Bài giảng môn học đại số tuyến tính chương 0 số phức

Nội dung chương Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Chương SỐ PHỨC Lê Văn Luyện lvluyen@yahoo.com http://lvluyen.wordpress.com/dstt Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com / 86 Nội dung chương Nội dung Chương SỐ PHỨC Dạng đại số số phức Dạng lượng giác số phức Căn số phức Định lý Đại số Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com / 86 Dạng đại số số phức Dạng lượng giác số phức Định nghĩa Ta ký hiệu i số thỏa mãn điều kiện i2 = −1 Khi i ∈ / R i gọi đơn vị ảo Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com / 86 Dạng đại số số phức Dạng lượng giác số phức Định nghĩa Ta ký hiệu i số thỏa mãn điều kiện i2 = −1 Khi i ∈ / R i gọi đơn vị ảo Tập số phức ký hiệu C C = {a + bi | a, b ∈ R} Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com / 86 Dạng đại số số phức Dạng lượng giác số phức Định nghĩa Ta ký hiệu i số thỏa mãn điều kiện i2 = −1 Khi i ∈ / R i gọi đơn vị ảo Tập số phức ký hiệu C C = {a + bi | a, b ∈ R} Dạng đại số số phức là: z = a + bi, Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com / 86 Dạng đại số số phức Dạng lượng giác số phức Định nghĩa Ta ký hiệu i số thỏa mãn điều kiện i2 = −1 Khi i ∈ / R i gọi đơn vị ảo Tập số phức ký hiệu C C = {a + bi | a, b ∈ R} Dạng đại số số phức là: z = a + bi, • a : gọi phần thực số phức z, ký hiệu Re(z) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com / 86 Dạng đại số số phức Dạng lượng giác số phức Định nghĩa Ta ký hiệu i số thỏa mãn điều kiện i2 = −1 Khi i ∈ / R i gọi đơn vị ảo Tập số phức ký hiệu C C = {a + bi | a, b ∈ R} Dạng đại số số phức là: z = a + bi, • a : gọi phần thực số phức z, ký hiệu Re(z) • b : gọi phần ảo số phức z, ký hiệu Im(z) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com / 86 Dạng đại số số phức Dạng lượng giác số phức Định nghĩa Ta ký hiệu i số thỏa mãn điều kiện i2 = −1 Khi i ∈ / R i gọi đơn vị ảo Tập số phức ký hiệu C C = {a + bi | a, b ∈ R} Dạng đại số số phức là: z = a + bi, • a : gọi phần thực số phức z, ký hiệu Re(z) • b : gọi phần ảo số phức z, ký hiệu Im(z) Ví dụ Cho z = − 2i Khi Re(z) = Im(z) = −2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com / 86 Dạng đại số số phức Phép toán số phức Ta định nghĩa phép toán cộng trừ, nhân, chia C cách tự nhiên R (chú ý i2 = −1.) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com / 86 Dạng đại số số phức Phép toán số phức Ta định nghĩa phép toán cộng trừ, nhân, chia C cách tự nhiên R (chú ý i2 = −1.) Mệnh đề Cho z = a + bi; z = c + di Khi Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com / 86 Căn số phức (x2 − y + 2xyi) − 2(x − yi) + = hay (x2 − y − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = ⇐⇒ Từ (2) ⇒ x2 − y − 2x + = 0; (x + 1)y = (1) (2) x = −1 y = • x = −1, (1) trở thành − y = ⇔ y = ±2 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com 22 / 86 Căn số phức (x2 − y + 2xyi) − 2(x − yi) + = hay (x2 − y − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = ⇐⇒ Từ (2) ⇒ x2 − y − 2x + = 0; (x + 1)y = (1) (2) x = −1 y = • x = −1, (1) trở thành − y = ⇔ y = ±2 • y = 0, (1 ) trở thành x2 − 2x + = ⇔ x = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com 22 / 86 Căn số phức (x2 − y + 2xyi) − 2(x − yi) + = hay (x2 − y − 2x + 1) + 2(x + 1)yi = ⇐⇒ Từ (2) ⇒ x2 − y − 2x + = 0; (x + 1)y = (1) (2) x = −1 y = • x = −1, (1) trở thành − y = ⇔ y = ±2 • y = 0, (1 ) trở thành x2 − 2x + = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm z1 = −1 + 2i; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) z2 = −1 − 2i; Chương Số phức z3 = lvluyen@yahoo.com 22 / 86 Định lý Đại số Định lý Đại số Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com 23 / 86 Định lý Đại số Định lý Đại số Bổ đề Cho f (x) ∈ R[x] đa thức với hệ số thực Giả sử α ∈ C nghiệm f (x) Khi α nghiệm f (x) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com 23 / 86 Định lý Đại số Định lý Đại số Bổ đề Cho f (x) ∈ R[x] đa thức với hệ số thực Giả sử α ∈ C nghiệm f (x) Khi α nghiệm f (x) Định lý [Định lý Đại số] Mọi đa thức bậc lớn hay với hệ số phức có nghiệm phức Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com 23 / 86 Định lý Đại số Định lý Đại số Bổ đề Cho f (x) ∈ R[x] đa thức với hệ số thực Giả sử α ∈ C nghiệm f (x) Khi α nghiệm f (x) Định lý [Định lý Đại số] Mọi đa thức bậc lớn hay với hệ số phức có nghiệm phức Định lý Nếu f (x) ∈ R[x] bậc f (x) lớn hay f (x) phân tích thành tích đa thức R[x] có bậc tối đa Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com 23 / 86 Định lý Đại số Định lý Đại số Bổ đề Cho f (x) ∈ R[x] đa thức với hệ số thực Giả sử α ∈ C nghiệm f (x) Khi α nghiệm f (x) Định lý [Định lý Đại số] Mọi đa thức bậc lớn hay với hệ số phức có nghiệm phức Định lý Nếu f (x) ∈ R[x] bậc f (x) lớn hay f (x) phân tích thành tích đa thức R[x] có bậc tối đa Ví dụ Giải phương trình z + 4z + 11z + 14z + 10 = Biết phương trình có nghiệm z1 = −1 + i Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com 23 / 86 Định lý Đại số Giải Nhận xét z1 = −1 + i nghiệm phương trình z2 = −1 − i nghiệm phương trình Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com 24 / 86 Định lý Đại số Giải Nhận xét z1 = −1 + i nghiệm phương trình z2 = −1 − i nghiệm phương trình Ta có (z − z1 ) (z − z2 ) = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com 24 / 86 Định lý Đại số Giải Nhận xét z1 = −1 + i nghiệm phương trình z2 = −1 − i nghiệm phương trình Ta có (z − z1 ) (z − z2 ) = (z + − i) (z + + i) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com 24 / 86 Định lý Đại số Giải Nhận xét z1 = −1 + i nghiệm phương trình z2 = −1 − i nghiệm phương trình Ta có (z − z1 ) (z − z2 ) = (z + − i) (z + + i) = z + 2z + Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com 24 / 86 Định lý Đại số Giải Nhận xét z1 = −1 + i nghiệm phương trình z2 = −1 − i nghiệm phương trình Ta có (z − z1 ) (z − z2 ) = (z + − i) (z + + i) = z + 2z + Chia đa thức ta z + 4z + 11z + 14z + 10 = z2 + 2z + Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức z2 + 2z + lvluyen@yahoo.com 24 / 86 Định lý Đại số Giải Nhận xét z1 = −1 + i nghiệm phương trình z2 = −1 − i nghiệm phương trình Ta có (z − z1 ) (z − z2 ) = (z + − i) (z + + i) = z + 2z + Chia đa thức ta z + 4z + 11z + 14z + 10 = z2 + 2z + z2 + 2z + Phương trình z2 + 2z + = có hai nghiệm −1 ± 2i Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com 24 / 86 Định lý Đại số Giải Nhận xét z1 = −1 + i nghiệm phương trình z2 = −1 − i nghiệm phương trình Ta có (z − z1 ) (z − z2 ) = (z + − i) (z + + i) = z + 2z + Chia đa thức ta z + 4z + 11z + 14z + 10 = z2 + 2z + z2 + 2z + Phương trình z2 + 2z + = có hai nghiệm −1 ± 2i Vậy phương trình ban đầu có nghiệm −1 + i; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) −1 − i; −1 − 2i; Chương Số phức −1 + 2i lvluyen@yahoo.com 24 / 86 [...]... 5 / 86 1 Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa Cho số phức z = a + bi Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a − bi Định lý Với mọi số phức z, z¯, ta có Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0 Số phức lvluyen@yahoo.com 5 / 86 1 Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa Cho số phức z = a + bi Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a −... mọi số phức z, z¯, ta có i) z¯ = 0 ⇔ z = 0; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0 Số phức lvluyen@yahoo.com 5 / 86 1 Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa Cho số phức z = a + bi Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a − bi Định lý Với mọi số phức z, z¯, ta có i) z¯ = 0 ⇔ z = 0; ii) z¯ = z; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0 Số phức lvluyen@yahoo.com 5 / 86 1 Dạng đại. .. số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa Cho số phức z = a + bi Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a − bi Định lý Với mọi số phức z, z¯, ta có i) z¯ = 0 ⇔ z = 0; ii) z¯ = z; iii) Re(z) = z − z¯ z + z¯ và Im(z) = ; 2 2i Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0 Số phức lvluyen@yahoo.com 5 / 86 1 Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa Cho số phức z = a + bi Ta gọi số. .. Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0 Số phức lvluyen@yahoo.com 6 / 86 1 Dạng đại số của số phức Môđun của số phức Nhận xét i) z = z¯ ⇔ Im(z) = 0, nghĩa là z ∈ R ii) z = −¯ z ⇔ Re(z) = 0, nghĩa là z = bi, b ∈ R Trong trường hợp z = bi ta nói z là số thuần ảo Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0 Số phức lvluyen@yahoo.com 6 / 86 1 Dạng đại số của số phức Môđun của số phức Nhận xét i) z = z¯ ⇔ Im(z) = 0, nghĩa là z ∈... mọi số phức z, z¯, ta có i) z¯ = 0 ⇔ z = 0; ii) z¯ = z; z − z¯ z + z¯ và Im(z) = ; 2 2i iv) z ± z = z¯ ± z¯ ; iii) Re(z) = v) zz = z¯ z¯ ; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0 Số phức lvluyen@yahoo.com 5 / 86 1 Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa Cho số phức z = a + bi Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a − bi Định lý Với mọi số phức z, z¯, ta có i) z¯ = 0 ⇔... 0 ⇔ z = 0; ii) z¯ = z; z − z¯ z + z¯ và Im(z) = ; 2 2i iv) z ± z = z¯ ± z¯ ; iii) Re(z) = v) zz = z¯ z¯ ; z z¯ vi) = (z = 0) z z¯ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0 Số phức lvluyen@yahoo.com 5 / 86 1 Dạng đại số của số phức Môđun của số phức Nhận xét Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0 Số phức lvluyen@yahoo.com 6 / 86 1 Dạng đại số của số phức Môđun của số phức Nhận xét i) z = z¯ ⇔ Im(z) = 0, nghĩa... gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a − bi Định lý Với mọi số phức z, z¯, ta có i) z¯ = 0 ⇔ z = 0; ii) z¯ = z; z − z¯ z + z¯ và Im(z) = ; 2 2i iv) z ± z = z¯ ± z¯ ; iii) Re(z) = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0 Số phức lvluyen@yahoo.com 5 / 86 1 Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa Cho số phức z = a + bi Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức. .. i2 + 53 i3 = 8 + 60i − 1 50 − 125i = −142 − 65i 7 + 5i (7 + 5i)(3 + 4i) 1 + 43i 1 43 2) = = = + i 3 − 4i (3 − 4i)(3 + 4i) 25 25 25 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0 Số phức lvluyen@yahoo.com 4 / 86 1 Dạng đại số của số phức Số phức liên hợp Định nghĩa Cho số phức z = a + bi Ta gọi số phức liên hợp của z, ký hiệu là z¯, là số phức z¯ = a − bi Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0 Số phức lvluyen@yahoo.com... 4 = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0 Số phức lvluyen@yahoo.com 7 / 86 1 Dạng đại số của số phức Ví dụ Cho các số phức z = 3 − 4i; z = −6 + 8i Hãy tìm môđun của z, z ; z + z ; z − z ; zz ; z/z ; z 4 và z −3 Giải |z| = 32 + (−4)2 = 5 ⇒ z 4 = |z|4 = 54 = 625; Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0 Số phức lvluyen@yahoo.com 7 / 86 1 Dạng đại số của số phức Ví dụ Cho các số phức z = 3 − 4i; z = −6 + 8i Hãy... z là số thuần ảo Định nghĩa Cho số phức z = √a + bi Ta gọi môđun của z, ký hiệu là |z|, là số thực không âm |z| = a2 + b2 Ví dụ Với z = 3 − 4i, ta có Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 0 Số phức lvluyen@yahoo.com 6 / 86 1 Dạng đại số của số phức Môđun của số phức Nhận xét i) z = z¯ ⇔ Im(z) = 0, nghĩa là z ∈ R ii) z = −¯ z ⇔ Re(z) = 0, nghĩa là z = bi, b ∈ R Trong trường hợp z = bi ta nói z là số thuần ... dung chương Nội dung Chương SỐ PHỨC Dạng đại số số phức Dạng lượng giác số phức Căn số phức Định lý Đại số Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com / 86 Dạng đại số số phức. .. (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com / 86 Dạng đại số số phức Môđun số phức Nhận xét Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com / 86 Dạng đại số số phức Môđun số phức Nhận... HCM) Chương Số phức lvluyen@yahoo.com / 86 Dạng đại số số phức Số phức liên hợp Định nghĩa Cho số phức z = a + bi Ta gọi số phức liên hợp z, ký hiệu z¯, số phức z¯ = a − bi Định lý Với số phức