BẢI GIẢNG TOÁN A2_ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Phép tính vi phân hàm một biến số Chương 3.. được gọi là các số hạng và x n là số hạng tổng quát của dãy số.. + • Một dãy số tăng hay giảm được gọi là dãy đơn điệu... Các tính chất củ

Trang 1

TOÁN CAO CẤP A1 ĐẠI HỌC

PHÂN PH Ố I CH I CH ƯƠ ƯƠ NG TRÌNH NG TRÌNH

S ố ti ế t: 45

Chương 1 Hàm số một biến số

Chương 2 Phép tính vi phân hàm một biến số

Chương 3 Phép tính tích phân hàm một biến số

Chương 4 Lý thuyết chuỗi

Tài liệu tham khảo

1 Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A1 – C1

Biên so ạ :ThS Đ Đ o o à V V ươ ươ ng ng Nguyên

T ả i Slide bài gi ả ng Toá A1 Đạ i h c t ạ i

Một dãy số thực (gọi tắt là dãy số) là một ánh xạ f từ ℤ+

vào ℝ cho tương ứng f n( )=x n∈ ℝ

Ký hiệu dãy số là { },x n n=1, 2,

Trong đó, x1;x2; ;x n; được gọi là các số hạng và x n

là số hạng tổng quát của dãy số

Ch Ch ươ ươ ng ng 1 Hàm s ố m ộ t bi ế n s ố

• Dãy số { }, ( 1)n

n n

x x = − được cho ở dạng tổng quát

• Dãy số { }x n sau được cho dưới dạng quy nạp (hồi quy):

1 0 1

1

2

n n n

• Dãy số { }x n được gọi là tăng (hay giảm) nếu x n≤x n+1

(hay x n ≥x n+1) với mọi n∈ ℤ +

• Một dãy số tăng (hay giảm) được gọi là dãy đơn điệu

n

= − bị chặn trên bởi số 0

Trang 2

− =+

1.2 Các tính chất của dãy số hội tụ

Định lý 1

• Nếu dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất

• Nếu dãy số hội tụ thì dãy bị chặn

• Nếu dãy số tăng và bị chặn trên thì dãy hội tụ

• Nếu dãy số giảm và bị chặn dưới thì dãy hội tụ

Định lý 2. Cho hai dãy số hội tụ { }, { }x n y n và

• Cho hai dãy số { }, { }x n y n thỏa x n ≤y n,∀ ≥ n N

Nếu lim n , lim n

n x a n y b

→∞ = →∞ = thì a≤ b

• Cho ba dãy số { }, { }, { }x n y n z n thỏa x n ≤y n ≤ với z n

mọi n≥ Nếu limN n lim n

n n x

• Định lý. Từ mọi dãy số bị chặn, ta đều có thể trích ra

được một dãy con hội tụ

VD 6 Cho dãy số bị chặn { }, sin

Do hai dãy con hội tụ về hai giới hạn khác nhau nên dãy

{ }x n không có giới hạn duy nhất Vậy dãy { }x n phân kỳ

Định lý 6 (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy)

• Định nghĩa. Dãy số { }x n được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu ∀ > cho trước, ta tìm được N ε 0 ∈ ℤ +sao cho ∀m n, ≥ thì N x m−x n < ε

• Định lý. Mọi dãy số hội tụ đều là dãy Cauchy và ngược

lại, mọi dãy Cauchy đều hội tụ

VD 7 Xét sự hội tụ của các dãy số { }x n sau:

a) : ( 1)n n

x = − ; b)

Trang 3

Ch Ch ươ ươ ng ng 1 Hàm s ố m ộ t bi ế n s ố Một số kết quả giới hạn cần nhớ

β

→∞ = →∞ =

Ch Ch ươ ươ ng ng 1 Hàm s ố m ộ t bi ế n s ố 1.3 Một số ví dụ về giới hạn dãy số

VD 9 Tìm

6 3

( 1)(4 3)lim

n

n n

→∞

− ++

1

n n

Hàm số f (hoặc ánh xạ f ) từ X vào Y là một quy luật

mà mỗi x ∈ xác định được duy nhất một y Y X ∈

Khi đó:

Miền xác định (MXĐ) của f , ký hiệu D , là tập X f

Miền giá trị (MGT) của f là:

G = y=f x x∈X

Nếu f X( )= thì f là toàn ánh (hay tràn ánh) Y

Nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh thì f là song ánh

Trang 4

Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện G g ⊂D f

Khi đó, hàm số h x( )=(f g x)( )=f g x[ ( )] được gọi là

Hàm số g được gọi là hàm số ngược của hàm số f nếu:

6

arc = π

Quy ước arccot( )+∞ =0,arccot( )−∞ = π

Trang 5

Ch Ch ươ ươ ng ng 1 Hàm s ố m ộ t bi ế n s ố 2.2 Giới hạn hàm số

2.2.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1. Cho hàm f x xác định trong ( ) ( ; )a b

Ta nói f x có giới hạn là L (hữu hạn) khi x tiến đến ( )

Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy)

Cho f x xác định trong ( ) ( ; )a b Ta nói f x có giới hạn ( )

là L (hữu hạn) khi x→x0∈[ ; ]a b nếu với bất kỳ dãy

{ }x n trong ( ; ) \ { }a b x0 mà x n→x0 thì f x( )n → L

Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng)

• Ta nói f x có giới hạn là L (hữu hạn) khi x( ) → +∞

nếu với mọi ε > cho trước ta tìm được số 0 M> sao 0

cho khi x>M thì f x( )−L < ε

Ký hiệu là: lim ( )

• Ta nói f x có giới hạn là L (hữu hạn) khi x( ) → −∞

nếu với mọi ε > cho trước ta tìm được số 0 m< sao 0

Định nghĩa 4 (giới hạn vô cùng)

• Ta nói f x có giới hạn là L( ) = +∞ khi x→ nếu với x0

mọi số M> lớn tùy ý, ta tìm được số 0 δ > sao cho 0

• Ta nói f x có giới hạn là L( ) = −∞ khi x→ nếu với x0

mọi số m< tùy ý, ta tìm được số 0 δ > sao cho khi 0

Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía)

• Nếu f x có giới hạn là L (L có thể là ( ) ∞) khi x→x0

(x hữu hạn) và 0 x> thì ta nói ( )x0 f x có giới hạn phải

• Nếu f x có giới hạn là L (L có thể là ( ) ∞) khi x→x0

(x hữu hạn) và 0 x< thì ta nói ( )x0 f x có giới hạn trái

1) ( ) 0 ( ) 0

Trang 6

Ch Ch ươ ươ ng ng 1 Hàm s ố m ộ t bi ế n s ố 2.2.3 Một số ví dụ

VD 1 Tìm giới hạn

0

1 3 1lim

x

x L

8 4 2lim

1lim

3

x x x

2

3lim

coslimcos 2

x x

x L

L=e ; C

1 2

x

β = là VCB khi x→ +∞

Ch Ch ươ ươ ng ng 1 Hàm s ố m ộ t bi ế n s ố b) Tính chất của VCB

• Định nghĩa

Cho α( ), ( )x βx là các VCB khi x→x0,

0

( )lim( )

x k x

– Đặc biệt, nếu k= , ta nói ( )1 αx và β( )x là các VCB

tương đương, ký hiệu ( )αx ∼β( )x

Trang 7

x x

• Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao

Cho α( ), ( )x βx là tổng các VCB khác cấp khi x→x0

thì 0

( )lim( )

x x

− ∼ ; 6) e x− ∼ ; 1 x

Chú ý Nếu u x là VCB khi ( ) x → thì ta có thể thay x0

bởi u x trong 8 công thức trên ( )

ln(1 2 sin )lim

sin 1 1 3 tanlim

x

f x ∼ ; B

2

( )2

1cos 4 3

• Định nghĩa

Cho f x( ), ( )g x là các VCL khi x→x0,

0

( )lim( )

f x k

g x

Khi đó:

– Nếu k= , ta nói ( )0 f x là VCL cấp thấp hơn g x ( )

– Nếu k = ∞, ta nói ( )f x là VCL cấp cao hơn g x ( )

– Nếu 0≠ ≠ ∞, ta nói ( )k f x và g x là các VCL ( )

cùng cấp

– Đặc biệt, nếu k= , ta nói ( )1 f x và g x là các VCL ( )

tương đương Ký hiệu ( ) f x ∼g x( )

Trang 8

cos 1lim

( )lim( )

Chú ý Hàm f x liên tục trên đoạn ( ) [ ; ]a b thì có đồ thị là

một đường liền nét (không đứt khúc) trên đoạn đó

Quy ước Hàm f x liên tục tại mọi điểm cô lập của nó ( )

• Hàm số sơ cấp xác định ở đâu thì liên tục ở đó

• Hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó

2 3, 0

x x

4.4 Phân loại điểm gián đoạn

• Nếu hàm f x( ) không liên tục

tại x thì 0 x được gọi là 0

điểm gián đoạn của f x( ) O

nhau thì ta nói x0 là điểm gián đoạn loại một

Ngược lại, x là điểm gián đoạn loại hai 0

Trang 9

Ch Ch ươ ươ ng ng 2 Phép tính vi phân hàm m ộ t bi ế n s ố

f x x f x y

( ) ( )lim

Nếu f x liên tục và có đạo hàm vô cùng tại ( ) x thì tiếp 0

tuyến tại x của đồ thị 0 y=f x( ) song song với trục Oy

Ch Ch ươ ươ ng ng 2 Phép tính vi phân hàm m ộ t bi ế n s ố 1.2 Các quy tắc tính đạo hàm

1) Đạo hàm tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số:

(u±v)′=u′± ; v′ (uv)′=u v′ +uv′;

1( )( )

x y

y x

′ =

′

Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp

Trang 10

1.3 Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số

• Cho hàm số y=f x( ) có phương trình dạng tham số

2 1, 04

VD 7 Tính đạo hàm f( )n ( )x của hàm số f x( )=sinx

Ch Ch ươ ươ ng ng 2 Phép tính vi phân hàm m ộ t bi ế n s ố 1.5 Đạo hàm của hàm số ẩn

• Cho phương trình F x y( , )= (*) 0

Nếu y=y x( ) là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó sao cho khi thế y x vào (*) ta được đồng nhất thức thì ( )( )

y x được gọi là hàm số ẩn xác định bởi (*)

• Đạo hàm hai vế (*) theo x , ta được F x′+F y y′ ′ x = 0

y x′ = được gọi là đạo hàm của hàm số ẩn ( )y′ y x

VD 12 Viết phương trình tiếp tuyến của

22

x

y

x F a y F b

Trang 11

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M x( ;0 y0)∈( )E là:

( )( )

y=y x′ x−x +y

2 0

Khi đó, phương trình tiếp tuyến là x = ± thỏa (*) a

Vậy phương trình tiếp tuyến là 0 0

VD 1 Tính vi phân cấp 1 của f x( )=x e2 3x tại x0 = − 1

VD 3 Tính vi phân cấp 1 của hàm số y =2ln(arcsin )x

VD 2 Tính vi phân cấp 1 của y=arctan(x2+ 1)

Ch Ch ươ ươ ng ng 2 Phép tính vi phân hàm m ộ t bi ế n s ố 2.2 Vi phân cấp cao

được gọi là vi phân cấp n của hàm y=f x( )

VD 4 Tính vi phân cấp 2 của hàm số y=ln(sin )x

Cho hàm số f x liên tục trong ( ) [ ; ]a b và khả vi trong

( ; )a b Nếu f a( )=f b( ) thì ∃ ∈c ( ; )a b sao cho f c′( )= 0

Trang 12

( ; )a b Khi đó, ∃ ∈c ( ; )a b sao cho:

• f x được gọi là tăng hay giảm không ngặt trong ( ) ( ; )a b

f x tăng ngặt hay giảm ngặt trong ( ; )a b

• f x đơn điệu trong ( ) ( ; )a b và liên tục trong ( ; ]a b thì

f x đơn điệu trong ( ) ( ; ]a b (trường hợp khác tương tự)

Ch Ch ươ ươ ng ng 2 Phép tính vi phân hàm m ộ t bi ế n s ố b) Định lý 1

Cho hàm số f x khả vi trong trong ( ) ( ; )a b Khi đó:

• Nếu f x′( )> ∀ ∈0, x ( ; )a b thì f x tăng ngặt trong ( ) ( ; )a b

• Nếu f x′( )< ∀ ∈0, x ( ; )a b thì f x giảm ngặt trong ( ) ( ; )a b

• Nếu f x′( )≥ ∀ ∈0, x ( ; )a b hay f x′( )≤ ∀ ∈0, x ( ; )a b thì

( )

f x tăng không ngặt hay giảm không ngặt trong ( ; )a b

c) Định lý 2

• Nếu f x tăng ngặt trong ( ) ( ; )a b thì f x′( )≥ trong ( ; )0 a b

và không tồn tại ( ; )α β ⊂( ; )a b sao cho f x( )≡ 0

• Nếu f x giảm ngặt trong ( ) ( ; )a b thì f x′( )≤ trong 0( ; )a b và không tồn tại ( ; )α β ⊂( ; )a b sao cho f x( )≡ 0

VD 1 Tìm các khoảng đơn điệu của y=ln(x2+ 1)

VD 2 Tìm các khoảng đơn điệu của

2 2

1( )

( 1)

x

f x x

VD 4 Tìm các khoảng đơn điệu của y=e x3−4

Ch Ch ươ ươ ng ng 2 Phép tính vi phân hàm m ộ t bi ế n s ố 3.2.2 Cực trị

• Nếu f(2 )n( )x0 > thì ( )0 f x đạt cực tiểu tại x 0

• Nếu f(2 )n( )x0 < thì ( )0 f x đạt cực đại tại x 0

Trang 13

b) Phương pháp tìm max – min

Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]

Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên đoạn [ ; ]a b

∈ , ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1. Giải phương trình f x′( )= Giả sử có n 0

nghiệm x1, ,x n∈[ ; ]a b (loại các nghiệm ngoài [ ; ]a b )

• Bước 2. Tính f a( ), ( ), , ( ), ( )f x1 f x n f b

• Bước 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị đã tính ở trên là các giá trị max, min tương ứng cần tìm

VD 6 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

• Nếu đề bài chưa cho đoạn [ ; ]a b thì ta phải tìm MXĐ

của hàm số trước khi làm bước 1

• Có thể đổi biến số t=t x( ) và viết y=f x( )=g t x( ( ))

Gọi T là miền giá trị của hàm t x thì: ( )

VD 7 Tìm max, min của f x( )= − +x2 5x+ 6

VD 8 Tìm max, min của

2

sin 1sin sin 1

x y

+

=

+ +

Hàm số liên tục trên khoảng (a; b)

Cho hàm y= f x( ) liên tục trên ( ; )a b ( a b có thể là , ∞)

• Bước 1. Giải phương trình f x′( )= Giả sử có n 0

nghiệm x1, ,x n∈[ ; ]a b (loại các nghiệm ngoài [ ; ]a b )

• Bước 2. Tính f x( ), , ( )1 f x và hai giới hạn n

max max{ ( ), , ( )}n

x a b f f x f x

2) Nếu min{ ( ), , ( )}f x1 f x n <min{ ,L L1 2} thì

1 ( ; )

min min{ ( ), , ( )}n

x a b f f x f x

3) Nếu không thỏa 1) (hoặc 2)) thì hàm số không đạt

max (hoặc min)

VD 9 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

=

− trên khoảng (1;+∞ )

Chú ý

Ta có thể lập bảng biến thiên của f x thay cho bước 3 ( )

VD 10 Tìm điều kiện của tham số m để phương trình

sau có nghiệm: m( x2+ − − = 2 1) x 0

a) Định nghĩa

• Hàm số f x được gọi là hàm lồi trong ( ) ( ; )a b nếu f x′( )

tăng trong ( ; )a b Khi đó, đồ thị y= f x( ) được gọi là

đồ thị lõm trong ( ; )a b

• Hàm số f x được gọi là hàm lõm trong ( ) ( ; )a b nếu

( )

f x′ giảm trong ( ; )a b Khi đó, đồ thị y= f x( ) được

gọi là đồ thị lồi trong ( ; )a b

3.3 Khoảng lồi, lõm của đồ thị – điểm uốn

• Điểm M x0( ;0 y trên đồ thị nằm giữa phần lõm và lồi 0)

được gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y= f x( )

Trang 14

b) Định lý

• Nếu f′′( )x > (hay ( )0 f′′x < ) với mọi 0 x∈( ; )a b thì

đồ thị hàm số y=f x( ) lõm (hay lồi) trong ( ; )a b

VD 11 Hàm số y=x3−3x2+ 1

lõm và có đồ thị lồi trong (−∞; 1);

hàm y=x3−3x2+ lồi và có đồ 1

thị lõm trong (1;+∞ )

M(1; 1) là điểm uốn của đồ thị

• Nếu f′′( )x0 = và ( )0 f′′x đổi dấu khi x chuyển từ trái

sang phải qua điểm x thì 0 M x0( ;0 y là điểm uốn của 0)

Khi a = thì đồ thị có tiệm cận ngang y0 = b

VD 15 Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị hàm số:

2 3

4.1 Công thức khai triển Taylor

Cho hàm số f x liên tục trên ( ) [ ; ]a b có đạo hàm đến cấp

n+ trên ( ; )1 a b với x x, 0 ∈( ; )a b ta có các khai triển:

• Khai triển Taylor với phần dư Lagrange

1 0

• Khai triển Maclaurin được viết lại:

2 ( )

• Khai triển Maclaurin

Khai triển Taylor với phần dư Peano tại x0= được 0

gọi là khai triển Maclaurin

Vậy:

( ) 0

(0)

!

k n

Trang 15

4.2 Các khai triển Maclaurin cần nhớ

3

x

Chú ý

Nếu u x là VCB khi ( ) x → thì ta thay x trong các 0

công thức trên bởi u x ( )

VD 3 Khai triển Maclaurin hàm

VD 4 Khai triển Maclaurin của y=ln(1−2 )x2 đến x 6

VD 5 Khai triển Maclaurin của hàm số y =2x đến x 4

VD 6 Khai triển Maclaurin của y=e sin x đến x 3

VD 7 Khai triển Maclaurin của hàm số:

2 2

1( )1

0 0

( )

!

k n

k k

4.3.1 Tính giá trị gần đúng của hàm số (tham khảo)

6(n 1)! n

⇒ ε < ⇒ =

22! 3! 4 ! 5! 6!

4.3.2 Tìm giới hạn tỉ số của hai VCB

a) Phần chính của VCB α(x) khi x → 0 (tham khảo)

Nếu α( )x là VCB khi x→ thỏa 0 α(k−1)(0)= và 0

!

k k

α = , (0)α′ = ≠ ⇒ phần chính của ( )1 0 α x là x

Nhận xét. Khi x→ thì 0 etanx− ∼ 1 x

Trang 16

b) Các ví dụ tìm giới hạn

VD 11 Tìm giới hạn

0

2lim

sin 0( )

3!

x

x= −x + x Vậy

10( )

0( )6

1 1

x x

6

x

4.3.3 Tìm tiệm cận cong (hay xiên) của đồ thị hàm số

Nếu f x( )=g x( )+ α( )x với g x là đa thức và ( ) α( )x là

11

y= − là tiệm cận xiên của đồ thị ( )x C

VD 14 Tìm tiệm cận xiên của

111

y= − − là 2 tiệm cận xiên của ( )x C

VD 15 Tìm tiệm cận cong của

4 2

2 3( ) :

11

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	1 MB