Bài giảng Toán trong công nghệ: Chương 3 - Nguyễn Linh Trung, Trần Thị Thúy Quỳnh

Bài giảng Toán trong công nghệ - Chương 3: Một biến ngẫu nhiên - Mở đầu cung cấp cho người học các kiến thức: Định nghĩa, ý nghĩa của biến ngẫu nhiên, các thước đo xác suất, các giá trị kỳ vọng, PMF có điều kiện. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chương 3: Một biến ngẫu nhiên - Mở đầu Nguyễn Linh Trung Trần Thị Thúy Quỳnh Đại học Công nghệ, ĐHQGHN Nội dung 3.1 Định nghĩa, Ý nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc 3.2 Các thước đo xác suất 3.3 Các giá trị kỳ vọng 3.4 PMF có điều kiện Định nghĩa, ý nghĩa biến ngẫu nhiên Định nghĩa: Một biến ngẫu nhiên (random variable RV) X hàm X(ζ) ánh xạ một/nhiều kết ζ (outcome) thành số thực x Chương 3: RV 3.1 Định nghĩa, Ý nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc 3.2 Các thước đo xác suất 3.3 Các giá trị kỳ vọng 3.4 PMF có điều kiện X : S −→ SX ⊂ R ζ → x = X(ζ) S gọi "domain" biến ngẫu nhiên X SX gọi "range" biến ngẫu nhiên X / 33 Chương 3: RV Ánh xạ: Ánh xạ - một: kết đơn ζ ánh xạ thành x 3.1 Định nghĩa, Ý nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc 3.2 Các thước đo xác suất 3.3 Các giá trị kỳ vọng 3.4 PMF có điều kiện Ánh xạ nhiều - một: nhiều kết tập Ak thuộc S ánh xạ thành xk / 33 Chương 3: RV Ý nghĩa: Các mơ hình xác suất khác chứa đối tượng vật lý khác (chọn hai bóng, tung đồng xu, ) khơng gian mẫu có tính chất Một biến ngẫu nhiên dùng để biểu diễn kết không gian mẫu biến số, để phối hợp tốt với việc xác định xác suất vấn đề khác với biến số chung Tính tốn cơng thức dễ mơ tả lời 3.1 Định nghĩa, Ý nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc 3.2 Các thước đo xác suất 3.3 Các giá trị kỳ vọng 3.4 PMF có điều kiện / 33 Ví dụ Tung đồng xu ba lần ghi lại mặt sấp/mặt ngửa Không gian mẫu là: S = {HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT} Đặt X số mặt ngửa sau ba lần tung thì: SX = {0, 1, 2, 3} Chương 3: RV 3.1 Định nghĩa, Ý nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc 3.2 Các thước đo xác suất 3.3 Các giá trị kỳ vọng 3.4 PMF có điều kiện Đặt Y số tiền tương ứng mà người chơi nhận tương ứng với số mặt ngửa thì: SY = {0, 1, 8} Câu hỏi: Chúng ta ánh xạ S X cho SX = {0, 0.1, 1, 10} không? / 33 Phân loại biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên rời rạc: biến ngẫu nhiên có giá trị thuộc tập đếm Ví dụ: Gọi X số lần gói tin cần phát lại đến nhận SX = {1, 2, 3, } Chương 3: RV 3.1 Định nghĩa, Ý nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc 3.2 Các thước đo xác suất 3.3 Các giá trị kỳ vọng 3.4 PMF có điều kiện Biến ngẫu nhiên liên tục: biến ngẫu nhiên nhận số vơ hạn giá trị Ví dụ: X khoảng thời gian trước nhận gọi Biến ngẫu nhiên hỗn hợp: biến ngẫu nhiên có phần nhận giá trị biến ngẫu nhiên liên tục phần khác nhận giá trị biến ngẫu nhiên liên tục / 33 Nội dung 3.1 Định nghĩa, Ý nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc 3.2 Các thước đo xác suất 3.3 Các giá trị kỳ vọng 3.4 PMF có điều kiện Các thước đo xác suất Làm tính xác suất biến cố B ⊂ SX ? Chương 3: RV 3.1 Định nghĩa, Ý nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc 3.2 Các thước đo xác suất 3.3 Các giá trị kỳ vọng 3.4 PMF có điều kiện Tìm biến cố A ⊂ S tương đương với biến cố B ⊂ SX : A xuất B xuất Do đó, A chứa tất kết ζ mà ánh xạ vào B: A = {ζ : X(ζ) ∈ B} Do P [B] = P [A] = P [{ζ : X(ζ) ∈ B}] / 33 Chương 3: RV Hàm phân bố tích lũy: cdf (cumulative distribution function) FX (x) = P [X ≤ x] (1) Hàm mật độ xác suất: pdf (probability density function) với biến ngẫu nhiên liên tục 3.1 Định nghĩa, Ý nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc 3.2 Các thước đo xác suất 3.3 Các giá trị kỳ vọng 3.4 PMF có điều kiện d FX (x) fX (x) = dx (2) Hàm khối xác suất: pmf (probability mass function) với biến ngẫu nhiên rời rạc pX (x) = P [X = x] (3) 10 / 33 Nội dung 3.1 Định nghĩa, Ý nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc 3.2 Các thước đo xác suất 3.3 Các giá trị kỳ vọng 3.4 PMF có điều kiện Chương 3: RV PMF có điều kiện 3.1 Định nghĩa, Ý nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc PMF có điều kiện X = x với điều kiện C là: pX (x|C) = pX ({X = x}|C) = P [{X = x} ∩ C] P [C] (9) 3.2 Các thước đo xác suất 3.3 Các giá trị kỳ vọng 3.4 PMF có điều kiện   pX (xk ) , x ∈ C k P [C] pX (xk |C) = 0, xk ∈ /C (10) Ví dụ 3.23 20 / 33 Cho trước mảnh {B1 , , Bn } thuộc S (hay Sx ), theo định lý xác suất tổng cộng, ta có: 3.1 Định nghĩa, Ý nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc n pX (x) = Chương 3: RV pX (x|Bi )P [Bi ] 3.2 Các thước đo xác suất i=1 3.3 Các giá trị kỳ vọng Kì vọng có điều kiện X với điều kiện C là: 3.4 PMF có điều kiện mX|C = E[X|C] = xk pX (xk |C) xpX (x|C) = x∈SX k (11) Cho trước mảng {B1 , , Bn } thuộc S (or Sx ), biểu diễn E[X] dạng E[X|Bi ] (E[X] E[X] gọi Giá trị kì vọng tổng cộng E[X] = E[X|Bi ]P [Bi ] (12) k 21 / 33 Phương sai có điều kiện X với điều kiện C: VAR[X|C] = E[(X − mX|C )2 |C] Chương 3: RV 3.1 Định nghĩa, Ý nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc 3.2 Các thước đo xác suất Ví dụ 3.26 3.3 Các giá trị kỳ vọng 3.4 PMF có điều kiện 22 / 33 Một số biến ngẫu nhiên quan trọng RV rời rạc: Bernoulli Binomial Geometric Negative binomial Poisson Uniform Chương 3: RV 3.1 Định nghĩa, Ý nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc 3.2 Các thước đo xác suất 3.3 Các giá trị kỳ vọng 3.4 PMF có điều kiện RV liên tục: Uniform Exponential Gaussian (Normal) Gamma Rayleigh Cauchy Laplacian 23 / 33 Chương 3: RV Biến ngẫu nhiên Bernoulli Biến ngẫu nhiên Bernoulli X định nghĩa X = biến cố A xuất X = biến cố A không xuất X(ζ) = nếu X∈A X∈ /A (13) 3.1 Định nghĩa, Ý nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc 3.2 Các thước đo xác suất 3.3 Các giá trị kỳ vọng 3.4 PMF có điều kiện PMF: p(X = 1) = p; p(X = 0) = − p Giá trị trung bình: E[X] = p Giá trị phương sai: V AR[X] = E[X ] − m2X = p − p2 = p(1 − p) Ví dụ: với p = 1/3 24 / 33 Biến ngẫu nhiên Binomial Biến ngẫu nhiên Binomial X định nghĩa số lần thành công chuỗi n phép thử độc lập (mỗi phép thử có xác suất thành cơng p) Khi đó, SX = {0, 1, , n} Ví dụ: Trong truyền dẫn nhị phân, X số lần truyền n lần truyền PMF: pX (k) = P (X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k với k = 0, 1, , n Giá trị trung bình: E[X] = np Giá trị phương sai: V AR[X] = np(1 − p) Ví dụ: với p = 1/3, n = 10 Chương 3: RV 3.1 Định nghĩa, Ý nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc 3.2 Các thước đo xác suất 3.3 Các giá trị kỳ vọng 3.4 PMF có điều kiện 25 / 33 Chương 3: RV Biến ngẫu nhiên Geometric Phép thử Bernulli với xác suất thành công p X số phép thử Bernoulli thực lần thành cơng Khi đó, SX = {0, 1, 2, , } Ví dụ: Trong truyền dẫn nhị phân, X số lần gói tin truyền lại nhận PMF: pX (k) = P (X = k) = (1 − p)k−1 p với k = 0, 1, , n Giá trị trung bình: E[X] = p1 Giá trị phương sai: V AR[X] = 3.1 Định nghĩa, Ý nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc 3.2 Các thước đo xác suất 3.3 Các giá trị kỳ vọng 3.4 PMF có điều kiện 1−p p2 Ví dụ: với p = 1/4, 1/3 1/2 26 / 33 Chương 3: RV Biến ngẫu nhiên Poisson X số biến cố xuất khoảng thời gian định Khoảng thời gian hai biến cố có phân bố mũ với giá trị trung bình 1/α Khi đó, SX = {0, 1, 2, , } Ví dụ: Số lượng câu hỏi đến trung tâm chăm sóc khách hàng khoảng thời gian t Số lượng gói tin đến ghép kênh khoảng thời gian t PMF: pX (k) = P (X = k) = αk −α e k! 3.1 Định nghĩa, Ý nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc 3.2 Các thước đo xác suất 3.3 Các giá trị kỳ vọng 3.4 PMF có điều kiện với k = 0, 1, , n α > Giá trị trung bình: E[X] = α Giá trị phương sai: V AR[X] = α Ví dụ: với α = 27 / 33 Chương 3: RV Biến ngẫu nhiên Uniform Uniform RV rời rạc: X nhận n giá trị {x1 , x2 , , xn } với khả PMF: pX (x) = n nếu x ∈ {x1 , x2 , , xn } x∈ / {x1 , x2 , , xn } (14) 3.1 Định nghĩa, Ý nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc 3.2 Các thước đo xác suất 3.3 Các giá trị kỳ vọng 3.4 PMF có điều kiện Uniform RV liên tục: X nhận giá trị khoảng [a, b] với khả PMF: x ∈ [a, b] (b−a) (15) pX (x) = x ∈ / [a, b] Giá trị trung bình: E[X] = (a + b)/2 Giá trị phương sai: V AR[X] = (b − a)2 /12 28 / 33 Chương 3: RV Ví dụ: Uniform RV rời rạc: với x = {0, 1, 2, , 10} 3.1 Định nghĩa, Ý nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc 3.2 Các thước đo xác suất 3.3 Các giá trị kỳ vọng 3.4 PMF có điều kiện Uniform RV liên tục: với x ∈ [0, 2] 29 / 33 Chương 3: RV Biến ngẫu nhiên số mũ Hình thành mô tả thời gian xuất hai biến cố Ví dụ: Thời gian hai yêu cầu khách hàng để kết nối gọi Thời gian để nhân viên ngân hàng phục vụ khách hàng 3.1 Định nghĩa, Ý nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc 3.2 Các thước đo xác suất 3.3 Các giá trị kỳ vọng 3.4 PMF có điều kiện λ tỷ lệ biến cố xuất PDF: fX (x) = Giá trị trung bình: E[X] = λe−λx nếu x≥0 x