Bài giảng toán 3 nhập môn đại số tuyến tính

TRẦN AN HẢI  BÀI GIẢNG TỐN NHẬP MƠN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH HÀ NỘI - 2008 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Strang, Gilbert, Introduction to Linear Algebra, 3rd ed., Wellesley-Cambridge press, 2005 [2] Strang, Gilbert, Linear Algebra and its Applications, Academic press, 1976 [3] Leon, Steven J., Linear Algebra with Applications, Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall, 1998 [4] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp - Tập 1, Nhà xuất giáo dục, 2007  TUẦN GIỚI THIỆU MÔN HỌC Theo dịng lịch sử, mơn Đại số tuyến tính khởi đầu với việc giải biện luận hệ phương trình bậc Về sau để hiểu rõ cấu trúc tập nghiệm điều kiện để hệ phương trình bậc có nghiệm, người ta xây dựng khái niệm trừu tượng không gian vectơ phép biến đổi tuyến tính Người ta có nhu cầu khảo sát khơng gian với nhiều thuộc tính hình học hơn, có khái niệm độ dài góc Ngày Đại số tuyến tính ứng dụng vào hàng loạt lĩnh vực khác nhau, từ Giải tích tới Hình học, từ Cơ học, Vật lý tới Kỹ thuật, Kinh tế, Vì thế, trở thành mơn học sở cho sinh viên chuyên ngành khoa học công nghệ tất trường đại học Chương GIỚI THIỆU VECTƠ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH _ 1.1 GIỚI THIỆU VECTƠ Các phép tốn vectơ Vectơ hình học đoạn thẳng định hướng •→ gốc Các vectơ hình học có hai phép tốn phép cộng vectơ phép nhân vectơ với vô hướng ĐỊNH NGHĨA Tổng v + w hai vectơ v w xác định theo Quy tắc ba điểm Quy tắc hình bình hành Phép tốn tìm tổng hai vectơ gọi phép cộng vectơ Tích xv vectơ v với số thực x, xác định sau: * Nếu x ≥ xv hướng với v Nếu x < xv ngược hướng với v; * |xv| = |x|⋅|v| x thường gọi vơ hướng Phép tốn tìm tích vectơ với vơ hướng gọi phép nhân vectơ với vơ hướng Ngồi ra, hiệu hai vectơ v w v - w := v + (-w) Phép tốn tìm hiệu hai vectơ gọi phép trừ vectơ ĐỊNH NGHĨA Với vectơ v1, v2, ,vn vô hướng x1, x2, , xn, gọi x1v1+x2v2+ +xnvn tổ hợp tuyến tính v1, v2, ,vn VÍ DỤ Nhận xét 1) Khi vectơ v ≠ 0, tập tất tổ hợp xv lấp đầy đường thẳng 2) Khi vectơ v1 v2 không phương, tập tất tổ hợp x1v1 + x2v2 lấp đầy mặt phẳng 3) Khi ba vectơ v1, v2, v3 không đồng phẳng, tập tất tổ hợp x1v1+x2v2 +x3v3 lấp đầy khơng gian ĐỊNH NGHĨA Tích vô hướng hai vectơ v w số thực v⋅w := |v|⋅|w|cosϕ, ϕ góc hai vectơ v w Hermann Grassmann (1808-1877) cha đẻ tích vơ hướng Biểu diễn vectơ hình học theo toạ độ Việc tìm tổ hợp tuyến tính nhiều vectơ hình học theo định nghĩa hai phép tốn vectơ nói chung cồng kềnh Tuy nhiên, việc giải gọn biểu thị vectơ hình học dạng tọa độ Với vectơ hình học v mặt phẳng tọa độ Oxy ln tồn hai số x y cho v = x i + y j Ta gọi cặp số (x, y) tọa độ v Để tiện làm việc sau, cặp số viết dạng x   y   Ta đồng v với cặp số này: x  v=    y Với vectơ hình học v khơng gian Oxyz ln ln tồn ba số x, y z cho v = x i + y j + z k Ta gọi ba số (x, y, z) tọa độ v Để tiện làm việc sau, ba số viết dạng x   y    z  Ta đồng v với ba số này: x  v =  y   z  Giả sử x   y  x'   y ' v=  ,w=   c vơ hướng Ta có  x + x'  cx  v+w=  , cv =   , v⋅w = xx' + yy'   y + y ' cy  Đối với vectơ hình học khơng gian ta có điều tương tự Mở rộng khái niệm vectơ Từ biểu diễn toạ độ vectơ hình học ta mở rộng khái niệm vectơ hình học cách tự nhiên sau: ĐỊNH NGHĨA Gọi dãy gồm n số thực  x1  x   2 M     xn  vectơ cột n - thành phần Ta cịn viết sau (x1, x2, , xn), không hiểu vectơ hàng Tập vectơ cột n - thành phần ký hiệu Rn Ta ký hiệu vectơ cột chữ nhỏ viết nghiêng đậm, số thực chữ nhỏ viết nghiêng không đậm Trên tập Rn ta định nghĩa phép toán, tổ hợp tuyến tính, tích vơ hướng, độ dài vectơ theo công thức tương tự với công thức hình học nói ĐỊNH NGHĨA Cộng hai vectơ theo thành phần:  x1   y1   x1 + y1  x   y  x + y  2  2+ 2= M  M   M         xn   y n   x n + y n  Nhân vectơ với vô hướng (là số thực) theo thành phần:  x1  cx1   x  cx  2 c  =   M   M       x n  cxn  n Với vectơ v1, v2, ,vm thuộc R vô hướng x1, x2, , xm, gọi x1v1+x2v2+ ⋅⋅⋅ +xmvm tổ hợp tuyến tính v1, v2, ,vm Tích vơ hướng hai vectơ v = (x1, x2, , xn) w = (y1, y2, , yn) số thực v⋅w = x1y1 + x2y2 + ⋅⋅⋅ + xnyn Độ dài vectơ v = (x1, x2, , xn) số |v| = (v⋅v)1/2 = (x12 + x22 + ⋅⋅⋅ + xn2)1/2 Sau ta gọi Rn khơng gian n-chiều Như vậy, tập vectơ hình học mặt phẳng, hay không gian 2-chiều,  x   R2 =    x1 , x ∈ R   x2   Tập vectơ hình học khơng gian, hay khơng gian 3-chiều,   x1     R =  x2  x1 , x , x3 ∈ R   x      Ứng dụng Trong siêu thị có n mặt hàng, ký hiệu qi lượng mặt hàng thứ i (qi dương bán âm mua) Ký hiệu pi giá đơn vị mặt hàng thứ i Với hai vectơ q = (q1, q2, , qn) p = (p1, p2, , pn), doanh thu = q⋅p = q1p1 + q2p2 + ⋅⋅⋅ + qnpn Khi q⋅p = có nghĩa "cân sổ sách" 1.2 ĐỊNH NGHĨA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Có lẽ tốn quan trọng tốn học giải hệ phương trình tuyến tính Có 75% vấn đề tốn học gặp khoa học hay áp dụng công nghiệp liên quan đến giải hệ tuyến tính giai đoạn Bằng cách sử dụng phương pháp tốn học đại, thường đạt tốn phức tạp quy hệ tuyến tính đơn giản Các hệ tuyến tính xuất áp dụng vào lĩnh vực thương mại, kinh tế, xã hội học, nhân học, di truyền học, điện học, kỹ thuật vật lí Một số tốn dẫn đến hệ phương trình tuyến tính Bài tốn Mạng điện Cho mạng điện Hãy xác định dòng điện nhánh Thiết lập hệ phương trình Áp dụng Định luật Kirchhoff dịng điện "Tổng đại số dòng điện nút 0", ta có i1 - i2 + i3 = (nút A) -i1 + i2 - i3 = (nút B) Áp dụng Định luật Kirchhoff điện "Tổng đại số hiệu điện theo vịng kín 0", ta có 4i1 + 2i2 = (mạch trên) 2i2 + 5i3 = (mạch dưới) Ta có hệ i1 - i2 + i3 = Nếu A ma trận đường chéo trội, phương pháp hội tụ Đánh giá sai số nghiệm dựa vào bất đẳng thức ||v βi với αi = 1≤ i ≤ n − α i µ = max (k) i −1 ∑| b ij - v||∞ ≤ | , βi = j =1 µk ||v(1) - v(0)||∞, 1− µ n ∑| b ij | (α1 = 0) j =i Với v(0) ε > chọn trước, muốn xác định số lần lặp k để nghiệm xấp xỉ đạt độ xác ε (tức ||v(k) - v||∞ < ε), ta cần tính v(1) tìm k nhờ giải bất phương trình µk 1− µ ||v(1) - v(0)||∞ ≤ ε Chú ý Trong q trình tính lặp theo phương pháp nói trên, v(k) tính gần theo v(k-1) BÀI TẬP Bài Giải hệ phương trình sau R: 3x1 – x2 – x3 + 2x4 = x1 – x2 – 2x3 + 4x4 = 2x1 – 2x2 + x3 - 2x4 = -10 Giải 1 −1 −  1 −1 −      [A b] →  − −  → 0 − 10 − 14  → 2 − − − 10 0 − 10 − 20 1 −1 −    0 2.5 − −  0 − − 4 Biến tự x4 x3 = -4 + 2x4, x2 = -7 – 2.5(-4 + 2x4) + 5x4 = 3, x1 = + + 2(-4 + 2x4) - 4x4 = Nghiệm hệ (0, 3,-4 + 2x4, x4) với x4 ∈R Bài Giải biện luận hệ R sau theo tham số λ  x1 + x + x3 + x = 4 x + x + x + x =   x + 14 x + x + x =  2 x1 − x + x3 + λx = Giải  2     −1  4  −  14  →  − 1    2 − 3 λ 7 0 − λ −    Nếu λ = 1: hệ vơ nghiệm Nếu λ ≠ 1: hệ có nghiệm phụ thuộc biến tự x3 x4 2    0  − → 0  0     0 −1 0 λ −1 2  0 0   x1 = − x3 − x ; x = ( x3 − x ); x = 4 λ −1 Bài Tìm tham số thực q t để hệ sau có vơ số nghiệm x + y − 2z =  3 x + y − z = t 2 x − y + qz = 2t −  Giải 1 − 1 −       [A b] =  − t  →  −1 t −9  2 − q 2t − 3 0 − q + 2t − 9 1  −2   →  −1 t −9  0 q − 23 − 7t + 72 Hệ có nghiệm  q ≠ 23  q − 23 ≠    q = 23 hay q − 23 =     72  −7t + 72 =  t =  Bài Tìm điều kiện tham số thực a, b, c để hệ sau có nghiệm  2x − y − z = a  − x + y − z = b − x − y + z = c  Hãy giải hệ với điều kiện tìm a, b, c Giải  −1 −1 c   −1 −1 c      [A b] →  − − b  →  − − b   −1 −1 a   −1 −1 a      c  c  −1 −1  −1 −1      −3 b−c  →  −3 b−c  →0  − 3 a + 2c  0 0 a + b + c     ⇒ Hệ có nghiệm a + b + c = Với điều kiện a + b + c = 0, hệ cho tương đương với hệ − x − y + z = c   y − 3z = b − c − b − 2c + z b − c + z Nghiệm hệ cho ( , , z), z ∈R 3 Bài Biện luận theo tham số thực m số nghiệm đặc biệt hệ Ax = 0, với ma trận hệ số 1 −   A = 2 m  1 − m − 1 Giải  1 −  A → 0 m − −  0 − − m − 5  1 − 0 m − −    0 − m − m  Nếu m ≠ 3: r(A) = ⇒ hệ có - = nghiệm đặc biệt Nếu m = 3: r(A) = ⇒ hệ có – = nghiệm đặc biệt Bài Tìm nghiệm đầy đủ hệ sau dạng x = xp + xn x 1      1   y  =     z   2 9   10 t  Giải 1  1 2 1 2       [A b] = 1  → 0 − 3 → 0 − 1  2 10 0 0 6 0 0 2 z biến tự Cho z = 0, tìm nghiệm riêng xp = (-4, 3, 0, 2) Cho z = 1, tìm nghiệm đặc biệt Ax = s = (-2, 0, 1, 0) Vậy nghiệm đầy đủ Ax = b x = xp + xn = xp + ts = (-4-2t, 3, t, 2) Câu Biết A ma trận 3×4 khơng gian nghiệm N(A) gồm tất bội vectơ s = (2, 3, 1, 0) Tính r(A) tìm nghiệm đầy đủ hệ Ax = Giải Hệ Ax = có nghiệm đặc biệt, ngồi số nghiệm đặc biệt = - r(A), nên r(A) = – = Nghiệm đầy đủ ts = (2t, 3t, t, 0) Câu Tìm điều kiện số thực b1, b2, b3 để vectơ b = (b1, b2, b3) thuộc C(AT), với 1 1  A =     Giải b = (b1, b2, b3) nằm không gian hàng C(AT) hệ ATx = b có nghiệm 1 b1  1 b1  1  b1       T [A b] = 1 b2  → 0 b2 − b1  → 0 b2 − b1  1 b3  0 b3 − b1  0 0 b3 − 3b2 + 2b1  Theo Định lý Kronecker – Capelli, hệ ATx = b có nghiệm số thực b1, b2, b3 thoả điều kiện b3 – 3b2 + 2b1 = Bài Giả sử hệ phương trình tuyến tính (trên R) Ax = b có ma trận hệ số 1  A = 2 10 3 10 13 Biết hệ phương trình có nghiệm đặc biệt (1, 1, 1, 1), tìm nghiệm đầy đủ Giải Trước hết ta giải hệ Ax = để tìm nghiệm đầy đủ xn 1 3 1 3   A → 0 4 → 0 4 0 4 0 0  nên biến trụ x1 x3, biến tự x2 x4 Cho x2 x4 giá trị thực ta có giá trị x1 x3 x1 = -x2 - x4, x3 = -x4, Nghiệm đầy đủ hệ Ax = xn = (-x2 - x4, x2, -x4, x4) Nghiệm đầy đủ hệ Ax = b (1, 1, 1, 1) + (-x2 - x4, x2, -x4, x4) = (1-x2 - x4, + x2, - x4, + x4), ∀ x2, x4 ∈R Bài 10 Tìm tất ma trận thực X thỏa mãn điều kiện 2 1 2 1 2 1 X = 2 1     Giải  x y  , ta có hệ phương trình Đặt X =  z t  2x + z = 2y + t = Giải hệ ta y  x   , ∀x, y ∈R X =   − 2x − y  Bài 11 Tìm tất ma trận thực X thỏa mãn điều kiện  −    14 16    X   =    −     10  Giải −1 −1 1   −  14 16         =   X =   −   10    3 4 Bài 12 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau dựa vào Công thức phần phụ đại số  −1    A =  − 2  −1    Giải Tính det(A) = C11 = 1, C12 = 2, C13 = 1, C21 = -2, C22 = 0, C23 = -2, C31 = -3, C32 = 2, C33 = Theo công thức phần phụ đại số, ta có 1  4 1 A-1 =  2 1  4 − − 3 −  4   1  4 Bài 13 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau theo Phương pháp Gauss-Jordan  2 3   A =  −1   − 1   Giải  2 0  1 − 0  1 − 0         − 0  →  − 0 1 →  1 1   − 0 1  2 0   −        1 − 0  1 0 − −      →0 1 1  →0 1 − − 3  0 − 11 − −   0 −     Bài 14 Tìm tất số thực m để ma trận sau khả nghịch −2  1 −2   11 12 13 14 + m  A=     −1    Giải A khả nghịch detA ≠ Lấy cột 4-cột 2, cột - cột 1, ta có −2 0 11 12 2 + m detA = 1 −4 Khai triển Laplace theo cột cuối, ta −2 detA = (2 + m) 1 −4 Tiếp tục khai triển Laplace theo hàng 1, ta detA = (2 + m)[-4-2 + 2(-8 – 3)] = -28(2 + m) A khả nghịch ⇔ detA ≠ ⇔ m ≠ -2 Bài 15 Tính (A – 2B)6, biết  4   A =  6 , B = 8 9    2    3  4 4   Giải  4  2  4  4 1 0           A – 2B =   -  3  =   -  6  =    8 9  4 4  8 9  8 8  0 1           ⇒ (A- 2B) = I Bài 16 Tính định thức a x x b x a b x x b a x b x x a Giải Cộng cột 2, 3, vào cột rút nhân tử chung a + b + 2x, ta có định thức 1 (a + b + x ) 1 x x b a b x = (a + b + x ) b a x x x a x x b a− x b− x x−b b− x a− x x−b 0 a −b a− x b− x x−b a−x b−x = (a + b + x ) b − x a − x x − b = (a + b + x ) (a − b ) b−x a−x 0 a−b [ = (a + b + x ) (a − b ) (a − x ) − (b − x ) ] 2 = (a + b + x ) (a − b ) (a – x + b –x) (a – x – b + x) = (a + b + x ) (a − b ) (a+ b –2x) Bài 17 Tính định thức ma trận 0 1 A= 1  1 a b a 0 1 b  0  0 Khi a ≠ b, tính detA-1 Giải Khai triển theo hàng 4, ta có detA 1 1 1 1 - a b + b a b = -a +b = (b – a)2 a b a b a 0 0 Khi a ≠ b, tính detA-1 = 1/(b – a)2 Bài 18 Chứng minh W V hai khơng gian Rn W∩V không gian Rn Giải Giả sử a b hai vectơ thuộc W∩V , x y hai vô hướng Do W V đóng kín phép tốn cộng vectơ phép tốn nhân vectơ với vơ hướng, nên xa + yb đồng thời thuộc W V Tức xa + yb∈W∩V Vậy, W∩V không gian Rn Bài 19 Tập sau không gian không gian R3 (a) Tập W tất vectơ (a1, a2, a3) ∈R3 với a1 + a3 = 0; (b) Tập U tất vectơ (b1, b2, b3) ∈R3 với b1⋅b3 = Giải (a) W tập nghiệm hệ gồm phương trình ẩn a1 + a3 = 0, nên W không gian R3 (b) i = (1, 0, 0) k = (0, 0, 1) ∈R3, i + j ∉ U ⇒ U không gian Bài 20 Cho vectơ v1 = (2, 1, 3), v2 = (3, -1, 4), v3 = (2, 6, 4) Ký hiệu W không gian R3 mà gồm tất tổ hợp tuyến tính v1, v2, v3 Tính số chiều W Giải W = C(A) với A = [v1 v2 v3] Do r(A) = nên số chiều W Bài 21 Cho W tập tất vectơ thuộc R4 mà có dạng v = (x + 2y + 3z, x + 2y + 3z, 2x + 8y + 10z, 3x + 10y + 13z) Chứng minh W không gian R4 Tìm sở số chiều W Giải Ta thấy 1  1   x    y  = Ax với x = (x, y, z) ∈ R4 v=  2 10      z  3 10 13 nên W = C(A) Vì W không gian R4 1  1 3 1 3 1 3 1  0 0     →  → 0 4 → 0 4 A=  2 10 0 4 0 4 0 0         3 10 13 0 4 0 0 0 0 nên W số chiều có sở gồm cột cột A Bài 22 Tìm ma trận A cỡ 3×3 mà C(A) chứa c1 = (1, 1, 5) c2 = (1, 3, 1) N(A) chứa v = (1, 1, 2) Giải Ta tìm ma trận A có cột cột c1 c2, cột c3 Ta tìm c3 Vì Av = nên 1c1 + 1c2 + 2c3 = Suy −  −1 −1 c3 = (c1 + c2) = (c1 + c2) = − 2 2 −  Như vậy, 1 −  A = 1 − 2 5 − 3 Bài 23 Ký hiệu M(2×2, R) khơng gian ma trận vng cấp hai với phần tử thực Ký hiệu G tập hợp tất ma trận M(2×2, R) mà khả nghịch G có phải khơng gian M(2×2, R)? Giải Ma trận I –I thuộc G (vì khả nghịch), I + (-I) = O ∉G (vì định thức 0) Do G khơng phải khơng gian M(2×2, R) Bài 24 Ký hiệu M(2×2, R) khơng gian ma trận vuông cấp hai với phần tử thực Cho A ma trận M(2×2, R) Ký hiệu W tập hợp tất ma trận B M(2×2, R) mà thỏa mãn điều kiện AB = BA W có phải khơng gian M(2×2, R) Trả lời W khơng gian M(2×2, R) Bài 25 Ký hiệu M(2×2, R) không gian ma trận vuông cấp hai với phần tử thực Tập W gồm tất ma trận thực có dạng a b  b a    có phải khơng gian M(2×2, R)? Trả lời W khơng gian M(2×2, R) Bài 26 Cho ma trận 1  A = 0  0 −1 100 -2 Tìm tất giá trị riêng A + I A + A-1 + I Giải 3−t det(A – tI) = (1 – t) = (1 – t)(t2 -2t – 8) −1 − t ⇒ A có giá trị riêng -2, 1, Với f(x) = x100 + 1, A100 + I = f(A) có giá trị riêng f(-2) = 2100+1, f(1) = 2, f(4) = 4100 + Với g(x) = x-2 + x-1 + 1, g(A) = A-2 + A-1 + I có giá trị riêng g(-2), g(1), g(4) Bài 27 Cho ma trận 1  A=   2 2 Tìm tất vectơ riêng ma trận A100 Hướng dẫn Tất vectơ riêng A100 vectơ riêng A ngược lại, nên cần tìm tất vectơ riêng A Bài 28 Xét xem ma trận sau chéo hóa 1 − 1 a) A =   1 − 1 b) B ma trận thực cỡ 2×2 có detB = -1 Giải a) Đa thức đặc trưng A t2 nên A có giá trị riêng λ1 = λ2 = Hệ (A - 0I)x = x1 - x = x1 - x2 = Hệ có nghiệm tổng quát t(1, 1) với t∈R, nên hai vectơ riêng A phương Suy chúng phụ thuộc tuyến tính Do A khơng chéo hóa b) det(B – tI) = t2 – tr(B)t - ⇒ ∆ > ⇒ B có giá trị riêng phân biệt ⇒ B chéo hoá Bài 29 Tìm ma trận đường chéo đồng dạng với ma trận A4 + 2I, 1  A=   2 2 Giải A có hai giá trị riêng phân biệt A4 + 2I = f(A) với f(x) = x4 + 2, nên A4 + 2I có hai giá trị riêng phân biệt f(1) = 3, f(2) = 18 Từ ma trận đường chéo đồng dạng với A4 + 2I 3  0 18   Bài 30 Cho ma trận 2 − 3 A=   2 − 5 -1 Tìm ma trận S cho S AS ma trận đường chéo Tính A10 Giải A có hai giá trị riêng Một vectơ riêng ứng với (3, 1) Một vectơ riêng ứng với (1, 2) Từ 3  S =  1 2 Với 1 0 Λ =  0 2 A = SΛS-1, nên 3  1   − 1 A10 = SΛ10S-1 =      10  1 2 0  −  Bài 31 Cho vectơ v1 = (1, 0, 0, 0), v2 = (2, 1, 0, 0), v3 = (3, 2, 1, 0) a) Chứng minh v1, v2, v3 độc lập tuyến tính b) Dùng p.p trực giao hóa Gram- Schmidt xây dựng tập trực giao {u1, u2, u3} từ {v1, v2, v3} Giải a) Nhờ phép tốn hàng ta tính hạng ma trận [v1 v2 v3] = 3, nên v1, v2, v3 độc lập tuyến tính b) Lấy u1 = v1 Tìm u2 dạng u2 = xu1 + v2 Từ u2⋅u1 = 0, ta có x = -v2 ⋅u1/u1⋅u1 = -2 u2 = -2u1 + v2 = (0, 1, 0, 0) Tìm u3 dạng u3 = yu1 + zu2 + v3 Từ u3⋅u1 = u3⋅u2 = 0, ta có y = -v3 ⋅u1/u1⋅u1 = -3, z = -v3 ⋅u2/u2⋅u2 = -2 u3 = -3u1 – 2u2 + v3 = (0, 0, 1, 0) Bài 32 Cho vectơ v1 = (1, 0, -2, 1), v2 = (0, 1, 3, -2) Ký hiệu W không gian R4 mà gồm tất tổ hợp tuyến tính v1, v2 a) Hãy tìm W⊥ b) Tính số chiều W⊥ Giải a) u = (x, y, z, t)∈ W⊥ ⇔ v1⋅u = v2⋅u = ⇔ u nghiệm hệ x - 2z + t = y + 3z – 2t = Vậy W⊥ tập nghiệm hệ Giải hệ tìm W⊥ b) Ma trận hệ số hệ có hạng Theo Định lý ĐSTT (phần 1) ta có số chiều W⊥ = – = Bài 33 Tìm sở số chiều không gian chủ yếu liên quan đến ma trận  1  A = 2 16  5 15 25 Hãy phân tích vectơ v = (2, 1, 7, 5)∈ R4 thành xr + xn Giải  1 1    A = 2 16  → 0  5 15 25 0 0 0 nên r(A) = Theo Định lý ĐSTT (phần 1) số chiều C(A) C(AT) 2, số chiều N(A) – = 2, số chiều N(AT) – = A có hai hàng trụ hàng hàng 2, cịn Ax = có nghiệm đặc biệt s1 = (-3, 1, 0, 0), s2 = (-5, 0, -6, 1) Giải phương trình x(hàng 1) + y(hàng 2) + zs1 + ts2 = (2, 1, 7, 5) x = -2, y = 1, z = 1, t = -1 xr = -2(hàng 1) + hàng = (0, 0, 0, 6), xn = s1 - s2 = (2, 1, 6, -1) Bài 34 Giả sử P khơng gian nghiệm phương trình x – 3y – 4z = a) Tìm sở P b) Tìm vectơ a ∈P vectơ b ∈ P⊥ cho a + b = (6, 4, 5) Giải Ký hiệu A = [1 − − 4] , ta thấy P = N(A), P⊥ = C(AT) a) Một sở P gồm hai nghiệm đặc biệt x – 3y – 4z = 0: s1= (3, 1, 0), s2 = (4, 0, 1) b) Do A có hàng trụ nhất, nên {h= (1, -3, -4)} sở C(AT) Ta tìm số c1, c2, c3 cho (6, 4, 5) = (c1s1 + c2s2) + c3h Giải phương tình ta có c1 = 1, c2 = 1, c3 = -1 Do đó, a = s1 + s2 = (7, 1, 1) nằm P b = -h = (-1, 3, 4) nằm P⊥ (a xn, b xr) Bài 35 Cho {e1, e2} sở tắc R2 Cho T phép biến đổi tuyến tính từ R2 vào R2 thoả điều kiện T(e1 + e2) = (1, 1), T(2e1 + e2) = (0, 1) a) Tìm ma trận tắc T b) Chứng minh T khả nghịch tìm ma trận tắc T-1 c) Tìm vectơ u∈R2 cho T(u) = (2, -1) Giải a) e1 = (2e1 + e2) - (e1 + e2) ⇒ T(e1) = T(2e1 + e2) - T(e1 + e2) = (-1, 0) e2 = (e1 + e2) - e1 ⇒ T(e2) = T(e1 + e2) - T(e1) = (2, 1) Ma trận tắc − 2 A = [T(e1) T(e2)] =    1 b) detA = -1, nên A khả nghịch Suy T khả nghịch Ma trận tắc T-1 − 2 A-1 =    1 2  −    0 c) u = T-1(   ) =     =   1    1  1  Bài 36 Cho phép biến đổi T: R2 → R3 xác định sau T(v) = xu1 + yu2 +(x + y)u3, v = (x, y), u1 =(1, 0, 0), u2 =(1, 1, 0), u3 =( 1, 1, 1) Chứng minh T biến đổi tuyến tính Tìm ma trận tắc T Giải xu1 + yu2 +(x + y)u3 = x(1, 0, 0) + y(1, 1, 0) + (x + y)(1, 1, 1) = (2x + 2y, x + 2y, x + y) 2 x + y  2 2  x ⇒ T(x, y) =  x + y  = 1 2   = Av y  x + y  1 2   Với k, h ∈R với a, b ∈R2, ta có T(ka + hb) = A(ka + hb) = kAa + hAb = kT(a) + hT(b) nên T phép biến đổi tuyến tính với A ma trận tắc Bài 37 Cho sở {v1, v2, v3} R3 với 1 v1 = 1 , v2 = 1 1  1  , v =   0 1  0   0 Cho T phép biến đổi tuyến tính từ R3 vào R3 xác định T( x1v1 + x2v2 + x3v3) = (x1+ x2 + x3)v1 + (2x1 + x3)v2 – (2x2 + x3)v3 a) Tìm ma trận tắc T b) Với v = (1, 1, -1), tìm T(v) c) T có khả nghịch khơng? Giải a) Với x1 = 1, x2 = x3 = 0, ta có T(v1) = v1 + 2v2 = (3, 3, 1) Tương tự, ta có T(v2) = v1 – 2v3 = (-1, 1, 1) T(v3) = v1 + v2 – v3 = (1, 2, 1) e1 = v3 ⇒ T(e1) = (1, 2, 1) e2 = v2 – v3 ⇒ T(e2) = T(v2) - T(v3) = (-2, -1, 0) e3 = v1 – v2 ⇒ T(e3) = T(v1) - T(v2) = (4, 2, 0) Ma trận tắc 1 − 4 A = [T(e1) T(e2) T(e3)] = 2 − 2 1 0 b) T(v) = Av = (6, -4, 8) c) detA = ⇒ A không khả nghịch ⇒ T không khả nghịch Bài 38 Cho 1 − 1 A = 1 − 1 b = 1 − 1 6 0   0 Tìm hình chiếu p b C(A) Giải 1 − 1  1 1  − 3 A A=  − 1 =     − − − 1 1 − 1 − 3    T 6  1 1  6 A b =  0 =   − − − 1 0 − 6   T ∧ Phương trình chuẩn tắc ATA x = ATb ∧  − 3  x1    − 3   ∧  = − 6    x    ∧ ∧ Nó có nghiệm tổng quát x = (t, t - 2) ( x khơng nhất) Hình chiếu 2 1 − 1  t      p = A x = 1 − 1  = t − 2    1 − 1 2 ∧ Bài 39 a) Cho liệu t y Hãy tìm đường khớp có phương trình lớp hàm tuyến tính b) Cho liệu t y Hãy tìm đường parabol khớp Xem lời giải Tóm tắt lý thuyết 2 4 Bài 40 Giải toán quy hoạch tuyến tính sau: f(x) = 3x1 + 2x2 →  x1 + x2 − x3 =  − x1 + x2 + x4 =   x j ≥ ( j = 1;4) Giải Ngoài cách thêm biến giả y để ma trận hệ số ràng buộc chứa ma trận hoán vị (BIG MMethod) mà nêu Bài giảng tuần 12), ta cịn có cách làm khác sau: Trước hết dùng phép khử biến đổi hệ ràng buộc thành hệ tương đương mà ma trận hệ số chứa ma trận hoán vị  x1 + x − x3 =  x + x − x3 = ⇔  − x1 + x + x = 3 x − x3 + x = Bài toán cho đưa toán tương đương sau f(x) = 3x1 + 2x2 →  x1 + x − x3 =  3 x − x3 + x =   x j ≥ ( j = 1;4) Ta giải tốn theo Thuật tốn Đơn hình Bảng Biến trụ c' b x1 x2 x3 x4 0 Tỉ số x1 x4 f(x) = 12 0 3• -1 -1 -3 4/2 5/3 Biến trụ c' b x1 x2 x3 x4 Tỉ số 0 0 -1/3 -1/3 -5/3 -2/3 1/3 -4/3 Bảng x1 x2 2/3 5/3 f(x) = 16/3 Các số điều kiện không dương, nên ta có phương án tối ưu x* = (2/3; 5/3; 0; 0) minf(x) = f(x*) = 16/3 Bài 41 Cho hệ phương trình 20x1 + x2 - x3 = 17 x1 - 10x2 + x3 = 13 -x1 + x2 + 10x3 = 18 a) Thiết lập cơng thức tính lặp để giải hệ theo Phương pháp Jacobi b) Tính nghiệm xấp xỉ bước lặp thứ theo Phương pháp Jacobi nghiệm xấp xỉ đầu (0, 0, 0) đánh giá sai số so với nghiệm c) Khi nghiệm xấp xỉ đầu (0, 0, 0), xác định số bước lặp cần thiết để đạt nghiệm xấp xỉ nghiệm với độ xác ε = 10-4 Giải a) Cơng thức tính lặp x1( k +1) = -0.05 x2( k ) + 0.05 x3( k ) + 0.85 x2( k +1) = 0.1 x1( k ) + 0.1 x3( k ) - 1.3 x3( k +1) = 0.1 x1( k ) - 0.1 x2( k ) + 1.8 b) Nghiệm xấp xỉ bước 1: v(1) = (0.85, -1.3, 1.8) Nghiệm xấp xỉ bước 2: v(2) = (1.005, -1.035, 2.015) Nghiệm xấp xỉ bước 3: v(3) = (1.0025, -0.998, 2.004) v(1) - v(0) = (0.85, -1.3, 1.8) ||v(1) - v(0)||∞ = 1.8 ||B||∞ = max{0.1, 0.2, 0.2} = 0.2 ||v(3) - v||∞ ≤ 0.2 || B ||3∞ 1.8 = 0.018 ||v(1) - v(0)||∞ = 1− || B ||∞ 0.8 Sai số v(3) so với nghiệm không vượt 0.018 c) Giả sử số bước lặp k Ta có bất phương trình || B || ∞k ||v(1) - v(0)||∞ ≤ 10-4 1− || B || ∞ ⇔ 0.2 k 1.8 ≤ 10-4 ⇔ k ≥ Bài 42 Cho hệ phương trình 20x1 + x2 - x3 = 17 x1 - 10x2 + x3 = 13 -x1 + x2 + 10x3 = 18 a) Thiết lập cơng thức tính lặp để giải hệ theo Phương pháp Gauss - Seidel b) Tính nghiệm xấp xỉ bước lặp thứ theo Phương pháp Gauss - Seidel nghiệm xấp xỉ đầu (0, 0, 0) đánh giá sai số so với nghiệm c) Khi nghiệm xấp xỉ đầu (0, 0, 0), xác định số bước lặp cần thiết để đạt nghiệm xấp xỉ nghiệm với độ xác ε = 10-4 Giải a) Cơng thức tính lặp x1( k +1) = -0.05 x2( k ) + 0.05 x3( k ) + 0.85 x2( k +1) = 0.1 x1( k +1) + 0.1 x3( k ) - 1.3 x3( k +1) = 0.1 x1( k +1) - 0.1 x 2( k +1) + 1.8 b) Nghiệm xấp xỉ bước 1: v(1) = (0.85, -1.215, 2.0065) Nghiệm xấp xỉ bước 2: v(2) = (1.0111, -0.99824, 2.0009) Nghiệm xấp xỉ bước 3: v(3) = (0.99995, -0.99992, 2.0000) v(1) - v(0) = (0.85, -1.215, 2.0065) ||v(1) - v(0)||∞ = 2.0065 β1 = 0.1, α1 = 0; β2 = 0.1, α2 = 0.1; β3 = 0, α3 = 0.2 µ = max 1≤i ≤3 ||v(3) - v||∞ ≤ µk 1− µ βi = max{0.1; 1/9; 0} = 1/9 − αi ||v(1) - v(0)||∞ = (1 / 9) 2.0065 ≈ 3.1×10-3 8/9 Sai số v(3) so với nghiệm không vượt 3.1×10-3 c) Giả sử số bước lặp k Ta có bất phương trình µk ||v(1) - v(0)||∞ ≤ 10-4 1− µ ⇔ (1 / 9) k 2.0065 ≤ 10-4 ⇔ k ≥ 8/9 CÁC EM CẦN GIẢI ĐÁP VỀ TỐN CĨ THỂ GỌI TỚI Thầy Trần An Hải, 0947408077 CHÚC CÁC EM THI ĐẠT KẾT QUẢ TỐT ... (detP1 23) a11a22a 33 + (detP 231 )a12a23a31 +(detP312)a13a21a32 + (detP 132 )a11a23a32 + (detP2 13) a12a21a 33 + (detP321)a13a22a31 = a11a22a 33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a 33 - a13a22a31... Phần phụ đại số a12 a 21 a 23 1+2 C12 = (-1) a a = -a21a 33 + a23a31 31 33 Ví dụ Theo Ví dụ det A = a11a22a 33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a 33 - a13a22a31 = a11(a22a 33 - a23a32) -... a23a32) - a12(a21a 33- a23a31) + a 13( a21a 33 - a22a31) a 21 a 22 a a 23 a a 23 = a11(-1)1+1 22 + a12(-1)1+2 21 + a 13( -1)1 +3 a a 33 31 a 32 a 33 a 31 a 33 = a11C11 + a12C12 + a13C 13 Tổng quát hóa,