Bài giảng Toán cao cấp 2 (Đại số tuyến tính)

HỌC VIỆN N CƠNG NGHỆ NGH BƯU CHÍNH VIỄN N THÔNG Khoa Cơ Bản  ĐỖ PHI NGA BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH) Hà Nội - 2013 LỜI NÓI ĐẦU Tập “ Bài giảng tốn cao cấp học phần Đại số tuyến tính” chứa đựng nội dung học phần Toán cao cấp 2, nằm mơn học Tốn cao cấp, dành cho đối tượng sinh viên đại học qui nhóm ngành kinh tế: quản trị kinh doanh, kế toán, đa phương tiện Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng Tập giảng biên soạn theo Đề cương tín học phần toán cao cấp Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng ban hành năm 2012, bám sát giáo trình mơn Đại số Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng Tập giảng gồm chương tương ứng với hai tín chỉ, 30 học, tập Chương 1: Lôgic mệnh đề, tập hợp, ánh xạ Chương 2: Không gian véc tơ n chiều Chương 3: Ma trận định thức Chương 4: Hệ phương trình tuyến tính Chương 5: Phép biến đổi tuyến tính dạng tồn phương khơng gian n Để dễ dàng cho việc tự học sinh viên, nội dung tập giảng tác giả trình bày theo hướng : Cố gắng giữ lại phần cấu trúc chặt chẽ môn Đại số, nhiên bao quát đầy đủ nội dung môn Đại số tuyến tính Các định lý phát biểu chứng minh xác Tài liệu có nội dung túy tốn học, khơng lồng ghép khái niệm liên quan đến chuyên ngành đối tượng chủ yếu sinh viên năm thứ Đại học - cao đẳng, chưa trang bị kiến thức chuyên ngành Hầu hết nội dung định nghĩa, dẫn đến tính chất, phương pháp tính thuật tốn với nhiều ví dụ minh họa để sinh viên học theo trình tự tài liệu, lớp khơng cần ghi chép nhiều, dành thời gian nghe giảng, hướng dẫn Qua mong muốn người học củng cố rèn luyện phương pháp tư Chú ý đến việc lập luận xác, chặt chẽ, có kỹ tính tốn tốt Mong muốn người học xem mơn tốn cao cấp nói riêng, tốn học nói chung công cụ để học môn học chuyên ngành khác, công tác nghiên cứu sau này, giải vấn đề nảy sinh… Tác giả bày tỏ lịng cảm ơn tới thày giáo Bộ mơn Tốn có nhận xét q báu cho tài liệu mong nhận góp ý thày giáo, đồng nghiệp học viên, sinh viên nhằm làm cho việc trình bày nội dung tập giảng tốt Hà nội, tháng 11 năm 2013 MỤC LỤC CHƯƠNG SƠ LƯỢC VỀ LÔGIC MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP ÁNH XẠ…… 11 1.1 LÔGIC MỆNH ĐỀ 11 1.1.1 Mệnh đề phép liên kết mệnh đề …………………………… 11 1.1.2 Các luật liên kết logic mệnh đề 14 1.2 TẬP HỢP 15 1.2.1 Khái niệm tập hợp…………… 15 1.2.2 Các phép tốn tập hợp tính chất …………………………… 17 1.2.3 Hàm mệnh đề Lượng từ phổ biến, lượng từ tồn 18 1.3 ÁNH XẠ 19 1.3.1 Định nghĩa ánh xạ………………………………………………… 20 1.3.2 Phân loại ánh xạ……………………………… 20 1.3.3 Ánh xạ hợp, ánh xạ ngược……………………………………… 22 BÀI TẬP CHƯƠNG1 24 CHƯƠNG KHÔNG GIAN VÉC TƠ n CHIỀU 27 2.1 KHÁI NIỆM TÍNH CHẤT CỦA KHƠNG GIAN VÉC TƠ ……… 2.1.1 Định nghĩa 27 2.1.2 Tính chất khơng gian véc tơ ………………………… 29 2.2 KHƠNG GIAN VÉC TƠ CON 2.3 2.4 2.5 27 30 2.2.1 Khái niệm.……………………………………… 30 2.2.2 Sự hình thành khơng gian véc tơ 31 a Không gian véc tơ sinh hệ véc tơ …………………… 31 b Giao hai không gian véc tơ ………………… 32 PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH , ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH …………… 33 2.3.1 Các khái niệm 30 2.3.2 Tính chất hệ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính …… 35 CƠ SỞ - CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ…………………… 36 2.4.1 Hạng hệ hữu hạn véc tơ 36 2.4.2 Cơ sở không gian véc tơ – Số chiều không gian véc tơ 41 TỌA ĐỘ CỦA VÉC TƠ TRONG MỘT CƠ SỞ ……………………… 42 BÀI TẬP CHƯƠNG 43 CHƯƠNG MA TRẬN – ĐỊNH THỨC 47 3.1 MA TRẬN 47 3.1.1 Khái niệm 47 3.1.2 Các phép toán ma trận 49 3.1.3 Ma trận chuyển sở 53 ĐỊNH THỨC 58 3.2.1 Hoán vị phép bậc n………………………………………… 58 3.2.2 Định nghĩa định thức 60 3.2.3 Các tính chất định thức……………………………… 63 3.2.3 Các phương pháp tính định thức…………………………………… 66 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO……………………………………………… 73 3.3.1 Điều kiện cần đủ tồn ma trận nghịch đảo…………………… 73 3.3.2 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ………………………… 75 HẠNG CỦA MA TRẬN………………………………………………… 77 3.4.1 Định nghĩa cách tìm hạng ma trận phép biến đổi sơ cấp 77 3.4.2 Định nghĩa tìm hạng ma trận ứng dụng định thức…… 78 3.4.3 Phương pháp tìm hạng hệ véc tơ ứng dụng định thức…… 80 BÀI TẬP CHƯƠNG 3…………………………………………………… 83 CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH……………………… 87 3.2 3.3 3.4 4.1 4.2 KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH……………… 87 4.1.1 Dạng tổng quát dạng biểu diễn khác hệ phương trình tuyến tính………………………………………………………………… 87 4.1.2 Định lí tồn nghiệm 89 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 90 4.2.1 Phương pháp Cramer (phương pháp định thức) ………………… 90 4.2.2 Phương pháp ma trận nghịch đảo…………………………………… 94 4.2.3 Phương pháp khử Gauss …………………………………………… 4.3 95 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 100 4.3.1 Điều kiện tồn nghiệm không tầm thường……………………… 100 4.3.2 Cấu trúc tập hợp nghiệm…………………………………………… 101 4.3.3 Mối liên hệ nghiệm hệ không phương trình tương ứng…………………………………………………… 104 BÀI TẬP CHƯƠNG ………………………………………………… 105 CHƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TỒN PHƯƠNG TRÊN KHƠNG GIAN n 109 5.1 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH 109 5.1.1 Khái niệm tính chất…………………………………………… 109 5.1.2 Ma trận phép biến đổi tuyến tính sở…………… 112 5.1.3 Giá trị riêng, véc tơ riêng phép biến đổi tuyến tính …………… 118 5.1.4 Chéo hóa ma trận………………………………………………… 123 3n …………………………………… 128 5.2.1 Định nghĩa biểu thức toạ độ dạng toàn phương…………… 128 5.2.2 Ma trận dạng toàn phương sở………………… 130 5.2.3 Đưa biểu thức tọa độ dạng tồn phương dạng tắc phương pháp Lagrange …………………………………… 131 5.2.4 Luật quán tính……………………………………………………… 134 BÀI TẬP CHƯƠNG 136 HƯỚNG DẪN BÀI TẬP 142 TÀI LIỆU THAM KHẢO 153 5.2 DẠNG TỒN PHƯƠNG TRÊN Chương 1: Mở đầu lơgic mệnh đề - Tập hợp - Ánh xạ CHƯƠNG MỞ ĐẦU VỀ LÔGIC MỆNH ĐỀ , TẬP HỢP, ÁNH XẠ Những vấn đề trình bày chương xem yếu tố bản, cần thiết cho học viên việc học tập mơn tốn cao cấp nói chung học phần tốn cao cấp nói riêng Trong chương phần đại cương lơgic mệnh đề tốn, tập hợp, chúng tơi trình bày vấn đề bản, nhằm mục đích củng cố vấn đề mà học viên trang bị từ đầu cấp học THCS PTTH; từ nhấn mạnh tầm quan trọng kiến thức mà đại đa số học viên khơng thường xun vận dụng, khai thác q trình học tập Ánh xạ khái niệm dùng để định nghĩa nhiều khái niệm khác toán hoc, chẳng hạn dùng để định nghĩa hàm số, đạo hàm… mơn Giải tích Trong mơn học Tốn cao cấp 2, học viên thấy ánh xạ sử dụng để định nghĩa hầu hết khái niệm định nghĩa phép tốn hai ngơi, từ định nghĩa khơng gian véc tơ, ánh xạ tuyến tính, dạng toàn phương … Nắm vững sử dụng cách xác luật lơgic mệnh đề, vận dụng triệt để kiến thức lý thuyết tập hợp, ánh xạ yếu tố quan trọng học viên muốn đạt kết tốt học tập mơn tốn nói riêng lĩnh vực nghiên cứu khác 1.1 LÔGIC MỆNH ĐỀ 1.1.1 Mệnh đề phép liên kết mệnh đề Trong mục này, ta giới hạn nói mệnh đề Toán Một câu khẳng định, phản ánh điều hoặc sai, khơng thể vừa vừa sai mệnh đề Lôgic mệnh đề hệ thống lôgic đơn giản nhất, với đơn vị mệnh đề Ví dụ: “ > ” mệnh đề sai , “tam giác tam giác cân”, hay “tam giác ABC tam giác vuông đỉnh A BC = AC + AB ” mệnh đề đúng, “ xM ” mệnh đề Ta không quan tâm đến nội dung cụ thể mệnh đề, mà dừng tính chất hoặc sai Ta dùng ký hiệu chữ p, q, r để mệnh đề chưa xác định Nếu mệnh đề p ta cho p nhận giá trị mệnh đề p sai ta cho nhận giá trị Giá trị gọi thể p 11 Chương 1: Mở đầu lôgic mệnh đề - Tập hợp - Ánh xạ Phủ định mệnh đề p mệnh đề ký hiệu p , đọc không p Mệnh đề p p sai p sai p Một bảng chân lý ghi lại hai khả đó: p p 0 Tương tự ngôn ngữ thông thường, người ta dùng liên từ để nối câu đơn thành câu phức hợp, liên từ thường gặp “và”, “hay là”, “hoặc…hoặc ”, “nếu …thì”… Mệnh đề phức hợp xây dựng từ mệnh đề đơn giản phép liên kết lôgic mệnh đề b Các phép liên kết lôgic mệnh đề 1) Phép hội: Hội hai mệnh đề p, q mệnh đề, ký hiệu p Ù q (đọc p q ) Mệnh đề p Ù q p q đúng, sai trường hợp cịn lại Có ìp thể ký hiệu í îq 2) Phép tuyển: Tuyển hai mệnh đề p, q mệnh đề ký hiệu p Ú q (đọc p q ) Mệnh đề p Ú q sai p q sai, trường hợp cịn lại Có ép thể ký hiệu ê ëq Ở “ p q ” không hiểu theo nghĩa loại trừ, tách biệt p, q khơng thể đúng, mà tất nhiên p Ú q p , q 3) Phép kéo theo: Mệnh đề p kéo theo q , ký hiệu p Þ q , mệnh đề sai p q sai Chú ý 1.1 - Nếu p sai mệnh đề Hay “ từ điều sai suy điều tuỳ ý” - Hai mệnh đề p, q phải thuộc vấn đề, hai mệnh đề “xa lạ” khơng có liên quan với - Trong phép kéo theo p Þ q , p gọi giả thiết, q kết luận - Phép kéo theo q Þ p gọi đảo mệnh đề đảo phép kéo theo p Þ q Ta cịn diễn tả p Þ q cách sau: - 12 Nếu p q Chương 1: Mở đầu lôgic mệnh đề - Tập hợp - Ánh xạ - Muốn có p cần có q - Muốn có q có p đủ - p điều kiện đủ q - q điều kiện cần p Phép kéo theo liên kết lôgic mệnh đề thường gặp định lý Ví dụ 1.1 (tính chất tam giác đều) Tam giác ABC tam tam giác cân Ví dụ 1.2 (định lý Vi-et thuận) Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = 0, a ¹ có hai nghiệm x1 , x2 x1 + x2 = - b c x1 x2 = a a (định lý Vi-et đảo) Nếu có hai số x1 , x2 cho x1 + x2 = S ; x1 x2 = P S ³ P , x1 , x2 hai nghiệm phương trình bậc hai x - Sx + P = Ví dụ 1.3 (định lý điều kiện cần cực trị hàm số) Cho hàm số y = f ( x ) xác định D f , a Ỵ D f Nếu hàm số khả vi a đạt cực trị địa phương a f ' ( a ) = Ta biết điều ngược lại mệnh đề chưa 4) Phép tương đương: Mệnh đề ( p Þ q ) Ù (q Þ p ) gọi mệnh đề p tương đương q , ký hiệu p Û q Như p Û q mệnh đề hai mệnh đề p q sai mệnh đề p Û q sai trường hợp ngược lại Ví dụ 1.4 (định lý Pi-ta-go) Tam giác ABC tam giác vuông đỉnh A BC = AC + AB v Từ định nghĩa phép liên kết mệnh đề ta có bảng sau: p q p pÚq pÙq pÞq qÞ p pÛq qÚ p 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 Bảng chân lý thể giá trị mệnh đề 13 Chương 1: Mở đầu lôgic mệnh đề - Tập hợp - Ánh xạ Chú ý 1.2 s Mỗi định lý sau chứng minh mệnh đề s Mỗi định lý chứng minh lại để chứng minh định lý khác s Có hai loại mệnh đề sử dụng làm để chứng minh mệnh đề: Các mệnh đề thừa nhận : định nghĩa tiên đề Các mệnh đề chứng minh Một công thức mệnh đề gọi là mệnh đề với giá trị chân lý mệnh đề có cơng thức 1.1.2 Các tính chất (hay cịn gọi luật lơgic) Ta ký hiệu mệnh đề tương đương " º " đọc “đồng bằng” thay cho ký hiệu " Û " Tính chất 1.1 Dùng bảng chân trị ta dễ dàng kiểm chứng mệnh đề sau: pº p 1) luật phủ định kép 2) luật giao hoán : pÙqºqÙ p pÚq ºqÚ p 3) luật kết hợp : p Ù (q Ù r ) º ( p Ù q) Ù r p Ú (q Ú r ) º ( p Ú q) Ú r p Û (q Û r ) º ( p Û q ) Û r 4) luật phân phối : p Ù (q Ú r ) º ( p Ù q) Ú ( p Ù r ) p Ú (q Ù r ) º ( p Ú q) Ù ( p Ú r ) 5) luật trung : mệnh đề p Ú p luật mâu thuẫn : mệnh đề p Ù p sai pÚq º pÙq; 6) luật De Morgan: pÙqº pÚq 7) ( p Þ q ) º ( p Ú q ) 8) luật phản chứng : p Þ q º q Þ p 9) luật lũy đẳng : p Ú p º p; p Ù p º p 10) luật hấp thu : p Ú ( p Ù q) º p p Ù ( p Ú q) º p Luật lôgic 7) cho ta cở sở để chứng minh mệnh đề p Þ q phương pháp suy luận phản chứng 14 Chương 1: Mở đầu lôgic mệnh đề - Tập hợp - Ánh xạ Nhiều trường hợp chứng minh p Þ q cách trực tiếp không thuận lợi, không thực ta dùng phương pháp suy luận phản chứng Phương pháp suy luận phản chứng: Để chứng minh p Þ q đúng, ta giả thiết p q sai, ta chứng tỏ điều dẫn đến mâu thuẫn Việc qui chứng minh ( p Ù q ) sai, tức ( p Ú q ) đúng, p Þ q 1.2 TẬP HỢP 1.2.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp phần tử khái niệm tốn học, khơng thể định nghĩa qua khái niệm biết Các đối tượng có chung số tính chất xem tập hợp Mỗi đối tượng phần tử tập hợp Một phần tử thuộc khơng thuộc tập hợp Thường ký hiệu tập hợp chữ in A, B, X , Y , phần tử chữ thường x, y, Nếu phần tử x thuộc A ta ký hiệu x Ỵ A , x không thuộc A ta ký hiệu x Ï A Ta nói tắt "tập" thay cho thuật ngữ "tập hợp" Tập rỗng tập không chứa phần tử nào, ký hiệu Ỉ Chẳng hạn tập nghiệm phương trình x + = xét tập hợp số thực Ta thường mô tả tập hợp theo cách sau: - Liệt kê phần tử tập hợp - Nêu đặc trưng tính chất phần tử tạo thành tập hợp - Dùng giản đồ Venn: để có hình ảnh trực quan tập hợp, người ta thường biểu diễn tập hợp miền phẳng giới hạn đường cong khép kín khơng tự cắt Các tập hợp số với qui ước thống toán học thường gặp: - Tập số tự nhiên Ð = { 0, 1, 2, } - Tập số nguyên = { 0, ± 1, ± 2, } - Tập số hữu tỉ - Tập số thực - Tập số phức " = z = x + iy x, y Ỵ3; i = -1 Q = { p q q ¹ 0, p, q Ỵ } { } Ví dụ 1.5 ▫ Mỗi tập thể lớp tập hợp ▫ Bộ ba cán lớp : {lớp trưởng, lớp phó, bí thư chi đồn} tập hợp ▫ Tập số tự nhiên lẻ nhỏ 10 { 1,3,5, 7,9 } ▫ Tập hợp nghiệm phương trình x - = {-1,1} 15 Chương Phép biến đổi tuyến tính & dạng tồn phương n 5.17) Trong 33 , cho dạng toàn phương sau viết dạng ma trận, viết chúng dạng biểu thức toạ độ é -1 ù é x ù a) [ x y z ] êê -1 úú êê y úú êë -4 úû êë z úû é -1 ù é x ù b) [ x y z ] êê -1 -2 úú êê y úú ëê -2 -4 ûú êë z ûú é5 0 ù é x ù c) [ x y z ] êê0 úú êê y úú êë0 -4 úû êë z úû 5.18) Tìm biểu thức tọa độ dạng toàn phương Q 33 sau thực phép biến đổi tương ứng: a) Q ( x1 , x2 , x3 ) = x12 - x2 - x1 x2 + x1 x3 - x2 x3 ì ï x1 = y1 + y2 - y3 ï í x2 = y2 ïx = - y + y ï ỵ b) Q ( x1 , x2 , x3 ) = x12 - x32 + x1 x2 - x1 x3 + x2 x3 ì y1 = x1 + x2 - x3 ï í y2 = x2 ïy = x - x î 3 5.19)Viết ma trận dạng toàn phương Q sở tắc 33 Đưa dạng tồn phương tắc phương pháp Lagrange Tìm sở 33 để biểu thức tọa độ Q sở có dạng tắc: a) Q ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x22 - x32 + x1 x2 - x1 x3 b) Q ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x22 + x32 - x1 x2 + x1 x3 - x2 x3 c) Q ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 d) Q ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x22 - x32 - x42 + x1 x2 - x2 x3 + x2 x4 139 Chương Phép biến đổi tuyến tính & dạng tồn phương n e) Q ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x22 + x32 - x1 x2 + x1x3 - x2 x3 f) Q ( x1 , x2 , x3 ) = 3x12 - x22 + x32 + x1x2 - 3x1 x3 - x2 x3 5.20) Tìm l để dạng tồn phương sau xác định dương: a) Q ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x22 + l x32 + x1 x2 - x1 x3 - x2 x3 b) Q ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x22 + x32 + 2l x1 x2 + x1 x3 c) Q ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x2 + x32 + 2l x1 x2 - x1 x3 + x2 x3 d) Q ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + x2 + x32 + 2l x1 x2 + 10 x1 x3 + x2 x3 140 HƯỚNG DẪN BÀI TẬP CHƯƠNG I 1.1) { } a) B Ì A ; A = x Ỵ3 x - 3x + > = (-¥, +¥) B = (-¥, - 4) b) A = B = 3+ 1.2) a) A \ B = Ỉ Û $x Ỵ A \ B Û $x Ỵ A Ù x Ï B Û A Ë B b) x ẻ A ẩ C ị x ẻ A x ẻ C ị x ẻ B x ẻ D ị x ẻ B ẩ D xẻ AầC Þ xỴ A Ù xỴC Þ xỴ B Ù xỴ D ị xẻ B ầ D c) x ẻ C : * Nếu x Ỵ A x Ỵ A I C ị x ẻ A I B ị x Î B * Nếu x Ï A x Î A U C ị x ẻ A U B ị x Ỵ B 1.3); 4) Sử dụng lơgic mệnh đề 1.5); 1.6) Dùng định nghĩa khảo sát vẽ đồ thị hàm số 1.7) Chứng tỏ f ' ( x ) > , "x Ỵ3 1.8) a) "( X , Y , Z ) Ỵ33 pt ( X , Y , Z ) = f ( x, y , z ) tương đương với hệ ì2 x + y - z = X ï í- x + y - z = Y có nghiệm f song ánh ï x + y + 2z = Z ỵ b) Dùng định nghĩa từ a) 1 1 1 ỉ2 Þ f -1 ( x, y , z ) = ỗ x y+ z, y + z, - x - y + z ÷ 35 35 7 5 ø è5 c) Dùng định nghĩa ảnh ánh xạ 1.10) Cho ánh xạ f : X ® Y cho A, B Ì X C , D Ì Y Chứng minh rằng: a) A Ì B Þ f ( A) Ì f ( B ) Tìm ví dụ chứng tỏ f ( A) Ì f ( B ) A Ë B + Với y Ỵ f ( A ) Û $ x Ỵ A cho y = f ( x ) y x ẻ A ị x ẻ B ( A Ì B ) Þ y = f ( x ) Ỵ f ( B ) Suy f ( A) Ì f ( B ) + Xét ánh xạ khác đơn ánh h( x) = x A = [ -1;0] ; f ( A ) = [ 0;1] B = [ 0; ] ; f ( B) = [ ; 4] Þ f ( A) Ì f ( B ) ; A Ë B -1 x 141 HƯỚNG DẪN BÀI TẬP + Nếu f đơn ánh g) f ( A) Ì f ( B) Þ A è B Ly bt k x ẻ A ị f ( x ) ẻ f ( A ) ị f ( x ) Ỵ f ( B ) f ( A ) Ì f ( B ) Với f ( x ) Ỵ f ( B ) $ x Ỵ B cho f ( x ) Î f ( B ) Với giả thiết f đơn ánh nên $! x Ỵ B cho f ( x ) Ỵ f ( B ) Đó l phn t x ẻ A ị f ( x ) ẻ f ( A ) ị f ( x ) Ỵ f ( B ) Nghĩa x Ỵ A ị x ẻ B hay f ( A) è f ( B) Þ A Ì B 1.11) Ký hiệu h = g o f hợp hai ánh xạ f : X ® Y , g : Y ® Z Chứng minh: a) f , g đơn ánh h đơn ánh HD: C/m trực tiếp định nghĩa: cách 1) f đơn ánh : "x1 , x2 ẻ X ; x1 x2 ị f ( x1 ) ¹ f ( x2 ) g đơn ánh : f ( x1 ) ¹ f ( x2 ) Þ g ( f ( x1 ) ) ¹ g ( f ( x2 ) ) Do ú "x1 , x2 ẻ X ; x1 x2 Þ h ( x1 ) = g ( f ( x1 ) ) ¹ g ( f ( x2 ) ) = h ( x2 ) nghĩa h đơn ánh Cách 2) "x1 , x2 Ỵ X ; giả sử h ( x1 ) = h ( x2 ) Þ g ( f ( x1 ) ) = g ( f ( x2 ) ) đ/n ánh xạ hợp Þ f ( x1 ) = f ( x2 ) g n ỏnh ị "x1 , x2 ẻ X ; h ( x1 ) = h ( x2 ) x1 = x2 f đơn ánh Þ x1 = x2 nghĩa h đơn ánh b) f , g tồn ánh h tồn ánh HD: C/m trực tiếp định nghĩa: Vì g tồn ánh: "z Ỵ Z ; $y ỴY cho : g ( y ) = z f tồn ánh "y ỴY ; $x Ỵ X cho : f ( x ) = y Suy "z Ỵ Z ; $x Î X cho : z = g ( f ( x ) ) = g o f ( x ) = h ( x ) Vậy g o f = h toàn ánh c) h toàn ánh g tồn ánh C/m trực tiếp định nghĩa, C/m phản chứng d) h đơn ánh f đơn ánh C/m trực tiếp định nghĩa, C/m phản chứng e) h đơn ánh f toàn ánh g đơn ánh HD: C/m phản chứng: f) h tồn ánh g đơn ánh f tồn ánh HD: HD: C/m phản chứng: 142 HƯỚNG DẪN BÀI TẬP æ 4ö 1.12) s o m = ç ÷, è 3ø ỉ1 4ử m os = ỗ ữ ố 3ø ỉ1 4ư ỉ1 4ư -1 s -1 = ỗ ữ , m = ỗ4 1÷ è ø è ø CHƯƠNG II 2.2) a, b, c) Không phải không gian vectơ ; 2.3) a) Tiên đề 5; 2.4) a, b, c, d) không gian vectơ ; b) Tiên đề 7,8 ; c) Tiên đề 5,8 e, f) khơng phải khơng gian vectơ 2.5) ì2a + 3b + g = ï a) Giải hệ phương trình í3a + b - 6g = -2 ù5a + 8b + g = 15 ợ ị a = 11; b = -5; g = Þ v = 11u1 + (-5)u2 + 0u3 ; b) Phương pháp tng t v = ổỗ - ửữ u1 + u2 96 è 96 ø 23 2.6) 85 ỉ + ỗ - ữ u3 ; ố 96 ứ a) Bài tốn tương đương với việc tìm giá trị l để hệ phương trình ì2a + 3b + g = ï sau có nghiệm í3a + b - 6g = -2 ï5a + 8b + g = l ợ ị l = 15 b) l 12 2.7) ìa + b + g = ï a) Hệ phương trình ía + b + 2g = có nghiệm a = b = g = ïa + b + 3g = ỵ Þ ( v1 , v2 , v3 ) độc lập tuyến tính nên sở 33 ; x = v1 + 2v2 + 3v3 b) x = v1 + v2 + v3 2.8) Thực phép biến đổi sơ cấp áp dụng tính chất hạng hệ véc tơ suy ra: a) hệ sinh 33 ; b) hệ sinh 33 143 HƯỚNG DẪN BÀI TẬP ìa + 2b + 3g = a ï Hoặc hệ phương trình ía + 2b =b ï3a =c ỵ ln có nghiệm với (a, b, c) Ỵ33 cịn hệ phương trình tương ứng với trường hợp b) khơng phải ln có nghiệm với (a, b, c) Ỵ33 2.9) a) Hai vectơ u, v tỉ lệ với nên phụ thuộc tuyến tính; Bằng hai phương pháp 2.9) suy ra: b) độc lập tuyến tính; c) d) phụ thuộc tuyến tính 2.10) a) (a, b, c, 0) = a(1, 0, 0, 0) + b(0,1, 0, 0) + c(0, 0,1, 0) ; b) (a, b, a - b, a + b) = a(1, 0,1,1) + b(0,1, -1,1) ; c) (a, a, a, a) = a(1,1,1,1) 2.11) a) Hệ {v1 , v2 , v3 } độc lập tuyến tính nên sở 33 ; b) Hệ {v1 , v3 , v5 } sở; v2 = v1 + v3 , v4 = v3 + v5 ; 2.12) f '- f = Þ f' f = Þ ln = x Þ f ( x) = Ce5 x , C Ỵ3 C f 2.13) a) a (v1 + v2 ) + b (v1 - v2 ) = Þ (a + b )v1 + (a - b )v2 = Þ a = b =0 b) a (v1 + v2 ) + b (v2 + v3 ) + g (v1 + v3 ) = Þ (a + g )v1 + (a + b )v2 + ( b + g )v3 = Þ a = b =g = 2.14) Áp dụnh Tính chất hạng hệ véc tơ 2.15) V = {(- y - z , y, z ) y, z Ỵ3} có sở {(-1,1, 0), (-1, 0,1)} ; W = {( y + z, y , z ) y, z Ỵ3} có sở {(1,1, 0), (1, 0,1)} ; V I W = {(0, y, - y ) y Ỵ3} có sở hệ vectơ (0,1, -1) CHƯƠNG III 3.1) é3 ù a) ( A + B) + C = A + ( B + C ) = êê3 úú êë5 úû é -9 ù d) A B = ê ú ë -2 19 û t 144 é -3 -1 ù e) BC = êê 10 úú ëê -13 -11ûú t HƯỚNG DẪN BÀI TẬP 3.3) A, B, C véc tơ độc lập tuyến tính khơng gian véc tơ 3.5) é ù é -7 a) ê úê ë5 û ë M ù é1 ù = -2 úû êë úû é2 3ù æ é2 0ù é 0 ù ö é -7 b) Theo a) ị ỳỗờ ỳ+ờ ỳữờ ở5 û è ë0 2û ë0 û ø ë 3ù -2 úû é ù é ù é -7 ù é17 -6 ù =ê ú+ê úê ú=ê ú ë û ë û ë -2 û ë35 -12 û 5 é17 -6 ù é ù æ é ù ö é -7 ù c) ê =ê ỳ ỳỗờ ỳữ ỳ ở35 -12 ỷ û è ë 3û ø ë -2 û é2 3ù é2 =ê úê ë û êë 0 ù é -7 ù é15 × 35 - 14 × 26 6(25 - 35 ) ù = úê ú ú ê 35 úû ë -2 û êë 35 × (35 - 25 ) 15 × 25 - 14 × 35 úû Cách khác: é17 -6 ù é ù æ é32 ù é 0 ù ö é -7 ù ờ35 -12 ỳ = ỳ ỗ 32 ú + ê 211ú ÷ ê -2 ú ë û ë ûèë û ë ûøë û é32 ù é 633 ù é -7 ù é3197 -1266 ù =ê ú+ê úê ú=ê ú ë 32 û ë 1477 û ë -2 û ë 7385 -2922 û 3.8) n ỉ n n ổ n b) Tr( AB) = ỗ aik bki ữ = ỗ bki aik ÷ = Tr( BA) i =1 è k =1 ø k =1 è i =1 ( ) ( = Tr ( ( PP ) A ) = TrA ) ø ( c) TrB = Tr P -1 AP = Tr ( P -1 A) P = Tr P( P -1 A) ) -1 d) Không tồn A, B Tr( AB - BA) = TrI = n ¹ 3.11) a) -3 b) -9 c) -10 d) 100 3.15) Cách 1: Khai triển theo hàng thứ ta đa thức bậc 3: -2 x3 + a2 x + a1 x + a0 = có nghiệm x1 = 2, x2 = 3, x3 = Cách 2: Định thức có dạng định thức Vandermond bằng: (2 - x)(3 - x )(4 - x )2 9 299 k1 3.16) 6 = 966 = 23 k2 = 23k 1 161 k3 145 HƯỚNG DẪN BÀI TẬP a bc a bc + a (a + b + c) - (ab + bc + ca) a a 3.17) c) b ca = b ca + b( a + b + c) - ( ab + bc + ca) = b b2 c ab c ab + c (a + b + c) - (ab + bc + ca) c c a a3 a a + a (ab + bc + ca) - abc a a2 e) b b3 = b b3 + b(ab + bc + ca) - abc = (a + b + c) b b2 c c3 c c3 + c(ab + bc + ca) - abc c c2 3.18) Nhân - x1 với hàng j-1 cộng vào hàng j với j = 2, 3, , n suy ra: 1 x2 x3 xn x2 n-2 x3n -2 Dn = ( x2 - x1 ) ( xn - x1 ) xn n-2 Tiếp tục trình với - x2 , - x3 , , - xn-1 ta n -1 æ n n ỉ k -1 Dn = Õ ç Õ ( xk - xi ) ÷ = Õ ç Õ ( xk - xi ) ÷ i =1 è k =i +1 ø k =2 è i =1 ứ ỡ3 m ợ2 m = 3.19) e) r (C ) = í ỡ3 m = ợ4 m g) r ( D ) = í -1 3.20) a) A c) C -1 é -2 -2 ù é -2 -8 ù 1ê ê ú -1 = -6 ; b) B = -1 -3ú ; ê ú ê ú 14 êë -2 úû êë -2 úû é -4 -5ù = êê -2 -3úú ; êë -1 1 úû d) D -1 é -9 -4 ù = êê -3 úú êë -2 úû ì m ¹ -2 ï 3.21) det A = ( m - )( m - 3)( m + ) , A khả nghịch Û det A ¹ Û ím ¹ ïm ¹ î é0 ù 3.22) Nghiệm X = A B = êê0 úú êë1 -1 -3úû -1 3.23) Quy nạp theo n 146 HƯỚNG DẪN BÀI TẬP n é n ù l1 él1 ù ê ú ú = 3.24) a) êê O O ê ú; ú ê ú êë lk úû lk n ûú ëê n é n l él ù b) ê =ê ú êë ë0 l û nl n -1 ù ú; l n úû é1 - 2ù é - 2ù , B=ê A = - I + B , B = - B ú ú ë3 - 4û ë - 3û c) Đặt A = ê Áp dụng câu 3.24) suy é61 - 62ù A5 = - I + 31B = ê ú ë93 - 94û CHƯƠNG IV ( ) b) Có nghiệm r ( A) = r ( A ) = 4.1) a) Vơ nghiệm = r ( A) < r A = ; 4.2) a) (1,1, -1, -1) b) ( -2, 0,1, -1) 4.6) a) Khi m = hệ vô nghiệm; m ¹ hệ có nghiệm: ỉ 4-m 9m - 16 ö - x3 , x4 = - x3 , x2 = ỗ x1 = ữ 5m 5m m ø è b) Khi m(m + 3) ¹ hệ có nghiệm nhất: ỉ - m2 2m - m3 + 2m - m - ö x = x = , = , x ỗ ữ m(m + 3) m(m + 3) m(m + 3) è ø Khi m = m = -3 hệ vô nghiệm 4.7) HD a, b, c): - Tính định thức ma trận hệ số - Hoặc xét hạng ma trận hệ số, ma trận bổ sung theo m - i, ii) Áp dụng định lý tồn nghiệm, iii) định lý Cramer d) i) m = ; ii) m ¹ ; iii) khơng sảy 4.8) Áp dụng định lý tồn nghiệm a) 3a - 2b - c = b, c, d) "a, b, c 4.9) a = 3a1 - 5a ; 4.10) Khơng dim Span ( S ) = 147 HƯỚNG DẪN BÀI TẬP 4.11) U = span {(1, 0, 0, ) ; ( 0, -1,1, ) ; ( 0, -1, 0,1)} Þ dim U = W = span {(1, -1, 0, ) ; ( 0, 0, 2,1)} ị dim W = U ầ W = span {( 3, -3, 2,1)} ị dim (U ầ W ) = 4.15) HD: trước hết tìm hạng ma trận hệ số Suy số chiều không gian nghiệm Kiểm tra hệ véc tơ hệ nghiệm ĐLTT b) hệ nghiệm 4.16) a) Hệ nghiệm {(1, -5, 0, 0, 3) ; ( 0,1, 0,1, ) ; ( 0,1,1, 0, )} ; Nghiệm tổng quát hệ a) (1 + a ;1 - 5a + b + g ; g ; b ;3a ) ; a , b , g Ỵ3 b) Hệ nghiệm {( 2,5, 0, 0, ) ; (1, -1, 0, 2, ) ; ( 0,1, 2, 0, )} ; Nghiệm tổng quát hệ b) (1 + 2a + b ;5a - b + g ;1 + 2g ;1 + 2b ; - + 6a ) ; a , b , g Ỵ3 a11 - / a12 a21 a22 - / 4.17*) M M an1 an L a1n L a2 n ¹ O M L ann - / 4.18*) Kết hợp kiến thức ma trận, định thức, định lý nghiệm hệ phương trình để chứng minh kết sau + hệ cho có vơ số nghiệm phụ thuộc vào ẩn số + hệ tương ứng có khơng gian nghiệm khơng gian chiều có (1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, 9, -10,11) nghiệm ì x1 = 2003 + t ï x = 2004 - 2t ï từ hệ định lý 4.6 hệ có nghiệm í ï ïỵ x11 = 2013 + 10t ; t Î3 CHƯƠNG V 5.1) a) c) e) phép biến đổi tuyến tính é1 4ù 5.2) a) A = ê ú; ë1 -7 û b) f ( x, y, z ) = ( x + y + z , x - z ) 5.3) a) (5,10) Ỵ Kerf b) (a, b) Ỵ Im f hệ phương trình sau có nghiệm 148 HƯỚNG DẪN BÀI TẬP ì2 x - y = a Û b = -4a Vậy (1, 4), (-3,12) ẻ Im f ợ -8 x + y = b é1 -1 ù 5.5) a) A = êê5 -4 úú ; êë7 úû Kerf = {t (-14,19,11) t Ỵ3} , Im f = { a (1, 0, 2) + b(0,1,1) a, b Î3} é -1ù b) A = êê -1 úú ; êë 0 úû Kerf = {t (0,1, 0) t Ỵ3} Im f = { a (1, 0, 0) + b(0, 0,1) a, b Î3} é2 ê1 c) A = ê ê3 ê ë1 -8 ù úú -9 ú ú 0û Kerf = { z (5, -1,1) z Ỵ3} ; Im f = {b(-8,1, -9, 0) + d (10, 0,12,1) b, d Ỵ3} é1 9ù ê -2 -1ú ú ; d) A = ê ê -1 -1 -1ú ê ú ë2 8û Kerf = {t (0, -1, -1, -1) t Ỵ3} Im f = { a (14, 0, 0,13) + b(0,14, 0,5) + c(0, 0,1, 0) a, b, c Ỵ3} é3 3ù é1 1 ù é0 ù ê ú ê ú -1 5.6) A ' = T AT = ê -6 -6 -2ú , T = ê1 ú , T = êê0 -1úú êë -1úû êë1 0 úû êë1 -1 úû -1 5.7) a) {v1 , v2 , v3 } độc lập tuyến tính sở b) Giả sử f : V ắắ đ V cú ma trn A ; p dụng f ( u ) = Au; "u Ỵ V Từ suy kết 149 HƯỚNG DẪN BÀI TẬP chứng minh công thức B = AT , T -1 é1 ù é 30 -17 -5ù ê ú = Þ T = ê -20 2ú ê ú ê ú êë 3 10 úû êë -9 úû 5.13) a) P ( l ) = A - l I ; P (l ) = -l (2 - l ) ; l = 0, v1 = (1, -1,1); l = 2, v2 = (1, 0,1) b) cột1 - ct3 đ ct1 ị P(l ) = (8 - l )(1 + l ) ; l = -1, v1 = (1, -2, 0) , v2 = (0, -2,1); l = 8, v3 = (2,1, 2) c) - cột2 + ct3 đ ct3 ị P(l ) = -(3 - l )(2 + l )(1 - l ) ; l = -2, v1 = (0,1, -1); l = 3, v2 = (5,1, 4); l = 1, v3 = (3, -1, 2) d) hàng1 - hàng2 + hàng3 ® hàng1 Þ P(l ) = (3 - l )(1 + l ) ; l = -1, v1 = (1, 2,1); l = 3, v2 = (1, 2, 2) e) P (l ) = (2 - l ) ; l = 2; v1 = (1,1, -1, 0) , v2 = (0, 0,1,1) 5.14) a) P ( l ) = A - l I ; P(l ) = (2 - l )3 ; V2 = { x(1, 2, 0) x Ỵ3} , dim V2 = < b) P ( l ) = A - l I ; 3ct1 + ct2 + ct3 đ ct3 ị P (l ) = -(1 + l )3 ; V-1 = { y (-2,1, 0) + z (5, 0,1) y, z Î3} , dim V-1 = < c) cột1 + 2cột2 ® cột1; -3cột3 + cột2 ® cột2 Þ P (l ) = -l ; V0 = { x(1, 0, 6) + y (0,1, -3) x, y Î3} , dim V0 = < d) ct1 + ct2 + ct3 đ ct1 ị P(l ) = (1 - l )l ; V0 = { y (1, 2, 3) y Ỵ3} , dim V0 = < 5.15) a) P ( l ) = A - l I ; h1 + h2 - h3 đ h3 ị P(l ) = (1 - l )(2 - l )(3 - l ) ; é2 1 ù é1 0 ù ê ú -1 P = ê 1 -1ú , P AP = êê úú êë -1úû êë 0 úû b) c1 + c2 + c3 ® c3 Þ P(l ) = -(1 + l )(1 - l )2 ; é -1 ù é1 0 ù ê ú -1 P = ê ú , P AP = êê úú êë úû êë 0 -1úû 150 HƯỚNG DẪN BÀI TẬP c) h1 - h2 + h3 đ h1 ị P(l ) = (1 - l )(2 - l )(3 - l ) ; é1 1 ù é1 0 ù ê ú -1 P = 2 , P AP = ê ú ê ú ê ú êë1 úû êë 0 úû d) h1 - h2 + h3 đ h1 ị P (l ) = (4 - l )(2 + l ) ; é1 ù é4 0 ù ê ú -1 P = ê1 1 ú , P AP = êê -2 úú êë úû êë 0 -2 úû e) c1 + c2 + c3 đ c1 ị P(l ) = (1 - l )(2 - l )2 ; é1 ù é1 0 ù ê ú -1 P = 1 , P AP = ê ú ê ú ê ú ëê1 -3ûú ëê 0 úû 5.16) Dùng thuật toán Lagrange 5.18) Biểu thức toạ độ dạng toàn phương tương ứng a) Q ( y1 , y2 , y3 ) = y12 - y22 + y32 b) Q ( y1 , y2 , y3 ) = y12 + y2 - y32 5.19) Áp dụng phương pháp biến đổi Lagrange ta được: é x1 ù é1 -1 ù é y1 ù a) êê x2 úú = êê0 -1 úú êê y2 úú ; êë x3 úû êë 0 úû êë y3 úû é x1 ù é1 ù é y1 ù b) êê x2 úú = êê 1 úú êê y2 úú ; êë x3 úû êë -1úû êë y3 úû é x1 ù é1 -1ù é y1 ù c) êê x2 úú = êê1 -1 -1úú êê y2 úú ; êë x3 úû êë 0 úû êë y3 úû Q ( y1 , y2 , y3 ) = y12 - y22 - y32 é x1 ù é1 -1 ê x ú ê0 d) ê ú = ê ê x3 ú ê -2 ê ú ê ë x4 û ë -1 0 ù é y1 ù 0 úú êê y2 úú ; ú ê y3 ú úê ú û ë y4 û 151 HƯỚNG DẪN BÀI TẬP Q ( y1 , y2 , y3 ) = y12 + 37 y2 - y32 - y42 é x1 ù é1 -2 ù é y1 ù e) êê x2 úú = êê0 úú êê y2 úú ; êë x3 úû êë úû êë y3 úû Q ( y1 , y2 , y3 ) = y12 + 21 y2 - y32 0 ù é y1 ù é x1 ù é ê ú ê f) ê x2 ú = ê9 10 -1 3úú êê y2 úú ; êë x3 úû êë úû êë y3 úû Q ( y1 , y2 , y3 ) = 49 y1 - y22 + y32 10 5.20) a) l > ; b) l < ; 152 c) - < l < ; d) l < TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Bá Long Đại số Học viện Công nghệ BCVT 2010 - Học liệu tham khảo [ 2] Trần Văn Minh (Chủ biên) Đại số tuyến tính NXB Giao thơng vận tải 2000 [3] Lê Đình Th Tốn cao cấp cho nhà kinh tế.( Phần 1: Đại số tuyến tính) [ 4] Nguyễn Duy Thuận (Chủ biên) Đại số tuyến tính NXB Đại học Sư phạm 2004 [5] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) Tốn cao cấp tập NXB Giáo dục 2008 [6] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) Bài tập toán cao cấp tập NXB Giáo dục 2008 - Học liệu bổ trợ [1] Bellman R.; Mở đầu lý thuyết ma trận Bản dịch tiếng Việt: Nguyễn Văn Huệ, Hoàng Kiếm, NXB KH&KT Hà Nội 1978 [2] Lipshutz S ; Linear Algebra, Mc Graw-Hill, 1987 [3] Lipshutz S ; Theory and problems of Linear Algebra, Schaum's Outline Series Mc Graw-Hill, 1968 [4] Proskuryakov I U.; Problems in Linear Algebra, Mir Pub Moscow 1978 153 ... VÉC TƠ ……… 2. 1.1 Định nghĩa 27 2. 1 .2 Tính chất khơng gian véc tơ ………………………… 29 2. 2 KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON 2. 3 2. 4 2. 5 27 30 2. 2.1 Khái niệm.……………………………………… 30 2. 2 .2 Sự hình thành... t21e2 + + tn1en e '2 = t 12 e1 + t 22 e2 + + tn en …………………………… e 'n = t1n e1 + t2 n e2 + + tnn en , thay e 'i , i = 1, 2, , n vào ( ) ta có u = y1 ( t11e1 + t21e2 + + tn1en )+ + y2 ( t 12 e1 + t 22. .. b) v = (1, 6) = -2e1 + 1e2 Þ ( -2, 1) toạ độ u sở { e1 = ( 0, -1) , e2 = (1, )} c) Trên véc tơ u = ( 2, 2, ) = 6v1 - 2v2 - 2v3 Þ ( 6, -2, -2 ) gọi toạ độ u sở { v1 = (1,1,1) , v2 = (1, -1, -1)