Yêu cầu cơ bản đối với người học tính chất và cách tính định thức. Các tính chất và cách tính ma trận nghịch đảo. Phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Sử dụng hạng của ma trận để biện luận về nghiệm của hệ phương trình đại số tuyến tính.
Ma trận-Định thức-Hệ phương trình tuyến tính Chương MA TRẬN–ĐỊNH THỨC–HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH u cầu người học Các phép toán ma trận Các tính chất cách tính định thức Các tính chất cách tính ma trận nghịch đảo Phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính Sử dụng hạng ma trận để biện luận nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính 1.1 Ma trận 1.1.1 Định nghĩa dạng ma trận Định nghĩa 1.1.1 Ma trận[1] cấp mn, ký hiệu aijmn, bảng số gồm m hàng n cột a11 a12 a 21 a 22 A = a m1 a m2 a1n a 2n a mn Mỗi số aij gọi phần tử hàng i cột j ma trận A Khi m = n, ta gọi A ma trận vuông cấp n, đồng thời phần tử a11, a22, , ann gọi đường chéo Định nghĩa 1.1.2 Ma trận vuông A = aijnn gọi ma trận tam giác trên[2], aij = i > j ma trận tam giác dưới[3], aij = i < j ma trận đường chéo[4], aij = i j ma trận đơn vị[5], akk =1, aij = i j ma trận khơng[6], kí hiệu , aij = i, j 1 0 0 0 0 3 0 , 1 1 1 Tam giác 0 0 0 , 0 1 Tam giác 1 0 0 0 0 0 0 0 , 0 1 Đường chéo 0 0 0 0 0 0 0 0 Không 0 0 , 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Đơn vị cấp Hai ma trận A B gọi nhau, kí hiệu A = B, aij = bij i, j Ma trận có cột gọi véc tơ cột, ma trận có hàng gọi véc tơ hàng Để tránh nhầm lẫn, ta thêm dấu phảy ngăn cách phần tử véc tơ hàng, ví dụ u = [1, 2, 3] Matrix Upper triangular matrix [ ] Lower triangular matrix [ ] Diagonal matrix [ ] Identity matrix, unit matrix [ ] Zero matrix [1] P T T P [2] P T T P P T T P P T T P P T T P P T T P Trang Ma trận-Định thức-Hệ phương trình tuyến tính Hàng thứ k ma trận đơn vị gọi véc tơ hàng đơn vị thứ k Cột thứ k ma trận đơn vị gọi véc tơ cột đơn vị thứ k 1.1.2 Phép cộng hai ma trận[1] Định nghĩa 1.1.3 Cho hai ma trận cỡ mn A = [aij]mn, B = [bij]mn Ma trận tổng A với B, kí hiệu A + B, ma trận cỡ mn xác định A + B = [aij + bij]mn 3 Ví dụ 1.1.1 A = 5 0 2 2 ,B= A+B= 9 0 2 11 Ma trận đối A = [aij]mn, ký hiệu –A, ma trận [–aij]mn Tính chất 1.1.1 Nếu ba ma trận A, B C cấp A + B = B + A, A + = A, –A + A = , A + (B + C) = (A + B) + C 1.1.3 Phép nhân số với ma trận[2] Định nghĩa 1.1.4 Cho ma trận A = [aij]mn số R Ma trận tích với A, ký hiệu A, ma trận cỡ mn xác định [aij]mn 3 Ví dụ 1.1.2 A = 5 6 10 2A = 9 14 18 Tính chất 1.1.2 Nếu hai ma trận A B cấp, số thực a) (A + B) = A + B, b) ( + )A = A + A, c) ()A = (A) = (A), d) (–1)A = –A, 0A = 1.1.4 Phép nhân hai ma trận[3] Định nghĩa 1.1.5 Cho A = [aik]mp, B = [bkj]pn Ma trận tích A với B, kí hiệu AB, ma trận p C cấp mn xác định cij = aik bkj = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj i = m, j = n k 1 Ví dụ 1.1.3 3 A = , B = 5 1 1 3 1 2 AB = 1 3 1 3 2 1 = 4 1 , 5 1 3 1 0 3 4 2 0 = 2 3 , 1 0 1 1 6 14 10 9 19 17 3 5 1 1 = 1 0 1 0 1 3 3 0 2 = 8 4 0 1 3 1 3 Chú ý nhân hai ma trận: Số cột ma trận bên trái phải số hàng ma trận B bên phải Có tích AB chưa có tích BA Matrix addition Scalar multiplication [ ] Matrix multiplication [1] P T T P [2] P T T P P T T P Trang Ma trận-Định thức-Hệ phương trình tuyến tính Khi A B hai ma trận vng cấp có tích AB tích BA, chưa thể khẳng định AB = BA Nếu cột thứ k ma trận bên phải mà véc tơ cột đơn vị thứ k, cột thứ k ma trận tích trùng với cột thứ k ma trận bên trái Nếu hàng thứ k ma trận bên trái mà véc tơ hàng đơn vị thứ k, hàng thứ k ma trận tích trùng với hàng thứ k ma trận bên phải 1.1.5 Một số tính chất phép nhân ma trận Với giả thiết phù hợp số hàng số cột A(B + C) = AB + AC, A(BC) = (AB)C (B + C)A = BA + CA, k(BC) = (kB)C = B(kC) Chú ý: Có thể A B AB = Ví dụ 1.1.4: 6 1 2 0 0 , , B AB 0 0 2 4 1 A 1.1.6 Ma trận chuyển vị Định nghĩa 1.1.6 Ma trận chuyển vị[1] A = aijmn, kí hiệu At (hoặc A’), ma trận ajinm nhận từ A cách đổi hàng thành cột đổi cột thành hàng Ví dụ 1.1.5 4 4 A= A t ,u= 1 ut = [1 3]t Tính chất 1.1.3 Giả sử phù hợp số hàng số cột, a) (A + B)t = At + Bt, b) (AB)t = BtAt 1.2 Định thức 1.2.1 Định nghĩa định thức (Xem chứng minh trang 13) Cho A = [aij]nn Kí hiệu Mij ma trận cấp (n – 1), nhận từ A sau bỏ hàng i cột j Định thức[2] ma trận vng A, kí hiệu det(A), định nghĩa đệ quy[3] sau: Với n = 1: A = [a11] det(A) = a11 a a Với n = 2: A = 11 12 det(A) = a11det(M11) – a12det(M12) = a11a22 – a12a21 a 21 a 22 Với n > 2: det(A) = a11det(M11) – a12det(M12) + + (–1)n+1a1ndet(M1n) Để biểu thị định thức, ta thay hai vạch cong hai bên ma trận hai vạch đứng Ví dụ: a11 A = a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a11 a 23 det(A) = a 21 a 33 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 = a11M11 – a12M12 + a13M13 = a 33 Transpose Determinal [ ] Recursive [1] P T T P [2] P T T P P T T P Trang Ma trận-Định thức-Hệ phương trình tuyến tính a 22 a 32 = a11 a 23 a a a a a12 21 23 a13 21 22 = a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 = a11(a22a33 – a23a32) – a12(a21a33 – a23a31) + a13(a21a32 – a22a31) 1.2.2 Các tính chất định thức Tính chất 1.2.1 Đổi chỗ hai hàng định thức ta định thức định thức cũ đổi dấu (Xem chứng minh trang 14) Hệ 1.2.1 (Khai triển theo hàng bất kỳ) Giả sử A ma trận vuông cấp n, det(A) = (–1)i+1[ai1i1 – ai2i2 + + (–1)n+1ainin] với i = 1, 2, , n, ij định thức cấp n – sau bỏ hàng i cột j (Xem chứng minh trang 15) Tính chất 1.2.2 Một định thức có hai hàng giống Chứng minh: Gọi giá trị định thức ban đầu Đổi chỗ hai hàng giống nhau, ta nhận định thức trùng với định thức cũ, đổi chỗ hai hàng nên đổi dấu, tức = – hay = 0. Tính chất 1.2.3 Một định thức có hàng tồn số Chứng minh: Đổi chỗ hàng toàn số với hàng khai triển theo hàng đầu tiên, ta có det(A) = 0. Tính chất 1.2.4 Khi nhân phần tử hàng với số định thức định thức cũ nhân với Chứng minh: Gọi D D tương ứng định thức ma trận trước sau nhân hàng p B B B B với Ta đổi chỗ hàng p với hàng đầu tiên, định thức –D B B Gọi j định thức sau bỏ hàng cột j, khai triển theo hàng ta có B B –D2 = ap11 – ap22 + + (–1)n+1apnn = [ap11 – ap22 + + (–1)n+1apnn] Biểu thức [ap11 – ap22 + + (–1)n+1apnn] giá trị định thức ban đầu sau đổi chỗ hàng p với hàng đầu tiên, nên –D B B Vậy ta có –D2 = (–D1), hay D2 = D1. Hệ 1.2.2 Khi phần tử hàng có thừa số chung ta đưa thừa số chung định thức Chứng minh: Giả sử thừa số chung Nếu = 0, hiển nhiên Nếu 0, tương đương với việc đưa ngồi, ta nhân hàng với –1, tức ta nhân P P định thức với –1 Vậy để bảo toàn giá trị ban đầu, ta phải nhân định thức với . P P a11 a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a11 a 23 a 21 a 33 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33 Hệ 1.2.3 Nếu A ma trận vng cấp n det(A) = ndet(A) Tính chất 1.2.5 Một định thức có hai hàng tỷ lệ Trang Ma trận-Định thức-Hệ phương trình tuyến tính Chứng minh: Nếu số tỷ lệ = 0, theo Tính chất 1.2.3 ta có định thức Nếu 0, ta nhân hàng thích hợp với để hai hàng nhau, định thức nhân thêm với Nhưng sau nhân, theo Tính chất 1.2.2 ta có det(A) = 0, tức det(A) = 0. Tính chất 1.2.6 Khi tất phần tử hàng có dạng tổng hai số hạng định thức phân tích thành tổng hai định thức (Xem chứng minh trang 15) Tính chất 1.2.7 Nếu định thức có hàng tổ hợp tuyến tính hàng khác định thức khơng Chứng minh: Giả sử hàng m A tổ hợp tuyến tính hàng p 1, p 2, , p k, tức tồn B B B B B B số 1, 2, , k khác cho amj = 1 a p j + 2 a p j + + k a p j với j = n k Áp dụng Tính chất 1.2.6, ta phân tích A thành tổng k định thức B1, B2, , Bk, định thức Bj có hàng m j lần hàng pj Theo Tính chất 1.2.5 định thức khơng, det(A) = 0. Tính chất 1.2.8 Khi ta nhân hàng với số cộng vào hàng khác định thức định thức cũ Chứng minh: Định thức có hàng có dạng tổng hai số hạng, nên ta tách thành hai định thức Một chúng định thức ban đầu, định thức lại có hai hàng nên khơng Vậy định thức định thức cũ. Tính chất 1.2.9 Định thức ma trận tam giác tích phần tử đường chéo a11 a12 a 22 0 a1n a11 a 2n a a 22 a11a 22 a nn 21 a nn a n1 a n2 a nn (Xem chứng minh trang 15) Tính chất 1.2.10 det(A t) = det(A) (Xem chứng minh trang 16) Hệ 1.2.4 (Khai triển định thức theo cột) Với ma trận vng A cấp n với j = n, det(A) = (–1)1+ja1jdet(M1j) + (–1)2+ja2jdet(M2j) + + (–1)n+janjdet(Mnj) Vì vậy, tính chất phát biểu cho hàng định thức, phát biểu cho cột định thức ngược lại Ví dụ 1.2.1: P P 6 1 15 2 1 5 6 78 6 1.2.3 Cách tính định thức phép biến đổi sơ cấp Các phép biến đổi sơ cấp Tác dụng với định thức + Nhân hàng với số k Định thức nhân với k + Đổi chỗ hai hàng + Nhân hàng r với k cộng vào hàng s Các bước tính định thức Định thức đổi dấu Định thức không đổi Trang Ma trận-Định thức-Hệ phương trình tuyến tính + Bước 1: Áp dụng phép biến đổi sơ cấp đưa dần định thức cho dạng tam giác + Bước 2: Tính tích phần tử đường chéo Ví dụ 1.2.2 6 h1 h2 2 = 3 0 10 5 6 h3 =h3 10h2 1 h1 = h1 2 3 h3 =h3 2h1 2 3 = –3(–55) = 165 0 55 1.3 Ma trận nghịch đảo Ký hiệu Mn tập tất ma trận vuông cấp n Ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu En (nếu khơng nhầm lẫn, ta ký hiệu E) Tính chất 1.3.1 Với ma trận A Mn AE = EA = A 1.3.1 Ma trận khả đảo ma trận nghịch đảo Định nghĩa 1.3.1 Ma trận nghịch đảo[1] A Mn, ký hiệu A–1, ma trận thuộc Mn AA–1 = A–1A = E Khi ta nói A khả đảo[2] hay khả nghịch, không suy biến[3] 1.3.2 Sự ma trận nghịch đảo Định lý 1.3.1 Ma trận nghịch đảo A tồn Chứng minh: Giả sử A có hai ma trận nghịch đảo B, C Khi đó: cho AB = BA = E, AC = CA = E Ta có: C = C(AB) = (CA)B = B. 1.3.3 Sự tồn biểu diễn ma trận nghịch đảo Cho ma trận A = [aij]nxn Ta gọi ma trận ứng với phần tử aij ma trận nhận từ A sau bỏ hàng cột chứa aij Ký hiệu dij = det(Mij), với Mij ma trận ứng với phần tử aij Đặt C = [cij]nxn với cij = (–1)i+jdij (gọi phụ đại số[4] aij) Định lý 1.3.2 Nếu det(A) tồn A–1 biểu diễn công thức c11 1 c12 1 t A C det(A) det(A) c1n c 21 c 22 c 2n c n1 c n c nn 1 Ví dụ 1.3.1 Tìm ma trận nghịch đảo A 1 1 Inverse matrix Invertible matrices [ ] Non-singular matrices [ ] Cofactor [1] P T T P [2] P T T P P T T P P T T P Trang (Xem chứng minh trang 16) Ma trận-Định thức-Hệ phương trình tuyến tính Vì det(A) = –4 nên tồn ma trận nghịch đảo A–1 Tính phụ đại số: c11 = (–1)1+1 = 1, c12 = (–1)1+2 1 c21 = (–1)2+1 1 = –2, c22 = (–1)2+2 1 c31 = (–1)3+1 1 1 = 5, c32 = (–1)3+2 = –2, c33 = (–1)3+3 =1 2 2 1 Vậy A–1 = 2 2 1 5 2 = 1 1 = –2, c13 = (–1)1+3 1 1=1 1 = 0, c23 = (–1)2+3 = –2 1 2 5 1 2 1 1.3.4 Ma trận nghịch đảo tích hai ma trận Định lý 1.3.3 Nếu hai ma trận cấp A B khả đảo AB khả đảo (AB)–1 = B–1A–1 Chứng minh: Ta có (AB)B–1A–1 = A(BB–1)A–1 = AEA–1 = AA–1 = E B–1A–1(AB) = B–1(A–1A)B = B–1EB = B–1B = E Do B–1A–1 ma trận nghịch đảo ma trận AB. Định lý 1.3.4 Nếu ma trận A khả đảo a) A–1 khả đảo (A–1)–1= A b) với m N* Am khả đảo (Am)–1 = (A–1)m c) với A khả đảo (A)–1 = –1A–1 Chứng minh: a) Do A–1A = AA–1 = E nên A ma trận ngược A–1, tức A = (A–1)–1 b) Ta chứng minh quy nạp Hiển nhiên định lý với m = Giả sử định lý với m – 1, tức (Am–1)–1 = (A–1)m–1 Đặt B = Am–1, ta có B–1 = (Am–1)–1 = (A–1)m–1 Theo Định lý 1.3.3 ta có (Am)–1 = (Am–1A)–1 = (BA)–1 = A–1B–1 = A–1(A–1)m–1 = (A–1)m Nghĩa định lý với m, tức định lý với m N* a11 a12 a1n 0 A = a21 a22 a2n = 0 an1 an2 ann [ ) ( ] [ ) ( ] [ ) ( ][ ) ( ] [) (] c) Đặt = 0 0 a11 a12 a1n a21 a22 a22 = A an1 an2 ann –1 –1 0 –1 Vì = = –1E, nên 0 –1 (A)–1 = (A)–1 = A–1–1 = A–1–1E = –1A–1E = –1A–1. 1.3.5 Định thức tích hai ma trận Trang Ma trận-Định thức-Hệ phương trình tuyến tính Định lý 1.3.5 Nếu A B hai ma trận vng cấp det(AB) = det(A)det(B) (Xem chứng minh trang 17) Định lý 1.3.6 Nếu A B hai ma trận vuông cấp BA = E AB = E A khả đảo B = A –1 P P Chứng minh: BA = E det(BA) = det(E) det(B)det(A) = det(E) = 1, tức det(A) Theo Định lý 1.3.1, tồn A–1 đó, B(AA–1) = EA–1 = A–1, tức B = A–1 Tương tự, từ AB = E ta có B = A–1. 1.4 Hệ phương trình tuyến tính 1.4.1 Dạng tổng qt hệ phương trình tuyến tính Các véc tơ nói đến véc tơ cột Định nghĩa 1.4.1 Hệ phương trình tuyến tính[1] hệ gồm m phương trình bậc với n ẩn số P T T P a11x1 a12 x a1n x n b1 a x a x a x b 21 22 2n n a m1x1 a m2 x a mn x n b m (1.4.1) n Hoặc viết dạng a ij x j bi , i = m, x1, x2, , xn ẩn số, aij hệ j1 số ẩn, b1, , bm vế phải Nếu b1 = b2 = = bm = (1.4.1) gọi hệ tuyến tính nhất[2] 1.4.2 Dạng ma trận hệ phương trình tuyến tính a11 a12 a a 22 Đặt A = 21 a m1 a m2 a1n a 2n ,x= a mn x1 x 2, b = xn b1 b 2, bm A ma trận hệ số, x ma trận nghiệm, b ma trận vế phải hệ Khi hệ phương trình (1.4.1) viết lại dạng ma trận Ax = b 1.4.3 Hệ Cramer hệ (1.4.2) Hệ Cramer: hệ phương trình tuyến tính có số phương trình số ẩn có det(A) Định lý 1.4.1 (định lý Cramer[3]) Hệ Cramer có nghiệm tính theo cơng thức x = A–1b, tức xj det( A j ) det( A ) , với Aj ma trận nhận từ A sau thay cột thứ j cột vế phải b (Xem chứng minh trang 18) Linear system Homogeneous system [ ] Gabriel Cramer (31/06/1704 – 04/01/1752), sinh Geneva Thuỵ Sĩ, Pháp [1] P T T P [2] P T T P P T T P Trang Ma trận-Định thức-Hệ phương trình tuyến tính x1 x3 1 Ví dụ 1.4.1 Giải hệ x1 2x x det(A) = 1 = nên hệ Cramer 2x x 2x 1 2 1 Ta có det(A1) = 1 Vậy ta có nghiệm x1 = – 1 1 = –3, det(A2) = 1 2 1 1 = –2, det(A3) = 1 2 = 2 1 3 , x2 = –1, x3 = 2 n a ijx j , i = n Hệ nhất: hệ có dạng (1.4.3) j1 Dạng ma trận (1.4.3) Ax = (ma trận không cấp n1) Hệ ln có nghiệm tầm thường[1] x = Định lý 1.4.2 Hệ có nghiệm không tầm thường det(A) = Chứng minh: Giả sử hệ có nghiệm khơng tầm thường, có nghĩa hệ khơng có nghiệm Nếu det(A) theo Định lý 1.4.1 hệ có nghiệm nhất, mâu thuẫn Ngược lại, giả sử det(A) = Bằng phép biến đổi sơ cấp với hàng, đổi chỗ cột đánh số lại ẩn gặp a’kk = 0, ta đưa hệ dạng tam giác Do det(A) = nên có hàng tồn số 0, tức hệ cho tương đương với hệ có số phương trình số ẩn Vì hệ có vơ số nghiệm, tức có nghiệm khơng tầm thường. 1.4.4 Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp Gauss–Jordan Để cho tiện, ta sử dụng ký hiệu a ij b j cho dù giá trị chúng thay đổi sau phép biến đổi sơ cấp Quá trình Gauss[2] Bằng phép biến đổi sơ cấp, ta đưa hệ (1.4.1) dạng tam giác trên, với hệ số akk = x1 a12 x a1n x n b1 x a 2n x n b (1.4.4) x n bn B B B B Quá trình Jordan[3] Từ dạng tam giác (1.4.4), dùng phép biến đổi sơ cấp, đưa dạng đường chéo: b1 x1 x2 b2 (1.4.5) x n bn Từ ta nhận được: x1 = b1, x2 = b2, …, xn = bn Trivial Johann Carl Friedrich Gauss (30/04/1777 – 23/02/1855), nhà Toán học người Đức [ ] Wilhelm Jordan (01/03/1842 – 17/04/1899), nhà đo đạc người Đức [1] P T T P [2] P T T P P T T P Trang Ma trận-Định thức-Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ 1.4.2 Giải hệ phương trình 2x1 x2 2x1 2x 3x 2x 3x 3x x3 9 7 Đặt cột vế phải bên phải ma trận A biến đổi: 1 2 2 9 9 2 2 1 2 2 h3 h3 h h1 h1 h h 2h1 2 2 11 h h 3h1 13 2 0 2 2 9 2 2 2 h 2h 0 11 0 0 1 0 0 1 0 1 Vậy nghiệm x = 0 9 2 h h 6h 11 h1 h1 32 h3 2 0 0 3 2 1 2 h1 h1 h 2 1 1 1.4.5 Áp dụng phương pháp Gauss–Jordan tính ma trận nghịch đảo Cho A ma trận vuông cấp n với det(A) 0, đặt X = A–1 AX = E Giả sử X = (xij), gọi Xj ej tương ứng cột thứ j X cột thứ j E, ta có A[X1, X2, …, Xn] = [e1, e2, …, en] Đẳng thức tương ứng với n hệ, hệ gồm n phương trình có chung ma trận A, AXj = ej j = n Ta giải đồng thời n hệ phương trình cách đặt ma trận đơn vị E bên phải ma trận A, a11 a12 a 21 a 22 a n1 a n a1n 0 a 2n a nn 0 0 0 , 1 dùng phép biến đổi phương pháp Gauss–Joocdan, đưa dạng 1 0 0 0 0 0 1 x11 x 21 x n1 x12 x 22 xn2 x1n x 2n x nn Khi A biển đổi thành E lúc E trở thành A –1 P Trang 10 P Dạng toàn phương 5.6.2.5 Mặt paraboloid elliptic x y2 2z (các tham số dương p, q) o Phương trình tắc: p q o Sự đối xứng: Đối xứng qua mặt phẳng yOz zOx o Giao tuyến mặt với mặt phẳng xOy: điểm O(0, 0, 0) mặt phẳng yOz: x2 = 2pz mặt phẳng zOx: hai đường, tương ứng với y = đường y2 = 2qz, x = x y2 2h mặt phẳng z = h: giao tuyến có phương trình p q Nếu h > 0: ellipse có bán trục 2ph , 2qh Nếu h = 0: điểm h tăng từ tới + giao tuyến di chuyển sinh mặt paraboloid elliptic Nếu p = q: giao tuyến đường tròn, mặt paraboloid elliptic mặt tròn xoay parabola x = 2pz quay quanh trục Oz 5.6.2.6 Mặt paraboloid hyperbolic P P x2 y 2z o Phương trình tắc: p q z o Sự đối xứng: Đối xứng qua mặt phẳng yOz zOx o Giao tuyến mặt với mặt phẳng zOx: đường x2 = 2pz, y = x z x y2 2h mặt phẳng z = h: p q D Nếu h > 0: hyperbola có trục thực nằm mặt phẳng zOx song song với Ox, có bán trục thực y O 2ph bán trục ảo O x z Nếu h < 0: giao tuyến hyperbola có trục thực nằm mặt phẳng yOz song song với Oy, có bán trục thực y M0 L 2qh 2qh bán trục ảo M x 2ph O y z y Nếu h = 0: cặp đường thẳng mặt phẳng Oxy qua gốc O 5.6.2.7.Mặt trụ bậc hai Mặt trụ bậc hai mặt cong sinh đường thẳng D di chuyển luôn song song với phương cho truớc dựa vào đường cong L cho trước Đường cong L đường thẳng D tương ứng gọi đường chuẩn đường sinh O x z y O x Trang 95 Dạng toàn phương Trong mặt phẳng xOy, cho đường cong L xác định phương trình f(x, y) = Khi đó: Tập {(x, y, z): f(x, y) =0, z R} xác định mặt trụ có đường chuẩn L đường sinh song song với Oz Tập {(x, y, z) : g(x, z) = 0, y R} xác định mặt trụ mà đường chuẩn có phương trình g(x, z) = 0, có đường sinh song song với trục Oy Tập {(x, y, z) : h(y, z) = 0, x R} xác định mặt trụ mà đường chuẩn có phương trình h(y, z) = 0, có đường sinh song song với trục Oyx Ví dụ 5.6.2.1 Phương trình x y2 , z R xác định mặt trụ có đường sinh song song với a b2 trục Oz, đường chuẩn ellipse nằm xOy Phương trình x y2 , z R xác định mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz, a b2 đường chuẩn hyperbola nằm xOy Phương trình y = 2px, z R xác định mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz, P P đường chuẩn parabola nằm xOy Mặt nón bậc hai Mặt nón bậc hai mặt sinh đường thẳng D di chuyển luôn qua điểm I cố định, dựa vào đường thẳng L cho trước Đường L gọi đường chuẩn, đường thẳng D gọi đường sinh, điểm I gọi đỉnh mặt nón Những mặt nón mà phương trình bậc hai x, y, z gọi mặt nón bậc hai x y2 z2 o Phương trình tắc: a b c z o Sự đối xứng: Đối xứng qua mặt phẳng xOy, yOz zOx o Giao tuyến mặt với: mặt phẳng yOz: cặp đường thẳng cắt y z y z y2 z2 0 b c b c c b x x x x z x z mặt phẳng xOz: cặp đường thẳng a c a c y mặt phẳng z = h ≠ 0: ellipse: 5.6.3 Nhận dạng đường bậc hai Trang 96 x2 ah c y2 bh c 1 o y Dạng tồn phương Xét phương trình bậc hai tổng quát cặp toạ độ Đecac (x1, x2) x R2: (5.6.2.2) ax12 + 2bx1x2 + cx22 + 2gx1 + 2hx2 + d = a, b, c, d, g, h số thực cho trước Ta cần biết phương trình mơ tả đường cong Đặt q = ax12 + 2bx1x2 + cx22, p = 2gx1 + 2hx2 + d Ta thấy q dạng toàn phương sở S = {i =(1, 0), j = (0, 1)} R2 với ma trận đối xứng a b A= b c Phương trình đặc trưng (5.6.2.3) a b = 2 –(a + c) + ac – b2 = b c Phương trình có hai nghiệm thực 1 2 thoả mãn 12 = ac – b2, 1 + 2 = a + c f11 f12 Hai vectơ trực chuẩn tương ứng f1 , f f 21 f 22 Bằng phép đổi biến sang sở S’ = {f1, f2} x1 f11 f12 1 x = f x = P 21 f 22 (5.6.2.4) Trong sở mới, q có dạng 112 + 222, nên (6.6.1) có dạng 112 22 2gx1 2hx d 2 Thay x1, x2 từ cơng thức (6.6.3) ta có 11 2g ' 1 2h ' d (5.6.2.5) Trong g’ = g.f11 + h.f21 h’ = g.f12 + h.f22 I Trường hợp 1 2 khác không dấu (ac – b2 > 0) Ta viết lại (6.6.4): 1 (1 g' h' ) + ( ) = d, 1 2 d’ = Áp dụng công thức tịnh tiến trục X = 1 B B (g ') (h ') –d 1 2 (5.6.2.6) g' h' , X = 2 ta đưa (6.6.5) dạng 1 2 B 1X12 X 22 d ' , B (5.6.2.7) a Giả sử d’ dấu với 1, 2: đường bậc hai ellipse thực có phương trình X12 d' X 22 d' 1 b Giả sử d’ 0, trái dấu với 1, 2: đường bậc hai ellipse ảo có phương trình Trang 97 Dạng toàn phương X d' i 1 c X 2 d' i 1 Nếu d = đường bậc hai suy biến thành điểm (X1 = 0, X2 = 0) II Trường hợp 1 0, 2 trái dấu (ac – b2 < 0) Giả sử 1 > 0, 2 < thì: a Nếu d’ đường bậc hai hyperbola có phương trình 1 2 X1 X2 d' d' b Nếu d’ = đường bậc hai suy biến thành hai đường thẳng cắt 1 X1 X III.Trường hợp có trị riêng không (ac – b2 = a + c 0) Giả sử 1 0, 2 = 0, phương trình (6.6.4) có dạng 112 2g ' 1 2h ' 2 d Nếu h’ 0, (6.6.7) parabola (5.6.2.8) (112 2g ' 1 d) 2h ' g ' d '' Nếu h’ = 0, (6.6.7) trở thành 1 , 1 1 g ' d '' d 1 (5.6.2.9) a Nếu d’’ khác dấu 1: hai đường thẳng thực song song b Nếu d’’ dấu 1: hai đường thẳng ảo song song c Nếu d’’ = 0: hai đường thẳng cắt IV Trường hợp 1 = 2 = (ac – b2 = a + c = 0) Khi a = b = c = 0, phương trình chứa số hạng bậc nên mô tả đường thẳng Kết luận: = b2 – ac < 0: ellipse thực ảo = b2 – ac > 0: hyperbola hyperbola suy biến thành hai đường thẳng giao = b2 – ac = 0: o a + c 0: parabola parabola suy biến thành hai đường thẳng thực song song hai đường thẳng thực trùng hai đường thẳng ảo song song o a + c = (a = b = c = 0): phương trình bậc nhất, đường thẳng Ví dụ 5.6.2.2 Nhận dạng đường bậc hai 2x2 – 4xy – y2 + = Giải: Ma trận sở E = {(1, 0), (0, 1)} 2 2 2 A= Giải phương trình đặc trưng: = ( – 2)(1 + ) – = 2 1 2 1 Trang 98 Dạng toàn phương 2 – – = 1 = 3, 2 = – 32 – 22 +8=0 Ví dụ 5.6.2.3 Nhận dạng đường bậc hai x12 – 4x1x2 – x 22 – 22 – 32 x2 – = (hyperbola) =0 Giải: Giống Ví dụ 6.6.1, 1 = 3, 2 = –2 2x12 – 4x1x2 – x22 = 312 – 222 Để tìm ma trận P phép đổi sở, trước hết ta phải tìm véc tơ riêng A x1 2x x1 2x 1 2 x1 0 2 Với = 3: u1 = x = 2x 4x x s 2 4 0 1 4x1 2x x1 s 2 x1 0 Với = –2: x = 2x x x 2x u2 = 2 0 Hai véc tơ trực chuẩn tương ứng v1 = x 2/ 1/ Công thức đổi sở = x 1/ 2/ Vậy 2x12 – 4x1x2 – x22 – x2 – 3(1 – )2 – 2(2 – )2 + 2 v2 = 1 5 1 2 2/ 1/ P = 2 1/ 2/ 1 1 1 + 2 x2 = – 5 2 1 = 312 – 222 – 1 + 22 – = 6 1 1 = 2(2 – )2 – 3(1 – )2 = (hyperbola) 5.6.4 Nhận dạng mặt bậc hai Xét phương trình bậc hai tổng quát ba (x1, x2, x3) x R3: ax12 bx 22 cx 32 2rx1x 2sx1x 2tx x + 2ex1 2gx 2hx d = (5.6.2.10) a, b, c, r, s, t, e, g, h, d số thực biết Đặt q = ax12 bx 22 cx 32 2rx1x 2sx1x 2tx x p = 2ex1 2gx 2hx d Ta thấy q dạng toàn phương sở S = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} R3 với ma trận đối xứng: a r s a r s A = r b t Phương trình đặc trưng r b t = có ba nghiệm thực, s t c s t c trị riêng A Ba véc tơ trực chuẩn tương ứng có dạng: f11 f1 = f 21 , f2 = f 31 f12 f 22 , f3 = f 32 f13 f 23 f 33 Bằng phép đổi biến sang sở S’ = {f1, f2, f3}, Trang 99 Dạng toàn phương x1 f11 f12 f13 1 x = f 21 f 22 f 23 x f f f 31 32 33 ta đưa dạng toàn phương q dạng tắc sở mới: q = 112 22 332 Do (6.6.9) có dạng 112 22 332 + 2ex1 2gx 2hx d = (5.6.2.11) 112 22 332 + 2e’1 + 2g’2 + 2h’3 + d = (5.6.2.12) hay e’ = ef11 + gf21 + hf31, g’ = ef12 + gf22 + hf32, h’ = ef13 + gf23 + hf33 Bằng phép tịnh tiến trục toạ độ thích hợp, ta đưa dạng đơn giản Một số trường hợp hay gặp là: I Trường hợp 1, 2 3 khác – tức det(A) – dấu Ta viết lại (6.6.11): e' g' h' (e ') (g ') (h ') 1 (1 ) + ( ) + (3 ) = d’, với d’ = –d + + + 1 2 3 1 2 3 Áp dụng công thức tịnh tiến trục: 1 e' g' h' = X1, = X2, 3 = X3 1 2 3 (5.6.2.13) 1X12 X 22 X 32 = d’ ta nhận Nếu d’ dấu với trị riêng: ellipsoid, 1 d' (5.6.2.14) X12 2 d' X 22 1 d ' X12 d' X 32 = d '/ 1 Đặc biệt 1 = 2 = 3, ellipsoid trở thành mặt cầu bán kính Nếu d’ trái dấu với trị riêng: ellipsoid ảo, 3 2 d ' X 22 3 d ' X 32 = i2 Nếu d’ = 0: Thu điểm (X1, X2, X3) = (0, 0, 0), 1X12 X 22 X 32 = II Trường hợp 1, 2 3 khác có hai trị riêng dấu Giả sử 1 > 0, 2 > 3 < Tương tự trên, ta đưa dạng 1X12 X 22 X 32 = d’ Nếu d’ > 0: hyperboloid tầng, 1 Nếu d’ < 0: hyperboloid hai tầng, 1 d' d ' X12 X12 2 d' X 22 2 d ' X 22 d' 3 d' X 32 = X 32 = –1 III Trường hợp trị riêng 0, hai trị riêng lại dấu Giả sử 1 > 0, 2 > 3 = Ta viết lại (6.6.11): 112 22 + 2e’ + 2g’ + 2h’ + d = B B B B Áp dụng công thức tịnh tiến trục: 1 Trang 100 B B e' g' = X1, = X2, 3 = X3 1 2 (5.6.2.15) Dạng toàn phương ta 1X12 X 22 + 2h’X3 = d’ với d’ = –d + (e ') (g ') + 1 2 (5.6.2.16) Nếu h’ 0: 1X12 X 22 + 2h’X3 = d’ xác định paraboloid elliptic Nếu h’ = 0: 1X12 X 22 = d’ xác định mặt trụ có đường sinh song song với X3 IV Trường hợp trị riêng 0, hai trị riêng lại trái dấu Giả sử 1 > 0, 2 < 3 = Giống trường hợp III, ta đưa dạng 1X12 X 22 + 2h’X3 = d’ Nếu h’ 0: Đây mặt paraboloid hyperbolic Nếu h’ = 0: 1X12 X 22 = d’ xác định mặt trụ có đường sinh song song với X3 V Trường hợp hai trị riêng Giả sử 1 0, 2 = 3 = Ta viết lại (6.6.11): 112 + 2e’1 + 2g’2 + 2h’3 + d = Áp dụng công thức tịnh tiến trục: 1 e' = X1, 2 = X2, 3 = X3 1 (e ') ta 1X + 2g’X2 + 2h’X3 = d’ với d’ = –d + 1 (5.6.2.17) Nếu g’ = 0, h’ 0: Mặt trụ parabola 1X12 + 2h’X3 = d’ Nếu g’ 0, h’ = 0: Mặt trụ parabola 1X12 + 2g’X2 = d’ Nếu g’ 0, h’ 0: Mặt trụ parabola có đường sinh vng góc với đường thẳng g’X2 + h’X3 = VI Trường hợp ba trị riêng Phương trình trở thành e’1 + g’2 + h’3 + d = Đây phương trình mặt phẳng Ví dụ 5.6.2.4 Nhận dạng mặt bậc hai 2x12 2x 22 3x 32 – 2x1x3 –2x2x3 = 16 Giải: Trong RP3P, lấy sở trực chuẩn E = (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) 1 Trong sở này, ma trận dạng toàn phương cho A = 1 1 1 2 1 Phương trình đặc trưng: = 1 = 1 1 = (2 – )[(2 – )(3 – ) – 1] – (2 – ) = (2 – )[(2 – )(3 – ) –2] = (2 – )(4 – )(1 – ) có ba trị riêng khác 1 = 1, 2 = 3 = Vậy ta chọn sở B gọi (1, 2, 3) toạ độ x sở Khi Trang 101 Dạng tồn phương 2x 2x 3x – 2x1x3 –2x2x3 = 16 2 4 = 16, hay 2 2 2 2 16 22 32 = Đây phương trình mặt ellipsoid với bán trục 4, 2 Ví dụ 5.6.2.5 Nhận dạng mặt bậc hai 2x12 2x 22 3x 32 – 2x1x3 –2x2x3 +2 x1 – 2 x2 = 14 Giải: Đặt p = 2x12 2x 22 3x 32 – 2x1x3 –2x2x3 q = 2 x1 – 2 x2 Ta thấy p dạng toàn phương xác định ma trận A Ví dụ 6.6.3 Gọi B sở mà p = 12 2 22 432 , P ma trận đổi từ sở E sang sở B Ta cần xác định sở B ma trận P, để từ xác định biểu diễn q Theo Ví dụ 6.6.3, ma trận A có ba trị riêng 1 = 1, 2 = 3 = Để xác định P, ta cần tìm véc tơ riêng ứng với trị riêng x3 1 x1 0 x1 x1 x Với 1 = 1: 1 x = 0 x x x x u1 = x x 2x x s 1 1 x 0 Với 2 = 2: x1 x x3 0 1 x1 0 0 1 x = 0 x3 x s u2 = 2 x x x x 1 1 x 0 1 1 1 1 1 Với 3 = 4: 2x1 x x1 x 2 1 x1 0 2 1 x = 0 2x x x s u3 = 2 2 1 1 1 x 0 x1 x x x 2x 1 1 2 1 1 1 1 2 Từ ta có ba véc tơ trực chuẩn là: [v1]E = , [v , [v 1 2]E = 3]E = Vậy = {[v1]E, [v2]E, [v3]E}, ma trận đổi từ sở E sang sở 1/ 1/ 1/ P = 1/ 1/ 1/ 2 / 1/ x1 1/ 1/ 1/ 1 Vì cơng thức đổi toạ độ [x]E = P[x]B nên x = 1/ 1/ 1/ x 1/ 2 / 3 Trang 102 Dạng toàn phương x1 x x3 1 1 1 2 2 3 q = 42 Vậy p + q = 12 2 22 432 + 42 = 14 3 12 2( 1) 432 = 16 Đổi biến y1 = 1, y2 = 2 + 1, y3 = 3 y12 2y 22 4y32 = 16 Đây phương trình mặt ellipsoid với bán trục 4, 2 Ví dụ 5.6.2.6 Từ ma trận A P Ví dụ 6.6.4, tính trực tiếp ma trận D = PtAP biểu thức [x]Et A[x]E 1/ 1/ 1/ Giải: P = 1/ 1/ 1/ P t = 2 / 1/ P P 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 2 / 1/ 1/ 1/ 1 1/ 1/ 1/ P tA = 1/ 1/ 1 = / 2 / 1/ 1/ 2 / 1 1 / / 8 / P P 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1 0 D = P tAP = / 2 / 1/ 1/ 1/ = 0 = 2 / 0 / / 8 / 1/ P P 1 2 0 0 Khi [x]Et A[x]E = (P[x]B)tA(P[x]B) = [x]Bt (PtAP)[x]B = = [x]Bt D[x]B = [x]Et A[x]E = [x]Bt D[x]B = 1 1 0 1 = (1, 2, 3) 0 = (1, 2, 3) 2 = 12 2 22 432 4 0 3 3 5.7 Bài tập chương Bài 5.1 Nhận dạng vẽ đường bậc hai 5x2 + 26xy + 5y2 – 72 = 31x2 – 10 xy + 21y2 + 4(9 –8)x – 4(9 + ) y – 44= x2 + 2xy + y2 + 8x + y = 5x2 + 4xy + 5y2 = 11x2 + 24xy + 4y2 – 15 = 2x2 + 4xy + 5y2 = 24 Trang 103 Dạng toàn phương x2 y2 + xy + = 18 x – 8xy + 7y2 – 36 = 5x2 – 4xy + 8y2 – 36 = Bài 5.2 Nhận dạng mặt bậc hai sau a) 2x3 – 2xz + 2y2 – 2yz + 3z2 = 16 b) 2x3 – 2xz + 2y2 – 2yz + 3z2 + 2 x – 2 y – 14 = c) 2xy + 2xz + 2yz = d) x2 + 2y2 + 2z2 – 2yz – 2x = e) 2xy + 2xz + 2yz – 6x – 6y – 4z = f) x2 + 2y2 + 6z2 – 2xy – 4xz + 4yz – 12x + 12y + 8z = g) 4xy – 2xz + 2yz – 2z = h) 3x2 + 4y2 + 5z2 – 6xy + 4xz – 2yz + 2y + 2z = 5.8 Giải tập chương Bài 5.1 5x2 + 26xy + 5y2 – 72 = 0: Tìm trị riêng véc tơ riêng ma trận tương ứng 13 13 A= = (5 – )2 – 132 = = 18, = –8 13 13 B B B B 5x2 + 26xy + 5y2 – 72 = 182 – 82 – 72 = 92 – 42 = 36 2 =1 22 32 Đây phương trình hyperbola có bán trục Để xác định mối liên hệ hệ trục toạ độ cũ oxy hệ trục toạ độ o, ta phải tìm ma trận chuyển sở P 13 13 = 18: 13 13 x y = 13 13 x = –8: = 13 13 y 0 0 0 0 Ma trận chuyển sở P = x y = x y = s 1 s = s 1 u1 = 1 1 1 v1 = 1 s 1 1 1 s = s 1 u2 = 1 v2 = 1 1 1 , nên phép biến đổi 1 1 x x 1 1 y = 1 1 y ( ) x cos sin 4 y cos sin ( ) 4 Từ ta suy rằng, hệ trục o nhận từ từ hệ cũ oxy cách xoay theo chiều kim đồng hồ góc 45 o P P 31x2 – 10 xy + 21y2 + 4(9 –8)x – 4(9 + ) y – 44 = y Đặt q = 31x2 – 10 xy + 21y2, dạng tồn phương có ma trận tương ứng O Trang 104 x Dạng toàn phương 31 5 31 5 A= =0 21 5 21 5 – 52 – 576 = 1 = 16, 2 = 36 P P Do q = 162 + 362 Ta cần tìm ma trận chuyển P 15 5 = 16: 5 x y = 0 0 1 1 x s 1 y = = s u1 = v1 = 3s 3 3 3 5 5 = 36: 5 15 x y = 0 0 x y = s Ma trận chuyển sở P = x 3 y = 1 3 u1 = 1 3 v2 = 1 1 3 , nên phép biến đổi 1 x ( 3 ) y ( 3 ) x cos sin y sin cos 6 Do đó, 4(9 –8)x – 4(9 + ) y – 44 = 1 = 4(9 –8) ( 3 ) – 4(9 + ) ( 3 ) = –64 – 72 2 31x – 10 xy + 21y + 4(9 –8)x – 4(9 + ) y – 44 = P 162 P P P P + – 64 – 72 – 44 = 362 4( – P P P 42 P P + 92 P P y – 16 – 18 – 11 = x ( 2) ( 1) = 36 = 32 22 2) P P + 9( – 1) P P Đây phương trình ellipse với bán trục Ta vẽ ellipse hệ trục toạ độ o, nhận từ từ hệ toạ độ oxy cách xoay ngược chiều kim đồng hồ góc 30 o P P Bài 5.2 a) 2x3 – 2xz + 2y2 – 2yz + 3z2 = 16 Ma trận tương ứng 2x3 – 2xz + 2y2 – 2yz + 3z2 2 1 1 A = 1 2 1 = (2 – )( – 1)( – 4) = = 1, 2, 1 1 3 1 1 Vậy 2x3 – 2xz + 2y2 – 2yz + 3z2 = 16 2 + 22 + 42 = 16 2 2 2 = 42 (2 2) 22 Đây phương trình ellipsoid có tâm (0, 0, 0) b) 2x3 – 2xz + 2y2 – 2yz + 3z2 + 2 x – 2 y – 14 = Trang 105 Dạng toàn phương Làm tương tự ý a), ta cần tìm véc tơ riêng trực chuẩn để xác định phép đổi biến, từ tính x y theo , 1 x = 1: 1 y = 1 1 z 0 0 0 x 1 1 y = s 1 v = 1 z 1 1 0 1 x = 2: 0 1 y = 1 1 1 z 0 0 0 x 1 1 y = s 1 v = 1 z 2 1 x = 4: 2 1 y = 1 1 1 z 0 0 0 x 1 1 y = s 1 v = 1 z 2 2 Vậy phép đổi biến x y = z Vì x – y = 3 1 6 6 2 x y z 1 nên 2 (x – y) = 2, 2x3 – 2xz + 2y2 – 2yz + 3z2 + 2 x – 2 y – 14 = 2 + 22 + 42 + 2 – 14 = 2 + 2( – 1)2 + 42 ( 1) 2 + 2 = 16 = (2 2) 22 Đây phương trình mặt ellipsoid có tâm (0, 1, 0) c) 2xy + 2xz + 2yz = Ma trận tương ứng 2xy + 2xz + 2yz 1 0 1 A = 1 = –( + 1)2( – 2) = 1 = 2 = –1, 3 = 1 1 Vậy 2xy + 2xz + 2yz = –2 – 2 + 22 = 2 + 2 – 22 = –1 Đây phương trình mặt hyperboloid hai tầng d) x2 + 2y2 + 2z2 – 2yz – 2x = Ma trận tương ứng x2 + 2y2 + 2z2 – 2yz 1 0 0 A = 1 2 1 = (1 – )2(3 – ) = 1 = 3, 2 = 3 = 0 1 1 Trang 106 Dạng toàn phương 2 0 x = 3: 1 1 y = 1 1 z 0 0 0 x 0 y = s 1 u = z 1 0 0 x 0 x = 1: 0 1 y = 0 y = 0 1 1 z 0 z 0 0 1 v = 1 1 1 t 1 0 1 0 s u = , u = v = , v = 1 s 0 1 0 Phép đổi biến x 1 y = z 0 2 x 1 y z Khi x2 + 2y2 + 2z2 – 2yz – 2x = 32 + 2 + 2 – 2 = 32 + ( – 1)2 + 2 = Đây phương trình mặt ellipsoid tròn xoay có tâm (0, 1, 0) e) 2xy + 2xz + 2yz – 6x – 6y – 4z = Ma trận tương ứng 2xy + 2xz + 2yz 1 0 1 A = 1 = ( + 1)2(2 – ) = 1 = –1 (kép), 2 = 1 1 1 1 x = –1: 1 1 y = 1 1 z 1 u1 = 1 , u2 = 1 2 = 2: 2 1 1 2 0 0 0 x y = z s t 1 1 s = s 1 + t t 1 1 1 1 v = 1 , v = 1 1 x y = z 0 0 0 x 1 y = s 1 u = z 1 1 1 1 v = 1 1 1 Phép đổi biến 1 x y = z 1 1 6 3 3 x y z 1 2 1 1 2xy + 2xz + 2yz – 6x – 6y – 4z = Trang 107 Dạng toàn phương –2 – 2 + 22 – 6( –2 – 2 + 22 + 1 1 1 1 ) – 6( ) – 4( ) = 6 16 2 28 – = 2 + ( – ) – 2( – ) =– 6 Đây phương trình mặt hyperboloid hai tầng Sử dụng phương pháp Lagrange e) Đặt x = X + Y, y = X – Y, z = Z = 2xy + 2xz + 2yz – 6x – 6y – 4z = = 2X2 – 2Y2 + 4XZ – 12X – 4Z = 2(X + Z)2 – 2Y2 – 2Z2 – 12(X + Z) + 8Z Đặt X + Z = U = 2U2 – 2Y2 – 2Z2 – 12U + 8Z = 2(U – 3)2 – 2Y2 – 2(Z – 2)2 – 10, Y2 + (Z – 2)2 – (U – 3)2 = –5 f) Đặt q = x2 + 2y2 + 6z2 – 2xy – 4xz + 4yz, p = –12x + 12y + 8z – Ta có q = (x – y – 2z)2 + y2 + 2z2 + 4yz = (x – y – 2z)2 + (y + 2z)2 – 2z2 Đặt X = x – y – 2z, Y = y + 2z, Z = z q = X2 + Y2 – 2Z2 z = Z, y = Y – 2Z, x = X + Y, p = –12(X + Y) + 12(Y – 2Z) + 8Z – = –12X – 16Z – Vì q + p = X2 + Y2 – 2Z2 – 12X – 16Z – = (X – 6)2 + Y2 – 2(Z + 4)2 – = 0, hay (X – 6)2 + Y2 – 2(Z + 4)2 = Đây mặt hyperboloid tầng g) Đặt x = X + Y, y = X – Y, Z = z = 4(X + Y)(X – Y) – 2(X + Y)Z + 2(X – Y)Z – 2Z = = 4X2 – 4Y2 – 4YZ – 2Z = 4X2 – 1 (4Y – 2Z)2 + Z2 – 2Z = 4X2 – (4Y – 2Z)2 + (Z –1)2 –1 4 Đặt U = X, V = 4Y – 2Z, W = Z – 4U2 – V + W2 = 4, mặt hyperboloid tầng h) Đặt q = 3x2 + 4y2 + 5z2 – 6xy + 4xz – 2yz, p = 2y + 2z Ta có q = 11 (3x – 3y + 2z)2 + y2 + z2 – 2yz = (3x – 3y + 2z)2 + (y – z)2 + z2 3 3 Đặt X = 3x – 3y + 2z, Y = y – z, Z = z, z = Z, y = Y + Z p = 2Y + 4Z, q + p = X + Y2 + Z2 + 2Y + 4Z = X2 + 3Y2 + 8Z2 + 6Y + 12Z = 3 X2 + 3(Y + 1)2 + 8(Z + 15 ) = , phương trình mặt cầu 5.9 Thảo luận chương Sự tương ứng dạng song tuyến với ma trận Sự tương ứng dạng toàn phương với ma trận đối xứng Quy trình rút gọn dạng toàn phương Bản chất việc rút gọn dạng toàn phương TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 108 Dạng toàn phương [1] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh Tốn học cao cấp, T1, Đại số hình học giải tích, nxb Giáo dục, 1998 [2] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh Bài tập Tốn cao cấp, T1, Đại số hình học giải tích, nxb Giáo dục, 2004 [3] Lay, David C Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.) Addison Wesley, 2005 [4] Kolman, Bernard & Hill, David R Elementary Linear Algebra with Applications (9th ed.) Prentice Hall, 2007 [5] Poole, David Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.) Brooks Cole, 2005 [6] Meyer, Carl D Matrix Analysis and Applied Linear Algebra SIAM, 2001 [7] В А Ильин, Г Д Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007 [8] В А Ильин, Э Г Позняк Линейная алгебра, М.: Наука–Физматлит, 1999 [9] Кострикин А И Введение в алгебру М.: Наука, 1977 [10] Фаддеев Д К Лекции по алгебре М.433: Наука, 1984 Trang 109 ... j a1j[ ( 1) k a k11k1j ] = a 11 11 + ( 1) 1 j k a1ja k11k1j = j k n n n n k 2 j k 2 k 1 = a 11 11 + ( 1) 1 k a k1 ( 1) j a1j1k1j = a 11 11 + ( 1) 1 k a k1 k1 = ( 1) 1 k... x2 + x 2, , xn + xn) = = (x 1, x 2, , xn) + (x 1, x 2, , xn) = x + x (x) = (x 1, x 2, , xn) =(x 1, x 2, , xn) = ()x 10 1. (x 1, x 2, , xn) = (1. x 1, 1. x 2, , 1. xn) = (x 1, x 2, , xn) =... (0 + x 1, + x 2, , + xn) = (x 1, x 2, , xn) = x –x = (–x 1, –x 2, , –xn) –x + x = (–x1 + x 1, –x2 + x 2, , –xn + xn) = ( 0, 0, , 0) = x = (x 1, x 2, , xn) Rn (x + y) = (x1 + y 1, x2 + y 2, , xn