Bài giảng Toán trong công nghệ - Chương 2: Các khái niệm cơ bản của xác suất phần tiếp theo cung cấp cho người học các kiến thức: các định lý của xác suất, xác suất có điều kiện, chuỗi các thực nghiệm. Mời các bạn cùng tham khảo.
Chương 2: Các khái niệm xác suất Nguyễn Linh Trung Trần Thị Thúy Quỳnh Đại học Công nghệ, ĐHQGHN Nội dung Chương 2: Các khái niệm xác suất N Linh-Trung I 2.1 Thực nghiệm ngẫu nhiên I 2.2 Các định lý xác suất I 2.3 Xác suất có điều kiện I 2.4 Chuỗi thực nghiệm / 31 Chương 2: Các khái niệm xác suất Các định lý xác suất I I I Xác suất số gán cho mỗn biến cố để biểu diễn khả xuất kiện Quy luật xác suất quy luật gán số P (A) cho biến cố A P (A) gọi xác suất A phải thỏa mãn định lý sau: N Linh-Trung P [A] ≥ P [S] = Let B ∈ F such that A ∩ B = ∅, then P [A ∪ B] = P [A] + P [B] 3∗ Let A1 , A2 , ∈ F such that Ai ∩ Aj = ∅ for all i 6= j, then "∞ # ∞ [ X P Ak = P [Ak ] k=1 Định lý 3∗ k=1 tổng quát hóa Định luật 3 / 31 Chương 2: Các khái niệm xác suất Các hệ xác suất N Linh-Trung P [Ac ] = − P [A] P [A] ≤ P [∅] = Nếu A1 , A2 , , An loại trừ nhau, " n # n [ X P Ak = P [Ak ] k=1 k=1 P [A ∪ B] = P [A] + P [B] − P [A ∩ B] Nếu A ⊂ B P [A] ≤ P [B] / 31 Xác suất ban đầu I I Sử dụng định lý, phép tốn/tính chất tập hợp tạo tập quy luật tính tốn tất xác suất I Tuy nhiên, phải xác định xác suất ban đầu số tập biến cố xác suất lại tính từ xác suất ban đầu I Xác suất ban đầu phải thỏa mãn định lý xác suất Chương 2: Các khái niệm xác suất N Linh-Trung / 31 Xác suất ban đầu II Đối với không gian mẫu rời rạc: I S = {a1 , a2 , , an } I Chỉ định (gán) xác suất ban đầu: P [{ak }] k = 1, , n (chỉ gán xác suất biến cố sở) I Nếu {ak } có khả xuất nhau, xác suất ban đầu là: P [{a1 }] = P [{a2 }] = = P [{an }] = 1/n I Nếu {ak } có khả xuất A ∈ F, P [A] = (số kết A)/n Chương 2: Các khái niệm xác suất N Linh-Trung / 31 Xác suất ban đầu III Bài tập Chương 2: Các khái niệm xác suất N Linh-Trung I S3 = {HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTT} I Giả thiết kết có khả xuất I Xác suất ban đầu: xác suất xuất số kết khơng gian mẫu S3 1/8 I Tính xác suất khác: P [2 mặt ngửa xuất lần tung] = P [{HHT,HTH,THH}] = P [{HHT}] + P [{HTH}] + P [{THH}] = 3/8 / 31 Xác suất ban đầu IV Đối với không gian mẫu liên tục: I F tập tất tập S điểm đơn lẻ S biến cố sở (không thể gán xác suất cho chúng) I Nhiệm vụ đầu tiên: xác định quy luật (luật xác suất) để định số khoảng (các vùng) I Nếu S = R xác định quy luật khoảng R Chương 2: Các khái niệm xác suất N Linh-Trung / 31 Chương 2: Các khái niệm xác suất Xác suất ban đầu V Bài tập N Linh-Trung I S7 = {x : ≤ x ≤ 1} I Giả thiết tất kết có khả xuất I Gán xác suất ban đầu khoảng [a, b]: P [[a, b]] = (b − a), I for ≤ a ≤ b ≤ Câu hỏi: Kiểm chứng P [[a, b]] thỏa mãn định lý xác suất / 31 Xác suất ban đầu VI Kết I P [[a, b]] = (b − a) ≥ b ≥ a ≥ I S = [0, 1] ⇒ P [S] = (b − a) = (1 − 0) = I Giả sử b ≥ c ≥ a P [[a, c] ∪ [c, b]] = P [[a, b]] = (b − a) P [[a, c]] = (c − a); P [[c, b]] = (b − c) ⇒ P [[a, c] ∪ [c, b]] = P [[a, c]] + P [[c, b]] Chương 2: Các khái niệm xác suất N Linh-Trung thỏa mãn định lý xác suất 10 / 31 Xác suất có điều kiện VII Kết quả: P [Ai ∩ Bj ] = P [Bj ∩ Ai ] = P [Bj |Ai ]P [Ai ] P [Ai ] = 1/2; P [B0 |A0 ] = P [B1 |A1 ] = − ; P [B0 |A1 ] = P [B1 |A0 ] = ⇒ P [A0 ∩ B0 ] = P [A1 ∩ B1 ] = 21 ; P [A1 ∩ B0 ] = P [A0 ∩ B1 ] = 12 (1 − ) Chương 2: Các khái niệm xác suất N Linh-Trung 17 / 31 Định lý tổng xác suất I Phân chia S thành mảng {B1 , , Bn } cho B1 ∪ · · · ∪ Bn = S Bi ∩ Bj = ∅ tất i 6= j I Do A = A ∩ B = (A ∩ B1 ) ∪ · · · ∪ (A ∩ Bn ) (A ∩ Bk ) không chồng lên ⇒ P [A] = P [A ∩ B1 ] + · · · + P [A ∩ Bn ] Chương 2: Các khái niệm xác suất N Linh-Trung Định lý tổng xác suất là: P [A] = n X P [A|Bk ]P [Bk ] k=1 18 / 31 Chương 2: Các khái niệm xác suất Quy tắc Bayes I I Cho B1 , , Bn mảng (các biến cố) hợp thành không gian mẫu S Giả thiết biến cố A xuất Quy tắc Bayes: P [Bj |A] = I I I N Linh-Trung P [A|Bj ]P [Bj ] P [A|Bj ]P [Bj ] = Pn P [A] k=1 P [A|Bk ]P [Bk ] P [Bj ]: xác suất tiền nghiệm - priori: xác suất biết cố trước thực nghiệm diễn P [Bj |A]: xác suất hậu nghiệm - posteriori: xác suất biến cố sau thi thực nghiệm diễn thu A Cách để ghi nhớ quy tắc Bayes: dự đoán lối vào dựa lối P [Out|In]P [In] P [In|Out] = P [Out] 19 / 31 Tính độc lập biến cố I Nếu biết xuất biến cố B khơng ảnh hưởng đến biến cố A, biến cố A coi độc lập với biến cố B: Chương 2: Các khái niệm xác suất N Linh-Trung P [A ∩ B] = P [A]P [B] I A B độc lập P [A|B] = P [A] P [B|A] = P [B] I Nếu P [A] = 0, P [B] = 0, A ∩ B = ∅, A B độc lập I Các biến cố A1 , A2 , , An độc lập P [A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ] = P [A1 ]P [A2 ] · · · P [An ] 20 / 31 ... khả xuất A ∈ F, P [A] = (số kết A)/n Chương 2: Các khái niệm xác suất N Linh- Trung / 31 Xác suất ban đầu III Bài tập Chương 2: Các khái niệm xác suất N Linh- Trung I S3 = {HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTT}... Nếu S = R xác định quy luật khoảng R Chương 2: Các khái niệm xác suất N Linh- Trung / 31 Chương 2: Các khái niệm xác suất Xác suất ban đầu V Bài tập N Linh- Trung I S7 = {x : ≤ x ≤ 1} I Giả thiết... =? I I I I Chương 2: Các khái niệm xác suất N Linh- Trung A=B A∩B =∅ A⊂B B⊂A 12 / 31 Xác suất có điều kiện III Kết quả: I I I I Nếu Nếu Nếu Nếu Chương 2: Các khái niệm xác suất N Linh- Trung A =