Bài giảng toán cao cấp A1 (sư tầm )

Toán cao cấp a1 Chương 1. Giới hạn hàm số một biến Chương 2. Phép tính vi phân hàm số một biến Chương 3. Phép tính tích phân hàm số một biến Chương 4. Chuỗi số và Chuỗi lũy thừa TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A1 – C1 – ĐH Công nghiệp TP. HCM. 2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp (Tập 2) – NXB Giáo dục. 3. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp (Tập 1, 4) – NXB ĐHQG TP.HCM. 4. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp (Tập 1) – NXB Giáo dục. 5. Nguyễn Thừa Hợp – Giải tích (Tập 1) – NXB ĐHQG Hà Nội. 6. James Stewart, Calculus Early Transcendentals, Sixth Edition – Copyright © 2008, 2003 Thomson Brooks 7. Robert Wrede, Murray. R. Spiegel, Theory and Problems of Advanced Calculus, Second Edition – Copyright © 2002, 1963 by The McGrawHill Companies, Inc ………………………………………………

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1 ĐẠI HỌC

(Số đvhp: 2 – số tiết: 30)

Chương 1 Giới hạn hàm số một biến Chương 2 Phép tính vi phân hàm số một biến

Biên soạn: Đoàn Vương Nguyên

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A1 – C1 – ĐH Công nghiệp TP HCM

2 Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp (Tập 2) – NXB Giáo dục

3 Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp (Tập 1, 4) – NXB ĐHQG TP.HCM

4 Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp (Tập 1) – NXB Giáo dục

5 Nguyễn Thừa Hợp – Giải tích (Tập 1) – NXB ĐHQG Hà Nội

6 James Stewart, Calculus Early Transcendentals, Sixth Edition – Copyright © 2008,

2003 Thomson Brooks

7 Robert Wrede, Murray R Spiegel, Theory and Problems of Advanced Calculus, Second Edition –

Copyright © 2002, 1963 by The McGraw-Hill Companies, Inc

………

Chương 1 GIỚI HẠN HÀM SỐ MỘT BIẾN

Bài 1 Giới hạn hàm số Bài 2 Hàm số liên tục và tiệm cận của đồ thị Bài 3 Đại lượng Vô cùng bé

Bài 1 GIỚI HẠN HÀM SỐ

1.1 Bổ túc về hàm số

1.1.1 Định nghĩa

Xét hai tập con khác rỗng D và Y của ℝ Hàm số f là

một quy tắc (hay ánh xạ) cho tương ứng mỗi phần tử x ∈D

với duy nhất một phần tử y∈ , ký hiệu là ( )Y f x

:

f ℝ ⊃D→Y ⊂ ℝ

x ֏y = f x( )

• Tập D được gọi là miền xác định (MXĐ - domain) của hàm số f , ký hiệu là D f

• Tập f D( f) = { ( ) |f x x ∈D f} được gọi là miền giá trị (range) của hàm f

• Đồ thị (graph) của hàm f có MXĐ D là tập hợp điểm { (x f x, ( ))x ∈D} trên mặt phẳng Oxy

• Nếu hàm f thỏa mãn f( − =x) f x( ), ∀ ∈x D f thì f được gọi là hàm số chẵn

• Nếu hàm f thỏa mãn f( − = −x) f x( ), ∀ ∈x D f thì f được gọi là hàm số lẻ

• Hàm f được gọi là đồng biến trên ( ; ) a b nếu f x( )1 < f x( )2 khi x1 <x2 với x x1, 2 ∈ ( ; )a b ; f được gọi

là nghịch biến trên ( ; ) a b nếu f x( )1 > f x( )2 khi x1 <x2 với x x1, 2 ∈ ( ; )a b

• Hàm số f được gọi là song ánh (one-to-one function) nếu x1 ≠x2 ⇔ f x( )1 ≠ f x( )2

• Xét hàm song ánh f có MXĐ D và miền giá trị G Khi đó, hàm số ngược của f , ký hiệu là f−1, có

MXĐ G và miền giá trị D được định nghĩa

• MXĐ của f−1 = miền giá trị của f , và

miền giá trị của f−1 = MXĐ của f

• Đồ thị của hàm y = f−1( )x đối xứng với đồ thị của hàm

( )

y = f x qua đường thẳng y = x

1.1.4 Hàm số Lượng giác ngược

→ = và đọc là “giới hạn bên trái của ( ) f x khi x tiến đến a bằng L ” nếu ta có thể làm

cho giá trị của f x rất gần với L bằng cách cho x tiến sát đến a và x nhỏ hơn a Tương tự, nếu ta cho ( )

x tiến đến (và lớn hơn) a , ta được “giới hạn bên phải của f x khi x tiến đến a bằng L ” và viết là ( ) lim ( )

→ = +∞ có nghĩa là với mọi giá trị

dương M tồn tại δ thỏa mãn

nếu 0 < |x −a| <δ thì f x( ) >M

• Giả sử hàm số f xác định trên khoảng chứa điểm a Khi đó lim ( )

x a f x

→ = −∞ có nghĩa là với mọi giá trị

âm N tồn tại δ thỏa mãn

2) 1 0( )1

x

x

x

3) lim[ ( )] lim ( )

n n

=   , n ∈ ℤ+ 4) { } lim ( )

( ) lim [ ( )] lim ( )x a g x

g x

=   nếu lim ( ) 0

x a f x

→ >

5) limn ( ) nlim ( )

→ = → , n ∈ ℤ+ (nếu n lẻ, ta giả sử rằng lim ( ) 0

x a f x

→ > ) 6) ln

x

x

α

α

β

→+∞ = →+∞ = nếu α≥ 1, β > 1

1.2.5 Một số ví dụ

( )

x x

f x



= 

 , xét sự tồn tại của lim ( ) 2

→

………

………

………

………

………

VD 2 Chứng tỏ 6 2 12 lim | 6 | x x x →− + + không tồn tại ………

………

………

………

………

VD 3 Chứng tỏ rằng 2 0 1 lim sin 0 x x x → = ………

………

………

………

………

VD 4 Tính ( 2 ) lim 2 3 x L x x x →−∞ = − − ………

………

………

………

………

VD 5 Tính

2

lim

2

x

L

x

→

=

………

………

………

………

………

VD 6 Tính ( 2 ) lim 2 2 x L x x x →+∞ = − − ………

………

………

………

………

………

VD 7 Tính ( 2 ) lim 3 2 x L x x →−∞ = − + ………

………

………

………

………

VD 8 Tính 3 1 5 1 8 lim 1 x x x L x → − − = − ………

………

………

………

………

………

………

………

………

VD 9 Tính 2 3 1 2 3 3 4 3 lim 2 x x x x L x − →−∞  +     = −    −   ………

………

………

………

………

VD 10 Tính

cot sin 0

lim(cos 2 )

x x x

→

………

………

………

………

………

………

………

Bài 2 HÀM SỐ LIÊN TỤC VÀ TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ 2.1 Hàm số liên tục 2.1.1 Định nghĩa Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm a nếu lim ( ) ( ) x a f x f a → = Định nghĩa hàm f liên tục tại a nếu thỏa mãn cả 3 điều: 1) f a xác định (nghĩa là ( ) a ∈D f); 2) lim ( ) x a f x → tồn tại; 3) lim ( ) ( ) x a f x f a → = VD 1 Chứng tỏ hàm số sau liên tục tại x = : 2 2 2 , 2 ( ) 2 3 , 2 x x x f x x x  − −  ≠  =  −  =  ………

………

………

………

VD 2 Chứng tỏ hàm ( ) 1 x f x x = − không liên tục tại x = 1 ………

………

2.1.2 Liên tục một phía

Định nghĩa

Hàm số f được gọi là liên tục bên phải tại điểm a nếu lim ( ) ( )

x a

f x f a

+

→ = , và liên tục bên trái tại điểm a

nếu lim ( ) ( )

x a

f x f a

−

VD 3 Chứng tỏ hàm số sau không liên tục bên phải tại x = , nhưng liên tục bên trái tại 0 x = : 0

x x

x x





>



………

………

………

………

………

………

………

2.1.3 Liên tục trên khoảng
Định nghĩa Hàm số f được gọi là liên tục trên khoảng ( ; ) a b nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc ( ; )a b (Nếu f liên tục phải tại a và liên tục trái tại b thì f liên tục trên đoạn [ ; ] a b ) VD 4 Chứng tỏ f x( ) = − 1 1 −x2 liên tục trên đoạn [ 1; 1] − ………

………

………

………

………

2.1.4 Các định lý

Định lý 1

Nếu f và g liên tục tại a và k là hằng số thì k f , f ± , g f g , f

g (g a( )≠ ) cũng liên tục tại a 0

Định lý 2

• Mọi đa thức đều liên tục trên ℝ = −∞ +∞ ( ; )

• Mọi hàm số sơ cấp đều liên tục trên miền xác định của nó

Định lý 3

Nếu hàm f liên tục tại b và lim ( )

→ = thì lim ( ( )) ( )

VD 5 Tính

1

1 lim arcsin

1

x

x x

→

 − 

−

= + không có tiệm cận ngang

VD 7 Tìm tất cả các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2 1 ( )

x

f x

a x

………

………

………

………

Chú ý Ta viết 2 3 2 4 5 ( ) 3 1 1 1 x x f x x x x − + = = + + − − và 5 0 1 x x →±∞  → − Vì vậy, tiệm cận xiên cần tìm là y= 3x + 1 VD 9 Tìm tất cả các tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = 3x x2( − 1) ………

………

………

………

………

VD 10 Tìm tất cả các tiệm cận xiên hoặc ngang của đồ thị hàm số y = +x x2− 4x + 5 ………

………

………

………

………

………

………

………

Bài 3 ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ

3.1 Các định nghĩa

3.1.1 Định nghĩa 1

Đại lượng α( )x được gọi là vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x tiến đến a nếu lim ( ) 0

x a α x

→ =

( )x tan sin 1 x

2

1 ( ) ln

x

x

β = là VCB khi x → +∞

3.1.2 Định nghĩa 2

Giả sử α( )x , β( )x là hai vô cùng bé khi x tiến đến a Ta có:

• α( )x là vô cùng bé bậc cao hơn β( )x , ký hiệu là α( )x =O( ( ))β x , nếu ( )

( )

x a

x x

α β

→ =

• α( )x là vô cùng bé cùng bậc với β( )x nếu ( )

0 lim

( )

x a

x x

α β

→

• α( )x là vô cùng bé tương đương với β( )x , ký hiệu là α( )x ∼β( )x , nếu ( )

( )

x a

x x

α β

→ =

VD

• 1 −cos x là vô cùng bé cùng bậc với x khi 2 x → , vì 0 2

0

lim

2

x

x x

→

• sin 3(2 x − 1) ∼ 9(x − 1)2 khi x → 1

3.2 Tính chất

Giả sử α i( ) (x i = 1,2, 3, 4) là các vô cùng bé khi x tiến đến a Ta có: 1) α1( )x ∼α2( )x ⇔ α1( )x −α2( )x =O( ( ))α1 x 2 ( ( )) O α x = 2) Nếu α1( )x ∼α2( )x và α2( )x ∼α3( )x thì α1( )x ∼α3( )x 3) Nếu α1( )x ∼α3( )x và α2( )x ∼α4( )x thì α1( ) ( )x α2 x ∼α3( ) ( )x α4 x 4) Nếu α1( )x =O( ( ))α2 x thì α1( )x +α2( )x ∼α2( )x 3.3 Quy tắc ngắt bỏ vô cùng bé cấp cao Nếu α( )x và β( )x là tổng của những vô cùng bé khác cấp khi x → thì a lim ( ) ( ) x a x x α β → bằng giới hạn tỉ số của vô cùng bé cấp thấp nhất của α( )x và β( )x VD 1 Tính 3 4 2 0 cos 1 lim x x x L x x → − + = + ………

………

………

………

………

Ghi nhớ Khi x → , ta có các công thức vô cùng bé tương đương sau: 0

1) sin x ∼x

5)

2

1 cos

2

x x

2) tan x ∼x

6) x 1

e − ∼ x

3) arcsin x ∼x

7) ln(1 +x) ∼x

4) arctan x ∼x

x

n

+ − ∼

Chú ý

1) Nếu u x là vô cùng bé khi ( ) x → thì ta có thể thay x bởi ( )0 u x trong 8 công thức trên

2) Các công thức vô cùng bé tương đương trên không áp dụng được cho hiệu hoặc tổng của các vô cùng bé nếu chúng làm triệt tiêu tử hoặc mẫu của phân thức

0

( )

x

x

→

+ −

Kết quả đúng là

2 0

2

x

x

−

→

(xem bài quy tắc L’Hospital ở chương 2)

VD 2 Tính

2

2 0

lim

x

L

→

−

………

………

VD 3 Tính 2 3 3 0 1 arctan 1 lim cos cos 2 x x x L x x x → + + − = − + ………

………

………

………

………

………

………

VD 4 Cho hàm số y =f x( ) được xác định bởi x = 2t− và t2 2 4 3 y =t + t Khi x → , chứng minh rằng 0 ( ) 2 4 x f x ∼ ………

………

………

………

………

………

VD 5 Tìm giá trị của α để hàm số sau đây liên tục tại x = : 0 2 2 3 tan sin , 0 ( ) 2 , 0 x x x f x x x α  +  >  =   ≤  ………

………

………

………

………

………

VD 6 Tìm giá trị của α để hàm số sau đây liên tục tại x = : 0 2 2 ln(cos ) , 0 arctan 2 ( ) 2 3 , 0 x x x x f x x α  ≠  + =   − =  ………

………

………

………

………

………

Chương 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN

Bài 1 Đạo hàm và Vi phân Bài 2 Định lý Giá trị trung bình và quy tắc L’Hospital Bài 3 Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất

Bài 4 Công thức Taylor

Bài 1 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

nếu giới hạn trên tồn tại

Tương tự, nếu thay a bởi x , ta được

Nếu f có đạo hàm (còn được gọi là khả vi) tại a thì f liên tục tại a

Chứng minh Vì f khả vi tại a , nên ta có:

nếu giới hạn trên tồn tại

• Đạo hàm bên trái của f tại a được xác định bởi

VD 1 Chứng tỏ rằng hàm số sau đây liên tục tại x = , nhưng không khả vi tại 1 x = : 1

2

( )

f x



= 

>



………

………

………

………

………

………

1.1.3 Định nghĩa 3

• Hàm số được gọi là khả vi trên một khoảng nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc khoảng đó

• Hàm số f được gọi là khả vi trên đoạn [ ; ] a b nếu f khả vi trên khoảng ( ; )a b và tồn tại f a+′ ( ) và f b−′ ( )

• Hàm số được gọi là khả vi liên tục nếu nó có đạo hàm và đạo hàm đó liên tục

Ghi nhớ

Phương trình tiếp tuyến của đường cong y =f x( ) tại điểm ( ; ( ))a f a được cho bởi công thức

1.1.4 Định nghĩa 4

Nếu đặt ∆ =x dx là số gia của x thì ∆ =y f x( + ∆ −x) f x( ) được gọi là số gia của y= f x( )

Nếu hàm số f khả vi liên tục trên một khoảng chứa x thì

f x

⇒ ∆ =y f x dx′ ( ) +ε.dx (ε→ khi 0 ∆ → ) x 0

Đại lượng

( )

được gọi là vi phân của y hay f x ( )

Chú ý

dx

1.2 Quy tắc đạo hàm

1.2.1 Các quy tắc tính đạo hàm

Giả sử f , g và h là các hàm số khả vi, ta có:

1) d [ ( )f x g x( )] d f x( ) d g x( )

[ ( )f x ±g x( )] ′ = f x′ ( ) ±g x′ ( )

2) d [ ( )]C f x C. d f x( )

dx = dx (C ∈ ℝ , hay )

[Cf x( )] ′ =C f x ( ) ′

′ , hay ( )

u

′

′ = 3) (sin )x ′ = cosx (sin )u ′ =u′ cosu

4) (cos )x ′ = − sinx (cos )u ′ = −u′ sinu

e ′ =u e′ 8) ( )a x ′ =a x lna ( )a u ′ =u a′ lnu a

2

1 (arccos )

13)

2

1 (arctan )

1

x

x

=

′

1

u u

u

′

=

′ +

14)

2

1 (arccot )

1

x

x

= −

′

1

u u

u

′

= −

′

+

1.2.3 Các ví dụ

VD 2 Tính df( 1) − của hàm số 2 3

f x =x e

………

………

………

VD 3 Tính các đạo hàm một phía của hàm số sau tại x = : 4 1 , 4 5 ( ) 5 , 4 x x f x x x  <  − =   − ≥  ………

………

………

………

………

VD 4 Tính vi phân của hàm số y = 2ln(arcsin )x ………

………

………

………

VD 5 Tính y x′ ( ) của hàm số cho bởi x = 2t2 − 1,y = 4t3 (t ≠ 0) ………

………

………

VD 6 Tính y x′ ( )0 tại x0 = 1 của hàm số cho bởi t, 2 2 x =e y =t − t ………

………

………

………

………

1.3 Đạo hàm của hàm số ẩn

1.3.1 Định nghĩa

Xét phương trình F x y( , ) = 0 ( ) ∗ Nếu y =y x( ) là một hàm số sao cho khi thay y bởi y x vào ( ) ( ) ∗ , ta được đẳng thức đúng trong một khoảng nào đó thì y x được gọi là hàm số ẩn xác định bởi ( )( ) ∗

VD Xét phương trình x2 +y2 = , ta xác định được hai hàm số ẩn sau: 1

2 1

y = −x nếu − < < , và khi đó 0 1 x 1 < ≤ ; y 1

y = − 1 −x2 nếu − < < , và khi đó 1 1 x 1 − ≤ < y 0

1.3.2 Công thức và các ví dụ

Nếu y x là hàm số ẩn được xác định bởi ( ) F x y( , ) = thì 0

( , ) / ( )

( , ) /

dF x y dx

y x

dF x y dy

′ = −

VD 7 Tính y x′ ( ) , với y x được xác định bởi ( ) ln x2 y2 arctany

x

………

………

………

………

………

VD 8 Tính y ′(0) , với y x được xác định bởi ( ) 3 x ln y =e y+x y ………

………

………

………

………

Chú ý

Ta có thể xem hàm ẩn y x như là hàm số hợp ( ) u x , và áp dụng công thức đạo hàm của hàm số hợp ( )

VD Đạo hàm hai vế y3 =e y x +xlny theo x , ta được

2

y

′

3

x

x

y x

+

′

1.4 Đạo hàm cấp cao

• Xét hàm f khả vi thì f ′ cũng là một hàm số Nếu f ′ có đạo hàm, ký hiệu là ( )f′ ′ = f′′ , thì hàm số mới

f ′′ được gọi là đạo hàm cấp hai của f Xét y = f x( ) , ta được:

2

2

 



′′ = ′′ =     =

• Đạo hàm cấp ba f ′′′ là f′′′ =( )f′′ ′ Xét y = f x( ) , ta được:

 

′′′ = ′′′ =  =

 

• Tổng quát, đạo hàm cấp n ( n ≥ ) của f , ký hiệu 4 ( )n

f , là ( )n ( (n 1))

f = f − ′ Xét y = f x( ) , ta được:

( ) ( )

( )

n

n

d y

dx

VD 9 Cho hàm số

2

f x

e

= , tính f ′′′(0)

………

………

………

VD 10 Cho hàm số f x( ) = cos2x, tính f(4)( )π ………

………

………

VD 11 Cho hàm số f x( ) = ln(cos )x , tính d f4 (0) ………

………

………

………

VD 12 Tính f(4)(0) , với f x( ) = ln 33 x + 1 ………

………

………

………

VD 13 Tính f ′′′(1) , với 2 1 ( ) 3 4 f x x x = − − ………

………

………

………

………

VD 14 Cho hàm số (3 )n 1 y = −x + , tính y( )n ………

………

………

………

………

VD 15 Cho hàm số 2 3 3 2 x y x x + = − + , tính ( )n d y ………

………

………

Bài 2 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ QUY TẮC L’HOSPITAL

2.1 Định lý giá trị trung bình (tham khảo)

2.1.1 Bổ đề Fermat

Giả sử hàm số f : ( , )a b → ℝ đạt cực trị địa phương tại c ∈ ( , )a b Nếu f khả vi tại c thì f c′ ( )= 0

2.1.2 Định lý Rolle

Nếu hàm f liên tục trên [ , ] a b , khả vi trên ( , )a b và f a( ) = f b( ) thì tồn tại c ∈ ( , )a b thỏa mãn f c′ ( ) = 0

2.1.3 Định lý giá trị trung bình

Nếu hàm số f liên tục trên [ , ] a b , khả vi trên ( , )a b thì tồn tại c ∈ ( , )a b thỏa mãn ( ) ( )

( ) f b f a

f c

−

2.1.4 Định lý Cauchy

Nếu hai hàm số f và g liên tục trên [ , ] a b , khả vi trên ( , )a b thì tồn tại c ∈ ( , )a b thỏa mãn

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

′

−

=

′

− (g a( )≠g b( ))

2.2 Quy tắc L’Hospital

Nếu

0

lim ( )

x x f x

→ và

0

lim ( )

x x g x

→ đồng thời bằng 0 (hoặc bằng vô cùng) thì

0

( ) lim ( )

x x

f x

g x

→ được gọi là dạng vô định

0 / 0 (hoặc ∞ ∞ ) Các dạng giới hạn này được giải quyết nhờ quy tắc L’Hospital sau /

• Nếu f x và ( ) g x khả vi trên ( ) ( , )a b (có thể không khả vi tại x0) và g x′ ( ) ≠ 0 với x ≠x0 thì

′

=

′

Chú ý

Các dạng vô định: 0 ∞ , ∞ , 0 0

0 , 1∞, và ∞ − ∞ đều có thể biến đổi để áp dụng quy tắc L’Hospital

VD 1 Tính

2 0

2 lim

x

L

x

−

→

………

………

………

VD 2 Tính 2 2 2 2 0 sin lim arctan x x x L x x → − = ………

………

………

………

………

lim x x

Bài 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

3.1 Cực trị địa phương và điểm uốn

3.1.1 Hàm số đơn điệu

Định lý 1

Nếu f x′ ( )>0 trên ( , )a b thì f đồng biến trên ( , ) a b ; f x′ ( )<0 trên ( , )a b thì f nghịch biến trên ( , ) a b

Chú ý

Hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên ( , )a b thì f được gọi là đơn điệu trên ( , )a b

VD 1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = ln(x2 + 1)

Giả sử hàm số f x liên tục trong ( ; )( ) a b chứa x0

• Nếu f x( )0 <f x( ) , ∀ ∈x ( ; ) \ { }a b x0 thì hàm số f x đạt cực tiểu tại ( ) x0

• Nếu f x( )0 > f x( ) , ∀ ∈x ( ; ) \ { }a b x0 thì hàm số f x đạt cực đại tại ( ) x0

• Nếu mọi tiếp tuyến của đồ thị ( ) :C y = f x( ) đều nằm phía

dưới (tương tự, phía trên) ( )C trên ( ; )a b thì đồ thị ( )C

được gọi là lõm (tương tự, lồi) trên ( ; ) a b

• Điểm M0 ∈ ( ) :C y = f x( ) nằm giữa phần lõm và lồi được

gọi là điểm uốn của đồ thị ( ) C

Định lý

• Nếu f′′ ( )x >0 (hay f′′ ( )x <0 ) với mọi x ∈ ( ; )a b thì đồ thị hàm số y = f x( ) lõm (hay lồi) trên ( ; )a b

• Nếu f′′ ( )x0 = 0 và f′′ ( )x đổi dấu khi x chuyển từ trái sang phải qua x0 thì M x y0( ; )0 0 là điểm uốn của

3.2.2 Phương pháp tìm max – min

Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

∈ , ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1 Giải f x′ ( )=0 Giả sử có n nghiệm x1, ,x n ∈ [ ; ]a b (loại các nghiệm nằm ngoài [ ; ]a b )

• Bước 2 Tính các giá trị f a( ), ( ), , ( ), ( )f x1 f x n f b

• Bước 3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã tính ở bước 2 là các giá trị max, min cần tìm

VD 6 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

• Nếu đề bài chưa cho đoạn [ ; ]a b thì ta phải tìm MXĐ của hàm số trước khi làm bước 1

• Ta có thể đổi biến t =t x( ) và viết y = f x( ) =g t x( ( )) Nếu gọi T là miền giá trị của hàm t x thì ( )

Hàm số liên tục trên khoảng (a; b)

• Bước 1 Giải f x′ ( )=0 Giả sử có n nghiệm x1, ,x n ∈ ( ; )a b (loại các nghiệm nằm ngoài ( ; )a b )

• Bước 2 Tính f x( ), , ( )1 f x n và hai giới hạn 1 lim ( ), 2 lim ( )

Ta có thể lập bảng biến thiên của f x thay cho bước 3 ( )

VD 9 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 4 CÔNG THỨC TAYLOR

4.1 Công thức khai triển Taylor

Cho hàm số f x liên tục trên ( ) [ ; ]a b có đạo hàm đến cấp n+ trên ( ; ) 1 a b với x x, 0 ∈ ( ; )a b ta có các khai triển sau

• Khai triển Taylor với phần dư Lagrange

1 0

• Khai triển Maclaurin

Khai triển Taylor với phần dư Peano tại x0 = 0 được gọi là khai triển Maclaurin