗi n=1 ∞ D Chuỗi n=1 n=1 3n+1 n2 +8n nα phát biểu sau đúng? hội tụ 3n √ −3 n2 ( n3 +1) 2n+1 5n3 +2 phát biểu sau đúng? phân kỳ √ 5n+12 n( 15n2 +45+1) 8n2 +1 n4 +n+2 nα , phân kỳ phân kỳ (−1)n (2n+1) √ n( n2 +1) hội tụ không hội tụ tuyệt đối Câu 442 Cho chuỗi có số hạng tổng quát:un = √n+1 (2) Kết luận sau đúng? n5 +2 A Chuỗi (1) phân kỳ, chuỗi (2) hội tụ B Chuỗi (1) hội tụ, chuỗi (2) phân kỳ C Chuỗi (1) (2) hội tụ D Chuỗi (1) (2) phân kỳ ∞ Câu 443 Cho chuỗi n=1 2n (1 √ n+1 (1) n4 +2n3 +1 = + αn )n (α tham số) Mệnh đề sau đúng? A Chuỗi hội tụ −1 < α < B Chuỗi phân kỳ −1 ≥ α ≥ C Chuỗi luôn phân kỳ D Chuỗi luôn hội tụ ∞ ∞ (2) thỏa un ≥ , ∀n Mệnh un (1) Câu 444 Cho hai chuỗi số dương n=1 đề sau đúng? 113 n=1 ĐH CÔNG NGHIỆP TP HCM A B C D 2016 Nếu chuỗi (1) hội tụ chuỗi (2) hội tụ Nếu chuỗi (1) phân kỳ chuỗi (2) phân kỳ Chuỗi (1) hội tụ chuỗi (2) hội tụ Các mệnh đề sai ∞ ∞ un Câu 445 Cho hai chuỗi số dương n=1 un n→∞ vn thỏa lim n=1 = k (k ∈ R) Trong điều kiện sau hai chuỗi đồng thời hội tụ hay phân kỳ? A k < B k > C k < D k < ∞ ∞ un (1) Câu 446 Cho hai chuỗi số dương n=1 un n→∞ un (2) thỏa lim n=1 = Mệnh đề sau đúng? A Nếu chuỗi (1) hội tụ chuỗi (2) hội tụ B Nếu chuỗi (1) phân kỳ chuỗi (2) phân kỳ C Chuỗi (1) hội tụ chuỗi (2) hội tụ D Các mệnh đề sai ∞ ∞ un (1) Câu 447 Cho hai chuỗi số dương n=1 un n→∞ vn (2) thỏa lim n=1 = +∞ Mệnh đề sau đúng? A Nếu chuỗi (1) hội tụ chuỗi (2) hội tụ B Nếu chuỗi (1) phân kỳ chuỗi (2) phân kỳ C Chuỗi (1) hội tụ chuỗi (2) hội tụ D Các mệnh đề sai ∞ Câu 448 Cho chuỗi n=1 A B C D (α tham số) Mệnh đề sau đúng? Chuỗi hội tụ α > Chuỗi hội tụ α > Chuỗi hội tụ α < Chuỗi luôn hội tụ ∞ Câu 449 Cho chuỗi n=1 A B C D n2 n4 +nα +1 n3 n4 +nα +1 (α tham số) Mệnh đề sau đúng? Chuỗi hội tụ α > Chuỗi hội tụ α > Chuỗi hội tụ α ≥ Chuỗi luôn phân kỳ ∞ Câu 450 Cho chuỗi n=1 n4 +nα +3 n5 (α tham số) Mệnh đề sau đúng? A Chuỗi hội tụ α < 114 ĐH CÔNG NGHIỆP TP HCM 2016 B Chuỗi hội tụ α ≥ C Chuỗi hội tụ α > D Chuỗi luôn phân kỳ ∞ Câu 451 Cho chuỗi n=1 n4 +2nα +3 n6 (α tham số) Mệnh đề sau đúng? A Chuỗi hội tụ α < B Chuỗi hội tụ α ≥ C Chuỗi hội tụ α > D Chuỗi luôn hội tụ ∞ n n6 +2n2 +1 (n+2)nα (−1) Câu 452 Cho chuỗi n=1 (α tham số) hội tụ khi: A α > C α ≤ B α > D α ≤ ∞ Câu 453 Cho chuỗi n=1 A B C D ∞ n=1 α.n3 ! n4 (α tham số) Mệnh đề sau đúng? Chuỗi hội tụ α = Chuỗi phân kỳ α = Chuỗi luôn phân kỳ với α Chuỗi luôn hội tụ với α ∞ Câu 455 Cho chuỗi n=1 A B C D (α tham số) Mệnh đề sau đúng? Chuỗi hội tụ α = Chuỗi phân kỳ α = Chuỗi luôn phân kỳ với α Chuỗi luôn hội tụ với α Câu 454 Cho chuỗi A B C D αn3 +2n (n+1)! α(n4 +1) n! (α tham số) Mệnh đề sau đúng? Chuỗi hội tụ α = Chuỗi phân kỳ α = Chuỗi luôn phân kỳ với α Chuỗi luôn hội tụ với α ∞ Câu 456 Cho chuỗi n=1 n+3 (n2 +1)(nα +1) (α tham số) Mệnh đề sau đúng? A Chuỗi hội tụ α > B Chuỗi hội tụ α ≥ C Chuỗi hội tụ α > D Chuỗi ln ln hội tụ 115 ĐH CƠNG NGHIỆP TP HCM ∞ Câu 457 Cho chuỗi n=1 A B C D 2n +q n +1 3n 2016 (q tham số) Mệnh đề sau đúng? Chuỗi hội tụ −1 < q < Chuỗi hội tụ −3 < q < Chuỗi hội tụ − 31 < q < 13 Chuỗi luôn hội tụ ∞ Câu 458 Cho chuỗi n=1 An2 +2n+1 n! (A tham số) Mệnh đề sau đúng? A Nếu −1 < A < chuỗi phân kỳ B Chuỗi hội tụ −1 < A < C Chuỗi luôn hội tụ D Chuỗi luôn phân kỳ ∞ Câu 459 Cho chuỗi dương un , phát biểu sau đúng? n=1 √ A Nếu lim n un < chuỗi hội tụ n→∞ un +1 n→∞ un lim un +1 n→∞ un B Nếu lim > chuỗi phân kỳ C Nếu = chuỗi hội tụ phân kỳ D Các phát biểu ∞ n=1 đúng? A Nếu B Nếu C Nếu D Các n An2 +2n+1 3n2 +2 Câu 460 Cho chuỗi (A tham số) Mệnh đề sau −3 < A < chuỗi hội tụ −4 < A < chuỗi hội tụ −2 < A < chuỗi phân kỳ mệnh đề sai ∞ Câu 461 Cho chuỗi n=1 An2 n3 +A n (A tham số dương) Mệnh đề sau đúng? A Chuỗi hội tụ −1 < A < B Nếu -1< A < chuỗi phân kỳ C Chuỗi hội tụ A = D Chuỗi hội tu với A ∈ R ∞ Câu 462 Cho chuỗi n=1 α2n (1 + n1 ) (α tham số dương) Mệnh đề sau đúng? A Chuỗi hội tụ α = 116 ĐH CÔNG NGHIỆP TP HCM 2016 B Chuỗi phân kỳ α = C Chuỗi luôn phân kỳ D Chuỗi luôn hội tụ ∞ Câu 463 Cho chuỗi n=1 n n2 +2n+1 An2 +2 (A tham số) Mệnh đề sau đúng? A Nếu −1 < A < chuỗi hội tụ B Nếu −1 < A < chuỗi hội tụ C Nếu −2 < A < chuỗi phân kỳ D Các mệnh đề sai ∞ Câu 464 Cho chuỗi n=1 A B C D n n 3n2 +A (A tham số ) Mệnh đề sau đúng? Nếu A > chuỗi phân kỳ Chuỗi phân kỳ −1 < A < Chuỗi hội tụ với A ∈ R Chuỗi phân kỳ với A ∈ R ∞ un Giả sử lim Câu 465 Cho chuỗi số dương n→∞ n=1 sau chuỗi hội tụ? A < C < C C < ∞ un Giả sử lim n=1 sau chuỗi hội tụ? A < D < C D < ∞ n=1 A B C D nα 2n (α = C Trong điều kiện B C ≤ D C > Câu 466 Cho chuỗi số dương Câu 467 Cho chuỗi un +1 un n→∞ un +1 un = D Trong điều kiện B D ≤ D D > tham số ) Mệnh đề sau đúng? Chuỗi hội tụ α < Chuỗi hội tụ α ≤ −1 Chuỗi hội tụ α < −3 Chuỗi luôn hội tụ ∞ Câu 468 Chuỗi 3.(q − 1)2n (q tham số ) hội tụ khi: √ n=1 B q > A < q < C −1 < q < D q = 117 ĐH CÔNG NGHIỆP TP HCM 2016 ∞ Câu 469 Chuỗi (q +1)n (q tham số ) hội tụ khi: √ n=1 A < q < B q > C −1 < q < D q = ∞ Câu 470 Cho chuỗi n=1 A B C D 2n nα (α tham số ) Mệnh đề sau đúng? Chuỗi hội tụ α > Chuỗi hội tụ α ≥ Chuỗi hội tụ α > Chuỗi luôn phân kỳ ∞ Câu 471 Chuỗi n=1 − n sin n1 α (α tham số ) hội tụ khi: A α > 12 C α > B α ≥ D α ≥ ∞ Câu 472 Chuỗi n=1 (−1)n nα (α tham số ) hội tụ tuyệt đối khi: B α ≥ D α ≥ A α > C α > ∞ Câu 473 Chuỗi n=1 (−1)n n+A2 (A tham số ) hội tụ khi: B A ≥ D A tùy ý A A > C A > ∞ Câu 474 Chuỗi n=1 (−1)n n2 +A2 (A tham số ) , hội tụ tuyệt đối khi: B A ≥ D A tùy ý A A > C A > ∞ Câu 475 Cho chuỗi n=1 (−1)n 3n−1 Phát biểu sau đúng? A Chuỗi đan dấu hội tụ chuỗi hội tụ tuyêt đối theo tiêu chuẩn D’Alembert B Chuỗi đan dấu hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz C Chuỗi đan dấu hội tụ chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn Cauchy D Các phát biểu ∞ Câu 476 Chuỗi n=1 (−1)n lnn (n+1) (α tham số ) hội tụ khi: B α ≥ D α ≥ A α > C α > 118 ĐH CÔNG NGHIỆP TP HCM ∞ Câu 477 Xét chuỗi đan dấu n=1 A B C D ∞ n=1 ∞ n=1 Phát biểu sau đúng? (−1)n (n2 +1) n3 +2 Phát biểu sau đúng? Chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn D’Alembert Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz Chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn Cauchy Các phát biểu sai ∞ Câu 480 Cho chuỗi đan dấu n=1 A B C D (−1)n n 2n2 −1 Chuỗi hội tụ tuyêt đối theo tiêu chuẩn D’Alembert Chuỗi hội tụ tuyêt đối theo tiêu chuẩn Leibnitz Chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn Cauchy Các phát biểu sai Câu 479 Xét chuỗi đan dấu A B C D Phát biểu sau đúng? Chuỗi hội tụ tuyêt đối theo tiêu chuẩn D’Alembert Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz Chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn Cauchy Các phát biểu Câu 478 Xét chuỗi đan dấu A B C D (−1)n 3n+1 2016 (−1)n nn Phát biểu sau đúng? Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz Chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn D’Alembert Chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn Cauchy Các phát biểu +∞ Câu 481 Cho chuỗi đan dấu n=1 +1 (−1)n n52n +4n+2 Phát biểu sau đúng? A Chuỗi phân kỳ B Chuỗi hội tụ không hội tụ tuyệt đối C Chuỗi hội tụ tuyệt đối không hội tụ D Chuỗi hội tụ tuyệt đối ∞ Câu 482 Cho chuỗi n=1 A B C D (−1)n n+2 Mệnh đề sau đúng? Chuỗi hội tụ không hội tụ tuyệt đối Chuỗi hội tụ tuyệt đối Chuỗi phân kỳ Các khẳng định sai ∞ Câu 483 Cho chuỗi n=1 (−1)n √ n n+2 Mệnh đề sau đúng? A Chuỗi hội tụ khơng hội tụ tuyệt đối 119 ĐH CƠNG NGHIỆP TP HCM 2016 B Chuỗi hội tụ tuyệt đối C Chuỗi phân kỳ D Các khẳng định sai ∞ Câu 484 Cho chuỗi n=1 A B C D Chuỗi phân kỳ Chuỗi hội tụ không hội tụ tuyệt đối Chuỗi hội tụ tuyệt đối không hội tụ Chuỗi hội tụ tuyệt đối ∞ Câu 485 Cho chuỗi n=1 A B C D n (−1)n arctan n+1 , Mệnh đề sau đúng? n (−1)n arctan 2n3+1 , Mệnh đề sau đúng? Chuỗi phân kỳ Chuỗi hội tụ không hội tụ tuyệt đối Chuỗi hội tụ tuyệt đối không hội tụ Chuỗi hội tụ tuyệt đối ∞ Câu 486 Xét chuỗi đan dấu n=1 A B C D ∞ n=1 (−1)n √ , n+16 Mệnh đề sau đúng? Chuỗi hội tụ không hội tụ tuyệt đối Chuỗi hội tụ tuyệt đối Chuỗi phân kỳ Các khẳng định sai ∞ Câu 488 Cho chuỗi n=1 A B C D +1 (−1)n n42n +4n+2 Mệnh đề sau đúng? Chuỗi phân kỳ Chuỗi hội tụ không hội tụ tuyệt đối Chuỗi hội tụ tuyệt đối không hội tụ Chuỗi hội tụ tuyệt đối ∞ (−1) Câu 489 Xét chuỗi đan dấu n=1 A B C D Phát biểu sau đúng? Chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn D’Alembert Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz Chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn Cauchy Các phát biểu sai Câu 487 Cho chuỗi A B C D √ (−1)n n+1 , n+2 n √ n2 +n+1 n2 +2n+3 Phát biểu sau đúng? Chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn D’Alembert Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz Chuỗi hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn Cauchy Các phát biểu sai 120 ĐH CÔNG NGHIỆP TP HCM ∞ (−1)n n √ n4 +1+7 Câu 490 Cho chuỗi n=1 A B C D ∞ n=1 ∞ n=1 n +1 (−1)n n4 −4n +5 Mệnh đề sau đúng? Chuỗi phân kỳ Chuỗi hội tụ không hội tụ tuyệt đối Chuỗi hội tụ tuyệt đối không hội tụ Chuỗi hội tụ tuyệt đối ∞ Câu 493 Xét chuỗi n=1 A B C D +1 (−1)n n32n +4n+2 Mệnh đề sau đúng? Chuỗi phân kỳ Chuỗi hội tụ không hội tụ tuyệt đối Chuỗi hội tụ tuyệt đối không hội tụ Chuỗi hội tụ tuyệt đối Câu 492 Cho chuỗi A B C D Mệnh đề sau đúng? Chuỗi hội tụ không hội tụ tuyệt đối Chuỗi hội tụ tuyệt đối Chuỗi phân kỳ Các khẳng định sai Câu 491 Cho chuỗi A B C D 2016 (−1)n (n+1)! (x − 1)n Phát biểu sau đúng? Chuỗi hội tụ số thực x Chuỗi có bán kính hội tụ R = Chuỗi hội x = Chuỗi hội x = ∞ Câu 494 Chuỗi n!xn có bán kính hội tụ là: n=1 B R = 12 D R = +∞ A R = C R = ∞ Câu 495 Chuỗi n=1 xn (2n)n có bán kính hội tụ là: A R = C R = B R = D R = +∞ ∞ Câu 496 Chuỗi n=1 (x−1)n 3n +1 có bán kính hội tụ là: A R = 13 C R = B R = D R = +∞ 121 ĐH CÔNG NGHIỆP TP HCM ∞ Câu 497 Chuỗi n=1 xn 5n 2016 có bán kính hội tụ là: A R = 15 C R = B R = D R = +∞ ∞ Câu 498 Chuỗi n=1 (1 + n1 ) n2 có bán kính hội tụ là: B R = 1e D R = +∞ A R = C R = e ∞ (−1) Câu 499 Cho chuỗi n=1 n xn n có miền hội tụ là: A [−1, 1] C [−1, 1) B (−1, 1] D (−1, 1) ∞ (−1) Câu 500 Cho chuỗi n=1 n (x−5)n nn có miền hội tụ là: A [4, 6] C [−1, 1) B (−1, 1] D R ∞ Câu 501 Cho chuỗi (−1)n n!(x − 2)n , có miền hội tụ là: n=1 A [−1, 1] C [−1, 3) B (−1, 1] D {2} ∞ Câu 502 Miền hội tụ D chuỗi n=1 3n +1 n xn A D = − 13 , 13 C D = − 13 , 13 B D = − 31 , 13 D D = − 13 , 13 ∞ n n! (x + 1) là: Câu 503 Miền hội tụ D chuỗi n=1 A D = [−1, 1] C D = {0} ∞ Câu 504 Chuỗi n=1 B D = [−1, 1) D D = {−1} (x−1)n n2 2n có miền hội tụ là: A [−1; 3] C [−1; 3) B (−1; 3] D (−1; 3) ∞ Câu 505 Miền hội tụ D chuỗi n=1 A D = [−2, 4] C D = (−2, 4] (n+1)3n n (x − 1) là: B D = [−2, 4) D D = (−2, 4) 122 ĐH CÔNG NGHIỆP TP HCM ∞ Câu 506 Chuỗi n=1 (x−2)n (n+1)2n 2016 có miền hội tụ là: A [0; 4] C [0; 4) B (0; 4] D (0; 4) ∞ Câu 507 Tìm miền hội tụ D chuỗi n=1 3n +1 n 3n(n+1) x : A D = − 13 , 13 C D = − 13 , 13 ∞ Câu 508 Chuỗi n=1 B D = − 31 , 13 D D = − 13 , 13 (x−2)n n2 2n có miền hội tụ là: A [0; 4] C [0; 4) B (0; 4] D (0; 4) ∞ Câu 509 Tìm miền hội tụ D chuỗi n=1 A D = [−2, 2] C D = (−2, 2] n n2n x : B D = (−2, 2) D D = [−2, 2) 123 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Đình Trí, Tốn cao cấp tập 2, 3, Nhà xuất Giáo Dục [2] Nguyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân, Phép tính vi phân hàm biến, Nhà xuất Giáo Dục, 2003 [3] Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng, Bài tập toán cao cấp [4] Nguyễn Phú Vinh, Toán Cao cấp A1-C1, ĐH Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh, 2009 [5] Nguyễn Phú Vinh, Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm tốn cao cấp tập 1, 2, ĐH Cơng Nghiệp Tp HCM, 2010 [6] James Stewart, Calculus, fifth edition,2005 124 ... NGHIỆP TP HCM 2016 1.11 Đạo hàm cấp cao hàm số Vi phân 2.1 Vi phân cấp 2.2 Vi phân cấp cao Các... α(x) x→x0 β(x) k = lim i) Nếu k = ta nói α(x) VCL cấp thấp β(x) ii) Nếu k = ∞ ta nói α(x) VCL cấp cao β(x) iii) Nếu k = 0, k = ∞ ta nói α(x) VCL cấp với β(x) Chú thích Nếu k = ta nói α(x) β(x)... k = ta nói α (x) vô bé bậc cao β (x) Kí hiệu α (x) = O (β (x)) , (x → x0 ) ii) Nếu k = ∞ nói α (x) vô bé cấp thấp β(x) iii) Nếu k = 1, k = ∞ ta nói α(x) β(x) vơ bé cấp Chú thích Trong trường