Danh sách bài tập cơ bản cho toán Đại Học:Đại số tuyến tính.
Trang 1GV: Th.S Lê Thế Sắc
BÀI TẬP TUẦN 1
Dạng 1: Các phép toán véc tơ
Bài 1 Cho các véc tơ
1
2 , 3
u
3
1 , 2
v
2
1
1 Tính uv, u v w, u2v3w;
2 u có phải là tổ hợp tuyến tính của v và w không?
Bài 2 Cho 1
1
2 , 3
u
2
3
4 , 2
u
2 6 6
v
Véc tơ v có thuộc span u u 1, 2 không? Tại sao?
Dạng 2: Các phép toán ma trận
Bài 3 Cho 2 ma trận
3 0 1
2 1 1
1 0 3
A
và
B
Hãy tìm: a) 3A; b) A + B; c) A – 3B; d)A T 3BT; e) AB; f) B A T T
Bài 4 Tính Ax theo 2 cách:
1 2 4 2 2 3 1 2
4 1 2 3
a Ax
2 1 0 0 1
1 2 1 0 1
0 1 2 1 1
0 0 1 0 2
Dạng 3: Biểu diễn hệ phương trình tuyến tính
Bài 5 Viết các hệ phương trình sau dưới dạng ma trận và dạng véc tơ:
2 5 7
1
b
Dạng 4: Tìm điểu kiện của tham số để hệ có nghiệm
Bài 6 Tìm số m sao cho tồn tại X thỏa mãn:
1 0 5 6
,
0 1 3 2
X m
sau đó tìm X
Trang 2GV: Th.S Lê Thế Sắc Bài 7 Tìm điều kiện của tham số thực a,b,c,m để các hệ sau có nghiệm:
a
2
2
Dạng 5: Phương pháp khử Gauss – Jordan giải hệ phương trình
Bài 8 Giải hệ sau bằng phương pháp khử Gauss- Jordan:
1
2
x y z t
1 2 3
1 2 3
1 2
Dạng 6: Giải và biện luận hệ bằng phương pháp khử Gauss – Jordan
Bài 9 Giải và biện luận hệ các hệ phương trình sau theo tham số a:
2
1 2 3
2
7
8
Bài 10 Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo các tham số a và b:
2
x y az
Trang 3GV: Th.S Lê Thế Sắc Bài 11 Giải và biện luận hệ phương trình sau theo các tham số b b b : 1, 2, 3
1 2 3
Dạng 7: Định nghĩa ma trận nghịch đảo
Bài 12 Chứng minh các khẳng định sau:
a Nếu A là ma trận vuông thỏa mãn 2
A AI thì ma trận A khả nghịch và
1
3
A I A;
b Nếu A khả nghịch và AB AC thì B C
Dạng 8: Phương pháp Gauss – Jordan tìm ma trận nghịch đảo
Bài 13 a Tìm ma trận nghịch đảo của A bằng phương pháp Gauss – Jordan:
1 0 0
2 1 3 ;
0 0 1
A
b Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình:
1 2 3
1 2 0
1 0 0
AX
Bài 14 Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình:
1 1 1
1 2 3
0 1 2
1 2 3
X
Bài 15 Cho 2 ma trận
2 3 6
15 4 12
A
và
3 2 5
14 3 12
B
Tính A B 1
Bài 16 Giải các phương trình ma trận sau :
a X
b X
Trang 4GV: Th.S Lê Thế Sắc
BÀI TẬP TUẦN 2
Dạng 1: Liên hệ giữa ma trận và định thức
Bài 17 Cho ma trận A có cỡ 44 và detA =
2
1
, hãy tìm det(2A), det(−A), det(A2) và det(A−1)
Dạng 2: Tính định thức bằng cách sử dụng công thức phần phụ đại số
Bài 18 Tính định thức theo 3 cách (quy tắc 6 phần tử, đưa về ma trận tam giác và công thức phần phụ đại số):
0 0 1 0 2 5
4 0 4
a
Bài 19 Tìm ma trận phụ hợp C của các ma trận sau Hãy tìm detB nhờ các phần phụ đại số của nó
2 1
3 6
a A
1 2 3 4 5 6
7 0 0
b B
Bài 20 Sử dụng công thức phần phụ đại số, tính định thức của ma trận sau:
4 0 4
6 2 0 3
5 0 3 0
1 2
1
b
a A
Dạng 3: Tính định thức bằng cách sử dụng các tính chất
Bài 21 Sử dụng các phép toán hàng để chỉ ra rằng "định thức Vandermonde" bằng:
2 2 2
1
1
a a
c c
Bài 22 Tính nhanh định thức của các ma trận sau:
101 201 301
102 202 302
103 203 303
a
2 2
1 1
1
t t
t t
Bài 23 Biết 5
Tính các định thức sau:
Trang 5GV: Th.S Lê Thế Sắc 2 2 2 ;
2 2 2
Bài 24 Tính định thức của các ma trận sau bằng cách đưa về ma trận tam giác trên:
1 2 3 0
2 6 6 1
1 0 0 3
0 2 0 7
a A
b B
Dạng 4: Tính định thức bằng cách kết hợp các phương pháp
Bài 25 Tính định thức của các ma trận sau:
2 2 0 5
1 4 2 7
6 3 5 8
5 1 7 2
a
2 1 7 5
3 2 6 1
5 8 1 9
7 2 6 3
b
3
c
y
0 0
0 0
d
Dạng 5: Ứng dụng của định thức tìm ma trận nghịch đảo
Bài 26 Sử dụng công thức phần phụ đại số tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:
0 1 2 A= 2 3 3
4 4 4
Bài 27 Dùng tiêu chuẩn về định thức tìm điều kiện của m để ma trận sau khả nghịch:
A
m
Dạng 6: Ứng dụng của định thức giải hệ phương trình
Bài 28 Giải các hệ phương trình sau bằng quy tắc Cramer:
c
Trang 6GV: Th.S Lê Thế Sắc Bài 29 Tìm m để hệ sau có duy nhất 1 nghiệm Tìm nghiệm đó bằng quy tắc Cramer:
Dạng 7: Chứng minh một tập là không gian con
Bài 30 Tập con nào sau đây cùng với phép toán cộng và nhân thông thường trong R3 là không gian con của R3
a Mặt phẳng chứa các vectơ ( , , )x y z sao cho x y
b Mặt phẳng chứa các vectơ ( , , )x y z sao cho x 0
W x y z, , R xyz0
d Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của u 1, 4, 0 và v 2, 2, 2
W x y z, , R xy z 0
W x y z, , R x yz
W x y z, , R x y z m Tìm m để W là một không gian con của R 3 Bài 32 Kí hiệu M2 2, R là tập các ma trận vuông cấp hai với phần tử thực và G là tập các ma trận khả nghịch của M2 2, R Chứng minh rằng G không là không gian con của M2 2, R
Dạng 8: Mô tả bốn không gian con của ma trận
Bài 33 Hãy mô tả các không gian cột của các ma trận sau:
1 2 0 0
0 0
1 0 0 2
0 0
b B
1 0 2 0
0 0
Bài 34 Mô tả không gian cột và không gian hàng của ma trận sau:
1 2 3
2 4 6
1 4 6
A
Từ đó chỉ ra các véc tơ u0;0;6C A và v 2; 2;3C A T
Trang 7GV: Th.S Lê Thế Sắc
Bài 35 Mô tả 4 không gian con liên quan đến ma trận
8 8 0
4 4 0
2 4 2
B
Bài 36 Tìm điều kiện của vế phải để các hệ sau có nghiệm?
1 1
2 2
3 3
2 8 4
1 1
2 2
3
2 9
b x
x
b
Bài 37 Cho
1 4 6
A
a Với giá trị nào của a,b,c thì v = (a,b,c) thuộc không gian C(A);
b Với giá trị nào của a,b,c thì v = (a,b,c) thuộc không gian N(A)
Bài 38 Xây dựng 1 ma trận mà không gian cột chứa véc tơ (1,1,5) và (0,3,1) còn không gian nghiệm chứa véc tơ (1,1,2)
Trang 8GV: Th.S Lê Thế Sắc
BÀI TẬP TUẦN 3
Dạng 1: Tìm hạng của ma trận
Bài 39 Tìm hạng của các ma trận sau đây:
a Ma trận cấp 34 có tất cả các phần tử đều bằng 1;
b Ma trận cấp 34 với a ij i j1;
c Ma trận cấp 34 với j
ij
a (1) Bài 40 Biện luận theo m hạng của các ma trận sau:
a
A
m
b
1 0 1
1 1 2
1 1
B
m
Bài 41 Tìm hạng của ma trận sau:
1 2 10
a A
B 4 2 5 1 7
b
c C
Bài 42 Tìm m sao cho hạng của ma trận sau là nhỏ nhất :
4 10 1
1 7 17 3
m
Bài 43 Tìm hạng của ma trận A A A AA, T , T :
1 1 5
1 0 1
a A
2 0 1
b A
Dạng 2: Tìm nghiệm tổng quát của hệ Ax 0
Bài 44 Tìm nghiệm đầy đủ của của các hệ Ax 0, Bx với: 0
1 3 5
2 6 10
A
2 6 7
B
Bài 45 Tùy theo m hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình Ax = 0 biết:
A
m
Trang 9
GV: Th.S Lê Thế Sắc
Dạng 3: Tìm nghiệm tổng quát của hệ Ax b
Bài 46 Tìm nghiệm tổng quát của các hệ phương trình sau:
2 6 4 8 3
x y a
z t
1 3 4
1 2 3
1 3 4
1 2 3 4
2 3 5 7 1 4 6 2 3 2
2 3 11 15 1
x x c
x x
Bài 47 Biết nghiệm tổng quát đối với
3
1
1
0 0
1
c
x Hãy tìm ma trận A
Bài 48 Tìm nghiệm đặc biệt, từ đó suy ra nghiệm tổng quát của hệ Ax = b với
A
,
biết rằng hệ trên có một nghiệm riêng x p (0,1,1)
Dạng 4: Mối liên hệ giữa hạng của ma trận và số nghiệm của hệ
Bài 49 Cho hệ phương trình:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a Xác định a và b để hệ có nghiệm duy nhất;
b Xác định a và b để hệ có vô số nghiệm
Bài 50 Tìm điều kiện đối với b1,b2,b để hệ sau có nghiệm Tìm nghiệm khi có điều kiện đó: 3
1 2 3
Dạng 5: Kiểm tra sự phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính của hệ véc tơ
Bài 51 Cho các véc tơ v 1 1, 3, 2, 4 ; v 2 3, 4, 1, 3 ; v 3 2, 7, 2, 5 ; v4 2, 6, 4, m
1 Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ tùy theo giá trị của m;
2 Tìm m để v là tổ hợp tuyến tính của 4 v 1, v 2, v 3
Bài 52 Kiểm tra tính độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ véc tơ sau:
a v11,3, 2 ; v2 2,1,3 ; v33, 2,1 ;
b v11, 3, 2,1 , v2 2,1, 3,0 , v3 3, 2,0,1
Trang 10GV: Th.S Lê Thế Sắc
Dạng 6: Kiểm tra hệ véc tơ là cơ sở của không gian cho trước
Bài 53 Hệ vectơ nào sau đây là cơ sở của R 3?
a 1, 2, 2 ; 1, 2,1 ; 0,8, 0 ;
b 1,1, 1 ; 2,3, 4 ; 4,1, 1 ; 0,1, 1 ;
c 1, 2, 2 ; 1, 2,1 ; 0,8,6
Dạng 7: Tìm một cơ sở và số chiều của một không gian véc tơ
Bài 54 Tìm một cơ sở cho mỗi không gian con sau đây của R 4:
a Tất cả các vectơ mà các thành phần của chúng đều bằng nhau;
b Tất cả các vectơ mà tổng các thành phần của chúng bằng 0
Bài 55 Cho các vectơ v12,1,3 , v2 3, 1, 4 , v3 2, 6, 4 Ký hiệu W là không gian con của
R3 sinh bởi các véc tơ v v v Tìm một cơ sở và số chiều của W 1, 2, 3
Bài 56 Hãy tìm một cơ sở và số chiều của các không gian con sau đây:
V x y z t R z x y txy
b V2 0, , , 0 ; ,x y x yR;
V x y z t R x yz
Bài 57 Tìm cơ sở và số chiều của 4 không gian con chủ yếu liên quan đến ma trận:
1 2 4
2 4 8
a A
1 2 4
b B
1 3 0 5 2 6 1 16
5 15 0 25
c E
0 1 2 3 4 0 1 2 4 6
0 0 0 1 2
d F
Trang 11GV: Th.S Lê Thế Sắc
BÀI TẬP TUẦN 4
Dạng 1: Tìm giá trị riêng, véc tơ riêng của một ma trận
Bài 58 Hãy tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của các ma trận sau:
1 4
2 3
a A
1 1
b B
0 0 1 C 0 2 0
3 0 0
c
d D
Dạng 2: Sử dụng các tính chất của giá trị riêng, véc tơ riêng
Bài 59 Hãy xác định hàng thứ hai của 0 1
* *
A
sao cho A có các giá trị riêng là 4 và 7
Bài 60 Tìm tất cả các véc tơ riêng và giá trị riêng của ma trận A100 + A + 2I biết 1 1
2 2
A
Bài 61 Cho A là ma trận vuông cấp 2 với tr A và det 8 A 12 Hãy tìm các giá trị riêng của A Bài 62 Cho là giá trị riêng của ma trận A tương ứng với véc tơ riêng x Chứng minh rằng:
1 2 là giá trị riêng của 2
A
2 1
là giá trị riêng của 1
A
3 là giá trị riêng của 1 A I
Bài 63 Cho A là ma trận vuông cấp 2 có 2 giá trị riêng là 1 và 3 2 4 Tính detA I Bài 64 Cho A là ma trận vuông cấp 3 có 3 giá trị riêng là 1 1, 2 2, 3 3
1 Tính det 2 A ; det T;
A A det A I1
2 Tìm hạng của ma trận A
Dạng 3: Chéo hóa ma trận và ứng dụng
Bài 65 Kiểm tra tính chéo hóa của ma trận sau:
2 2 2 A 2 2 2
2 2 2
a
b B
Bài 66 Chéo hoá ma trận A và tính A2013 biết : 2 1
1 2
A
Bài 67 Chéo hoá ma trận B và tính k
B biết: 3 1
0 2
B
Dạng 4: Tìm phần bù trực giao của một không gian con
Trang 12GV: Th.S Lê Thế Sắc
Bài 68
a Cho S là không gian con của R3 chỉ chứa véc tơ không Hãy tìm S;
b Cho S là không gian con của R3 sinh bởi véc tơ 1,1,1 Hãy tìm S;
c Cho S là không gian con sinh bởi các véc tơ u 1 2, 0, 0 và u 2 0,0,3 Hãy tìm S
Bài 69 Cho các vectơ v1 = (1, 0, -2, 1), v2 = (0, 1, 3, -2) Ký hiệu W là không gian con của R4
gồm tất cả những tổ hợp tuyến tính của v1, v2
a Hãy tìm W;
b Tính số chiều của W
Dạng 5: Tìm cơ sở của phần bù trực giao
Bài 70 Cho hệ phương trình sau: 1 2 3 4
1 2 3 4
a Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm S của hệ;
b Tìm cơ sở và số chiều của S
Bài 71 Giả sử P là không gian nghiệm của phương trình: x3y4z0
a Tìm một cơ sở của P;
b Tìm véc tơ u và véc tơ P vP sao cho u v 6, 4, 5
Bài 72 Cho S là không gian sinh bởi các véc tơ u 1, 2,3 và v 0,1, 2 Tìm một cơ sở và số
chiều của S
Bài 73
a Hãy tìm một cơ sở của không gian con S trong R4 sinh bởi tất cả các nghiệm của:
1 2 3– 4 0;
x x x x
b Hãy tìm một cơ sở của phần bù trực giao S
Dạng 6: Phương pháp trực giao hóa Gram - Schmidt
Bài 74 Hãy tìm các vectơ trực giao A, B, C bằng phương pháp Gram-Schmidt từ a b c , , :
1, 1,0,0 ; 0,1, 1, 0 ; 0, 0,1, 1
Bài 75 Cho các véc tơ v1 1, 0, 0, 0 , v2 2, 1, 0, 0 , v3 3, 2, 1, 0
a Chứng minh hệ véc tơ v v v độc lập tuyến tính; 1, ,2 3
b Dùng trực giao hóa Gram – Schmidt xây dựng tập trực giao u u u1, 2, 3 từ v v v1, 2, 3
Trang 13GV: Th.S Lê Thế Sắc
BÀI TẬP TUẦN 5
Dạng 1: Chứng minh ánh xạ là phép biến đổi tuyến tính và tìm ảnh
Bài 76 Cho M là ma trận vuông cấp 2 và 1 2
3 4
A
Ánh xạ T được định nghĩa bởi T(M) = AM Hãy chỉ ra rằng T là phép biến đổi tuyến tính
Bài 77 Cho ánh xạ 2 3
: R R
T xác định như sau:
T v xu yu x y u
trong đó vx y, , u1 1, 0, 0 , u2 1,1, 0 , u3 1,1,1
Chứng minh rằng T là một biến đổi tuyến tính Tìm ma trận chính tắc của T
Bài 78 Cho E v v v1, 2, 3 là một cơ sở của 3
R với 1
1
1 , 1
v
2
1
1 , 0
v
3
1
0 0
v
Cho T là phép biến đổi tuyến tính từ R3 vào R3 xác định bởi:
T x v x v x v x x x v x x v x x v
a Tìm ma trận chính tắc của T
b Với v 1, 1, 1 , tìm T(v)
c T có khả nghịch không?
Bài 79 Cho ánh xạ 2 3
:
T R R xác định như sau:
1 2 3
T v x y u xu yu
1 , 1 , 0
, x v y
a Chứng minh T là phép biến đổi tuyến tính
b Tìm ma trận chính tắc của T
Bài 80 Giả sử T là phép biến đổi tuyến tính biến (1,1) thành (2,2), biến (2,0) thành (0,0)
Tìm T(v) trong các trường hợp sau:
a) v = (2,2) b) v = (3,1)
c) v = (-1,1) d) v = (a,b)
Bài 81 Cho { ,e e e1 2, }3 là cơ sở chính tắc của R3, T là phép biến đổi tuyến tính từ R3 vào R3, thoả mãn điều kiện:
Trang 14GV: Th.S Lê Thế Sắc
a Tìm ma trận chính tắc của T
b Với
1 2 3
v
thì T v ( ) ?
Bài 82 Cho {e1, e2} là cơ sở chính tắc của R2 Cho T là phép biến đổi tuyến tính từ R2 vào R2 thoả mãn điều kiện T e 1e2 = 1, 1 , T2e1 e2 0, 1
a Tìm ma trận chính tắc của T
b Chứng minh rằng T khả nghịch và tìm ma trận chính tắc của T-1
c Tìm vectơ u R2 sao cho T u 2, 1
Dạng 2: Tìm ma trận chuyển cơ sở và ma trận của phép biến đổi tuyến tính
Bài 83 Cho E = {(1, 2); (2, 3)} và F = {(1, 1); (2, 1)} là 2 cơ sở của R 2
a Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang F và từ F sang E
b Biết tọa độ của vectơ v theo cơ sở E là (1, -1), tìm tọa độ của v theo cơ sở F
Bài 84 Trong không gian R2 cho hai cơ sở :
Bu u B u u
a Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B’
b Cho w = 3u1 – 5u2 Tính tọa độ của w trong cơ sở B’
Bài 85 Cho phép biến đổi tuyến tính 2 2
:
T R R có ma trận trong cơ sở 1 1 , 2 2
Eu u
là
1
0
A
Tìm ma trận B của T trong cơ sở 1 1 , 2 0
F v v
Bài 86 Cho phép biến đổi tuyến tính
2 2
1 2 1 2 2
: ( , ) ( 2 , 3 )
a Tìm ma trận chính tắc của T
b Tìm ma trận của T trong cơ sở 1 1 , 2 0
F v v
Bài 87 Cho phép biến đổi tuyến tính