Bài giảng Toán cao cấp A3: Chương 2 - ThS. Nguyễn Công Nhựt

Bài giảng Toán cao cấp A3: Chương 2 Tích phân bội, cung cấp cho người học những kiến thức như: Tích phân đường loại 1; Tích phân đường loại 2. Mời các bạn cùng tham khảo!

Bài giảng TỐN CAO CẤP A3 Thạc sĩ Nguyễn Cơng Nhựt Video https://www.youtube.com/c/Toanchobacdaihoc Ngày 17 tháng năm 2020 Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 / 113 TOÁN CAO CẤP A3 Tài liệu VP Khoa Công nghệ thông tin - Tầng Thang điểm đánh giá Quá trình 20% Giữa kỳ 20% Thi cuối kỳ 60% Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 / 113 TỐN CAO CẤP A3 Nội dung mơn học gồm chương: Tích phân bội Tích phân đường Phương trình vi phân Nguyen Cong Nhut Tốn cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 / 113 Content TÍCH PHÂN BỘI Tích phân bội hai Tích phân bội ba TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Tích phân đường loại Tích phân đường loại PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm Phương trình vi phân cấp Phương trình vi phân cấp Nguyen Cong Nhut Tốn cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 72 / 113 Content TÍCH PHÂN BỘI Tích phân bội hai Tích phân bội ba TÍCH PHÂN ĐƯỜNG Tích phân đường loại Tích phân đường loại PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Khái niệm Phương trình vi phân cấp Phương trình vi phân cấp Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 73 / 113 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG NỘI DUNG 1-1 Tích phân đường loại 1-2 Tích phân đường loại Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 74 / 113 Tích phân đường loại NỘI DUNG Bài toán mở đầu (tính diện tích hàng rào) Định nghĩa tích phân đường loại Các tính chất tích phân đường loại Phương pháp tính tích phân đường loại Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 75 / 113 1.1 Bài tốn mở đầu (tính diện tích hàng rào) Cho hàm số ③ = ❢ (① , ② ) ≥ đường cong C mặt phẳng tọa độ Oxy Hãy tính diện tích "hàng rào"dọc theo đường C có chiều cao điểm (x, y) f (x, y) Hình: Nguyen Cong Nhut Tốn cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 76 / 113 1.1 Bài tốn mở đầu (tính diện tích hàng rào) Hình: Diện tích "hàng rào"cần tìm ♥ ❙ ≈ ∑ ❢ (①✐ , ②✐ )∆❧✐ ✐ =1 Đây tổng Riemann lấy giới hạn tổng ∆❧✐ → ta tích phân đường loại I Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 77 / 113 1.2 Định nghĩa tích phân đường loại Định nghĩa: Nếu f(x, y) hàm số xác định đường cong trơn đường loại I ❢ dọc theo ❈ ❆❇ ❢ (① , ② )❞ = lim λ →0 ♥ ∑ ❢ ( ① ✐ , ②✐ ) · ∆ ✐ =1 giới hạn tồn tại, với λ = max ∆ ✐ Chú ý ❆❇ Nguyen Cong Nhut ❢ (① , ② )❞ = ❇❆ Toán cao cấp A3 ❈ = ❆❇ tích phân ✐ ❢ (① , ② )❞ Ngày 17 tháng năm 2020 78 / 113 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại Đường cong L có phương trình tham số Nếu đường cong L mặt phẳng có phương trình ① = ① (t ), ② = ② (t ), với ❛ ≤ t ≤ ❜ thì: ❜ 2 ▲ ❢ (① , ② )❞s = ❛ ❢ (① (t ), ② (t )) (①t ) + (②t ) ❞t Nếu đường cong L khơng gian có phương trình ① = ① (t ), ② = ② (t ), ③ ❛ ≤ t ≤ ❜ thì: ❜ ❢ (① , ② , ③ )❞s = ❢ · (①t )2 + (②t )2 + (③t )2 ❞t Trong đó, ❢ ▲ ≡ ❢ (① (t ), ② (t ), ③ (t )) Nguyen Cong Nhut = ③ (t ) với ❛ Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 80 / 113 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại Đường cong L có phương trình tham số Ví dụ 24 Tính ■ = ③ ❞❧ với (C) :    Nguyen Cong Nhut ① = ❛ cos t ② = ❛ sin t ; ❛, ❜, ❝ ∈ R, ≤ t ≤ ③ = ❜t Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 81 / 113 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại Đường cong L có phương trình tham số Ví dụ 25 Tính ■ = ❆❇ x2 − y2 dl, trong góc phần tư thứ Nguyen Cong Nhut ❆❇ cung phần tư đường tròn ① + ② = 1, nằm Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 82 / 113 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại Đường cong L có phương trình tham số Ví dụ 26 Tính tích phân ■ = ▲ ①❞s Trong đó, ▲ cung trịn có phương trình tham số: ① = cos t , ② = sin t , π6 Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 ≤t≤ π Ngày 17 tháng năm 2020 83 / 113 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại Đường cong L có phương trình tổng qt Nếu ▲ có phương trình ② = ② (① ) với ❛ ≤ ① ≤ ❜ thì: ▲ Nếu ❢ (① , ② )❞s = ❜ ❛ ❢ (① , ② (① )) · + (②① )2 ❞① ▲ có phương trình ① = ① (② ) với ❛ ≤ ② ≤ ❜ thì: ▲ Nguyen Cong Nhut ❢ (① , ② )❞s = ❜ ❛ ❢ (① (② ), ② ) · Toán cao cấp A3 ①② + 1❞② Ngày 17 tháng năm 2020 84 / 113 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại Đường cong L có phương trình tổng qt Ví dụ 27 Tính ■= ❖❆ ①❞❧ , Nguyen Cong Nhut ❖❆ cung parabol ② = ①2 Toán cao cấp A3 từ ❖ (0, 0) đến ❆(2, 2) Ngày 17 tháng năm 2020 85 / 113 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại Đường cong L có phương trình tổng qt Ví dụ 28 Tính ❈ (① + ② )❞s , C biên tam giác với đỉnh O(0, 0), A(1, 0), B(0, 1) Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 86 / 113 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại Đường cong L có phương trình tổng quát Ví dụ 29 Tính tích phân ■= Nguyen Cong Nhut ▲ (① + ② )❞s vói ▲ ∆❖❆❇ có đỉnh ❖ (0; 0), ❆(1; 0), ❇ (1; 2) Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 87 / 113 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại Đường cong L có phương trình tổng quát Ví dụ 30 Tính tích phân ❇ (−2; −3) ■= Nguyen Cong Nhut ▲ (① − ② )❞❧ Trong dó, ▲ đoạn thẳng nối điểm ❆(0; 2) điểm Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 88 / 113 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại Đường cong L có phương trình tổng qt Ví dụ 31 Tính tích phân ❇ (1; −7) ■= ▲ − 2① 2②❞❧ Trong dó, ▲ đoạn thẳng nối điểm ❆(1; −3) điểm Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 89 / 113 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại Đường cong L có phương trình tổng qt Đăc biệt Nếu ▲ có phương trình ② = α ∈ R với ❛ ≤ ① ≤ ❜ thì: ▲ Nếu ❢ (① , ② )❞s = ❜ ❛ ❢ (① , α)❞① ▲ có phương trình ① = α ∈ R với ❛ ≤ ② ≤ ❜ thì: ▲ Nguyen Cong Nhut ❢ (① , ② )❞s = ❜ ❛ ❢ (α, ② )❞② Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 90 / 113 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại Đường cong L tọa độ cực Nếu phương trình đường cong ta xem ϕ tham số Khi đó, phương trình ▲ là: ▲ cho tọa độ cực r = r (ϕ) với α ≤ ϕ ≤ β ① = r (ϕ) cos ϕ, ② = r (ϕ) sin ϕ, α ≤ ϕ ≤ β Đặt ❢ ≡ ❢ (r (ϕ) cos ϕ, r (ϕ) sin ϕ), ta có cơng thúrc: ▲ Nguyen Cong Nhut ❢ (① , ② )❞s = β α ❢ · r + rϕ ❞ ϕ Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 91 / 113 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại Đường cong L tọa độ cực Ví dụ 32 Tính ■= ❈ ① + ② ❞❧ Nguyen Cong Nhut với (❈ ) : ① + ② = ❛① Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 92 / 113 1.4 Phương pháp tính tích phân đường loại Đường cong L tọa độ cực Ví dụ 33 Tính tích phân ■ = ▲ ① + ② ❞s Trong dó, ( ❈ ) : ① + ② − 4② = Nguyen Cong Nhut ▲ đường trịn có phương trình Tốn cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 93 / 113 1.5 Một số ứng dụng tích phân đường loại (đọc thêm) Khối lượng độ dài cung Moment hình học tọa độ trọng tâm đường cong mặt phẳng Moment hình học tọa độ trọng tâm đường cong khơng gian Nguyen Cong Nhut Tốn cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 2020 94 / 113 ...TỐN CAO CẤP A3 Tài liệu VP Khoa Cơng nghệ thông tin - Tầng Thang điểm đánh giá Quá trình 20 % Giữa kỳ 20 % Thi cuối kỳ 60% Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 20 20 / 113 TOÁN CAO CẤP... cấp Phương trình vi phân cấp Nguyen Cong Nhut Toán cao cấp A3 Ngày 17 tháng năm 20 20 73 / 113 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG NỘI DUNG 1-1 Tích phân đường loại 1 -2 Tích phân đường loại Nguyen Cong Nhut Tốn cao. .. cong L có phương trình tổng qt Ví dụ 27 Tính ■= ❖❆ ①❞❧ , Nguyen Cong Nhut ❖❆ cung parabol ② = ? ?2 Toán cao cấp A3 từ ❖ (0, 0) đến ❆ (2, 2) Ngày 17 tháng năm 20 20 85 / 113 1.4 Phương pháp tính tích